resoluÇÃo de problemas e o software
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O SOFTWARE
GEOGEBRA: UM CAMINHO PARA O ENSINO DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO
JULIANA MENEGHELLI JANAÍNA POFFO POSSAMAI
Blumenau
2018
Nome NomeNome NomeNome NomeNome NomeNome
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da FURB
M541r
Meneghelli, Juliana, 1994-
Resolução de Problemas e o software GeoGebra: um caminho para o ensino das funções trigonométricas seno e cosseno / Juliana Meneghelli. - Blumenau, 2018.
160 f. : il.
Orientador: Janaína Poffo Possamai. Produto Educacional (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) -
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Universidade Regional de Blumenau, Blumenau.
Bibliografia: f. 158-160.
1. Matemática. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Matemática - Problemas, questões, exercícios. 4. Funções trigonométricas. 5. Software educacional. 6. Aprendizagem baseada em problemas. I. Possamai, Janaína Poffo, 1985-. II. Universidade Regional de Blumenau. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. III. Título.
CDD 510.7
CARTA AO LEITOR
Este caderno é resultado da dissertação “Resolução de Problemas e o software
GeoGebra: um caminho para ensino das funções trigonométricas seno e cosseno” do Programa
de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática (PPGECIM) da Universidade
Regional de Blumenau – FURB.
A seleção das atividades, que compõe este Produto Educacional, foi norteada pela
Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas, sendo a
abordagem orientada pelos dez passos apontados por Allevato e Onuchic (2014). Nessa
concepção, a resolução de problemas não é usada para aplicar a Matemática ensinada, mas sim
para aprender um novo conceito ou procedimento.
Nesse sentido, faz-se necessário indicar que o entendimento de problema se dá na
concepção de Vila e Callejo (2006, p. 29, grifo do autor):
Reservaremos, pois, o termo problema para designar uma situação, proposta com
finalidade educativa, que propõe uma questão matemática cujo método de solução não
é imediatamente acessível ao aluno/resolvedor ou ao grupo de alunos que tenta
resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e as incógnita
ou de um processo que identifique automaticamente os dados e a conclusão e,
portanto, deverá buscar, investigar, estabelecer relações e envolver suas emoções para
enfrentar uma situação nova.
Ainda, cabe ressaltar que as atividades propostas podem vir a não ser tratadas como
problemas, por outros professores que as utilizem em suas aulas, na medida que forem utilizadas
após a explicação do conteúdo, ou seja, não serem abordadas segundo a Metodologia indicada.
Aqui são apresentados problemas que propiciam a construção dos conceitos e
características relacionados ao estudo das funções trigonométricas seno e cosseno. Na resolução
de todas as atividades é utilizado o software GeoGebra como recurso tecnológico para auxiliar
no processo de construção e investigação.
Essa sequência de atividades, desenvolvidas para o estudo das funções seno e cosseno,
inicia-se com o Momento 01, denominado de Movimentos cíclicos. Neste Momento são
elaboradas e manipuladas construções no software GeoGebra, com o intuito de promover um
ambiente dinâmico onde as constantes são tratadas como parâmetros, podendo ser modificadas
e as hipóteses testadas na busca de padrões e relações que permitam caracterizar as funções
seno e cosseno. A proposta que consta no caderno é que seja inicialmente explorada a função
seno e na sequência a função cosseno. Porém, de forma a otimizar o tempo de aula, uma
sugestão é que as funções sejam trabalhadas juntas ou que se divida as funções entre os grupos
para um posterior comparativo. Assim, pretende-se que os estudantes construam, como
2
resultado da resolução dos problemas propostos, a identificação das funções seno e cosseno,
relacionando a lei de formação, parâmetros gráficos e suas principais características.
Esse tipo de manipulação no GeoGebra para funções seno e cosseno é verificada em
outros trabalhos (OLIVEIRA, 2010; PEDROSO, 2012; LOPES JUNIOR, 2013), porém o
diferencial dessa proposta está em problematizar a manipulação da construção no GeoGebra,
norteando para um pensamento reflexivo de modo que os estudantes aprendam os conceitos
enquanto buscam padrões.
O pensamento reflexivo certamente envolve alguma forma de atividade mental. É um
esforço ativo e não uma atitude passiva. Envolve tentar compreender algo ou conectar
ideias que pareçam estar relacionadas. Ocorre quando os estudantes tentam dar
sentido às explicações de outros, quando eles fazem perguntas, e quando eles
apresentam explicações ou justificam suas próprias ideias (VAN DE WALLE, 2009,
p. 49).
No Momento 02, denominado de Modelagem, a partir da coleta, análise e investigação
de dados, são construídas as leis de formação que descrevem o comportamento periódico de
três situações do mundo real (ondas de marés, duração do dia e temperatura do ar). Pretende-se
que os estudantes construam procedimentos, a partir da disposição dos pontos do gráfico, para
determinar os parâmetros da lei de formação que permitem ajustar o fenômeno à uma função.
Nesse sentido, são propostas questões que problematizam e norteiam a investigação dos
parâmetros, sendo o GeoGebra utilizado apenas para validar as conclusões obtidas e melhorar
a qualidade do ajuste. Nessas atividades acredita-se que os estudantes reconheçam pela
disposição dos pontos que se trata de uma função seno ou cosseno e que identifiquem qual
parâmetro deve ser inserido para ajustar à função aos pontos, sendo que a determinação do valor
desses parâmetros seja o novo procedimento a ser construído como resultado dos problemas
propostos.
No Momento 03, denominado de Analisando situações, o período, amplitude da curva,
domínio e conjunto-imagem são determinados tanto a partir da lei de formação, quanto do
gráfico da função, o que possibilita verificar a compreensão dos conceitos e procedimentos
construídos nas atividades anteriores. O que se pretende como novo procedimento é que os
estudantes consigam dar significado aos parâmetros no contexto de uma situação, bem como
que associem a medida de um ângulo também a variável dependente.
Esse conjunto de atividades em três Momentos teve ainda o intuito de possibilitar
olhares diferentes para a mesma função, fechando um ciclo que permite aos estudantes transitar
entre as diferentes representações por meio de tabelas, gráficos e descrição algébrica.
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Este caderno busca proporcionar aos estudantes um contato mais próximo com
algumas situações do mundo real que podem ser descritas através das funções seno e cosseno,
para assim mostrar a importância destes conceitos em situações reais. Conforme é destacado no
documento Orientações Curriculares ao Ensino Médio, ao estudar as funções trigonométricas
os estudantes devem ter a oportunidade de construir gráficos, bem como, visualizar aplicações
destas funções em situações de natureza periódica na resolução de problemas (BRASIL, 2006).
Na sequência é apresentado um breve recorte do referencial teórico da dissertação que
norteia as atividades deste Produto Educacional, onde destacam-se as principais ideias e
perspectivas relacionadas ao uso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através
da Resolução de Problemas que são importantes para a abordagem do professor para a efetiva
prática desta metodologia em sala de aula.
Juliana Meneghelli
Janaína Poffo Possamai
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Resolução de Problemas e o uso do software GeoGebra:
um caminho para o ensino das funções trigonométricas
seno e cosseno
Juliana Meneghelli
Profª Orientadora: Janaína Poffo Possamai
CADERNO DO PROFESSOR
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SUMÁRIO DO CADERNO DO PROFESSOR
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA ..................... 7
MOMENTO 1 – MOVIMENTOS CÍCLICOS ........................................................... 14
Parte 1 – Função seno ...................................................................................................... 15
Parte 2 – Função cosseno ................................................................................................ 21
Parte 3 – Comparando as funções seno e cosseno ........................................................... 26
Parte 4 – Generalizando ................................................................................................... 27
Parte 5 – Construindo gráficos ........................................................................................ 29
MOMENTO 2 – MODELAGEM ................................................................................. 44
Ondas de marés ................................................................................................................ 45
Duração do dia e da noite ................................................................................................ 54
Temperatura do ar ............................................................................................................ 64
MOMENTO 3 – ANALISANDO SITUAÇÕES ......................................................... 70
Ritmo oscilatório dos braços ........................................................................................... 71
Voo dos gafanhotos ......................................................................................................... 74
APÊNDICE 1 – ALTERANDO A JANELA DE VISUALIZAÇÃO DO
GEOGEBRA .................................................................................................................. 78
APÊNDICE 2 – ALTERANDO PROPRIEDADES DO GRÁFICO NO
GEOGEBRA .................................................................................................................. 78
APÊNDICE 3 – CÁLCULO DA MÉDIA NO EXCEL E GEOGEBRA .................. 79
APÊNDICE 4 – SUBTRAÇÃO DA MÉDIA NO EXCEL E GEOGEBRA ............. 81
APÊNDICE 5 – INSERINDO PONTOS NO GEOGEBRA ...................................... 83
APÊNDICE 6 – INSERIR FUNÇÃO E FORMATAR CONTROLE DESLIZANTE
NO GEOGEBRA ........................................................................................................... 84
APÊNDICE 7 – CÁLCULOS ENVOLVENDO HORAS .......................................... 85
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Resolver problemas é encontrar os meios desconhecidos para um fim nitidamente
imaginado. Se o fim por si só não sugere de imediato os meios, se por isso temos de
procurá-los refletindo conscientemente sobre como alcançar o fim, temos de resolver
um problema. Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é
conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar
um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não
alcançável imediatamente, por meios adequados. Resolver problemas é a realização
específica da inteligência, e a inteligência é o dom específico do homem. (POLYA,
1997, p. 1-2)
O atual cenário escolar evidencia a necessidade de se buscar por caminhos e
metodologias de ensino que oportunizam uma participação mais ativa do estudante no processo
de construção do conhecimento. A literatura também mostra a importância do desenvolvimento
do protagonismo e autonomia do estudante durante este processo através de ambientes que
propiciam a investigação, a dinamicidade, a troca de informações, a discussão e o trabalho
colaborativo. Desta forma, a Resolução de Problemas se mostra como um dos possíveis
caminhos para propiciar estes ambientes de aprendizagem que sejam significativos para a
construção do conhecimento pelos estudantes.
A Resolução de Problemas enquanto tendência obteve aceitação pelos educadores
matemáticos muito recentemente. Ela surgiu como referência no ano de 1945 através da
publicação do livro How to solve it – A arte de resolver problemas – escrito por George Polya,
considerado o pai da Resolução de Problemas. Ganhou destaque mundial apenas no final dos
anos 70, quando iniciou-se o movimento a favor de um ensino de resolução de problemas. As
discussões começaram a ser amplamente divulgadas entre pessoas interessadas em uma melhor
educação matemática através da edição do documento An Agenda For Action:
Recommendations for School Mathematics of the 1980’s – Uma Agenda para Ação:
recomendações para a Matemática Escolar da década de 1980 - publicado em 1980 nos Estados
Unidos pelo Nacional Council os Teachers of Mathematics – Conselho Nacional de Professores
de Matemática (NCTM) (ONUCHIC, 1999).
A autora ressalta que o interesse em trabalhar na perspectiva do ensino através da
Resolução de Problemas “baseia-se na crença de que a razão mais importante para esse tipo de
ensino é a de ajudar os alunos a compreender os conceitos, os processos, e as técnicas
operatórias dentro do trabalho feito em cada unidade temática” (ONUCHIC, 1999, p. 208).
Resolução de Problemas como metodologia/estratégia de ensino deve começar pelo
estudante, ou seja, deve começar considerando os conhecimentos prévios, aqueles já existentes
na estrutura cognitiva do indivíduo e não da forma tradicional de ensino, aquela que tem como
7
ponto de partida a compreensão do professor sobre determinado conceito matemático. Desta
forma, considera-se o ensino através da Resolução de Problemas como um dos caminhos para
a promoção da aprendizagem significativa da Matemática, e segundo Van de Walle (2009, p.
58) “A aprendizagem é um resultado do processo de Resolução de Problemas”.
Para se colocar como foco da sala de aula o protagonismo do estudante na construção
do seu próprio conhecimento, Onuchic (1999) aponta algumas considerações importantes:
✓ o ponto de partida é o problema e não a definição;
✓ um problema não é uma atividade para a aplicação de algoritmos;
✓ as aproximações construídas em relação ao novo conceito podem ser utilizadas para
resolver novos problemas;
✓ o novo conceito não é construído como resposta ao problema proposto, mas construído
de forma que faça sentido em um ambiente de resolução de problemas;
✓ a resolução de problemas deve ser utilizada como orientação para a aprendizagem, e
não em paralelo a abordagem do conteúdo em sala de aula, ou somente como aplicação
do conceito estudado.
Com relação a aprendizagem, bem como a compreensão de conceitos matemáticos
como o resultado do processo de resolução de um problema, Vila e Callejo (2006, p. 25)
destacam que:
Os problemas são um meio para pôr o foco nos alunos, em seus processos de
pensamento e nos métodos inquisitivos; uma ferramenta para formar sujeitos com capacidade
autônoma de resolver problemas, críticos e reflexivos, capazes de se perguntar pelos fatos, suas
interpretações e explicações, de ter seus próprios critérios, modificando-os, se for necessário, e
de propor soluções.
Outra característica importante de uma abordagem de ensino nas perspectivas da
Resolução de Problemas diz respeito a avaliação. Segundo Allevato e Onuchic (2014, p. 47) a
avaliação do progresso dos estudantes deve ser realizada durante o processo de resolução do
problema, ou seja, integrada ao ensino e a aprendizagem, uma vez que “nessa metodologia o
professor tem a oportunidade de perceber constantemente as condições e conhecimentos que os
alunos possuem, ajudando-os durante o processo, bem como os próprios alunos se percebem e
se ajudam, sendo eliminado o caráter sancionador das avaliações somativas (ditas
tradicionais)”.
Van de Walle (2009) também corrobora com este pensamento quando afirma que a
avaliação deve ser considerada um instrumento para ampliação da aprendizagem, fornecendo
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uma retroalimentação contínua do progresso tanto para o professor como para os estudantes,
informando aos mesmos, características sobre o desenvolvimento do potencial matemático,
bem como da habilidade de resolver problemas, sem manter o foco apenas no domínio que os
estudantes apresentam em relação as habilidades processuais.
Com relação aos erros durante o processo de resolução, os mesmos não devem ser
considerados como insucesso do estudante, pelo contrário, o professor enquanto mediador deve
encorajá-los a buscar por novas alternativas que possam conduzi-los a um novo caminho para
encontrarem uma solução. Conforme destaca Echeverría (1998), os erros devem ser
considerados como “fonte de informação” para a avaliação da aprendizagem pelo professor,
assim como para a auto avaliação dos próprios estudantes.
Uma abordagem de ensino nas perspectivas da Resolução de Problemas exige, do
professor e dos estudantes, novas atitudes em sala de aula. O papel do professor não é mais de
transmitir conteúdos, e sim, mediar a aprendizagem, por meio de questionamentos, fazendo
com que os estudantes assumam o papel de protagonistas do processo de ensino e
aprendizagem, a partir da investigação, tomada de decisões e validação da solução.
O ensino através da Resolução de Problemas, quando comparado com o método
tradicional, é uma tarefa que exige muita dedicação e criatividade do professor. No início, até
que se estabeleça uma cultura de sala de aula com base nas perspectivas desta metodologia, sua
utilização pode parecer difícil. Para Onuchic e Allevato (2009) as tarefas de ensino através da
Resolução de Problemas precisam ser selecionadas e planejadas a cada aula, tendo em vista o
currículo, bem como o nível de compreensão dos estudantes, exigindo desta forma, um
planejamento diferenciado.
Todavia, Onuchic e Allevato (2009), assim como Van de Walle (2009), destacam
algumas razões pelas quais deve-se insistir e prosseguir no ensino através da Resolução de
Problemas, das quais concordamos com as seguintes:
✓ ela concentra a atenção dos estudantes sobre as suas ideias e em dar sentido para as
mesmas;
✓ desenvolve nos estudantes o poder matemático, uma vez que ao resolver um problema,
os estudantes perpassam por todos os padrões de processo que são etapas de fazer
matemática, e permite que aos mesmos irem além da compreensão do conceito
construído;
✓ desenvolve nos estudantes a confiança de que são capazes de fazer Matemática e que a
Matemática faz sentido;
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✓ fornece dados contínuos de avaliação que podem ser utilizadas para avaliar o progresso
do estudante, bem como para ajudá-lo no que não obteve êxito;
✓ oportuniza diferentes pontos de partida para uma grande diversidade de estudantes dado
que um problema pode apresentar múltiplos caminhos que levam a solução, o que
permite a interpretação do problema fazendo uso de suas próprias ideias, ampliando-as
e ainda, desenvolvendo a própria compreensão a partir da reflexão sobre as estratégias
tomada pelos demais estudantes;
✓ a Resolução de Problemas permite que a formalização teórica do conceito tenha mais
sentido e significado para o estudante após ele ter construído este conceito pela
resolução de um problema.
Desta forma, pode-se dizer que o envolvimento dos estudantes com o processo de
resolução de problemas é uma maneira de propiciar uma experiência significativa no estudo da
Matemática, visto que na maioria das vezes ela é apresentada na sua forma abstrata, sendo
posteriormente avaliada a compreensão dos estudantes em relação aos conceitos estudados
através de avaliações.
De modo a orientar o trabalho do professor na utilização deste metodologia, Allevato
e Onuchic (2014) apresentam um roteiro composto de 10 etapas:
1) Preparação do problema – deve ser selecionado um problema que propicie a construção
de um novo conceito, sendo este chamado de problema gerador.
2) Leitura individual – cada estudante deve receber uma cópia do problema e fazer a
leitura.
3) Leitura em conjunto - os estudantes devem formar grupos e fazer uma nova leitura,
agora coletivamente. Caso os estudantes encontrarem dificuldades na leitura, o
professor pode fazer a leitura do problema e no caso de existir palavras desconhecidas
no enunciado do problema, surge então um problema secundário que deve ser
esclarecido.
4) Resolução do problema – depois de compreendido o enunciado do problema, os
estudantes devem buscar resolvê-lo de forma cooperativa.
5) Observar e incentivar – o professor deixa de ser o transmissor de conhecimento, e passa
a observar e analisar o comportamento dos estudantes durante a resolução do problema,
bem como estimular um trabalho colaborativo e levar seus estudantes a pensarem e
trocarem ideias.
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6) Registro das resoluções na lousa – um estudante de cada grupo deve registrar na lousa
a solução encontrada para o problema. Soluções corretas, erradas, ou então encontradas
por diferentes caminhos devem ser todas registradas a fim de discuti-las.
7) Plenária – todos os estudantes devem ser convidados a discutirem as resoluções que
estão na lousa, a fim de defender os seus pontos de vistas e esclarecer as dúvidas
existentes. O professor deve mediar essa discussão e incentivar a participação de todos
os estudantes.
8) Busca do consenso – após analisadas todas as soluções apresentadas pelos grupos, e
sanada as dúvidas, o professor deve buscar junto a todos os estudantes um consenso
sobre a solução correta para o problema proposto.
9) Formalização do conteúdo – o professor deve registrar na lousa uma apresentação
formal, em linguagem matemática, os conceitos e procedimentos que foram construídos
ao longo do processo de resolução do problema, ressaltando os diferentes métodos
utilizados para chegar a solução.
10) Proposição e resolução de novos problemas – após a formalização novos problemas –
relacionados ao problema gerador, ou seja, uma extensão do problema inicial – devem
ser propostos com o intuito de analisar a compreensão dos estudantes em relação ao
conceito construído a partir da resolução do problema gerador.
Além deste roteiro, uma característica importante, refere-se a atuação do professor
durante uma abordagem de ensino através da Resolução de Problemas. Cabe destacar que são
as ações do professor que efetivam uma prática baseada na Metodologia de Ensino-
Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas. Desta forma, buscou-se
sistematizar alguns indícios destas ações, conforme ilustra a Figura abaixo.
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Destacamos uma concepção apresentada por Van de Walle (2009, p. 73, grifo do autor)
a qual diz que o professor deve pensar em atividades a partir de uma visão do que é provável
que aconteça na mente dos estudantes enquanto estes estão resolvendo-as, uma vez que “Boas
tarefas são atividades ‘minds-on’ (ativadoras de mentes) e não apenas ‘hands-on’ (ativadoras
de mãos)”. Assim, percebe-se a importância que deve ser dada a seleção de atividades
apropriadas a fim de que a aprendizagem seja construída de forma significativa pelos estudantes
que a resolvem.
