RESOLUÇÃO DA FLEXÃO COMPOSTA COM O USO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA SEÇÕES

RETANGULARES

Sendo uma seção retangular com armadura simétrica, em que y é um eixo de simetria e as

armaduras As e As’ são iguais e estão dispostas simetricamente em relação a este eixo.

Aplicando-se na seção os diversos valores possíveis das deformações específicas do concreto

(εc) e do aço (εs), pertencentes aos seis domínios de deformação, chega-se aos valores dos

esforços resistentes de cálculo Nd e Md. É possível construir gráficos de Nd x Md, ou então de υ

x μ (valores reduzidos adimensionais que serão definidos mais adiante), resultando em curvas

que têm formas similares às das apresentadas nos ábacos 1 a 6. Para uma determinada

quantidade de armadura, a cada par (εc, εs) corresponde um par de valores resistentes (Nd,

Md).

É importante destacar que, se a quantidade de armadura for alterada (para a mesma seção), a

curva Nd x Md também será modificada, porém terá forma semelhante à anterior (se a

quantidade de armadura for menor, a nova curva estará contida na anterior e, se for maior,

conterá a inicial), conforme também se indica nos ábacos citados. Deve-se apenas ter o

cuidado de usar as variáveis em termos adimendionais, como é usual na análise de solicitações

normais em seções de concreto armado, empregando-se os esforços reduzidos υ, μ e a taxa

mecânica de armadura ω, definidos por:

υ =Nd

b∙h∙fcd;

μ =Md

b∙h2∙fcd;

ω =As∙fyd

b∙h∙fcd;

Sendo:

x

y As

’= As

As b

d’

d’

h

Seção retangular com armadura simétrica, submetida à flexão composta

normal

N

Mx

b e h: dimensões da peça;

υ: forma adimensional da força normal;

μ: forma adimensional do momento na direção x;

ω: taxa mecânica de armadura em relação à área da seção

RESOLUÇÃO DA FLEXÃO COMPOSTA OBÍQUA COM O USO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA

SEÇÕES RETANGULARES

Nas situações de flexão composta oblíqua, além da força normal Nd, há o momento solicitante

de cálculo Md, que pode ser representado por suas duas componentes Mxd (vetor momento na

direção do eixo x) e Myd (vetor momento na direção do eixo y), referidas a um sistema de eixos

ortogonais (x,y) paralelos aos lados do retângulo.

A mesma seção pode também ser apresentada com força normal Nd, ocupando uma posição

fora do centro da seção, com as coordenadas ex e ey, e neste caso:

Mxd = Nd ∙ ex;

Myd = Nd ∙ ey

Essas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, como é usual na

análise de solicitações normais em seções de concreto armado, pelos esforços reduzidos υ, μx,

μy e pela taxa mecânica de armadura ω:

υ =Nd

b∙h∙fcd;

x

y As

’= As

As b

d’

d’

h

Momentos fletores atuantes em uma seção retangular sob flexão composta

oblíqua

Nd

Myd

Mxd

μx =Mxd

b∙h2∙fcd= υ ∙

ex

h;

μy =Myd

b∙h2∙fcd= υ ∙

ey

b

ω =As∙fyd

b∙h∙fcd

TAXAS DE ARMADURA:

São definidos dois tipos diferentes de taxas de armadura:

- a taxa geométrica de armadura; e

- a taxa mecânica de armadura

A taxa geométrica de armadura é a relação entre a área da seção da armadura e a área da

seção do concreto que a envolve.

ρ =As

Ac

A taxa mecânica de armadura é a relação entre a resistência de cálculo da armadura e a

resistência de cálculo do concreto que a envolve.

ω =Nsd

Ncd=

As ∙ fyd

Ac ∙ fcd

EXEMPLOS DE CÁLCULO

EXEMPLO 1

Considerando que as taxas geométricas de armadura mínima e máxima em uma seção

transversal sejam respectivamente 0,5% e 4%, calcular os valores correspondentes de ω (taxa

mecânica de armadura) para aço CA-50 e concretos com fck variando de 20 MPa até 40 MPa.

