sobreposição de duas ondas – 1
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Sobreposição de duas ondas – 1Uma onda é uma expressa matematicamente no
âmbito do espaço e do tempo, i.e., situa-se no e decorre no .
A uma onda corresponde sempre uma amplitude escalar ou vectorial,
co
grandeza física
espaço tempo
nstante ou variável. Uma onda pode ser periódica ou não periódica,
monocromática ou não monocromática, finita ou infinita, estacionária
ou progressiva, uniforme ou não uniforme.
Pode, ainda, corresponder a ou a .
Aqui, em , estamos interessados apenas
em . Começamos por considerar
. A permit
propagação evanescência
PROPAGAÇÃO & ANTENAS
ondas electromagnéticas ondas planas e
monocromáticas análise de Fourier e, depois, uma generalização
em duas direcções (que podem ocorrer separadamente ou em simultâneo):
, gerando ondas não monocromáticas;
(i) no domínio do tempo (frequência)
(ii) no domínio do espaço (vector , gerando ondas não planas. de onda)
Sobreposição de duas ondas – 2
Consideremos, então, uma onda escalar representada matematicamente por:
, ,
Esta onda é escalar: .
Trata-se de uma onda unidimenional: existe uma única direcção espacial .
Es
i k i t iu t U t A e e A e
u
ñ
R
ta onda é monocromática: tem uma única frequência (angular) .
Esta onda é uniforme: .
Esta onda tem uma amplitude complexa: cos sin
A amplitude real é 0 : com 0 a onda desaparece.
A fa
k
A i
ñ
ñ ñ
R.
C
0 0 0 0 0
se da onda é: , .
A onda é plana: para é no plano .
Note-se que é o valor de , para 0 e 0 : 0, 0 .
Assim:
, exp , cos
t k t
t t t k
t t
u t i t k t
ñ ñ
Sobreposição de duas ondas – 3
, ,
Admitamos, agora, que o é :
Neste caso a onda já dado que a sua amplitude
diminui à medida que se pro
i k i t i
i ii k i
u t U t A e e A e
k
k i e e e e
u
número de onda complexo
não é uniforme
C
ñ
paga:
, cosu t e t ñ
,u te ñ
e ñ
0t t
Sobreposição de duas ondas – 4
0
, cos
A é a velocidade com que se propagam os planos
de fase constante ou, dito de outra forma, a velocidade
de um observador hipotético que deslocando
p
u t e t
v
t
velocidade de fase
ñ
0
0
-se em sincronismo com a onda
consiga observar sempre o mesmo valor da fase da onda.
0
Já a onda
, cos
corresponde a uma velocidade
p
i ii k i
d dt v
d t d t
e e e e
u t e t
ñ
0
de fase
0
e, portanto, propaga-se segundo .
p
d dt v
d t d t
Sobreposição de duas ondas – 5
1 2 1 2
1 2
1 1 1 1 1 1 1
2 22 2 2
Consideremos, então, a sobreposição de duas ondas planas e monocromáticas.
, , , , , ,
, , ,
, exp , ,
,, exp ,
u t u t u t U t U t U t
U t U t U t
U t i t t k t
t kU t i t
ñ
ñ
2 2
11 2
1 22
11 2
1 22
, exp ,
Façamos agora:
1
21
2
1
21
2
t
U t i t
S DS
DS D
ñ
ññ ñ
ñ ññ
Sobreposição de duas ondas – 6
1 2 2 2 2 21 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
Obtém-se então:
1 1
2 2
1
2
1
2
12 cos 2 sin
2 2 2
exp c2
i i i ii i
i i i
i i i i i
i
U U U e e S D e e S D e e
e S D e S D e
e S e e D e e
e S i D
i S
ñ ñ
os sin2 2
exp cos sin2 2 2
i D
u U i S i D
Sobreposição de duas ondas – 7
1 2 1 2
exp cos sin2 2 2
cos sin cos sin2 2 2 2
cos cos sin sin2 2 2 2
1cos
2
u U i S i D
i S i D
S D
u
R
R
ñ ñ
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1
1cos
2
1 1sin sin
2 2
1 12 cos cos
2 2
cos
u
u
ñ ñ
ñ ñ ñ
ñ ñ
Sobreposição de duas ondas – 8
1 0 1 0 1 0 1 0
2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 00
0 0 0
0
0
2 2 2
2 2 2
, 2 cos cos0
2 sin sin
1 2
0, c
0
0
k k
k k
k t
t
u t k t t
k t t
u t
ñ ñ
ñ ñ
ññ
ñ
0 0
0
0
os cos
2
, 0 cos 2 cos 22
k t t
ku u t
Sobreposição de duas ondas – 9
1 2 00 , 0 cos 2 cos 2u u t
ñ ñ
10
20
Sobreposição de duas ondas – 10
0 00
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2
1 2 0 0 0 0 0
1 2
2 22
2 22
2 2
2 2
aa kk
Tb
b
k k tk t
k k tk t
k t k at
t bt
Definição Definição
0 0 0
0 0
0 0
0
, 2 cos cos
2 sin sin
2 2, 2 cos cos
2 22 sin sin
u t k at bt
k at bt
u t a t bt
at bt
Conclusão
ñ
ñ
Sobreposição de duas ondas – 11
0 0
0
0
0
2 2, 2 cos cos
2 22 sin sin
velocidade de propagaç
&
ão
a bT
u t at at
at at
k aa
k
Sistema sem dispersão
Sem dispersão
Sem dispersão
Com dispersão
ñ
velocidade de fase
velocidade de grupo
a
T b
Sobreposição de duas ondas – 12
1U
2U
1 2U U U
X
Y
1 2x x x
1 2y y y
1x2x
1y
2y ñ
1ñ
2ñ
1
2
1
2
1 1
2 2i
i
i
U e
U
U e
e
ñ
ñ
ñ
Sobreposição de duas ondas – 13
1
2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 21 2
1 1 2 2
2 21 2 1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 2
cos sin
cos sin
cos sin
cos cos cos
sin sin sin
2 cos
sin sintan
cos c
i
i
i
U x i y e i
U x i y e i
U x i y e i
U U U
ñ ñ ñ
ñ ñ ñ
ñ ñ ñ
ñ ñ ñ
ñ ñ ñ
ñ ñ ñ ñ ñ
ñ ñ
ñ ñ 2os
Sobreposição de duas ondas – 14
2 21 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
2 cos
, ,sin sintan
cos cos
, , exp , , , cos ,
A sobreposição de duas ondas monocromáticas
é, em geral, uma onda mo
U U U u t U t
U t t i t u t t t
Conclusãonão
ñ ñ ñ ñ ñ
ñ ñ
ñ ñ
ñ ñ
1 2 1 2
2 21 2 1 2
1 2 1 2
nocromática
, 2
, 2 12
, 2 1
,dependem quer de (espaço) quer de (tempo) no
,
m
m m
m
tt
t
caso geral
ñ ñ=ñ
ñ ñ ñ
ñ ñ=ñ
ñ ñ
Sobreposição de duas ondas – 15
Sobreposição de duas ondas – 16
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