Diante disso, este Produto Educacional busca oportunizar aos estudantes um momento
de aprendizagem por compreensão, onde os mesmos serão os protagonistas de sua própria
aprendizagem. Desta forma, o conjunto de atividades propostas em três Momentos tem o intuito
de possibilitar olhares diferentes para a mesma função, fechando um ciclo que permite aos
estudantes transitar entre as diferentes representações por meio de tabelas, gráficos e descrição
algébrica, conforme é apresentado na Figura abaixo.
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Diversos fenômenos do mundo são de natureza periódica, ou seja, existe um movimento que volta a
se repetir em determinado intervalo de tempo, estabelecendo um padrão, ou seja, em algum momento o
movimento volta a se repetir a partir do ponto inicial. Esse intervalo de tempo para completar um ciclo
completo é denominado período.
Vejamos alguns exemplos de movimentos cíclico:
• A Terra leva, aproximadamente, 365 dias e 6 horas para dar uma volta completa ao redor do sol.
• Num relógio de pêndulo, o movimento de repetição do pêndulo depende do comprimento da haste.
Agora é com você!
Cite movimentos que você acredita ser de natureza cíclica.
Fonte: Só Geografia 1
Fonte: Kukos 2
Sugestão: Para que os estudantes se
sintam mais familiarizados com a ideia
de movimentos cíclicos, sugere-se que
o professor apresente um vídeo com
alguns movimentos cíclicos nos quais
seja possível identificar as “repetições
de fase” dos mesmos. Como sugestão,
tem-se o vídeo “Movimentos Cíclicos”
elaborado pelas autoras que está
disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=pVr
WtvQs51s&feature=youtu.be
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Espera-se que a partir dos exemplos observados os estudantes
consigam citar outros movimentos/fenômenos que são de
natureza cíclica.
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Quando construímos gráficos que relacionam duas variáveis, esses também podem apresentar
comportamentos periódicos. Lembrando do que você já estudou de funções ou pesquisando, escreva o que
você entende por:
Domínio de uma função: é o conjunto de números reais para os quais a função pode ser definida, ou
seja, é o conjunto de todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de formação da
função, de modo que o valor resultante seja um número real. No gráfico cartesiano, o domínio de uma
função é o conjunto de abscissas (eixo x) para os quais a função pode ser definida.
Conjunto-imagem de uma função: é o conjunto de números reais que são resultados da substituição
de x por um valor real na lei de formação da função. No gráfico cartesiano o conjunto-imagem de uma
função é obtido a partir do intervalo valores da função verificados no eixo y .
Período de uma função: é o intervalo onde o gráfico da função volta a se repetir. No gráfico, o
período de uma função é obtido a partir da análise no eixo x.
Utilizando o software GeoGebra vamos analisar esses aspectos para algumas funções.
PARTE 1 - FUNÇÃO SENO
1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙).
1.1. Analise o gráfico e determine: o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o período P dessa função.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Professor(a) esta atividade tem como objetivo ativar os conhecimentos prévios dos estudantes com relação
a ideia de domínio e conjunto-imagem de uma função, bem como, estabelecer uma noção para o conceito
de período através dos exemplos mostrados e a partir da pesquisa em livros didáticos e na internet.
Destaca-se a importância da realização desta atividade, uma vez que o conhecimento prévio é uma das
ferramentas utilizadas para a construção da compreensão. Outro ponto importante, refere-se a abordagem
do professor dentro da perspectiva da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da
Resolução de Problemas de modo que as atividades sejam investigativas para os estudantes (não apenas
nesse Momento mas também nos demais).
Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões do eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a
distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1).
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Domínio da função: o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ.
Conjunto-imagem da função: Im = −1, 1 .
Período da função: 2𝜋.
2. Considere um círculo centrado na origem de raio 1 e um ponto A (1, 0) em tal círculo. Partindo do
ponto A, se percorrermos o círculo no sentido positivo (anti-horário) até obter um arco cujo
comprimento é igual a x podemos determinar pela ordenada do ponto de parada no círculo o valor do
𝒔𝒆𝒏(𝒙). No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅
𝟐; no segundo quadrante, quando
𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝝅; no
terceiro quadrante, quando 𝝅 < 𝒙 <𝟑𝝅
𝟐; e no quarto quadrante, quando
𝟑𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅, quais são os
sinais da função? Como podemos observar essa informação no gráfico construído?
Com base no círculo trigonométrico, tendo o eixo y como o eixo dos senos, temos que: Primeiro quadrante
quando 0 < 𝑥 <𝜋
2: função positiva; Segundo quadrante quando
𝜋
2< 𝑥 < 𝜋: função positiva; Terceiro
quadrante quando 𝜋 < 𝑥 <3𝜋
2: função negativa; Quarto quadrante quando
3𝜋
2< 𝑥 < 2𝜋: função negativa.
No gráfico construído essa informação pode ser observada considerando, por exemplo, o intervalo de
0, 2𝜋 . No intervalo de 0, 𝜋 a imagem da função é positiva 0, 1 , enquanto que no intervalo de 𝜋, 2𝜋 a
imagem da função é negativa 0, −1 .
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Professor(a), admite-se que a introdução da trigonometria no círculo trigonométrico já foi estudada. Logo a
relação do valor de seno e cosseno com os eixos coordenados já foram entendidos. Sugere-se relembrar
esse aspecto antes do início dessa atividade.
Sugestão: Pode ser apresentado aos
estudantes um aplicativo do círculo
trigonométrico construído no software
GeoGebra para que os mesmos visualizem os
sinais da função seno para os 4 quadrantes ao
alterar o ângulo. Uma sugestão é o aplicativo
construído pelas autoras que está disponível
no link https://ggbm.at/ySFzCwR9
16
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Professor(a) no contexto das funções trigonométricas é importante ressaltar que o sinal da
função é avaliado com base na variável independente (x), logo o primeiro quadrante refere-se aos valores
de x contidos no intervalo de 0,𝜋
2, o segundo de
𝜋
2, 𝜋 , o terceiro de 𝜋,
3𝜋
2e o quarto de
3𝜋
2, 2𝜋 ,
conforme ilustra a figura abaixo.
3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒔𝒆𝒏(𝒙). O que você pode concluir?
Pode-se concluir que o gráfico da função f(x) = sen(x) é simétrico em relação ao eixo x ao gráfico da
função h(x) = −sen(x); os sinais da função nos quadrantes são alternados; o conjunto-imagem, o domínio
e o período são os mesmos.
Altere as configurações da função f(x) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la com linha tracejada.
Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2).
Sugestão: Pode ser apresentado aos
estudantes um aplicativo do círculo
trigonométrico construído no
software GeoGebra, que o relacione
com as funções seno e cosseno. Uma
sugestão é o aplicativo construído
pelas autoras que está disponível no
link https://ggbm.at/fhbqqvfz
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MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
4. Deixe os seletores 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟎 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor a. Observando o gráfico da função
determine, para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
O domínio da função é o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ; o conjunto-imagem se altera conforme é
movimentado o seletor a; e o período da função é 2𝜋.
4.1. Altere os valores da constante a, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores, em
módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
A constante a amplia verticalmente o gráfico da função quando 𝑎 > 1 e comprime verticalmente quando
𝑎 < 1, desta forma, a constante a altera a amplitude do gráfico da função, alterando também seu conjunto-
imagem.
5. Deixe os seletores 𝐚 = 𝟏, 𝐜 = 𝟎 𝐞 𝐝 = 𝟎 e movimente o seletor b. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝐠(𝐱).
O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1, 1 ; e o período da
função se altera conforme o seletor b é movimentado.
5.1. Altere os valores da constante b, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
Valor de a Alteração no gráfico
–2 Altera o conjunto-imagem para −2, 2
–0,5 Altera o conjunto-imagem para −0,5, 0,5
0,2 Altera o conjunto-imagem para −0,2, 0,2
0,4 Altera o conjunto-imagem para −0,4, 0,4
0,5 Altera o conjunto-imagem para −0,5, 0,5
1,5 Altera o conjunto-imagem para −1,5, 1,5
2,0 Altera o conjunto-imagem para −2, 2
4,0 Altera o conjunto-imagem para −4, 4
Professor(a), você pode orientar que os estudantes determinem estas informações com base no valor inicial
da constante que será movimentada (𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0 e 𝑑 = 0) ou então que escrevam qual informação
é modificada quando tal constante é alterada.
18
5.2. Qual a alteração, provocada pela constante b, no gráfico da função? Analise as alterações para valores,
em módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
A constante b amplia o período da função se 𝑏 < 1 e comprime se 𝑏 > 1, com o novo período 𝑝 =𝑝𝑡
𝑏, no
qual 𝑝𝑡 corresponde ao período da função trigonométrica que está sendo analisada. Quanto maior o valor da
constante b menor é o período da função, e quanto menor o valor da constante b maior é o período.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de b Alteração no gráfico
–2 Altera o período da função para 𝜋
–0,5 Altera o período da função para 4𝜋
0,2 Altera o período da função para 10𝜋
0,4 Altera o período da função para 5𝜋
0,5 Altera o período da função para 4𝜋
2,0 Altera o período da função para 𝜋
4,0 Altera o período da função para 𝜋
2
Professor(a), comente com os estudantes que existe uma “fórmula” que permite determinar o período de
uma função trigonométrica. Solicite que pesquisem pela fórmula em livros didáticos e na internet, e na
sequência, que eles determinem o período com base na fórmula e façam a comparação com o período
identificado através da movimentação do controle deslizante.
Valor de b Período da função
–2 𝑝 =2𝜋
−2=2𝜋
2= 𝜋
–0,5 𝑝 =2𝜋
−0,5=2𝜋
0,5= 4𝜋
0,2 𝑝 =𝑝𝑡𝑏
=2𝜋
0,2=2𝜋
0,2= 10𝜋
0,4 𝑝 =2𝜋
0,4=2𝜋
0,4= 5𝜋
0,5 𝑝 =2𝜋
0,5=2𝜋
0,5= 4𝜋
2,0 𝑝 =2𝜋
2= 𝜋
4,0 𝑝 =2𝜋
4=𝜋
2
19
6. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝐛 = 𝟏 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor c. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1,1 ; e o período da
função é 2𝜋.
6.1. Altere os valores da constante c, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
6.2. Qual a alteração, provocada pela constante c, no gráfico da função?
A constante c translada o gráfico da função em𝑐
𝑏unidades para a esquerda se 𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑐 <
0.
7. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟏 𝐞 𝒄 = 𝟎 e movimente o seletor d. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
O domínio da função é o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ; o conjunto-imagem da função se altera
conforme é movimentado o seletor d; e o período da função é 2𝜋.
7.1. Altere os valores da constante d, conforme valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece com
o gráfico.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de c Alteração no gráfico
–2 Desloca o gráfico para a direita
–1 Desloca o gráfico para a direita
1 Desloca o gráfico para a esquerda
2 Desloca o gráfico para a esquerda
Valor de c Deslocamento horizontal
–2𝑐
𝑏=
−2
2𝜋=
2
2𝜋=
1
𝜋unidades para a direita
–1𝑐
𝑏=
−1
2𝜋=
1
2𝜋=
1
2𝜋unidades para a direita
1𝑐
𝑏=
1
2𝜋=
1
2𝜋unidades para a esquerda
2𝑐
𝑏=
2
2𝜋=
2
2𝜋=
1
𝜋unidades para a esquerda
Professor(a), comente com os estudantes que existe uma fórmula que permite expressar o deslocamento de
uma função trigonométrica em 𝜋 unidades. Solicite que pesquisem pela fórmula em livros didáticos e na
internet, e na sequência, que eles determinem esse deslocamento. Caso os estudantes não encontrarem a
fórmula, apresente a mesma na formalização do conteúdo.
20
.
7.2. Qual a alteração, provocada pela constante d, no gráfico da função?
A constante d translada o gráfico da função em 𝑑 unidades para cima quando 𝑑 > 0, ou para baixo quando
𝑑 < 0, desta forma, a constante d altera o conjunto-imagem da função.
PARTE 2 – FUNÇÃO COSSENO
1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).
1.1. Analise o gráfico e determine: o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o período P dessa função.
Domínio da função: o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ.
Conjunto-imagem da função: Im = −1, 1 .
Período da função: 2𝜋.
2. Considere um círculo centrado na origem de raio 1 e um ponto A (1, 0) em tal círculo. Partindo do
ponto A, se percorrermos o círculo no sentido positivo (anti-horário) até obter um arco cujo
comprimento é igual a x podemos determinar pela abscissa do ponto de parada no círculo do valor do
𝒔𝒆𝒏(𝒙). No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅
𝟐; no segundo quadrante, quando
𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝝅; no
terceiro quadrante, quando 𝝅 < 𝒙 <𝟑𝝅
𝟐; e no quarto quadrante, quando
𝟑𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅, quais seriam os
sinais da função? Como podemos observar essa informação no gráfico construído?
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de d Alteração no gráfico
–2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para baixo
e altera a imagem da função para −3,−1 .
–1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para baixo e
altera a imagem da função para −2, 0 .
1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para cima e
altera a imagem da função para 0, 2 .
2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para cima e
altera a imagem da função para 1, 3 .
Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões do eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a
distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1).
21
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Com base no círculo trigonométrico, tendo o eixo y como o eixo dos cossenos, temos que: primeiro
quadrante quando 0 < 𝑥 <𝜋
2: função positiva; segundo quadrante quando
𝜋
2< 𝑥 < 𝜋: função negativa;
terceiro quadrante quando 𝜋 < 𝑥 <3𝜋
2: função negativa; quarto quadrante quando
3𝜋
2< 𝑥 < 2𝜋: função
positiva. No gráfico construído essa informação pode ser observada considerando, por exemplo, o intervalo
de 0, 2𝜋 . No intervalo de 0,𝜋
2e no intervalo de
3𝜋
2, 2𝜋 a imagem da função é positiva 0, 1 , enquanto
que no intervalo de𝜋
2,3𝜋
2a imagem da função é negativa 0,−1 .
3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔(𝒙). O que você pode concluir?
Pode-se concluir que o gráfico da função f(x) = cos(x) é simétrico em relação ao eixo x ao gráfico da
função h(x) = −cos(x); os sinais da função nos quadrantes são alternados; o conjunto-imagem, o domínio e
o período são os mesmos.
Sugestão: Pode ser apresentado aos
estudantes um aplicativo do círculo
trigonométrico construído no software
GeoGebra para que os mesmos visualizem
os sinais da função seno para os 4
quadrantes ao alterar o ângulo. Uma
sugestão é o aplicativo construído pelas
autoras que está disponível no link
https://ggbm.at/ySFzCwR9
22
4. Deixe os seletores 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟎 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor a. Observando o gráfico da função,
determine, para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
O domínio da função é o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ; o conjunto-imagem se altera conforme é
movimentado o seletor a; e o período da função é 2𝜋.
4.1. Altere os valores da constante a, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores,
em módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
A constante a amplia verticalmente o gráfico da função quando 𝑎 > 1 e comprime verticalmente quando
𝑎 < 1, desta forma, a constante a altera a amplitude do gráfico, alterando também o conjunto-imagem da
função.
5. Deixe os seletores 𝐚 = 𝟏, 𝐜 = 𝟎 𝐞 𝐝 = 𝟎 e movimente o seletor b. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝐠(𝐱).
O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1, 1 ; e o período da
função se altera conforme o seletor b é movimentado.
5.1. Altere os valores da constante b, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Altere as configurações da função f(x) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la com linha tracejada.
Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2).
Valor de a Alteração no gráfico
–2 Altera o conjunto-imagem para −2, 2
–0,5 Altera o conjunto-imagem para −0,5, 0,5
0,2 Altera o conjunto-imagem para −0,2, 0,2
0,4 Altera o conjunto-imagem para −0,4, 0,4
0,5 Altera o conjunto-imagem para −0,5, 0,5
1,5 Altera o conjunto-imagem para −1,5, 1,5
2,0 Altera o conjunto-imagem para −2, 2
4,0 Altera o conjunto-imagem para −4, 4
Professor(a), a mesma orientação dada na questão número 4 da Parte 1 também é válida para estas
atividades.
23
5.2. Qual a alteração, provocada pela constante b, no gráfico da função? Analise as alterações para valores,
em módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
A constante b amplia o período da função se 𝑏 < 1 e comprime se 𝑏 > 1, com o novo período 𝑝 =𝑝𝑡
𝑏, no
qual 𝑝𝑡 corresponde ao período da função trigonométrica que está sendo analisada. Quanto maior o valor da
constante b menor é o período da função, e quanto menor o valor da constante b maior é o período.
6. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝐛 = 𝟏 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor c. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de b Alteração no gráfico
–2 Altera o período da função para 𝜋
–0,5 Altera o período da função para 4𝜋
0,2 Altera o período da função para 10𝜋
0,4 Altera o período da função para 5𝜋
0,5 Altera o período da função para 4𝜋
2,0 Altera o período da função para 𝜋
4,0 Altera o período da função para 𝜋
2
Professor(a), relembre os estudantes da fórmula pesquisada para o cálculo do período da função seno.
Solicite que pesquisem pela fórmula que determina o período da função cosseno. Na sequência, peça que
eles determinem o período com base na fórmula e façam a comparação com o período identificado através
da movimentação do parâmetro. É interessante que os estudantes percebam que a fórmula é a mesma.
Valor de b Período da função
–2 𝑝 =2𝜋
−2=2𝜋
2= 𝜋
–0,5 𝑝 =2𝜋
−0,5=2𝜋
0,5= 4𝜋
0,2 𝑝 =𝑝𝑡𝑏
=2𝜋
0,2=2𝜋
0,2= 10𝜋
0,4 𝑝 =2𝜋
0,4=2𝜋
0,4= 5𝜋
0,5 𝑝 =2𝜋
0,5=2𝜋
0,5= 4𝜋
2,0 𝑝 =2𝜋
2= 𝜋
4,0 𝑝 =2𝜋
4=𝜋
2
24
O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1,1 ; e o período da
função é 2𝜋.
6.1. Altere os valores da constante c, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
6.2. Qual a alteração, provocada pela constante c, no gráfico da função?
A constante c translada o gráfico da função em𝑐
𝑏unidades para a esquerda se 𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑐 <
0.
7. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟏 𝐞 𝒄 = 𝟎 e movimente o seletor d. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
O domínio da função é o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ; o conjunto-imagem se altera conforme é
movimentado o seletor d; e o período da função é 2𝜋.
7.1. Altere os valores da constante d, conforme valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece com
o gráfico.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de c Alteração no gráfico
–2 Desloca o gráfico para a direita
–1 Desloca o gráfico para a direita
1 Desloca o gráfico para a esquerda
2 Desloca o gráfico para a esquerda
Valor de c Deslocamento horizontal
–2𝑐
𝑏=
−2
2𝜋=
2
2𝜋=
1
𝜋unidades para a direita
–1𝑐
𝑏=
−1
2𝜋=
1
2𝜋=
1
2𝜋unidades para a direita
1𝑐
𝑏=
1
2𝜋=
1
2𝜋unidades para a esquerda
2𝑐
𝑏=
2
2𝜋=
2
2𝜋=
1
𝜋unidades para a esquerda
Professor(a), comente com os estudantes que existe uma fórmula que permite expressar o deslocamento de
uma função trigonométrica em 𝜋 unidades. Solicite que pesquisem pela fórmula em livros didáticos e na
internet, e na sequência, que eles determinem esse deslocamento. É interessante que os estudantes
percebam que a fórmula é a mesma da função seno.
25
7.2. Qual a alteração, provocada pela constante d, no gráfico da função?
A constante d translada o gráfico da função em 𝑑 unidades para cima quando 𝑑 > 0, ou para baixo quando
𝑑 < 0, desta forma, a constante d altera o conjunto-imagem da função.
PARTE 3 – COMPARANDO AS FUNÇÕES SENO E COSSENO
1. Digite no Campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).
1.1 Analisando os gráficos, como podemos identificar a curva referente à função seno e à função cosseno?
Qual a diferença entre elas?
Podemos identificar a curva referente à função seno e à função cosseno através da imagem da função para
𝑥 = 0. A função seno, para 𝑥 = 0, tem imagem zero, enquanto que a função cosseno, tem imagem 1.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de d Alteração no gráfico
–2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para baixo
e altera a imagem da função para −3,−1 .
–1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para baixo e
altera a imagem da função para −2, 0 .
1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para cima e
altera a imagem da função para 0, 2 .
2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para cima e
altera a imagem da função para 1, 3 .
Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões do eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a
distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1).
Professor(a), por meio de questionamentos, você pode mediar uma discussão com os estudantes permitindo
que os mesmos consigam identificar que a função cosseno não é uma nova curva, mas trata-se da curva da
função seno deslocada𝜋
2unidades para a direita.
