profmat exame.de.acesso p g s 11-12
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Objetivas – 2012
1 Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
E) 5/7 *
2 Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média
aritmética entre a, b e c é 15. O valor de c é:
A) 9
B) 10
C) 11 *
D) 12
E) 15
3 O número total de divisores positivos de 10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 é igual a:
A) 15
B) 270 *
C) 320
D) 1024
E) 10!
4 A figura mostra um pentágono regular estrelado
inscrito em uma circunferência.
O ângulo x mede:
A) 108º *
B)120º
C) 136º
D)144º
E) 150º
x
5 No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos )3,4(A e )4,6(B corta os
eixos nos pontos P e Q. O comprimento do segmento PQ é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5 *
E) 2
6
O gráfico ao lado mostra o número de
atendimentos de pacientes com uma certa doença
num ambulatório no primeiro semestre de 2010.
Quando houve o maior decréscimo percentual no
número de atendimentos?
A) Entre janeiro e fevereiro.
B) Entre fevereiro e março.
C) Entre março e abril.
D) Entre abril e maio. *
E) Entre maio e junho.
7 Meninas formaram uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de Denise e é a sexta
garota à direita de Denise. Quantas meninas estão na roda?
A) 10
B) 11 *
C) 12
D) 13
E) 17
8
Se a medida do diâmetro de um círculo aumenta em 100%, então a medida de sua área
aumenta em:
A) 300% *
B) 100%
C) 200%
D) 400%
E) 314%
9 Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois pratos. Ele possui 5 pesos
distintos, de 1g, 3g, 9g, 27g e 81g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos,
descobriu que a pera pesa 61g. Quais pesos estavam no mesmo prato que a pera?
A) 1, 9 e 27
B) 3 e 27 *
C) 9 e 27
D) 1 e 9
E) 3 e 9
10 A figura abaixo apresenta o gráfico da função
234 18163)( xxxxf no intervalo
[ 1, 4].
Quantas soluções reais distintas possui a equação 1018163 234 xxx no intervalo
[ 1, 4]?
A) 0
B) 1
C) 2 *
D) 3
E) 4
11 Dado que todos os A´s são B´s, mas apenas alguns B´s são C´s, qual das alternativas
abaixo é certamente correta?
A) Nenhum A é C.
B) Se algo é C então ele também é B.
C) Todo A é C.
D) Ou nenhum A é C ou nenhum C é B.
E) Se algo não é B então ele não é A. *
12 Os pontos da figura abaixo estão igualmente espaçados.
Quantos retângulos podemos traçar com vértices nesses pontos?
A) 6
B) 12
C) 16
D)18
E) 20 *
13 Na figura ao lado, o quadrilátero grande é formado por 4
trapézios congruentes ao trapézio isósceles sombreado.
O perímetro do quadrilátero grande é 36 cm.
Qual é o perímetro do trapézio sombreado?
A) 9 cm
B) 12 cm
C) 18 cm *
D) 36 cm
E) 72 cm
14 Considere as funções reais 32)( 2 xxxf e 43)( 2 xxxg . Assinale a
alternativa falsa.
A) Se 2x então 3)(xf .
B) Se 21 x então )()( xgxf .
C) Se )()( xgxf então 30 x . *
D) Se 1x então 0)()( xgxf .
E) 271 x se, e somente se, )()( xgxf .
15 Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles conseguiu pescar pelo
menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número de peixes que outro. Ana
foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos peixes. Quantos peixes
os meninos pescaram juntos?
A) 3
B) 4
C) 5 *
D) 6
E) 7
16 Na figura ao lado os segmentos AB, CD e EF são
perpendiculares à reta AE e medem,
respectivamente, 40m, 82m e 100m.
Se o segmento CE mede 27m, o comprimento do
segmento AC é:
A) 52m
B) 56m
C) 60m
D) 63m *
E) 66m
A
B
C
D
E
F
17 Um número natural é chamado de estranho se seus algarismos são todos distintos e
nenhum deles é 0 e é chamado de belo se todos os seus algarismos são pares. Quantos
são os números de quatro algarismos que são estranhos ou belos?
A) 24
B) 500
C) 3024
D) 3500 *
E) 3548
18
Considere os números reais 821
2a , 2)31(b ,
24
7)21( 3
c .
A opção verdadeira é:
A) a e b são ambos irracionais e c é racional.
B) a e b são ambos inteiros e c é racional.
C) a e c são ambos racionais e b é irracional. *
D) a é inteiro, b é racional e c é irracional.
E) a é racional e b e c são ambos irracionais.
19 Na figura ao lado, ABC é um triângulo equilátero, M é
o ponto médio do lado AB, o segmento MN é
perpendicular ao lado BC e o segmento NP é
perpendicular ao lado AC.
Sabendo que AP 12 unidades, a medida do lado do
triângulo ABC nessa mesma unidade é:
A) 15,2
B) 16,4
C) 17,5
D) 18,6
E) 19,2 *
A
B C
M
N
P
20 Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade. Isto significa que em 100
gramas da amostra teremos 18 gramas de sais e 82 gramas de água. Qual a melhor
aproximação do percentual de água da amostra a ser evaporado se quisermos obter 30%
de salinidade?
