direções e planos cristalograficos

AULA 04: DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

ESTRUTURA DOS MATERIAIS:ESTRUTURA DOS MATERIAIS:ESTRUTURA DOS MATERIAIS:ESTRUTURA DOS MATERIAIS:

Departamento de Ciências e Engenharia de MateriaisDisciplina: Ciência dos Materiais IProfa Cristiane Xavier Resende

2

POR QUE ESTUDAR DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS?POR QUE ESTUDAR DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS?

Utiliza-se direções cristalográficas para identificaruma orientação específica de um materialmonocristalino ou de um material policristalino, cujosgrão estão preferencialmente orientados.

O FATO DE SABER DESCREVER TAIS DIREÇÕES PODE SER ÚTIL EM VÁRIAS APLICAÇÕES

- Os metais se deformam mais facilmente nas direçõesem que os átomos estão mais compactados;

- Há uma dependência das propriedades magnéticascom as direções cristalográficas; é muito mais fácilmagnetizar o Fe na direção [100] que nas direções[111] e [110];

- As palhetas das turbinas são fabricadas de forma queos cristais estejam orientados em certas direções, afim de apresentarem melhores propriedadesmecânicas.

4

Especificação de Coordenadas de Pontos

c

b

1- Especificar as coorde-nadas das posiçõesdos átomos no CCC.

2- Localizar o ponto com coordenada (1/4,1,1/2)

-------------------------N M

P

(1,1,1)

(0,1,1) (0,0,1)

(1,1,0) (1,0,0)

(0,0,0) (0,1,0)

(1,0,1)

y

x

z

DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICASDIREÇÕES CRISTALOGRÁFICASDIREÇÕES CRISTALOGRÁFICASDIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS

5

CoordenadasCoordenadasCoordenadasCoordenadas dededede PontosPontosPontosPontos

É possível localizar pontos (como posição de átomos, por exemplo) nointerior de uma célula unitária construindo o sistema de coordenadas.A distância é medida em termos do número de parâmetros de rede, ouseja, comprimento das arestas. As coordenadas são expressas comotrês distâncias separadas por vírgulas.

Direção Cristalográfica

é uma linha entre dois pontos ou um vetor.

a

b

c

vxyz

r r r rv xa yb zcxyz = + +

6

Determinação de uma Direção Cristalográfica na Célula Determinação de uma Direção Cristalográfica na Célula Determinação de uma Direção Cristalográfica na Célula Determinação de uma Direção Cristalográfica na Célula Unitária (Índices de Miller)Unitária (Índices de Miller)Unitária (Índices de Miller)Unitária (Índices de Miller)

1) Com um auxílio de um sistema de coordenadas positivamenteorientadas, determine as coordenadas de dois pontos situadosnesta direção;

2) Subtraia as coordenadas do ponto final das coordenadas do pontoinicial a fim de obter o número de parâmetros de redepercorridos na direção de cada eixo do sistema de coordenadas;

3) Elimine frações por meio de divisão/multiplicação dos resultadosda subtração para obter os menores números inteiros possíveis;

4) Coloque os índices entre colchetes [uvw]. Caso haja algum sinalnegativo, represente-o com uma barra sobre o número. Osíndices não são representados por virgulas.

7

021redução a mínimos

inteiros

[120]notação

01projeções em

termos de a,b e c

0 c1 bprojeções

zyx

12

12

a

Projeção sobre o eixo x (a/2)

Projeção sobre o eixo x (a/2)

Projeção sobre o eixo y (b)

Projeção sobre o eixo y (b)

ExemploExemploExemploExemplo 1111:::: DetermineDetermineDetermineDetermine osososos índicesíndicesíndicesíndices dededede MillerMillerMillerMiller paraparaparapara aaaa direçãodireçãodireçãodireção

mostradamostradamostradamostrada....

8

Exemplo 2: Determine os índices de Miller de direção A,B e C da célula unitária abaixo.

X

Y

Z

Direção A[100]

Direção B[111]

Direção C[122]

½,1,0

1,1,1

0,0,1

0,0,0

1,0,0b

c

9

Exemplo 3 : Determine os índices de Miller para as direções da célula unitária cúbica.

