ondas luz e ondas eletromagnéticas · a onda estacionária é formada pela interferência de duas...

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Luiz Nunes de OliveiraDaniela Jacobovitz

6ONDAS

6.1 Introdução6.2 Propagação6.3 Onda periódica simples6.4 Interferência6.5 Energia6.6 Conclusão Referências

Luz e

Ond

as E

letro

mag

nétic

as

115

Luz e Ondas Eletromagnéticas

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

6.1 IntroduçãoNesta aula você irá estudar conceitos sobre as ondas periódicas simples, como elas são

descritas, a energia transportada, e o que ocorre quando duas ondas se superpõem.

Para iniciarmos o estudo sobre o tema desta aula, pense em um meio material, pense em um

meio material, que pode ser o ar, uma corda, uma geleia ou a água, por exemplo. Uma onda é uma

deformação do meio que varia no tempo e no espaço. Um pulso que avança ao longo de uma corda

e uma ola que corre ao redor de um estádio de futebol são bons exemplos. Outros aparecem nas

Figuras 6.1 e 6.2, que mostram pulsos que se movem em uma e duas dimensões, respectivamente.

O pulso que se propaga é apenas um tipo de onda. Como ilustração de outro tipo, a

Figura 6.3 mostra uma onda estacionária. Nesse caso, a deformação é modulada por uma

função do tempo, e a onda oscila sem sair do seu lugar.

Figura 6.1: Pulso que se propaga. Como a deformação do meio ocorre em pontos sucessivamente mais distantes da origem, temos a ilusão de que o pulso tem velocidade horizontal v = 20 m/s. Na verdade, em cada ponto, as partículas que constituem o meio somente se deslocam na direção vertical. / Fonte: USPSC

Figura 6.2: Pulso que avança em duas dimensões. Como na Figura 6.1, o movimento vertical das partículas do meio dá a ilusão de que o pulso tem velocidade horizontal. / Fonte: USPSC

Figura 6.3: Superfície que oscila. Como inexiste ilusão de movimento horizontal, a onda é dita estacionária. / Fonte: USPSC

http://www.saocarlos.usp.br/



116

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A terceira modalidade, que aparece na Figura 6.4, é muito importante e será discutida mais

detadalhadamente na Seção 6.3: Onda periódica simples. Na figura, vemos uma deformação

que se estende por todo o espaço e que se repete periodicamente em função da posição x, para

tempo fixo, e em função do tempo, para posição fixa. A onda é contínua e periódica.

Figura 6.4: Onda propagante contínua e periódica. Como a deformação se repete periodicamente na posição e no tempo, podemos definir um comprimento de onda λ e um período T. O ponto de referência vermelho nos ajuda a acompanhar a progressão da onda. / Fonte: USPSC

Fonte: Thinkstock


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6.2 PropagaçãoEnquanto a onda da Figura 6.3 é estacionária, as ondas das Figuras 6.1, 6.2 e 6.4 se

propagam. A propagação é um fenômeno comum e merece atenção especial. A Figura 6.5

mostra um pulso que corre para a direita. No instante t = 0, o seu máximo está na origem O

de um sistema de referências. Para acompanhar o movimento do pulso, um segundo sistema de

referências, com origem O', está superposto ao primeiro nesse instante.

No referencial O', o pulso está parado, e é sempre descrito pela expressão

6.1

e, como xʹ = x − vtʹ, é fácil reescrever a Equação 6.1 no referencial O:

6.2

É fácil interpretar essa igualdade. Ela nos diz que o movimento que ocorre na posição x = a

em t = 0 voltará a ocorrer na posição x = a + vt no instante t. Na Figura 6.5, por exemplo, o

máximo do pulso está em x = 0 em t = 0. O mesmo máximo ocorrerá em x = vt no instante t.A Equação 6.2 descreve matematicamente os pulsos que caminham da esquerda para a direita

nas Figuras 6.1, 6.2, 6.4 e 6.5. Se a onda caminhar para a esquerda, o argumento dentro dos