A) 30 %
B) 36 %
C) 42 %
D) 49% *
E) 58%
21 Assinale a alternativa verdadeira:
A) Se x é um número real positivo, então 46 xx .
B) Se x é um número real e xx2 , então 1x .
C) Se 200x e 4y então 50y
x.
D) Se x é um número real então xx2 .
E) Se 0)12( 2 xxx então 0x ou 1x ou 2x . *
22 De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de
forma que a soma seja par?
A) 1620
B) 810
C) 570 *
D) 720
E)120
23 Sejam 70002a , 30005b e 200013c . Assinale a alternativa correta:
A) cab *
B) cba
C) abc
D) bca
E) acb
24 O gráfico que melhor representa a função 21)( xxf é:
A) B) * C)
D) E)
25 Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes?
A) 448
B) 504
C) 546
D) 952 *
E) 1008
26 Em Eletrostática, o módulo E do campo elétrico gerado por uma única carga elétrica
pontual de carga q em um ponto a uma distância d da carga é diretamente proporcional a
q e inversamente proporcional ao quadrado de d. Considere uma carga elétrica com
carga q constante e seja )(dfE , com 0d , a função que descreve o módulo E do
campo elétrico em um ponto a uma distância d dessa carga. Dessa forma, é correto
afirmar que )2( df é igual a:
A) 4
)(df * B) )(4 df C) )(df
D) 2
)(df E) )(2 df
27 Observe o desenho ao lado com as quatro
circunferências de raio 1 dentro da
circunferência de raio 2. A área sombreada é
igual a:
A) 22
B) 3/
C) 42 *
D) 2/
E)
28 Um grupo de pessoas gastou 120 reais em uma lanchonete. Quando foram pagar a
conta, dividindo-a igualmente, notaram que duas pessoas foram embora sem deixar
dinheiro e as pessoas que ficaram tiveram que pagar cinco reais a mais que pagariam se
a conta fosse dividida igualmente entre todos os membros do grupo inicial.
Quantas pessoas pagaram a conta?
A) 4
B) 6 *
C) 7
D)9
E) 10
29 Na figura ao lado, os hexágonos regulares
ABCDEF e ´ ´ ´ ´ ´ ´A B C D E F estão,
respectivamente, inscrito e circunscrito à uma
circunferência de centro O.
A razão área( ´ ´ ´ ´ ´ )
área( )
A B C D E F
ABCDEF vale:
A) 2
3
B) 3
4 *
C) 2
D) 3
E) 2
30 Dona Ana distribuiu 300 balas entre seus sobrinhos Beatriz, Caio, Daniela e Eduardo da
seguinte maneira: deu uma bala para Beatriz, duas balas para Caio, 3 balas para Daniela,
4 balas para Eduardo, 5 balas para Beatriz, 6 balas para Caio e assim sucessivamente.
Quantas balas Daniela recebeu de sua tia Ana?
A) 66
B) 72
C) 78 *
D) 84
E) 88
31
Considere o sistema 0
023
22
yxyxx
yyx e as 3 afirmações abaixo.
I) Existem infinitos pares ),( yx de números reais que são soluções do sistema.
II) Todas as soluções do sistema são da forma )0,(x , para algum x real.
III) Não hé nenhuma solução do sistema da forma )8,(x , com x real.
São verdadeiras:
A) Somente I.
B) Somente II.
C) Somente III.
D) Somente I e II.
E) Somente I e III. *
32 Pedro recorta em uma folha de papel um setor circular OAB de raio 12cm e ângulo de 120
o .
Juntando e colando os raios OA e OB ele faz um cone como mostra a figura abaixo.
A altura desse cone é, aproximadamente:
A) 9,6cm
B) 10,4cm
C) 10,8cm
D) 11,3cm *
E) 11,7cm
12
120o
O A
B O
A = B
33 Um grupo de agricultores trabalha no corte da cana em duas glebas de terra. Admita que
todos possuem a mesma velocidade de trabalho (medida em área cortada por unidade de
tempo) e que uma das glebas tenha o dobro da área da outra. Até a metade do dia todos
trabalham juntos na gleba maior e, na outra metade do dia, metade dos trabalhadores
passa a cortar a cana da gleba menor, enquanto a outra metade continua cortando grama
na gleba maior. No final deste dia, os trabalhadores terminaram de cortar toda a cana da
gleba maior, mas um trabalhador demorou mais um dia inteiro para terminar de cortar a
cana da gleba menor. Quantos trabalhadores havia no grupo?
A) 4
B) 6
C) 8 *
D) 10
E) 12
34 Considere todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco
algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses números?
A) 6666600 *
B) 6666000
C) 6660000
D) 6600000
E) 6000000
35 Sejam x e y números inteiros tais que yx10 seja um múltiplo de 7.
Assinale a resposta correta.
A) yx 2 será certamente um múltiplo de 7 *
B) yx2 será certamente um múltiplo de 7
C) yx será certamente um múltiplo de 7
D) yx2 será certamente um múltiplo de 7
E) yx 22 será certamente um múltiplo de 7
Discursivas 12
Discursiva 1 Um fazendeiro deseja delimitar uma área retangular utilizando 40m de cerca e aproveitando um muro (de mais de
40m) que já está construído. Determine as dimensões do retângulo de maior área que o fazendeiro consegue delimitar.