26
PARTE 4 – GENERALIZANDO
De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑
Em que a, b, c e d são constantes (𝑎, 𝑏 ≠ 0) e “trig” indica uma das seis funções trigonométricas (seno,
cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).
As funções do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑 têm características que podem ser relacionadas com as
funções trigonométricas e seus gráficos padrões (quando 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0, 𝑑 = 0). Com base na
observação das atividades anteriores, vamos generalizar as alterações provocadas pelas constantes.
1. Digite no campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅 e 𝐠 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅
e a partir dos controles deslizantes descreva as alterações que são provocadas por cada uma das
constantes nas curva das funções.
1.1. Alteração provocada pela constante a: amplia verticalmente o gráfico da função quando 𝑎 > 1 e
comprime verticalmente quando 𝑎 < 1, desta forma, a constante a altera a amplitude do gráfico da função,
alterando também o seu conjunto-imagem.
1.2. Alteração provocada pela constante b: amplia o período da função se 𝑏 < 1 e comprime se 𝑏 > 1,
com o novo período 𝑝 =𝑝𝑡
𝑏, no qual 𝑝𝑡 corresponde ao período da função trigonométrica que está sendo
analisada. Quanto maior o valor da constante b menor é o período da função, e quanto menor o valor da
constante b maior é o período.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Professor(a), esta atividade é de suma importância, uma vez que permite com que os estudantes percebam
que as constantes provocam as mesmas alterações no gráfico das funções, sendo a diferença entre um
gráfico e outro a função trigonométrica seno ou cosseno.
27
1.3. Alteração provocada pela constante c: translada o gráfico da função em𝑐
𝑏unidades para a esquerda se
𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑐 < 0.
1.4. Alteração provocada pela constante d: translada o gráfico da função em 𝑑 unidades para cima quando
𝑑 > 0, ou para baixo quando 𝑑 < 0, desta forma, a constante d altera o conjunto-imagem da função.
ORIENTAÇÕES PARA A FORMALIZAÇÃO
Caro(a) professor(a), finalizada as primeiras atividades do Momento 01, é chegado o momento da
formalização dos conceitos e características construídos. Seguindo os preceitos da Metodologia de Ensino-
Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas conforme descreve Onuchic e Allevato (2011),
o(a) professor(a) deve registrar na lousa uma apresentação formal, em linguagem matemática, dos conceitos
e propriedades que foram construídos no decorrer do processo de resolução do problema.
Destaca-se a importância do uso figuras (gráficos) para a formalização destes conceitos, uma vez que
os mesmos podem ser melhor compreendidos visualmente. Desta forma, como os estudantes fizeram a
construção dos conceitos utilizando o GeoGebra, o professor pode utilizar do mesmo recurso para a
formalização, tornando-a mais dinâmica e colaborativa.
Na formalização, é importante que o professor verifique se as informações referentes ao domínio,
conjunto-imagem, período, sinais da função e alteração provocada por cada uma das constantes foram bem
compreendidas pelos estudantes, assim como a diferença entre a função seno e cosseno. Também, a noção de
que a função cosseno não é uma nova curva e sim a função seno deslocada𝜋
2unidades para a direita é um
ponto que precisa ser destacado e compreendido.
Após a formalização dos conceitos, é interessante que o(a) professor(a) proponha aos estudantes a
resolução de novos problemas, esta etapa consiste no 10º passo apresentado por Allevato e Onuchic (2014)
em seu roteiro de trabalho com a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de
Problemas. De acordo com as autoras, a proposição e resolução de novos problemas após a formalização dos
conceitos construídos a partir da resolução do problema gerador, possibilita que o(a) professor(a) analise o
nível de compreensão dos estudantes a respeito dos elementos essenciais a este conteúdo matemático e que
estes solidifiquem a aprendizagem que foi construída nas etapas anteriores e ainda que aprofundem e
ampliem as compreensões acerca do conteúdo que foi estudado.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS 28
Desta forma, com o objetivo de promover o entendimento de como seria a representação gráfica de
uma função trigonométrica, na qual, mais de uma constante está incluída, propõe-se a construção de alguns
gráficos.
É importante propor que os estudantes façam a construção dos gráficos das funções seno e cosseno
em etapas, para assim reforçar qual é a alteração de cada uma das constantes no gráfico. Como por exemplo,
se a função for 𝑓 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1, primeiro propor que se faça a construção do gráfico da função
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , em seguida, 𝑓 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e para finalizar, o gráfico da função 𝑓 𝑥 = −2 ∙
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1.
PARTE 5 – CONSTRUINDO GRÁFICOS
Visando a compreensão das alterações provocadas por cada uma das constantes no gráfico de uma função
trigonométrica, propõe-se a construção de 6 gráficos, sempre enfatizando que os estudantes façam uma
previsão inicial de como será sua representação com base nas constantes.
1. Analise as leis de formação abaixo, identifique qual a alteração provocada por cada uma das
constantes, faça a construção do gráfico e determine o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o
período P para cada uma delas.
a) 𝒇 𝒙 = 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑
Quando as alterações provocadas pelas constantes 2 e 3, espera-se que os estudantes identifiquem que a
constante 2 promove uma alteração na amplitude do gráfico, alterando assim, o conjunto-imagem da função,
e que este será novamente alterado, uma vez que a constante 3 promove um deslocamento vertical da função
em 3 unidades para cima.
Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
0 0
𝜋
21
𝜋 0
3𝜋
2
–1
2𝜋 0
29
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Desta forma, os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0, 0 ,𝜋
2, 1 , 𝜋, 0 ,
3𝜋
2, −1 e 2𝜋, 0 .
Desenhando o traçado pelos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Período: 2𝜋
Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Para tanto faz-se necessário tomar ao valores de y calculados anteriormente para a função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e
multiplicá-los por 2.
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0, 0 ,𝜋
2, 2 , 𝜋, 0 ,
3𝜋
2, −2 e 2𝜋, 0 .
x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
0 0 0
𝜋
21 2
𝜋 0 0
3𝜋
2–1 –2
2𝜋 0 0
30
Desenhando o traçado pelos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −2, 2
Período: 2𝜋
Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3.
Para tanto, faz-se necessário tomar os valores de y calculados para a função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e somar 3
unidades a cada valor de y.
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0, 3 ,𝜋
2, 5 , 𝜋, 3 ,
3𝜋
2, 1 e 2𝜋, 3 .
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3
0 0 0 3
𝜋
21 2 5
𝜋 0 0 3
3𝜋
2–1 –2 1
2𝜋 0 0 3
31
Desenhando o traçado pelos pontos, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = 1, 5
Período: 2𝜋
b) 𝒈 𝒙 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
Espera-se que os estudantes percebam que a constante 4 promove uma alteração na amplitude do gráfico da
função, alterando desta forma, o conjunto-imagem da função.
Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = cos(𝑥).
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
−𝜋 –1
−𝜋
20
0 1
𝜋
20
𝜋 –1
3𝜋
20
2𝜋 1
5𝜋
20
3𝜋 –1
Professor(a), é importante
ressaltar que como o
domínio da função são os
números reais, 𝐷 𝑓 = ℝ, a
variável x pode assumir
valores menores que 0 e
maiores que 2𝜋 . Faz-se
necessário que os
estudantes estendam os
ângulos notáveis para além
de uma volta no círculo
trigonométrico.
32
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋,−1 , −𝜋
2, 0 , 0, 1 ,
𝜋
2, 0 𝜋, −1 ,
3𝜋
2, 0 ,
2𝜋, 1 ,5𝜋
2, 0 e 3𝜋, 1 .
Desenhando o traçado pelos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Período: 2𝜋
Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ cos(𝑥).
Para a construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ cos(𝑥), toma-se os valores de y para a função 𝑔 𝑥 =
cos(𝑥) e multiplica-se cada um deles por 4.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
−𝜋 –1 –4
−𝜋
20 0
0 1 4
𝜋
20 0
𝜋 –1 –4
3𝜋
20 0
2𝜋 1 4
5𝜋
20 0
3𝜋 –1 –4
33
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋,−4 , −𝜋
2, 0 , 0, 4 ,
𝜋
2, 0 𝜋, −4 ,
3𝜋
2, 0 ,
2𝜋, 4 ,5𝜋
2, 0 e 3𝜋, −4 .
Desenhando o traçado pelos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −4, 4
Período: 2𝜋
c) 𝒉 𝒙 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟐
Espera-se que os estudantes percebam que a constante –1 e 2 promovem alterações na amplitude do gráfico,
alterando assim, o conjunto-imagem da função, e que esta será novamente alterado, uma vez que a constante
2 promove um deslocamento vertical da função em 2 unidades para cima.
Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = cos 𝑥 .
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
0 1
𝜋
20
𝜋 –1
3𝜋
20
2𝜋 1
34
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0, 1 ,𝜋
2, 0 , 𝜋, −1 ,
3𝜋
2, 0 e 2𝜋, 1 .
Desenhando o traçado pelos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Período: 2𝜋
Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 .
Para a construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 , toma-se os valores de y para a função ℎ 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 𝑥 e multiplica-se cada um dos valores por –1.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙)
0 1 –1
𝜋
20 0
𝜋 –1 1
3𝜋
20 0
2𝜋 1 –1
35
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0,−1 ,𝜋
2, 0 , 𝜋, 1 ,
3𝜋
2, 0 e 2𝜋, −1 .
Desenhando o traçado pelos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Período: 2𝜋
Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = − cos 𝑥 + 2.
Para construir o gráfico da função ℎ 𝑥 = − cos 𝑥 + 2, toma-se os valores de y para a função ℎ 𝑥 =
− cos 𝑥 e soma-se 2 unidades a cada um dos valores, ou ainda
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0, 1 ,𝜋
2, 2 , 𝜋, 3 ,
3𝜋
2, 2 e 2𝜋, 1 .
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨 𝐬 𝒙 + 𝟐
0 1 –1 1
𝜋
20 0 2
𝜋 –1 1 3
3𝜋
20 0 2
2𝜋 1 –1 1
36
Desenhando o traçado dos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = 1, 3
Período: 2𝜋
d) 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
Espera-se que os estudantes percebam que a constante 2 promove alterações no período da função, e que
como a constante é maior do que 1, o período da função será comprimido.
Cálculo do valor de x: 2𝑥 =𝜋
2
Isolando x, tem-se: 𝑥 =𝜋
2
2→ 𝑥 =
𝜋
4.
Repetindo este processo para os demais valores do arco 2𝑥, tem-se os seguintes valores de x e y.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Professor(a), neste caso, o arco da função seno é da forma 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0 e 𝑎 ≠ 1 ou 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0,
desta forma, deve-se construir uma tabela com três colunas, sendo uma para o arco (𝑎𝑥 + 𝑏), uma para os
valores de x e uma para os valores de y. Para construir o gráfico da função 𝑧 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), ao arco 2𝑥deve-se atribuir os valores desejados, para a partir deles determinar os valores de x e y. Para determinar os
valores de x a partir do arco 2𝑥 é necessário atribuir a x a metade do valor do arco, ou seja, isolar o x da
equação.
37
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝟐𝒙 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
−𝜋
2−𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ −
𝜋
2→ 𝑠𝑒𝑛 −𝜋 = 0
−𝜋
4−𝜋
2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ −
𝜋
4→ 𝑠𝑒𝑛 −
𝜋
2= −1
0 0 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 0 → 𝑠𝑒𝑛 0 = 0
𝜋
4
𝜋
2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙
𝜋
4→ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2= 1
𝜋
2𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙
𝜋
2→ 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 0
3𝜋
4
3𝜋
2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙
3𝜋
4→ 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2= −1
𝜋 2𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 𝜋 → 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 = 0
5𝜋
4
5𝜋
2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙
5𝜋
4→ 𝑠𝑒𝑛
5𝜋
2= 1
3𝜋
23𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙
3𝜋
2→ 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 = 0
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋
2, 0 , −
𝜋
4, −1 , 0, 0 ,
𝜋
4, 1 ,
𝜋
2, 0 ,
3𝜋
4, −1 ,
𝜋, 0 ,5𝜋
4, 1 e
3𝜋
2, 0 .
Desenhando o traçado dos pontos marcados, tem-se:
38
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Período: 𝜋
e) 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅
𝟒.
Espera-se que os estudantes percebam que a constante −𝜋
4provoca um deslocamento horizontal da função
em𝜋
4unidades para a direita.
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são:𝜋
4, 1 ,
3𝜋
4, 0 ,
5𝜋
4, −1 ,
7𝜋
4, 0 e
9𝜋
4, 1 .
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒙 −𝝅
𝟒 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅
𝟒𝜋
40 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
4−𝜋
4→ cos 0 = 1
3𝜋
4
𝜋
2 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠3𝜋
4−𝜋
4→ 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2= 0
5𝜋
4
𝜋𝑦 = 𝑐𝑜𝑠
5𝜋
4−𝜋
4→ 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = −1
7𝜋
4
3𝜋
2 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠7𝜋
4−𝜋
4→ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2= 0
9𝜋
4
2𝜋𝑦 = 𝑐𝑜𝑠
9𝜋
4−𝜋
4→ 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 = 1
Professor(a), para a construção deste gráfico, ao arco 𝑥 −𝜋
4deve-se atribuir os valores desejados, para a
partir deles determinar os valores de x e y. Para determinar os valores de x, atribui-se para x a soma de𝜋
4
aos valores dos arcos.
39
Desenhando o traçado dos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Período: 2𝜋
f) 𝒗 𝒙 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏
Espera-se que os estudantes identifiquem que a constante –2 promove uma alteração na amplitude do
gráfico, alterando desta forma o conjunto-imagem da função. Além disso, que a constante –1 provoca um
deslocamento do gráfico da função em uma unidade para baixo, modificando novamente o conjunto-
imagem.
Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
−𝜋 0
−𝜋
2–1
0 0
𝜋
21
𝜋 0
3𝜋
2–1
2𝜋 0
5𝜋
21
3𝜋 0
40
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋, 0 , −𝜋
2, −1 , 0, 0 ,
𝜋
2, 1 , 𝜋, 0 ,
3𝜋
2, −1 ,
2𝜋, 0 ,5𝜋
2, 1 e 3𝜋, 0 .
Desenhando o traçado dos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1
Período: 2𝜋
Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
Para a construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , toma-se os valores de y para a função 𝑣 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 e multiplica-se cada um dos valores por –2.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
−𝜋 0 0
−𝜋
2–1 2
0 0 0
𝜋
21 –2
𝜋 0 0
3𝜋
2–1 2
2𝜋 0 0
5𝜋
21 –2
3𝜋 0 0
41
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋, 0 , −𝜋
2, 2 , 0, 0 ,
𝜋
2, −2 , 𝜋, 0 ,
3𝜋
2, 2 ,
2𝜋, 0 ,5𝜋
2, −2 e 3𝜋, 0 .
Desenhando o traçado dos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −2, 2
Período: 2𝜋
Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1.
Para a construção do gráfico da função v 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1, toma-se os valores de y para a função
v 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥), e subtrai-se de cada um dos valores 1 unidade.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS 42
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏
−𝜋 0 0 –1
−𝜋
2–1 2 1
0 0 0 –1
𝜋
21 –2 –3
𝜋 0 0 –1
3𝜋
2–1 2 1
2𝜋 0 0 –1
5𝜋
21 –2 –3
3𝜋 0 0 –1
Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋,−1 , −𝜋
2, 1 , 0, −1 ,
𝜋
2, −3 , 𝜋, −1 ,
3𝜋
2, 1 , 2𝜋,−1 ,
5𝜋
2, −3 e 3𝜋,−1 .
Desenhando o traçado dos pontos marcados, tem-se:
Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ
Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −3, 1
Período: 2𝜋
43
Caro(a) professor(a)
As atividades que são apresentadas a seguir, referem-se ao Momento 02 deste ciclo de atividades.
No Momento 02, denominado de Modelagem, a partir da coleta, análise e investigação de dados, são
construídas as leis de formação que descrevem o comportamento periódico de três situações do mundo real
(ondas de marés, duração do dia e temperatura do ar). Pretende-se que os estudantes construam
procedimentos, a partir da disposição dos pontos do gráfico, para determinar os parâmetros da lei de
formação que permitem ajustar o fenômeno à uma função. Nesse sentido, são propostas questões que
problematizam e norteiam a investigação dos parâmetros, sendo o GeoGebra utilizado apenas para validar as
conclusões obtidas e melhorar a qualidade do ajuste. Nessas atividades acredita-se que os estudantes
reconheçam pela disposição dos pontos que se trata de uma função seno ou cosseno e que identifiquem qual
parâmetro deve ser inserido para ajustar à função aos pontos, sendo que a determinação do valor desses
parâmetros seja o novo procedimento a ser construído como resultado dos problemas propostos.
As atividades propostas obedecem a seguinte ordem:
Ondas de marés – onde o novo conhecimento matemático a ser construído pelos estudantes está na
determinação de um procedimento que permite definir o valor efetivo da constante a, responsável
pela alteração na amplitude da função e consequentemente no conjunto-imagem.
Duração do dia e da noite – onde o novo conhecimento matemático a ser construído pelos
estudantes está na determinação de um procedimento que permite definir o valor efetivo da
constante d, responsável pelo deslocamento vertical da função.
Temperatura do ar - trata-se da proposição de um novo problema para verificar a compreensão
matemática.
44
Ao permanecer por um longo tempo na praia, você já deve ter observado que existe uma variação do
nível de água do mar sobre a faixa de areia (litoral). Em alguns momentos, a água recua deixando assim uma
maior faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou mais largo; já em outros momentos, a água avança
para a faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou um tanto mais estreito. Um dos principais
fenômenos responsáveis pela movimentação diária das águas dos mares e oceanos são as marés.
A maré é a oscilação vertical da superfície do mar sobre a Terra, ou seja, é a movimentação diária,
avanço e recuo, das águas oceânicas em relação ao litoral. O maior nível das águas do mar é chamado de
maré alta ou preamar e, o menor nível recebe o nome de maré baixa ou baixa-mar. Quando as águas
oceânicas avançam para o litoral diz-se que a maré é alta, quando recuam, diz-se que a maré é baixa.
As marés são provocadas pela atração gravitacional que a Lua exerce sobre o planeta Terra. A Lua dá
voltas em torno da Terra e, neste movimento a Terra é atraída pela Lua, assim como também a Lua é atraída
pela Terra pela força da gravidade. O Sol também exerce influência na movimentação das águas oceânicas,
no entanto a influência da Lua é muito mais forte por estar mais próxima da Terra. Outro fator que tem
influência nesta movimentação, é a rotação da Terra sobre o seu eixo, fazendo com que uma metade do
nosso planeta esteja sempre voltado para a Lua e, essa estará exercendo seu poder sobre as águas
ocasionando a maré alta, enquanto que na outra metade, tem-se a maré baixa. Como acontece a
movimentação da Terra e da Lua, a atração da Lua não fica restrita apenas a uma parte do nosso planeta, ou
seja, ao se mover, a atração da Lua faz a água subir e descer em diferentes partes do planeta, desta forma, a
maré pode estar alta em uma parte do planeta e baixa em outra.
As marés ocorrem todos os dias sendo que a dinâmica de avançar e recuar em relação ao litoral
acontece em intervalos de aproximadamente 6 horas. Normalmente, ocorrem 4 marés diárias: duas marés
altas e duas marés baixas; isso acontece pois ao mesmo tempo que a Lua faz a água avançar pelo litoral do
lado que está virada para ela, ela também recua a água do litoral do lado oposto do planeta.
A altura da maré alta e baixa corresponde ao nível de água em relação ao plano do zero hidrográfico
(nível de referência pela qual são determinadas as alturas das marés). Este nível de referência normalmente é
definido pelo nível mais baixo das marés baixas (média das marés baixas de sizígia4) registradas em um
determinado período de observação, e varia de um lugar para o outro. A altura das marés alta e baixa de
acordo com o nível do mar médio, variam.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Fonte: Maré baixa e maré alta3
45
Nas fases de Lua nova e cheia, a força gravitacional do Sol está na mesma direção da força
gravitacional da Lua, produzindo assim marés mais altas, chamadas de marés de sizígia; já nas fases de Lua
minguante e crescente, as forças gravitacionais do Sol estão em direções diferentes da força gravitacional da
Lua, o que ocasiona marés mais baixas, chamadas maré de quadratura.
