resistência dos materiais ii
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 12 – Capítulo 6 – Flexão
1
Flexão
Fibras longitudinais típicas
2
Superfície Neutra
Linha Elástica
Plano Longitudinal de Simetria
Superfície Neutra
Flexão - Viga Deformada
Seções planas
A linha elástica forma um arco circular
Centro de Curvatura
3
Seções planas permanecem planas (Bernoulli)
Linha Elástica
( )
( ) curvatura de raiox
x
y
=
−=
ρ
ρε x
Compressão
Equação Deformação- Deslocamento
4
( )curvatura
1
curvatura de raiox
==
=
ρκ
ρ
Tração
Deformação e Curvatura
ρ decresce, curvatura e deformação crescem
5
Distribuição de deformação
Compressão
Compressão(εx negativa)
Tração(εx positiva)
6
Tração
Hipóteses relativas a tensão atuante1. Comportamento do Material: linearmente elástico2. Material é isotrópico3. Material segue a lei de Hooke4. As tensões transversais podem ser desprezadas em relação as
tensões de flexão (longitudinais).
Distribuição de tensão
Superfície
Compressão
Tração
M Positivo
Compressão
TraçãoM negativo
7ρσ
ρεεσ
y
y
E
E
x
xxx
−=
−==
Tensão de ãodistribuiç para Fórmulas
Superfície Neutra plano (xz)
Tração Compressão
Distribuição de tensão
8
( )
( ) ∫
∫
−=
=
A
x
A
x
dAyσxM
dAσxF
Tensão de sResultante
( )
( ) ∫
∫
=
=−=
A
A
dAE
M
dAE
F
2yx
0yx
ρ
ρρ
σ yEx −=
Determinação da Superfície Neutra (ou Eixo Neutro)
Centróide da
Compressão acima do EN
9
( )0y
yy
0yx=⇒
=
=−=
∫
∫
AdA
dAE
F
A
Aρ
A superfície neutra passa através do centróide da seção transversal da viga
indeformada.
Centróide da seção transversal
Tração abaixo do EN
Eixo Neutro da seção transversal (eixo z’)
Superfície Neutra (plano xz)
Relação Momento Curvatura
Centróide da seção transversal
Compressão acima do EN
Eixo Neutro da
10
seção transversal
Tração abaixo do EN
Eixo Neutro da seção transversal (eixo z’)
Superfície Neutra (plano xz)
( )
∫
∫
=
=
A
2z
A
2
dAyI
dAyρ
ExM
κEIρ
EIM z
z ==z
x I
Myσ −=
Centróide da seção transversal
Compressão acima do EN
Tração abaixo do EN
Eixo Neutro da seção transversal (eixo z’)
Superfície Neutra (plano xz)
Propriedades de Seções Transversais11
Centróide Posição do eixo neutro
Momento de Inércia Determinação da tensão normal atuante
REVISÃO SOBRE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS
•Centróide de uma área•Momento estático •Momento de inércia (momentos de inércia, polar e misto)misto)•Teorema dos eixos paralelos•Variação dos Momentos de inércia com orientação dos eixos
12
Centróide de uma área
y
∫= AdAy
y
Coordenadas do centróide
∫= AdAz
z
13
z
z
y
dAy
z C ∫=
AdA
y
Momento Estático (primeiro momento da área)
∫= dAyzQ ∫= dAzyQ
∫=
AdA
z
Centróide de uma área
Notas Importantes
•Dimensão do Momento Estático ⇒ [L]3•Eixos centrais - Eixos que passam pelo centróide da seção
•Sinal do Momento Estático ⇒ Positivo, Negativo ou Nulo
14
•O Momento Estático relativo ao eixo central é nulo
Seções com Simetria
C C
Dupla
Cy C
z
Simples
C
Em relação a um ponto
Momento de Inércia da Seção
dAzIA
2y ∫= dAyI
A
2z ∫=
Momento de Inércia em relação ao eixo y e z
Momento de Polar de Inércia
