pontos, direções e planos cristalográficos v18.03.2015

8/17/2019 Pontos, Direções e Planos Cristalográficos v18.03.2015

1/24

5 – Pontos, Direções e PlanosCristalográficos

Prof. Carlos Angelo Nunes

Disciplina : Ciência dos Materiais

!M "#$" – %#$5M$


2/24

& 'ora( esta)elecidas con*enções para designar as locali+ações de pontos,direções e planos no interior de u(a clula unitária.

& A )ase para deter(inaç-o dos *alores dos ndices a clula unitária co(u( siste(a de coordenadas, /ue consiste e( três ei0os 10,2,+3 co( orige(e( u( dos *rtices e coincidentes co( as arestas da clula unitária.


3/24

Coordenadas dos pontos

& A posiç-o de /ual/uer ponto locali+ado no interior de u(a clula unitáriapode ser especificada e( ter(os das suas coordenadas na for(a de

(4ltiplos fracionários dos co(pri(entos das arestas das clulas unitárias1isto , e( ter(os de a, ) e c3.

& ! /ue significa u( ponto de coordenadas $ 6 7


4/24

& 8specifi/ue as coordenadas dos pontospara todas as posições at9(icas e(u(a clula unitária CCC.


5/24

Direções Cristalográficas

& As seguintes etapas s-o consideradas para deter(inaç-o dos ndicesdirecionais:

$ ;( *etor co( co(pri(ento con*eniente posicionado de (aneira tal /ue elepasse atra*s da orige( do siste(a de coordenadas<

% =-o deter(inados os co(pri(entos das pro>eções do *etor so)re cada u( dostrês ei0os< esses são medidos em termos das dimensões a, b e c da célula unitária;

" 8sses três n4(eros s-o (ultiplicados ou di*ididos por u( fator co(u(, para

redu+ilos aos (enores *alores inteiros<? !s três ndices, se( separaç-o por *rgulas, s-o colocados entre colc@etes:u*B.

& Pode @a*er ndices negati*os7


6/24

& Para algu(as estruturas cristalinas, *árias direções n-o paralelas co(ndices diferentes s-o cristalografica(ente e/ui*alentes< isso significa /ueo espaça(ento entre os áto(os ao longo de cada direç-o o (es(o.

& As direções a)ai0o s-o cristalografica(ente e/ui*alentes no siste(a c4)ico.

& As direções [100] e [001] são equivalentes nos cristais com simetriatetragonal?

]100][001][010][010][001][100[−−−


7/24

Cristais e0agonais : ;tili+aç-o de u( siste(a de coordenadas co( /uatro ei0os,ou de MillerEra*ais.

!s três ei0os a$, a% e a" est-o contidos e( u( 4nico plano 1c@a(ado plano )asal3 efor(a( Fngulos de $%#o entre si. ! ei0o + perpendicular a esse plano )asal.


8/24

Con*ers-o do siste(a de três ndices para o siste(a de /uatro ndices:

´)´2(3

1

vuu −=

)( vut +−=

´)´2(3

1

uvv −=

´ww =

´]´´[ wvu ][uvwt


9/24

8( todos os siste(as cristalinos, G e0cess-o do siste(a @e0agonal, os planos cristalográficoss-o especificados por três ndices de Miller na for(a 1@Hl3. Iuais/uer dois planos paralelosentre si s-o e/ui*alentes e possue( ndices idênticos.

O procedimento utilizado para determinar os valores dos índices h, k e l é o seguinte:

$ =e o plano passa atra*s da orige( /ue foi selecionada, ou outro plano paralelo de*e serconstrudo no interior da clula unitária (ediante u(a translaç-o apropriada, ou u(a no*aorige( de*e ser esta)elecida no *rtice de outra clula unitária.

% Desse (odo, ou o plano cristalográfico intercepta ou ele paralelo a u( dos três ei0os< oco(pri(ento da interseç-o planar a cada ei0o deter(inado e( ter(os dos parF(etros darede a, ), c.