O subir e descer das marés regula, de muitas maneiras, as atividades diárias das pessoas que vivem à
beira mar, como a escolha do melhor horário para a procura de mariscos e o melhor momento para atracar os
barcos. Desta forma, os trabalhadores da pesca e da navegação, guiam-se pelas previsões das marés para a
realização de suas atividades. As previsões de marés são feitas através dos resultados coletados da
observação de um medidor (marégrafo) analisadas juntamente com a reação dos níveis das águas em relação
a movimentação da Terra, Lua e o Sol; e as posições futuras da Terra, do Sol e da Lua que são conhecidas.
Para analisar o comportamento das movimentações oceânicas, colete dados referente à altura das
marés de um porto. Você pode escolher qualquer porto e a altura relacionada à maré baixa ou à maré alta.
Para tanto você deve registrar na Tabela 1 os dados correspondentes à 2 meses quaisquer.
Sugere-se como consulta o site de Previsão de Marés da Marinha
do Brasil - https://www.marinha.mil.br/chm/dados-do-segnav-publicacoes/tabuas-das-mares
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Fonte: Zero hidrográfico5
Professor(a), um vídeo, desenvolvido pelo Departamento de Física da
Universidade do Estado de Santa Catarina, pode ser exibido para acompanhar
essa explicação do fenômeno das marés:
https://www.youtube.com/watch?v=bFKHFwc4-Qs.
Professor(a), se não houver internet a disposição na escola para a realização da pesquisa, sugere-se que
você faça a coleta de dados para um determinado porto de sua escolha e leve-os para que os estudantes
possam realizar a atividade em sala, ou então, que propicie um material de apoio para que os estudantes
consigam realizar a coleta de dados como atividade extraclasse. Caso a escola disponha de internet, o(a)
professor(a) pode propor que os estudantes se organizem de modo a analisar situações diferentes.
46
Porto: Porto de Itajaí
Localização: Itajaí/SC
Período (mês/ano): Agosto/2016 – Setembro/2016
( x ) maré alta ( ) maré baixa
Tabela 1: Tábuas de marés
Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a altura da maré (m), como
você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de
atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Dias Altura (m) Dias Altura (m)
1 1,1 32 1,1
2 1,1 33 1,2
3 1,2 34 1,2
4 1,1 35 1,1
5 1,1 36 1,1
6 1,1 37 1,0
7 1,0 38 0,9
8 0,9 39 0,8
9 0,9 40 0,8
10 0,8 41 0,7
11 0,8 42 0,8
12 0,8 43 0,9
13 0,8 44 1,0
14 0,9 45 1,1
15 1,0 46 1,2
16 1,1 47 1,2
17 1,2 48 1,2
18 1,2 49 1,2
19 1,2 50 1,2
20 1,2 51 1,1
21 1,1 52 1,0
22 1,0 53 0,9
23 0,9 54 0,8
24 0,8 55 0,8
25 0,8 56 0,8
26 0,8 57 0,9
27 0,8 58 1,0
28 0,9 59 1,0
29 1,0 60 1,1
30 1,1 61 1,1
31 1,1 62 --
47
A variável dependente corresponde a altura da maré, dado que é possível verificar que existe uma relação
entre as alturas e o tempo, e dentro de um determinado período essa altura volta a se repetir; a variável
independente corresponde ao tempo (em dias). Atribuir a cada par de valores da tabela um ponto em
coordenadas (x, y) significa que as grandezas envolvidas na situação analisada podem ser relacionadas de
modo que uma grandeza é dada em função da outra.
Para facilitar a análise dos dados, determine o valor da média aritmética das alturas das marés e de cada
altura subtraía esse valor médio. Esses valores deverão ser considerados para determinar os pontos que
devem ser usados para representar a situação.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Professor(a), para esta atividade você pode propor que os estudantes façam o cálculo da média utilizando o
computador (Apêndice 3), ou então que calculem a média de forma manual. O mesmo pode ser proposto
para a atividade em que se faz necessário subtrair a média de cada uma das alturas (Apêndice 4). A
finalidade dessa operação está em deslocar o gráfico sobre o eixo das abscissas e desta forma, não inserir a
constante d na lei de formação.
x y
1 0,1
2 0,1
3 0,2
4 0,1
5 0,1
6 0,1
7 0,0
8 – 0,1
9 – 0,1
10 – 0,2
11 – 0,2
12 – 0,2
13 – 0,2
14 – 0,1
15 0,0
16 0,1
17 0,2
18 0,2
19 0,2
20 0,2
21 0,1
22 0
23 – 0,1
24 – 0,2
x y
25 – 0,2
26 – 0,2
27 – 0,2
28 – 0,1
29 0,0
30 0,1
31 0,1
32 0,1
33 0,2
34 0,2
35 0,1
36 0,1
37 0,0
38 – 0,1
39 – 0,2
40 – 0,2
41 – 0,3
42 – 0,2
43 – 0,1
44 0,0
45 0,1
46 0,2
47 0,2
48 0,2
x y
49 0,2
50 0,2
51 0,1
52 0,0
53 – 0,1
54 – 0,2
55 – 0,2
56 – 0,2
57 – 0,1
58 0,0
59 0,0
60 0,1
61 0,1
48
Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, utilizando o software GeoGebra (conforme
Apêndice 5). Qual o tipo de função poderia representar essa situação?
Digite a função no campo de entrada do GeoGebra. Quais aspectos da função (período, amplitude e
deslocamento) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?
Analisando a disposição dos pontos e comparando com a curva do gráfico da função cosseno percebe-se a
necessidade de alterações na amplitude e período da função.
Para que essas alterações ocorram quais constantes precisariam ser incluídos na função? Faça uma previsão
desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Professor(a), os estudantes podem escolher ou a função seno ou a cosseno, visto que a diferença entre as
duas, trata-se de um deslocamento horizontal. Desta forma, dependendo da situação, escolhendo ou uma
função ou outra, pode ou não ser necessário a inserção da constante c responsável pelo deslocamento
horizontal da função.
49
Para que essas alterações sejam realizadas é preciso incluir os parâmetros correspondentes a amplitude e ao
período da função cosseno, desta forma, a nova função terá a seguinte característica:
𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos(𝑏 ∙ 𝑥)
Amplitude (imagem da função): no gráfico a disposição dos pontos ocupa um intervalo de −0,3, 0,2 no
eixo y.
0,2 − (−0,3) = 0,2 + 0,3 = 0,5
Logo a amplitude do gráfico é modificada, e o valor do parâmetro a é definido por:
𝑎 =0,5
2→ 𝑎 = 0,25
Desta forma, a constante a na função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos(𝑏 ∙ 𝑥) é 0,25. Assim:
𝑔 𝑥 = 0,25 ∙ cos(𝑏 ∙ 𝑥)
Período: É possível verificar pela disposição dos pontos no gráfico que a curva referente à altura da maré no
período analisado volta a se repetir dentro de 17 dias. Sabendo que a função cosseno tem período 2𝜋,
substitui-se estes valores na fórmula do período:
𝑝 =𝑝𝑡𝑏
→ 𝑝 =2𝜋
17
Desta forma, a constante b na função é2𝜋
17.
Logo a nova função é:
𝑔 𝑥 = 0,25 ∙ cos2𝜋
17∙ 𝑥
Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes que
você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para um
melhor ajuste se necessário.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS 50
A partir dos controles deslizantes, os estudantes podem modificar os valores dos parâmetros a e b de forma a
melhor ajustar os pontos sobre a curva, se houver necessidade. Nesta situação, com o parâmetro a definido
para 0,25, verifica-se que alterando o valor para 0,3, a curva da função melhor se ajusta aos dados coletados.
Assim a nova função que descreve o comportamento das marés altas do Porto de Itajaí é:
𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ cos2𝜋
17∙ 𝑥
Caso a função escolhida fosse a função seno, pode-se verificar a necessidade da inserção da constante c na
lei de formação de modo a melhor ajustar a curva sobre os pontos coletados.
A estimativa do valor do valor da constante c pode ser realizada diretamente por meio da ferramenta
controle deslizante no GeoGebra.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS 51
Assim lei de formação de uma função seno para a situação seria 𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ sen2𝜋
17∙ 𝑥 + 1,6
Utilizando a lei de formação construída, e lembrando da modificação realizada na altura da maré para a
obtenção dos pontos, determine a previsão da maré para 3 e 6 meses posteriores. Especifique qual seria o
ponto correspondente no gráfico e qual a data correspondente. Insira no GeoGebra as informações na forma
de ponto coordenado para validação do valor obtido.
Previsão para 3 meses:
Os dados analisados correspondem aos meses de Agosto e Setembro de 2016, desta forma, a data
correspondente aos 3 meses é 31 de Dezembro de 2016.
Agosto/2016 – 31 dias (1 – 31)
Setembro/2016 – 30 dias (32 – 61)
Outubro/2016 – 31 dias (62 – 92)
Novembro/2016 – 30 dias (93 – 122)
Dezembro/2016 – 31 dias (123 – 153)
Assim, o valor de x é 153.
Substituindo na lei da função construída:
𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ cos2𝜋
17∙ 153
𝑔(𝑥) ≅ 0,1
Nesta situação, os estudantes devem relembrar que foi subtraído de cada altura a média de alturas
correspondentes aos dois meses analisados, desta forma, deve ser somado 1 unidade ao resultado obtido a
partir da lei da função, logo a altura correspondente ao dia 153 (31 de dezembro de 2016) é 1,1 m.
Nesta situação, o ponto correspondente no gráfico seria C154 (153, 0,1).
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS 52
Previsão para 6 meses:
Conforme já especificado, os dados analisados correspondem aos meses de Agosto e Setembro de 2016,
desta forma, a data correspondente aos 6 meses é 31 de março de 2017.
Dando continuidade a contagem dos dias, tem-se:
Agosto/2016 – 31 dias (1 – 31)
Setembro/2016 – 30 dias (32 – 61)
Outubro/2016 – 31 dias (62 – 92)
Novembro/2016 – 30 dias (93 – 122)
Dezembro/2016 – 31 dias (123 – 153)
Janeiro/2017 – 31 dias (154 – 184)
Fevereiro/2017 – 28 dias (185 – 212)
Março/2017 – 31 dias (213 – 243)
Desta forma, o valor de x é 243.
Substituindo na lei de formação construída:
𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ cos2𝜋
17∙ 243
𝑔 𝑥 = 0
Assim como na atividade anterior, os estudantes devem relembrar que foi subtraído de cada altura a média
de alturas correspondentes aos dois meses analisados, desta forma, deve ser somado 1 unidade ao resultado
obtido a partir da lei da função, logo a altura correspondente ao dia 243 (31 de março de 2017) é 1,0 m.
Nesta situação, o ponto correspondente no gráfico seria C244 (243, 0).
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS 53
O movimento de rotação da Terra dá origem aos dias e às noites, e tem como referência o nascer e o
pôr do Sol. O termo “dia” tem dois significados: o primeiro deles refere-se ao período de 24 horas e, o
segundo, corresponde ao período que há incidência de luz solar. Desta forma, um dia de acordo com o
segundo significado, dura a quantidade de horas que o sol estiver aparecendo no céu e, é variável de região
para região. Para o período que não existe a luz solar, dá-se o nome de noite.
A duração do dia (aqui entendido como o período em que há incidência de luz solar) é alterada
durante as várias estações do ano em razão da inclinação do eixo da Terra e seu movimento de translação. Os
homens e todos os animais do planeta percebem o dia e a noite e alteram o seu comportamento de acordo
com a presença ou ausência da luz solar.
A Terra leva um dia inteiro, ou seja, 24 horas, para fazer uma volta completa em torno de seu eixo.
Este período de rotação é tradicionalmente medido a partir da meia noite à meia noite. Desta forma, sempre
metade de sua superfície é iluminada pelo Sol, sendo que nestas regiões o Sol é visível e, portanto, dia. Na
outra metade, na qual o Sol não está presente, é noite. Assim, a duração do dia e da noite deveria ser em
média 12 horas, no entanto, devido a questões relacionadas as estações do ano, inclinação do eixo da Terra, a
duração do dia e da noite variam de acordo com a época do ano e com a localização no planeta. Conforme a
Terra vai girando em torno de seu eixo imaginário, a luz solar vai atingindo diferentes regiões do planeta
produzindo assim, a sucessão dos dias e noites.
Apenas em duas ocasiões do ano o dia e a noite possuem a mesma duração: equinócio da primavera
(transição do inverno para a primavera) e equinócio do outono (transição do verão para o outono). Ao longo
do ano, dias e noites têm duração maior ou menor do que 12 horas, sendo o dia com maior duração chamado
de solstício de verão, e o com menor duração, solstício de inverno.
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Fonte: Dia e Noite6
Professor(a), um vídeo, produzido pela equipe do Cassiopeia Project – traduzido
e adaptado pela Casa das Ciências – pode ser exibido para acompanhar essa
explicação do fenômeno dos dias e noites:
https://www.youtube.com/watch?v=iWnCUorriI8
54
Para analisar a duração do dia ou a duração da noite, colete dados referente ao nascer e pôr do sol ou
da lua. Você pode escolher qualquer município do Brasil. Para tanto você deve registrar na Tabela 1 os dados
correspondentes à 1 ano qualquer com um intervalo de 10 dias.
Sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/
Cidade: Blumenau/SC
Período (mês/ano): Outubro/2017 – Outubro/2018
( x ) duração do dia ( ) duração da noite
Tabela 1: Hora do nascer e pôr do sol
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Dia do ano Dia (n) Hora do nascer do sol Hora do pôr do sol
08/out 1 5:45 18:18
18/out 11 5:35 19:24
28/out 21 5:26 19:30
07/nov 31 5:19 19:37
17/nov 41 5:15 19:44
27/nov 51 5:12 19:52
07/dez 61 5:12 19:59
17/dez 71 5:15 20:05
27/dez 81 5:20 20:10
01/jan 91 5:24 20:11
11/jan 101 5:31 20:13
21/jan 111 5:39 20:11
31/jan 121 5:47 20:08
10/fev 131 5:55 20:02
20/fev 141 6:02 18:54
02/mar 151 6:08 18:44
12/mar 161 6:14 18:34
22/mar 171 6:19 18:23
01/abr 181 6:24 18:12
11/abr 191 6:29 18:01
21/abr 201 6:34 17:52
01/mai 211 6:39 17:43
11/mai 221 6:45 17:36
21/mai 231 6:50 17:31
31/mai 241 6:55 17:28
10/jun 251 6:59 17:28
Professor(a), se não houver internet a disposição na escola para a realização da pesquisa, sugere-se que
você faça a coleta de dados para uma determinada cidade de sua escolha e leve-os para que os estudantes
possam realizar a atividade em sala, ou então, que propicie um material de apoio para que os estudantes
consigam realizar a coleta de dados como atividade extraclasse. Caso a escola disponha de internet, o(a)
professor(a) pode propor que os estudantes se organizem de modo a analisar situações diferentes.
55
Sabendo que a duração do dia é dada pela diferença entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer sol,
calcule a duração do dia (em horas) para o período escolhido (Apêndice 7).
Tabela 2: Duração do dia
20/jun 261 7:02 17:29
30/jun 271 7:04 17:32
10/jul 281 7:03 17:36
20/jul 291 7:00 17:41
30/jul 301 6:56 17:46
09/ago 311 6:49 17:51
19/ago 321 6:40 17:56
29/ago 331 6:31 18:00
08/set 341 6:20 18:04
18/set 351 6:08 18:09
28/set 361 5:57 18:13
08/out 371 5:46 18:18
Dia do ano Dia (n)Hora do nascer
do sol
Hora do pôr do
sol
Duração do dia
(h/min)
Duração do dia
(horas)
08/out 1 5:45 18:18 12:33 12,55
18/out 11 5:35 19:24 13:49 13,82
28/out 21 5:26 19:30 14:04 14,07
07/nov 31 5:19 19:37 14:18 14,30
17/nov 41 5:15 19:44 14:29 14,48
27/nov 51 5:12 19:52 14:40 14,67
07/dez 61 5:12 19:59 14:47 14,78
17/dez 71 5:15 20:05 14:50 14,83
27/dez 81 5:20 20:10 14:50 14,83
01/jan 91 5:24 20:11 14:47 14,78
11/jan 101 5:31 20:13 14:42 14,70
21/jan 111 5:39 20:11 14:32 14,53
31/jan 121 5:47 20:08 14:21 14,35
10/fev 131 5:55 20:02 14:07 14,12
20/fev 141 6:02 18:54 12:52 12,87
02/mar 151 6:08 18:44 12:36 12,60
12/mar 161 6:14 18:34 12:20 12,33
22/mar 171 6:19 18:23 12:04 12,07
01/abr 181 6:24 18:12 11:48 11,80
11/abr 191 6:29 18:01 11:32 11,53
21/abr 201 6:34 17:52 11:18 11,30
01/mai 211 6:39 17:43 11:04 11,07
11/mai 221 6:45 17:36 10:51 10,85
21/mai 231 6:50 17:31 10:41 10,68
31/mai 241 6:55 17:28 10:33 10,55
10/jun 251 6:59 17:28 10:29 10,48
20/jun 261 7:02 17:29 10:27 10,45
30/jun 271 7:04 17:32 10:28 10,47
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 56
Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a duração do dia, como você
determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de atribuir
a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?
A variável dependente corresponde a duração do dia (em horas), dado que é possível verificar que existe
uma relação entre a duração do dia (em horas) e o tempo (em dia) e que dentro de um determinado período
de tempo essa duração do dia volta a se repetir; a variável independente corresponde ao tempo (em dia).
Atribuir a cada par de valores da tabela um ponto em coordenadas (x, y) significa que as grandezas
envolvidas na situação analisada podem ser relacionadas de modo que uma grandeza é dada em função da
outra.
Determine os pontos que devem ser usados para representar a situação em um gráfico cartesiano.
10/jul 281 7:03 17:36 10:33 10,55
20/jul 291 7:00 17:41 10:41 10,68
30/jul 301 6:56 17:46 10:50 10,83
09/ago 311 6:49 17:51 11:02 11,03
19/ago 321 6:40 17:56 11:16 11,27
29/ago 331 6:31 18:00 11:29 11,48
08/set 341 6:20 18:04 11:44 11,73
18/set 351 6:08 18:09 12:01 12,02
28/set 361 5:57 18:13 12:16 12,27
08/out 371 5:46 18:18 12:32 12,53
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
x y
1 12,55
11 13,82
21 14,07
31 14,30
41 14,48
51 14,67
61 14,78
71 14,83
81 14,83
91 14,78
101 14,70
111 14,53
121 14,35
131 14,12
141 12,87
151 12,60
161 12,33
171 12,07
181 11,80
x y
191 11,53
201 11,30
211 11,07
221 10,85
231 10,68
241 10,55
251 10,48
261 10,45
271 10,47
281 10,55
291 10,68
301 10,83
311 11,03
321 11,27
331 11,48
341 11,73
351 12,02
361 12,27
371 12,53
57
Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme Apêndice 5).
Qual o tipo de função que poderia representar essa situação?
Digite a função no campo de entrada do GeoGebra. Quais aspectos da função (período, amplitude e
deslocamento) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?
Analisando a disposição dos pontos e comparando com a curva do gráfico da função cosseno percebe-se a
necessidade de alterações na amplitude, período e deslocamento vertical da função.
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Professor(a), os estudantes podem escolher ou a função seno ou a cosseno, visto que a diferença entre as
duas, trata-se de um deslocamento horizontal. Desta forma, dependendo da situação, escolhendo ou uma
função ou outra, pode ou não ser necessário a inserção da constante c responsável pelo deslocamento
horizontal da função.
58
Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma previsão
desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.
Para que essas alterações sejam realizadas é preciso ser incluir as constantes correspondentes a amplitude, ao
período e ao deslocamento vertical da função cosseno, desta forma, a nova função terá a seguinte
característica:
𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑
Amplitude (imagem da função): no gráfico a disposição dos pontos ocupa um intervalo de 10,45 − 14,83
no eixo y:
14,83 − 10,45 = 4,38
Logo a amplitude do gráfico é modificada, e o valor do parâmetro a é definido por:
𝑎 =4,38
2→ 𝑎 ≅ 2,2
Desta forma a constante a na função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑 é 2,2. Assim:
𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑
Período: É possível verificar pela disposição dos pontos no gráfico que a curva referente a duração dos dias
no período analisado volta a se repetir dentro do período de um ano, ou seja, 365 dias. Sabendo que a função
cosseno tem período 2𝜋, substitui-se estes valores na fórmula do período:
𝑝 =𝑝𝑡𝑏
→ 𝑝 =2𝜋
365
Desta forma, a constante b na função é2𝜋
365.