Figura 6.5: Pulso propagante para a direita. O painel a. mostra a posição do pulso em t = 0 e dois sistemas de coordenadas cujas origens coincidem nesse instante. O painel b. mostra que, no instante t, o pulso se deslocou de vt para a direita. O sistema com origem no ponto O permaneceu na posição que ocupava em (a), enquanto o sistema centrado em O' caminhou junto com o pulso. / Fonte: USPSC

a b

y x f x'( ') ( '),=

y x f x t( ) ( ).= −v


118

6 Ondas


parênteses à direita na Equação 6.2 será x + vt. No caso mais geral, em que há pulsos que caminham

para a direita e outros que caminham para a esquerda, a equação da onda é da forma

6.3

onde f e g são duas funções quaisquer. Em particular, se a onda avançar somente para a direita, como

na Figura 6.5, a função g será nula e, se ela avançar somente para a esquerda, a função f será nula.

6.3 Onda periódica simplesEstamos agora prontos para descrever

a onda da Figura 6.4, muito importante

porque é a forma mais simples que se pode

imaginar. A partir dela, poderemos construir

formas mais complexas.

Para isso, primeiramente, precisamos en-

contrar a velocidade com que a onda avança.

A Figura 6.6 nos ajuda.

À medida que a onda evolui, cada ponto

do meio em que ela está apoiada executa

um movimento vertical. Para a onda ser

periódica, o movimento de cada ponto tem

também de ser periódico. Vamos chamar de

T o período.

A figura dá particular atenção ao ponto

assinalado por uma estrela, que está a uma

distância λ da origem, onde λ é o compri-

mento da onda. Ela acompanha também

o movimento aparente de um ponto que

avança junto com a onda: o ponto que se

encontra na origem no instante t = 0, assi-

nalado por um círculo vermelho. Como a

sequência de nove painéis na Figura 6.6

y x t f x t g x t( , ) ( ) ( ),= − + +v v

Figura 6.6: Avanço da onda da Figura 6.4 durante um período T da oscilação vertical do ponto assinalado pela estrela. Os nove painéis mostram instantâneos nos instantes t0 = 0, t1 = ∆t, t2 = 2∆t, ... , t8 = 8∆t, onde ∆t = T /8. / Fonte: USPSC


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mostra, a onda avança um comprimento de onda λ enquanto a estrela completa um ciclo de

seu movimento, isto é, ela avança λ no período T. Sua velocidade, portanto, é

6.4

De posse dessa informação, podemos escrever a expressão que descreve a onda. Uma vez que

esta caminha para a direita, essa expressão deve ter a forma da Equação 6.2. Falta encontrar a

função f (x). Para isso, basta examinar o primeiro painel da Figura 6.6, que mostra a onda no

instante t = 0. Vemos que y se anula na origem, tem amplitude A e se repete com período λ. Nesse instante, portanto, a onda tem a forma

6.5

O lado direito é a função f (x) que procuramos. De acordo com a Equação 6.2, para obter

a expressão para a onda em um instante t qualquer, basta substituir x por x − vt no lado direito:

6.6

e, como v = λ/T, encontramos que

6.7y x t A x tT

( , ) = −

sen .2π

λ

Embora seja fácil de ser lembrada, essa igualdade ocupa muito espaço. Por isso, é tradicional

definir-se o número de onda

6.8

e a frequência angular

6.9

v = λT

.

y x t A x( , ) .= =

0 2 sen π

λ

y x t A x t( , ) ( )= −

sen ,2πλ

v

k = 2πλ

ωπ

=2T

.

120

6 Ondas


Já sabemos que o período T é o inverso da frequência ν. Assim, a Equação 6.9 nos diz que

6.10

O número de onda, que na prática é chamado de vetor de onda (porque a grandeza equiva-

lente, em duas ou três dimensões, é um vetor), tem dimensão de m−1, e a frequência angular, que

na prática é chamada de frequência (salvo quando há risco de confusão com a frequência ν), tem

dimensão de rad/s.

Uma vez que empregaremos k e ω em lugar de λ e T, convém reescrever a Equação 6.4

nas novas variáveis. Basta dividir a Equação 6.8 pela Equação 6.9 para mostrar que

6.11

Com essas definições, a Equação 6.7 pode ser escrita na forma abreviada

6.12

Mas essa forma é específica demais. Na Figura 6.6, a deformação y é nula em x = 0 no

instante inicial e isso nem sempre acontece. Para acomodar a situação mais geral, é costume

escrever a Equação 6.12 na forma

6.13

que descreve qualquer onda unidimensional periódica simples que corre da esquerda para a direita

onde φ0 é a constante de fase.

