sistemas de controle ii - compensadores
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7/22/2019 Sistemas de Controle II - Compensadores
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Compensadores
Prof. Victor de Campos
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1. Introdu o
Objetivos:
Apresentar e discutir algumas t cnicas de projeto decontroladores para SLIT s (avan o, atraso, atraso-avan o ePID).
Compensa o a defini o e o ajuste de dispositivos queso inclu dos no sistema a fim de que este atenda aespecifica es de desempenho.
Uma das partes cr ticas do projeto a defini o dasespecifica es de desempenho.
O projeto de sistemas de controle desenvolve-se numesquema de tentativa e erro.
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2. Pr -Compensadores
Um dos objetivos dos sistemas de controle fazer com quea sa da seja insens vel a o dos dist rbios externos.
Quando tivermos um modelo matem tico dos dist rbios,podemos utilizar um esquema de controle conhecido porpr -compensa o.
Os pr -compensadores utilizam as informa es dispon veis
sobre as perturba es e a dinmica da planta para calculara vari vel de controle.
O esquema de realimenta o compensa apenas os desviosda sa da com rela o quela resultante da a o do pr -compensador.
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2. Pr -Compensadores
O diagrama dado no quadro mostra a estrutura de umsistema de controle com pr -compensador.
A vari vel de controle U(s) formada por 2 parcelas: umaproveniente do pr -compensador e outra do compensadorda malha de realimenta o.
Em muitos casos, principalmente quando o controlador
implementado atrav s de um microcomputador, o bloco depr -compensa o pode ser no-linear.
Um exemplo em que o controle por pr -compensa o podeser utilizado o posicionamento dinmico de embarca es.
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2. Pr -Compensadores
Neste caso, podemos utilizar medi es de intensidade edire o do vento em conjunto com um modelo que forneceestimativas dos esfor os sobre a embarca o para obteruma aproxima o para os empuxos a serem gerados pelospropulsores.
O controlador de malha de realimenta o apenas corrigir os valores do empuxo, compensando os erros demodelagem e os demais efeitos no modelados (ondas ecorrente mar tima).
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Seja o sistema de controle com compensa o por avan ode fase mostrado no quadro.
Temos:
Em geral, 0.1 < 1.
Em baixas frequncias, o ganho de G C(s) igual a 1, e oganho do compensador vale K C .
Nos diagramas de Bode de G C(s) mostrados a seguir,percebe-se que o compensador produz um avan o de faseem todas as frequncias.
T s sT
sGC 11
)(
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3. Compensadores por Avan o de Fase
.
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3. Compensadores por Avan o de Fase
O diagrama de Bode de ganho mostra que G C(s) temcaracter sticas de um filtro passa altas.
Pode-se mostrar que o avan o m ximo e a frequncia emque ele ocorre so dados por:
O gr fico de m em fun o de mostrado a seguir.
11
arcsenm T T T m
111
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3. Compensadores por Avan o de Fase
.
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Avan o via LGR: A id ia melhorar a resposta transit riautilizando a propriedade emp rica de que o zero docompensador puxa o LGR para a esquerda no planocomplexo. Assim, o amortecimento e a velocidade deresposta do sistema so aumentados.
Avan o via Resposta em Frequncia: A id ia aumentar amargem de fase, deformando o diagrama de Nyquist nosentido anti-hor rio (ou seja, avan ando a fase) na regiode frequncias em torno de C .
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Compensa o por avan o de fase atrav s do LGR
A abordagem de projeto que utiliza o LGR recomend vel
quando as especifica es de desempenho so fornecidasna forma de parmetros da resposta temporal.
A idia b sica determinar os parmetros do compensadorde modo que um par de p los dominantes perten a ao
LGR.
A localiza o desse par de p los dominantes obtida demaneira a satisfazer as especifica es de respostatransit ria.
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Os passos para o projeto de compensadores por avan o defase so:
Com base nas especifica es de resposta transit ria,determinar as localiza es dos p los dominantes em MF;
Desenhar o LGR e verificar se um ajuste de ganho suficiente para alocar os p los nas posi es desejadas;
caso no seja, calcular a diferen a angular a ser supridapelo compensador;
Determinar as posi es de p lo e zero do compensador demodo que este contribua com o ngulo requerido;
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Determinar o ganho de malha aberta do sistemacompensado por meio da condi o de m dulo do LGR.
Exemplo: Servomecanismo baseado num motor CCcontrolado pela armadura
Para realimenta o unit ria, o LGR do sistema tem a formadada no quadro. Para k = 4, os p los em MF so:
)2(4
)( s s
sG
31 j s
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Temos um sobressinal de 16 % (pois = 0.5), e o tempode acomoda o para tolerncia de 2 % :
Deseja-se reduzir o tempo de acomoda o para 2 s.
Assim, mantendo fixo, devemos aumentar n para 4rad/s.