Planos Cristalográficos

" !s *alores in*ersos desses n4(eros s-o o)tidos. ;( plano paralelo a u( ei0o pode serconsiderado co(o tendo u(a interseç-o no infinito e portanto, u( ndice igual a +ero.

? =e necessário, esses três n4(eros (udados para o con>unto de (enores n4(eros inteirospela (ultiplicaç-o ou di*is-o por u( fator co(u(.

5 'inal(ente, os ndices inteiros, n-o separados por *rgula, s-o colocados entre parênteses.


10/24



11/24

z

x

a b

c

?. Jndices de Miller 1$$#3

80e(plo:a b c

z

x

a b

c

?. Kndices de Miller 1$##3

$. Jnterceptos $ $ ∞

%. Leciprocos $$ $$ $∞$ $ #

". Leduç-o $ $ #

$. Jnterceptos $% ∞ ∞%. Leciprocos $6 $∞ $∞

% # #". Leduç-o % # #

80e(plo:

a b c



12/24

z

x

a b

c

?. Jndices de Miller 1"?3

80e(plo:$. Jnterceptos $% $ "?

a b c

%. Leciprocos $6 $$ $O% $ ?"

". Leduç-o " ?


•

•

•


13/24


& ! arran>o at9(ico para u( plano cristalográfico, /ue fre/uente(ente deinteresse, depende da estrutura cristalina

& ;(a fa(lia de planos cont( todos os planos /ue s-o cristalografica(entee/ui*alentes, ou se>a, a/ueles /ue te( o (es(o e(pacota(ento at9(ico.

Iuais os planos da fa(lia $##Q da estrutura cristalina tetragonal7


14/24

Densidade inear 1D3

!E=. 8( relaç-o ao n4(ero de áto(os, necessário le*ar e( consideraç-oo co(partil@a(ento dos áto(os co( as clulas unitárias ad>acentes.

direçãovetor doocompriment

direçãovetor o sobreátomosdenúmero DL

......

............=


15/24

e0: densidade linear do Al na direç-o $$#

a R #.?#5 n(

a

$$#

S ato(s

Co(pri(.

$".5 n(

a%

%D −==


16/24

Densidade Planar 1DP3

planodoárea planonoátomosdenúmero DP

............=


17/24

=oluç-o: Para T U V$%WC o ferro te( estrutura CCC.

1$##3

raio do ferro ! R #.$%?$ n(

! "

"?a =

%D Clula

RDens. Planar R a%

$áto(os%D clula

Rn(%

áto(os$%.$(%

áto(osR $.% 0 $#$V

$%

! "

"?área

%D clula

Densidade Planar do 'e: Plano 1$##3


18/24

$ áto(o no plano clula

""" %

%

! "

$!

"?%

a"ah%área =

===

Xto(os no plano

Xto(os aci(a do plano

Xto(os a)ai0o doplano

ah%"=

a%

% D c , l u l a

$

R Rn(%

áto(osY.#(%

áto(os#.Y# 0 $#$V" %!

"

$Dens. Planar R

áto(os %D clula

area

%D clula

Densidade Planar do 'e: Plano 1$$$3


19/24

8struturas Cristalinas Co(pactas

& C'C e CP : 'ator de e(pacota(ento R #,Y?.

& 8stas duas estruturas pode( ser descritas e( ter(os de e(pil@a(ento de

planos co(pactos. A diferença entre as duas está na se/uência dessee(pil@a(ento.

HCP: ABABABAB

C!C: ABCABCABC


20/24



21/24



22/24


23/24


24/24

e0a(ple a$ a% a" c

?. MillerEra*ais Jndices 1$#$$3

$. Jntercepts $ ∞ $ $%. Leciprocals $ $∞$ #

$$

$$

". Leduction $ # $ $

a%

a"

a$

z

pontos, direções e planos cristalográficos v18.03.2015

Documents