introduÇÃo À Álgebra linear -...

INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEARProf.ª Chiara Maria S. L. Dias

3ª fase

Licenciatura em Matemática

PLANO DE ENSINO:

1. EMENTA:

Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Espaços Vetoriais

2. CARGA HORÁRIA:

60 h/a

PLANO DE ENSINO

3. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1. Matrizes

1.1 Matrizes

1.1.1 Definição de Matriz

1.1.2 Matrizes Usuais

1.2 Operações com Matrizes

1.2.1 Adição

1.2.2 Multiplicação de um Número

Real por uma Matriz

1.2.3 Multiplicação de Matrizes

PLANO DE ENSINO:

1.3.1 Matriz Transposta

1.3.2 Matriz Simétrica

1.3.3 Matriz Inversa

2. Sistemas de Equações Lineares:

2.1 Equações Lineares

2.2 Sistemas Lineares e Solubilidade

2.3 Escalonamento

2.4 Sistemas Lineares Homogêneos

PLANO DE ENSINO

2.5 Resultados sobre Invertibilidade e Resolução de Sistemas

2.6 Discussão de um Sistema Linear

3. Determinantes:

3.1 A Função Determinantes

3.2 Propriedades

3.3 Regra de Sarrus e Laplace

3.4. Regra de Cramer

PLANO DE ENSINO

4. ESPAÇOS VETORIAIS:

4.1 Espaços e Subespaços Vetoriais

4.2 Combinação Linear

4.3 Dependência e Independência Linear

4.4 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial

PLANO DE ENSINO

4. OBJETIVOS:

4.1 RECONHECER OS CONCEITOS CLÁSSICOS EM ÁLGEBRA LINEAR COMO, BEMCOMO, ENTENDER SUAS PROPRIEDADES.

4.2 PROPORCIONAR SUBSÍDIOS PARA O PROSSEGUIMENTO NOS ESTUDOSRELACIONADOS AO CURSO.

PLANO DE ENSINO

5. METODOLOGIA:

OS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS SERÃO ABORDADOS POR MEIO DE

AULAS EXPOSITIVAS E DIALOGADAS COM UTILIZAÇÃO DO QUADRO E PROJETOR.

SERÃO REALIZADAS RESOLUÇÕES DE LISTAS DE EXERCÍCIOS.

PLANO DE ENSINO 5. PROCEDIMENTO DE AVALIAÇÃO:

SERÃO REALIZADAS DUAS AVALIAÇÕES ESCRITAS E UMA ATIVIDADE. SENDO ASSIM,

TEREMOS 03 NOTAS E O RESULTADO SEMESTRAL DO ALUNO SERÁ A MÉDIA ARITMÉTICA

DESTAS TRÊS NOTAS.

1ª NOTA: AVALIAÇÃO ESCRITA NO DIA 26 DE ABRIL DE 2018

2ª NOTA: AVALIAÇÃO ESCRITA NO DIA 14 DE JUNHO DE 2018

3ª NOTA: ATIVIDADE QUE CONSISTE EM AO FINAL DE CADA AULA (ENCONTRO), O

ALUNO DEVERÁ ENTREGAR UM EXERCÍCIO QUE SERÁ SOLICITADO. CADA EXERCÍCIO POR

AULA VALERÁ 1.0 PONTO.

PLANO DE ENSINO

6. BIBLIOGRAFIA BÁSICA:

- ANTON, H. e RORRES, C., Álgebra Linear com Aplicações / Anton Howard e ChisRorres; trad. Claus Ivo Doering. - 8ª Edição – Porto Alegre: Bookman, 2001.

-BOLDRINI, J. L. [Et al]. Álgebra Linear. 3. Ed.. São Paulo: Harper & Row do Brasil,1980.

- CABRAL, M. A. P. e GOLDFELD, P. Curso de Álgebra Linear: Fundamentos eAplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro, 2012;

- STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. Ed. McGraw-Hill. São Paulo,1987.

