ipaee capitulo 2_slides

IINTRODUÇÃONTRODUÇÃO AOAO PPLANEJAMENTOSLANEJAMENTOS EE AANÁLISENÁLISE EESTATÍSTICASTATÍSTICA DEDE EEXPERIMENTOSXPERIMENTOS

11ºº SSEMESTREEMESTRE DEDE 2010 2010 –– PPROFROFaa.E.ESTELASTELA MMARISARIS P. P. BBERETAERETA

CCAPÍTULOAPÍTULO 22

AANÁLISENÁLISE DDESCRITIVAESCRITIVA EEAANÁLISENÁLISE DDESCRITIVAESCRITIVA EE

EEXPLORATÓRIAXPLORATÓRIA DEDE DDADOSADOS

PPROBLEMAROBLEMA::

OOBSERVAÇÕESBSERVAÇÕES

VVERIFICAÇÃOERIFICAÇÃO DASDAS

AMOSTRAGEM

PLANEJAMENTO DE

EXPERIMENTOS

ANÁLISE DESCRITIVA

E EXPLORATÓRIA DE

PPROBLEMAROBLEMA::FFORMULAÇÃOORMULAÇÃO DEDEHHIPÓTESESIPÓTESES

VVERIFICAÇÃOERIFICAÇÃO DASDAS

HHIPÓTESESIPÓTESES

FFORMULADASORMULADAS

DDESENVOLVIMENTOESENVOLVIMENTODEDE NNOVASOVAS TTEORIASEORIAS

INFERÊNCIA

ESTATÍSTICA

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9

1 1005138 1 132 17 1 2 8.5 120.5

2 1006231 2 132 17 1 1 11 134

3 1006258 2 132 18 1 2 11 135.5

4 1014137 2 132 26 4 2 14.5 135

5 1020099 1 132 19 2 1 7.5 101.5

6 1023144 1 132 17 1 9 10 125.5

7 1024086 1 133 18 1 7 10 122.5

8 1032739 2 132 17 1 4 12 130

9 1034189 2 132 16 1 3 15 130.5

10 1036173 2 133 18 1 1 11 127.5

11 1039024 1 132 19 2 1 16 136

12 1040740 1 133 19 2 3 10.5 104.5

13 1041509 1 132 17 1 2 11 135.5

14 1044400 1 132 18 1 2 14 130.5

Como analisarum conjuntode dados?

14 1044400 1 132 18 1 2 14 130.5

15 1044966 1 133 18 1 1 13 126

16 1045377 1 133 19 2 1 13.5 140

17 1045601 1 132 18 1 1 13.5 137

18 1046535 1 133 19 2 2 11.5 127.5

19 1054244 2 133 20 2 1 15 140.5

20 1057820 2 133 20 2 1 14 130

….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

150 1294326 2 132 18 1 2 10.5 114

151 1297325 1 133 19 2 1 12 111.5

152 1298445 1 132 17 1 3 14 131

153 1299492 1 133 17 1 2 11 123

154 1299638 1 133 20 2 2 13.5 122

155 1302400 1 132 17 1 6 11 127

156 1303082 1 132 18 1 1 11 137.5

157 1304127 1 133 22 3 1 11.5 134

158 1307100 1 133 18 1 7 7 116

159 1308246 1 132 1 1 16.5 134

160 1308335 1 132 18 1 2 10.5 130.5

11ºº SSEMESTREEMESTRE DEDE 2010 2010 –– PPROFROFaa. E. ESTELASTELA MMARISARIS P. P. BBERETAERETA

O papel da estatística pode

ser considerado como a de

uma “mineração de dados”.

Os dados devem ser

cuidadosamente coletados

(observados), devidamente(observados), devidamente

conhecidos e utilizados para

analisar e interpretar a sua

variabilidade de forma a

possibilitar uma correta

resposta à hipótese em

estudo.

PPRIMEIRORIMEIRO PPASSOASSO::

Qual o objeto do estudo?

Uma caracterização dos

alunos ingressos nos cursosalunos ingressos nos cursos

de Química, Engenharia

Química e Engenharia de

Materiais na UFSCar no ano

de 2009.

PPRIMEIRORIMEIRO PPASSOASSO::

Qual o objeto do estudo?