Os p los em MF passaro a ser:
st n s 4
4
%)2(
322.1 2 j j s nn
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Observando o LGR, percebe-se que um ajuste de ganhono suficiente para alocar os p los na posi o desejada.
Para , arg(G(s)) = - 210 . Ento, ocompensador deve contribuir com 30 de avan o de fase.
Pode-se determinar graficamente muitas posi es para oplo e o zero do compensador de modo que o requisito de
desempenho seja satisfeito.
Uma posi o poss vel (que corresponde ao maior valor de) aquela que tem o p lo em s = - 5.4 e o zero em s = -2.9. Neste caso, = 0.54 .
322 j s
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Condi o de m dulo para :
Pode-se verificar que, para este valor de k, o terceiro p loem MF (s = - 3.46) est bem pr ximo do zero docompensador, de modo que seu efeito sobre a respostatransit ria pequeno. Assim, est confirmada a hip tese deque os p los complexos conjugados so dominantes.
322 j s
7.181)4.5)(2(
)9.2(k
s s s
sk
51.24
C C K
K k
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Vejamos o gr fico da resposta ao degrau unit rio dosistema em MF de 3 ordem e do sistema de 2 ordem comos p los dominantes (tracejado):
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Compensa o por avan o de fase atrav s da resposta emfrequncia
Esta abordagem recomend vel quando as especifica esde projeto so fornecidas atrav s de parmetrosassociados resposta em frequncia do sistema.
Seja o sistema com realimenta o unit ria dado no quadro.
Temos que K C desloca o gr fico de ganho de G(s), semalterar sua fase.
Como G C(s) aparece multiplicando K C G(s), seus efeitos
so aditivos tanto no ganho como na fase.
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3. Compensadores por Avan o de Fase
GC(s) no altera o ganho de malha aberta em baixasfrequncias e o aumenta nas altas.
GC(s) praticamente no altera a fase de MA parafrequncias distantes de m e, nas vizinhan as desta,introduz um avan o na fase.
O procedimento de projeto o seguinte:
Determinar o ganho K C a fim de satisfazer asespecifica es referentes ao erro estacion rio;Usando esse valor de K C , obter a margem de fase dosistema no compensado;
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Determinar o ngulo de avan o de fase ( m ) a serfornecido pelo compensador;Determinar o fator de atenua o atrav s da equa o:
Obter a frequncia m na qual o ganho do sistema nocompensado vale
Esta deve ser a nova frequncia na qual o ganho 0 dB.
Calcular T:
)sen(1 )sen(111)sen( mmm
T m
1
1log20
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Determinar as frequncias de canto do compensador:
Exemplo: Seja a planta com a seguinte FT
As especifica es de projeto so:
Erro estacion rio para entrada rampa unit ria inferior a0.05 s;Margem de fase de pelo menos 50 .
T 1
T
1
)2(4
)( s s
sG
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Primeiro passo:
Deve-se adotar o valor m nimo: K C = 10
Segundo passo: Vamos tra ar os diagramas de Bode deKC G(s)
05.0)1.(4.
)2()1(05.0
)()(1
)( limlim00
sT sK
s sT s sG sG sK
e
C s
C C s
1005.04
2 C
C
K K
)15.0(
20
)2(
40)(
j j j j
jG K C
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Diagramas de Bode:
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Pode- se observar que: MG = e MF = 17
Para que tenhamos uma margem de fase de 50 ,
necess rio adicionar um avan o de 33 .
Vamos calcular :
Assim,
Reduzindo o valor de K C , poder amos conseguir a MFdesejada. Mas se isso fosse feito a especifica o relativaao erro estacion rio seria violada.
3.0)33sen(1)33sen(1
)sen(1)sen(1
m
m
3.51
log20
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3. Compensadores por Avan o de Fase
direita da frequncia 1/T, o ganho de malha aumentado. Portanto, o diagrama de Bode de ganho sedesloca na vertical e para cima.
Dessa forma, a frequncia de cruzamento de 0 dB sedesloca para a direita, o que significa que o compensadordever fornecer um avan o de fase maior que 33 .
Vamos impor, ento: m
= 38 .
Assim,
Para este valor de :
24.0)38sen(1)38sen(1
)sen(1)sen(1
m
m
2.61
log20
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Do diagrama de Bode do sistema no compensado,podemos obter a frequncia m :
m = 9 rad/s
Assim,
Ento, a FT do compensador ser :
Observando os diagramas de Bode do sistema em MF,temos:
MG = e MF = 50
sT T
m 227.01
s
s sG K C C
054.01
227.0110)(
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
A frequncia na qual o ganho vale 0 dB passou de 6.3 para9 rad/s, o que significa que o sistema tem agora maiorvelocidade de resposta.
Outro modo de constatar isso comparando as respostasem frequncia em MF para o sistema sem o compensador(ou seja, somente com o ajuste de ganho) e com ocompensador por avan o de fase (linha cont nua). Veja afigura a seguir.
