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Sistemas de Controle 1Cap4 – Resposta no Domínio do Tempo

Pontifícia Universidade Católica de GoiásEscola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 1Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

4. Resposta no Domínio do Tempo

4.1 Introdução

4.2 Pólos, Zeros e Resposta do Sistema

4.3 Sistemas de Primeira Ordem

4.4 Sistemas de Segunda Ordem: Introdução

4.5 O Sistema de Segunda Ordem Geral

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

4.7 Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais

4.8 Resposta de Sistema com Zeros

4.9 Efeitos das Não-linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

4.11 Solução das Equações de Estado no Domínio do Tempo

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Função de transferência

Resposta ao degrau

Analisando a resposta no tempo de sistemas subamortecidos

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Resposta para vários valores de 𝜁 (amortecimento)

Parâmetros associados à resposta subamortecida:

- Instante de pico, 𝑇𝑝- Ultrapassagem

percentual, %UP- Tempo de

assentamento, 𝑇𝑠- Tempo de subida, 𝑇𝑟

Parâmetros associados à resposta de segunda ordem:

- 𝜁 amortecimento- 𝜔𝑛 frequência natural

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Tempo necessário para alcançar o primeiro valor de pico (máximo). Instante de pico, 𝑻𝒑

Ultrapassagem percentual, %UP

O quanto a forma de onda, no instante de pico, ultrapassa o valor de estado estacionário, final, expresso como uma percentagem do valor de estado estacionário.

Tempo de assentamento, Ts

Tempo necessário para que as oscilações amortecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valores de ±2% em torno do valor de estado estacionário

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Tempo de subida, Tr Tempo necessário para que a forma de onda vá de 0.1 a 0.9 do valor final.

Não é possível obter uma relação analítica para esse parâmetro em sistemas de segunda ordem.

Instante de pico, 𝑻𝒑

Ultrapassagem percentual, %UP

Tempo de assentamento, Ts

Tempo de subida, Tr

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Resolução:

Logo:𝜔𝑛 = 10

𝜁 = 0.75

Calculando:

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Resolução: 𝜔𝑛 = 10 𝜁 = 0.75

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

𝑻𝒓(𝒏𝒐𝒓𝒎) = 𝟐. 𝟑𝒔

𝜁 = 0.75

Tabela do tempo de subida normalizado

𝑻𝒓(𝒏𝒐𝒓𝒎) = 𝑻𝒓. 𝜔𝑛

𝑻𝒓 =𝑻𝒓 𝒏𝒐𝒓𝒎

𝜔𝑛

𝑻𝒓 =𝟐. 𝟑

10

𝑻𝒓 = 𝟎. 𝟐𝟑𝒔

Tempo de subida

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

O gráfico dos pólos fornece importantes informações

Frequência natural

Fator de amortecimento

Frequência natural

Distância entre o pólo e a origem

Instante de pico

Tempo de assentamento

Frequência amortecida de oscilação

frequência exponencial amortecida

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Analisando efeito da movimentação dos pólos na resposta de saída do sistema

Pólos subindo

- Frequência natural aumenta mas envoltória permanece a mesma (parte real constante).- Tempo de assentamento permanece constante.- A medida que o a ultrapassagem aumenta o tempo de pico diminui.

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Analisando efeito da movimentação dos pólos na resposta de saída do sistema

Pólos deslocando para esquerda

- Parte imaginária constante: frequência de oscilação constante- Instante de pico permanece o mesmo.- Amortecimento se torna mais rápido.

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Analisando efeito da movimentação dos pólos na resposta de saída do sistema

Pólos deslocando ao longo de uma linha radial

- Ultrapassagem percentual permanece a mesma- Quanto mais longe da origem, mais rápida a resposta.

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Levantando a função de transferência do sistema:

𝐽𝑠2 + 𝐷𝑠 + 𝐾 𝜃(𝑠) = 𝑇(𝑠)

𝐺 𝑠 =𝜃 𝑠

𝑇(𝑠)

𝐽𝑠2 + 𝐷𝑠 + 𝐾 𝐺(𝑠) = 1

𝑠2 +𝐷

𝐽𝑠 +

𝐾

𝐽𝐺(𝑠) =

1

𝐽

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Queremos o tempo de assentamento de 2s:

4.6 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos

Considerando %UP = 20%:

=−ln(0.2)

𝜋2 + ln 0.2 2= 0.456

4.7 Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais

As equações para cálculo de tempo de assentamento, ultrapassagem percentual e instante de pico foram deduzidas para sistemas com apenas 2 pólos e nenhum zero.

