matematica unidade 10 - taxas equivalentes a juros compostos
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administraçãoamintas paiva afonso
Unidade 2.5Unidade 2.5
TAXAS TAXAS EQUIVALENTES A EQUIVALENTES A
JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS
Amintas Paiva AfonsoAmintas Paiva Afonso
TAXAS EQUIVALENTES - ConceitoTAXAS EQUIVALENTES - Conceito
São aquelas que mesmo com períodos de capitalização diferentes, transformam um mesmo capital P (PV) em um mesmo montante S (FV) em um mesmo prazo (n).
Ex: Uma taxa de juros simples de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros simples de 48% a.a?
Suponha n = 2 anos e P = R$ 100,00
FV = PV * (1 + i * n)
FV = 100 * (1 + 0,04 * 24)
FV = 100 * 1,96 = 196
FV = PV * (1 + i * n)
FV = 100 * (1 + 0,48 * 2)
FV = 100 * 1,96 = 196
TAXAS EQUIVALENTES - ExemplosTAXAS EQUIVALENTES - Exemplos
Ex 2: Uma taxa de juros compostos de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros compostos de 48% a.a.?
Suponha n = 2 anos e PV = R$ 100,00
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,04)24
FV = 100 * 2,5633
FV = 256,33
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,48)2
FV = 100 * 2,1904
FV = 219,04Logo, uma taxa de juros compostos de 4% a.m. não é equivalente a uma taxa de juros compostos de 48% a.a. , pois não transforma um mesmo capital PV (R$ 100,00) em um mesmo montante FV em um mesmo prazo (2 anos).
TAXAS EQUIVALENTES - ExemplosTAXAS EQUIVALENTES - Exemplos
Ex 3: Uma taxa de juros compostos de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros compostos de 60,103222% a.a. Vamos verificar!
Suponha n = 2 anos e P = 100,00
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,04)24
FV = 100 * 2,5633
FV = 256,33
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,60103222)2
FV = 100 * 2,5633
FV = 256,33
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxasTAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
Como descobrir qual taxa é equivalente a uma determinada taxa composta?
Ex: Qual taxa de juros compostos anual equivale a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês?
Em um ano quanto rende um capital PV capitalizado mensalmente?
FV = PV * (1 + 0,05 )12 FV = PV * 1,7959
E capitalizado anualmente?
FV = PV * (1 + ianual)1 FV = PV * (1 + ianual)
Para que as taxas sejam equivalentes, os montantes devem ser iguais:
PV * (1 + ianual) = PV * 1,7959
(1 + ianual) = 1,7959
ianual = 1,7959 - 1
ianual = 0,7959
ianual 79,59%
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxasTAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxasTAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
Observe que da fórmula FV = PV (1 + i)n, para converter taxas não precisamos de FV ou PV, apenas nos interessa a potência (prazo n).
1 ano = 12 meses = 6 bimestres = 4 trimestres = 2 semestres = 360 dias
(1+ ianual) = (1+ imensal)12 = (1+ itrimestral)
4 = (1+ isemestral)2 = (1+
ibimestral)6 = (1+ idiária)
360
Ex: Converter uma taxa de juros compostos de Ex: Converter uma taxa de juros compostos de
5%5% ao trimestreao trimestre para para taxa mensaltaxa mensal..
(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = (1 + i = (1 + itrimestraltrimestral))
44
(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = (1 + 0,05) = (1 + 0,05)44
(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = 1,05 = 1,0544
(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = = 1,21551,2155
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxasTAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
(1+ ianual) = (1+ imensal)12 = (1+ itrimestral)
4 = (1+ isemestral)2 = =
(1+ ibimestral)6 = (1+ idiária)
360
(1 + i(1 + imensalmensal))1212 = = 1,21551,2155
1 + i1 + imensalmensal = 1,2155 = 1,21551/12 1/12
1 + i1 + imensalmensal = = 1,01641,0164
iimensalmensal = = 1,01641,0164 – 1 – 1
iimensalmensal = 0 = 0,0164,0164
iimensalmensal = = 11,,6464%%
Resposta: A taxa composta de Resposta: A taxa composta de 5%5% ao trimestreao trimestre é é
equivalente à taxa composta de equivalente à taxa composta de 1,64%1,64% ao mêsao mês..
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxasTAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
Qual taxa de juros Qual taxa de juros anualanual equivalente à taxa de equivalente à taxa de 0,99%0,99% ao mêsao mês??
(1 + i(1 + ianualanual) = (1 + i) = (1 + imensalmensal))1212
(1 + i(1 + ianualanual) = (1 + 0,0099)) = (1 + 0,0099)1212
(1 + i(1 + ianualanual) = 1,12548) = 1,12548
iianualanual = = 1,1255 - 1 = 0,1255 = 12,55% a.a.1,1255 - 1 = 0,1255 = 12,55% a.a.
Assim, a taxa anual de inflação será de Assim, a taxa anual de inflação será de 12,55%12,55%, se , se for mantida a média do primeiro trimestre. for mantida a média do primeiro trimestre.
3,01% a.t. = 0,99% a.m. = 12,55%3,01% a.t. = 0,99% a.m. = 12,55% a.a.a.a.
