paralelepípedo e pirâmide

Geometria Espacial (Paralelepípedo e Pirâmide)

Paralelepípedo: Definição, Tipos, Área daBase (AB), Área Lateral (AL), Área Total (AT) eVolume (V). Pirâmide: Definição, Elementos,Classificação, Planificação, Área da Base (AB),Área Lateral (AL), Área Total (AT) e Volume (V).

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Paralelepípedos – Definição

Paralelepípedo é um prisma composto por 6faces as quais são paralelogramos.

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Tipos de Paralelepípedos

Os paralelepípedos podem ser:

� Paralelepípedo Oblíquo:

�Paralelepípedo Reto:�Paralelepípedo Reto:

� Paralelepípedo Reto-retângulo:(ou Paralelepípedo Retângulo, ou Ortoedro ou BlocoRetangular)

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Tipos de Paralelepípedos

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:

(A) (B)

(C) (D)

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Tipos de Paralelepípedos

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:

(A) Oblíquo (B) Reto

(C) Reto (D) Oblíquo

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Área da Base (AB)

Como o paralelepípedo é composto por quadriláteros,então a área da base será a área do quadrilátero (quedepende do caso).

Retângulo Quadrado

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Retângulo Quadrado

A b h= ×2

A l=

Área Lateral (AL)

Para o exemplo a seguir a área lateral de umparalelepípedo é dada por:

AL = 2(ac + bc)

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Área Total (AT)

Para o exemplo a seguir a área total de umparalelepípedo é dada por:

AT = 2(ab + ac + bc)

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Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tantouma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida daaresta do cubo em centímetros?

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Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tantouma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida daaresta do cubo em centímetros?SOLUÇÃOSOLUÇÃOAT = 2(a2 + a2 + a2) = 24 dm2

2(3a2) = 246a2 = 24a2 = 4a = 2 dm x 10 � a = 20 cm

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Volume

Assim como os prismas o volume doPARALELEPÍPEDO é dado pelo produto da área dabase (AB) pela altura do paralelepípedo (h).

V = AB x h

No exemplo acima o volume é: V = abc

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Volume

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem aforma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metrosde altura?de altura?

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Volume

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem aforma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metrosde altura?de altura?SOLUÇÃOa = 1 m x 10 = 10 dm V = 10 x 20 x 15b = 2 m x 10 = 20 dm V = 3000 dm3

c = 1,5 m x 10 = 25 dm OUV = abc = ? V = 3000 L

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Pirâmide – Definição

Pirâmide é a reunião dos segmentos de reta comextremidades em V (no vértice) e a outra nos pontos dopolígono contido no plano.

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Elementos do Pirâmide (Parte I)

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Elementos do Pirâmide (Parte II)

� Altura: É a distância entre o vértice e a base.� Aresta da Base: Os segmentos que unem os vérticesdo polígono da base.� Aresta Lateral: Os segmentos que unem os vértices dopolígono da base ao vértice da pirâmide.polígono da base ao vértice da pirâmide.� Base: É a região poligonal na qual a pirâmide se apoia.� Face: É a região triangular delimitada pelas aresta dabase, aresta lateral e o vértice da pirâmide.� Vértice: É o ponto mais distante da base da pirâmide.

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Elementos do Pirâmide (Parte II)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04Identifique os elementos da pirâmide a seguir:

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Elementos do Pirâmide (Parte II)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04Identifique os elementos da pirâmide a seguir:

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Classificação da Pirâmide (Parte I)

A pirâmide pode ser classificada quanto:� Polígono da base:

� A projeção ortogonal do vértice:

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Classificação da Pirâmide (Parte II)

OBS.:Na Pirâmide Reta a projeção ortogonal (ou vertical) dovértice sobre o plano da base coincide com o centro dabase, enquanto na Pirâmide Oblíqua a projeçãoortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da baseortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da baseNÃO coincide com o centro da base.

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Classificação da Pirâmide (Parte II)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono dabase e quanto a projeção ortogonal do vértice.

(A) (C)(A) (C)

(B) (D)

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Classificação da Pirâmide (Parte II)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono dabase e quanto a projeção ortogonal do vértice.