Percebe-se um aumento na banda passante do sistema.Observa-se ainda que o pico de ressonncia do sistemacompensado menor do que o pico do sistema sem ocompensador.
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Ainda nota-se que, como o sistema de fase m nima e asmargens de ganho so positivas, ento o sistema em MF est vel.
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Exemplo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Exemplo 2
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
M a g n i t u d e ( d B )
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
Exemplo 2
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
.
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
.
100
101
-181
-180.5
-180
-179.5
-179
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-20
-10
0
10
20
30
M a g n i t u d e ( d B )
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
.
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
M a g n i t u d e ( d B )
10
-1
10
0
10
1
10
2-180
-135
-90
-45
0
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-
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3. Compensadores por Avan o de Fase
.
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Compensadores por atraso de fase tm FT do tipo:
Os diagramas de Bode de G C(s) so mostrados a seguir.
Percebe-se que o compensador produz um atraso de faseem todas as frequncias. O efeito de atraso de fase no til para a compensa o. O que se aproveita docompensador , de fato, a altera o do ganho.
GC(s) tem caracter sticas de um filtro passa baixas.
T s
T s
T s
sT sGC
1
11
1
1)( 101
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Diagramas de Bode
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Compensa o por atraso de fase atrav s do LGR
Seja um sistema com resposta transit ria satisfat ria, mascuja resposta estacion ria deseja-se melhorar.
A idia b sica nesse caso consiste em aumentar o ganhoreal do sistema (ganho em baixas frequncias) sem alterarsensivelmente o LGR na vizinhan a dos p los dominantesde MF.
Para evitar uma grande varia o do LGR nessa regio, acontribui o angular do compensador para a condi o defase deve ser pequena (em torno de 5 ). Para que issoseja feito, basta alocar o p lo e o zero do compensadorpr ximos entre si.
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Assim, seja um dos p los dominantes em MF. Comoesse ponto pertence ao LGR, a condi o de ganho ser :
, uma vez que o p lo e o zero do compensador estopr ximos entre si.
s
1)()(1
11)()( sG K sG
T s
T s K sG sG K C C C C
T sT s 11
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Seja agora o caso em que o bloco G C(s) est ausente. Acondi o do ganho dada por:
Ento, conclui-se que, com o bloco G C(s), o ganho demalha resulta aumentado de um fator , pois:
Como os p los dominantes praticamente no se alteram,as caracter sticas de resposta transit ria no so alteradas.
Por outro lado, como o ganho de malha em baixasfrequncias do compensador aumenta de um fator , o
erro estacion rio reduzido pelo mesmo fator .
1)(' sG K C
'C
C K K
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Para que seja significativamente maior que 1 e, aomesmo tempo, o p lo e o zero do compensador estejampr ximos entre si, o p lo e o zero devem estar localizadospr ximos origem.
Os passos para o projeto de compensadores por atraso defase so:
Desenhar o LGR do sistema em MA e, com base nasespecifica es de resposta transit ria, localizar os p losdominantes de malha fechada sobre o LGR;Determinar o ganho usando a condi o de m dulo;Calcular o erro estacion rio de interesse para o problema;
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Determinar o fator de redu o do erro necess rio parasatisfazer as especifica es;
Escolher o p lo e o zero do compensador de modo aproduzir a redu o requerida no erro estacion rio semalterar o LGR na vizinhan a dos p los dominantes;
Desenhar o LGR para o sistema compensado;
Utilizando a condi o de m dulo, recalcular o ganho paraque os p los dominantes de malha fechada se localizemnas posi es desejadas.
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Exemplo: Seja o seguinte sistema
Deseja-se projetar um compensador tal que os p losdominantes do sistema em MF tenham coeficiente deamortecimento de 0.5 e o erro estacion rio para entradarampa unit ria seja de no m ximo 0.2 s.
Fechando a malha com realimenta o unit ria econsiderando apenas o ganho K C
no ramo direto, o LGR dosistema tem o aspecto mostrado no quadro.
)2)(1(1
)( s s s
sG
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Com essa especifica o, observa-se que o fator de redu odo erro deve ser de 9.45. Escolhe- se ento = 10.
Escolhendo o p lo e o zero de G C(s) em s = - 0.01 e s =- 0.1, temos:
Os LGR s para o sistema compensado e no compensado
so mostrados no quadro.
O ganho necess rio para os p los dominantes de MFapresentarem o mesmo coeficiente de amortecimento dosplos associados ao sistema no compensado calculado
usando a condi o de m dulo.
01.01.0
101
)( s s
sGC
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4. Compensadores por Atraso de Fase
K = 0.98
Nota-se que esse valor pouco difere de 1.06, que era ovalor de K C
antes de se considerar o compensador.
Mas:
Disso resulta que K C = 9.8
O erro estacion rio para entrada rampa unit ria :
Ento, a especifica o imposta est satisfeita.