B

C

D

[120]

[111]

[211]

10

Exemplo 4 : Determine os índices de Miller para as direções da célula unitária cúbica.

B

CD

A

3/4

[101]

[122]

[434]

[221]

11

Diversos aspectos sobre o uso dos índices de Miller para direções precisam ser observados:

1- Como as direções são vetores, determinada direção e seunegativo não são idênticos- [100] [100]

2- Toda direção e seu múltiplo são idênticos, [100]= [200];

Y

X

Z

[100]

12

Diversos aspectos sobre o uso dos índices de Miller para direções precisam ser observados:

3- Certos grupos de direções são equivalentes. Os grupos dedireções equivalentes são chamados de família de direções.

Y

X

Z

[100] X

Z

Y

[010]

Equivalência das direções cristalográficas em sistemas cúbicos.

Família de Direções ⟨110⟩

[110] [110][101] [101][011] [011][110] [110][101] [101][011] [011]

[110] [110][101] [101][011] [011][110] [110][101] [101][011] [011]

<110> =

13

DIREÇÕES EM CRISTAIS HEXAGONAIS� O sistema de coordenadas empregaquatro eixos ou sistemas coordenados deMiller-Bravais, em vez de três para osistema cúbico;

� Os três eixos a1, a2 e a3 estão todoscontidos dentro de um único plano(chamado de plano de base ou basal), e a120° em relação um ao outro. O eixo Z éperpendicular a base.

� Os índices Bravais serão representadospor quatro índices, no formato [uvtw]; porconvenção, os três primeiros índicesdizem respeito a projeções ao longo dosrespectivos eixos a1, a2 e a3 no plano dabase.

14

]0121[

]0011[

-1 -1

2

-1

1

]1010[

-1 -1 a2

1 1

a1

a3

]0121[

]0011[

-1 -1

2

-1

1

]1010[

-1 -1 a2

1 1

a1

a3

+a1

+c

+a3

+a2 -a2

-a1

-a3

-c

c

a

]2011[

]0112[

]0001[

]0121[

Eixos basais e ilustração do procedimento para estabelecer direções no sistema hexagonal

Principais direções em umacélula unitária hexagonal.

IDENTIFICAÇÃO DE DIREÇÃO NO SISTEMA HC

Sistema de eixos coordenados com escala reduzida

15

Conversão do Sistema com Três Índices para o Sistema com Quatro Índices

É feita mediante o uso das seguintes fórmulas:

OBS: Os índices marcados com “linha”estão associados ao sistema com trêsíndices , e os índices sem linha estãoassociados ao novo sistema com osquatro índices de Miller- Bravais.

Também podemos determinar os índices direcionais para uma célula unitária HEXAGONAL...[2423]

16

IDENTIFICAÇÃO DE DIREÇÃO NO SISTEMA HC

Exercício: A- Converter a direção [111] ao sistema de quatro índices para cristais hexagonais

B- Desenhar essa direção no sistema de coordenadas com escala reduzida

17

IDENTIFICAÇÃO DE DIREÇÃO NO SISTEMA HCExercício: B- Desenhar essa direção no sistema de coordenadas com escala reduzida

[1123]

18

Exemplo 3 : Converta a direção [010] de um sistema cúbico para um sistema hexagonal.

19

- Distância de Repetição (ou distância entre pontos de rede aolongo de certa direção) é outra forma de caracterizar direções.

DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO, DENSIDADE LINEAR E FRAÇÃO DE EMPACOTAMENTO

Ex: Cu que apresenta um parâmetro de rede de 0,36151 nm, a distância de repetição é 0,2556 nm.

20

- Densidade Linear (D.L): é o número de pontos de rede porunidade de comprimento ao longo da direção considerada, ou seja,é o número de átomos, por unidade de comprimento, cujo centrosestão sobre o vetor direção para uma direção cristalográficaespecífica.

No caso do cobre há duas distâncias de repetição ao longo dadireção [110] em cada célula unitária.

DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO, DENSIDADE LINEAR E FRAÇÃO DE EMPACOTAMENTO

D.L = 2 distâncias de repetição/0,51125 nmD.L = 3,91 pontos de rede/nm

√2 ao

OBSERVE QUE A DENSIDADE LINEAR É O INVERSO DA DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO

21

- Fração de Empacotamento de uma direção específica, ou seja,a fração realmente ocupada por átomos também pode serdeterminada.

No caso do cobre há um átomo localizado em cada ponto de rede,esta fração equivale ao produto da densidade linear pelo dobrodo raio atômico. r =a √2 /4= 0,12781 nm

DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO, DENSIDADE LINEAR E FRAÇÃO DE EMPACOTAMENTO

Fração de empacotamento= D.L x 2r

22

PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

23

Determinação dos Planos Cristalográficos

3) Calcule os inversos dessas interseções (h=1/a, k=1/b el=1/c);

1) Identifique os pontos nos quais os planos interceptam ascoordenadas x, y e z em termos do número de parâmetros derede. Se o plano passar pela origem, a origem das coordenadasterá de ser deslocada. Se o plano não intercepta um eixo ele éconsiderado como tendo uma interseção no infinito e, portanto,um índice igual a zero;

4) Elimine as frações, mas sem arredondar para os númerosinteiros mais baixos;

5) Coloque os números resultantes entre parêntese (hkl),expressando os números negativos com uma barrasobreposta. Não utilizar vírgula para separar os índices;

24

Plano (001) com referência à origem no ponto O.

Outros planos (001)equivalentes.

Plano (110) com referência à origem no ponto O.

Outros planos (110) equivalentes

Plano (111) com referência à origem no ponto O.

Outros planos (111) equivalentes.

REPRESENTAÇÕES DE UMA SÉRIE DE PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

25

Plano C (010)

Exemplo 1: Identificar os índices dos planos cristalográficos.

26

Exemplo 2: Identificar os índices dos planos cristalográficos.

Temos que deslocar o plano

Exemplo 3: Determine os índices de Miller para os seguintes planos

(001)(110)

(101)

28

Aspectos importantes dos índices de Miller para os planos

1) Os planos e seus negativos são idênticos ( o que nãoocorre com as direções. Portanto, (100)= (100).

2) Em cada célula unitária, as famílias de planorepresentam grupos de planos equivalentes que têmíndices específicos, devido à orientação dascoordenadas. Representamos esses grupos de planossimilares por meio da notação { }. Assim, as famílias deplanos {hkl} contém os planos (hkl),

3) No caso de sistemas cúbicos, uma direção com osmesmos índices de um plano é perpendicular a esseplano.

)klh( )lkh( )lhk( )lkh( )lkh()lkh( )lkh(

29

Aspectos importantes dos índices de Miller para os planos

4) Os planos e seus múltiplos não são idênticos, aocontrário das direções cristalográficas.

30

(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2) φ

(0,0,0)

rA

rB

r rB A-

r r r rA x a y b z c= + +1 1 1

r r r rB x a y b z c= + +2 2 2

Considerando o produto interno entre os vetores temos a seguinterelação:

A.B

A.Bcos rr

rr

=φ

2/122

22

22

2/121

21

21

212121

)zyx()zyx(

zzyyxxcos

++++++=φ

Determinação do ângulo entre Direções

ou

31

Exemplo 5: Determine o ângulo entre as direções [111] e [110].

y

x

z

[ 1 11]

[1 1 0 ]

y

x

z

[ 1 11]

[1 1 0 ]

6

2

)011()111(

0.11.11.1cos

2/12/1=

++++++=φ

2/122

22

22

2/121

21

21

212121

)()(cos

zyxzyx

zzyyxx

++++++=φ

Logo,Logo,Logo,Logo, oooo valorvalorvalorvalor dededede φφφφ éééé igualigualigualigual aaaa 35353535,,,,2222oooo....

32

ARRANJOS ATÔMICOSARRANJOS ATÔMICOSARRANJOS ATÔMICOSARRANJOS ATÔMICOS

O arranjo atômico para um plano cristalográfico depende da estrutura cristalina.

