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Redes de difração, Interferência e Interferômetros
Túlio Brito Brasil
Estágio PAE
tbrasil@if.usp.br
Supervisor: Adriano M. Alencar
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 1 / 32
Redes de difraçãoUma rede de difração é um componente ótico que modula periodicamente a fase ou aamplitude de uma onda incidente
Na aproximação paraxialUma rede onde a espessura varia periodicamente na direção x com periodo ⇤converte uma onda plana incidente, de comprimento de onda � ⌧ ⇤, incidindo comum pequeno ângulo ✓
i
, em várias ondas planas que se propagam em pequenosângulos, na forma
✓q
= ✓i
+ q
�
⇤(1)
onde q = 0, ±1, ±2, . . . São chamadas ordens de difração.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 2 / 32
Redes de difraçãoUma rede de difração é um componente ótico que modula periodicamente a fase ou aamplitude de uma onda incidente
Na aproximação paraxialUma rede onde a espessura varia periodicamente na direção x com periodo ⇤converte uma onda plana incidente, de comprimento de onda � ⌧ ⇤, incidindo comum pequeno ângulo ✓
i
, em várias ondas planas que se propagam em pequenosângulos, na forma
✓q
= ✓i
+ q
�
⇤(1)
onde q = 0, ±1, ±2, . . . São chamadas ordens de difração.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 2 / 32
Problema
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 3 / 32
Redes de difraçãoRelação geral: Fora da aproximação paraxial
Uma análise mais geral mostra que uma onda plana incidente é convertida em váriasondas planas formando ângulos ✓
q
que satisfazem
sin ✓q
= sin ✓i
+ q
�
⇤(2)
Quando luz policromática incide na rede, as componentes espectrais são separadasespacialmente. Redes de difração são usadas em filtros e analisadores de espectro.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 4 / 32
Redes de difraçãoRelação geral: Fora da aproximação paraxial
Uma análise mais geral mostra que uma onda plana incidente é convertida em váriasondas planas formando ângulos ✓
q
que satisfazem
sin ✓q
= sin ✓i
+ q
�
⇤(2)
Quando luz policromática incide na rede, as componentes espectrais são separadasespacialmente. Redes de difração são usadas em filtros e analisadores de espectro.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 4 / 32
Redes de difraçãoRelação geral: Fora da aproximação paraxial
Uma análise mais geral mostra que uma onda plana incidente é convertida em váriasondas planas formando ângulos ✓
q
que satisfazem
sin ✓q
= sin ✓i
+ q
�
⇤(2)
Quando luz policromática incide na rede, as componentes espectrais são separadasespacialmente. Redes de difração são usadas em filtros e analisadores de espectro.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 4 / 32
Equações de MaxwellFRAMEWORK
As equações de Maxwell são lineares. Sendo, U1 (r) e U2 (r) soluções da equaçãode onda, temos:
U (r) = U1 (r) + U2 (r) (3)
Também é solução! Dizemos que vale o princípio da superposição
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 5 / 32
Equações de MaxwellFRAMEWORK
As equações de Maxwell são lineares. Sendo, U1 (r) e U2 (r) soluções da equaçãode onda, temos:
U (r) = U1 (r) + U2 (r) (3)
Também é solução! Dizemos que vale o princípio da superposição
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 5 / 32
Equações de MaxwellFRAMEWORK
As equações de Maxwell são lineares. Sendo, U1 (r) e U2 (r) soluções da equaçãode onda, temos:
U (r) = U1 (r) + U2 (r) (3)
Também é solução! Dizemos que vale o princípio da superposição
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 5 / 32
InterferênciaConceitos básicos
A intensdade é dada pelo módulo quadrado da amplitude complexa, a intensidadetotal é dada por
I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U
⇤1 U2 + U
⇤2 U1 (4)
Substituindo,U1 =
pI1e
i'1U2 =
pI2e
i'2 (5)Obtemos,
I = I1 + I2 + 2
pI1I2 cos' (6)
onde ' = '2 � '1
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 6 / 32
InterferênciaConceitos básicos
A intensdade é dada pelo módulo quadrado da amplitude complexa, a intensidadetotal é dada por