98.0101
C K K
se 204.0
28.9
1)(
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Alm dos p los dominantes, o sistema em MF tem outros 2plos:
O primeiro s = - 0.12, e est bem pr ximo do zero docompensador. Assim, ele praticamente no tem influnciasobre a resposta transit ria;
O segundo s = - 2.31, e est suficientemente afastado doeixo imagin rio (comparado aos p los dominantes), demodo que sua contribui o resposta transit ria seextingue rapidamente.
Vamos observar a resposta rampa unit ria dos seguintessistemas em MF: o sistema com ajuste de ganho e osistema com o compensador.
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Durante o transit rio, as respostas so bastante pr ximas;contudo, o erro estacion rio foi reduzido.
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Vamos observar os diagramas de Bode para o sistema comajuste de ganho e para o sistema com o compensador:
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Como se pode observar, o compensador por atraso de faseproduz um aumento do ganho nas baixas frequncias.
Isso ocasiona uma diminui o do erro estacion rio.
O atraso de fase se localiza numa regio de frequnciasabaixo da frequncia de cruzamento do ganho e, assim, amargem de fase do sistema se reduz pouco.
Como a frequncia de cruzamento do ganho e a margemde fase se mantm inalteradas, a resposta transit ria dosistema em MF no se altera significativamente.
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4. Compensadores por Atraso de Fase
.
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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52/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Compensa o por atraso de fase atrav s da resposta emfrequncia
O objetivo principal do compensador por atraso de fase
(do ponto de vista da resposta em frequncia) proveratenua o em altas frequncias de modo a melhorar amargem de fase do sistema, ou ento manter a margemde fase e aumentar o ganho em baixas frequncias.
Os passos para o projeto so os seguintes:
Determinar o ganho de modo a satisfazer a especifica oreferente ao erro estacion rio;Tra ar os diagramas de Bode do sistema no compensadoe determinar as margens de ganho e fase;
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Caso a especifica o referente margem de fase no sejasatisfeita, determinar a frequncia na qual a defasagem daFTMA igual a 180 + MF (MF a margem de fasedesejada acrescida de 5 a 12 ). Essa frequncia deve serescolhida como aquela na qual o ganho ser 0 dB;
Escolher a frequncia de canto = 1/T (correspondenteao zero do compensador) de uma oitava a uma d cadaabaixo da frequncia de cruzamento de 0 dB fixada nopasso anterior;
Determinar a atenua o necess ria para fazer com que oganho 0 dB corresponda frequncia fixada no passoanterior;
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Determinar considerando que a atenua o obtida nopasso anterior 20 log ;
Calcular a frequncia de canto = 1/T, associada ao p lodo compensador.
Exemplo Seja o sistema com FT:
Deseja-se fechar a malha com realimenta o unit ria demodo que o erro estacion rio para entrada rampa unit riaseja de 0.2 s e a margem de fase seja de pelo menos 40 .
O primeiro passo consiste em determinar o valor de K C de
modo a atender a especifica o do erro estacion rio.
)15.0)(1(1
)( s s s
sG
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Vamos adotar o valor m nimo para K C : K C = 5.
Com este valor de ganho, constru mos os diagramas deBode de:
Para o sistema sem compensa o, MF = - 15 , o quesignifica que o sistema inst vel.
52.01
)(1
)( lim0
C C s
K K s sG
e
)15.0)(1(
5)(
j j j jG K
C
-
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57/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
Diagramas de Bode:
-
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58/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
A frequncia correspondente a 40 de margem de fase est em torno de 0.7 rad/s. Ento, a frequncia de cruzamentode 0 dB no dever ser muito diferente desse valor.
Escolhemos ento a frequncia de canto = 1/T comosendo 0.1 rad/s e, assim:
T = 10 s
Como essa frequncia de canto no est suficientementedistante da frequncia de cruzamento de 0 dB, a influnciada defasagem introduzida pelo compensador no desprez vel. Assim, vamos adicionar 12 margem de faserequerida, de modo que MF = 52 .
-
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59/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
A defasagem de 180 + 52 = - 128 para o sistema nocompensado ocorre na frequncia de 0.5 rad/s.
Para que a curva de ganho passe por 0 dB nessafrequncia, o compensador deve fornecer uma atenua ode 20 dB. Assim, = 10
Como , em altas frequncias
Com isso, a segunda frequncia de canto do compensadorser :
T s sT
sGC 11
)(
1
)( jGC
srad T
/01.01
-
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60/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
A FT do compensador ser :
Se desenharmos os diagramas de Bode do sistemacompensado, verificaremos que a frequncia decruzamento de 0 dB caiu de 1.9 rad/s para 0.45 rad/s, oque significa uma perda de velocidade de resposta.
Consideremos agora o caso em que se deseja manter a MFe a banda passante e, ao mesmo tempo, melhorar aresposta estacion ria. Escolhemos o ganho docompensador como: K C = .
01.01.0
101
)( s s
sGc
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Nesse caso, a resposta em frequncia do compensadorKCGC(j) tem o aspecto ilustrado a seguir.
