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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA E AUTÔMATO DE DOMANY-

KINZEL Alex Kunze Susemihl

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Tuesday, June 16, 2009

O QUE É PERCOLAÇÃO?

• Suponha que mergulhemos uma pedra porosa (aleatória) num balde de água. Qual seria a probabilidade de molharmos o centro da pedra? (Broadbent & Hammersley, 1957)

• O evento de molharmos o centro da pedra é chamado de percolação.

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ASPECTOS INTERESSANTES

• O fenômeno de percolação se oferece como um modelo simples, quase mínimo, no qual já podemos observar fenômenos críticos bastante gerais.

• Uma vasta gama de situações podem ser descritas por modelos de percolação, como perfuração de poços de petróleo, propagação de fogos em florestas, condutividade elétrica em meios desordenados entre outros.

• Pode ser demonstrado que há uma conexão forte entre modelos de percolação e sistemas de spin do tipo Ising.

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PERCOLAÇÃO

Configurações para a percolação de sítio numa rede quadrada para p=0.166, p=0.4 e p=0.6.

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EXPOENTES CRÍTICOS• Os expoentes críticos mais estudados em modelos de

percolação são os expoentes associados à divergência do tamanho de clusters na vizinhança da probabilidade crítica e ao comportamento da probabilidade de percolação na mesma vizinhança.

ns ! s!!e!cs!(p) ! |p" pc|!

c ! |p" pc| 1!

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FRONTEIRAS DE PERCOLAÇÃO

• Outra área de grande interesse é a determinação precisa da probabilidade crítica de percolação em diversas redes e tipos de percolação.

• Para o problema de percolação de ligações na rede quadrada, pode-se usar argumentos de auto-dualidade e provar que

pc =12.

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• O problema de percolação direcionada é o equivalente ao

problema de percolação convencional acrescido de um campo gravitacional, isto é, o fluído só pode fluir em uma direção.

• Esta assimetria gera uma série de propriedades que diferem da percolação tradicional.

• A classe de universalidade é a principal classe de universalidade estudada em modelos irreversíveis e inclui o processo de contato, o modelo ZGB para a oxidação do monóxido de carbono, o modelo de propagação de fogos em florestas, entre outros.

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA

• Pode-se falar de percolação direcionada de sítios ou de ligações (bond- e site-percolation). Ou ainda podemos falar de percolação direcionada mista.

• A anisotropia da percolação direcionada gera um expoente crítico adicional, pois as direções horizontal e vertical não são mais equivalentes. Temos então dois comprimentos críticos:

!! ! |p" pc|!!!! ! |p" pc|!!

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AUTÔMATOS CELULARES

• Autômatos celulares (CA) são uma classe de modelos desenvolvidos desde os anos 40 e têm tido uma grande importância no estudo de sistemas complexos.

• Os autômatos se dividem em deterministicos e probabilisticos.

• Autômatos foram usados para simular desde deposição de cristais até o sistema imunológico humano.

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AUTÔMATOS CELULARES - HISTÓRIA

• A primeira utilização de autômatos celulares foi devida à John von Neumann na década de 1940 seguindo uma sugestão de Stanislaw Ulam, no propósito de desenvolver modelos auto-replicantes.

Imagem do “construtor universal” de von

Neumann

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CONWAY’S GAME OF LIFE

• Um dos mais famosos exemplos de autômatos celulares, este tipo de autômato bidimensional cria padrões complexos a partir de regras muito simples:

• Células com um ou zero vizinhos morrem de “solidão”.

• Células com dois ou três vizinhos vivos permanecem vivas.

• Células com quatro ou mais vizinhos vivos morrem de “superpopulação”.

• Células mortas com três vizinhos vivos “nascem”.

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AUTÔMATOS CELULARES ELEMENTARES (WOLFRAM)

• Em meados dos anos 1980 Stephen Wolfram publicou uma série de artigos sobre as propriedades de autômatos celulares “elementares”, isto é: unidimensionais, determinísticos e cujo comportamento depende apenas da vizinhança imediata.

• Estes autômatos se mostraram capazes de produzir comportamentos extremamente complexos.