Uma caracterização dos

alunos ingressos nos cursos

de Engenharia Química e

Engenharia de Materiais na

UFSCar no ano de 2009.

UMA PRIMEIRA DEFINIÇÃO:

POPULAÇÃO:

Conjunto de indivíduos ou objetos os quais o pesquisador temConjunto de indivíduos ou objetos os quais o pesquisador tem

interesse, que apresentam relevância para a investigação de

hipótese em estudo. Podemos ainda dizer que a população é

formada por todos os valores possíveis de serem observados

numa dada situação. No caso de estudos experimentais, o alvo

é sempre uma dada população.

UMA PRIMEIRA DEFINIÇÃO:

POPULAÇÃO:População Finita

Duas Possíveis Situações:

População Infinita

POPULAÇÃO: Como coletar

informações (dados)

CENSOResultados

Conclusivos

Duas Possíveis Situações:

AMOSTRAInferência

Estatística

AANÁLISENÁLISE EESTATÍSTICASTATÍSTICA::

O processo de organização, processamento,

sumarização e retirada de conclusões sobre um

determinado conjunto de dados (amostra) é

chamado de análise estatística.

AANÁLISENÁLISE EESTATÍSTICASTATÍSTICA:: RESUMORESUMO

SSEGUNDOEGUNDO PPASSOASSO:: Quais as informações disponíveis?

INFORMAÇÃO NUMÉRICA:

Um conjunto de dados estatísticos consiste de uma ou

mais medidas, escores ou valores observados (coletados) demais medidas, escores ou valores observados (coletados) de

certo número de indivíduos, objetos, ensaios, experimentos,

ASPECTO BÁSICO DA INFORMAÇÃO:

A análise estatística de um conjunto de dados só faz

sentido quando existir “variabilidade” nos valores observados,sentido quando existir “variabilidade” nos valores observados,

ou seja, os valores devem apresentar diferenças nas diferentes

unidades de observação utilizadas. A não existência de

variabilidade entre os valores observados torna

desnecessária a utilização de qualquer método estatístico.

ASPECTO BÁSICO DA INFORMAÇÃO:

A análise estatística de um conjunto de dados só faz

sentido quando existir “variabilidade” nos valores observados,sentido quando existir “variabilidade” nos valores observados,

ou seja, os valores devem apresentar diferenças nas diferentes

unidades de observação utilizadas. A não existência de

variabilidade entre os valores observados torna

desnecessária a utilização de qualquer método estatístico.

SSEGUNDOEGUNDO PPASSOASSO:: Quais as informações disponíveis?V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9

1 1005138 1 132 17 1 2 8.5 120.5

2 1006231 2 132 17 1 1 11 134

3 1006258 2 132 18 1 2 11 135.5

4 1014137 2 132 26 4 2 14.5 135

5 1020099 1 132 19 2 1 7.5 101.5

6 1023144 1 132 17 1 9 10 125.5

7 1024086 1 133 18 1 7 10 122.5

8 1032739 2 132 17 1 4 12 130

9 1034189 2 132 16 1 3 15 130.5

10 1036173 2 133 18 1 1 11 127.5

11 1039024 1 132 19 2 1 16 13611 1039024 1 132 19 2 1 16 136

12 1040740 1 133 19 2 3 10.5 104.5

13 1041509 1 132 17 1 2 11 135.5

14 1044400 1 132 18 1 2 14 130.5

15 1044966 1 133 18 1 1 13 126

16 1045377 1 133 19 2 1 13.5 140

17 1045601 1 132 18 1 1 13.5 137

18 1046535 1 133 19 2 2 11.5 127.5

19 1054244 2 133 20 2 1 15 140.5

20 1057820 2 133 20 2 1 14 130

….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

150 1294326 2 132 18 1 2 10.5 114

151 1297325 1 133 19 2 1 12 111.5

152 1298445 1 132 17 1 3 14 131

153 1299492 1 133 17 1 2 11 123

154 1299638 1 133 20 2 2 13.5 122

155 1302400 1 132 17 1 6 11 127

156 1303082 1 132 18 1 1 11 137.5

157 1304127 1 133 22 3 1 11.5 134

158 1307100 1 133 18 1 7 7 116

159 1308246 1 132 1 1 16.5 134

160 1308335 1 132 18 1 2 10.5 130.5

11ºº SSEMESTREEMESTRE DEDE 2010 2010 –– PPROFAROFA. E. ESTELASTELA MMARISARIS P. P. BBERETAERETA

V1: Identificador

V2: Número de Inscrição;

V3: Sexo;V3: Sexo;

V4: Curso;

V5: Idade;

V6: Faixa Etária;

V7: Chamada Que foi Efetuada a Matricula;

V8: Pontos na Prova de Matemática;

V9: Total Geral de Pontos (Não Ponderados)

Quais as informações disponíveis?

