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Teoria da Flexão Oblíqua
Nota de aula 1 - Teoria daFlexão Oblíqua -
Resistência dos MateriaisII
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2010Flávia Bastos RESMAT II 1/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos RESMAT II 2/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Elementos da flexão reta
• Plano de solicitação - PS;• Eixo de solicitação ss ;• Vetor momento M ;• Linha neutra (nn);• nn⊥ss;• Flexão simétrica.
Flávia Bastos RESMAT II 3/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Elementos da flexão reta
Figure: Viga retangular em flexão reta - plano de solicitação vertical.
Flávia Bastos RESMAT II 4/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Elementos da flexão reta
Figure: Viga retangular em flexão reta - plano de solicitaçãohorizontal.
Flávia Bastos RESMAT II 5/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Elementos da flexão reta
Figure: Viga T em flexão reta - Plano de solicitação vertical
Flávia Bastos RESMAT II 6/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Elementos da flexão reta
Figure: Viga T em flexão reta - Plano de solicitação horizontal
Flávia Bastos RESMAT II 7/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Elementos da flexão reta
Figure: a) Viga U com ss - vertical; b) Viga U com ss - horizontal
Flávia Bastos RESMAT II 8/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Elementos da flexão reta
Figure: Viga cantoneira com abas iguais em flexão reta
Flávia Bastos RESMAT II 9/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
• Plano de solicitação inclinado;• ss passa por G;• nn não perpendicular a ss;• É necessário determinar nn;• Pode ocorrer mesmo em seções com dois eixos de
simetria;
Flávia Bastos RESMAT II 10/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
Figure: Viga retangular em flexão oblíqua - Plano de Solicitaçãoinclinado
Flávia Bastos RESMAT II 11/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
Figure: Viga T em flexão oblíqua
Flávia Bastos RESMAT II 12/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
N = 0 Q = 0 Mt = 0 (1)
M 6= 0→M = My +Mz (vetorialmente) com My 6= 0 e Mz 6= 0(2)
Flávia Bastos RESMAT II 13/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Deformações na flexão oblíqua
Figure: Deformações na flexão oblíqua similares à flexão reta
εx =δdx
dx=udϕ
dx=udϕ
ds=u
ρ(3)
σx = Eεx ⇒ σx =E
ρu⇒ E
ρ=σxu
(4)
Flávia Bastos RESMAT II 14/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíqua
Equilíbrio:
N =
∫Sdf =
∫SσxdS (5)
Mn =
∫Sudf =
∫SuσxdS (6)
Ms =
∫Svdf =
∫SvσxdS (7)
Flávia Bastos RESMAT II 15/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíqua
Figure: Situação no plano da seção
Flávia Bastos RESMAT II 16/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíqua
O esforço normal na seção, neste caso, nulo:
N =
∫Sdf =
∫SσxdS =
∫S
E
ρudS =
E
ρ
∫SudS = 0 (8)
∫SudS = MSn = uS = 0⇒ u = 0 (9)
MSn → Momento estático da área da seção com relação àlinha neutra;u→ distância do G à linha neutra;LN é baricêntrica!
Flávia Bastos RESMAT II 17/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíquaO momento Mn (em relação à linha neutra):
Mn =
∫Sudf =
∫SuσxdS =
∫SuE
ρudS =
E
ρ
∫Su2dS =
E
ρIn
(10)Mn
In=E
ρ(11)
E
ρ=σxu
(12)
Mn
In=σxu
(13)
σx =Mnu
In(14)
Flávia Bastos RESMAT II 18/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíqua
Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra
In =
∫Su2dS =
∫S
(zsenβ − ycosβ)2dS (15)
In =
∫S
(z2sen2β − 2zysenβcosβ + y2cos2β)dS (16)
In = Iysen2β + Izysen2β + Izcos
2β (17)
In = Iysen2β + Izcos
2β (18)
Flávia Bastos RESMAT II 19/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíqua
O momento Ms (em relação ao eixo de solicitação) é nulo:
Ms =
∫Svdf =
∫SvσxdS =
∫SvE
ρudS =
E
ρ
∫SvudS = 0 (19)
E
ρIns = 0 (20)
Ins = 0 (21)
Ins =∫S vudS → Produto de inércia com relação aos eixos nn
e ss.
Flávia Bastos RESMAT II 20/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação x Linha Neutra
Figure: Relação entre as coordenadas u, v e y, z
v = ycosα− zsenα (22)
u = zsenβ − ycosβ (23)
Flávia Bastos RESMAT II 21/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação x Linha Neutra
Ins =
∫SvudS =
∫S
(ycosα− zsenα)(zsenβ − ycosβ)dS (24)
Ins =
∫S
(zysenβcosα−z2senβsenα−y2cosβcosα+zycosβsenα)dS
(25)como Izy = 0, já que z e y são eixos principais de inércia:
Ins = −Izcosαcosβ − Iysenαsenβ (26)
já que Ins = 0:
senα
cosα
senβ
cosβ= −Iz
Iy∴ tgαtgβ = −Iz
Iy(27)
Flávia Bastos RESMAT II 22/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíqua
Tensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer
σx =Mnu
In→ a distribuição de tensões é plana (28)
σx = ay + bz → equação do campo de tensões (29)
Flávia Bastos RESMAT II 23/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíquaTensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer
Figure: Balanço entre ações internas e externas - direção z.
Flávia Bastos RESMAT II 24/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíquaTensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer
Mz =
∫SσxydS =
∫S
(ay+bz)ydS = a
∫Sy2dS+b
∫SyzdS (30)
My = −∫SσxzdS = −
∫S
(ay+ bz)zdS = −a∫SyzdS− b
∫Sz2dS
(31)
Mz = aIz + bIyz (32)My = −bIy − aIyz (33)
[Iz Iyz−Iyz −Iy
]{ab
}=
{Mz
My
}(34)
Flávia Bastos RESMAT II 25/26
Teoria da Flexão Oblíqua
Tensões Normais na flexão oblíquaTensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquersolução: {
ab
}=
1
I2yz − IzIy
[−Iy −IyzIyz Iz
]{Mz
My
}(35)
σx =(IyMz + IyzMy)y − (IyzMz + IzMy)z
IyIz − I2yz(36)
Com eixos principais de inércia (Iyz = 0):
σx =(IyMz)y − (IzMy)z
IyIz(37)
σx =Mz
Izy − My
Iyz (38)
Flávia Bastos RESMAT II 26/26
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