-
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62/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
Assim, se impusermos que a frequncia 1/T est suficientemente abaixo da frequncia de cruzamento doganho (1 d cada), teremos fixado o valor de T.
O parmetro ser dado pela especifica o do erroestacion rio. Ento, o valor de determinar o grau demelhora da resposta estacion ria.
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Diagramas de Bode em MA
-60
-40
-20
0
20
M a g n i t u d e
( d B )
10-3
10-2
10-1
100
0
90
180
270
360
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
.
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
M a g n i t u d e ( d B )
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
0
90
180
270
360
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = -3.45 dB (at 0.0308 rad/sec) , Pm = -26.2 deg (at 0.0347 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Resposta ao degrau unit rio com compensador:
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Resposta ao degrau unit rio sem compensador:
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
41 Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Diagramas de Bode em MA:
-40
-20
0
20
40
M a g n i t u d e
( d B )
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
.
-80
-60
-40
-20
0
20
M a g n i t u d e ( d B )
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 87 deg (at 6.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Resposta ao degrau unit rio:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Exemplo 3
-150
-100
-50
0
50
M a g n i t u d e ( d B )
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = 16.1 dB (at 80 rad/sec) , Pm = 67.3 deg (at 19.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
.
-150
-100
-50
0
50
M a g n i t u d e ( d B )
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = 17.9 dB (at 79.5 rad/sec) , Pm = 156 deg (at 6.05 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-
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72/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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73/128
4. Compensadores por Atraso de Fase
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Linear Simulation Results
Time (sec)
A m p l i t u
d e
-
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4. Compensadores por Atraso de Fase
Exerc cio: Servomecanismo (sistema de controle deposi o)
Reviso Carta de Nichols
-
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Reviso Carta de Nichols
.
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
6 dB 3 dB
1 dB
0.5 dB 0.25 dB
0 dB
-1 dB -3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dB
-80 dB
-100 dB
-120 dB
-140 dB
-160 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
O p e n - L
o o p G a i n ( d B )
-
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-
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77/128
5. Compensadores PID
O termo de natureza integral tem a caracter stica defornecer uma sa da no nula ap s o sinal de erro ter sidozerado. Isso devido ao fato de que a sa da depende dosvalores passados do erro e no do valor atual.
Os erros passados carregam o integrador numdeterminado valor, que persiste mesmo que o erro setorne nulo.
Essa caracter stica tem como consequncia que dist rbiosconstantes podem ser rejeitados com erro nulo pois no necess rio que o erro seja no nulo para originar umcontrole que cancele o efeito do dist rbio.
-
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5. Compensadores PID
Assim, a principal razo da presen a do termo integral reduzir ou eliminar erros estacion rios. Note que a essetermo corresponde um p lo na origem na FTMA e,consequentemente, aumenta-se o tipo do sistema.
Esse benef cio geralmente obtido s custas de umaredu o da estabilidade ou do amortecimento do sistema.
O termo derivativo tem o papel de aumentar oamortecimento e, em geral, melhorar a estabilidade dosistema. Intuitivamente, a a o do termo derivativo podeser entendida quando consideramos um controlador PDnum instante em que o erro nulo, mas sua taxa devaria o no . Nesse caso, o termo proporcional no ter
contribui o sobre a sa da, mas o termo derivativo ter .
-
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5. Compensadores PID
Assim, o termo derivativo ter o papel de fazer com que ocontrolador se antecipe ocorrncia do erro. Essacaracter stica de tornar o controlador sens vel taxa devaria o do erro tem o efeito de aumentar o
amortecimento do sistema.
A combina o dos termos proporcional, integral ederivativo utilizada para se obter um grau aceit vel deredu o do erro estacion rio e ao mesmo tempo obterboas caracter sticas de estabilidade, amortecimento evelocidade de resposta.
Os controladores PID so os mais comuns nas aplica esindustriais.
-
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5. Compensadores PID
Exemplo: Seja a planta com a seguinte FT
Vamos analisar o sistema em MF resultante paracontroladores de 4 tipos: proporcional, PI, PD e PID.
Controlador Proporcional (G C(s) = K p)
Este sistema do tipo 0. Assim, para que o erroestacion rio para entrada em degrau seja pequeno necess rio que o ganho K p seja elevado. Ganhos elevadostm como consequncia a existncia de p los complexosconjugados e, portanto, de respostas altamenteoscilat rias.
)1)(2.0(1
)( s s
sG
-
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81/128
5. Compensadores PID
Controlador PI
Escolhendo T i = 5, o zero do compensador coincide com oplo da planta situado em s = - 0.2
A incluso do p lo na origem proveniente do integrador
mudou o tipo do sistema para 1. Assim, o erro estacion riopara entrada degrau nulo. Note que, comparado ao casodo controle proporcional, o LGR se deslocou para a direita.
i pc sT
K sG 1
1)(
-
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-
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5. Compensadores PID
Controlador PID
Suponha que T d = 0.833 e T i = 6, de forma que os zerosdo compensador se situam nos pontos s = - 0.2 e s = - 1,cancelando os p los de MA da planta.