I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U
⇤1 U2 + U
⇤2 U1 (4)
Substituindo,U1 =
pI1e
i'1U2 =
pI2e
i'2 (5)Obtemos,
I = I1 + I2 + 2
pI1I2 cos' (6)
onde ' = '2 � '1
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 6 / 32
InterferênciaConceitos básicos
A intensdade é dada pelo módulo quadrado da amplitude complexa, a intensidadetotal é dada por
I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U
⇤1 U2 + U
⇤2 U1 (4)
Substituindo,U1 =
pI1e
i'1U2 =
pI2e
i'2 (5)Obtemos,
I = I1 + I2 + 2
pI1I2 cos' (6)
onde ' = '2 � '1
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 6 / 32
InterferênciaConceitos básicos
A intensdade é dada pelo módulo quadrado da amplitude complexa, a intensidadetotal é dada por
I = |U|2 = |U1 + U2|2 = |U1|2 + |U2|2 + U
⇤1 U2 + U
⇤2 U1 (4)
Substituindo,U1 =
pI1e
i'1U2 =
pI2e
i'2 (5)Obtemos,
I = I1 + I2 + 2
pI1I2 cos' (6)
onde ' = '2 � '1
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 6 / 32
Termo de Interferência
A contribuição do termo de interferência pode ser positiva (interferência construtiva)ou negativa (interferência destrutiva). Se I1 = I2 = I0, então
I = 2I0 (1 + cos') = 4I0 cos
2 ('/2) (7)
• ' = 0, máximo de intensidade I = 4I0
• ' = ⇡/2 ou 3⇡/2, mínimo de intensidade, I = 0.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 7 / 32
Termo de Interferência
A contribuição do termo de interferência pode ser positiva (interferência construtiva)ou negativa (interferência destrutiva). Se I1 = I2 = I0, então
I = 2I0 (1 + cos') = 4I0 cos
2 ('/2) (7)
• ' = 0, máximo de intensidade I = 4I0
• ' = ⇡/2 ou 3⇡/2, mínimo de intensidade, I = 0.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 7 / 32
InterferômetrosOndas Planas
Considere duas ondas planas de mesma intensidade, uma está atrasada em relação aoutra por uma distância d , tal que
U1 =p
I0 exp (�ikz) U2 =p
I0 exp [�ik (z � d)] (8)
A intensidade ficaI = 2I0
1 + cos
✓2⇡
d
�
◆�(9)
“Regra” para ondas planasQuando o atraso é um múltiplo inteiro de �, interferência construtiva acontece e aintensidade total é I = 4I0. Por outro lado, quando d é um múltiplo semi-inteiro de� interferência destrutiva completa ocorre e I = 0.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 8 / 32
InterferômetrosOndas Planas
Considere duas ondas planas de mesma intensidade, uma está atrasada em relação aoutra por uma distância d , tal que
U1 =p
I0 exp (�ikz) U2 =p
I0 exp [�ik (z � d)] (8)
A intensidade ficaI = 2I0
1 + cos
✓2⇡
d
�
◆�(9)
“Regra” para ondas planasQuando o atraso é um múltiplo inteiro de �, interferência construtiva acontece e aintensidade total é I = 4I0. Por outro lado, quando d é um múltiplo semi-inteiro de� interferência destrutiva completa ocorre e I = 0.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 8 / 32
InterferômetrosOndas Planas
Considere duas ondas planas de mesma intensidade, uma está atrasada em relação aoutra por uma distância d , tal que
U1 =p
I0 exp (�ikz) U2 =p
I0 exp [�ik (z � d)] (8)
A intensidade ficaI = 2I0
1 + cos
✓2⇡
d
�
◆�(9)
“Regra” para ondas planasQuando o atraso é um múltiplo inteiro de �, interferência construtiva acontece e aintensidade total é I = 4I0. Por outro lado, quando d é um múltiplo semi-inteiro de� interferência destrutiva completa ocorre e I = 0.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 8 / 32
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 9 / 32
Interferômetro de Mach-Zehnder
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 10 / 32
Interferômetro de Michelson
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 11 / 32
Interferômetro de Sagnac
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 12 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
A conservação da energia impõe que as fases das onda refletida e transmitida porum divisor de feixes difiram por ⇡. Considere um divisor com coeficiente de reflexãor e coeficiente de transmissão t :
Assim, temos U
R
= rU e U
T
= tU . A conservação da energia implica
|r |2 + |t|2 = 1 (10)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 13 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