Célula unitária CFC, mostrando oempacotamento atômico de umplano 110.

(110)

(110)

Célula unitária CCC, mostrando oempacotamento atômico de umplano 110.

33

DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC

• No sistema CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo, que corresponde a família de direções <111>

• Então, a direção [111] é a de maior empacotamento atômico para o sistema CCC

34

• No sistema CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, que corresponde a família de direções <110>

• Então, a direção [110] é a de maior empacotamento atômico para o sistema CFC

DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC

35

Exemplo 9: Calcular a densidade planar para o plano (110) em uma estrutura cristalina CFC.

Dados:Aresta da CFC

22Ra =

área

atomos de n = D

o

planar

36

3636

+a1

+c

+a3

+a2 -a2

-a1

-a3

-c

c

a

]2011[

]0112[

]0001[

]0121[

+a1

+c

+a3

+a2 -a2

-a1

-a3

-c

c

a

]2011[

]0112[

]0001[

]0121[

A estrutura do cádmio à temperatura ambiente é HC. Considerando queseus parâmetros de rede são a=0,2973nm e c=0,5618nm, determine asdensidades atômicas: (a) Na direção , (b) no plano (0001)

]0112[

No de átomos = 2 x 1/2 = 1 átomo

Distância = 0,2973x10-9 m

a

1 =

a21

+ 21

= ocompriment

atomos de n = D

o

linear

mátomosxmx

/1036,3102973,0

1 99

== −

Densidade Linear

37

Estruturas Cristalinas Compactas (HC e CFC)

�O fator de empacotamento atômico da CFC e HC sãoiguais (0,74).� Isto é resultado da natureza dos planos cristalinos queconstituem estas duas estruturas.

O fator de empacotamento atômico consiste na formade empacotamento mais eficiente possível de ser obtidacom esferas ou átomos do mesmo tamanho.

Além das representações das células unitárias, essas duasestruturas cristalinas podem ser descritas em termos deplanos compactos de átomos,isto é, planos que possuem umadensidade máxima de empacotamento desses planos compactos,uns sobre os outros; a diferença entre as duas estruturasreside na seqüência do empilhamento.

38Sequência de Empilhamento

C

B

HC CFC

ESTRUTURAS CRISTALINAS COMPACTAS (HC E CFC)

Centro dos átomosem um plano compacto

MATERIAIS MONOCRISTALINOS E POLICRISTALINOS

39

�MONOCRISTALINOS: constituídos por um único cristal emtoda a extensão do material sem interrupções.

Monocristal de granada

�POLICRISTALINOS: constituído de vários cristais pequenosou grãos, cada um deles com diferentes orientações.

40Estágios da solidificação de uma material policristalino Estágios da solidificação de uma material policristalino Estágios da solidificação de uma material policristalino Estágios da solidificação de uma material policristalino

Pequenos núcleos de cristalização. Crescimento dos cristalitos com obstrução dealguns grãos que são adjacentes uns aos outros.

(a) (b)

Ao se completar a solidificação, ocorre aformação de grãos que possuem formatosirregulares.

(c)

A estrutura de grãos como ela apareceria emum microscópio. As linhas são os contornos degrãos.

(d)

41

MICROESTRUTURAOrganização na Escala Micrométrica

• Tamanhos dos grãos do material policristalino (grão = monocristal; policristalino = muitos cristais ou grãos)

• Número e distribuição de fases presentes no material policristalino (polifásico = mais de uma fase)

• Defeitos presentes nomaterial (poros, inclusões de impurezas, ...)

42

Anisotropia: Efeito de direcionalidade das propriedades devido àvariação do espaço atômico ou iônico em função da direçãocristalográfica.

Ex. módulo de elasticidade; condutividade elétrica; propriedade magnética, índice de refração....

Isotropia: materiais que apresentam propriedades idênticasindependentes de direções cristalográficas.

43

Latão (Cu-30Zn)

Menor Tamanho de Grão

Maior Resistência Mecânica

TAMANHO DE GRÃOInfluência sobre as Propriedades Mecânicas