Teoria da Flexão Oblíqua

Nota de aula 1 - Teoria daFlexão Oblíqua -

Resistência dos MateriaisII

Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)

MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF

2o. semestre de 2010Flávia Bastos RESMAT II 1/26

Teoria da Flexão Oblíqua

Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.

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Teoria da Flexão Oblíqua

Elementos da flexão reta

• Plano de solicitação - PS;• Eixo de solicitação ss ;• Vetor momento M ;• Linha neutra (nn);• nn⊥ss;• Flexão simétrica.

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Teoria da Flexão Oblíqua

Elementos da flexão reta

Figure: Viga retangular em flexão reta - plano de solicitação vertical.

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Teoria da Flexão Oblíqua

Elementos da flexão reta

Figure: Viga retangular em flexão reta - plano de solicitaçãohorizontal.

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Teoria da Flexão Oblíqua

Elementos da flexão reta

Figure: Viga T em flexão reta - Plano de solicitação vertical

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Teoria da Flexão Oblíqua

Elementos da flexão reta

Figure: Viga T em flexão reta - Plano de solicitação horizontal

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Teoria da Flexão Oblíqua

Elementos da flexão reta

Figure: a) Viga U com ss - vertical; b) Viga U com ss - horizontal

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Teoria da Flexão Oblíqua

Elementos da flexão reta

Figure: Viga cantoneira com abas iguais em flexão reta

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Teoria da Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

• Plano de solicitação inclinado;• ss passa por G;• nn não perpendicular a ss;• É necessário determinar nn;• Pode ocorrer mesmo em seções com dois eixos de

simetria;

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Teoria da Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

Figure: Viga retangular em flexão oblíqua - Plano de Solicitaçãoinclinado

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Teoria da Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

Figure: Viga T em flexão oblíqua

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Teoria da Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

N = 0 Q = 0 Mt = 0 (1)

M 6= 0→M = My +Mz (vetorialmente) com My 6= 0 e Mz 6= 0(2)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Deformações na flexão oblíqua

Figure: Deformações na flexão oblíqua similares à flexão reta

εx =δdx

dx=udϕ

dx=udϕ

ds=u

ρ(3)

σx = Eεx ⇒ σx =E

ρu⇒ E

ρ=σxu

(4)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíqua

Equilíbrio:

N =

∫Sdf =

∫SσxdS (5)

Mn =

∫Sudf =

∫SuσxdS (6)

Ms =

∫Svdf =

∫SvσxdS (7)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíqua

Figure: Situação no plano da seção

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíqua

O esforço normal na seção, neste caso, nulo:

N =

∫Sdf =

∫SσxdS =

∫S

E

ρudS =

E

ρ

∫SudS = 0 (8)

∫SudS = MSn = uS = 0⇒ u = 0 (9)

MSn → Momento estático da área da seção com relação àlinha neutra;u→ distância do G à linha neutra;LN é baricêntrica!

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíquaO momento Mn (em relação à linha neutra):

Mn =

∫Sudf =

∫SuσxdS =

∫SuE

ρudS =

E

ρ

∫Su2dS =

E

ρIn

(10)Mn

In=E

ρ(11)

E

ρ=σxu

(12)

Mn

In=σxu

(13)

σx =Mnu

In(14)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíqua

Cálculo do momento de inércia em relação à linha neutra

In =

∫Su2dS =

∫S

(zsenβ − ycosβ)2dS (15)

In =

∫S

(z2sen2β − 2zysenβcosβ + y2cos2β)dS (16)

In = Iysen2β + Izysen2β + Izcos

2β (17)

In = Iysen2β + Izcos

2β (18)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíqua

O momento Ms (em relação ao eixo de solicitação) é nulo:

Ms =

∫Svdf =

∫SvσxdS =

∫SvE

ρudS =

E

ρ

∫SvudS = 0 (19)

E

ρIns = 0 (20)

Ins = 0 (21)

Ins =∫S vudS → Produto de inércia com relação aos eixos nn

e ss.

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação x Linha Neutra

Figure: Relação entre as coordenadas u, v e y, z

v = ycosα− zsenα (22)

u = zsenβ − ycosβ (23)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação x Linha Neutra

Ins =

∫SvudS =

∫S

(ycosα− zsenα)(zsenβ − ycosβ)dS (24)

Ins =

∫S

(zysenβcosα−z2senβsenα−y2cosβcosα+zycosβsenα)dS

(25)como Izy = 0, já que z e y são eixos principais de inércia:

Ins = −Izcosαcosβ − Iysenαsenβ (26)

já que Ins = 0:

senα

cosα

senβ

cosβ= −Iz

Iy∴ tgαtgβ = −Iz

Iy(27)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíqua

Tensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer

σx =Mnu

In→ a distribuição de tensões é plana (28)

σx = ay + bz → equação do campo de tensões (29)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíquaTensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer

Figure: Balanço entre ações internas e externas - direção z.

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíquaTensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquer

Mz =

∫SσxydS =

∫S

(ay+bz)ydS = a

∫Sy2dS+b

∫SyzdS (30)

My = −∫SσxzdS = −

∫S

(ay+ bz)zdS = −a∫SyzdS− b

∫Sz2dS

(31)

Mz = aIz + bIyz (32)My = −bIy − aIyz (33)

[Iz Iyz−Iyz −Iy

]{ab

}=

{Mz

My

}(34)

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Teoria da Flexão Oblíqua

Tensões Normais na flexão oblíquaTensões na Flexão Oblíqua com eixos qualquersolução: {

ab

}=

1

I2yz − IzIy

[−Iy −IyzIyz Iz

]{Mz

My

}(35)

σx =(IyMz + IyzMy)y − (IyzMz + IzMy)z

IyIz − I2yz(36)

Com eixos principais de inércia (Iyz = 0):

σx =(IyMz)y − (IzMy)z

IyIz(37)

σx =Mz

Izy − My

Iyz (38)

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