A conservação da energia impõe que as fases das onda refletida e transmitida porum divisor de feixes difiram por ⇡. Considere um divisor com coeficiente de reflexãor e coeficiente de transmissão t :
Assim, temos U
R
= rU e U
T
= tU . A conservação da energia implica
|r |2 + |t|2 = 1 (10)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 13 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
A conservação da energia impõe que as fases das onda refletida e transmitida porum divisor de feixes difiram por ⇡. Considere um divisor com coeficiente de reflexãor e coeficiente de transmissão t :
Assim, temos U
R
= rU e U
T
= tU . A conservação da energia implica
|r |2 + |t|2 = 1 (10)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 13 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
Agora considere dois campos U1 e U2 entrando no divisor de feixe
A relação entre os campos de entrada e saida é dada:
U
0
1 = tU1 + rU2
U
0
2 = rU1 + tU2
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 14 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
Agora considere dois campos U1 e U2 entrando no divisor de feixe
A relação entre os campos de entrada e saida é dada:
U
0
1 = tU1 + rU2
U
0
2 = rU1 + tU2
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 14 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
A conservação da energia impõe que:
|U1|2 + |U2|2 = |U0
1|2 + |U0
2|2
= |U1|2 + |U2|2 + (r⇤t + rt
⇤) (U1U⇤2 + U
⇤1 U2)
(11)
Logo,r
⇤t + rt
⇤ = 0 (12)
fazendo r = |r |e i'r e t = |t|e i't , temos
e
i('r�'t) = �1 ) 'r
� 't
= ⇡ (13)
Essa é uma relação muito importante na análise de interferômetros!
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 15 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
A conservação da energia impõe que:
|U1|2 + |U2|2 = |U0
1|2 + |U0
2|2
= |U1|2 + |U2|2 + (r⇤t + rt
⇤) (U1U⇤2 + U
⇤1 U2)
(11)
Logo,r
⇤t + rt
⇤ = 0 (12)
fazendo r = |r |e i'r e t = |t|e i't , temos
e
i('r�'t) = �1 ) 'r
� 't
= ⇡ (13)
Essa é uma relação muito importante na análise de interferômetros!
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 15 / 32
InterferômetrosDivisor de feixe
A conservação da energia impõe que:
|U1|2 + |U2|2 = |U0
1|2 + |U0
2|2
= |U1|2 + |U2|2 + (r⇤t + rt
⇤) (U1U⇤2 + U
⇤1 U2)
(11)
Logo,r
⇤t + rt
⇤ = 0 (12)
fazendo r = |r |e i'r e t = |t|e i't , temos
e
i('r�'t) = �1 ) 'r
� 't
= ⇡ (13)
Essa é uma relação muito importante na análise de interferômetros!
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 15 / 32
InterferômetrosAplicações
Analisando a dependência da intensidade a fase ' = 2⇡d/� = 2⇡nd/�0, podemosutilizar interferômetros para fazer medias de grande precisão de:
• Pequenas mudanças na diferença de caminho d
• Índice de refração• Comprimento de onda �0 (equivalente a frequeência ⌫)
ExemploSe d/�0 = 10
4, uma mudança no índice de refração de apenas �n = 10
�4
corresponde a uma mudança de fase de �' = 2⇡ que é facilmente observável.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 16 / 32
InterferômetrosAplicações
Analisando a dependência da intensidade a fase ' = 2⇡d/� = 2⇡nd/�0, podemosutilizar interferômetros para fazer medias de grande precisão de:
• Pequenas mudanças na diferença de caminho d
• Índice de refração• Comprimento de onda �0 (equivalente a frequeência ⌫)
ExemploSe d/�0 = 10
4, uma mudança no índice de refração de apenas �n = 10
�4
corresponde a uma mudança de fase de �' = 2⇡ que é facilmente observável.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 16 / 32
InterferômetrosAplicações
Analisando a dependência da intensidade a fase ' = 2⇡d/� = 2⇡nd/�0, podemosutilizar interferômetros para fazer medias de grande precisão de:
• Pequenas mudanças na diferença de caminho d
• Índice de refração• Comprimento de onda �0 (equivalente a frequeência ⌫)
ExemploSe d/�0 = 10
4, uma mudança no índice de refração de apenas �n = 10
�4
corresponde a uma mudança de fase de �' = 2⇡ que é facilmente observável.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 16 / 32
InterferômetrosAplicações: Ondas gravitacionais?