Discursiva 2 As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros 1C e 2C que se intersectam nos pontos A e B.
Uma reta r passa por A, corta a circunferência da esquerda em P e a circunferência da direita em Q e é tal que A está
entre P e Q.
a) Mostre que se r é paralela à reta 21CC o segmento PQ é o dobro do
segmento 21CC .
Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas
b) Mostre que se r não é paralela à reta 21CC o segmento PQ é menor
que o dobro do segmento 21CC .
Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas
Discursiva 3 Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A
passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras
retangulares de 1 metro por 2 metros.
Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e o rejunte ficará
aparente, embora com espessura desprezível. De
quantas maneiras ele pode revestir a passarela?
cerca muro
B
1C 2C
r A P Q
A
B
1C 2C r
P
Q
PROFMAT – Exame de Acesso 2012
Questoes objetivas
Q1. 1/2 = 0, 5 e |0, 7− 1/2| = 0, 2; 2/3 = 0, 666... e |0, 7− 2/3| > 0, 03; 3/4 = 0, 75 e |0, 7− 0, 75| = 0, 05; 4/5 = 0, 8
e |0, 7 − 0, 8| = 0, 1; 5/7 = 0, 71... e |0, 7 − 5/7| < 0, 02. Entao 5/7 esta a menor distancia de 0,7 entre os numeros
apresentados.
Resposta: E.
Q2. Se a media aritmetica entre a e b e 17, entao
a+ b
2= 17 ,
isto e, a+ b = 34. Se a media aritmetica entre a, b e c e 15 entao
a+ b+ c
3= 15 ,
isto e, a+ b+ c = 45. Logo c = 45− (a+ b) = 45− 34 = 11.
Resposta: C.
Q3. Para contar o numero de divisores, o melhor procedimento e escrever a decomposicao do numero em fatores
primos. Tem-se
10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
= (2 · 5) · 32 · 23 · 7 · (2 · 3) · 5 · 22 · 3 · 2
= 28 · 34 · 52 · 71 .
Os divisores de 10! sao todos os produtos possıveis usando esses fatores. Dito de outro modo, sao todos os produtos
da forma
2i · 3j · 5k · 7m
em que 0 ≤ i ≤ 8, 0 ≤ j ≤ 4, 0 ≤ k ≤ 2 e 0 ≤ m ≤ 1 (isso inclui o 1 e o 10! como divisores). Como ha nove
possibilidades para i, cinco para j, tres para k e duas para m, ha um total de 9 · 5 · 3 · 2 = 270 possibilidades. Nao
ha possibilidade de contarmos duas vezes o mesmo numero porque a decomposicao em fatores primos e unica.
Resposta: B.
1
Q4. O angulo pedido e igual ao angulo interno do pentagono regular da regiao central, que vale 108o.
Resposta: A.
Q5. Pela hipotese, a cada acrescimo positivo na primeira coordenada de 2 unidades corresponde o acrescimo positivo
na segunda coordenada de 1 unidade. Portanto P = (0, 1) esta sobre a reta (subtraindo-se 4 unidades da primeira
coordenada de A obriga a subtrair 2 unidades da segunda coordenada); e Q = (−2, 0) esta sobre a reta (subtraindo-se
3 unidades da segunda coordenada de A obriga a subtrair 6 unidades da primeira coordenada). Pelo Teorema de
Pitagoras, a distancia entre esses pontos e√
22 + 12 =√
5.
Resposta: D.
Q6. De janeiro a fevereiro nao houve decrescimo, entao nao e preciso considerar esse caso. Fevereiro a marco:
(200− 160)/200 = 1/5, decrescimo de 20%. Marco a abril: (160− 120)/160 = 1/4, decrescimo de 25%. Abril a maio:
(120−84)/120 = 3/10, decrescimo de 30%. Maio a junho: (84−63)/84 = 1/4, decrescimo de 25%. Portanto o maior
decrescimo ocorreu entre abril e maio.
Resposta: D.
Q7. Como Maria e a quinta garota a esquerda de Denise, ha 4 meninas entre elas pelo lado esquerdo de Denise. E
como Maria e a sexta garota a direita de Denise, ha 5 meninas entre elas pelo lado direito de Denise. Entao sao 1
(Denise) + 1 (Maria) + 4 (entre elas pela esquerda) + 5 (entre elas pela direita) = 11 garotas.
Resposta: B.
Q8. Aumentar o diametro de um cırculo em 100% significa duplica-lo. Com isso, sua area e multiplicada por 4. Isso
significa somar 3 vezes a area original a area original, o que, em porcentagem, significa aumentar 300%.
Resposta: A.
Q9. O peso de 81g nao podia estar com a pera, pois a soma dos outros pesos seria incapaz de equilibrar as 142g
resultantes. E ele tinha que estar no outro prato, pois a soma dos outros pesos (40g) tambem seria incapaz de
equilibrar a pera. Entao peso de 81g e pera estavam certamente em pratos distintos.
O peso de 27g, se estivesse junto com o peso de 81g, obrigaria a ter ao menos 27+81-61=47g alem da pera no
prato da pera, mas isso nao pode ser conseguido com os pesos restantes. Ao mesmo tempo, o prato da pera precisa
de pelo menos 20g para contrabalancar o peso de 81g, o que tambem nao pode ser conseguido sem o peso de 27g.
