prática de ensino em matemática i aula 11

Prática de Ensino em Matemática I

Aula 11

Curso de Licenciatura em Matemática

Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira

fabricio@fafica.br

Divisível, Múltiplo e Divisor (I)

Quando um número é divisível por outro?

Quando a divisão do primeiro pelo segundo for exata.

27 3

0 9

43 5

3 8Podemos dizer que 27 é

divisível por 3,

porque a divisão de 27 por

3 é exata.

Podemos dizer que 43 não é

divisível por 5,

porque a divisão de 43 por 5

não é exata.

Podemos dizer que 3 é

divisor de 27.

Podemos dizer que 5 não é

divisor de 43.

Pelo mesmo motivo também podemos

dizer que:

Divisível, Múltiplo e Divisor (II)

Quando um número é múltiplo de outro?

Quando há um número natural que multiplicado

pelo primeiro resulta no segundo.

Podemos dizer que 27 é

múltiplo de 3,

pois 3 x 9 é exatamente 27.

Podemos dizer que 43 não é

múltiplo de 5,

pois não existe nenhum

número natural que

multiplicado por 5 resulta em

43.

27 3

0 9

43 5

3 8

Observações: O 1 é considerado divisor universal pois todo número é divisível por 1; O 0 é considerado múltiplo universal pois todo número multiplicado por 0

resulta em 0; Nenhum número é divisível por zero, pelo motivo citado anteriormente; O zero é divisível por qualquer número (exceto si mesmo); Todo número (exceto zero) é divisível por si mesmo.

Números Pares e Números ÍmparesO que é um número

par?É todo número natural divisível por dois.

2 4 6 8

O que é um número ímpar?

É todo número natural não divisível por dois.

1 3 5

7 9

0

Identificando números pares e ímpares

Como reconhecer um número par?

É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.

14

17

Como reconhecer um número ímpar?

É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.

O número 1.735.916 é par pois termina em 6.

O número 2.864.203 é ímpar pois termina em 3.

Critérios de divisibilidade (I)Quando um número é divisível

por 2?Um número é divisível por 2 quando for

par.

O número 1.735.916 é divisível por 2

pois é par.

O número 2.864.203 não é divisível

por 2 pois é ímpar.Quando um número é divisível

por 3?Verifique se o número 495 é

divisível por 3.

495 3

0 165

4+9+5=18

Verifique se o número 361 é

divisível por 3.361 3

1 120

3+6+1=10

e 18 é divisível por 3 e 10 não é divisível por 3

Um número é divisível por 3 quando asoma de seus algarismos for divisível

por 3.

Critérios de divisibilidade (II)Quando um número é divisível

por 5?Um número é divisível por 5 quando

terminar em 0 ou 5.O número 3.971.860 é divisível por

5

pois termina em 0.

O número 5.405.268 não é divisível

por 5

pois termina não termina nem em

0 nem em 5.Quando um número é divisível

por 6?

Um número é divisível por 6 quando for divisível

por 2 e 3 simultaneamente.Verifique se o número 930 é

divisível por 6.930 {é divis í vel   por  2é divis í vel   por  3

⇒ é divis í vel   por  6

930 6

0 155

Verifique se o número 640 é

divisível por 6.6 40 {é divis í vel   por  2n ão   é divis í vel   por  3

⇒ nã o  é divis í vel   por  6

640 6

4 106

Critérios de divisibilidade (III)

Quando um número é divisível por 4?

Um número é divisível por 4 quandoseus dois últimos algarismos forem

divisíveis por 4.

80 4

0 20

Verifique se o número 680 é

divisível por 4.42 4

2 10

Verifique se o número 842 é

divisível por 4.

Quando um número é divisível por 8?

Um número é divisível por 8 quandoseus três últimos algarismos forem

divisíveis por 8.

728 8

0 91

Verifique se o número 1728 é

divisível por 8.436 8

4 54

Verifique se o número 8436 é

divisível por 8.

Critérios de divisibilidade (IV)

Quando um número é divisível por 9?

Verifique se o número 540 é

divisível por 9.