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 17 / 32
InterferômetrosAplicações: Ondas gravitacionais?
Figura: LIGO, Caltech. Hanford, Washington
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 18 / 32
InterferênciaOndas planas obliquas
Considere duas ondas planas, uma se propagando na direção z e outrapropagando-se com um ângulo ✓ em relação ao eixo z
A soma das funções de onda é dada porU =
pI0 exp(�ikz) +
pI0 exp [�i (zkcos✓ + xk sin ✓)] que leva a uma intensidade
totalI = 2I0 [1 + cos (k sin ✓x)] (14)
o padrão de intensidade oscila x , com período 2⇡/k sin ✓ = �/ sin ✓
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 19 / 32
InterferênciaOndas planas obliquas
Considere duas ondas planas, uma se propagando na direção z e outrapropagando-se com um ângulo ✓ em relação ao eixo z
A soma das funções de onda é dada porU =
pI0 exp(�ikz) +
pI0 exp [�i (zkcos✓ + xk sin ✓)] que leva a uma intensidade
totalI = 2I0 [1 + cos (k sin ✓x)] (14)
o padrão de intensidade oscila x , com período 2⇡/k sin ✓ = �/ sin ✓
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 19 / 32
InterferênciaOndas planas obliquas
Considere duas ondas planas, uma se propagando na direção z e outrapropagando-se com um ângulo ✓ em relação ao eixo z
A soma das funções de onda é dada porU =
pI0 exp(�ikz) +
pI0 exp [�i (zkcos✓ + xk sin ✓)] que leva a uma intensidade
totalI = 2I0 [1 + cos (k sin ✓x)] (14)
o padrão de intensidade oscila x , com período 2⇡/k sin ✓ = �/ sin ✓
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 19 / 32
InterferênciaOndas planas obliquas
Considere duas ondas planas, uma se propagando na direção z e outrapropagando-se com um ângulo ✓ em relação ao eixo z
A soma das funções de onda é dada porU =
pI0 exp(�ikz) +
pI0 exp [�i (zkcos✓ + xk sin ✓)] que leva a uma intensidade
totalI = 2I0 [1 + cos (k sin ✓x)] (14)
o padrão de intensidade oscila x , com período 2⇡/k sin ✓ = �/ sin ✓
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 19 / 32
Problemas
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 20 / 32
Problemas
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 21 / 32
Interferência de Múltiplas Ondas
Para calcular o efeito da superposição de M ondas monocromáticas de mesmafrequência,
U = U1 + U2 + · · ·+ U
M
(15)
Apenas o conhecimento das intensidades individuais não é suficiente, é preciso saberas fases relativas entras as ondas.