Logo a nova função é:
𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋
365∙ 𝑥 + 𝑑
Deslocamento vertical: É possível calcular o deslocamento vertical a partir do cálculo da média da duração
dos dias:
474,27
38≅ 12,5
Desta forma, a constante d é 12,5.
Assim a nova função que descreve essa situação é: 𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋
365∙ 𝑥 + 12,5.
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 59
Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes que
você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para um
melhor ajuste se necessário.
Inserindo a constante c na lei de formação, consegue-se um melhor ajuste da lei para a situação analisada:
Assim a lei de formação de uma função cosseno que descreve a situação é:
𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋
365∙ 𝑥 − 1,3 + 12,5.
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 60
Ajuste de uma função seno para a situação:
Para o ajuste de uma função seno que descreve a situação, o valor da constante c é modificado de – 1,3 para
0,3. Assim, a lei de formação seno é 𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋
365∙ 𝑥 + 0,3 + 12,5.
Utilizando a lei de formação construída determine a duração do dia (em horas) em que se iniciam as 4
estações do ano para o ano cujos dados foram coletados.
Outono: 20/03
Inverno: 21/06
Primavera: 22/09
Verão: 21/12
Para determinar o valor de x para cada uma dessas datas, faz-se necessário interpolar as mesmas na Tabela
de coleta de dados a fim de verificar qual o valor de x.
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 61
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Dia do
ano
Dia (n) Hora do nascer
do sol
Hora do pôr do
sol
Duração do
dia
08/out 1 5:45 18:18 12,55
18/out 11 5:35 19:24 13,82
28/out 21 5:26 19:30 14,07
07/nov 31 5:19 19:37 14,30
17/nov 41 5:15 19:44 14,48
27/nov 51 5:12 19:52 14,67
07/dez 61 5:12 19:59 14,78
17/dez 71 5:15 20:05 14,83
21/dez 75
27/dez 81 5:20 20:10 14,83
01/jan 91 5:24 20:11 14,78
11/jan 101 5:31 20:13 14,70
21/jan 111 5:39 20:11 14,53
31/jan 121 5:47 20:08 14,35
10/fev 131 5:55 20:02 14,12
20/fev 141 6:02 18:54 12,87
02/mar 151 6:08 18:44 12,60
12/mar 161 6:14 18:34 12,33
20/mar 170
22/mar 171 6:19 18:23 12,07
01/abr 181 6:24 18:12 11,80
11/abr 191 6:29 18:01 11,53
21/abr 201 6:34 17:52 11,30
01/mai 211 6:39 17:43 11,07
11/mai 221 6:45 17:36 10,85
21/mai 231 6:50 17:31 10,68
31/mai 241 6:55 17:28 10,55
10/jun 251 6:59 17:28 10,48
20/jun 261 7:02 17:29 10,45
21/jun 262
30/jun 271 7:04 17:32 10,47
10/jul 281 7:03 17:36 10,55
20/jul 291 7:00 17:41 10,68
30/jul 301 6:56 17:46 10,83
09/ago 311 6:49 17:51 11,03
19/ago 321 6:40 17:56 11,27
29/ago 331 6:31 18:00 11,48
08/set 341 6:20 18:04 11,73
18/set 351 6:08 18:09 12,02
22/set 355
28/set 361 5:57 18:13 12,27
08/out 371 5:46 18:18 12,53
62
Duração do dia em que se inicia o Outono (20/03): 𝑥 = 170
𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋
365∙ 170 − 1,3 + 12,5
𝑔 𝑥 = 12,38
Duração dia em que se inicia o Inverno (21/06): 𝑥 = 262
𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋
365∙ 262 − 1,3 + 12,5
𝑔 𝑥 = 10,31
Duração do dia em que se inicia a Primavera (22/09): 𝑥 = 355
𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋
365∙ 355 − 1,3 + 12,5
𝑔 𝑥 = 12,72
Duração do dia em que se inicia o Verão (21/12): 𝑥 = 75
𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋
365∙ 75 − 1,3 + 12,5
𝑔 𝑥 = 14,7
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Professor(a), esses valores também podem ser determinamos utilizando o próprio software GeoGebra. Para
calcular estes valores utilizando a mesma construção realizada no software GeoGebra, basta digitar no
campo de entrada o comando da função com o valor de x. Exemplo: valor da função para quando x = 75,
digite g(75) e pressione Enter.
63
A temperatura do ar é um parâmetro meteorológico de fundamental importância, refere-se a energia
que está contida no ambiente. No período de um dia, a energia que está à disposição do ambiente oscila entre
dois valores, gerando uma temperatura mínima e uma máxima. Além de uma variação diária, a temperatura
do ar varia também ao longo do ano de acordo com a posição da Terra à radiação solar.
Em diferentes partes do mundo a temperatura do ar está sujeita a grandes extremos, pontos muito
quentes e pontos muito frios, nos quais torna-se quase que impossível a vida humana, animal e vegetal.
Através da temperatura do ar pode-se determinar qual a condição de vida para uma determinada região,
assim como também qual a produtividade do solo para esta mesma região.
A temperatura do ar é a característica do clima sentida de forma direta. Em determinada época do ano
tem-se temperaturas muito elevadas em certas regiões do planeta, ou seja, as fortes ondas de calor, enquanto
que em outras regiões, tem-se temperaturas muito baixas, desta forma, uma intensa onda de frio. E ainda,
existem as épocas do ano em que predominam as temperaturas mais amenas, isto é, nem muito frio nem
muito quente, porém agradável.
Os seres vivos que habitam o nosso planeta adaptam-se a energia do ambiente em que vivem, sendo
que a variação da energia opera em um processo ininterrupto de estímulos aos processos fisiológicos
(funções mecânicas, físicas e bioquímicas) vitais destes seres vivos. Desta forma, percebe-se que a
temperatura do ar tem uma finalidade importante no desenvolvimento dos seres vivos (humanos, animais e
plantas).
Para analisar a temperatura do ar, colete dados referente a temperatura a cada 3 horas de uma cidade
de sua preferência. Registre na Tabela 1 os dados correspondentes a 2 dias.
Sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/
MOMENTO 02– TEMPERATURA DO AR 64
Cidade: Presidente Getúlio/SC
Período (dia/mês/ano): 4, 5 e 6 de dezembro de 2017.
Tabela 1: Temperatura do ar
Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em horas) e a temperatura do ar (em graus),
como você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o
significado de atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?
A variável dependente corresponde a temperatura do ar, dado que é possível verificar que existe uma relação
entre a temperatura do ar e do tempo, e dentro de um determinado período de horas essa temperatura volta a
se repetir; a variável independente corresponde ao tempo (em horas). Atribuir a cada par de valores da tabela
um ponto em coordenadas (x, y) significa que as grandezas envolvidas na situação analisada podem ser
relacionadas de modo que uma grandeza é dada em função da outra.
Determine os pontos que devem ser usados para representar a situação em um gráfico cartesiano.
MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR
Hora dos dados Hora Temperatura
Segunda
10:00 10 26
13:00 13 30
16:00 16 27
19:00 19 24
22:00 22 22
Terça
01:00 25 21
04:00 28 21
07:00 31 20
10:00 34 23
13:00 37 27
16:00 40 27
19:00 43 25
22:00 46 21
Quarta
01:00 49 21
04:00 52 20
07:00 55 20
Professor(a), se não houver internet a disposição na escola para a realização da pesquisa, sugere-se que
você faça a coleta de dados para uma determinada cidade de sua escolha e leve-os para que os estudantes
possam realizar a atividade em sala, ou então, que propicie um material de apoio para que os estudantes
consigam realizar a coleta de dados como atividade extraclasse. Caso a escola disponha de internet, o(a)
professor(a) pode propor que os estudantes se organizem de modo a analisar situações diferentes.
65
Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme Apêndice 5).
Qual o tipo de função que poderia representar essa situação?
Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada. Quais aspectos da função
(período, imagem, domínio) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?
MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR
x y
10 26
13 30
16 27
19 24
22 22
25 21
28 21
31 20
34 23
37 27
40 27
43 25
46 21
49 21
52 20
55 20
66
Analisando a disposição dos pontos e comparando com a curva do gráfico da função seno percebe-se a
necessidade de alterações na amplitude, período e deslocamento vertical da função.
Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma previsão
desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.
Para que essas alterações sejam realizadas é preciso ser incluídos as constantes correspondentes a amplitude,
ao período, e ao deslocamento vertical da função, desta forma, a nova função terá a seguinte característica:
𝑓 𝑥 = a ∙ sen b ∙ 𝑥 + 𝑑
Amplitude (imagem da função): no gráfico a disposição dos pontos ocupa um intervalo de 20, 30 no eixo
y.
30 − 20 = 10
Logo a amplitude do gráfico é modificada, e o valor do parâmetro a é definido por:
𝑎 =10
2→ 𝑎 = 5
Desta forma a constante a na função 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ sen 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑 é 5. Assim: 𝑓 𝑥 = 5 ∙ sen 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑
Período: É possível verificar pela disposição dos pontos no gráfico que a curva volta a se repetir dentro de
24 horas. Sabendo que a função seno tem período 2𝜋, substitui-se estes valores na fórmula do período:
𝑝 =𝑝𝑡𝑏
→ 𝑝 =2𝜋
24
Desta forma, a constante b na função é2𝜋
24. Assim, 𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
24∙ 𝑥 + 𝑑
Deslocamento vertical: É possível calcular o deslocamento vertical a partir do cálculo da média da duração
das noites:
375
16= 23,43
Desta forma, a constante d 23,43, ou seja, a curva precisa ser deslocada aproximadamente 23,4 unidades
para cima no eixo y.
Assim a função que descreve essa situação é 𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋
24∙ 𝑥 + 23,4.
MOMENTO 02– TEMPERATURA DO AR 67
Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes que
você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para um
melhor ajuste se necessário.
Verifica-se a necessidade da inclusão da constante c na lei de formação como forma de garantir um melhor
ajuste da curva da função sobre os pontos. O valor da constante c pode ser determinado diretamente no
GeoGebra.
Para esta situação, houve a necessidade da inclusão da constante c e percebeu-se que, a constante d poderia
ser melhor ajustada através do controle deslizante. Assim a lei de formação que descreve a situação é
𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋
24∙ 𝑥 − 2,4 + 24
MOMENTO 02– TEMPERATURA DO AR 68
Ajuste de uma função cosseno para a situação:
Para o ajuste de uma função cosseno que descreve a situação, o valor da constante c é modificado de –2,4
para 1,7. Assim, a lei de formação seno é 𝑔 𝑥 = 5 ∙ cos2𝜋
24∙ 𝑥 + 1,7 + 24.
Utilizando a lei de formação construída, determine a temperatura do ar para as 12h do dia seguinte aos dias
analisados especificando que dia é este.
Para determinar o valor de x, faz-se necessário interpolar este horário na Tabela de coleta de dados. Com
base nos dados coletados para a atividade inicial, acrescenta-se a tabela a sequência de horários até chegar as
12h do dia seguinte (12h de quinta-feira), lembrando do intervalo de 3 horas estabelecido no início da
atividade.
O valor de x para as 12 horas do dia seguinte (quinta-feira) é 84.
𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋
24∙ 84 − 2,4 + 24
𝑓 𝑥 ≅ 27,4
Desta forma, a temperatura do ar para as 12h do dia 07/12 é de aproximadamente 27,4 °C.
MOMENTO 02– TEMPERATURA DO AR 69
Caro(a) professor(a)
As atividades que são apresentadas a seguir, referem-se ao Momento 03 deste ciclo de atividades.
No Momento 03, denominado de Analisando situações, o período, amplitude da curva, domínio e
conjunto-imagem são determinados tanto a partir da lei de formação, quanto do gráfico da função, o que
possibilita verificar a compreensão dos conceitos e procedimentos construídos nas atividades anteriores. O
que se pretende como novo procedimento é que os estudantes consigam dar significado aos parâmetros no
contexto de uma situação, bem como que associem a medida de um ângulo também à variável dependente.
As atividades propostas obedecem a seguinte ordem:
Ritmo oscilatório dos braços;
Voo dos gafanhotos.
70
Atualmente é possível verificar um grande número de pessoas que praticam exercícios aeróbicos,
dentre eles os principais são andar, correr, nadar, pedalar e dançar. É muito frequente encontrar pessoas
caminhando, correndo ou então pedalando pelas ruas da cidade, assim como academias que oferecem aos
seus clientes atividades de dança e natação.
Em atividades como caminhada, corrida, natação e pedal é possível verificar o movimento oscilatório
dos braços durante a sua realização. Uma pessoa participante do método de corridas de Cooper, método este
que consiste em uma corrida de 2,4 quilômetros em 12 minutos, balança cada um de seus braços enquanto
corre, sempre no mesmo ritmo, segundo a função: 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4, no qual y corresponde
ao ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e t corresponde ao tempo medido em
segundos. Na Figura abaixo são apresentadas duas posições do braço de um corredor em seu movimento
cíclico.
Durante uma corrida, o braço do corredor oscila para frente e para trás em torno do ponto 0,
conforme exemplificado na Figura acima. A posição do braço em relação ao eixo é estimada através
do ângulo y, compreendido entre o braço e o eixo vertical.
Considerando a função que determina o movimento oscilatório dos braços de um corredor do
método Cooper, responda:
MOMENTO 03 – RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS
Fonte: (AGUIAR, XAVIER e RODRIGUES, 1988)7
71
1. Qual o período da função trigonométrica?
Antes calcular qual o período da função trigonométrica 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4, pode-se
desenvolver a multiplicação que está dentro dos parênteses8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4=
8𝜋𝑡
3−
24𝜋
12=
8𝜋𝑡
3− 2𝜋 .
Assim a constante b da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4corresponde a
8𝜋
3. Substituindo o valor da
constante b na fórmula 𝑝 =𝑝𝑡
𝑏que determina o período de uma função trigonométrica, tem-se:
𝑝 =𝑝𝑡𝑏
=2𝜋
8𝜋3
=6𝜋
8𝜋=3
4
O ciclo de oscilação dos braços deste corredor volta a se repetir a cada3
4segundos, ou seja, 0,75 segundos.
2. Qual a amplitude da oscilação dos braços do corredor, praticante do Método de Cooper?
Comparando a função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4com a função genérica 𝑓 𝑥 = a ∙
𝑠𝑒𝑛 b𝑥 + c + 𝑑 e sabendo que a constante responsável pela amplitude é a constante a, tem-se que a
amplitude da oscilação dos braços deste corredor praticante do Método de Cooper é𝜋
9radianos, ou seja, 20°.
3. Considerando um corredor praticante do Método de Cooper de corrida, determine o ângulo compreendido
entre a posição do braço e o eixo vertical após 15 e 50 segundos de corrida.
Para determinar o ângulo entre a posição do braço e o eixo vertical após 15 e 50 segundos de corrida, faz-se
necessário substituir na lei da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4os respectivos valores para a
variável t.
MOMENTO 03– RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS
Professor(a), esse cálculo pode ser realizado no próprio software GeoGebra. Para calcular estes valores
utilizando a mesma construção realizada no software GeoGebra, basta digitar no campo de entrada o
comando da função com o valor de x. Exemplo: valor da função para quando x = 15, digite f(15) e
pressione Enter.
72
Para 𝑡 = 15:
𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋 ∙ 15
3− 2𝜋
𝑦 = 0
Para 𝑡 = 50:
𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋 ∙ 50
3− 2𝜋
𝑦 = −0,3
4. Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4no software GeoGebra e determine o
domínio e o conjunto-imagem da função.
Domínio da função: 𝐷 𝑓 = ℝ+
Conjunto-imagem: O conjunto-imagem pode ser determinado a partir da constante a:𝜋
9≅ 0,35, logo a
𝐼𝑚 𝑓 = −0,35, 0,35 .
MOMENTO 03– RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS
Professor(a), para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos eixos para: eixo x: –3 a 10; e
eixo y: –0,5 a 0,5.
73
Desde a Antiguidade os homens preocuparam-se em descobrir por que os pássaros e insetos
conseguem voar e eles não. No começo, os homens tentaram imitar o voo dos pássaros construindo uma
estrutura chamada de asas mecânicas e com elas os homens lançavam-se do alto de morros e penhascos, no
entanto, os resultados sempre foram desastrosos. Somente a partir da década de 40 que os homens
conseguiram imitar o voo dos pássaros através da Asa Delta. Com o Asa Delta os homens conseguem planar
no ar, assim como subir para níveis mais altos da atmosfera sem o auxílio de um mecanismo propulsor.
Uma experiência realizada pelo zoologista T. Weis-Fogh permitiu descrever a forma precisa do voo
de um gafanhoto. Pode-se dizer que o voo de insetos e pequenos pássaros se assemelha em alguns aspectos
com o voo dos aviões. Os aviões alçam voo e obtém o empuxo para frente através da ação conjunta dos
motores e das asas fixas, enquanto que os insetos e os pequenos pássaros combinam essa função apenas com
suas asas.
Quando as asas são batidas para baixo os insetos e pássaros são impulsionados para a frente assim
como também são impulsionados a levantar o voo. Enquanto que a batida de asas para cima é responsável
por não cancelar o impulso de ascensão (de subida) obtido com a batida das asas para baixo. Os gafanhotos
possuem asas dianteiras (pequenas) e posteriores (grandes), sendo que o movimento completo é realizado
em 60 milissegundos, ou seja, os gafanhotos realizam 16,6666... ciclos por segundo, isto é, suas asas são
movimentadas para cima e para baixo 16,6666 vezes em um segundo!
MOMENTO 03 – VOO DOS GAFANHOTOS
Fonte: Gafanhoto8
Fonte: (AGUIAR, XAVIER e RODRIGUES, 1988)7
74
Na Figura são apresentadas duas curvas, sendo a curva de maior amplitude de oscilação referente as
asas posteriores, e a curva em linha tracejada referente as asas dianteiras. É possível perceber que as asas
oscilam em torno da reta horizontal 𝑦 = 90°. Dado que a curva está um tanto longe de ser simétrica em
relação ao eixo y, uma função do tipo normal não garante uma aproximação, desta forma, faz-se necessário
uma função que faça uma deformação para garantir a simetria necessária.
Assim, a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos é:
𝑓 𝑡 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋
3𝑡 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²
100𝜋
3𝑡 − 0,027 , sendo t o tempo (em
segundos) e f(t) o ângulo de abertura entre as asas (em graus).
Conhecendo a função que determina o ângulo de abertura entre as asas dos gafanhotos, faça a
construção do gráfico da função no software GeoGebra.
A partir do gráfico, determine:
1. Qual o domínio da função f(t)?
O domínio da função f(t) são os números reais positivos, visto que a variável t corresponde ao tempo e não
existe tempo negativo. 𝐷 𝑓 = ℝ+.
MOMENTO 03– VOO DOS GAFANHOTOS
Professor(a), para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos eixos para: eixo x: –0,02 a
0,28; e eixo y: –5 a 140.
75
2. Qual a imagem da função f(t)? Qual o significado dos valores obtidos?
Para determinar a imagem da função, os estudantes podem fazer a ampliação do gráfico do GeoGebra a fim
de verificar com maior precisão qual o intervalo de pontos em relação ao eixo y ocupado pela curva. 𝐼𝑚 =
36, 135 . Este intervalo corresponde a oscilação do ângulo de abertura das asas dos gafanhotos.
3. Qual o período da função f(t)? Qual o significado do valor obtido?
Lembrando que para determinar o período de uma função trigonométrica a partir do esboço de sua curva,
deve-se observar o instante que a curva a função volta a se repetir a partir do momento que atingir seu ponto
de máximo e de mínimo. Desta forma, observando o esboço da curva no gráfico, o período da função é 0,06
segundos. Esse é o tempo que o gafanhoto leva para repetir o movimento de batida das asas.
4. Utilizando a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos determine o ângulo formado nos
instantes: 0,027, 0,06, 0,087, e em seguida, insira esses valores na forma de ponto coordenado no gráfico da
função.
Para 𝑡 = 0,027
𝑓 0,027 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋
30,027 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²
100𝜋
30,027 − 0,027
𝑓 0,027 = 72
Ponto coordenado 𝐴(0,027, 72)
Para 𝑡 = 0,060
𝑓 0,060 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋
30,060 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²
100𝜋
30,060 − 0,027
𝑓 0,060 = 88,05
Ponto coordenado 𝐴(0,060, 88,05)
Para 𝑡 = 0,087
𝑓 0,027 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋
30,087 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²
100𝜋
30,087 − 0,027
𝑓 0,027 = 72
Ponto coordenado 𝐴(0,087, 72)
MOMENTO 03– VOO DOS GAFANHOTOS
Professor(a), esse cálculo pode ser realizado no próprio software GeoGebra, basta digitar no campo de
entrada o comando da função com o valor de x.