O sistema resultante do tipo 1, apresentando erroestacion rio nulo para entrada degrau (qualquer que seja ovalor do ganho). Al m disso, sua resposta sempresuperamortecida.Assim, o controlador PID re ne as boas caracter sticas doscontroladores PI e PD para este exemplo.
d i
pc sT sT K sG 1
1)(
-
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5. Compensadores PID
Os diagramas de Bode dos compensadores PID tmcaracter sticas de avan o atraso.
-
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C d
-
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5. Compensadores PID
Primeira regra do m todo de Ziegler Nichols
Essa regra se aplica apenas ao caso em que a resposta aodegrau da planta em MA tem o aspecto indicado na figura
abaixo, t pica de um sistema de primeira ordem com atraso.
5 C d PID
-
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5. Compensadores PID
L e T so conhecidos como tempo de retardo e constantede tempo
Os valores dos parmetros do compensador devem ser
escolhidos conforme indicado na tabela abaixo.
Para o compensador PID, teremos a seguinte FT:
Tipo do Compensador K P T i Td P T/L 0PI 0.9T/L L/0.3 0
PID 1.2T/L 2L 0.5L
s L
s
T sGc
21
6.0)(
5 C d PID
-
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5. Compensadores PID
Segunda regra do m todo de Ziegler Nichols
Para aplicar essa regra, considera-se o sistema em MF comcontrolador proporcional. Suponhamos que, aumentando o
ganho K p , a sa da resulte oscilat ria e que, quando o ganhoatinge um determinado valor, a sa da exibe oscila es noamortecidas (se isso no ocorrer, o m todo no pode seraplicado). P cr o per odo das oscila es, e K cr o valor doganho.
5 C d PID
-
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5. Compensadores PID
Para este m todo, os valores dos parmetros so:
A FT do compensador PID resultante :
A aplica o deste m todo exige cautela. A ocorrncia deoscila es no amortecidas indica que o sistema est naiminncia de perder a estabilidade. Operar o sistemanessas condi es pode ser inaceit vel em algumas
aplica es (reatores nucleares ou pilotos de avies)
Tipo do Compensador K P T i Td P 0.5K cr 0PI 0.45K cr P cr /1.2 0
PID 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr
s
P s P K sG cr cr cr c
2)/4(075.0)(
-
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6 Compensadores por Avan o
-
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6. Compensadores por Avan o Atraso de Fase
A compensa o por avan o-atraso combina as vantagensdas compensa es em atraso e em avan o.
Para uma entrada senoidal, a sa da em regime estacion rio
de um compensador avan o-atraso senoidal com umdeslocamento de fase que fun o da frequncia deentrada. Este ngulo de fase varia de avan o para atrasoconforme a frequncia varia de zero at infinito.
A FT de um compensador avan o-atraso a seguinte:
21
21
1
11
)(
T s
T s
T s
T s
K sG C c
1 1
-
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6. Compensadores por Avan o
-
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p p Atraso de Fase
Os diagramas de Bode para um compensador avan o-atraso so dados abaixo. Observa-se que numa certa faixade frequncias ele produz atraso de fase, e em outra faixade frequncias ele produz um avan o de fase.
-20
-15
-10
-5
0
M a g n i t u d e ( d B )
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3-90
-45
0
45
90
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
6. Compensadores por Avan o
-
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p p Atraso de Fase
A frequncia 1 na qual o ngulo de fase vale zero :
Observando o diagrama de Bode de ganho, percebe-seque a curva de m dulo vale 0 dB nas regies de baixas ealtas frequncias.
Compensa o por Avan o-Atraso baseada no m todo LGR
Caso 1: = no requerido. O processo de projeto uma combina o do projeto do compensador por avan ode fase com o projeto do compensador por atraso de fase.
21
1
1
T T
-
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6. Compensadores por Avan o
-
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6. Compensadores por Avan o Atraso de Fase
A seguir, determinar o valor de K C a partir da condi o dem dulo:
4. Caso a constante de erro de velocidade est tico sejaespecificada, determinar o valor de para satisfazer orequisito de K v .
11
11
1
T s
T s
1)(
1
1
11
11
sG
T s
T s
K C
6. Compensadores por Avan o
-
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p p Atraso de Fase
A partir dessa equa o, pode- se determinar o valor de . Aseguir, escolher o valor de T 2 tal que:
)(
)(1
11
)()(
lim
limlim
0
2
2
1
1
00
sG sK
sG
T s
T s
T s
T s
sK sG s sG K
C s
C s
C s
v
11
1
21
21
T s
T s
01
1
5
21
21
T s
T s
6. Compensadores por Avan o
-
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6. Compensadores por Avan o Atraso de Fase
Caso 2 requerido = . O procedimento similar, masalguns passos devem ser alterados:
1. Determinar a localiza o dos p los dominantes em MF apartir das especifica es;
2. A FT do compensador avan o-atraso torna-se:
21
21
1
11
)(
T s
T s
T sT s K sG C c
6. Compensadores por Avan o
-
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p p Atraso de Fase
Caso a constante de erro de velocidade est tico sejaespecificada, determinar o valor de K C a partir da seguinteequa o:
3. Para ter os p los dominantes em MF na localiza odesejada, calcular a contribui o angular a ser fornecidapela por o de avan o de fase.