MATRIZES

Definição: Uma matriz do tipo 𝑚 × 𝑛 com coeficientes reais é toda tabelaretangular constituída por números reais distribuídos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas.

Para identificar a posição ocupada por um número real em uma matriz, podemosindicar cada um de seus elementos por meio de uma representação genérica, comosegue:

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

21

22221

11211

MATRIZESDeste modo, podemos denotar a matriz 𝐴 por (𝑎𝑖𝑗) , o que

significa que o termo 𝑎𝑖𝑗 é uma representação geral de cada

elemento que constitui a matriz 𝐴, onde 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Isto nos diz que 𝑎𝑖𝑗 representa o elemento de 𝐴 que está

localizado na 𝑖-ésima linha e 𝑗-ésima coluna.

Exemplo: 𝐴 =10

Τ3 4

23

−1é uma matriz do tipo 2x3 (lê-se 2

por 3)

Neste exemplo, temos que:

𝑎11 = 1, 𝑎12 = Τ3 4 , 𝑎13 = 3, 𝑎21 = 0, 𝑎22 = 2 e 𝑎23 = −1.

ATIVIDADE 1

Determine a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) do tipo 3x2, na qual

𝑏𝑖𝑗 = 2 + 𝑖 + 𝑗.

ATIVIDADE 2

Apresente a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)4×3, em que:

𝑎𝑖𝑗 = ቊ𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗

𝑗2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗

ATIVIDADE 3 O esquema abaixo apresenta três torres repetidoras de telefonia celular que

permitem a comunicação entre as regiões R1, R2 e R3. O sentido de cada setaindica que a torre de uma região transmite sinal para outra.

Apresente 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 a matriz que descreve as transmissões de sinais

apresentadas no esquema, sendo que:

𝑎𝑖𝑗 = 1 significa que há transmissão de sinal da torre repetidora da

região i para a torre repetidora da região j;

𝑎𝑖𝑗 = 0 significa que não há transmissão de sinal da torre repetidora

da região i para a torre repetidora da região j.

Considere que uma torre repetidora não transmite sinal para ela

mesma.

ATIVIDADE 4

Em um final de semana, registrou-se o número de fregueses que fizeramcompras em uma padaria, bem coo o período (manhã, tarde ou noite) da

visita. Na matriz a seguir, o elemento 𝑎𝑖𝑗 indica o número de fregueses que

foram à padaria no dia 𝑖 e no período 𝑗:

64 90 4282 55 38

ATIVIDADE 5

NOTAÇÃO

MATRIZ QUADRADA

Uma matriz é chamada Matriz Quadrada quando 𝑚 = 𝑛. Neste

caso, dizemos que 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 𝑚.

Exemplo:

205

625

021

C

MATRIZ IDENTIDADEChamamos de Matriz Identidade de ordem 𝑛 a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) cujos elementos são

dados da seguinte maneira:

𝑎𝑖𝑗 = ቊ1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗

Exemplos:

MATRIZ NULA

Chamamos de Matriz Nula a toda matriz cujos coeficientes são todos iguais a zero.

Exemplos:

MATRIZ DIAGONAL

É todo matriz quadrada (𝑚 = 𝑛) onde 𝑎𝑖𝑗 = 0, para 𝑖 ≠ 𝑗,isto é, os elementos que não estão na diagonal principal sãonulos.

Exemplos:

MATRIZ COLUNA

É toda matriz que possui uma única coluna (𝑛 = 1).

Exemplos:

MATRIZ LINHA

É toda matriz que possui uma única linha (𝑚 = 1).

Exemplo:

TRAÇO DE UMA MATRIZ

MATRIZ TRANSPOSTA

MATRIZ SIMÉTRICA E ANTI-SIMÉTRICA

OPERAÇÕES MATRICIAIS

- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO;

- MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR;

- PRODUTO DE MATRIZES

1. ADIÇÃO (OU SOMA) DE MATRIZES

1. ADIÇÃO (OU SOMA) DE MATRIZES

2. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

2. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

3. PRODUTO DE MATRIZES