Considere M ondas com aplitudes complexasdadas por
U
m
=p
I0 exp [i (m � 1)'] (16)
onde m = 1, 2 ..., M e ' é a diferênca de fase. Fazendo h = e
i',temosU
m
=p
I0hm�1
U =p
I0�1 + h + h
2 + · · ·+ h
M�1� =p
I01 � h
M
1 � h
=p
I01 � e
iM'
1 � e
i'
(17)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 22 / 32
Interferência de Múltiplas Ondas
Para calcular o efeito da superposição de M ondas monocromáticas de mesmafrequência,
U = U1 + U2 + · · ·+ U
M
(15)
Apenas o conhecimento das intensidades individuais não é suficiente, é preciso saberas fases relativas entras as ondas. Considere M ondas com aplitudes complexasdadas por
U
m
=p
I0 exp [i (m � 1)'] (16)
onde m = 1, 2 ..., M e ' é a diferênca de fase. Fazendo h = e
i',temosU
m
=p
I0hm�1
U =p
I0�1 + h + h
2 + · · ·+ h
M�1� =p
I01 � h
M
1 � h
=p
I01 � e
iM'
1 � e
i'
(17)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 22 / 32
Interferência de Múltiplas Ondas
Para calcular o efeito da superposição de M ondas monocromáticas de mesmafrequência,
U = U1 + U2 + · · ·+ U
M
(15)
Apenas o conhecimento das intensidades individuais não é suficiente, é preciso saberas fases relativas entras as ondas. Considere M ondas com aplitudes complexasdadas por
U
m
=p
I0 exp [i (m � 1)'] (16)
onde m = 1, 2 ..., M e ' é a diferênca de fase. Fazendo h = e
i',temosU
m
=p
I0hm�1
U =p
I0�1 + h + h
2 + · · ·+ h
M�1� =p
I01 � h
M
1 � h
=p
I01 � e
iM'
1 � e
i'
(17)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 22 / 32
Interferência de Múltiplas OndasQue corresponde a uma intensidade
I = |U|2 = I0
����exp (�iM'/2)� exp (�iM'/2)
exp (�i'/2)� exp (�i'/2)
����2
(18)
Assim,
I = I0sin
2 (M'/2)
sin
2 ('/2)(19)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 23 / 32
Interferência de Múltiplas OndasQue corresponde a uma intensidade
I = |U|2 = I0
����exp (�iM'/2)� exp (�iM'/2)
exp (�i'/2)� exp (�i'/2)
����2
(18)
Assim,
I = I0sin
2 (M'/2)
sin
2 ('/2)(19)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 23 / 32
Interferência de Múltiplas OndasQue corresponde a uma intensidade
I = |U|2 = I0
����exp (�iM'/2)� exp (�iM'/2)
exp (�i'/2)� exp (�i'/2)
����2
(18)
Assim,
I = I0sin
2 (M'/2)
sin
2 ('/2)(19)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 23 / 32
Interferência de Múltiplas Ondas
Como vimos a intensidade depende fortemente da diferença de fase '. Quando' = 2⇡q, onde q é um inteiro, temos um pico de intensidade. É importante notarque:
• A intensidade no pico é I = M
2I0
• A intensidade média é I = (1/2⇡)R 2⇡0 Id' = MI0
• Quando ' = 2⇡/M a intensidade é zero.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 24 / 32
Interferência de Múltiplas Ondas
Como vimos a intensidade depende fortemente da diferença de fase '. Quando' = 2⇡q, onde q é um inteiro, temos um pico de intensidade. É importante notarque:
• A intensidade no pico é I = M
2I0
• A intensidade média é I = (1/2⇡)R 2⇡0 Id' = MI0
• Quando ' = 2⇡/M a intensidade é zero.
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 24 / 32
Problema
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 25 / 32
Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
Agora o problema vai envolver um número infinito de ondas, considere asuperposição de ondas em que as amplitude decrescem em uma taxa geométrica
U1 =p
I0, U2 = hU1, U3 = hU2 = h
2U1, . . . (20)
onde h = |h|e i', |h| < 1.
A amplitude total fica
U =p
I0�1 + h + h
2 + · · ·�
=
pI0
1 � |h|e i'
(21)
A intensidade total é
I =I0
(1 � |h|)2 + 4|h| sin2 ('/2)(22)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 26 / 32
Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
Agora o problema vai envolver um número infinito de ondas, considere asuperposição de ondas em que as amplitude decrescem em uma taxa geométrica
U1 =p
I0, U2 = hU1, U3 = hU2 = h
2U1, . . . (20)
onde h = |h|e i', |h| < 1. A amplitude total fica
U =p
I0�1 + h + h
2 + · · ·�
=
pI0
1 � |h|e i'
(21)
A intensidade total é
I =I0
(1 � |h|)2 + 4|h| sin2 ('/2)(22)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 26 / 32
Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
Agora o problema vai envolver um número infinito de ondas, considere asuperposição de ondas em que as amplitude decrescem em uma taxa geométrica
U1 =p
I0, U2 = hU1, U3 = hU2 = h
2U1, . . . (20)
onde h = |h|e i', |h| < 1. A amplitude total fica
U =p
I0�1 + h + h
2 + · · ·�
=
pI0
1 � |h|e i'
(21)
A intensidade total é
I =I0
(1 � |h|)2 + 4|h| sin2 ('/2)(22)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 26 / 32
Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
É conveniente escrever a equação para a intensidade total na forma
I =I
max
1 + (2F/⇡)2 sin
2 ('/2)(23)
onde
I
max
=I0
(1 � |h|)2F =
⇡p|h|
1 � |h| (24)
O termo F é chamado finesse e é muito importanhte na análise de cavidades óticas.