A Figura 6.7 mostra duas ondas com mesma amplitude, compri-

mento de onda e frequência, porém, com diferença de fase φ0.

Para uma onda que avança da direita para a esquerda, a forma

geral é:

6.14

ω π= 2 v.

ω= kv.

y x t A kx t( , ) )= − sen( .ω

y x t A kx t( , ) ( )= − − sen ,ω ϕ0

Figura 6.7: Duas ondas com mesma amplitude, comprimento de onda e frequência, porém, com diferença de fase φ0.

y x t A kx t( , ) ( ).= + − sen ω ϕ0

121



A Equação 6.13 é da forma y = f (x − vt), enquanto a Equação 6.14 tem a forma

y = g(x + vt). Podemos somar, membro a membro, as duas igualdades para encontrar uma

combinação na forma da Equação 6.3:

6.15

A identidade trigonométrica sen p + sen q = 2 sen[(p+q)/2]cos[p − q)/2] reduz agora

o lado direito a uma forma que separa a oscilação no espaço da oscilação no tempo:

6.16

O fator 2Acos (ωt) funciona aqui como amplitude da função sen (kx − φ0). A oscilação

resultante aparece na Figura 6.8. Vemos que a Equação 6.16 define uma onda estacionária,

a versão unidimensional da oscilação na Figura 6.3.

y x t A kx t kx tS ( , ) [ ( ) ( )]= − − + + − sen sen .ω ϕ ω ϕ0 0

y x t A t kxs ( , ) cos( ) ( )= −2 0ω ϕ sen .

Figura 6.8: Onda estacionária unidimensional. Os seis painéis mostram a evolução da equação durante um período T = 2π/ω. No instante t = 0, a amplitude é 2A, mas o fator cos(ωt) faz com que ela se reduza até valer −2A. Em seguida, ela cresce até voltar ao valor inicial. / Fonte: USPSC


122

6 Ondas


Exercício Resolvido 01Sabe-se que a onda da figura abaixo se desloca para a esquerda com velocidade v = 2 m/s. Qual a

expressão que a descreve?

→ Resolução:

A expressão que descreve uma onda que se desloca para a direita é

Para uma onda que se desloca para a esquerda, basta invertermos o sinal da velocidade. A expressão,

neste caso, é dada por

Pela figura, encontramos o comprimento de onda, λ = 3 m, e a amplitude, A = 3 m. O módulo da

velocidade foi dado e vale v = 2 m/s. Substituindo esses valores na equação correspondente, temos:

Veja a formação das ondas numa corda.

Fonte: USPSC

y x t A x t( , ) ( )= −

sen .2πλ

v

y x t A x t( , ) ( )= +

sen .2πλ

v

http://phet.colorado.edu/sims/wave-on-a-string/wave-on-a-string_pt_BR.html


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que é a expressão que descreve a onda da figura.

Exercício resolvido 02A onda estacionária é formada pela interferência de duas ondas que caminham na mesma direção e

sentidos opostos. A função de onda de uma determinada onda estacionária é

y(x, t) = 6 sen (200x) cos (314t),

com y e x em cm e t em segundos. Quais as velocidades e amplitudes das duas ondas caminhantes

que formam esta onda estacionária?

→ Resolução:

Quando duas ondas y1 = Asen(kx − ωt − φ0) e y2 = A(sen(kx + ωt − φ0) caminham na mesma direção

e sentidos opostos, a soma é

yS = 2Acos(ωt)sen(kx − φ0). Neste caso, φ0 = 0 e as ondas caminhantes são

y1 = 3sen(200x − 314t) e y2 = 3sen(200x + 314t). A amplitude das ondas é 3 cm. Através dos valores

de k e ω que são os mesmos para as duas ondas, podemos calcular a velocidade:

λπ

λπ

λ

ωπ π

λ

= = =

= = =

=

2 2200

0 03

23142

49 97

k; ; ,

; ; ,

cm

Hzv v v

v vv; , m/sv =1 5

6.4 InterferênciaA superposição de duas ou mais ondas dá origem a uma onda resultante que pode ser muito

diferente das partes. Dizemos que há interferência entre as componentes. Nos pontos em que

a soma (em módulo) é maior do que as partes, a interferência é construtiva. Quando é menor,

a interferência é destrutiva.