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AUTÔMATOS CELULARES ELEMENTARES (WOLFRAM)

Regra 110

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AUTÔMATOS CELULARES ELEMENTARES (WOLFRAM)

Regra 30

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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS

• Autômatos celulares probabilísticos são simplesmente autômatos celulares com regras de transição probabilísticas.

• Processos Markovianos a tempo discreto, descrito por variáveis estocásticas discretas que residem em sítios de um reticulado (em D dimensões).

• A dinâmica de atualização das variáveis estocásticas é totalmente síncrona, em contraste com a dinâmica de Glauber em que as variáveis são atualizados individualmente.

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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS

• Podemos descrever o estado de um autômato celular por um vetor de variáveis estocásticas

! = (!1, !2, . . . , !N )

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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS

• A evolução das probabilidades pode ser descrita pela equação dos autômatos celulares, que remete à equação mestra:

Pl+1(!) =!

!!

W (!|!!)Pl(!!)

Em que é a probabilidade condicional de o autômato passar ao estado eta no instante seguinte dado que o

mesmo está no estado eta linha no instante atual.

W (!|!!)

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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS

• Como a dinâmica é síncrona, temos que a probabilidade de cada sítio é independente, podemos escrever então:

W (!|!!) =N!

i=1

wi(!i|!!)

wi(!i|!!)é a probabilidade condicional de que o sítio i esteja no

estado eta i dado que o estado do autômato no instante anterior é eta linha

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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS

• Autômatos celulares são extremamente práticos para simulações computacionais, podendo-se partir de um estado inicial aleatório e produzir configurações do autômato a partir da geração de números aleatórios.

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AUTÔMATO DE DOMANY-KINZEL

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AUTÔMATO DE DOMANY-KINZEL

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p2 p1 p1 0

1! p2 1! p1 1! p1 1

1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

1

0

Probabilidades de Transição

!i!1(t), !i+1(t)

!i(t + 1)

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DECOMPOSIÇÃO EM SUBREDES

• A dinâmica do autômato claramente decompõe o sistema em duas subredes. Desta forma podemos tratar somente uma delas, renomeando os sítios de forma adequada.

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CORRESPONDÊNCIA ENTRE AUTÔMATOS E MODELOS DE ISING

• Pode-se mostrar que a probabilidade de uma realização de um autômato celular estocástico pode ser escrita como o peso de Boltzmann de um modelo de Ising apropriado.

• Chamando de V uma realização das variáveis do autômato celular probabilístico dado pelas probabilidades x, y e z, e com estado inicial

• temos:

P (V ) = P (V1|V0)P (V2|V1) . . . P (Vt+1|Vt)

V0

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CORRESPONDÊNCIA ENTRE AUTÔMATOS E MODELOS DE ISING

• A expressão para a probabilidade é análoga à expressão do peso do modelo de Ising no uso de técnicas de matriz de transferência, com a mudança de que o índice temporal passa a ser interpretado como um índice espacial. Temos:

!H = B!

k

vk + J

(!)!

<kl>

vkvl + DV!

<kl>

vkvl + E"!

<klm>

vkvlvm

P (Vt+1|Vt) = exp(!!H[Vt+1|Vt])

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CORRESPONDÊNCIA ENTRE AUTÔMATOS E MODELOS DE ISING

• Para encontrar os coeficientes notamos que a probabilidade de transição do autômato nos dá oito equações, quatro das quais independentes, com as quais podemos determinar os quatro coeficientes:

eB =x(1! y)2

(1! x)3eJ =

(1! x)(1! z)(1! y)2

eD =y(1! x)x(1! y)

eE =zx(1! y)2

y2(1! x)(1! z)

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EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PROBABILIDADE

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Pl+1(!i) =!

!!i

!

!!i+1

w(!i|!!i, !

!i+1)Pl(!!

i, !!i+1)

Pl+1(1) = p2Pl(11) + 2p1Pl(10)

Pl+1(0) = 1! Pl+1(1)

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EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PROBABILIDADE

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Pl+1(!i, !i+1) =!