Entao o peso de 27g tinha que estar no prato da pera, que por isso certamente tinha, pelo menos, 27+61=88g.
Pelo mesmo raciocınio, o peso de 9g nao pode estar no prato da pera e tem que estar no outro prato, que agora
soma 81+9=90g. Analogamente, o peso de 3g tinha que estar no prato da pera e o peso de 1g no outro prato.
Concluindo, o prato da pera tinha os pesos de 27g e de 3g (somando 91g), enquanto o outro prato tinha os pesos
de 81g, 9g e 1g (tambem somando 91g). E nenhuma outra maneira de equilibrar os pratos com esses pesos e a pera
de 61g e possıvel.
Resposta: B.
2
Q10. As solucoes de f(x) = −10 correspondem aos valores da abscissa dos cruzamentos do grafico de f com a
horizontal na altura −10. Pela figura, ocorrem dois cruzamentos, portanto sao duas solucoes.
Resposta: C.
Q11. Formulando em termos de conjuntos, a hipotese diz que A ⊂ B, que C ∩ B 6= ∅ sem que B ⊂ C. Apenas
A ⊂ B ja implica que se algo nao e B entao nao e A, entao (E) e correta.
Sobre as outras alternativas, um unico exemplo serve para mostrar que nao podem ser sempre verdadeiras. Sejam
A = {1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e C = {2, 3, 4} tres subconjuntos dos numeros inteiros. Esses 3 conjuntos satisfazem as
hipoteses: todos os A’s sao B’s e apenas alguns B’s sao C’s. (A) “Nenhum A e C”: falsa, pois 2 ∈ A e 2 ∈ C; (B)
“Se algo e C entao ele tambem e B”: falsa, pois 4 ∈ C mas 4 6∈ B; (C) “Todo A e C”: falsa, pois 1 ∈ A e 1 6∈ C; (D)
“Ou nenhum A e C ou nenhum C e B”: falsa, pois 2 pertence a A e C e, ao mesmo tempo, 2 e 3 pertencem a C e a
B.
Resposta: E.
Q12. E bom lembrar que quadrados tambem sao retangulos. Exceto 2 quadrados com lados inclinados em 45o, os
demais retangulos tem lados paralelos aos eixos, e podem ser contados de acordo com suas dimensoes n×m.
n = 1,m = 1: 6
n = 1,m = 2: 4
n = 1,m = 3: 2
n = 2,m = 1: 3
n = 2,m = 2: 2
n = 2,m = 3: 1
Portanto, sao os dois mencionados mais os 18 listados, totalizando 20.
Resposta: E.
Q13. Pelo encaixe no quadrilatero grande, o trapezio sombreado (e suas copias) tem um lado maior (digamos de
tamanho `) e 3 lados menores iguais (digamos de tamanho m). Alem disso, o encaixe tambem mostra que os angulos
agudos do trapezio sao de 60o e os obtusos sao de 120o. Por trigonometria, isso implica que ` = 2m. Entao o
perımetro do trapezio sombreado e igual a ` + 3m = 5m. Por outro lado, por inspecao da figura, o perımetro do
quadrilatero maior e 4` + 2m = 8m + 2m = 10m, ou seja, duas vezes maior que o do trapezio sombreado. Entao o
perımetro do trapezio sombreado e igual a 18 cm.
Resposta: C.
Q14. Para analisar as alternativas, e preciso saber os sinais e as raızes de f , g, g − f e f + 3. A funcao f se anula
em −1 e +3, e negativa entre esses valores e positiva nos demais pontos; a funcao g se anula em −1 e 4, e positiva
entre esses dois valores e negativa nos demais pontos; a funcao g − f (dada por g(x) − f(x) = −2x2 + 5x + 7) se
anula em −1 e +7/2, e positiva entre esses dois valores e negativa nos demais pontos; e f(x) + 3 = x2 − 2x se anula
em 0 e 2, e negativa entre esses dois valores e positiva nos demais pontos.
3
(A) f(x) > −3 se e somente se f(x) + 3 > 0; como visto acima, e VERDADEIRO que x > 2 implica f(x) + 3 > 0.
(B) f(x) ≤ g(x) se e somente se g(x) − f(x) ≥ 0, o que ocorre se e somente se −1 ≤ x ≤ 3, 5, como visto acima.
Entao, em particular, −1 < x < 2 implica f(x) ≤ g(x). VERDADEIRA.
(C) Como vimos, f(x) ≤ g(x) se e somente se −1 ≤ x ≤ 3, 5. Entao para x = 0 vale f(x) ≤ g(x) mas nao vale
0 < x < 3. FALSA.
(D) Como vimos acima, f e positiva para x < −1 e g e negativa para x < −1. Conclui-se que se x < −1 entao o
produto das duas e negativo. VERDADEIRA.
(E) VERDADEIRA (exatamente o que constatamos acima sobre o sinal e as raızes de g(x)− f(x)).
Resposta: C.
Q15. Chamemos de A, B, C e D as quantidades pescadas por Ana, Beatriz, Carlos e Daniel, respectivamente.