76
Inserindo os pontos no GeoGebra, tem-se:
MOMENTO 03– VOO DOS GAFANHOTOS 77
APÊNDICE 1
Acesse a “Janela de Visualização” (clicando com o botão direito do mouse sobre a tela) e altere as
dimensões do eixo x de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância para 𝜋 2.
Dimensões do eixo: Digite no campo x Mín: –2pi e no x Máx: 2pi.
Distância: Clique na seta e selecione 𝜋 2.
Clique sobre a curva com o botão direito e clique na opção “Propriedades”:
Na janela Propriedades, clique na aba “Cor” e altere a cor para azul, em seguida clique na aba
“Estilo” e altere o estilo da curva para tracejado.
APÊNDICE 2
78
Digite no campo de entrada a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑, conforme exemplificado
abaixo, e pressione Enter;
Será solicitado a construção de controles deslizantes, clique em criar.
Cálculo da média no Excel:
1. Abra o Excel;
2. Digite os dados coletados em uma planilha do Excel:
3. Digite em uma célula o comando “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎(“;
4. Selecione a coluna com todos os valores que você deseja calcular a média;
5. Feche o parêntese;
6. Pressione Enter;
7. A média será exibida nesta mesma célula.
APÊNDICE 3
79
Cálculo da média no GeoGebra:
Primeiro método
1. No GeoGebra clique na aba “Exibir” e em seguida na opção “Planilha”;
2. Copie os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;
3. Selecione todos os valores da coluna y e clique em “Lista”;
4. Na janela Lista, clique em “Criar”;
5. A lista de pontos ficará visível na Janela de Álgebra;
6. No campo de entrada, digite “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎” e selecione “Média(<Lista dos Dados Brutos>)”;
7. No lugar de <Lista dos Dados Brutos> digite o comando da lista;
7.1. O comando da lista pode ser obtido clicando com o botão direito sobre a lista; opção
“Propriedades”; aba “Básico”; Campo “Nome”;
8. Pressione Enter;
9. A média será exibida na Janela de Álgebra.
80
Segundo método
1. No GeoGebra clique na aba “Exibir” e em seguida na opção “Planilha”;
2. Copiei os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;
3. Clique na célula em que você deseja exibir a média;
4. Clique em “Exibir campo de entrada” (fx);
5. No campo de entrada digite “média” e selecione a opção “Média(<Lista dos Dados Brutos>);
6. Digite o intervalo de campos onde encontram-se os valores que você deseja calcular a média na forma
“primeira célula: última célula”;
7.
Pressione Enter, a média será exibida na célula escolhida no início.
Subtração da média no Excel:
1. Na mesma planilha em que você calculou a média, crie uma terceira coluna chamada “Nova altura (m)”;
2. Selecione toda a coluna e altere a formatação para “Número” e em uma célula de outra coluna qualquer
digite o valor correspondente a média já calculada;
APÊNDICE 4
81
3. Na célula correspondente ao primeiro dia (C2) digite “= 𝑠𝑜𝑚𝑎(𝐵2 − $𝐷$4)” e pressione Enter (a célula
D4 corresponde a célula com o valor da média, desta forma, na fórmula deve ser digitada o nome da célula
em que você digitou o valor da média usando o cifrão ($) para fixar o valor da média);
4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada (C2) e posicione o cursor no canto inferior
direito de modo que apareça um sinal de +;
5. Clique e arraste até a última linha que possui valores referentes à altura da maré;
6. O resultado de cada uma das subtrações será exibido nesta coluna.
Subtração da média no GeoGebra:
1. Na mesma planilha que você calculou a média, crie uma coluna para a nova altura que será determinada
através da subtração da altura coletada pela média das alturas;
2. No campo de entrada da planilha (fx) digite a primeira subtração a ser realizada, utilizando cifrões ($) para
fixar a célula da média;
3. Pressione Enter;
4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada e posicione o cursor no canto inferior direito
de modo que apareça um sinal de +;
82
5. Clique e arraste até a última linha que possui valores referentes à altura da maré;
6. As novas alturas serão exibidas nesta coluna.
Inserir pontos no software GeoGebra de forma manual
1. Abra o software GeoGebra;
2. No campo de entrada, digite o ponto que deseja inserir da forma A=(1, 0.1);
3. Pressione Enter;
4. Repita o processo para os demais pontos.
OBS.: Para uma melhor visualização dos pontos na Janela de Visualização, clique com o botão
direito na Janela de Visualização e selecione a opção “Janela de Visualização”, na Janela “Preferências”, aba
“Básico” altere as dimensões dos eixos x e y de acordo com o intervalo dos dados coletados.
Inserir pontos no software GeoGebra a partir de uma planilha
1. No GeoGebra clique na aba “Exibir” e em seguida na opção “Planilha”;
2. Copiei os dados referentes as coordenadas (x, y) dos pontos para a planilha (caso já tenham sidos digitados
no Excel) ou então digite-os na planilha do GeoGebra;
3. Na coluna C, na célula correspondente ao primeiro ponto (C2) digite o sinal de = e abra parêntese, em
seguida selecione a célula da coordenada x separando-a com uma vírgula e selecione a célula com a
coordenada y;
4. Pressione Enter para que o ponto seja exibido nesta célula;
5. Selecione a célula com o ponto construído (C2) e posicione o cursor no canto inferior direito de modo que
apareça um sinal de +;
6. Clique e arraste até a última linha que possui as coordenadas dos pontos;
7. Os pontos devem ser exibidos na Janela de Visualização.
APÊNDICE 5
83
OBS.: Caso os pontos não estejam aparecendo na Janela de Visualização, selecione a coluna com os pontos e
clique com o botão direito e selecione a opção “Exibir Objeto”;
Inserir funções no GeoGebra e formatar “controle deslizante”
1. Abra o arquivo do GeoGebra no qual estão os pontos coletados;
2. No campo de entrada, digite a função sob sua forma genérica que melhor descreve a situação (OBS.:
digite apenas as constantes que são necessárias para a situação que está sendo analisada, e para inserir o 𝜋
digite Alt+p ), em seguida pressione Enter;
3. Abrirá uma janela, clique em “Criar Controles Deslizantes”;
4. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante e arreste-o para um local de sua
preferência;
5. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante, clique na opção “Propriedades”;
6. Na aba “Básico” defina um intervalo para este controle (este intervalo pode ser definido tomando como
base a estimativa já calculada anteriormente);
7. No campo “Incremento” defina de quanto em quanto você quer os valores do controle deslizante (OBS.:
Valores decimais devem ser separados por ponto);
8. Repita este processo para os demais controles deslizantes criados.
APÊNDICE 6
84
Cálculos envolvendo horas de forma manual
Nas operações de soma e subtração de horários (hora, minuto e segundo), deve-se somar/subtrair
segundos de segundos, minutos de minutos e horas de horas, sendo que em alguns casos faz-se necessário
fazer transformações de horas em minutos e minutos em segundos para que seja possível realizar o cálculo.
Veja o exemplo:
Vamos subtrair 06h24 de 20h11, ou seja, 20: 11 − 06: 24
Veja que não é possível subtrair 24 minutos de 11 minutos, desta forma, faz-se necessário subtrair 1
hora das 20h e somar essa 1 hora, transformada em minutos, ou seja, 60 minutos, aos 11 minutos, e desta
forma tem-se:
Feita está transformação, é possível subtrair os 24 minutos de 71 minutos, assim como as 6 horas de
19 horas:
Para transformar este resultado em horas, deve-se dividir a quantidade de minutos por 60 (47 ÷ 60 =
0,78) e acrescentar a hora inicial, desta forma, 13h47 expressa na forma de horas é 13,78h.
Cálculos envolvendo horas no Excel
• Ao realizar esta subtração no Excel o resultado já será exibido no formato de horas.
1. Crie uma coluna para a Duração do dia (em horas);
2. Selecione a coluna e veja se a formatação é “Geral”, caso contrário selecione esta opção;
APÊNDICE 7 85
3. Na célula correspondente ao primeiro dia (E2) digite “= 𝐷2 − 𝐶2 ∗ 1440/60” e pressione Enter;
4. Selecione a célula (E2) onde aparecerá o resultado do cálculo realizado e posicione o cursor no canto
inferior direito de modo que apareça um sinal de +;
5. Arraste o sinal de + até a última linha com dados.
86
Resolução de Problemas e o uso do software GeoGebra:
um caminho para o ensino das funções trigonométricas
Juliana Meneghelli
Profª Orientadora: Janaína Poffo Possamai
CADERNO DO ESTUDANTE
87
Olá colega estudante do 2º ano do Ensino Médio!!!!
Sou o Sr. Trigonométrico, mas podem me chamar de “Sr. Trigo”. E vocês, quem são?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Estarei com você durante a realização das atividades deste caderno.
Então, você já sabe o que vamos estudar aqui? Não?
Então vou dar uma dica para você!
Este caderno irá abordar um conteúdo matemático que pode ser relacionado com situações
periódicas/cíclicas do mundo real!
E aí, já imagina qual conteúdo matemático pode estar relacionado a estas situações?
Ainda não?
Então vamos adiante que eu vou apresentar para você!!!
88
Caro estudante
Neste caderno você irá estudar um conteúdo muito importante da área da Trigonometria!
No decorrer do percurso escolar você já estudou alguns dos conteúdos desta área. Lembra de alguns
deles?
Você deve estar se perguntando: O que estuda a Trigonometria? Para que serve o estudo desta área?
Em quais situações do cotidianas e/ou do mundo real os conceitos trigonométricos são estudados?
Pois bem, posso responder algumas coisas para você!
Atualmente a Trigonometria constitui-se como uma área de grande relevância na Matemática devido as
suas aplicações em diversas situações do mundo real, desde as mais simples situações do dia a dia, como por
exemplo, o cálculo de distâncias e alturas inacessíveis; bem como em situações que representam fenômenos
periódicos e que podem ser descritos por uma função trigonométrica.
Outrossim, a Trigonometria também possui aplicações de natureza complexa, como na Ciência, na
Medicina, na Física, na Eletricidade, na Música, na Arquitetura, na Informática, entre outras.
Assim sendo, pode-se dizer que o estudo da Trigonometria compreende um dos caminhos para que o
homem entenda e interprete a natureza.
Então, neste caderno apresento à você conceitos referentes às funções trigonométricas, bem como
algumas de suas aplicações em situações do mundo real.
E aí, preparado para embarcar
nesta aventura?
Bons estudos colega!!!!
89
Você sabia que diversos fenômenos do mundo são de natureza periódica?
Ou seja, existem movimentos que voltam a se repetir em determinado intervalo de tempo,
estabelecendo um padrão, fazendo com que em algum momento o movimento volte a se repetir a partir do
ponto inicial, sendo que o intervalo de tempo que o movimento leva para completar um ciclo completo, ou
seja, voltar ao seu ponto de início, é denominado de período.
Vejamos alguns exemplos de movimentos cíclico:
• A Terra leva, aproximadamente, 365 dias e 6 horas para dar uma volta completa ao redor do sol.
• Num relógio de pêndulo, o movimento de repetição do pêndulo depende do comprimento da haste.
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Fonte: Só Geografia 1
Fonte: Kukos 2
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Agora é com você! Cite
alguns movimentos que
você acredita ser de
natureza cíclica.
Para conhecer um pouco mais
sobre o que é um movimento
cíclico você pode assistir o
vídeo “Movimentos Cíclicos”
disponível em
https://www.youtube.com/watch
?v=pVrWtvQs51s&feature=yout
u.be
90
Você lembra do que já estudou sobre funções?
Escreva o que entende por:
Domínio de uma função: ____________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
Imagem de uma função: ____________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Período de uma função: ____________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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Utilizando o software GeoGebra vamos analisar esses aspectos para algumas funções.
PARTE 1 - FUNÇÃO SENO
1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙).
1.1. Analise o gráfico e determine: o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o período P dessa função.
Salve a construção como “Arquivo 1_[nome dos estudantes]”.
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Altere a janela de visualização de modo que as dimensões do eixo
x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1)
Quando construímos gráficos que
relacionam duas variáveis, esses também
podem apresentar comportamentos
periódicos!
91
3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒔𝒆𝒏(𝒙). O que você pode concluir?
Salve construção como “Arquivo 2_[nome dos estudantes]”.
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_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
2. Considere um círculo centrado na origem de raio 1 e um ponto A (1, 0) em tal círculo. Partindo do
ponto A, se percorrermos o círculo no sentido positivo (anti-horário) até obter um arco cujo
comprimento é igual a x podemos determinar pela ordenada do ponto de parada no círculo o valor do
𝒔𝒆𝒏(𝒙).
Altere as configurações da função f(x) (Arquivo 1) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la
com linha tracejada. Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2)
No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅
𝟐; no segundo
quadrante, quando𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝝅; no terceiro quadrante, quando
𝝅 < 𝒙 <𝟑𝝅
𝟐; e no quarto quadrante, quando
𝟑𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅 ,
quais seriam os sinais da função? Como podemos observar essa
informação no gráfico construído?
Para auxiliar na
resolução desta
atividade, acesse o
aplicativo “Círculo
Trigonométrico”
disponível no link:
https://ggbm.at/ySFzC
wR9
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92
4. Deixe os seletores 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟎 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor a. Observando o gráfico da função,
determine, para este caso, o domínio, conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4.1. Altere os valores da constante a, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores, em
módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
5. Deixe os seletores 𝐚 = 𝟏, 𝐜 = 𝟎 𝐞 𝐝 = 𝟎 e movimente o seletor b. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
5.1. Altere os valores da constante b, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de a Alteração no gráfico
–2
–0,5
0,2
0,4
0,5
1,5
2,0
4,0
Valor de b Alteração no gráfico
–2
–0,5
0,2
0,4
0,5
2,0
4,0
93
5.2. Qual a alteração, provocada pela constante b, no gráfico da função? Analise as alterações para valores,
em módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
6. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝐛 = 𝟏 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor c. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
6.1. Altere os valores da constante c, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de b Período da função
–2
–0,5
0,2
0,4
0,5
2,0
4,0
Valor de c Alteração no gráfico
–2
–1
1
2
Você sabia que existe uma fórmula para
determinar o período da função trigonométrica?
Pesquise pela fórmula em livros didáticos e, em
seguida determine o período da função utilizando
a fórmula pesquisada.
94
6.2. Qual a alteração, provocada pela constante c, no gráfico da função?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
7. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟏 𝐞 𝒄 = 𝟎 e movimente o seletor d. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
7.1. Altere os valores da constante d, conforme valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece com
o gráfico.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de c Deslocamento horizontal
–2
–1
1
2
Valor de d Alteração no gráfico
–2
–1
1
2
Assim como para determinar o período da função, o
deslocamento horizontal da função também pode ser calculado
a partir de uma fórmula. Pesquise pela fórmula em livros
didáticos e, depois calcule o deslocamento horizontal da função
95
7.2. Qual a alteração provocada pela constante d, no gráfico da função?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
PARTE 2 – FUNÇÃO COSSENO
1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).
1.1. Analise o gráfico e determine: o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o período P dessa função.
Salve a construção como “Arquivo 3_[nome dos estudantes]”.
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MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões
do eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1)
Até o momento analisamos algumas características
da função seno. Chegou o momento de analisar as
características da função cosseno! A função cosseno
é muito parecida com a função seno, no entanto, com
algumas características que diferenciam uma da
outra.
96
2. Considere um círculo centrado na origem de raio 1 e um ponto A (1, 0) em tal círculo. Partindo do
ponto A, se percorrermos o círculo no sentido positivo (anti-horário) até obter um arco cujo
comprimento é igual a x podemos determinar pela abscissa do ponto de parada no círculo o valor do
𝒄𝒐𝒔(𝒙).
3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔(𝒙). O que você pode concluir?
Salve a construção como “Arquivo 4_[nome dos estudantes]”.
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅
𝟐; no segundo quadrante,
quando𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝝅; no terceiro quadrante, quando 𝝅 < 𝒙 <
𝟑𝝅
𝟐; e
no quarto quadrante, quando𝟑𝝅
𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅, quais seriam os sinais
da função? Como podemos observar essa informação no gráfico
construído?
Para auxiliar na
resolução desta
atividade, acesse o
aplicativo “Círculo
Trigonométrico”
disponível no link:
https://ggbm.at/ySFzC
wR9
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Altere as configurações da função f(x) (Arquivo 3) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la
com linha tracejada. Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2)
97
4. Deixe os seletores 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟎 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor a. Observando o gráfico da função,
determine, para este caso, o domínio, o conjunto imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4.1. Altere os valores da constante a, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores,
em módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
5. Deixe os seletores 𝐚 = 𝟏, 𝐜 = 𝟎 𝐞 𝐝 = 𝟎 e movimente o seletor b. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
5.1. Altere os valores da constante b, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de a Alteração no gráfico
–2
–0,5
0,2
0,4
0,5
1,5
2,0
4,0
Valor de b Alteração no gráfico
–2
–0,5
0,2
0,4
0,5
2,0
4,0
98
5.2. Qual a alteração, provocada pela constante b, no gráfico da função? Analise as alterações para valores,
em módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
6. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝐛 = 𝟏 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor c. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de b Período da função
–2
–0,5
0,2
0,4
0,5
2,0
4,0
Lembra da fórmula utilizada para o cálculo do
período da função seno? Será que para a função
cosseno também existe? Pesquise em livros
didáticos e, em seguida determine o período da
função cosseno utilizando a fórmula pesquisada.
Você percebeu alguma
diferença no período da função
cosseno com relação ao período
da função seno?
99
6.1. Altere os valores da constante c, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece
com o gráfico.
6.2. Qual a alteração, provocada pela constante c, no gráfico da função?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
7. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟏 𝐞 𝒄 = 𝟎 e movimente o seletor d. Observando o gráfico determine,
para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de c Alteração no gráfico
–2
–1
1
2
Valor de c Deslocamento horizontal
–2
–1
1
2
Lembra de como você determinou o deslocamento horizontal
da função seno? Pesquise em livros didáticos se para determinar
o deslocamento vertical da função cosseno o método é similar.
Em seguida, calcule o deslocamento horizontal da função
cosseno.
100
7.1. Altere os valores da constante d, conforme valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece com
o gráfico.
7.2. Qual a alteração, provocada pela constante d, no gráfico da função?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Valor de d Alteração no gráfico
–2
–1
1
2
E então colega estudante, percebeu alguma semelhança em
relação as características da função seno e cosseno?
Vamos fazer a comparação das duas funções para analisar suas
características?
Vamos lá!!!
101
PARTE 3 – COMPARANDO AS FUNÇÕES SENO E COSSENO
1. Digite no Campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).
Salve a construção como “Arquivo 5_[nome dos estudantes]”.
1.1 Analisando os gráficos das duas funções, como podemos identificar a curva referente à função seno e à
função cosseno? Qual a diferença entre elas?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões do
eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1)
Então, descobriu alguma diferença com
relação ao gráfico da função seno e cosseno?
E semelhanças?
Estamos chegando ao final desta primeira
etapa do nosso estudo, é chegado o momento
de generalizar algumas características
referentes às funções trigonométricas.
Vamos lá!
102
PARTE 4 – GENERALIZANDO
De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑
Em que a, b, c e d são constantes (𝑎, 𝑏 ≠ 0) e “trig” indica uma das seis funções trigonométricas
(seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).
As funções do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑 têm características que podem ser relacionadas
com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões (quando 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0, 𝑑 = 0). Com base na
observação das atividades anteriores, vamos generalizar as alterações provocadas pelas constantes.
1. Digite no campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅 e 𝐠 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅
e a partir dos controles deslizantes descreva as alterações que são provocadas por cada uma das
constantes na curva das funções.
Salve a construção como “Arquivo 6_[nome dos estudantes]”.
1.1. Alteração provocada pela constante a: _____________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
1.2. Alteração provocada pela constante b: _____________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
1.3. Alteração provocada pela constante c:_____________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS 103
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
1.4. Alteração provocada pela constante d: _____________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Anotações
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
E então, o que você concluiu quanto
aos parâmetros das funções
trigonométricas?
