introdução à probabilidade. fatorial de um número chama-se fatorial de um número a...

Introduçãoà Probabilidade

Fatorial de um número

Chama-se fatorial de um número amultiplicação deste número comtodos os seus antecessores naturais diferentes de 0 (zero). Representamos o fatorial de um número

n por n! (n-fatorial), que é dado por:

n! = n.(n-1).(n-2). ... . 3.2.1

4! = 4.3.2.1 = 246! = 6.5.4.3.2.1 = 720

!10

!13

!99

!100

a) 5! = b) 3! =c) 8! = d) 7! =

e)

f)

Porcentagem

1000

332

100

2,33

Representado pelo símbolo (%), como o próprio nome já diz, por cento quer dizer divisão por cem. Assim, podemos escrever:

08,0100

88% =

33,2% = = 0,332

10

2

100

2020% = = 0,2

100

2525% = = 0,25

Porcentagem de um número

para obtermos 10% de 1870, fazemos:

100

10100

187001870 x = = 187

Experimento aleatória, espaço amostral e evento

Consideremos o seguinte experimento:“ lançar uma moeda para o alto e observar o resultado”

É possível determinar o resultado?Todo experimento em que não é possível determinar oresultado é chamado experimento aleatório

Quais são os resultados possíveis? Cara ou coroa

Ao conjunto de todas as possibilidades de resultado de um experimento aleatório chamamos de espaço amostral

Quais são os subconjuntos do espaço amostral?

{cara}{coroa}

Ao qualquer subconjunto do espaço amostral chamamos evento.

1) No experimento aleatório de jogarmos duas moedas para o alto, qual seria o espaço amostral do evento, que encontrar após a queda?

2) Jogando um dado para o alto, temos o espaço amostral:U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escreva os eventos abaixo:

a) sair o resultado maior que 4; E = { }

b) sair um número primo; E = { } c) sair um número ímpar; E = { }

Operações com

eventos

d} {c, B A f} e, d, {c, B

d} c, b, {a, A

•a

•b

•d

•c

•f

•e

BA

Interseção()

A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e B.Ex.:

f} e, d, c, b,{a, B A f} e, d, {c, B

d} c, b, {a, A

•f

B•eA

•c

•d

•a

•b

União () A união de dois conjuntos A e B é o conjuntoformado pelos elementos que pertencem a A e a B.Ex.:

b} {a, B -A f} e, d, {c, B

d} c, b, {a, A

BA

•a

•b

•c

•d•f

•e

Diferença

A operação diferença pode ser feita de duas formas:•A – B: conjunto formado pelos elementos exclusivos de A.Ex.

•B – A: conjunto formado pelos elementos exclusivos de BEx.:

f} {e, A -B f} e, d, {c, B

d} c, b, {a, A

BA

a

b

c

d f

e

ABC

e} d, {a, A -BC c} {b, A

e} d, c, b, {a, B AB

A

•a

B

•b •c•d

•e

Complementar

Sejam dois conjuntos A e B sendo que A ⊂ B.

O complementar de A em relação a B é o conjunto B – A.Observações:•O complementar só existe se A for subconjunto de B•Representação: = B – A

Ex.:

ABC

CAC

4 - Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f}; B = {d, e}; C = {b, e, f}, determine:a) A – B =

b)

c) B – C = d) A U B = e) A B =

Probabilidade

Seja U um espaço amostral finito  e equiprovável e A um determinado evento, ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela relação:

n(A) = número de elementos de An(U) = número de elementos do espaço amostral U.

1) Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:a) sair o número 3: 

b) sair um número par

c) sair um número menor do que 3

2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de a soma dos números que saírem dar 8

3) Em uma urna temos 5 bolas brancas e 5 bolaspretas. Considerando que a cada retirada as bolassão repostas, calcule a probabilidade de tirando uma bola, sair a bola branca.

Agora que vimos bastante aplicações referente ao conceito de probabilidade, está na hora de você exercitar seus conhecimentos. 1)Dado o lançamento de dois dados, determine2) a probabilidade de: a)a soma dos números dos dois dar 12; b) a soma dos números dos dois dar 5.

2) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: a)sair bola azul; b) sair bola vermelha;c) sair bola amarela

3) Dado o conjunto U = 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1

determine a probabilidade: a) de num sorteio sair o número 6;b) de num sorteio sair um número par.

Em uma questão típica de múltipla escolha com cinco respostas possíveis, respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada?

Uma Cia de Seguros estudou as causas de morte por acidente doméstico e compilou um arquivo que consistia em 160 mortes causadas por quedas, 120 mortes causadas por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras. Selecionando aleatoriamente um desses casos, qual é a probabilidade de que a morte tenha sido causada porenvenenamento?

Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha exatamente 2 meninos.

2 2,0

Quais dos valores abaixo não podem

ser probabilidades? 0; 0,0001; -0,2; 3/2; 2/3;

;

Em um teste com três questões do tipo V/F, um estudante mal preparado deve responder cada uma aleatoriamente (por palpite).a) Relacione os diferentes resultados possíveis:b) Qual é a probabilidade de responder corretamente todas as três questões?c) Qual é a probabilidade de “palpitar” incorretamente todas as três questões?d) Qual é a probabilidade de passar no teste “palpitando” corretamente ao menos duas questões?