540 9

0 60

5+4+0=9

Verifique se o número 960 é

divisível por 3.960 9

6 106

9+6+0=15

e 9 é divisível por 9 e 15 não é divisível por 9

Um número é divisível por 9 quando asoma de seus algarismos for divisível

por 9.

Quando um número é divisível por 10?

Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.

O número 3.951.540 é divisível

por 10

pois terminou em 0.

O número 5.480.025 não é divisível

por 10

pois não terminou em 0.

RevisãoQuando um número é divisível

por 2?Um número é divisível por 2 quando for

par.

Quando um número é divisível por 3?

Um número é divisível por 3 quando asoma de seus algarismos for divisível

por 3.Quando um número é divisível

por 4?

Um número é divisível por 4 quandoseus dois últimos algarismos forem

divisíveis por 4.Quando um número é divisível

por 5?Um número é divisível por 5 quando

terminar em 0 ou 5.Quando um número é divisível

por 6?

Um número é divisível por 6 quando for divisível

por 2 e 3 simultaneamente.Quando um número é divisível

por 8?

Um número é divisível por 8 quandoseus três últimos algarismos forem

divisíveis por 8.Quando um número é divisível

por 9?

Um número é divisível por 9 quando asoma de seus algarismos for divisível

por 9.Quando um número é divisível

por 10?Um número é divisível por 10 quando

terminar em zero.

Número Primo

O que é um número primo?É todo número natural que é divisível

APENAS por 1 e si mesmo.

𝐷 (11)=¿{1,11 } 𝐷 (6 )=¿{1,2,3,6 } 𝐷 (7 )=¿{1,7 } 𝐷 (8 )=¿{1,2,4,8 }Percebemos que alguns números possuem vários divisores, enquanto outros

possuem apenas dois divisores.

Observações:

A palavra primo deriva de primeiro, pois utilizando os números primos

podemos obter todos os demais números naturais;

Os números que não são primos recebem o nome de compostos,

precisamente pelo fato de poderem ser obtidos através da multiplicação de

números primos.

Crivo de EratóstenesÉ um procedimento desenvolvido por Eratóstenes de Cirene (século III a.C.) que permite

descobrir números primos.

Eratóstenes de

Cirene

( 276 a.C.; 194

a.C.)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1. Escreve-se a sequência de números desejada a partir de 2;

2. Circula-se o primeiro número (o dois) e criva-se (risca) seus múltiplos;

3. Circula-se o novo primeiro número da sequência (três) e criva-se seus múltiplos;

4. Repete-se o procedimento até acabarem os números;

5. Os números circulados são os primos e os crivados os compostos.

Um pouco mais sobre números primos

𝑃= {2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37 ,… }

Observações:

Os números primos são infinitos (prova foi feita por Euclides de

Alexandria);

O único número primo e par é o dois (por quê?);

Nem todos os números ímpares são primos (dê contraexemplos).

Como saber se determinado

número é primo ou composto?

Reconhecendo um número primo (I)Exemplo 1) Verifique se o

número 101 é primo.101 2

1 50

𝑃= {2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37 ,… }

101 3

2 33

101 5

1 20

101 7

3 14

101 9

2 11

101 11

2 9

Logo 101 é

primo.Exemplo 2) Verifique se o

número 121 é primo.121 2

1 60

121 3

1 40

121 5

1 24

121 7

2 17

121 9

4 13

121 11

0 11

Logo 121 é

composto.

Reconhecendo um número primo (II)Como saber se determinado número é primo ou composto?

Divida o número desejado pela sequência dos números primos até que uma

das duas opções ocorra:

a divisão der não exata; continue dividindo até que o resultado dê igual ou

menor que o divisor. Neste caso o número é primo;

a divisão der exata. Neste caso o número é composto.

Qual a importância dos números

primos?A dificuldade de verificar se um número é primo é chave de todo sistema de

criptografia computacional.

Em outras palavras o fato de ser difícil verificar se grandes números são primos

acaba

protegendo transações bancárias, senhas de internet, compras on-line,

etc.