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
104
PARTE 5 – CONSTRUINDO GRÁFICOS
1. Analise as leis de formação abaixo, identifique qual a alteração provocada por cada uma das
constantes, faça a construção do gráfico e determine o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o
período P para cada uma delas.
a) 𝒇 𝒙 = 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥):
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Salve a construção como “Arquivo 7_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
Agora, que já conhecemos as características das
funções seno e cosseno, chegou o momento de
construirmos o gráfico de algumas funções
trigonométricas no software GeoGebra!
105
Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥):
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Salve a construção como “Arquivo 8_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3:
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑓 𝑥 = 2 ∙
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3.
ATIVIDADE 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
106
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Salve a construção como “Arquivo 9_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
b) 𝒈 𝒙 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥):
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
−𝜋
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
3𝜋
E então, o que as constantes de valores
2 e 3 provocaram no gráfico da função
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
107
Salve a construção como “Arquivo 10_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥):
Pontos coordenados:_________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥).
Salve a construção como “Arquivo 11_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
−𝜋
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
3𝜋
E na função 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 , qual a
alteração provocada pela constante 4?
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
108
c) 𝒉 𝒙 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟐
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = cos 𝑥 .
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).
Salve a construção como “Arquivo 12_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −cos 𝑥 .
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥).
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙)
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
109
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Salve a construção como “Arquivo 13_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −cos 𝑥 + 2.
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2.
Salve a construção como “Arquivo 14_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨 𝐬 𝒙 + 𝟐
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
Qual a alteração provocada pela constante 2 na
função? E a constante –-1 provocou alguma
alteração no gráfico da função? Se sim, qual?
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
110
d) 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Pontos coordenados: _______________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑧 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥).
Salve a construção como “Arquivo 15_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
𝒙 2x 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
−𝜋
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
3𝜋
Nesta atividade temos o arco da função seno na forma
𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 = 0. Desta forma, o valor de x é
determinado a partir do arco 2𝑥.
111
e) 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅
𝟒.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Pontos coordenados: _______________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função q(x) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝜋
4.
Salve a construção como “Arquivo 16_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒙 −𝝅
𝟒 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅
𝟒
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
Nesta atividade temos o arco da função cosseno na forma
𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0. Desta forma, o valor de x é
determinado a partir do arco 𝑥 −𝜋
4.
Que alteração o arco 𝑥 −𝜋
4provocou no
gráfico da função quando comparado com o
gráfico da função 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
112
f) 𝒗 𝒙 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏
Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
Salve a construção como “Arquivo 17_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
−𝜋
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
3𝜋
Chegamos a nossa última construção!
Analise a lei de formação e escreva quais as
alterações que serão provocadas pelas
constantes –2 e –1 no gráfico da função.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
113
Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
Salve a construção como “Arquivo 18_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1.
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
−𝜋
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
3𝜋
x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏
−𝜋
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
114
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Pontos coordenados: ________________________________________________________________
Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função
𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1.
Salve a construção como “Arquivo 19_[nome dos estudantes]”.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
3𝜋
E então, você acertou quais seriam as alterações
provocadas pelas constantes –2 e –1 no gráfico da
função?
______________________________________
Então caro estudante, chegou o momento de
estudarmos algumas situações do mundo real
que podem ser descritas por meio de uma
função trigonométrica!!!
115
MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS
Anotações
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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116
Ao permanecer por um longo tempo na praia, você já deve ter observado que existe uma variação do
nível de água do mar sobre a faixa de areia (litoral). Em alguns momentos, a água recua deixando assim uma
maior faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou mais largo; já em outros momentos, a água avança
para a faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou um tanto mais estreito. Um dos principais
fenômenos responsáveis pela movimentação diária das águas dos mares e oceanos são as marés.
A maré é a oscilação vertical da superfície do mar sobre a Terra, ou seja, é a movimentação diária,
avanço e recuo, das águas oceânicas em relação ao litoral. O maior nível das águas do mar é chamado de
maré alta ou preamar e, o menor nível recebe o nome de maré baixa ou baixa-mar. Quando as águas
oceânicas avançam para o litoral diz-se que a maré é alta, quando recuam, diz-se que a maré é baixa.
As marés são provocadas pela atração gravitacional que a Lua exerce sobre o planeta Terra. A Lua dá
voltas em torno da Terra e, neste movimento a Terra é atraída pela Lua, assim como também a Lua é atraída
pela Terra pela força da gravidade. O Sol também exerce influência na movimentação das águas oceânicas,
no entanto a influência da Lua é muito mais forte por estar mais próxima da Terra. Outro fator que tem
influência nesta movimentação, é a rotação da Terra sobre o seu eixo, fazendo com que uma metade do
nosso planeta esteja sempre voltado para a Lua e, essa estará exercendo seu poder sobre as águas
ocasionando a maré alta, enquanto que na outra metade, tem-se a maré baixa. Como acontece a
movimentação da Terra e da Lua, a atração da Lua não fica restrita apenas a uma parte do nosso planeta, ou
seja, ao se mover, a atração da Lua faz a água subir e descer em diferentes partes do planeta, desta forma, a
maré pode estar alta em uma parte do planeta e baixa em outra.
As marés ocorrem todos os dias sendo que a dinâmica de avançar e recuar em relação ao litoral
acontece em intervalos de aproximadamente 6 horas. Normalmente, ocorrem 4 marés diárias: duas marés
altas e duas marés baixas; isso acontece pois ao mesmo tempo que a Lua faz a água avançar pelo litoral do
lado que está virada para ela, ela também recua a água do litoral do lado oposto do planeta.
A altura da maré alta e baixa corresponde ao nível de água em relação ao plano do zero hidrográfico
(nível de referência pela qual são determinadas as alturas das marés). Este nível de referência normalmente é
definido pelo nível mais baixo das marés baixas (média das marés baixas de sizígia4) registradas em um
determinado período de observação, e varia de um lugar para o outro. A altura das marés alta e baixa de
acordo com o nível do mar médio, variam.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Fonte: Maré baixa e maré alta3
117
Nas fases de Lua nova e cheia, a força gravitacional do Sol está na mesma direção da força
gravitacional da Lua, produzindo assim marés mais altas, chamadas de marés de sizígia; já nas fases de Lua
minguante e crescente, as forças gravitacionais do Sol estão em direções diferentes da força gravitacional da
Lua, o que ocasiona marés mais baixas, chamadas maré de quadratura.
As previsões de marés são feitas através dos resultados coletados da observação de um medidor
(marégrafo) analisadas juntamente com a reação dos níveis das águas em relação a movimentação da Terra,
Lua e o Sol; e as posições futuras da Terra, do Sol e da Lua que são conhecidas.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Fonte: Zero hidrográfico5
O subir e descer das marés regula, de muitas maneiras, as atividades diárias
das pessoas que vivem à beira mar, como a escolha do melhor horário para a
procura de mariscos e o melhor momento para atracar os barcos. Desta forma, os
trabalhadores da pesca e da navegação, guiam-se pelas previsões das marés para a
realização de suas atividades.
Para complementar
a explicação do
fenômeno das
marés assista o
vídeo desenvolvido
pelo Departamento
de Física da
Universidade do
Estado de Santa
Catarina disponível
em:
https://www.youtub
e.com/watch?v=bF
KHFwc4-Qs
Então colega estudante, vamos analisar o comportamento
das movimentações oceânicas!!!
Faça a coleta de dados referente à altura das marés de um
porto. Escolha um porto de sua preferência e a altura
relacionada ou à maré baixa ou à maré alta. Registre na
Tabela 1 os dados correspondentes à 2 meses quaisquer.
118
Para a coleta destas informações acesse o site de Previsão de Marés da Marinha do Brasil -
https://www.marinha.mil.br/chm/dados-do-segnav-publicacoes/tabuas-das-mares
Porto: _____________________________________________________
Localização: ________________________________________________
Período (mês/ano): ___________________________________________
( ) maré alta ( ) maré baixa
Tabela 1: Tábuas de marés
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Dias Altura (m) Dias Altura (m)
1 32
2 33
3 34
4 35
5 36
6 37
7 38
8 39
9 40
10 41
11 42
12 43
13 44
14 45
15 46
16 47
17 48
18 49
19 50
20 51
21 52
22 53
23 54
24 55
25 56
26 57
27 58
28 59
29 60
30 61
31 62
119
Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a altura da maré (m), como
você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de
atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Para facilitar a análise dos dados, determine o valor da média aritmética das alturas das marés
(conforme Apêndice 3) e de cada altura subtraía esse valor médio (conforme Apêndice 4). Esses valores
deverão ser considerados para determinar os pontos coordenados.
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
x y x y
1 32
2 33
3 34
4 35
5 36
6 37
7 38
8 39
9 40
10 41
11 42
12 43
13 44
14 45
15 46
16 47
17 48
18 49
19 50
20 51
21 52
22 53
23 54
24 55
25 56
26 57
27 58
28 59
29 60
30 61
31 62
Você lembra da variável
dependente e independente em
uma função? Se precisar,
pesquise pela informação em
livros didáticos para responder
o questionamento.
120
Agora que você já determinou quais são os pontos coordenados, represente-os no plano cartesiano
utilizando o software GeoGebra (conforme Apêndice 5).
Salve a construção como “Atividade_marés_[nome dos estudantes]”
Qual o tipo de função que poderia representar essa situação? Justifique sua resposta.
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_______________________________________________________________________________________
Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada (no mesmo
arquivo onde estão marcados os pontos coletados). Quais aspectos da função (características) precisam ser
alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Para que essas alterações ocorram, quais constantes precisariam ser incluídos na função? Faça uma
previsão desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.
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MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS 121
Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes
que você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para
um melhor ajuste se necessário.
As constantes estimadas garantem um bom ajuste da função sobre os dados coletados? Houve
necessidade de ajustes nas constantes? Se sim, qual a nova função que melhor representa a situação?
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
Utilizando essa função, e lembrando da modificação realizada na altura da maré para a obtenção dos
pontos, determine a previsão da maré para 3 e 6 meses posteriores. Especifique qual seriam as coordenadas
do ponto no gráfico e a data correspondente.
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MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS 122
MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS
Anotações
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___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
E então, conseguiu construir uma função que se ajusta aos
dados que foram coletados? Quais os parâmetros inseridos
na função para garantir este ajuste?
Caso desejar, você pode consultar as alturas estimadas a
partir da fórmula no site em que foram coletadas as
informações iniciais.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
123
O movimento de rotação da Terra dá origem aos dias e às noites, e tem como referência o nascer e o
pôr do Sol. O termo “dia” tem dois significados: o primeiro deles refere-se ao período de 24 horas e, o
segundo, corresponde ao período que há incidência de luz solar. Desta forma, um dia de acordo com o
segundo significado, dura a quantidade de horas que o sol estiver aparecendo no céu e, é variável de região
para região. Para o período que não existe a luz solar, dá-se o nome de noite.
A duração do dia (aqui entendido como o período em que há incidência de luz solar) é alterada
durante as várias estações do ano em razão da inclinação do eixo da Terra e seu movimento de translação. Os
homens e todos os animais do planeta percebem o dia e a noite e alteram o seu comportamento de acordo
com a presença ou ausência da luz solar.
A Terra leva um dia inteiro, ou seja, 24 horas, para fazer uma volta completa em torno de seu eixo.
Este período de rotação é tradicionalmente medido a partir da meia noite à meia noite. Desta forma, sempre
metade de sua superfície é iluminada pelo Sol, sendo que nestas regiões o Sol é visível e, portanto, dia. Na
outra metade, na qual o Sol não está presente, é noite.
ATIVIDADE 03 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Fonte: Dia e Noite6
Você sabia que a duração do dia e da noite é
considerado um fenômeno periódico? E que em
determinados períodos do ano o dia tem
durações diferentes? Vamos entender melhor
como isso ocorre?
124
Assim, a duração do dia e da noite deveria ser em média 12 horas, no entanto, devido a questões
relacionadas as estações do ano, inclinação do eixo da Terra, a duração do dia e da noite variam de acordo
com a época do ano e com a localização no planeta. Conforme a Terra vai girando em torno de seu eixo
imaginário, a luz solar vai atingindo diferentes regiões do planeta produzindo assim, a sucessão dos dias e
noites.
Apenas em duas ocasiões do ano o dia e a noite possuem a mesma duração: equinócio da primavera
(transição do inverno para a primavera) e equinócio do outono (transição do verão para o outono). Ao longo
do ano, dias e noites têm duração maior ou menor do que 12 horas, sendo o dia com maior duração chamado
de solstício de verão, e o com menor duração, solstício de inverno.
Para a coleta destes dados, sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/
Município: ________________________________________________________
Período (mês/ano): __________________________________________________
( ) duração do dia ( ) duração da noite
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Para complementar esta
explicação da duração do
dia e da noite, assista o
vídeo produzido pela
equipe do Cassiopeia
Project – traduzido
e adaptado pela Casa das
Ciências – disponível
em:
https://www.youtube.co
m/watch?v=iWnCUorriI
8
Então, vamos analisar este fenômeno
periódico! Para tanto, colete dados do
nascer e pôr do sol para um município
(do Brasil) de sua preferência. Registre
na Tabela 1 os dados correspondentes à 1
ano qualquer, obedecendo um intervalo
de 10 dias.
125
Tabela 1: Hora do nascer e pôr do sol
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Dia do ano Dia (n) Hora do nascer do sol Hora do pôr do sol
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201
211
221
231
241
251
261
271
281
291
301
311
321
331
341
351
361
371
Para determinar a
duração da noite
você também
deve coletar as
informações
referentes ao
nascer e pôr do
sol.
A duração da noite é calculada a partir
da duração do dia! Toma-se o dia com
24 horas e subtrai-se a duração do dia
(tempo, em horas, de luminosidade
solar).
126
Sabendo que a duração do dia é dada pela diferença entre o horário do pôr do sol e o horário do
nascer sol, calcule a duração do dia (em horas) para o período escolhido (Apêndice 7).
Tabela 2: Duração __________________________
Dia do
anoDia (n)
Hora do
nascer do sol
Hora do pôr
do sol
Duração do
dia (h/min)
Duração do
dia (horas)
Duração da noite
(em horas)
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201
211
221
231
241
251
261
271
281
291
301
311
321
331
341
351
361
371
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 127
Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a duração do dia, como você
determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de atribuir
a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Determine os pontos que devem ser usados para representar a situação em um gráfico cartesiano.
Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme
Apêndice 5).
Salve a construção como “Atividade_Duração_Dia_Noite_[nome dos estudantes]”
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
x y x y
1 191
11 201
21 211
31 221
41 231
51 241
61 251
71 261
81 271
91 281
101 291
111 301
121 311
131 321
141 331
151 341
161 351
171 361
181 371
128
A partir da disposição dos pontos no gráfico, qual o tipo de função que poderia representar essa
situação? Justifique sua resposta.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada. Quais aspectos da
função (características) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Atenção!
Caso a disposição dos pontos no gráfico apresente irregularidades -
“quebras” e o local para o qual você coletou os dados vigora o
horário de verão, analise se estas irregularidades correspondem ao
início/término do horário de verão.
Se sim, você pode determinar uma nova duração do dia para os dias
em que vigoram o horário de verão fazendo a subtração de
aproximadamente 1 hora (dependendo da região). Faça testes caso
desejar um melhor alinhamento dos pontos.
Caso desejar fazer esta alteração, ao final desta atividade encontra-
se uma nova tabela para a determinação dos novos valores (uma
tabela para a duração e outra para a determinação dos pontos).
O mesmo procedimento também é
válido para a duração da noite, caso o
gráfico venha a apresentar “quebras”.
A função também pode ser determinada
sem esta alteração. A alteração apenas
garante que os pontos obedeçam uma
curva contínua.
129
Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma
previsão desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes
que você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para
um melhor ajuste se necessário.
As constantes estimadas garantem um bom ajuste da função sobre os dados coletados? Houve
necessidade de ajustes nas constantes? Se sim, qual a nova função?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 130
Utilizando a função construída determine a duração do dia (em horas) em que se iniciam as 4
estações do ano para o período cujo dados foram coletados.
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
E então, conseguiu construir uma função que se ajusta aos
dados que foram coletados? Quais os parâmetros inseridos
na função para garantir este ajuste?
Dependendo o período analisado, você consegue verificar
se estes valores calculados a partir da função estão de
acordo com a previsão do site (o site fornece dados para 2
anos)
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
131
Tabela 3: Duração __________________________ sem horário de verão
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
Dia do
anoDia (n)
Hora do
nascer do sol
Hora do pôr
do sol
Duração do
dia (h/min)
Duração do
dia (horas)
Duração da noite
(em horas)
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201
211
221
231
241
251
261
271
281
291
301
311
321
331
341
351
361
371
132
Novos pontos (sem o horário de verão)
MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE
x y x y
1 191
11 201
21 211
31 221
41 231
51 241
61 251
71 261
81 271
91 281
101 291
111 301
121 311
131 321
141 331
151 341
161 351
171 361
181 371
Anotações
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
133
A temperatura do ar é um parâmetro meteorológico de fundamental importância, refere-se a energia
que está contida no ambiente. No período de um dia, a energia que está à disposição do ambiente oscila entre
dois valores, gerando uma temperatura mínima e uma máxima. Além de uma variação diária, a temperatura
do ar varia também ao longo do ano de acordo com a posição da Terra à radiação solar.
Em diferentes partes do mundo a temperatura do ar está sujeita a grandes extremos, pontos muito
quentes e pontos muito frios, nos quais torna-se quase que impossível a vida humana, animal e vegetal.
Através da temperatura do ar pode-se determinar qual a condição de vida para uma determinada região,
assim como também qual a produtividade do solo para esta mesma região.
A temperatura do ar é a característica do clima sentida de forma direta. Em determinada época do ano
tem-se temperaturas muito elevadas em certas regiões do planeta, ou seja, as fortes ondas de calor, enquanto
que em outras regiões, tem-se temperaturas muito baixas, desta forma, uma intensa onda de frio. E ainda,
existem as épocas do ano em que predominam as temperaturas mais amenas, isto é, nem muito frio nem
muito quente, porém agradável.
MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR
A temperatura do ar também é um fenômeno
periódico!
Você já parou pra pensar sobre isso? Já
percebeu esta periodicidade no decorrer dos
dias?
134
Os seres vivos que habitam o nosso planeta adaptam-se a energia do ambiente em que vivem, sendo
que a variação da energia opera em um processo ininterrupto de estímulos aos processos fisiológicos
(funções mecânicas, físicas e bioquímicas) vitais destes seres vivos. Desta forma, percebe-se que a
temperatura do ar tem uma finalidade importante no desenvolvimento dos seres vivos (humanos, animais e
plantas).
Para a coleta dos dados, sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/
Município:________________________________________________
Período (dia/mês/ano): ______________________________________
Tabela 1: Temperatura do ar
MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR
Dia Hora dos dados Hora Temperatura
Vamos analisar este fenômeno periódico! Para
tanto, colete dados referentes a temperatura do ar para
a cada 3 horas para um período de no mínimo 2 dias
de um município de sua preferência.
Registre estes dados na Tabela 1.
135
Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em horas) e a temperatura do ar (em
graus), como você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o
significado de atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Determine os pontos que devem ser usados para representar a situação em um gráfico cartesiano.
Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme
Apêndice 5).
Salve a construção como “Atividade_Temperatura_[nome dos estudantes]”
Qual o tipo de função que poderia representar essa situação? Justifique sua resposta.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR
x y
136
Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada. Quais aspectos da
função (características) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma
previsão desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes
que você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para
um melhor ajuste se necessário.
MOMENTO 02– TEMPERATURA DO AR 137
As constantes estimadas garantem um bom ajuste da função sobre os dados coletados? Houve
necessidade de ajustes nas constantes? Se sim, qual a nova função?
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Utilizando a função construída determine a temperatura do ar para as 12h do dia seguinte aos dias
analisados e, especifique que dia é este.
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MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR 138
MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR
Anotações
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Então, conseguiu construir uma função que se ajustasse aos
dados que foram coletados? Quais os parâmetros inseridos
na função para garantir este ajuste?
Você pode analisar se a função construída garante um bom
ajuste verificando se a temperatura calculada a partir da lei
da função é igual ou próxima a temperatura fornecida pelo
site para o dia analisado.
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139
Atualmente é possível verificar um grande número de pessoas que praticam exercícios aeróbicos,
dentre eles os principais são andar, correr, nadar, pedalar e dançar. É muito frequente encontrar pessoas
caminhando, correndo ou então pedalando pelas ruas da cidade, assim como academias que oferecem aos
seus clientes atividades de dança e natação.