V1: Identificador

V3: Sexo;

As informações obtidas tem

as mesmas características ouV4: Curso;

V5: Idade;

V6: Faixa Etária;

as mesmas características ou

propriedades?

V1: Identificador

V3: Sexo;

V4: Curso;

V5: Idade;

TIPOSTIPOS DEDE VARIÁVEISVARIÁVEIS::

VVARIÁVEISARIÁVEIS QQUALITATIVASUALITATIVAS::

Denominamos variáveisqualitativas ( ou categóricas)aquelas medidasV5: Idade;

V6: Faixa Etária;

aquelas medidas(características) observadasna amostra que apenasidentificam a unidade deobservação. Em outraspalavras, uma variávelcategórica identifica umatributo, classe,qualidade,..., da unidade deobservação.

V1: Identificador

V3: Sexo;

V4: Curso;

V5: Idade;

VVARIÁVEISARIÁVEIS QQUALITATIVASUALITATIVAS::

QQUALITATIVASUALITATIVAS NNOMINAISOMINAIS::Apenas identificam umatributo à unidadeV5: Idade;

V6: Faixa Etária;

atributo à unidadeexperimental sem qualqueroutra propriedade

QQUALITATIVASUALITATIVAS OORDINAISRDINAIS::Identificam um atributoque estabelece umaestrutura de ordem nasunidades de observação

V1: Identificador

V3: Sexo;

V4: Curso;

V5: Idade;

VVARIÁVEISARIÁVEIS QQUANTITATIVASUANTITATIVAS

QQUANTITATIVASUANTITATIVAS DDISCRETASISCRETAS::

Podem assumir umconjunto finito ou

V5: Idade;

V6: Faixa Etária;

conjunto finito ouenumerável de valores.

QQUANTITATIVASUANTITATIVAS CCONTINUASONTINUAS::

Podem assumir infinitosvalores num intervalo denúmeros reais.

RESUMO:RESUMO:

OBSERVAÇÕES:OBSERVAÇÕES:

1. Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para

organizar e resumir a informação, embora em muitos casos se

verifique as técnicas usadas em um caso podem serverifique as técnicas usadas em um caso podem ser

adaptadas para outros.

2. Uma variável quantitativa pode ser categorizada, porém a

recíproca não é possível. É importante, porém considerar a

PERDA DE INFORMAÇÃO que ocorre nesses casos.

IDADE X FAIXA ETÁRIA

APRESENTAÇÃO DOS DADOS:APRESENTAÇÃO DOS DADOS:V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9

1 1005138 1 132 17 1 2 8.5 120.5

2 1006231 2 132 17 1 1 11 134

3 1006258 2 132 18 1 2 11 135.5

4 1014137 2 132 26 4 2 14.5 135

5 1020099 1 132 19 2 1 7.5 101.5

6 1023144 1 132 17 1 9 10 125.5

7 1024086 1 133 18 1 7 10 122.5

8 1032739 2 132 17 1 4 12 130

9 1034189 2 132 16 1 3 15 130.5

10 1036173 2 133 18 1 1 11 127.5

11 1039024 1 132 19 2 1 16 13611 1039024 1 132 19 2 1 16 136

12 1040740 1 133 19 2 3 10.5 104.5

13 1041509 1 132 17 1 2 11 135.5

14 1044400 1 132 18 1 2 14 130.5

15 1044966 1 133 18 1 1 13 126

16 1045377 1 133 19 2 1 13.5 140

17 1045601 1 132 18 1 1 13.5 137

18 1046535 1 133 19 2 2 11.5 127.5

19 1054244 2 133 20 2 1 15 140.5

20 1057820 2 133 20 2 1 14 130

….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

150 1294326 2 132 18 1 2 10.5 114

151 1297325 1 133 19 2 1 12 111.5

152 1298445 1 132 17 1 3 14 131

153 1299492 1 133 17 1 2 11 123

154 1299638 1 133 20 2 2 13.5 122

155 1302400 1 132 17 1 6 11 127

156 1303082 1 132 18 1 1 11 137.5

157 1304127 1 133 22 3 1 11.5 134

158 1307100 1 133 18 1 7 7 116

159 1308246 1 132 1 1 16.5 134

160 1308335 1 132 18 1 2 10.5 130.5

APRESENTAÇÃO DOS DADOS: APRESENTAÇÃO DOS DADOS: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIASDISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS

OBJETIVO:

Apresentar valores que uma variável assume nos dadosApresentar valores que uma variável assume nos dados

observados bem como a freqüência com que cada um ocorre.

Freqüência FreqüênciaPercentual

Masculino 108 67.50Masculino 108 67.50

Feminino 52 32.50

Sendo:

Freqüência: fi = freqüência do i-ésimo valor

Freqüência Percentual : pi = freqüência percentual do i-ésimo

valor ⇒⇒⇒⇒

Idade do Candidato

Idade Freqüência FreqüênciaPercentual

FreqüênciaAcumulada

FreqüênciaPercentualAcumulada

16 1 0.63 1 0.63

Duas informações adicionais:

Freqüência Acumulada:Fi = freqüência acumulada até o i-

ésimo valor, ou seja, número de17 35 22.01 36 22.64

18 67 42.14 103 64.78

19 29 18.24 132 83.02

20 18 11.32 150 94.34

21 1 0.63 151 94.97

22 3 1.89 154 96.86

23 2 1.26 156 98.11

24 1 0.63 157 98.74

26 1 0.63 158 99.37

29 1 0.63 159 100.00

ésimo valor, ou seja, número de

observações até o i-ésimo valor ⇒

Freqüência Percentual Acumulada:Pi= freqüência percentual

acumulada até o i-ésimo valor, ou

seja, percentual de observações até

o i-ésimo valor ⇒

Idade do Candidato

16 1 0.63 1 0.63

Masculino 108 67.5017 35 22.01 36 22.64

18 67 42.14 103 64.78

19 29 18.24 132 83.02

20 18 11.32 150 94.34

21 1 0.63 151 94.97

22 3 1.89 154 96.86

23 2 1.26 156 98.11

24 1 0.63 157 98.74

26 1 0.63 158 99.37

29 1 0.63 159 100.00

Masculino 108 67.50

Feminino 52 32.50

OBSERVAÇÃO:Nos casos de variáveis qualitativasnominais a freqüência acumuladae percentual acumulada não temsentido de interpretação.

Idade do Candidato

16 1 0.63 1 0.63

PROBLEMA:Variáveis quantitativas que assumemmuitos valores, muitos deles combaixas freqüências.

17 35 22.01 36 22.64

18 67 42.14 103 64.78

19 29 18.24 132 83.02

20 18 11.32 150 94.34

21 1 0.63 151 94.97

22 3 1.89 154 96.86

23 2 1.26 156 98.11

24 1 0.63 157 98.74

26 1 0.63 158 99.37

29 1 0.63 159 100.00

CONSEQUËNCIA:Distribuição de freqüências se tornagrande sem uma maior contribuiçãopara a interpretação dos dados.

SOLUÇÃO:Categorização da variável através doestabelecimento de intervalos deacordo com os objetivos do estudo.

Faixa Etária

Até 18 anos 104 65.00 104 65.00

19 a 21 anos 48 30.00 152 95.00

22 a 24 anos 6 3.75 158 98.75

Acima de 24

2 1.25 160 100.00

RECOMENDAÇÃO:

Os intervalos gerados pela categorização devem ter o mesmo

comprimento e/ou aproximadamente mesmas freqüências.