A taxa mecânica de armadura é obtida por:

ω =As∙fyd

Ac∙fcd

A taxa geométrica, por sua vez, por meio de:

ρ =As

Ac

para a taxa geométrica mínima tem-se:

ω =0,5

100∙

500 1,15⁄

20 1,4⁄=

500∙1,4

20∙1,15= 0,15

para a taxa geométrica máxima tem-se:

ω =4

100∙

500 1,15⁄

20 1,4⁄=

500∙1,4

20∙1,15= 1,217

com base nas expressões podemos construir uma tabela que fornece todos os resultados

obtidos.

fck (MPa) ωmín = 0,5% ∙ fyd/fcd ωmáx = 4% ∙ fyd/fcd

20 0,152 1,217

25 0,122 0,974

30 0,101 0,812

35 0,087 0,696

40 0,076 0,609

EXEMPLO 2

Calcular a quantidade de armadura necessária As (considerada simétrica) para uma seção

transversal retangular, com d’= 3 cm, fck = 30 MPa, aço CA – 50 e momento atuante Mx = 70,29

kN.m.

‘

Resolução:

Apesar de se tratar de flexão simples (momento fletor sem força normal), mas em razão da

armadura ser simétrica, deve ser usado o ábaco A 1-b, por ter: d’/h=3/30=0,10, com os

seguintes valores de entrada:

υ =Nd

b∙h∙fcd= 0(não há força normal)

μ =Md

b∙h2∙fcd=

1,4∙70,29

0,20∙0,302∙(30000

1,4)

= 0,255

no ábaco obtém-se ω=0,61. Com este valor, determina-se As

x

As/2

As/2 20

N

Mxd

3

3

30

y

ω =As∙fyd

b∙h∙fcd⇒ As =

ω∙b∙h∙fcd

fyd=

0,61∙20∙30∙30/1,4

500/1,15= 18cm²

ao ser resolvido como se existisse apenas armadura tracionada, pode-se usar a tabela de

flexão normal simples.

𝐾𝑀𝐷 =𝑀𝑑

b∙d2∙fcd=

1,4∙70,29

0,20∙0,272∙(30000

1,4)

= 0,315, com esse valor e entrando na

tabela encontraremos:

εs = 2,2 > εyd = 2,07; KZ = 0,7544, conforme se vê na tabela abaixo

Portanto:

As =Md

KZ ∙ d ∙ fyd=

1,4 ∙ 70,29

0,7544 ∙ 0,27 ∙ (50

1,15)

= 11,11cm²

Como se observa, quando se considerou somente armadura tracionada, obteve-se

solução mais econômica (11,11 cm²) que a do exemplo anterior (18 cm²), em que se

empregou armadura dupla simétrica.

EXEMPLO 3

Verificar se possível a aplicação de uma força normal de compressão na seção do

exemplo anterior, de maneira que a quantidade da armadura, ainda simétrica, seja

menor.

Observando o ábaco A 1-b, percebe-se qu, usando a ordenada μ=0,255 e passando um

segmento de reta vertical, o menor valor de taxa de armadura obtido é ω=0,4 que

corresponde à ordenada vertical υ=0,4 e, portanto:

υ =Nd

b∙h∙fcd=

1,4∙N

0,2∙0,3∙(30000

1,4)

= 0,4 ⇒ N = 367 kN

a armadura necessária é a correspondente a ω=0,4:

portanto:

As =ω ∙ b ∙ h ∙ fcd

fyd=

0,41 ∙ 20 ∙ 30 ∙ 30/1,4

500/1,15= 11,8cm²

Com redução de :

r = (1 −11,8

18) ∙ 100 = 34,4%

a força de compressão poderia ser, por exemplo, uma força de protensão. É interessante

observar que, somente nessa região do ábaco, a qual corresponde à parte do domínio 2 e

ao domínio 3, é que se tem a possibilidade da diminuição da armadura com a introdução

da força de compressão.

