eng04404 - ondas eletromagnéticas - lista de exercícios de...

Disciplina  ENG04404  –  Ondas  Eletromagnéticas   Versão:  21  de  março  de  2012  1  

SERVIÇO  PÚBLICO  FEDERAL  MINISTÉRIO  DA  EDUCAÇÃO  

UNIVERSIDADE  FEDERAL  DO  RIO  GRANDE  DO  SUL  

LISTA  DE  EXERCÍCIOS  DE  REVISÃO  

Problemas  

1)  Sendo  𝐀  e  𝐁  dois  vetores  arbitrários  no  espaço  𝐑𝟑,  determine  (a)  o  produto  escalar  𝐀 ∙ 𝐁  entre  ambos  os  vetores   anteriormente   mencionados.   Se   a   base   adotada   na   representação   dos   vetores   previamente  especificados   é   do   tipo   ortonormal,   (b)   a   qual   expressão   se   reduz   aquela   obtida   no   item   (a)?   Adote   a  notação  envolvendo  somatórios  na  descrição  de  ambos  os  vetores.  Por  somatórios,  um  vetor  𝐂  é  expresso  por  𝐂 = 𝐶!𝐞!! ,  sendo  𝐶!  e  𝐞!  respectivamente  a  componente  e  o  vetor  da  base  na  direção  𝛼.    

2)  Considere  3  vetores  𝐀,  𝐁  e  𝐂  no  espaço  𝐑𝟑.  Obtenha  (a)  𝐀 ∙ (𝐁 + 𝐂)  e  (b)  𝐀 ∙ 𝐁 + 𝐀 ∙ 𝐂.  Determine  então  (c)  𝐀×(𝐁 + 𝐂)  e  (d)  𝐀×𝐁 + 𝐀×𝐂.  (e)  Com  base  nos  resultados  dos  itens  (a),  (b),  (c)  e  (d),  o  produto  escalar  e  o  produto  vetorial  são  operações  que  satisfazem  a  propriedade  distributiva?  

3)  Considere  2  vetores  𝐀  e  𝐁  no  espaço  𝐑𝟑.  Obtenha  (a)  𝐀 ∙ 𝐁  e  (b)  𝐁 ∙ 𝐀.  Determine  então  (c)  𝐀×𝐁  e  (d)  𝐁×𝐀.   (e)  Com  base  nos  resultados  dos   itens   (a),   (b),   (c)  e   (d),  o  produto  escalar  e  o  produto  vetorial  são  operações  que  satisfazem  a  propriedade  comutativa?  

4)  Considere  2  vetores  𝐀  e  𝐁  no  espaço  𝐑𝟑  e  2  escalares  𝑎  e  𝑏.  Obtenha  (a)  (𝑎𝐀) ∙ (𝑏𝐁)  e   (b)  𝑎𝑏(𝐀 ∙ 𝐁).  Determine  então  (c)  (𝑎𝐀)×(𝑏𝐁)  e  (d)  𝑎𝑏(𝐀×𝐁).  (e)  Com  base  nos  resultados  dos  itens  (a),  (b),  (c)  e  (d),  o  produto  escalar  e  o  produto  vetorial  são  operações  que  satisfazem  a  propriedade  de  multiplicação  por  um  escalar?  

5)  Certo  campo  vetorial  𝐆  é  descrito  no  espaço  e  no  tempo  mediante  a  expressão  𝐆 𝐫, 𝑡 = 𝐆!𝑒!(𝐤∙𝐫±!"),  sendo  𝐫  o  vetor  posição  espacial,  𝑡  o  tempo  e  as  demais  quantidades  não  mencionadas  meras  constantes.  

Sendo  ∇= 𝐞!!! !,!,!!!"    o  operador  gradiente,  determine  (a)  ∇ ∙ 𝐆,  (b)  ∇×𝐆  e  (c)   !

!"𝐆.  

 6)  𝐀,  𝐁  e  𝐂  correspondem  a  3  arbitrários  vetores  no  espaço  𝐑𝟑.  Assim,  (a)  demonstre  a  seguinte  identidade  vetorial   𝐀× 𝐁×𝐂 = 𝐁 𝐀 ∙ 𝐂 − 𝐂(𝐀 ∙ 𝐁).   A   identidade   vetorial   descrita   anteriormente   é   comumente  reconhecida   como   a   Fórmula   de   Lagrange   para   o   triplo   produto   vetorial   de   vetores.   (b)   Se  𝐀 = 𝐁 = ∇,  sendo  ∇  o  operador  gradiente,  a  qual  expressão  se  reduz  aquela  obtida  no  item  (a)?    

7)  𝐀,  𝐁  e  𝐂   correspondem  a  3  arbitrários  vetores  no  espaço  𝐑𝟑.  Assim,  demonstre  a  seguinte   identidade  vetorial  𝐀 ∙ 𝐁×𝐂 = 𝐁 ∙ 𝐂×𝐀 = 𝐂 ∙ (𝐀×𝐁).  A  identidade  vetorial  em  questão  é  comumente  denominada  de   o   triplo   produto   escalar.   (b)   Se  𝐀 = ∇,   sendo  ∇   o   operador   gradiente,   qual   novo   formato   assume   a  expressão  obtida  no  item  (a)?