fenômenos de transporte i - equações básicas na forma integral para um volume de controle
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Universidade Federal do Pará
Faculdade de Engenharia Química
Mecânica dos Fluidos
Titular - Professor João Nazareno
Assistentes – Clauderino Batista
Edilson Magalhães
Capítulo 2
Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle
Tópicos
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle.
Conservação da Massa.
Conservação da Quantidade de Movimento Linear.
Técnicas Básicas de Análise de Escoamento
Há três modos básicos de atacar um problema de escoamento de um fluido:1 – VOLUME DE CONTROLE ou ANÁLISE INTEGRAL2 – SISTEMA INFINITESIMAL ou ANÁLISE DIFERENCIAL3 – ESTUDO EXPERIMENTAL ou ANÁLISE DIMENSIONAL
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
A Segunda Lei de Newton
Sistema
dPF
dt
Q W dE
dQ dW dE
dt dt dt
A 1 ° Lei da Termodinâmica
O Princípio da Quantidade de Movimento Angular
Sistema
d HT
dt
A 2 ° Lei da Termodinâmica
.1ds Q
T
.
Sistema
dS Q
dt T
0Sistema
dm
dt
Conservação da Massa
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
Em cada ponto
Análise do Movimento:
Região finita (Volume de Controle)
Importância de se fazer uma análise de Volume de Controle:
Falta de ferramentas matemáticas e a incapacidade dos computadores(Análise
Diferencial)
Falta de tempo, dinheiro, e generalidades fazem da experimentação também
limitada.
Na análise integral e diferencial, essas cinco relações são modeladasmatematicamente e solucionadas por métodos computacionais. Em um estudoexperimental, o próprio fluido desempenha essa tarefa sem uso de qualquermatemática. Em outras palavras, acredita-se que essas leis sejam fundamentais paraa Física e não se conhece escoamento de fluido que as infrinja.
SISTEMA: é uma quantidade fixa e identificável.
VOLUME DE CONTROLE: é uma região finita, cuidadosamente escolhida porum analista, com contornos abertos pelos quais se permite que massa, quantidade demovimento e energia se cruzem. O analista faz um balanço ou equilíbrio entre ofluido.
SISTEMA INFINITESIMAL: Quando as leis de conservação são escritas para umsistema infinitesimal de um fluido em movimento, elas se tornam as equaçõesdiferenciais básicas do escoamento do fluido. Para aplicá-las a um problemaespecífico, deve-se ‘integrar’ essas equações matematicamente sujeitas às condiçõesde contorno do problema particular.
Exemplos de Volumes de Controles
Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
Vetor unitário nornal
Vazão mássica
Fluxo de saída (Vetor positivo)
V. n
Fluxo de entrada (Vetor negativo)
Extensiva
Propriedades Extensiva : são as propriedades de um sistema que dependem de seu
tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Podem ser divididas. Ex:
massa, volume, entropia, energia, resistência elétrica, textura, calor.
Propriedades Intensiva: são as propriedades de um sistema que não dependem de
seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Ex: pressão, temperatura,
viscosidade, densidade, resistividade elétrica, ponto de fusão, ponto de ebulição, cor
(em solução),
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Quantidade total de B
no volume de controle Grandeza intensiva
correpondente
Elemento de massa
Objetivo: Relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva
arbitrária, B, do sistema com quantidade associadas com o volume de controle
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Unidimensional
sist
dB
dt
.d V
AVdt
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
.d V
AVdt
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Taxa de
variação de
B dentro do
V.C
Fluxo de B
para fora,
através da
superfície de
controle
Fluxo de B
para dentro,
através da
superfície de
controle
sist
dB
dt
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Arbitrário:
- Em cada elemento de
área haverá uma
velocidade diferente,
formando um ângulo
diferente com a normal
local a dA.
- Haverá fluxo de
volume de entrada e
saída.
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Arbitrário:
Em termos de fluxo (1): V.Cos θ = Vn e dm/dt = ρ Vn.dA
Em termos de fluxo (2): n→ vetor normal para fora
Vn = V . n e V . n = -V.n
Forma compacta do
Teorema de Transporte de
Reynolds
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle movendo-se a velocidade constante:
Velocidade relativa Vr = V - Vs velocidade do V.C observado
Velocidade do fluido com relação ao mesmo referencial no qual o movimento Vs
Volume de Controle de forma constante mas movendo-se a velocidade variavél:
Vr = V (r , t) - Vs ( t )
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle com movimento e deformação arbitrários
Vr (r , t) = V (r , t) - Vs (r , t)
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Aproximações Unidimensionais para termos de fluxo:
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle
Exemplo 1
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle
Exemplo 1
Conservação da Massa
Para a conservação da massa: B = m e β = dm/dm = 1
V.C deformável
V.C fixo
Para um certo número de entradas
Escoamento permanente
Fluxos de saída = Fluxos de entrada
Conservação da Massa
Escoamento Incompressível.
Todos os líquidos são praticamente incompressíveis, e escoamentos de gases podem se
comportar como se fossem incompressíveis, em particular se a velocidade do gás for menor
que 30% da velocidade do som no gás.
Se V.C for fixo,entrada e saídas são unidimensionais :
V.C fixo
Se não são unidimensionais : velocidade média baseada no volume
0
Conservação da Massa
Escoamento Incompressível.
Se a densidade varia através da seção:
Conservação da Massa
Exemplo 3
Conservação da Massa
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 5
A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Para a Quantidade de Movimento Linear: B = mV e β = dB/dm = V
V.C deformavél
V→ é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial (não-alterado).
∑ → é a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de controle material,
considerando com um corpo livre; ou seja, ele inclui as forças de superfície sobre todos os
fluidos e sólidos cortados pela superfície de controle,mais todas as forças de
campo(gravitacional e eletromagnética) atuando sobre as massas no interior do volume de
controle.
A equação como um todo é uma relação vetorial;
V.C fixo
É interessante observar que a equação acima é uma relação vetorial e que V deve ser
uma velocidade em relação a um referencial inercial.
A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Fluxo de quantidade de movimento unidimensional.
Por analogia com a expressão do fluxo de massa, a equação abaixo é chamado de Fluxo de
Quantidade de Movimento:
Negativo → fluxo de quantidade de movimento é para dentro.
Positivo → fluxo de quantidade de movimento é para fora.
Se seção transversal é unidimensional,V e ρ são uniformes sobre a área;
Se o V.C possui apenas entradas e saídas unidimensionais;
O vetor da força resultante sobre um volume de fixo é igual à a taxa de variação da
quantidade de movimento dentro do volume de controle mais a soma vetorial dos fluxos de
quantidade de movimento de saída menos a soma vetorial dos fluxo de entrada.
A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Força de Pressão resultante sobre uma superfície de controle fechada.
As forças de superfície sobre um volume de controle devem-se a (1): forças expostas pelos
cortes através dos corpos sólidos que se prolongam pela superfície e (2): forças devidas às
pressões e tensões viscosas do fluido circundante.
A Equação da Quantidade de Movimento Linear Fator de correção do fluxo de quantidade de movimento.
Para um duto, geralmente a velocidade axial não é uniforme.O calculo simplificado do
fluxo da quantidade de movimento:
É relativamente impreciso e precisa ser corrigido por onde β é um fator adimensional
de correção de fluxo de quantidade de movimento, β 1.
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