Queremos descobrir C+D. O enunciado diz que A,B,C,D ≥ 1, que B < C,D < A, que C 6= D e que A+B+C+D =
11. Se B = 2 entao C + D ≥ 3 + 4 e A ≥ 5 (pois A e o maior e as quantidades nao se repetem), de forma que
A + B + C + D ≥ 14, contradizendo o total de 11 peixes. Entao B = 1, C + D ≥ 2 + 3 = 5 e A ≥ 4. Por outro
lado, isso implica A + B ≥ 5 e, portanto, C + D = 11 − (A + B) ≤ 11 − 5 = 6. Como 5 ≤ C + D ≤ 6 entao
C + D e igual a 5 ou a 6. Se for igual a 6, como C 6= D, entao um deles e 2 e o outro e 4, e A ≥ 5. Daı que
B + (C +D) +A ≥ 1 + 6 + 5 = 12, contradizendo o total estipulado. Portanto C +D = 5 (um deles vale 2 e o outro
vale 3, e A tem que valer 5).
Resposta: C.
Q16. Basta trabalhar com a semelhanca de triangulos usando a linha paralela a AE que passa por B. Sejam G e
H os pontos de cruzamento dessa linha com CD e EF . Entao BGD e semelhante a BHF . Portanto BGGD = BH
HF , ou
seja, x82−40 = x+27
100−40 . Resolvendo essa equacao, chega-se em x = 63.
Resposta: D.
Q17. Estranhos. Se nao entra o algarismo zero, todos os quatro algarismos devem ser dıgitos entre 1 e 9, sem
repeticao. Ha 9 possibilidades para o primeiro, apos o qual ficam 8 possibilidades, depois 7 e depois 6. Entao sao
9 · 8 · 7 · 6 = 3024 numeros estranhos de quatro algarismos. Belos. O primeiro algarismo nao pode ser zero, entao so
pode ser 2, 4, 6 ou 8. Os demais podem ser 0, 2, 4, 6, 8. Como pode haver repeticao, entao sao 4 · 5 · 5 · 5 = 500
numeros belos de quatro algarismos.
Pede-se o numero de numeros de quatro algarismos belos ou estranhos. Se somarmos 3024 com 500 (=3524)
teremos somado duas vezes aqueles que sao ao mesmo tempo belos e estranhos. Portanto temos que calcular quantos
sao e subtrair de 3524 a quantidade de numeros ao mesmo tempo belos e estranhos. Os que sao belos e estranhos
so usam os algarismos 2, 4, 6 e 8 em cada uma das posicoes (pois numeros estranhos nao tem zero como algarismo)
e ainda sem repeticoes. Entao sao 4 · 3 · 2 = 24 possibilidades. Portanto sao belos OU estranhos 3524 − 24 = 3500
numeros de quatro algarismos.
Resposta: D.
4
Q18. E preciso simplificar as expressoes para responder.
a =2
1−√
2+√
8 =2(1 +
√2)
1− 2+√
8 = −2− 2√
2 + 2√
2 = −2
b = (1 +√
3)2 = 1 + 2√
3 + 3 = 4 + 2√
3
c =(1 +
√2)3 − 7
4√
2=
1 + 3√
2 + 3 · 2 + 2√
2− 7
4√
2=
5
4
Entao: a e inteiro e tambem e racional; b e irracional; c e racional. A unica alternativa correta e C)“a e c sao ambos
racionais e b e irracional”.
Resposta: C.
Q19. Chame de R o ponto medio de BC e de S o ponto medio de AC. Como BNM e semelhante a BRA, e BM
e metade de BA, entao BN e metade de BR, isto e, vale x4 . Assim, NC = 3x
4 . Como CPN e semelhante a CSB,
entao CP = 34CS = 3x
8 . Por outro lado, AP = 12 implica CP = x− 12. Entao
CP =3x
8= x− 12 ,
de onde resulta x = 965 = 19, 2.
Resposta: E.
Q20. Como estamos trabalhando com proporcoes, podemos supor a quantidade de 100 gramas total, sendo 18g de
sal e 82g de agua. Para que os mesmos 18g de sal representem 30% do novo peso P apos a evaporacao, e preciso
que 18P = 0, 3, isto e, P = 60g. Portanto a quantidade de agua restante apos a evaporacao tem que ser 42g. Isto
significa uma perda de 40g de agua dentro das 82g originais, isto e, a fracao perdida e 4082 = 20
41 , que representa uma
porcentagem pouco menor do que 50%.
Resposta: D.
Q21.
(A) FALSA. Tome x = 1: 16 = 1 nao e maior do que 14 = 1.
(B) FALSA. x = 0 tambem satisfaz x2 = x.
(C) FALSA. Tome y = x.
(D) FALSA. Tome x = −1/2. Entao x2 = 1/4 e −x = 1/2, e nao vale x2 ≥ −x.
(E) VERDADEIRA. A equacao e equivalente a x(x − 1)2 = 0, o que implica x = 0 ou x = 1. Mas e logicamente
correto afirmar que x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Resposta: E.
A resposta a esta questao tem suscitado duvidas, devido ao mau entendimento das regras da logica. Existe consenso
de que as quatro primeiras alternativas sao falsas, mas e contestado se a quinta alternativa e verdadeira. Analisemos
este assunto.