APRESENTAÇÃO DOS DADOS : REPRESENTAÇÃO GRÁFICAAPRESENTAÇÃO DOS DADOS : REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

VARIÁVEIS QUALITATIVAS:

�Gráfico em Barras

�Gráfico de Setores (Gráfico de “Pizza”)

67.5 32.5

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Masculino Feminino

VARIÁVEIS QUANTITATIVAS:

�RAMO E FOLHASStem-and-Leaf Display: V8 Stem-and-leaf of V8 N = 160Leaf Unit = 0,101 2 01 34 4 005

V8:PMat

164 4 0057 5 0559 6 5514 7 0005520 8 05555532 9 00005555555551 10 000000000000555555577 11 00000000000000000055555555(18) 12 00000000000055555565 13 0000000000555555555545 14 000000000000000055555523 15 00000000005555557 16 055552 17 05

�RAMO

� E FOLHAS

Stem-and-leaf of V8 V4 = 132 N = 80Leaf Unit = 0,101 2 01 32 4 0

Stem-and-leaf of V8 V4 = 133N = 80Leaf Unit = 0,10

2 4 054 5 052 4 0

3 5 53 64 7 58 8 555517 9 00555555523 10 00055536 11 0000000005555(10) 12 000000005534 13 000005555524 14 00000000555512 15 00000555 16 05551 17 0

4 5 056 6 5510 7 000512 8 0515 9 00528 10 0000000005555

(13) 11 000000000555539 12 0000555531 13 000005555521 14 000000005511 15 0000055552 16 51 17 5

�DOT PLOT

�HISTOGRAMA

VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: ILUSÃO DOS GRÁFICOS

SUMARIZAÇÃO DOS DADOSSUMARIZAÇÃO DOS DADOS

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS:

Apresenta os dados observados, o que pode também ser considerada

uma sumarização dos mesmos.

O :OBJETIVO:

Obter valores que possam representar cada uma das variáveis em

estudo. Esses valores devem ser representativos dos dados

observados.

TIPOS DE MEDIDAS:

Locação e dispersão dos dados.

MEDIDAS DE LOCAÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRALMEDIDAS DE LOCAÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL

Medidas relacionadas à “posição” dos dados, ou ainda a

valores em torno dos quais os valores observados tendem a se

agrupar. As principais medidas de posição são:

�MODA

�MEDIANA

�QUARTIS, DECIS, PERCENTIS.

�MÉDIA

Definição: Valor (Classe, intervalo..) que ocorre com maior

freqüência.freqüência.

Vantagem: Pode ser obtida para qualquer tipo de variável,

porém, é mais apropriada para dados qualitativos nominais.

MEDIANA:

Definição: Valor que ocupa a posição central num conjunto de

dados ordenados, ou seja, valor para o qual 50% dos valoresdados ordenados, ou seja, valor para o qual 50% dos valores

observados são inferiores e 50% dos valores observados são

superiores a ele.

Condição: Para obtenção da mediana a variável em estudo deve

ser pelo menos qualitativa ordinal.

CÁLCULO DA MEDIANA:

Dados devem ser ordenados.

ÍMPAR

Mediana é o valor que está no centro da série, ou seja o valor

que ocupa a posição (n+1)/2

Número de Observações

que ocupa a posição (n+1)/2

Qualquer valor entre aquelesdois que estão no centro dasérie, ou seja, qualquer valorentre aqueles que ocupam asposições n/2 e (n/2)+1. Valorusual: Média dos valores queocupam a posição (n/2) e(n/2)+1.

CÁLCULO DA MEDIANA:1 1 0.62 2 1.23 3 1.64 4 1.95 5 1.56 6 2.17 7 2.38 8 2.39 9 2.5

10 10 2.8

1 1 0.62 2 1.23 3 1.64 4 1.95 5 1.56 6 2.17 7 2.38 8 2.39 9 2.5

10 10 2.8� n = 25

2.a) Se n for ímpar, a mediana é a

observação de ordem (n+1)/2 da

lista ordenada.

10 10 2.811 11 2.912 3.313 3.414 1 3.615 2 3.716 3 3.817 4 3.918 5 4.119 6 4.220 7 4.521 8 4.722 9 4.923 10 5.324 11 5.6

n = 24 �

n/2 = 12aObservação ordenada

Mediana = (3.3+3.4) /2 = 3.35

2.b) Se n for par, a mediana é a

media das duas observações centrais.

10 10 2.811 11 2.912 12 3.313 3.414 1 3.615 2 3.716 3 3.817 4 3.918 5 4.119 6 4.220 7 4.521 8 4.722 9 4.923 10 5.324 11 5.625 12 6.1

� n = 25

(n+1)/2 = 26/2 = 13a Observação ordenada

Mediana = 3.4

QUARTIS, DECIS, PERCENTIS:

A mediana divide o conjunto de dados em duas partes.