EXERCÍCIO

Para a mesma seção transversal, utilizando o mesmo ábaco, calcular a quantidade de

armadura simétrica necessária para as situações de esforços dadas na tabela abaixo.

Situação N (kN) Mx(kN ∙ m) 1 -276 0

2 0 110

3 367 110

4 643 55

5 367 28

6 1010 55

7 937 0

EXEMPLO 4

Calcular as armaduras para as seções A e B, da figura abaixo, para as seguintes situações, fck =

30 MPa e Aço CA-50:

a) N = 918 kN e M = 28 kNm;

b) N = 918 kN e M = 56 kNm;

Trata-se de resolver a mesma seção submetida a um par de esforços, sendo que, em um caso,

se usa cobrimento que resulta d’=3 cm e, no outro, um cobrimento maior, resultando um valor

final d’ = 7,5 cm, e assim se tem:

Seção A: d’ = 3,0 cm => d’/h = 3,0/30 = 0,10 → ábaco A 1-b;

x

As/2

As/2 20

N

Mxd

3

3

30

y A

x

As/2

As/2

20

N

Mxd

7,5

7,5

30

y B

Seção B: d’ = 7,5 cm => d’/h = 7,5/30 = 0,25 → ábaco A 1-e.

Os valores para entrada nos ábacos

1) Situação a); com seção A – ábaco A 1-b, devido d’/h = 3,0/30 = 0,1

υ =Nd

b∙h∙fcd=

1,4∙918

0,2∙0,3∙(30000

1,4)

= 0,9996 ≅ 1,0

μ =Md

b∙h2∙fcd=

1,4∙28

0,20∙0,302∙(30000

1,4)

= 0,101

ω = 0,39

As =ω∙b∙h∙fcd

fyd=

0,39∙20∙30∙30/1,4

500/1,15= 11,53cm²

2) Situação b); com seção A – ábaco A 1-b, devido d’/h = 3,0/30 = 0,1

υ =Nd

b∙h∙fcd=

1,4∙918

0,2∙0,3∙(30000

1,4)

= 0,9996 ≅ 1,0

μ =Md

b∙h2∙fcd=

1,4∙56

0,20∙0,302∙(30000

1,4)

= 0,203

ω = 0,65

As =ω∙b∙h∙fcd

fyd=

0,65∙20∙30∙30/1,4

500/1,15= 19,22cm²

3) Situação a); com seção B – ábaco A 1-e, d’/h = 7,5/30 = 0,25

υ =Nd

b∙h∙fcd=

1,4∙918

0,2∙0,3∙(30000

1,4)

= 0,9996 ≅ 1,0

μ =Md

b∙h2∙fcd=

1,4∙28

0,20∙0,302∙(30000

1,4)

= 0,101

ω = 0,46

As =ω∙b∙h∙fcd

fyd=

0,46∙20∙30∙30/1,4

500/1,15= 13,60cm²

4) Situação b); com seção B – ábaco A 1-e, d’/h = 7,5/30 = 0,25

υ =Nd

b∙h∙fcd=

1,4∙918

0,2∙0,3∙(30000

1,4)

= 0,9996 ≅ 1,0

μ =Md

b∙h2∙fcd=

1,4∙56

0,20∙0,302∙(30000

1,4)

= 0,203

ω = 0,9

As =ω∙b∙h∙fcd

fyd=

0,9∙20∙30∙30/1,4

500/1,15= 26,60cm²

Situação/seção ábaco N (kN) M (kNm) υ μ ω As(cm²)

a-A A 1-b 918 28 1,0 0,1 0,39 11,53

b-A A 1-b 918 56 1,0 0,2 0,65 19,22

a-B A 1-e 918 28 1,0 0,1 0,46 13,60

b-B A 1-e 918 56 1,0 0,2 0,9 26,60

EXERCÍCIO

Faça a correspondente análise, realizada no exemplo numérico 4, para os seguintes valores:

dados fck = 25 MPa e Aço CA-50

a) N = 1300 kN; M = 40 kNm

b) N = 1300 kN; M = 80 kNm

EXEMPLO 5

A seção transversal retangular dada na figura abaixo está submetida aos esforços N =