5
A afirmacao da resposta (E) e: “se x(x2 − 2x+ 1) = 0 entao x = 0 ou x = 1 ou x = 2”. Isto e realmente verdade,
ja que existem apenas dois numeros que satisfazem x(x2 − 2x + 1) = 0, a saber 0 e 1, e qualquer dos dois tambem
satisfaz a conclusao “x = 0 ou x = 1 ou x = 2”.
O erro por tras da maioria dos questionamentos esta em confundir (E) com a sua recıproca, que seria afirmar que
todo numero que satisfaz “x = 0 ou x = 1 ou x = 2” tambem satisfaz x(x2 − 2x + 1) = 0. Isso e falso, realmente,
mas nao esta afirmado em lugar algum.
Q22. Para que a soma seja par, ou (a) os 3 numeros sao pares ou (b) um deles e par e os outros dois sao ımpares.
Ha 10 numeros pares e 10 numeros ımpares entre os inteiros de 1 a 20. Os casos (a) seriam, portanto, 10 · 9 · 8 = 720,
se importasse a ordem, mas como a ordem nao importa dividimos por 3! = 6, o que da 120. Os casos (b): temos
10 escolhas para o numero par; depois 10 · 9 escolhas para os dois numeros ımpares, mas devemos dividir por 2
porque a ordem nao importa, perfazendo 45; entao sao 10 · 45 = 450 possibilidades. Somando os dois casos, sao
120 + 450 = 570.
Resposta: C.
Q23. Podemos escrever a = (27)1000 = 1281000, b = (53)1000 = 1251000 e c = (132)1000 = 1691000. Como 125 < 128 <
169, entao b < a < c.
Resposta: A
Q24. Como |1−x2| ≥ 0 para qualquer x real, entao f(x) ≤ 0 para qualquer x real. Apenas o grafico em (B) respeita
isso.
(E de fato esta correto: 1−x2 se anula em −1 e +1. Entre −1 e +1 e positiva, logo |1−x2| = 1−x2 nessa regiao, e
f(x) = −(1−x2) = x2−1. Quando |x| > 1 aı 1−x2 < 0 e |1−x2| = −(1−x2). Portanto f(x) = −(−(1−x2)) = 1−x2
nessa regiao. Resumindo, f(x) = x2 − 1 para |x| ≤ 1 e f(x) = 1− x2 para |x| > 1.)
Resposta: B.
Q25. Se e multiplo de 5 entao termina ou com o algarismo zero ou com o algarismo 5. Vamos conta-los separadamente.
Se termina com zero, significa que so ha os algarismos de 1 a 9 disponıveis para as tres primeiras posicoes. Isso da
9 · 8 · 7 = 504 possibilidades. Se termina com 5, entao a primeira posicao nao pode nem ser 5, nem ser zero, o que da
8 possibilidades. Escolhido esse algarismo, a segunda posicao tem a disposicao os algarismos de 0 a 9, exceto o 5 e
aquele escolhido na primeira, ou seja, tem 8 possibilidades. Para a terceira posicao, restam 7 possibilidades. Entao
sao 8 · 8 · 7 = 448 possibilidades. Somando as duas, sao 448 + 504 = 952 possibilidades.
Resposta: D.
6
Q26. O enunciado diz que f(d) = c · qd2 . Entao
f(2d) = cq
(2d)2=
1
4· c · q
d2=
1
4f(d) .
Resposta: A.
Q27. Na figura ha 4 petalas sombreadas, todas identicas. Podemos dividi-las em “semipetalas”, tracando em cada
petala um segmento de reta entre os dois vertices da petala. Sao, portanto, 8 semipetalas. Observe que (1, 1) e
vertice da petala do primeiro quadrante. Portanto a area da semipetala superior do primeiro quadrante e um quarto
da area do cırculo unitario (isto e, π4 ) menos a area do triangulo-retangulo de catetos unitarios (isto e, 1/2). Ou seja,
cada semipetala tem area π4 −
12 . Como sao 8, a area total sombreada e 2π − 4.
Resposta: C.
Q28. Seja n o numero de pessoas que pagaram a conta. Como havia n + 2 pessoas, o rateio inicial era de 120n+2 .
Saindo as duas pessoas, o rateio passou a ser de 120n . Como o rateio aumentou em 5 reais, isso leva a equacao
120
n+ 2+ 5 =
120
n.
Multiplicando-se os dois lados por n(n+ 2), resulta a equacao de segundo grau
5n2 + 10n− 240 = 0 .
A solucao positiva dessa equacao e n = 6.
Resposta: B.
Q29. Como OA′
OA e a razao de semelhanca entre os hexagonos, a razao entre as areas sera o quadrado dessa razao,
isto e, (OA′)2
(OA)2 .
Notemos que OA e o tamanho da apotema do hexagono externo, o que pode ser visto ao girar-se o hexagono
interno ate que A coincida com o ponto medio de A′F ′. Nessa nova posicao, OAA′ e triangulo-retangulo, OA′ e sua
hipotenusa e AA′ = 12A′F ′ = 1
2OA′. Entao (OA)2 = (OA′)2 − 1
4 (OA′)2 = 34 (OA′)2. Portanto a razao procurada e
igual a 43 .
Resposta: B.
