la cinemática de la partícula
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LA CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
MOVIMIENTOS SIMPLES
ÍNDICE
Introducción………………………………………………………………………3
Sistemas de referencia………………………………………………………....4
El vector desplazamiento……………………………………………………....5
Las ecuaciones del movimiento…………………………..............................8
La velocidad…………………………………………………………………….11
La aceleración………………………………………………….......................14
Las componentes intrínsecas de la aceleración……………………………16
El movimiento rectilíneo…………..............................................................21
El mov. rectilíneo y uniforme………...........................................................22
El mov. rectlilíneo uniformemente variado……………………………….....26
Movimiento con aceleración constante……………………………………...32
Introducción
La Cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el
movimiento sin hacer referencia a las causas que lo originan.
En el estudio de la Cinemática del punto material, el cuerpo móvil
se representa con punto, haciendo así, abstracción de su forma.
Sistemas de referencia
Se dice que una partícula o punto material se mueve cuando ocupa
posiciones diferentes en el tiempo. Las diversas posiciones que ocupa
la partícula se determinan con respecto a un sistema de referencia
previamente elegido .
Se denominan sistemas de referencia inerciales a los que,
convencionalmente, suponemos fijos o aquellos que se desplazan con
un movimiento rectilíneo uniforme.
(0; , , )i j k
El vector desplazamiento
2 1
2 1
:
:
r r r
r vector de posición
s s s
s espacio
s
r
OO
O
En general:
r s
r s
en el movimiento rectilíneo.
Ejercicio 1:
Una persona recorre 30 m hacia el norte, después 40 m hacia el este, y
por último recorre 60 m hacia el sur. Determina la trayectoria, el
desplazamiento en cada etapa y el desplazamiento total, el espacio
recorrido, la posición final y la distancia al origen en dicha posición.
Solución:
30 ( ) , 40 ( ) , 60 ( )
40 30 ( ) , 130
(40 30 ) , 50
OA AB BC
C C
r j m r i m r j m
r i j m s m
r i j m d r m
Las ecuaciones del movimiento
El vector de posición de la partícula depende del tiempo y a
esta relación se le llama ecuación del movimiento.
Las igualdades x = f(t), y = u(t), z = v(t) constituyen las
ecuaciones paramétricas del movimiento. A partir de las
mismas se obtiene la ecuación de la trayectoria de la
partícula.
Asimismo, s también es función del tiempo y la relación
s = s(t) se denomina ecuación intrínseca del movimiento.
( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z y k
Ejercicio 2:
Un movimiento plano referido a unos ejes (0,X,Y) fijos,
queda descrito por las ecuaciones paramétricas:
e y = t 2 - 1. Hallar la ecuación de la
trayectoria.
Solución:
2 1 1 4 51 2
2 2 2
2 5 :
y y yt y x
y x una recta
2
x 2 2
t
Ejercicio 3:
En un movimiento sobre el plano XY, la ecuación que
expresa dicho movimiento es:
a) Calcula la ecuación de la trayectoria.
b) Dibuja en una hoja de papel milimetrado la ecuación
de la trayectoria para el intervalo de tiempo
comprendido entre los instante t = 0 s y t = 7 s.
22 (160 4 )r t i t j
La velocidad
• La velocidad media entre dos instantes es el cociente entre el
vector desplazamiento y el tiempo transcurrido:
Se trata de un vector de la misma dirección y sentido que el vector
desplazamiento.
• La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando
el intervalo de tiempo tiende a cero:
m
rv
t
0lim
t
r d rv
t d t
La velocidad instantánea es
un vector tangente a la
trayectoria, en el punto
donde se encuentra el
móvil. Su sentido es el del
movimiento.
Podemos expresar también como
Siendo la celeridad o rapidez y un vector unitario y
tangente a la trayectoria, en el sentido de las s crecientes.
v v v
d s
vd t
v
Ejercicio 4
El vector de posición expresado en el S.I. de unidades de una lancha
viene dado por:
Calcula:
a) Los módulos de los vectores de posición para t = 1s y t = 2s.
b) El desplazamiento en ese intervalo.
c) El vector velocidad media y su módulo.
d) El vector velocidad instantánea a los 3 s y su módulo.
e) La ecuación de la trayectoria.
0,2 0,75r t i t j
La aceleración
• La aceleración media es
el cociente entre la
variación de la velocidad y
el tiempo empleado en
dicha variación:
Se trata de un vector cuya
dirección y sentido
coinciden con los del
vector
m
va
t
v
1v
2vma
v 1v
• La aceleración instantánea es el límite de la
aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a
cero:
ax, ay, az son las componentes cartesianas de la
aceleración.
0lim
t
v d va
t d t
( ) ( ) ( )x y za a t i a t j a t k
Las componentes intrínsecas de la aceleración
a
Consideremos una partícula que describe una trayectoria curva plana.
En el tiempo t, la partícula se encuentra en A con la velocidad v y la
aceleración a.
Recordemos que , siendo u t un vector unitario en la
dirección tangente a la trayectoria en el punto A y del mismo sentido
que v.
Por consiguiente:
tv v u
tt
d v d ud va u v
d t d t d t
Por otro lado se demuestra que:
Siendo un vector unitario en la dirección normal a la trayectoria
en el punto A y orientado hacia el centro de curvatura C.
Si en un tiempo dt, el móvil puntual pasa de A a A´, las normales a la
curva en A y A´ se intersectan en C
ρ es el radio de curvatura, es decir la distancia AC.
tn
vd uu
d t
nu
Por consiguiente vemos que:
La aceleración queda así expresada por dos componentes, la
tangencial y la normal o centrípeta. La primera está
relacionada con la variación del módulo de la velocidad, mientras
que la segunda, lo está con el cambio en la dirección de la
misma.