!!i

!

!!i+1

!

!!i+2

w(!i|!!i!

!i+1)w(!i+1|!!

i+1!!i+2)Pl(!!

i!!i+1!

!i+2)

Pl+1(11) = p21Pl(010) + 2p1p2Pl(110) + p2

1Pl(101) + p22Pl(111)

Pl+1(10) + Pl+1(11) = Pl+1(1)

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EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PROBABILIDADE

• Probabilidade de pares depende da probabilidade de três sítios, a probabilidade de três sítios depende da de quatro sítios...

• Campo Médio

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SOLUÇÃO DE CAMPO MÉDIO

• Aproximamos alguma das probabilidades de N sítios por probabilidades de N-1 sítios.

• Por exemplo:

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P (!1, !2, !3) =P (!1, !2)P (!2, !3)

P (!2)

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SOLUÇÃO DE CAMPO MÉDIO

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xl+1 = p2zl + 2p1(xl ! zl)

zl+1 = p21(xl ! zl)2

xl+ 2p1p2

(xl ! zl)zl

xl+ p2

2z2l

xl+ p2

1(xl ! zl)2

1! xl

xl = Pl(1), zl = Pl(11)

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NO EQUILÍBRIO

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z = p21(x! z)2

x+ 2p1p2

(x! z)zl

x+ p2

2z2

xl+ p2

1(x! z)2

1! x

x = p2z + 2p1(x! z)

x =(3p1 ! 2)p1 + (p1 ! 1)2p2

(2p1 ! 1)(2p1 ! p2)z =

1! 2p1

p2 ! 2p1x

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DIAGRAMA DE FASES

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0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0 0.0

0.5

1.0

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• Modelamos a probabilidade de um sítio i na camada l estar

conectado a um sítio da camada 0. Temos duas possibilidades, ambos os sítios vizinhos na camada l-1 estão ativos ou apenas um está ativo, uma vez que se ambos estiverem inativos a nossa probabilidade é 0. Temos então

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Pl+1(!i) =!

!!i

!

!!i+1

w(!i|!!i!

!i+1)Pl(!!

i, !!i+1)

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA

• Uma ligação tem probabilidade q de estar conectada e um sítio tem probabilidade p de estar ativo, portanto temos:

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w(1|10) = pq = p1

w(1|11) = 2pq(1! q) + pq2 = p2

No entanto, o mapeamento não é biunívoco!

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PERCOLAÇÃO DE SÍTIOS• Para termos percolação de sítios temos de ter q=1, ou seja

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0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p2 = p1

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PERCOLAÇÃO DE LIGAÇÕES

• Percolação de ligações corresponde à situação p=1, ou seja

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p2 = p1(2! p1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• Para um caso específico do autômato, p2 = 1, temos um modelo que

pode ser analisado de forma exata.

• Partindo de um só sítio “molhado” teremos um passeio aleatório:

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA

• A cada passo de tempo o domínio molhada pode:

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d! d + 1 P (d! d + 1) = y2

d! d P (d! d) = 2y(1" y)

d! d" 1 P (d! d" 1) = (1" y)2

Aumentar

Manter o tamanho

Diminuir

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• A probabilidade de sobrevivência de um estado inicial

localizado é equivalente à probabilidade de um jogador iniciando com um capital de 1 com as probabilidades dadas de ganhar ou perder capital não ir à falência. Calculamos a probabilidade de ele ir à falência após exatamente t passos:

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rt =t!1!

!=0

"t! 1

!

#p!0 r̃t!!

r̃k =1k

pk!12

+ pk+12!

!k

k+12

"

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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA

• Fazendo a integral por ponto de sela obtemos os expoentes críticos, que são exatos para a percolação compacta:

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!! 1

!! 2

!12

Expoente Valor para percolação compacta

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CONCLUSÕES

• Podemos usar conhecimento sobre autômatos para determinar propriedades de modelos de percolação.

• No formalismo do autômato podemos resolver um caso específico de forma exata.

• Ao invés de não saber duas coisas, agora não sabemos uma só!

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MUITO OBRIGADO!

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