QUARTIS: divide o conjunto de dados em QUATRO partes.

DECIS: divide o conjunto de dados em DEZ partes.

PERCENTIS: divide o conjunto de dados em CEM partes.

MEDIANA, QUARTIS, DECIS, PERCENTIS:

Percentil (50) = mediana ou segundo quartil (Md)

Percentil (25) = primeiro quartil (Q1)

Percentil (75) = terceiro quartil (Q3)

Percentil (10) = primeiro decil

MEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICAMEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA

DEFINIÇÃO: Quociente

da divisão por n da soma

dos valores destas6.69=x

dos valores destas

observações.

INTERPRETAÇÃO: Pontos

de Equilíbrio ou “Centro

de Massa” da distribuição

da distribuição dos dados.

CONDIÇÃO:Dados Quantitativos.

MEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICAMEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA

DEFINIÇÃO: Quociente da divisão por n da soma dos valores

destas observações.

Seja x1, x2, x3, .....xn os valores de uma variável observada na

amostra.amostra.

MEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA :: PROPRIEDADESPROPRIEDADESMEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA :: PROPRIEDADESPROPRIEDADES

1. Se x1=x2=x3=......=xn= a então:

A média de uma constante é a própria constante.

2. Se a todo valor observado é adicionado uma constante “a”,

então:

Se adicionamos uma mesma constante a todaobservação, a média também fica adicionada destevalor

3. Se a todo valor observado é multiplicado por uma constante

“a”, então

Se multiplicamos toda observação por uma mesmaconstante, a média também fica multiplicada destevalor

4. A soma dos desvios em torno da média é zero:

Conseqüência imediata do fato da média ser oponto de equilíbrio da distribuição.

MEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA :: OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕESMEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA :: OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES

1. Outros tipos de médias são conhecidos tais como: média

ponderada, média harmônica, média geométrica, médiaponderada, média harmônica, média geométrica, média

aparada. Cada uma destas médias tem sua utilizada e

aplicações específicas e podem ser encontradas na grande

maioria de textos de Estatística Básica.

MEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA :: OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕESMEDIAMEDIA ARITIMÉTICAARITIMÉTICA :: OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES

2. O impacto de outros fatores no cálculo de uma medida de

locação:Aqui a forma da distribuiçãoda altura de plantas éaparentemente irregular .aparentemente irregular .Por quê?

Temos neste conjunto de

dados mais do que uma

espécie de plantas ou

fenótipo?

Para estes dados uma medida resumo única não faz sentido .

COMPARANDO MEDIDAS DE LOCAÇÃOCOMPARANDO MEDIDAS DE LOCAÇÃOCOMPARANDO MEDIDAS DE LOCAÇÃOCOMPARANDO MEDIDAS DE LOCAÇÃO

Onde é possível obter cada medida:

MODAEstatísticas de de Ordem(*) Média

• Qualquer tipo de Variável

• Variável no mínimo em escala ordinal

• Variáveis Quantitativas

(*) Estatística de Ordem: Mediana, Quartis, Decis, Percentis

COMPARANDOCOMPARANDO MEDIDASMEDIDAS DEDE LOCAÇÃOLOCAÇÃOCOMPARANDOCOMPARANDO MEDIDASMEDIDAS DEDE LOCAÇÃOLOCAÇÃO

Uma forma de comparação:

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO::

Uma variável é dita ter comportamento (ou distribuição)

assimétrica quando os seus valores estão mais concentrados em

um dos seus extremos (valores altos ou baixos). As possíveis

situações de assimetria e simetria são derivadas do

comportamento dos valores da média, mediana e moda

COMPARANDOCOMPARANDO MEDIDASMEDIDAS DEDE LOCAÇÃOLOCAÇÃOCOMPARANDOCOMPARANDO MEDIDASMEDIDAS DEDE LOCAÇÃOLOCAÇÃO

Doença X:

Média e mediana de uma distribuição simétrica

Média e mediana são iguais.

Doença X5.2

Distribuição assimétrica à direita

A média é puxada emdireçào à assimetria.