Q30. A primeira rodada completa de distribuicao de balas totaliza N1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 balas. Em cada rodada,
cada um recebe 4 balas a mais do que na rodada anterior. Cada rodada inteira tera, portanto, 16 balas a mais que
a anterior. Portanto o numero Nj de balas distribuıdas na rodada j e dado por
Nj = 10 + 16(j − 1) .
O total Tj de balas distribuıdas ate o final da j-esima rodada e a soma N1 + N2 + . . . + Nj , que e a soma de uma
progressao aritmetica, e vale
j · N1 +Nj2
= 8j2 + 2j .
7
Se k e o maior numero de rodadas completas dentro do limite de 300 balas entao k e o maior dentre os valores de j
que satisfazem 8j2 + 2j ≤ 300, ou ainda
4j2 + j − 150 ≤ 0 .
Ou seja, k e o maior inteiro localizado entre as raızes do polinomio quadratico 4x2+x−150. Esse polinomio tem uma
raiz negativa e outra positiva, inteira e igual a 6. Entao a 6a rodada e a ultima completa e, de fato, apos terminada,
terao sido distribuıdas exatamente 300 balas, pois
8 · 62 + 2 · 6 = 300 .
Agora sabemos que Daniela recebeu balas em 6 rodadas, segundo a progressao aritmetica: 3, 7, 11, 15, 19, 23. No
total, recebeu a soma dos valores dessa progressao, ou seja,
6 · 3 + 23
2= 78 .
Resposta: C.
Q31. A primeira equacao e equivalente a y(x2 − y) = 0 e suas solucoes sao os pontos (x, y) que satisfazem y = 0
ou y = x2, isto e, sao os pontos da uniao da abscissa com o grafico de x2. A segunda equacao e equivalente a
(x2 − y)(x + 1) = 0 e suas solucoes sao os pontos do conjunto que e a uniao do grafico de x2 com a reta vertical
definida por x = −1. Logo, as solucoes do sistema sao os pontos na intersecao desses dois conjuntos, que e a uniao
do ponto (−1, 0) com o grafico de x2.
Isto mostra que existem infinitas solucoes para o sistema: (I) e VERDADEIRA. Tambem mostra que ha solucoes
fora da abscissa: (II) e FALSA. E nao ha nenhuma solucao com segunda coordenada negativa, em particular (III) e
VERDADEIRA.
Resposta: E.
Q32. O perımetro do cırculo da base do cone e o mesmo perımetro do arco de cırculo na borda do papel que liga A
a B. Esse perımetro e igual a 13 do perımetro total do cırculo de raio 12, ou seja, 1
3 · 2π · 12 = 8π.
Seja r o raio do cırculo da base do cone. Como 2πr = 8π entao r = 4. Se h e a altura do cone, entao, examinando-se
a intersecao do plano vertical que passa pelo vertice do cone, deduz-se, pelo Teorema de Pitagoras, que h2 +r2 = 122.
Portanto
h =√
144− 42 =√
128 ' 11, 3 .
Obs. Como 112 = 121 entao√
128 > 11, deixando apenas as respostas (D) e (E) como possıveis. Para decidir
entre elas, pode-se escrever
(11, 3)2 = (11 + 0, 3)2 = 121 + 2 · 11 · 0, 3 + 0, 32
(11, 7)2 = (11 + 0, 7)2 = 121 + 2 · 11 · 0, 7 + 0, 72
Os termos 0, 32 e 0, 72 nao superam 0, 5. O acrescimo mais importante em 121 e o termo do meio: 22 · 0, 3 = 6, 6 e
22 · 0, 7 = 15, 4, respectivamente. Daı fica claro que 11, 3 e a melhor aproximacao.
Resposta: D.
8
Q33. Seja F a fracao da gleba menor que um trabalhador pode cortar em um dia. Se sao N trabalhadores, entao
eles, no primeiro dia, cortaram NF e, no segundo dia, um deles ainda cortou F , totalizando (N +1)F . Como a gleba
maior e o dobro da menor, isso deu 3 vezes o tamanho da gleba menor, portanto (N + 1)F = 3.
Por outro lado, a gleba maior foi toda cortada em um dia. Na primeira metade do dia foram N trabalhadores,
que contribuıram com 12 ·N ·F , e na segunda metade do dia foram N
2 trabalhadores, que contribuıram com 12 ·
N2 ·F .
Entao 12 ·
3N2 · F = 2 (pois o corte da gleba maior foi equivalente a 2 vezes a gleba menor).
Essa segunda equacao implica que NF = 83 . Colocando esse valor de NF na primeira, resulta F = 1
3 . Logo N = 8.
Resposta: C.
Q34. Os algarismos ımpares sao cinco: 1, 3, 5, 7, 9. O total de numeros que podem ser escritos com 5 algarismos
ımpares distintos e, portanto, 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Para cada algarismo possıvel, ha 24 deles que terminam com esse
algarismo. Entao a soma das unidades desses numeros e igual a
24 · (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 24 · 25 = 600 .
Pela mesma razao, a soma das dezenas tem o mesmo valor, mas sendo dezenas elas somam 600 · 10 = 6000. As
centenas somam 60000, os milhares somam 600000 e as dezenas de milhares somam 6000000. A soma total da
6666600.
Resposta: A.