Evidentemente: y
Se llega a los mismos resultados para cualquier trayectoria,
aunque no sea plana.
2
t n t t n n t n
d v va a a a u a u u u
d t
2 2
t na a a n
t
aarctg
a
Ejercicio 5
La ecuación del movimiento de un móvil es:
Calcular el módulo de y y las componentes intrínsecas de la
aceleración en el instante t = 2 . Calcular asimismo el radio de
curvatura en dicho instante.
2(4 7) (1,5 14) ( )r t i t j m
v a
El movimiento rectilíneo
Adoptaremos como eje X, la recta sobre la que se desplaza el móvil. En
ese caso los vectores de posición, velocidad y aceleración serían:
En un determinado instante, se dice que un movimiento es acelerado o
retardado, según aumente o disminuya el módulo de su velocidad. Si la
velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el movimiento es
acelerado, en caso contrario es retardado.
,
(¡ !: )
x xr x v v i v i a a i a i
d x d vv y a cuidado v v y a a
d t d t
El movimiento rectilíneo y uniforme
En este movimiento el vector permanece constante en el tiempo.
Si representamos x = f(t), obtenemos una recta cuya pendiente es v:
00 0 0 0
0
.
( ) ( )m
Como v v const
r rrv v r r v t t x x v t t
t t t
0 0 0 0( ) ,x x vt vt x vt x vt
siendo v la pendiente y el paréntesis la ordenada en el origen
v
xv tg
t
Las gráficas v-t son siempre rectas horizontales. Vemos que el área
limitada por esta gráfica, las ordenadas final e inicial y el eje de
tiempos nos indica el desplazamiento.
Esta propiedad se va a cumplir en cualquier tipo de movimiento.
Área A = v (t – to) = x – x0
En este movimiento a t y a n son nulas ( ρ = ∞ )
A
Ejercicio 6
Dos punto P y Q distan 300 m. De P sale un móvil y se dirige
hacia Q a 15 m/s. Otro móvil sale de Q, 4 s más tarde, y se dirige
hacia P a 25 m/s. Determina numérica y gráficamente el instante y
la posición en que se cruzan.
Solución: t = 10 s; x (10) = 150 m
El mov. rectilíneo uniformemente variado
0
0
0 0 0 0
.
( ) ( ) (1)
m
v vva a i const a a
t t t
v v a t t v v a t t
Vemos que la función v(t) es una función afín y por tanto la
gráfica v - t es una recta de pendiente a.
va tg
t
Por la propiedad de las áreas
podemos deducir la expresión de
x en función del tiempo:
2
0
2
0 0
1
2
1(2)
2
x Área A Área B v t a t
x x v t a t
Si despejamos Δt de la ecuación (1) y sustituimos en la ecuación (2),
obtenemos una 3ª ecuación:
2 2
0 02 ( )v v a x x
X0
X X
Y Y
Si representamos x = f(t), obtenemos una parábola:
En este movimiento at es constante y an = 0
Ejercicio 7
Un móvil se desplaza en línea recta. Al empezar a contar el tiempo,
cuando pasa por el origen del sistema de referencia, su velocidad
viene dada por la siguiente ecuación: v = 40 – 5 t.
Determina:
a) El instante en el que la velocidad es cero.
b) La ecuación del movimiento.
c) El instante en el que el móvil vuelve a pasra por el origen del
sistema de referencia?
d) La velocidad, el desplazamiento y la distancia recorrida al cabo de
16 s.
Ejercicio 8
Un vehículo que circula 50 km/h se ve obligado a frenar cuando una
niña se cruza en su recorrido para coger una pelota. El conductor tarda
en reaccionar 0,9 s y la aceleración de frenado es de - 3,75 m/s2.
¿Qué distancia recorre el vehículo desde que el conductor lo ve hasta
que se para el automóvil?
Solución: 25,6 2m
Movimiento con aceleración constante
0 0
2
0 0 0 0
( )
1( ) ( )
2
v v a t t
r r v t t a t t
• Si no tienen la misma dirección, el móvil
describe una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al vector
aceleración. En este caso el movimiento es parabólico.
• Si tienen la misma dirección, el movimiento
es rectilíneo.
0 00v y v y a
0 00v o v y a
En la caída libre , siendo g positiva o negativa,
dependiendo de si tomamos como sentido positivo en el eje vertical, el
ascendente o el descendente.
A nivel de mar :
Ejercicio 9 (caída libre)
Se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 23 m un cuerpo con
una velocidad de 6 m/s. Calcula:
a) La altura máxima que alcanza
b) El tiempo que tarda en llegar al suelo.
c) La velocidad con que toca el suelo.
Solución: a) y máx = 24,83 m b) t = 2,86 s c) v = - 22,07 m/s < 0
a g g j
29,8
mg
s
Ejercicio 10
Desde un punto del suelo se lanza un cuerpo A verticalmente hacia
arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. Desde otro punto, situado a
70 m más arriba sobre la misma vertical, 2 s más tarde, se deja caer
otro cuerpo B sin velocidad inicial. Suponiendo que la resistencia del
aire es despreciable, determinar:
a) Las ecuaciones de los movimientos de ambos móviles.
b) La altura a la que chocarán ambos cuerpos.
c) Sus velocidades en el instante del choque.
Solución: b) 25m ; c) VA = - 20 m/s , VB = - 30 m/s
Las gráficas del movimiento
La caída libre
Las gráficas de la caída libre
Enlaces de interés
Nuria López Varela
I.E.S Fernando VI
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