sobreposição de duas ondas – 1

16
obreposição de duas ondas – Um a onda é um a expressam atem aticam enteno âm bito do espaço e do tem po, i.e., situa-se no e decorre no . A um a onda corresponde sem pre um aam plitude escalarou vectorial, co grandezafísica espaço tem po nstanteou variável. U m a onda pode serperiódica ou não periódica, m onocrom ática ou não m onocrom ática, finita ou infinita, estacionária ou progressiva, uniform e ou não uniform e. Pode, ainda, corresponder a ou a . A qui, em , estam osinteressadosapenas em . Com eçam osporconsiderar . A perm it propagação evanescência PRO PAG AÇÃO & ANTENAS ondaselectrom agnéticas ondasplanase m onocrom áticas análisedeFourier e, depois, um ageneralização em duasdirecções(que podem ocorrerseparadam ente ou em sim ultâneo): , gerando ondasnão m onocromáticas; (i)no dom íniodo tem po (frequência) (ii)no dom íniodoespaço (vector , gerando ondasnão planas. deonda)

Upload: stacia

Post on 19-Jan-2016

22 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

Sobreposição de duas ondas – 1. Sobreposição de duas ondas – 2. Sobreposição de duas ondas – 3. Sobreposição de duas ondas – 4. Sobreposição de duas ondas – 5. Sobreposição de duas ondas – 6. Sobreposição de duas ondas – 7. Sobreposição de duas ondas – 8. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 1Uma onda é uma expressa matematicamente no

âmbito do espaço e do tempo, i.e., situa-se no e decorre no .

A uma onda corresponde sempre uma amplitude escalar ou vectorial,

co

grandeza física

espaço tempo

nstante ou variável. Uma onda pode ser periódica ou não periódica,

monocromática ou não monocromática, finita ou infinita, estacionária

ou progressiva, uniforme ou não uniforme.

Pode, ainda, corresponder a ou a .

Aqui, em , estamos interessados apenas

em . Começamos por considerar

. A permit

propagação evanescência

PROPAGAÇÃO & ANTENAS

ondas electromagnéticas ondas planas e

monocromáticas análise de Fourier e, depois, uma generalização

em duas direcções (que podem ocorrer separadamente ou em simultâneo):

, gerando ondas não monocromáticas;

(i) no domínio do tempo (frequência)

(ii) no domínio do espaço (vector , gerando ondas não planas. de onda)

Page 2: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 2

Consideremos, então, uma onda escalar representada matematicamente por:

, ,

Esta onda é escalar: .

Trata-se de uma onda unidimenional: existe uma única direcção espacial .

Es

i k i t iu t U t A e e A e

u

ñ

R

ta onda é monocromática: tem uma única frequência (angular) .

Esta onda é uniforme: .

Esta onda tem uma amplitude complexa: cos sin

A amplitude real é 0 : com 0 a onda desaparece.

A fa

k

A i

ñ

ñ ñ

R.

C

0 0 0 0 0

se da onda é: , .

A onda é plana: para é no plano .

Note-se que é o valor de , para 0 e 0 : 0, 0 .

Assim:

, exp , cos

t k t

t t t k

t t

u t i t k t

ñ ñ

Page 3: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 3

, ,

Admitamos, agora, que o é :

Neste caso a onda já dado que a sua amplitude

diminui à medida que se pro

i k i t i

i ii k i

u t U t A e e A e

k

k i e e e e

u

número de onda complexo

não é uniforme

C

ñ

paga:

, cosu t e t ñ

,u te ñ

e ñ

0t t

Page 4: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 4

0

, cos

A é a velocidade com que se propagam os planos

de fase constante ou, dito de outra forma, a velocidade

de um observador hipotético que deslocando

p

u t e t

v

t

velocidade de fase

ñ

0

0

-se em sincronismo com a onda

consiga observar sempre o mesmo valor da fase da onda.

0

Já a onda

, cos

corresponde a uma velocidade

p

i ii k i

d dt v

d t d t

e e e e

u t e t

ñ

0

de fase

0

e, portanto, propaga-se segundo .

p

d dt v

d t d t

Page 5: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 5

1 2 1 2

1 2

1 1 1 1 1 1 1

2 22 2 2

Consideremos, então, a sobreposição de duas ondas planas e monocromáticas.