A Figura 6.9 mostra um exemplo. Aqui, dois pulsos atravessam a janela de exibição em sen-

tidos opostos. Dois círculos de referência, um vermelho e o outro verde, permitem acompanhar

y x t x t( , ) ( ) ,= +

3 23

2sen π

124

6 Ondas


o avanço das duas deformações. Quando eles se superpõem na região central, a interferência é

mais acentuada. O painel no centro da figura mostra interferência construtiva logo à esquerda

da posição x = 40 e interferência destrutiva logo à direita.

Exercício resolvido 03

Em uma mesma corda dois pulsos quadrados com mesma amplitude avançam em direções opostas com velocidade v = 20 cm/s. A largura do pulso da esquerda é l = 30 cm e a largura do da direita é l = 10 cm. No instante t = 0 s os pulsos estão separados pela distância d = 60 cm como mostra a figura abaixo. Qual é a forma da corda quando os pulsos se encontram? Faça um desenho para representar a corda nos instantes t = 1 s, 2 s e 3 s.

Figura 6.9: Interferência entre dois pulsos que avançam em sentidos contrários. Para facilitar a visualização, o círculo vermelho acompanha o pulso que vem da esquerda e o círculo verde acompanha o que vem da direita. / Fonte: USPSC


125



→ Resolução:No instante t = 1 s cada pulso avançou 20 cm. A distância que os separa é 20 cm.

No instante t = 2 s eles avançaram mais 20 cm em sentidos opostos. Neste instante há superposição dos pulsos.

No instante t = 3 s os pulsos avançaram mais 20 cm em sentidos opostos. Neste instante não há superposição.

A interferência também ocorre com ondas na água, ondas sono-

ras e ondas eletromagnéticas. Na aula 8 estudaremos o padrão de

interferência da luz ao passar por duas fendas. Um exemplo interes-

sante ocorre quando duas fontes iguais separadas por uma distância

d produzem ondas circulares na superfície da água, como mostra a

Figura 6.10.

A interferência construtiva ocorre nos pontos onde

as cristas das ondas são superpostas. Nestes pontos a

amplitude da onda resultante é o dobro da amplitude

da onda original produzida pela fonte. A Figura 6.11

mostra os pontos onde há interferência construtiva.

Note que a reta tracejada mostra os pontos onde a

diferença de caminho ∆r percorrido pelas ondas são

números inteiros de comprimento de onda.

Figura 6.10: Ondas circulares produzidas numa cuba de ondas.

Figura 6.11: Os pontos S1 e S2 representam as fontes. Nos pontos sobre as linhas tracejadas, há interferência construtiva.

126

6 Ondas


Um tipo notável de interferência é o batimento, resultado da soma de duas oscilações com

comprimentos de onda aproximadamente iguais. A Figura 6.12 oferece um exemplo. O quadro

superior mostra duas ondas, uma com comprimento λ1, desenhada em verde, e outra com com-

primento λ2 = 1,2 λ1, desenhada em vermelho.

Vamos examinar a evolução das duas funções na figura, da esquerda para a direita. Inicialmente,

os seus máximos coincidem. Entretanto, como o comprimento da primeira é mais curto, a segunda

se atrasa em relação a ela. Perto de x = 10, o máximo da primeira coincide com o mínimo da

segunda. Mais adiante, perto de x = 20, os máximos voltam a coincidir, e assim sucessivamente.

O quadro inferior mostra a resultante das duas ondas. Nos pontos em que os máximos

coincidem no painel superior, a interferência é construtiva e a amplitude da soma é a soma das

duas amplitudes. Nos pontos em que elas estão em oposição, a interferência é destrutiva e a

amplitude resultante é praticamente nula. O padrão resultante, uma sucessão de interferências

construtivas e destrutivas, é conhecido como batimento. O desenho do painel inferior da

Figura 6.12 avança com a velocidade das parcelas no sentido em que elas se movem.