dAρJA
2∫=
y
z C
15
A∫
z
y
z dA
y
ρ
Sabemos porém que: 222 zy +=ρ
Produto de Inércia (Momento de Inércia Misto)
Notas :Dimensão - [L]4
Iy , Iz e J sempre positivos - Iyz positivo, negativo ou nulo
dA)z(yJ 2
A
2∫ +=
dAyzIAyz ∫=
Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner)
z0
y0
y0
dA
C== ∫ dAyI
A
211z
Da figura ao lado obtém-se : ayy 01 +=
O momento de inércia em relação ao eixo y1 é dado por:
=+∫ dA)y(aA
20
y1
“O momento de inércia, relativo a um eixo arbitrário, é igual ao momento de inércia relativo ao eixo central, paralelo ao primeiro, mais o produto da área da seção pelo quadrado da distância entre os eixos” 16
z1
a y1
Aa2 zero0zI
0z2
1z IAaI +=
dAydA2aydAaIA
20A 0A
21z ∫∫∫ ++=
Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inércia
== ∫ dAzyIA 11Zy
Da figura ao lado obtém-se :azz 01 +=
O produto de inércia em relação aos eixos y1 e z1 é dado por:
=++∫ dA)z(a)y(bA 00
y0
dA
C
b
z1
y0
z0a
byy 01 +=
z0
y1
“O produto de inércia, relativo a um par de eixos arbitrários, é igual aoproduto de inércia relativo aos eixos centrais, paralelos aos primeiros, mais oproduto da área da seção pelas distâncias entre os eixos” 17
== ∫ dAzyIA 11
1Z
1y
abA zero00zyI
0011 zyzy IabAI +=
=++∫ dA)z(a)y(bA 00
dAzydAyadAzbdAabIA 00A 0A 0Azy 11 ∫∫∫∫ +++=
y1
z1
b
zero
Momento de Inércia de Seções Simples
Retângulo
y0
dy
b.dydA =
dyybdAyI2h
2h
2
A
2z0 ∫∫
+
−==
18
C
b
h z0
dy
y
12
bh
3
bzI
32h
2h
3
z0==
+
−
De forma equivalente, tem-se:
12
hbI
3
y0=
Produto de Inércia de um Retângulo
Retângulo
y0
dy.dzdA =2/
2/
22/
2/
22
2h
2b
2bA
zy dydzyzdAyzI00
b
b
h
h
hzy
+
−
+
−
+
−
+
−=== ∫ ∫∫
dy
dz
19
b
h z0
0=00zyI
O produto de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo central é igual a zero.
C
dyy
z
Momento de Inércia de Seções Simples
Círculodρ2πdA ρ=
πDπrdρρ2πdAρJ
44r 32 ==== ∫∫
O momento polar de inércia é dado por :
z
y0
ρ
dρ
r
20
32
πD
2
πrdρρ2πdAρJ
0
3
A
2 ==== ∫∫
Sabe-se que
E que para o círculo
z0ρr
D00 zy IIJ +=
00 zy II =
64
πD
2
JIIJ2I
4
yzz 000===∴=
Momento de Inércia de Seções Simples
Anel
)Dπ(D)rπ(rJ
dρρ2πdAρJ
4i
4e
4i
4
r
r
3
A
2
e
e
i
−=−
=
=== ∫∫y0
O momento polar de inércia é dado por :
21
322J ==
z0
De
re
ri
Di ( ) ( )64
DDπ
4
rrπ
2
JIIJ2I
4444
yzz 000
ieie −=−===∴=
E que para o anel00 zy II =
h2h/3
Momento de Inércia de Seções Simples
Triângulo1
111 dyh
bydA
h
byD
b
D
h
y =⇒=∴=
4
bhdyy
h
bdAyI
3
1
h 31
21z === ∫∫
O momento de inércia em relação ao eixo y1 é dado por :
z1
D
y1
dy1
12
bh
2
bh
3
h
36
bhIAaII
323
z2
zz 202=⋅
+=∴⋅+=
22
h/3 C
b
4dyy
hdAyI 10 1
A
1z1=== ∫∫
Utilizando o teorema dos eixos paralelos temos:
z2
z0
D
AaIIAaII 2zz
2zz 1001
⋅−=∴⋅+=
36
bh
2
bh
3
2h
4
bhI
323
z0=⋅
−=
y
FE
αααα C
dAz
y
dAzIA
2y ∫= dAyI
A
2z ∫=
Momento de Inércia em relação ao eixo y e z
dAzI 21y ∫=
Momento de Inércia em relação ao eixo y1 e z1
dAyI 21z ∫=
Variação do Momento de Inércia ao girar Eixos
B
23
zααααF
A
E
O
dAzIA 1y1 ∫= dAyI
A 1z1 ∫=
Relação entre os eixos coordenados
AFOEECOEOC1 +=+==z
senαABcosαOA1 +=zz y
AEBFBC1 −==y
senαOAcosαAB1 −=yy z
αα senzcosyy1 −= αα senycoszz1 +=