, , , , , ,

, , ,

, exp , ,

,, exp ,

u t u t u t U t U t U t

U t U t U t

U t i t t k t

t kU t i t

ñ

ñ

2 2

11 2

1 22

11 2

1 22

, exp ,

Façamos agora:

1

21

2

1

21

2

t

U t i t

S DS

DS D

ñ

ññ ñ

ñ ññ

Page 6: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 6

1 2 2 2 2 21 2 1 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

Obtém-se então:

1 1

2 2

1

2

1

2

12 cos 2 sin

2 2 2

exp c2

i i i ii i

i i i

i i i i i

i

U U U e e S D e e S D e e

e S D e S D e

e S e e D e e

e S i D

i S

ñ ñ

os sin2 2

exp cos sin2 2 2

i D

u U i S i D

Page 7: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 7

1 2 1 2

exp cos sin2 2 2

cos sin cos sin2 2 2 2

cos cos sin sin2 2 2 2

1cos

2

u U i S i D

i S i D

S D

u

R

R

ñ ñ

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1

1cos

2

1 1sin sin

2 2

1 12 cos cos

2 2

cos

u

u

ñ ñ

ñ ñ ñ

ñ ñ

Page 8: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 8

1 0 1 0 1 0 1 0

2 0 2 0 2 0 2 0

1 2 0 0 0

1 2

0 0 0 00

0 0 0

0

0

2 2 2

2 2 2

, 2 cos cos0

2 sin sin

1 2

0, c

0

0

k k

k k

k t

t

u t k t t

k t t

u t

ñ ñ

ñ ñ

ññ

ñ

0 0

0

0

os cos

2

, 0 cos 2 cos 22

k t t

ku u t

Page 9: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 9

1 2 00 , 0 cos 2 cos 2u u t

ñ ñ

10

20

Page 10: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 10

0 00

1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2

1 2 0 0 0 0 0

1 2

2 22

2 22

2 2

2 2

aa kk

Tb

b

k k tk t

k k tk t

k t k at

t bt

Definição Definição

0 0 0

0 0

0 0

0

, 2 cos cos

2 sin sin

2 2, 2 cos cos

2 22 sin sin

u t k at bt

k at bt

u t a t bt

at bt

Conclusão

ñ

ñ

Page 11: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 11

0 0

0

0

0

2 2, 2 cos cos

2 22 sin sin

velocidade de propagaç

&

ão

a bT

u t at at

at at

k aa

k

Sistema sem dispersão

Sem dispersão

Sem dispersão

Com dispersão

ñ

velocidade de fase

velocidade de grupo

a

T b

Page 12: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 12

1U

2U

1 2U U U

X

Y

1 2x x x

1 2y y y

1x2x

1y

2y ñ

1

2

1

2

1 1

2 2i

i

i

U e

U

U e

e

ñ

ñ

ñ

Page 13: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 13

1

2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 21 2

1 1 2 2

2 21 2 1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2

cos sin

cos sin

cos sin

cos cos cos

sin sin sin

2 cos

sin sintan

cos c

i

i

i

U x i y e i

U x i y e i

U x i y e i

U U U

ñ ñ ñ

ñ ñ ñ

ñ ñ ñ

ñ ñ ñ

ñ ñ ñ

ñ ñ ñ ñ ñ

ñ ñ

ñ ñ 2os

Page 14: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 14

2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

2 cos

, ,sin sintan

cos cos

, , exp , , , cos ,

A sobreposição de duas ondas monocromáticas

é, em geral, uma onda mo

U U U u t U t

U t t i t u t t t

Conclusãonão

ñ ñ ñ ñ ñ

ñ ñ

ñ ñ

ñ ñ

1 2 1 2

2 21 2 1 2

1 2 1 2

nocromática

, 2

, 2 12

, 2 1

,dependem quer de (espaço) quer de (tempo) no

,

m

m m

m

tt

t

caso geral

ñ ñ=ñ

ñ ñ ñ

ñ ñ=ñ

ñ ñ

Page 15: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 15

Page 16: Sobreposição  de  duas ondas  – 1

Sobreposição de duas ondas – 16