4. Considerando que o m dulo da por o de atraso de fase aproximadamente igual a 1 (calculado quando s igual aum dos p los dominantes), determinar os valores de T 1 e a partir das condi es de m dulo e ngulo:
)()()( limlim00
sG sK sG s sG K C
s
c
s
v
-
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6. Compensadores por Avan o
-
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Atraso de Fase
Compensa o por avan o-atraso baseada na resposta emfrequncia
O projeto de compensadores por avan o-atraso baseadona resposta em frequncia basicamente uma combina ode t cnicas de projeto para compensadores em avan o ecompensadores em atraso de fase.
O compensador assume a seguinte forma ( > 1):
2
1
21
11
11
1)(
T sT s
T s sT
K sG C c
6. Compensadores por Avan o
-
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102/128
Atraso de Fase
A por o de avan o de fase altera a curva da resposta emfrequncia, acrescentando um ngulo de avan o de fase(na regio da frequncia de cruzamento do ganho) eaumentando a margem de fase.
A por o de atraso de fase fornece atenua o perto eacima da frequncia de cruzamento do ganho,aumentando o ganho nas baixas frequncias e diminuindoo erro estacion rio do sistema (tamb m pode aumentar a
margem de fase).
-
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6. Compensadores por Avan o
-
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104/128
Atraso de Fase
Exemplo: Rob Manutec
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Linear Simulation Results
Time (sec)
A m p l i t u
d e
7 Coment rios Finais
-
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7. Coment rios Finais
Sobre a compensa o por atraso de fase:
Compensadores por atraso de fase so basicamente filtrospassa baixas. Assim, a compensa o por atraso de fasepermite atingir um ganho elevado em baixas frequncias ereduz o ganho nas frequncias cr ticas (mais altas) demodo a melhorar a margem de fase. Essa atenua o nasaltas frequncias til para fins de projeto.
Vimos que o p lo e o zero do compensador por atraso defase devem estar pr ximos da origem. Contudo, se elesestiverem desnecessariamente pr ximos da origem, osistema em MF ter um p lo adicional na mesma regioonde se situam o p lo e o zero do compensador.
7 Coment rios Finais
-
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106/128
7. Coment rios Finais
Esse p lo pr ximo da origem faz com que a atenua o daresposta transit ria seja lenta, e o tempo de acomoda ofica excessivamente elevado.
A atenua o fornecida pelo compensador por atraso de fasedeslocar a frequncia de cruzamento do ganho para aesquerda, para um valor no qual a margem de fase maior.Assim, h o efeito adverso de reduzir a banda passante dosistema, o que deixa a resposta transit ria mais lenta.
O compensador por atraso de fase tende a integrar o sinalde entrada, atuando aproximadamente como umcontrolador PI. Assim, o sistema compensado tende a sermenos est vel. Para evitar essa caracter stica, a constantede tempo T deve ser suficientemente maior que a maiorconstante de tempo do sistema.
7 Coment rios Finais
-
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107/128
7. Coment rios Finais
Coment rios sobre os controladores apresentados
No so todos os sistemas dinmicos que podem sercompensados por controladores em avan o, atraso ou
avan o-atraso. Para alguns sistemas nos quais no poss vel aplicar o m todo do LGR ou da resposta emfrequncia, pode-se tentar o controlador por aloca o deplos.
A compensa o por avan o de fase utilizada paramelhorar as margens de estabilidade do sistema. Elaaumenta a frequncia de cruzamento do ganho (ocompensador por atraso de fase diminui a frequncia decruzamento do ganho). Esse efeito do avan o de fase
significa um aumento da banda passante do sistema.
-
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108/128
7 Coment rios Finais
-
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109/128
7. Coment rios Finais
A compensa o por avan o de fase requer um aumentoadicional do ganho para compensar a atenua o inerente rede por avan o de fase. Isso significa que a compensa opor avan o de fase requer um ganho maior do que onecess rio para compensa o por atraso de fase. Umganho maior implica em custos maiores.
A compensa o por avan o de fase pode gerar sinais demaior amplitude no sistema. Esses sinais amplificadospodem causar satura o no sistema.
A compensa o por atraso de fase reduz o ganho dosistema nas altas frequncias sem reduzi-lo nas baixasfrequncias. Pelo fato de o ganho nas altas frequncias serreduzido, pode-se aumentar o ganho total do sistema.