Se o sistema possuir mais de 2 pólos ou algum zero as expressões são inválidas.

Contudo alguns sistemas com mais de 2 pólos e com zeros podem ser aproximados como sistemas de segunda ordem com dois pólos dominantes complexos.

Aproximando um sistema com 3 pólos

2 pólos complexos1 pólo real

4.7 Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais

Aproximando um sistema com 3 pólos

Considere um sistema com 3 pólos recebendo uma entrada em degrau:

Pólo 3 não muito distante dos pólosdominantes

Pólo 3 distante dos pólos dominantes

Pólo 3 infinitamente distante dos pólosdominantes

Aproximação válida Aproximação válidaAproximação inválida

4.7 Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais

Grande efeito do pólo próximo

Pequeno efeito do pólodistante

O terceiro pólo fica distante o suficiente após 5 constantes de tempo (aproximadamente)

4.8 Resposta de Sistema com Zeros

Estudando sistemas com 2 pólos e 1 zero

1 zero no semiplano da esquerda:

Testando zeros em -3, -5 e -10

- Quanto mais próximo o zero do pólo dominante, maior o efeito na resposta transitória.

- Zero afastado resposta tende ao sistema com dois pólos e nenhum zero

4.8 Resposta de Sistema com Zeros

Estudando sistemas com 2 pólos e 1 zero

1 zero no semiplano da esquerda:

A resposta de um sistema com um zero corresponde a duas componentes da resposta atual:

Derivada do sistema original

Sistema original com um ganho simples

• Se o zero for muito grande a resposta será uma escala da original:

• Se o zero não for muito grande, a resposta terá uma componente adicional derivada:

Aumento na ultrapassagem percentual

4.8 Resposta de Sistema com Zeros

Estudando sistemas com 2 pólos e 1 zero

1 zero no semiplano da direita:

- Quando “a” é negativo

- Sistemas de resposta não mínima.

Exemplo:

Se uma motocicleta ou um avião forem de fase não-mínima, virarão inicialmente para a esquerda ao serem comandados para manobrar para a direita

4.9 Efeitos das Não-linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo

Exame qualitativo dos efeitos das não-linearidades sobre a resposta no domínio do tempo.

O efeito da saturação de um amplificador antes de um motor.

limite de velocidade do motor.

Saturação de um amplificador

4.9 Efeitos das Não-linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo

Efeito de uma zona morta sobre o ângulo de saída de um eixo

A zona morta está presente quando o motor não consegue responder a valores pequenos de tensão.

A entrada do motor é um sinal senoidal escolhido para permitir evidenciar os efeitos da zona morta. A resposta começa quando a tensão de entrada do motor excede um limiar. Observa-se uma amplitude menor quando a zona morta está presente.

4.9 Efeitos das Não-linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo

Efeito de folgas (backlash) sobre o eixo de saída acionado por um motor com engrenagens

Quando o motor inverte o sentido de rotação, o eixo de saída permanece parado no início do movimento de inversão de sentido.

Quando as engrenagens finalmente ultrapassam a folga de contato, o eixo de saída começa a girar no sentido oposto.

A resposta resultante é bastante diferente da resposta de um sistema linear sem folga.

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Obtendo a solução das equações no espaço dos estados:

Sistema:

Aplicando a transformada de Laplace:

Isolando X(s):

Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída:

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Isolando a função de transferência:

Pólos do sistema no espaço dos estados = Autovalores do sistema

Raízes

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 1)

Passo 2)

A=

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 3)

Invertendo a matriz

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 4)

B=

𝑢 𝑡 = 𝑒−𝑡

𝑈 𝑠 =1

(𝑠 + 1)

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 5)

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 6) equação da saída

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 6) equação da saída

Um zero em -1 cancela o pólo em -1

Fazendo a simplificação de polinômios:

Expandindo em frações parciais

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Passo 7) Aplicando a inversa de Laplace

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Fornece tanto os pólos do sistema quanto os autovalores