804 kN e Mx = 40 kNm. Calcular o valor de b para ρ = (As/Ac) = 2%, fck = 30 MPa e aço

CA-50

x

As/2

As/2 25

N

Mxd

2,5

2,5

50

y A

x

As/2

As/2

25

N

Mxd

10

10

50

y B

x

As/2

As/2 b

N

Mxd

3

3

30

y

Como se trata de seção retangular com d’/h = 3/30 = 0,10, submetida à flexão

composta normal, emprega-se o ábaco A-1b. o valor de ω para a solução do problema

é dado por:

ω =As∙fyd

Ac∙fcd=

2

100∙

500∙1,4

30∙1,15= 0,40

Os valores de υ e μ, embora não possam ser calculados, guardam uma relação entre si

dada por:

μ =Md

b∙h2∙fcd=

Nd∙𝑒

b∙h2∙fcd= e ∙

υ

h

A excentricidade da carga é dada por:

𝑒 =M

N=

40

804= 0,05 m

Desse forma, a solução pode ser obtida graficamente, como mostrado no ábaco A-1b.

marca-se no ábaco o ponto com ordenadas μ1 e υ1 de maneira que a relação entre elas

seja dada por:

μ1 = 0,05 ∙υ

0,3= 0,167 ∙ υ1

Obtém-se assim o ponto A. Traçando-se um segmento de reta da origem O até o ponto

A, corta-se a curva de ω=0,4 no ponto K, que é a solução do problema. Assim é possível

determinar o valor da ordenada do ponto que permite obter o valor de b requerido.

Dessa maneira chega-se a υ=0,86, a partir do qual obtém-se o valor de b:

υ =Nd

b∙h∙fcd⟹ 𝑏 =

Nd

υ∙h∙fcd=

804∙1,4

0,86∙0,30∙(30000

1,4)

= 0,2 ⟹ 𝑏 = 0,20 𝑚

EXEMPLO 6

Calcular a armadura para a seção transversal da figura abaixo, para os esforços

solicitantes N = 918 kN e My = 28 kNm. Considerar fck = 30 MPa e aço CA-50.

x

As/2

As/2 20

N

3

3

30

y

4

Neste caso tem-se d’/h = 4/20 = 0,20 e o momento My. o ábaco a ser empregado é o ábaco 6,

com os seguintes valores de entrada:

υ =Nd

b∙h∙fcd=

1,4∙918

0,3∙0,2∙(30000

1,4)

= 0,9996 ≅ 1,0

μ =Md

b∙h2∙fcd=

1,4∙28

0,3∙0,22∙(30000

1,4)

= 0,15

com υ = 1,0 e μ = 0,15 resulta, no ábaco 6, o valor de 0,75

ω = 0,75

As =ω∙b∙h∙fcd

fyd=

0,75∙20∙30∙30/1,4

500/1,15= 22,2cm²

Utilizando o ábaco A-29, da apostila do professor Wilson Sérgio Venturini,

relação d’/h = 4/20 = 0,2, teremos os seguintes valores de entrada:

υ =Nd

b∙h∙fcd=

1,4∙918

0,2∙0,3∙(30000

1,4)

= 0,9996 ≅ 1,0

μ =Md

b∙h2∙fcd=

1,4∙28

0,30∙0,202∙(30000

1,4)

= 0,15

ω = 0,69

As =ω ∙ b ∙ h ∙ fcd

fyd=

0,69 ∙ 20 ∙ 30 ∙ 30/1,4

500/1,15= 20,40cm²