TAXAS EQUIVALENTES - InflaçãoTAXAS EQUIVALENTES - Inflação
ii(eq)(eq) = Taxa Equivalente = Taxa Equivalente
iicc = Taxa Conhecida = Taxa Conhecida
QQQQ = Quanto eu Quero= Quanto eu Quero
QTQT = Quanto eu Tenho= Quanto eu Tenho
TAXAS EQUIVALENTES - FórmulaTAXAS EQUIVALENTES - Fórmula
100. 1)1()(
QQ QT
ceq ii
Calcular a equivalência entre as taxas.Calcular a equivalência entre as taxas.
TAXAS EQUIVALENTES - ExercíciosTAXAS EQUIVALENTES - Exercícios
Taxa ConhecidaTaxa Conhecida Taxa Equivalente para:Taxa Equivalente para:
a) 79,5856% ao anoa) 79,5856% ao ano 1 mês1 mês
b) 28,59% ao trimestreb) 28,59% ao trimestre 1 semestre1 semestre
c) 2,5% ao mêsc) 2,5% ao mês 105 dias105 dias
d) 0,5% ao diad) 0,5% ao dia 1 ano1 ano
e) 25% (ano comercial)e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias1 ano exato (base 365 dias
Calcular a equivalência entre as taxas.Calcular a equivalência entre as taxas.
Taxa ConhecidaTaxa Conhecida Taxa Equivalente para:Taxa Equivalente para:
a) 79,5856% ao anoa) 79,5856% ao ano 1 mês1 mês
b) 28,59% ao trimestreb) 28,59% ao trimestre 1 semestre1 semestre
c) 2,5% ao mêsc) 2,5% ao mês 105 dias105 dias
d) 0,5% ao diad) 0,5% ao dia 1 ano1 ano
e) 25% (ano comercial)e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias)1 ano exato (base 365 dias)
TAXAS EQUIVALENTES - ExercíciosTAXAS EQUIVALENTES - Exercícios
ieq = 5% ao mêsieq = 5% ao mês
ieq = 65,35 ao semestreieq = 65,35 ao semestre
ieq = 9,03 ao períodoieq = 9,03 ao período
ieq = 502,26% ao anoieq = 502,26% ao ano
ieq = 25,39% ao anoieq = 25,39% ao ano
TAXA ACUMULADA DE JUROS - FórmulaTAXA ACUMULADA DE JUROS - Fórmula
A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é
normalmente utilizada em situações de correções de normalmente utilizada em situações de correções de
contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis,
saldo devedor da casa própria e contratos em geral.saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
nn = número de taxas analisadas = número de taxas analisadas
100. 11...1.1.1 321)( nac iiiii
TAXA ACUMULADA DE JUROS - FórmulaTAXA ACUMULADA DE JUROS - Fórmula
Com base na tabela de variação do IGPM Calcular a taxa Com base na tabela de variação do IGPM Calcular a taxa acumulada durante os meses de jan. a mai/2009.acumulada durante os meses de jan. a mai/2009.
Taxa ConhecidaTaxa Conhecida
IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%
IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%
IGPM-M/FGV (mar/2009) = IGPM-M/FGV (mar/2009) = 0,56%0,56%
IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%
IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%
iiacac = 3,31% ao período = 3,31% ao período
100. 11...1.1.1 321)( nac iiiii
TAXA MÉDIA DE JUROS - FórmulaTAXA MÉDIA DE JUROS - Fórmula
nn = número de taxas analisadas = número de taxas analisadas
Calcular a taxa média.Calcular a taxa média.
Taxa ConhecidaTaxa Conhecida
IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%IGPM-M/FGV (jan/2009) = 0,62%
IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%IGPM-M/FGV (fev/2009) = 0,23%
IGPM-M/FGV (mar/2009) = IGPM-M/FGV (mar/2009) = 0,56%0,56%
IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%IGPM-M/FGV (abr/2009) = 1,00%
IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%IGPM-M/FGV (mai/2009) = 0,86%
ii(média)(média) = 0,65% ao mês = 0,65% ao mês
100 . 11...1.1.1 321)( nnmédia iiiii
TAXA REAL DE JUROS - FórmulaTAXA REAL DE JUROS - Fórmula
A taxa real de juros é a apuração de ganho ou perda em A taxa real de juros é a apuração de ganho ou perda em
relação a uma taxa de inflação ou de um custo de relação a uma taxa de inflação ou de um custo de
oportunidade. Na verdade significa dizer que taxa real de oportunidade. Na verdade significa dizer que taxa real de
juros é o verdadeiro ganho financeiro.juros é o verdadeiro ganho financeiro.
10011
1.
inf
i
iir
ii = taxa de juros = taxa de jurosiiinfinf = taxa de inflação ou custo de oportunidade = taxa de inflação ou custo de oportunidade
iirr = taxa realde juros = taxa realde juros
TAXA REAL DE JUROS - FórmulaTAXA REAL DE JUROS - Fórmula
Uma aplicação durante o ano de 2008 rendeu 9,5% ao Uma aplicação durante o ano de 2008 rendeu 9,5% ao
ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de
5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.
10011
1.
inf
i
iir
iirr = 3,5% ao ano = 3,5% ao ano
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