ensino superior matemática básica unidade 7 – funções exponencial amintas paiva afonso
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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 7 – Funções Exponencial
Amintas Paiva Afonso
Função ExponencialFunção Exponencial
DefiniçãoDefinição
DomínioDomínio ImagemImagem
Função ExponencialFunção Exponencial
x
1234... ..x
Representação GráficaRepresentação Gráfica
Função ExponencialFunção Exponencial
Representação GráficaRepresentação Gráfica
Função ExponencialFunção Exponencial
Função ExponencialFunção Exponencial
Representação GráficaRepresentação Gráfica
1x
1,5x2x4x10x0,25x
0,5x
Equação ExponencialEquação Exponencial
Equação ExponencialEquação Exponencial
Equação ExponencialEquação Exponencial
Equação ExponencialEquação Exponencial
Inequação ExponencialInequação Exponencial
Inequação ExponencialInequação Exponencial
Inequação ExponencialInequação Exponencial
Inequação ExponencialInequação Exponencial
– – – – – –+ ++ ++ ++ +
Inequação ExponencialInequação Exponencial
Verificação se 0 ou 1 Verificação se 0 ou 1 são soluçõessão soluções
FFVV
Inequação ExponencialInequação Exponencial
– – – – – –+ ++ ++ ++ +
ComoComo
Supondo que Supondo que
Inequação ExponencialInequação Exponencial
Supondo que Supondo que
– – – – – –+ ++ ++ ++ +
ComoComo
Inequação ExponencialInequação Exponencial
Solução da inequação seráSolução da inequação será
Exemplo 1Exemplo 1
Uma aplicação da função exponencial – 1.º ExemploConsidere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Suponha que colhendo amostras da população em certos intervalos de tempo fique determinado que a população dobra a cada uma hora. Se o número de bactérias no instante t for p(t), onde t é medido em horas, e a população inicial for de p(0) = 1000 bactérias, então:
Após 1h p(1) = 2.p(0) = 2.1000 = 2000;
Após 2h p(2) = 2.p(1) = 2.2.1000 = 22.1000 = 4000;
Após 3h p(3) = 2.p(2) = 2.22.1000 = 23.1000 = 8000;
Após th p(t) = 2.p(t-1) = .... = 2t.1000 = 2t.1000.
Exemplo 1Exemplo 1
Portanto, a função exponencial para este caso é definida por:
p(t) = 2t.1000. Assim, se quisermos saber de quanto será a população de
bactérias após 10 horas, basta substituir 10 na equação:
p(10) = 210.1000 = 1024.1000 = 1.024.000 bactérias. Por outro lado, se a pergunta for: quanto tempo levará para a
população de bactérias chegar 128.000? Basta substituir p(t) por 128.000 e encontrar o valor de t.
128.000 = 2t.1000 128.000/1000 = 2t 27 = 2t,
portanto, t = 7 horas.
Exemplo 2Exemplo 2
A importância do número “e” Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há
uma que é mais conveniente. Essa escolha leva em conta o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico da função exponencial. O que desejamos é um coeficiente angular exatamente m = 1, pois
facilitaria muito cálculos futuros. Para obtermos um coeficiente angular m = 1 para a reta tangente
à função exponencial, a base mais conveniente é o número “e”. O gráfico da função y = ex fica entre os gráficos das funções y = 2x
e y = 3x.
Exemplo 2Exemplo 2
Gráfico de y = ex
Coeficiente angular: m = 1
Exemplo 2Exemplo 2
Quem é “e”?
Empréstimo de R$ 800,00 para pagar depois de 3 meses, à taxa de 5% am.
tempo (meses)
Montante (R$)
1
y = 800 (1,05)t
y = 800 (1 + 0,05 . t)
2 3
882880
920
840
800
926
Exemplo 3Exemplo 3
Exemplo 4Exemplo 4
Crescimento da Indústria do turismo nos últimos 50 anos.
tempo (ano)
Turis
tas
inte
rnac
iona
is(e
m m
ilhõe
s)
60 65 70
360
480
240
120
75 80 85 90 95
y = ax
a > 1
Exemplo 5Exemplo 5
Crescimento da população brasileira nos últimos 35 anos.
tempo (ano)
Popu
laçã
o br
asile
ira(e
m m
ilhõe
s)
70 80 90
169,1
185
166,1
90
99
y = 90 000 000 (1,018)t
05
y = k.ax
a > 1
Exemplo 6Exemplo 6
Depreciação de 15%, a cada ano, de um veículo com valor de R$ 35 000,00.
tempo (ano)
Valo
r do
veíc
ulo
(R$)
1 2 3
29 750
35 000
25 287
21 494
y = 35 000 (0,85)t
y = k.ax
0 < a 1
Proposta de Atividades PráticasProposta de Atividades Práticas
A empresa e o lucro L(t) = 3000 (1,5)t
A população de uma cidade P = P0.ei.n
A planta cresce A = 40 (1,1)t
A máquina desvaloriza D = K (0,8)t
O líquido e seu PH O terremoto e a escala Richter A escala temperada da música e Bach
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