O fenômeno descrito acima pode ser visto aqui. Esta animação representa duas fontes que oscilam juntas (em fase) com a mesma frequência. Você ajustar a distân-cia entre as fontes e o comprimento de onda emitido por ela. Veja que há uma indicação nos pontos onde ocorrem interferência construtiva.Veja o vídeo que mostra a interferência das ondas numa cuba de ondas.

Figura 6.12: Batimento entre duas ondas com comprimentos de onda aproximadamente iguais. O painel superior superpõe as duas oscilações. A onda y1, com comprimento λ1 é representada em vermelho, e a onda y2, com comprimento λ2 = 1,2λ1, em verde. O painel inferior mostra o batimento resultante da soma das duas. / Fonte: USPSC

a

b

http://www.walter-fendt.de/ph14br/interference_br.htm

http://youtu.be/3-tymln0b1U


127



Na próxima aula, veremos que o som se propaga por meio de ondas como as do painel

superior da Figura 6.12. Quando duas ondas sonoras com frequências aproximadamente

iguais se superpõem, resulta um som cuja intensidade sobe e desce, como se alguém

estivesse, repetidamente, aumentando e diminuindo o volume de um aparelho de som.

Exercício Resolvido 04Qual é a frequência do batimento que resulta da superposição de duas ondas com frequências de

400 Hz e 401 Hz?

→ Resolução:

As ondas são representadas pelas expressões y1 = sen(k1x − ω1t) e y2 = sen(k2x − ω2t). Para calcular a

superposição das duas ondas, é preciso fazer a soma y1 + y2, que corresponde a calcular a interferência

entre essas ondas. Neste caso, é importante usarmos a seguinte identidade trigonométrica:

Assim, temos

O argumento do cosseno define o batimento. Sua frequência é (ω1 − ω2)/2, ou seja, a metade da

diferença entre as frequências, que neste caso vale 0,5 Hz.

6.5 EnergiaAs ondas transportam energia. Isso é particularmente fácil de entender quando se pensa em

um pulso. No exemplo da Figura 6.13, o pulso corre de um bordo a outro do meio alaranjado.

Para se formar esse pulso, uma certa quantidade de energia foi necessária: deformar o meio custa

energia. No painel (a), essa energia está concentrada no bordo superior direito do meio, mas, à

sen sen sen( ) ( ) cos .p q p q p q+ =

+

−

2

2 2

y y k k x t k k x t1 2

1 2 1 2 1 2 1 222 2 2 2

+ =+

−+

−−

− sen ( ) ( ) cos ( ) ( )ω ω ω ω

.

128

6 Ondas


medida que o tempo passa e o pulso corre para a outra extremidade, a sua energia é transportada

de uma borda para a outra.

As ondas contínuas progressivas, como a onda das Figuras 6.4 e 6.6, também transportam

energia da mesma forma que os pulsos. Para manter a onda da Figura 6.4 em movimento,

alguém ou um motor precisa estar continuamente perturbando a extremidade esquerda do

meio. Se parar, a onda deixa de ser contínua porque acaba por se esgotar.

6.6 Conclusão Nesta aula estudamos as ondas periódicas simples, como elas são descritas, a energia trans-

portada, e o que ocorre quando duas ondas se superpõem.

Para descrever a função da onda precisamos da amplitude A, da frequência angular (ω) e do

vetor de onda (k). Através destes parâmetros podemos calcular a velocidade de propagação da onda.

Um aspecto importante estudado nesta aula é a superposição das ondas. Vimos que quando

duas ondas iguais caminham na mesma direção, mas em sentidos opostos, a superposição dá

origem a uma onda estacionária. Quando duas ondas que caminham na mesma direção e

sentido, mas têm comprimentos de onda aproximadamente iguais a superposição origina o

fenômeno de batimento.

Na próxima aula vamos estudar dois tipos de ondas mecânicas: ondas numa corda e ondas

sonoras. Você saberia descrever a onda formada numa corda de violão?

Figura 6.13: Pulso que se propaga em um meio bidimensional. Ao avançar, ele transporta a deformação da borda superior da figura para a borda inferior. Junto com a deformação, ele transporta energia. / Fonte: USPSC

a b c d e

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e realize a(s) atividade(s) proposta(s).


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ReferênciasFRedeRick, J. k; Gettys, W. e; MalcolM, J. S. Física. Vol. 2, 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1999.

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