(A) (C)(A) (C)Quadrangular Reta Pentagonal Oblíqua

(B) (D)Quadrangular Oblíqua Hexagonal Reta

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Planificações de Pirâmides

Até o presente momento mostramos as pirâmides,apenas, em perspectiva. Agora iremos apresentaralgumas representações planas de pirâmides.Abaixo temos as planificações de Pirâmides de base:

Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal

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Planificações de Pirâmides

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06Classifique as planificações das pirâmides abaixo quantoao seu polígono da base.

(A) (C)(A) (C)

(B) (D)

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Planificações de Pirâmides

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06Classifique as planificações das pirâmides abaixo quantoao seu polígono da base.

(A) Triangular (C) Quadrangular(A) Triangular (C) Quadrangular

(B) Hexagonal (D) Pentagonal

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Área da Base (AB)

Nesse caso a área da base da pirâmide é a área dopolígono que compõe sua base.Retângulo Quadrado Triângulo Hexágono

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A b h= ×2

A l=

2

b hA

×=

23 3

2

lA =

Área da Base (AB)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07Calcule a área da base de uma pirâmide de basequadrada cuja aresta da base mede 8 cm.

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Área da Base (AB)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07Calcule a área da base de uma pirâmide de basequadrada cuja aresta da base mede 8 cm.SOLUÇÃOl = 8 cml = 8 cmAB = l² = 8² = 64 cm²

l = 8 cm

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Área Lateral – AL (Parte I)

Para começo de história devemos saber encontrar aapótema da pirâmide regular. Para só entãoencontrarmos a área lateral.Antes vejamos um exemplo:

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Área Lateral – AL (Parte II)

Perceba que o apótema da pirâmide será a hipotenusado triângulo VMN e também será a altura do triânguloque compõe a face BCV.Note que na pirâmide regular as face são congruente.Portanto a área lateral (A ) da pirâmide é a soma dasPortanto a área lateral (AL) da pirâmide é a soma dasáreas da face da pirâmide que é dada por:

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14 4

2L LA A A la

∆= × ⇒ = ⋅

�perímetro

1 24

2 2L L

pA l a A a= × ⇒ = ×

LA p a= ×

Área Lateral – AL (Parte III)

Onde:AL : área lateral;A∆

: área de um face;l : lado do polígono da base;a : apótema da pirâmide;a : apótema da pirâmide;

2p : perímetro;p : semiperímetro.

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Área Lateral – AL (Parte IV)

Generalizando a área lateral para uma pirâmide regularde “n” lados temos:

AL = pa

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Área Lateral – AL (Parte IV)

Uma pirâmide regular de basequadrada tem área da base 36cm² e altura 4 cm. Qual a árealateral da pirâmide dada?

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08

4 cm

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Área Lateral – AL (Parte IV)

Uma pirâmide regular de basequadrada tem área da base 36cm² e altura 4 cm. Qual a árealateral da pirâmide dada?

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08

4 cm

SOLUÇÃO

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SOLUÇÃOEncontrando o lado do quadrado (l):A = l² = 36 cm² � l = 6 cmEncontrando o apótema (a)a² = h² + (l/2)² = 4² + 3² = 16 + 9a² = 25 � a = 5 cmEncontrando a área lateral (AL):AL = pa = 8x5 � AL = 40 cm²

h =

4 c

m

l/2 = 3 cm

Área Total (AT)

A área total de uma pirâmide regular é dada pela mesmaequação da área total do prisma, ou seja, a soma daárea da base (AB) com a área lateral (AL).Desse modo obtemos o seguinte:

AT = AB + AL

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Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09De posse das informações do exercício anterior. Calculea área total.

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Área Total (AT)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09De posse das informações do exercício anterior. Calculea área total.SOLUÇÃOA = 36 cm² A = A + AAB = 36 cm² AT = AB + AL

AL = 40 cm² AT = 36 + 40AT = ? AT = 76 cm²

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Volume (V)

O volume da pirâmide é um terço do volume do prismaque tem mesma base da pirâmide. Não é tão elementarver isso, mas esta observação ajuda consideravelmenteno cálculo do volume da pirâmide.

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1

3B

V A h= ×

Volume (V)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união deduas pirâmides regulares de bases quadradas conformea figura a seguir:

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Volume (V)

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união deduas pirâmides regulares de bases quadradas conformea figura a seguir:SOLUÇÃOSOLUÇÃOAB = l² = 4² = 16 cm²h = 6/2 = 3 cm

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1 2 16 32

3B

V A h V× ×

= × × ⇒ =3

332 cmV =