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Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
É conveniente escrever a equação para a intensidade total na forma
I =I
max
1 + (2F/⇡)2 sin
2 ('/2)(23)
ondeI
max
=I0
(1 � |h|)2F =
⇡p|h|
1 � |h| (24)
O termo F é chamado finesse e é muito importanhte na análise de cavidades óticas.
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Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
É conveniente escrever a equação para a intensidade total na forma
I =I
max
1 + (2F/⇡)2 sin
2 ('/2)(23)
ondeI
max
=I0
(1 � |h|)2F =
⇡p|h|
1 � |h| (24)
O termo F é chamado finesse e é muito importanhte na análise de cavidades óticas.
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Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
Para |�| ⌧ 1 podemos usar a aproximação sin ('/2) ⇡ '/2. E a intensidade podeser escrita como
I ⇡ I
max
1 + (F/⇡)2 '2(25)
A intensidade tem metade do valor do pico quando ' = ⇡/F , tal que largura totalna metade do máximo (full width at the half maximum - FWHM) torna-se
�' ⇡ 2⇡
F (26)
FinesseA finesse é a razão entre o periodo 2⇡ e FWHM dos picos do padrão deinterferência, portanto é uma medida da nitidez do padrão de interferência.
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Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
Para |�| ⌧ 1 podemos usar a aproximação sin ('/2) ⇡ '/2. E a intensidade podeser escrita como
I ⇡ I
max
1 + (F/⇡)2 '2(25)
A intensidade tem metade do valor do pico quando ' = ⇡/F , tal que largura totalna metade do máximo (full width at the half maximum - FWHM) torna-se
�' ⇡ 2⇡
F (26)
FinesseA finesse é a razão entre o periodo 2⇡ e FWHM dos picos do padrão deinterferência, portanto é uma medida da nitidez do padrão de interferência.
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Interferência de Múltiplas OndasAmplitude progressivamente menor e diferença de fase constante
Para |�| ⌧ 1 podemos usar a aproximação sin ('/2) ⇡ '/2. E a intensidade podeser escrita como
I ⇡ I
max
1 + (F/⇡)2 '2(25)
A intensidade tem metade do valor do pico quando ' = ⇡/F , tal que largura totalna metade do máximo (full width at the half maximum - FWHM) torna-se
�' ⇡ 2⇡
F (26)
FinesseA finesse é a razão entre o periodo 2⇡ e FWHM dos picos do padrão deinterferência, portanto é uma medida da nitidez do padrão de interferência.
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Interferência de Múltiplas OndasO interferômetro de Fabry-Perot
Um aparato muito importante que utiliza esses princípos é o interferômetro deFabry-Perot
Basta fazer |h| = |r | e ' = k2d = 2⇡⌫/ (c/2d)
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Interferência de Múltiplas OndasO interferômetro de Fabry-Perot
Um aparato muito importante que utiliza esses princípos é o interferômetro deFabry-Perot
Basta fazer |h| = |r | e ' = k2d = 2⇡⌫/ (c/2d)
Túlio Brito Brasil (IFUSP/LMCAL) Introdução a Ótica Supervisor: Adriano M. Alencar 29 / 32
Interferência de Múltiplas OndasO interferômetro de Fabry-Perot
Um aparato muito importante que utiliza esses princípos é o interferômetro deFabry-Perot
Basta fazer |h| = |r | e ' = k2d = 2⇡⌫/ (c/2d)
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Interferência de Múltiplas OndasInterferência em filmes finos
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Interferência de Múltiplas OndasInterferência em filmes finos
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