O impacto da presença de valores atípicos (outliers):

DEFINIÇÃO: Entende-se por valores atípicos (ou

outliers) valores que se afastam do padrão geral da

distribuição de dados observada.

A média é puxada para a

direita pelos outliers. Eladireita pelos outliers. Ela

passa de 3.4 para 4.2.

Por outro lado, a mediana,

é alterada suavemente para

a direita pelos outliers

passando de 3.4 para 3.6.

Conclusão:

A MEDIANA é uma medida mais ROBUSTA do que a MÉDIA

DEFINIÇÃO:

Uma medida é dita ser ROBUSTA se o seu valor não é

impactado pela presença de valores atípicos no conjuntos

de dados observados.

QUESTÃO: Como identificar valores atípicos?

Na análise de uma variável de interesse em qualquer estudo, não é

suficiente para descrever de modo satisfatório, observar apenas uma

medida de posição. Podemos facilmente encontrar variáveis que

MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃO

apresentam o mesmo valor para uma medida de locação (média, por

exemplo), porém com dados apresentando comportamentos

completamente diferentes. Esses diferentes comportamentos são

conseqüência de dados com diferentes graus de dispersão.

OBJETIVO:

Verificar o quanto os

valores observados estão

MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃO

valores observados estão

“dispersos”, ou ainda o

quanto “variam” os

dados.

AMPLITUDE:AMPLITUDE:

Definição: Diferença entre o maior e o menor valor

observado nos dados observados.

MEDIDAS DE DISPERSÃO : MEDIDAS DE DISPERSÃO : ALGUMAS MEDIDASALGUMAS MEDIDAS

Notação:

Seja X(n) = maior valor observado para a variável na amostra;

Seja X(1) = menor valor observado para a variável na amostra;

Amplitude = A = X(n) – X(1)

AMPLITUDE:AMPLITUDE:

OBSERVAÇÕES:

1. Medida sujeita a influencia da presença de valores extremos.1. Medida sujeita a influencia da presença de valores extremos.

2. O aumento do número de observações na amostra não

produz qualquer mudança no valor dado pela amplitude.

DIFERENÇADIFERENÇA DEDE QUARTISQUARTIS::

Definição: Valor dado pela diferença entre os valores que

definem os 50% dos valores centrais observados.

Notação:

Seja Q(1) = 1º quartil dos dados observados (25% das observações na

amostra);

Seja Q(3) = 3º quartil dos dados observados (75% das observações na

amostra);

Logo Q(3) – Q1) contém 50% das observações e, consequentemente

Diferença de Quartis = DQ = Q(3) – Q(1)

DQ = Q(3) – Q(1) DQ = Q(3) – Q(1)

= 4.35 – 2.2 = 2.15

VARIÂNCIAVARIÂNCIA EE DESVIODESVIO PADRÃOPADRÃO::

Definição: A VARIÂNCIA é uma medida de variabilidade dos

dados em torno da média, ou seja, ela quantifica a variabilidade

ou o espalhamento ao redor do valor médio.

VARIÂNCIA VARIÂNCIA –– DESVIO PADRÃODESVIO PADRÃO

VARIÂNCIAVARIÂNCIA EE DESVIODESVIO PADRÃOPADRÃO::

É natural procurar uma medida de dispersão que dependa dos

desvios de cada observação em relação à média (xi – ), e é

razoável considerar a soma de todos estes desvios. Quanto maior

forem os desvios, maior será a variabilidade presente nos dados.

Problema:

A soma dos desvios em torno da média é zero:

ALTERNATIVA:

Soma dos quadrados dos desvios em relação à média.

1)( xxi

i−∑

=IMPORTANTE:Considerar o nº de observações, pois quanto maior o nº de

observações maior será o valor deste somatório

Por que (n-1)?

1. Quando dividimos por n-1 temos que S2 é um estimador não

viciado, importante propriedade da inferência estatística:viciado, importante propriedade da inferência estatística:

1. Se a amostra é grande, os valores obtidos dividindo por n ou n-1

são praticamente iguais.

1. A variância de uma constante é zero, isto é, xi = a, para todo

i= 1, 2,..,n então S2=0.i= 1, 2,..,n então S2=0.

2. Se multiplicarmos cada valor da variável por uma constante

a, a variância será a variância da variável original

multiplicada por a2, isto é:

Se y = a X então Var(y) = Var (a x)= a2 Var(x).