7 Coment rios Finais
-
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110/128
7. Coment rios Finais
Aumenta-se, assim, o ganho em baixas frequncias,melhorando a preciso do sistema em regime estacion rio.Alm disso, os ru dos de alta frequncia podem seratenuados.
A compensa o por atraso de fase introduz um par p lozero pr ximo origem, que gera uma longa cauda depequena amplitude na resposta transit ria do sistema(tempo de acomoda o mais elevado).
Se desejarmos ter resposta r pida e erro estacion rioreduzido, podemos empregar um compensador atrasoavan o. Ele permite que o ganho em baixa frequncia sejaaumentado e, ao mesmo tempo, pode-se aumentar abanda passante e as margens de estabilidade.
7 Coment rios Finais
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7. Coment rios Finais
Embora possamos resolver muitas situa es pr ticas pelaaplica o dos compensadores por avan o, atraso ouavan o atraso, para sistemas mais complexos essesm todos podem no fornecer bons resultados. Ento,
deve-se aplicar outros tipos de compensa o (maissofisticados).
Cancelamento de p los indesej veis Pode-se cancelar,por exemplo, um p lo da planta com constante de tempo
T1 elevada:
Se T 2 for muito menor que T 1 , pode-se de fato eliminar olo com constante de tem o elevada.
sT sT sT
sT 221
1 11
11
11
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7. Coment rios Finais
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7. Coment rios Finais
Cancelamento de p los complexos conjugados indesej veis
Se a FT da planta contiver um ou mais pares de p loscomplexos conjugados, um compensador por avan o,
atraso ou avan o-atraso pode no produzir bonsresultados. Nesse caso, uma rede com 2 zeros e 2 p lospode ser til. Se forem escolhidos zeros que cancelem osplos complexos conjugados indesej veis, poderemossubstituir os p los indesej veis por p los aceit veis.
Assim, se os p los complexos conjugados indesej veisestiverem no SPE e tiverem a seguinte forma:
2111
2 21
s s
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7. Coment rios Finais
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7. Coment rios Finais
O sistema projetado deve atender s especifica es sobcondi es normais de opera o, mas ele pode sofrerdesvios das especifica es quando houver altera esambientais, por exemplo.
Essas altera es podem mudar valores de ganhos econstantes de tempo do sistema. Ento, torna-senecess rio elaborar ajustes de ganho para compensaressas altera es e tamb m efeitos de no linearidades que
no foram levadas em conta no projeto, al m detolerncias de fabrica o inerentes ao sistema (controlerobusto). Ainda deve-se considerar que qualquer sistemaest sujeito a varia es devidas deteriora o(manuten o).
Exemplo - Servomecanismo
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Exemplo Servomecanismo
Sistema de Controle de Plataforma
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (s ec)
A m p l i t u
d e
Exemplo - Servomecanismo
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Sistema de Controle de Plataforma
-300
-200
-100
0
100
M a g n i t u d e ( d B )
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
106
-360
-270
-180
-90
0
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = 24.8 dB (at 141 rad/sec) , Pm = 168 deg (at 4.45 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
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Exemplo Repetidor de Dados
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p p
.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A m p l i t u
d e
Exemplo Repetidor de Dados
-
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121/128
p p
.
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
M a g n i t u d e ( d B )
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = 8.31 dB (at 253 rad/sec) , Pm = 30.2 deg (at 182 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Exemplo Repetidor de Dados
-
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p p
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Linear Simulation Results
Time (sec)
A m p l i t u
d e
Reviso Compensador por Avan o def R t f i
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fase Resposta em frequncia
.
-50
0
50
100
M a g n i t u d e ( d B )
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 12.8 deg (at 4.42 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Reviso Compensador por Avan o defase Resposta em freq ncia
-
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fase Resposta em frequncia
.
-100
-50
0
50
100
M a g n i t u d e ( d B )
10-2
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53 deg (at 6.86 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Reviso Compensador por Atraso defase Resposta em frequncia
-
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fase Resposta em frequncia
.
-100
-50
0
50
100
150
M a g n i t u d e ( d B )
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 55.7 deg (at 0.461 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Reviso Compensador por avan oatraso de fase Resposta em
-
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pfrequncia
.
-100
-50
0
50
100
M a g n i t u d e ( d B )
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = -16.5 dB (at 7.07 rad/sec) , Pm = -40.4 deg (at 15.9 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Reviso Compensador por avan oatraso de fase Resposta em
-
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127/128
pfrequncia
.
-150
-100
-50
0
50
100
M a g n i t u d e ( d B )
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = -0.685 dB (at 23.5 rad/sec) , Pm = -1.26 deg (at 24.4 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Reviso Compensador por avan oatraso de fase Resposta em
-
7/22/2019 Sistemas de Controle II - Compensadores
128/128
pfrequncia
.
-200
-100
0
100
200
M a g n i t u d e ( d B )
-225
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode DiagramGm = 25.8 dB (at 22.5 rad/sec) , Pm = 48.4 deg (at 3.69 rad/sec)
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