Em atividades como caminhada, corrida, natação e pedal é possível verificar o movimento oscilatório
dos braços durante a sua realização. Uma pessoa participante do método de corridas de Cooper, método este
que consiste em uma corrida de 2,4 quilômetros em 12 minutos, balança cada um de seus braços enquanto
corre, sempre no mesmo ritmo, segundo a função: 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4, no qual y corresponde
ao ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e t corresponde ao tempo medido em
segundos. Na Figura abaixo são apresentadas duas posições do braço de um corredor em seu movimento
cíclico.
MOMENTO 03 – RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS
Fonte: (AGUIAR, XAVIER e RODRIGUES, 1988)7
Você sabia que o ritmo oscilatório dos braços
é um fenômeno cíclico? Já reparou na
movimentação dos braços de uma pessoa que
está caminhado, correndo ou então nadando?
Os braços são movimentados de forma
cíclica!
140
Durante uma corrida, o braço do corredor oscila para frente e para trás em torno do ponto 0,
conforme exemplificado na Figura. A posição do braço em relação ao eixo é determinada através do ângulo
y, compreendido entre o braço e o eixo vertical.
Considerando a função que determina o movimento oscilatório dos braços de um corredor do método
Cooper, responda:
1. Qual o período da função trigonométrica?
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2. Qual a amplitude da oscilação dos braços do corredor, praticante do Método de Cooper?
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3. Considerando um corredor praticante do Método de Cooper de corrida, determine o ângulo compreendido
entre a posição do braço e o eixo vertical após 15 e 50 segundos de corrida.
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MOMENTO 03 – RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS141
4. Faça a construção do gráfico da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋
9∙ 𝑠𝑒𝑛
8𝜋
3∙ 𝑡 −
3
4no software GeoGebra e
determine o domínio e a imagem da função.
Salve a construção como “Atividade_Ritmo_Oscilatório_[nome dos estudantes]”
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MOMENTO 03 – RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS
Sugestão: Para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos
eixos para: eixo x: –3 a 10; e eixo y: –0,5 a 0,5.
Anotações
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Observando a função que descreve o movimento
oscilatório dos braços de um corredor do Método
de Cooper, quais são as constantes que provocam
alterações no gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)?
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142
Desde a Antiguidade os homens preocuparam-se em descobrir por que os pássaros e insetos
conseguem voar e eles não. No começo, os homens tentaram imitar o voo dos pássaros construindo uma
estrutura chamada de asas mecânicas e com elas os homens lançavam-se do alto de morros e penhascos, no
entanto, os resultados sempre foram desastrosos. Somente a partir da década de 40 que os homens
conseguiram imitar o voo dos pássaros através da Asa Delta. Com o Asa Delta os homens conseguem planar
no ar, assim como subir para níveis mais altos da atmosfera sem o auxílio de um mecanismo propulsor.
Uma experiência realizada pelo zoologista T. Weis-Fogh permitiu descrever a forma precisa do voo
de um gafanhoto. Pode-se dizer que o voo de insetos e pequenos pássaros se assemelha em alguns aspectos
com o voo dos aviões. Os aviões alçam voo e obtém o empuxo para frente através da ação conjunta dos
motores e das asas fixas, enquanto que os insetos e os pequenos pássaros combinam essa função apenas com
suas asas.
MOMENTO 03 – VOO DOS GAFANHOTOS
Fonte: Gafanhoto8
Então colega, chegamos a nossa última atividade deste
caderno. E o que vamos analisar aqui é o movimento das asas
de um gafanhoto!
Você já viu um gafanhoto voando? Observou o bater das asas
deste inseto? Pois bem, o movimento de bater as asas deste
inseto também é um movimento cíclico!
Acompanhe o texto abaixo para conhecer um pouco mais
sobre este movimento.
143
Quando as asas são batidas para baixo os insetos e pássaros são impulsionados para a frente assim
como também são impulsionados a levantar o voo. Enquanto que a batida de asas para cima é responsável
por não cancelar o impulso de ascensão (de subida) obtido com a batida das asas para baixo. Os gafanhotos
possuem asas dianteiras (pequenas) e posteriores (grandes), sendo que o movimento completo é realizado
em 60 milissegundos, ou seja, os gafanhotos realizam 16,6666... ciclos por segundo, isto é, suas asas são
movimentadas para cima e para baixo 16,6666 vezes em um segundo!
Na Figura acima são apresentadas duas curvas, sendo a curva de maior amplitude de oscilação
referente as asas posteriores, e a curva em linha tracejada referente as asas dianteiras. É possível perceber
que as asas oscilam em torno da reta horizontal 𝑦 = 90°. Dado que a curva está um tanto longe de ser
simétrica em relação ao eixo y, uma função do tipo normal não garante uma aproximação, desta forma, faz-
se necessário uma função que faça uma deformação para garantir a simetria necessária.
Assim, a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos é:
𝑓 𝑡 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋
3𝑡 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²
100𝜋
3𝑡 − 0,027 , onde t é o tempo (em
segundos) e f(t) o ângulo de abertura entre as asas (em graus).
MOMENTO 03 – VOO DOS GAFANHOTOS
Fonte: (AGUIAR, XAVIER e RODRIGUES, 1988)7
Isso não é uma situação curiosa? Você por
acaso já imaginou que o bater de asas de um
inseto poderia ser um movimento cíclico?
Vamos analisar o gráfico desta função!
144
Agora que você já conhece a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos, faça a
construção do gráfico dessa função no software GeoGebra.
Salve a construção como “Atividade_Voo_Gafanhoto_[nome dos estudantes]”
A partir do gráfico, determine:
1. Qual o domínio da função f(t)?
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2. Qual a imagem da função f(t)? Qual o significado dos valores obtidos?
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3. Qual o período da função f(t)? Qual o significado do valor obtido?
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MOMENTO 03– VOO DOS GAFANHOTOS
Sugestão: Para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos
eixos para: eixo x: –0,02 a 0,28; e eixo y: –5 a 140.
Analisando esta função, quais as constantes que
provocam alterações no gráfico? Quais os valores
dessas constante?
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145
4. Utilizando a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos determine o ângulo formado nos
instantes: 0,027, 0,06, 0,087, e em seguida, insira esses valores na forma de ponto coordenado no gráfico da
função.
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MOMENTO 03 – VOO DOS GAFANHOTOS 146
MOMENTO 03 – VOO DOS GAFANHOTOS
Anotações
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Então colega estudante, chegamos ao final deste caderno
de atividades, no entanto, tenho mais uma pergunta para
fazer!
No início deste caderno, quando falei que iriamos estudar
situações do mundo real que podem ser descritas por
funções trigonométricas, você imaginou alguma situação
que viríamos a estudar? Passou pela sua cabeça que estas
situações que estudamos poderiam ser descritas por uma
função trigonométrica? Como você avaliaria a
importância do estudo das funções trigonométricas na
Educação Básica?
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Bom, espero que tenham gostado desta
experiência!!! Até mais colega e, BONS
ESTUDOS!!!!
147
Os textos informativos foram construídos a partir da leitura das seguintes referências:
AGUIAR, Alberto Flávio Alves; XAVIER, Airton Fontenele Sampaio; RODRIGUES, José Euny Moreira.
Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas. São Paulo: Harbra, 1988.
Como são feitas as tabelas de marés. Disponível em: http://ultimosegundo.ig.com.br/ciencia/como-sao-
feitas-as-tabelas-de-mare/n1237770242841.html. Acessado em: 22 nov. 2017.
Conheça os locais mais quentes e mais frios do planeta. Disponível em: https://www.terra.com.br/vida-e-
estilo/turismo/conheca-os-locais-mais-quentes-e-mais-frios-do-
planeta,acf9392625237310VgnCLD100000bbcceb0aRCRD.html. Acessado em: 05 dez. 2017.
Correndo na frente. Disponível em: http://espacoevents.com.br/livro_correndo_na_frente.pdf. Acessado em:
10 dez. 2018.
Criador do método Cooper diz que só exercício físico não garante a saúde. Disponível em:
http://globoesporte.globo.com/eu-atleta/saude/noticia/2015/10/criador-do-metodo-cooper-diz-que-so-
exercicio-fisico-nao-garante-saude.html. Acessado em: 08 jan. 2018.
Dia e noite. Disponível em: http://www.portalsaofrancisco.com.br/astronomia/dia-e-noite. Acessado em: 30
nov. 2017.
História da Asa Delta. Disponível em: http://vertigens.com/artigos/historia-asa-delta. Acessado em: 12 jan.
2018.
Marés. Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/geografia/mares.htm. Acessado em 20 nov. 2017.
Marés. Disponível em: https://www.infoescola.com/oceanografia/mares/. Acessado em: 20 nov. 2017.
O horário de verão e o tempo. Disponível em: https://www.climatempo.com.br/noticia/2015/10/16/o-
horario-de-verao-e-o-tempo-8775. acessado em: 11 dez. 2017.
Passo a passo: como usar as tábuas de marés. Disponível em:
https://www.viajenaviagem.com/2013/04/como-usar-tabua-mares. Acessado em: 20 nov. 2017.
Quando o dia e a noite têm a mesma duração. Disponível em: https://super.abril.com.br/ciencia/quando-o-
dia-e-a-noite-tem-a-mesma-duracao/. Acessado em: 01 dez. 2017.
Tábuas de maré. Disponível em: http://www.tabuademares.com/mares. Acessado em: 20 nov. 2017.
Temperatura do ar. Disponível em: http://www.infoaviacao.com/2012/04/temperatura-do-ar.html. Acessado
em: 03 dez. 2017.
Temperatura do ar. Disponível em: https://content.meteoblue.com/pt/meteoscool/o-tempo/temperatura.
Acessado em: 03 dez. 2017.
Temperatura do ar e graus-dia. Disponível em: https://pt.scribd.com/document/361570960/7-
TEMPERATURA-DO-AR-pdf. Acessado em: 05 dez. 2017.
REFERÊNCIAS 148
APÊNDICE 1
Acesse a “Janela de Visualização” (clicando com o botão direito do mouse sobre a tela) e altere as
dimensões do eixo x de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância para 𝜋 2.
Dimensões do eixo: Digite no campo x Mín: –2pi e no x Máx: 2pi.
Distância: Clique na seta e selecione 𝜋 2.
Clique sobre a curva com o botão direito e clique na opção “Propriedades”:
Na janela Propriedades, clique na aba “Cor” e altere a cor para azul, em seguida clique na aba
“Estilo” e altere o estilo da curva para tracejado.
APÊNDICE 2
149
Digite no campo de entrada a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑, conforme exemplificado
abaixo, e pressione Enter;
Será solicitado a construção de controles deslizantes, clique em criar.
Cálculo da média no Excel:
1. Abra o Excel;
2. Digite os dados coletados em uma planilha do Excel:
3. Digite em uma célula o comando “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎(“;
4. Selecione a coluna com todos os valores que você deseja calcular a média;
5. Feche o parêntese;
6. Pressione Enter;
7. A média será exibida nesta mesma célula.
APÊNDICE 3
150
Cálculo da média no GeoGebra:
Primeiro método
1. No GeoGebra clique na aba “Exibir” e em seguida na opção “Planilha”;
2. Copie os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;
3. Selecione todos os valores da coluna y e clique em “Lista”;
4. Na janela Lista, clique em “Criar”;
5. A lista de pontos ficará visível na Janela de Álgebra;
6. No campo de entrada, digite “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎” e selecione “Média(<Lista dos Dados Brutos>)”;
7. No lugar de <Lista dos Dados Brutos> digite o comando da lista;
7.1. O comando da lista pode ser obtido clicando com o botão direito sobre a lista; opção
“Propriedades”; aba “Básico”; Campo “Nome”;
8. Pressione Enter;
9. A média será exibida na Janela de Álgebra.
151
Segundo método
1. No GeoGebra clique na aba “Exibir” e em seguida na opção “Planilha”;
2. Copiei os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;
3. Clique na célula em que você deseja exibir a média;
4. Clique em “Exibir campo de entrada” (fx);
5. No campo de entrada digite “média” e selecione a opção “Média(<Lista dos Dados Brutos>);
6. Digite o intervalo de campos onde encontram-se os valores que você deseja calcular a média na forma
“primeira célula: última célula”;
7.
Pressione Enter, a média será exibida na célula escolhida no início.
Subtração da média no Excel:
1. Na mesma planilha em que você calculou a média, crie uma terceira coluna chamada “Nova altura (m)”;
2. Selecione toda a coluna e altere a formatação para “Número” e em uma célula de outra coluna qualquer
digite o valor correspondente a média já calculada;
APÊNDICE 4
152
3. Na célula correspondente ao primeiro dia (C2) digite “= 𝑠𝑜𝑚𝑎(𝐵2 − $𝐷$4)” e pressione Enter (a célula
D4 corresponde a célula com o valor da média, desta forma, na fórmula deve ser digitada o nome da célula
em que você digitou o valor da média usando o cifrão ($) para fixar o valor da média);
4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada (C2) e posicione o cursor no canto inferior
direito de modo que apareça um sinal de +;
5. Clique e arraste até a última linha que possui valores referentes à altura da maré;
6. O resultado de cada uma das subtrações será exibido nesta coluna.
Subtração da média no GeoGebra:
1. Na mesma planilha que você calculou a média, crie uma coluna para a nova altura que será determinada
através da subtração da altura coletada pela média das alturas;
2. No campo de entrada da planilha (fx) digite a primeira subtração a ser realizada, utilizando cifrões ($) para
fixar a célula da média;
3. Pressione Enter;
4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada e posicione o cursor no canto inferior direito
de modo que apareça um sinal de +;
153
5. Clique e arraste até a última linha que possui valores referentes à altura da maré;
6. As novas alturas serão exibidas nesta coluna.
Inserir pontos no software GeoGebra de forma manual
1. Abra o software GeoGebra;
2. No campo de entrada, digite o ponto que deseja inserir da forma A=(1, 0.1);
3. Pressione Enter;
4. Repita o processo para os demais pontos.
OBS.: Para uma melhor visualização dos pontos na Janela de Visualização, clique com o botão
direito na Janela de Visualização e selecione a opção “Janela de Visualização”, na Janela “Preferências”, aba
“Básico” altere as dimensões dos eixos x e y de acordo com o intervalo dos dados coletados.
Inserir pontos no software GeoGebra a partir de uma planilha
1. No GeoGebra clique na aba “Exibir” e em seguida na opção “Planilha”;
2. Copiei os dados referentes as coordenadas (x, y) dos pontos para a planilha (caso já tenham sidos digitados
no Excel) ou então digite-os na planilha do GeoGebra;
3. Na coluna C, na célula correspondente ao primeiro ponto (C2) digite o sinal de = e abra parêntese, em
seguida selecione a célula da coordenada x separando-a com uma vírgula e selecione a célula com a
coordenada y;
4. Pressione Enter para que o ponto seja exibido nesta célula;
5. Selecione a célula com o ponto construído (C2) e posicione o cursor no canto inferior direito de modo que
apareça um sinal de +;
6. Clique e arraste até a última linha que possui as coordenadas dos pontos;
7. Os pontos devem ser exibidos na Janela de Visualização.
APÊNDICE 5
154
OBS.: Caso os pontos não estejam aparecendo na Janela de Visualização, selecione a coluna com os pontos e
clique com o botão direito e selecione a opção “Exibir Objeto”;
Inserir funções no GeoGebra e formatar “controle deslizante”
1. Abra o arquivo do GeoGebra no qual estão os pontos coletados;
2. No campo de entrada, digite a função sob sua forma genérica que melhor descreve a situação (OBS.:
digite apenas as constantes que são necessárias para a situação que está sendo analisada, e para inserir o 𝜋
digite Alt+p ), em seguida pressione Enter;
3. Abrirá uma janela, clique em “Criar Controles Deslizantes”;
4. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante e arreste-o para um local de sua
preferência;
5. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante, clique na opção “Propriedades”;
6. Na aba “Básico” defina um intervalo para este controle (este intervalo pode ser definido tomando como
base a estimativa já calculada anteriormente);
7. No campo “Incremento” defina de quanto em quanto você quer os valores do controle deslizante (OBS.:
Valores decimais devem ser separados por ponto);
8. Repita este processo para os demais controles deslizantes criados.
APÊNDICE 6
155
Cálculos envolvendo horas de forma manual
Nas operações de soma e subtração de horários (hora, minuto e segundo), deve-se somar/subtrair
segundos de segundos, minutos de minutos e horas de horas, sendo que em alguns casos faz-se necessário
fazer transformações de horas em minutos e minutos em segundos para que seja possível realizar o cálculo.
Veja o exemplo:
Vamos subtrair 06h24 de 20h11, ou seja, 20: 11 − 06: 24
Veja que não é possível subtrair 24 minutos de 11 minutos, desta forma, faz-se necessário subtrair 1
hora das 20h e somar essa 1 hora, transformada em minutos, ou seja, 60 minutos, aos 11 minutos, e desta
forma tem-se:
Feita está transformação, é possível subtrair os 24 minutos de 71 minutos, assim como as 6 horas de
19 horas:
Para transformar este resultado em horas, deve-se dividir a quantidade de minutos por 60 (47 ÷ 60 =
0,78) e acrescentar a hora inicial, desta forma, 13h47 expressa na forma de horas é 13,78h.
Cálculos envolvendo horas no Excel
• Ao realizar esta subtração no Excel o resultado já será exibido no formato de horas.
1. Crie uma coluna para a Duração do dia (em horas);
2. Selecione a coluna e veja se a formatação é “Geral”, caso contrário selecione esta opção;
APÊNDICE 7 156
3. Na célula correspondente ao primeiro dia (E2) digite “= 𝐷2 − 𝐶2 ∗ 1440/60” e pressione Enter;
4. Selecione a célula (E2) onde aparecerá o resultado do cálculo realizado e posicione o cursor no canto
inferior direito de modo que apareça um sinal de +;
5. Arraste o sinal de + até a última linha com dados.
157
REFERÊNCIAS
AGUIAR, Alberto Flávio Alves; XAVIER, Airton Fontenele Sampaio; RODRIGUES, José
Euny Moreira. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas. São Paulo: Harbra, 1988.
ALLEVATO, Norma Suely Gomes; ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-Aprendizagem-
Avaliação de Matemática: por que Através da Resolução de Problemas? In: LOURDES DE
LA ROSA ONUCHIC (2014) (Org.). Resolução de Problemas: Teoria e Prática. Jundiaí:
Paco Editorial, 2014. p. 35-52.
Como são feitas as tabelas de marés. Disponível em:
http://ultimosegundo.ig.com.br/ciencia/como-sao-feitas-as-tabelas-de-
mare/n1237770242841.html. Acessado em: 22 nov. 2017.
Conheça os locais mais quentes e mais frios do planeta. Disponível em:
https://www.terra.com.br/vida-e-estilo/turismo/conheca-os-locais-mais-quentes-e-mais-frios-
do-planeta,acf9392625237310VgnCLD100000bbcceb0aRCRD.html. Acessado em: 05 dez.
2017.
Correndo na frente. Disponível em: http://espacoevents.com.br/livro_correndo_na_frente.pdf.
Acessado em: 10 dez. 2018.
Criador do método Cooper diz que só exercício físico não garante a saúde. Disponível em:
http://globoesporte.globo.com/eu-atleta/saude/noticia/2015/10/criador-do-metodo-cooper-diz-
que-so-exercicio-fisico-nao-garante-saude.html. Acessado em: 08 jan. 2018.
Dia e noite. Disponível em: http://www.portalsaofrancisco.com.br/astronomia/dia-e-noite.
Acessado em: 30 nov. 2017.
ECHEVERRÍA, María del Puy Pérez. A Solução de Problemas em Matemática. In: POZO,
Juan Ignacio. A solução de problemas: Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto
Alegre: Artmed, 1998. p. 43-65.
História da Asa Delta. Disponível em: http://vertigens.com/artigos/historia-asa-delta.
Acessado em: 12 jan. 2018.
LOPES JÚNIOR, Geraldo. Geometria dinâmica com o GeoGebra no ensino de algumas
funções. 2013. 78 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) -
Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, 2013. Disponível em:
http://www.locus.ufv.br/bitstream/handle/123456789/5877/texto%20completo.pdf?sequence=
1&isAllowed=y. Acesso em: 15 maio 2017.
Marés. Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/geografia/mares.htm. Acessado em 20
nov. 2017.
Marés. Disponível em: https://www.infoescola.com/oceanografia/mares/. Acessado em: 20
nov. 2017.
158
O horário de verão e o tempo. Disponível em:
https://www.climatempo.com.br/noticia/2015/10/16/o-horario-de-verao-e-o-tempo-8775.
acessado em: 11 dez. 2017.
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