Variação do Momento de Inércia ao girar Eixos
dAα)ysenαcos(zdAzI 2
AA
21y1 ∫∫ +==
Momento de Inércia em relação ao eixo y1
Relação entre os eixos coordenados
dAyαsendAyzcosα2senαdAzαcosIA
22
A A
22y1 ∫∫ ∫ ++=
αα senzcosyy1 −=αα senycoszz1 +=
24
dAyαsendAyzcosα2senαdAzαcosIAA Ay1 ∫∫ ∫ ++=
Iy Iyz Iz
senαcosα2IαsenIαcosII yz2
z2
yy1++=
sen2αIcos2α2
II
2
III yz
zyzyy1
+−
++
=
Utilizando-se as seguintes relações trigonométricas, obtém-se:
sen2αsenα2cosα;2
cos2α1αsen;
2
cos2α1αcos 22 =−=+=
Variação do Momento de Inércia ao girar Eixos
dAα)zsencosα(ydAyI 2
AA
21z1 ∫∫ −==
Momento de Inércia em relação ao eixo z1
Relação entre os eixos coordenados
dAzαsendAyzcosα2senαdAyαcosI 2222∫∫ ∫ +−=
αα senzcosyy1 −=
25
dAzαsendAyzcosα2senαdAyαcosIA
22
A A
22z1 ∫∫ ∫ +−=
Iz Iyz Iy
senαcosα2IαsenIαcosII yz2
y2
zz1−+=
sen2αIcos2α2
II
2
III yz
yzzyz1
−−
++
=
Utilizando-se as seguintes relações trigonométricas, obtém-se:
sen2αsenα2cosα;2
cos2α1αsen;
2
cos2α1αcos 22 =−=+=
Variação do Produto de Inércia ao girar Eixos
( )( )dAyzzyA
αααα sencossencosdAzyIA 11zy 11
+−== ∫∫
Produto de Inércia
Relação entre os eixos coordenados
( ) dAycosαsenαdAyzαsenαcosdAzcosαsenαIA
2
A A
222zy 11 ∫∫ ∫ +−+−=
αα senzcosyy1 −=αα senycoszz1 +=
26
( ) dAycosαsenαdAyzαsenαcosdAzcosαsenαIAA Azy 11 ∫∫ ∫ +−+−=
Iy Iyz Iz
( ) α)senα(cosIsencosα)I(II 22yzyzzy 11
−+−= α
cos2αIsen2α2
III yz
yzzy 11
+−
=
Utilizando-se as seguintes relações trigonométricas, obtém-se:
sen2αsenα2cosα;2
cos2α1αsen;
2
cos2α1αcos 22 =−=+=
(*)sen2αIcos2α2
II
2
III yz
zyzyy1
+−
++
=
(**)sen2αIcos2α2
II
2
III yz
zyzyz1
−−
−+
=
−
Resumo das Principais Relações
27
*)*(*cos2αIsen2α2
III yz
zyzy 11
+−
−=
O momento polar de inércia é dado por :
11 zy IIJ +=
Somando-se (*) com (**), tem-se :
zyzy IIIIJ11
+=+=
(*)sen2αIcos2α2
II
2
III yz
zyzyz1 −
−−
+=
Momentos Principais de Inércia
Eixos principais de inércia são aqueles para os quais os momentos de inércia Iy1 e Iz1 assumem valores máximos e mínimos
28
Derivando-se a expressão acima em relação a α e igualando-se a zero
0cos2α2Isen2α2
II2
dα
dIyz
zyz1 =−
−=
−=
2
II
I2
zy
yzptg α
I
Iyz
Iyz
(Iy- Iz)/2
2α’p
2α”p
−
=
+
−=
zy
2yz
2
zy
yz
2
II
α'cos2
I2
II
I'sen2
' Para
α
α
Momentos Principais de Inércia
Supondo-se (Iy-Iz) e Iyz positivos
I
Iyz
Iyz
2α’2α”
29
+
−=
2yz
2
zy I2
II
2α'cos2
( ) (*)2Icos22
II
2
III yz
zyzyz1 ααα sen−
−−
+=
( ) 2yz
2
zyzyy I
2
II
2
II'I
1+
−−
+=α
I
(Iy- Iz)/2
2α’p
2α”p
Momentos Principais de Inércia
Supondo-se (Iy-Iz) e Iyz positivos
−−
+
−=
zy
2yz
2
zy
yz
2
II
I2
II
I-"sen2
" Para
α
αI
Iyz
Iyz
2α’2α”p
30
+
−
=
2yz
2
zy I2
II
2"cos2α
( ) (*)2Icos22
II
2
III yz
zyzyz1 ααα sen−
−−
+=
( ) 2yz
2
zyzyz1 I
2
II
2
II"I +
−+
+=α
I
(Iy- Iz)/2
2α’p
2α p
Momentos Principais de Inércia
Notas Importantes
•O produto de inércia em relação a qualquer eixo de simetria é zero
•Para α’ e α” o produto de inércia Iy1z 1 é zero
31
•Qualquer eixo de simetria representa um eixo principal de inércia
•Os momentos principais de inércia e suas respectivas orientações podem ser determinadas de forma conveniente através de um processo gráfico conhecido por Círculo de Mohr