3. Se somarmos ou subtrairmos de cada valor da variável uma

constante a, a variância não se altera.

Seja y = X + a, então Var(y) = Var (x + a)= Var(x).

4. Se dividirmos cada valor da variável por uma constante a, a

variância será a variância da variável original dividida por a2.

Seja então Var(y) = Var ( )= Var(x).

A variância S2 tem como unidade de medida o quadrado

da escala original da variável em estudo.

Como relacionar a medida de variabilidade com a variável

na sua escala original??

Extrair a raiz quadrada da variância S2 dando origem ao

DESVIO PADRÃO S:

1. S mede a dispersão em torno da média e só deve ser

calculado quando a média é tomada como medida de

locação.

2. S ≥≥≥≥ 0. Logo, quanto maior a dispersão em torno da média,

maior o valor do desvio padrão, ou maior valor de S.

3. Além das medidas de dispersão aqui apresentadas, algumas

outras são encontradas na literatura, como por exemplo, as

medidas de achatamento (também ditas de curtose).

MEDIDA DE DISPERSÃO RELATIVAMEDIDA DE DISPERSÃO RELATIVA

1. Como comparar a variabilidade de variáveis observadas com

diferentes unidades de medidas??

Uso de medidas de dispersão (variabilidade) relativa:

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

1. O coeficiente de variação (CV) é adimensional;

2. É uma medida para a homogeneidade do conjunto de

dados. Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto

de dados.

CV:CV:CV:CV:

Baixo - (inferior a 0,10);

Médio - (de 0,10 a 0,25);

Alto - (0,25 a 0,35);

Muito Alto - (≥≥≥≥0,35).

RREPRESENTAÇÃOEPRESENTAÇÃO GGRÁFICARÁFICA CCONJUNTAONJUNTA DEDE

MMEDIDASEDIDAS DEDE LLOCAÇÃOOCAÇÃO EE DEDE DDISPERSÃOISPERSÃO::

OBJETIVOOBJETIVO::

Estabelecer uma representação gráfica conjunta de medidas de

locação e dispersão através da qual seja possível verificar o

comportamento da variável em ambos os aspectos.

PropostaProposta::

ESQUEMAESQUEMA 55 NÚMEROSNÚMEROS::

PropostaProposta::

Identificar 5 valores dentre o conjunto de n observados que

possa dar condições de se ter uma idéia geral do

comportamento geral das observações.

TUKEYTUKEY ((19711971))::

�Mediana

�Valor Maximo (X(n)) e Valor Mínimo (X(1))

�1º e 3º Quartis

OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO::

Alguns outros autores e softwares propõem o uso de média e desvio

padrão no lugar de mediana e quartis. Tukey justifica o uso de

mediana e quartis dado que as mesmas são medidas de locação e

dispersão que não são influenciadas pela presença de valores

extremos no conjunto de dados.

DESENHODESENHO ESQUEMÁTICOESQUEMÁTICO –– BOXBOX PLOTPLOT

PROPOSTAPROPOSTA::

Representação gráfica do esquema de 5 números.

DESENHO ESQUEMÁTICO DESENHO ESQUEMÁTICO –– BOX PLOTBOX PLOT

PROPOSTAPROPOSTA::

Representação gráfica do esquema de 5 números.

O Box – Plot é um procedimento que permite identificar em um conjunto de dados:

�Simetria�Simetria

�Dispersão

�Valores Discrepantes

IMPORTANTE:IMPORTANTE:

O Box–Plot, além das aplicações apresentadas, é um

procedimento extremamente importante na comparação de

diferentes grupos (tratamentos) que são observados e, por

exemplo, dentre os quais, deseja-se identificar aquele com

melhor desempenho.

OBSERVAÇÃO FINALOBSERVAÇÃO FINAL

A estratégia para a exploração dos dados de uma única

variável quantitativa deve ser muito clara:

1. Sempre represente seus dados graficamente: faça um gráfico,1. Sempre represente seus dados graficamente: faça um gráfico,

usualmente um histograma ou diagrama de pontos ou boxplot.

2. Procure estabelecer um padrão geral (posição e dispersão) e os

desvios acentuados, tais como: valores atípicos.

3. Calcule um resumo numérico para descrever o centro e a dispersão.

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