Q35. Como 7x+ 7y e certamente multiplo de 7, podemos subtraı-lo de 10x+ y e teremos que 3x− 6y e certamente
multiplo de 7. Dividindo esse numero por 3, teremos x− 2y e esse numero continua sendo multiplo de 7. Entao (A)
esta correta.
Podemos ver que as demais nem sempre sao verdadeiras apresentando contraexemplos. Por exemplo, para (B)
basta encontrar x e y tais que 10x+ y seja multiplo de 7 mas 2x+ y nao seja. Ora, tomando (x, y) = (1, 4) ficamos
com 10x+ y = 14 e 2x+ y = 6. Esse mesmo contraexemplo tambem serve para (C), (D) e (E).
Resposta: A.
9
Questoes dissertativas
Q1.
Seja x o comprimento dos lados do retangulo perpendiculares ao muro e y o comprimento do lado do retangulo
paralelo ao muro. A metragem utilizada de cerca e, portanto, de 2x+ y, e isso deve ser igual a 40 m.
Primeira solucao. Daı segue que y = 40 − 2x. Como a area do retangulo e dada por xy, o fazendeiro quer
maximizar xy = x(40−2x), que e um polinomio quadratico com coeficiente do termo de grau 2 negativo e com raızes
em x = 0 e x = 20. Seu valor maximo ocorre no ponto medio entre as raızes, isto e, em x = 10. Disso decorre que
y = 40− 2 · 10 = 20.
Comentario 1. Tambem e verdade que 2x + y = 40, de onde segue que x = 20 − y2 . Entao a area do retangulo e
igual a (20 − y2 )y, que tambem e uma funcao quadratica com coeficiente do termo de grau 2 negativo e com raızes
em y = 0 e y = 40. Logo seu maximo ocorre em y = 20, e daı sai automaticamente x = 10.
Comentario 2. Observe que a area do retangulo e igual a 200 m2.
Segunda solucao. Observamos que 2x+y = 40 e tambem uma maneira de escrever que a media aritmetica simples
entre 4x e 2y e igual a 40:
2x+ y =4x+ 2y
2= 40 .
A media aritmetica de dois numeros positivos e sempre maior do que ou igual a sua media geometrica, logo
40 =1
2(4x+ 2y) ≥
√(4x) · (2y) =
√8 · √xy ,
isto e,
8xy ≤ 402 .
Isso mostra que a area xy e limitada por 402/8 = 200 m2. Mas a igualdade entre a media aritmetica e a media
geometrica e alcancada se, e somente se, os dois termos sao iguais. Ou seja xy atinge o valor maximo de 200 m2
se, e somente, se 4x = 2y, isto e, y = 2x. A solucao e encontrada apos resolver-se o sistema constituıdo pelas duas
equacoes y = 2x e 2x+ y = 40, que tem unica solucao (x, y) = (10, 20).
Q2.
(a) Seja M o ponto medio do segmento PA e N o ponto medio do segmento AQ. Como PA e uma corda da
circunferencia a esquerda, de centro C1, entao C1M e perpendicular a PA. Da mesma forma, C2N e perpendicular
a AQ. Alem disso, sendo C1C2 paralelo a reta r, segue que C1C2 e perpendicular aos segmentos C1M e C2N . Entao
C1C2NM e um retangulo. Disso decorre que NM = C1C2.
Entao PQ = PM +MA+AN +NQ. Como PM = MA e AN = NQ, segue que PQ = 2(MA+AN) = 2MN =
2C1C2, como se queria demonstrar.
(b) Sejam M e N como no item (a). Seja `M a reta contendo C1M e `N a reta contendo C2N . As duas retas sao
perpendiculares a PQ e paralelas entre si. A distancia mınima entre dois pontos que estejam cada um em uma dessas
10
retas ocorre quando o segmento por esses pontos e perpendicular a ambas as retas, como e o caso de MN . Em outras
palavras, quando o segmento pelos dois pontos e paralelo a r. Entao, como C1C2 nao e paralelo a r, por hipotese,
C1C2 > MN .
Daı segue, como no item anterior, que PQ = 2(MA+AN) = 2MN > 2C1C2, como se queria demonstrar.
Q3.
Seja n o numero de pedras 1× 1 e m o numero de pedras 2× 1. Em primeiro lugar, o engenheiro pode usar algum
e apenas algum dos seguintes valores para (n,m): (10, 0), (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4) e (0, 5).
Em cada um dos casos (10, 0) e (0, 5) so ha 1 maneira de revestir a passarela, ja que todas as pedras sao iguais.
No caso (8, 1) ha 9 possibilidades de se colocar a unica pedra de 2 m junto com as 8 pedras de 1 m. Note que
nenhuma dessas disposicoes e equivalente entre si, pois as duas pontas da passarela sao distinguıveis entre si. A
mesma observacao vale para a analise dos casos restantes.
De fato, os casos restantes e os anteriores podem ser analisados sempre da mesma forma. De um total de n + m
pedras, basta escolher asm posicoes dasm pedras de 2 m. Para isso, ha(n+mm
)= (n+m)!
n!m! escolhas. Para (n,m) = (6, 2)
isso da 8!2!6! = 28, para (n,m) = (4, 3) da 7!
3!4! = 35 e para (n,m) = (2, 4) da 6!2!4! = 15.
O total e, portanto, igual a 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89.
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