(**)2Icos22
II
2
III yz
zyzyz1
αα sen−−
−=+
−
*)*(*2cosI22
III yz
zyzy 11
αα +−
−= sen
Círculo de Mohr para Momentos de Inércia
Elevando-se ambas equações ao quadrado e somando-as :
32
Elevando-se ambas equações ao quadrado e somando-as :
2yz
2
zy2zy
2
zyz I
2
III
2
III
111+
−=+
+−
ou
( ) 22zy
2z 111
II ra =+−
Equação do Círculo
( ) ( ) 222 rbyax =−+−b
a r
x
y
a
r
Iy1
Iy1z1
Exemplo
10 mm
Determinação do centróide de áreas compostas - Procedimento
•Decompor em áreas simples
•Estabelecer um sistema de eixos y, z
33
50 mm
100 mm
10 mm
•Decompor em áreas simples
•Determinar centróide das áreas simples
•Calcular centróide da seção composta
Exemplo
A1
10 mm
yy1
z1
∫+∫
∫∫ +=
∫
∫=A2
2A1
1
A22
A11
dAdA
dAydAy
dA
dAyy
mm14,37104010100
510405010100y =
⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=
34A2
A1
10 mm
50 mm
100 mm
z
z1
y2
z2
y2
z2
y1
mm14,12104010100
301040510100z =
⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=
mm14,37104010100
y =⋅+⋅
=
∫+∫
∫∫ +=
∫
∫=A2
2A1
1
A22
A11
dAdA
dAzdAz
dA
dAzz
Exemplo (cont.)
10 mm
y1y0
z =12,14 mm
222y1
21yy AaIAaII
210+++=
22 AbIAbII +++=
Momento de Inércia em relação ao eixo z0
Momento de Inércia em relação ao eixo y0
35
50 mm
100 mm
10 mm
z1a1
b1
z0
y =37,14 mm
y2
z2
b2a2
222z1
21z AbIAbII
210+++=z
222111 AbaIAbaII221100
+++= zyzyzy
0 0Produto de Inércia em relação aos eixos y0 z0
4mm1,14152380zI =
)1040(2)514,37(12
31040)10100(2)14,3750(12
310010
0zI ⋅−+⋅+⋅−+⋅=
Exemplo (cont.)
Momento de Inércia em relação ao eixo y0
Momento de Inércia em relação ao eixo z0
10 mm
y1
y0
36
4mm1,2402380yI =
)1040(2)14,1230(12
34010)10100(2)514,12(12
3101000yI ⋅−+⋅+⋅−+⋅=
4mm6,3214280z0yI −=
1040)3014,12)(514,37(10010)514,12)(14,3750(0z0yI ⋅⋅−−+⋅⋅−−−=
Produto de Inércia em relação aos eixos y0 z0
50 mm
100 mm
10 mm
z1
a1
b1
z0
z =12,14 mm
y =37,14 mm
y2
z2
b2a2
Exemplo (cont.)
Círculo de MohrCentro do Círculo a= (Iy0+Iz0)/2=(2,40+14,2)/2x105=8,3x105 mm4
Ponto de Controle A - coordenadas (14.15x105,-3.21x105)
Iyz(x105)
37
Iyz(x10 )
I(x105)r
Imáx= a + r = (8.3+6.7)x105=15 x105mm4
5522 107.610)2.3()3.815.14( xxr =+−=
A=(14.2,-3.2)
a
Exemplo (cont.) - Variação do Momento de Inércia com orientação dos eixos
VARIAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA E PRODUTO DE INÉRCIA COM A ORIENTAÇÃO DOS EIXOS
1000000
1500000
2000000
MO
ME
NT
O D
E IN
ÉR
CIA
(m
m4)
I'y
I'z
I'yz
38-1000000
-500000
0
500000
1000000
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
ÂNGULO (GRAUS)
MO
ME
NT
O D
E IN
ÉR
CIA
(m
m4)
-7,0E+05
-6,0E+05
-5,0E+05
-4,0E+05
-3,0E+05
-2,0E+05
-1,0E+05
0,0E+00
1,0E+05
2,0E+05
3,0E+05
4,0E+05
5,0E+05
6,0E+05
7,0E+05
0,0E+00
1,0E+05
2,0E+05
3,0E+05
4,0E+05
5,0E+05
6,0E+05
7,0E+05
8,0E+05
9,0E+05
1,0E+06
1,1E+06
1,2E+06
1,3E+06
1,4E+06
1,5E+06
1,6E+06
1,7E+06
1,8E+06
1,9E+06
2,0E+06
2,1E+06
1500000
2000000
I'y
I'yz
39-1000000
-500000
0
500000
1000000
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
ÂNGULO (GRAUS)
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