capítulo 4 resposta em frequência - autenticação · resposta em frequência 4.1 noção do...

1Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto

Capítulo 4Resposta em frequência

4.1 Noção do domínio da frequência4.2 Séries de Fourier e propriedades4.3 Resposta em frequência dos SLITs

4.1 Noção do domínio da frequência

– Existem alguns sinais, como fala, música, imagens, para os quais não é fácil obter uma representação adequada

– Nessas situações representam-se os sinais como composições de sinais mais simples, que podem ser facilmente modelados

– Vamos introduzir a representação desses sinais no domínio da frequência

– Vamos mostrar que um sinal arbitrário pode ser descrito como a soma de sinais sinusoidais

– Frequência é o inverso do Período• A unidade é o Hertz (Hz) e representa ciclos por segundo• Frequência angular: ω=2πf e representa-se em radianos por segundo

– Um sinal sinusoidal além da frequência possui outra característica importante que é a fase

– A fase pode ser vista como a definição do ponto inicial do sinal

– Exemplo:• Usamos a diferença de fase nos nossos dois ouvidos para ajudar a

localizar a origem de um som

– As imagens podem ser igualmente decompostas– Uma imagem sinusoidal tem uma frequência espacial em vez de

uma frequência temporal

– Um sinal finito de duração p pode ser usado para definir um sinal periódico com período p

– Dado um sinal finito y:[a,b]→Reais,

podemos definir y’:Reais →Reais

– O sinal periódico é dado por

onde o período p=b-a

⎩⎨⎧ ∈

=∈∀casosoutros

batsetytyReaist

0],[)(

∑∞+

−∞=−=

mmptytx )(')(

– Esta propriedade édenominada por shift-and-add summation

∑∞+

−∞=−=

mmptytx )(')(

4.2 Séries de Fourier e propriedades

– Um sinal periódico x: Reais →Reais com período p∈Reais pode ser descrito como

– Esta representação é denominada de expansão em série de Fourier

– Os valores particulares de Ak e de φk dependem de x(t)– A frequência ω0 é denominada a frequência fundamental e definida

por ω0=2πf– Na maior parte dos sinais os Ak tornam-se pequenos, ou mesmo zero,

para valores elevados do k, podendo-se usar uma aproximação através de uma soma finita com K termos

∑∞+

100 )cos()(

kkk tkAAtx φω

• Exemplo– Onda quadrada

– Fenómeno de Gibb• Descontinuidade

– Representação no domínioda frequência

• Amplitude e frequênciade cada componentesinusoidal

• Necessário também arepresentação da fase

– Onda triangular

– A expansão em série de Fourier necessita de obedecer a um conjunto de condições de convergência

• Convergência uniforme

|x(t)-xN(t)| < ε

• Convergência em erro quadrático médio

• Condições de Dirichlet– x(t) é absolutamente integrável, num período– x(t) possui um número finito de máximo e mínimos, num período– x(t) é contínuo num período, execpeto num nº finito de pontos

( ) ( )2 2lim ( ) ( ) 0 ( ) p p

x t x t dt x t dt→∞

− = ⇐ < ∞∫ ∫

– Quando falamos do conteúdo em frequência de um sinal, é algo que é único e bem definido

– A representação em série de Fourier aplica-se a sinais periódicos ou a sinais finitos

– Um sinal não periódico pode ser seccionado em segmentos finitos, podendo-se construir uma série de Fourier para cada segmento

– Exemplo:• Considere um apito de um comboio

• Aproximação em Série de Fourier para imagens– Suponha que o domínio de uma imagem é

[a,b]x[c,d] ⊂ Reais x Reais– Sejam pH=b-a e pV=d-c os “períodos” horizontal e vertical para a

imagem periódica equivalente– As frequências fundamentais são definidas por

ωH=2π/pH e ωV=2π/pV

– A representação em série de Fourier da Imagem: [a,b] x[c,d]→Intensidade

∑∑∞+

0)cos()cos(),(

mmVkHmk

kymxkAyxImagem φωφω

• Expressão através da exponencial– A série de Fourier é normalmente expressa através de exponenciais

complexas– As exponenciais complexas são funções próprias (eigenfunctions)

dos SLITs, que ao decompormos um sinal em exponenciais, estas são apenas escaladas ao serem processadas pelo sistema

– Expressão normalmente usada para a série de Fourier

– Os coeficientes da série de Fourier são simétricos conjugados

– As frequências negativas balançam as positivas de modo que a soma resultante seja real

∑∞+

−∞==∈∀

tjkkeXtxReaist 0)(, ω

*kk XX −=

• Série de Fourier Discreta– A decomposição dos sinais discretos em componentes sinusoidais

é semelhante ao caso contínuo– As unidades de frequência são ciclos por amostra ou radianos por

amostra– Consideremos um sinal discreto x(n) com período p– A representação em série de Fourier discreta é definida através de

– A soma é finita, dado que os sinais discretos não podem representar frequências acima de uma dado valor

– Esta representação pode ser calculada de uma forma eficiente através da Fast Fourier Transform (FFT)

∑−

==∈∀

njkkeXnxInteirosn ω

• Coeficientes da série de Fourier– Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourier

para um sinal contínuo periódico

– Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourierpara um sinal discreto periódico

∫ −=∈∀p

tjmm dtetx

pXInteirosm

0)(1, ω

∑−

−=∈∀1

0)(1,p

jmkk emx

pXInteirosk ω

• Exemplo:– Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática

contínua da figura

são dados por

• Exemplo:– Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática

discreta da figura

são dados por

Coeficientes da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos

Coeficientes da Série de Fourier de sinais discretos periódicos

Propriedades da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos Propriedades da Série de Fourier de sinais discretos periódicos

• Exemplos

∑∞+

−∞=−=

kkTttx )()(1 δ

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨

0)sin(

∑∞+

−∞=−−−−+=

kkTTtkTTttx )()()( 113 δδ

TTkjck

)sin(2 10ω=

x1(t) 1

x2(t) 1

T-T T1 -T1 -T/2 T/2

x3(t) 1

T-T T/2 -T/2T1

• Exercício– Considere os coeficientes da série de Fourier de um sinal contínuo

que é periódico com período 4. Determine o sinal x(t).

⎪⎩

⎪⎨⎧

== 0)4/sin(

⎩⎨⎧

=ímpark

parkak 2

4.3 Resposta em frequência dos SLITs

– Modelos de espaço de estados são precisos e concisos, mas não tão potentes como a resposta em frequência

– Para um SLIT a resposta em frequência revela bastante acerca da relação entre o sinal de entrada e o sinal de saída

– Os SLITs podem ser descritos por modelos de espaço de estados, através de equações à diferença e equações diferenciais

– Mas modelos de espaço de estados podem descrever também sistemas que não são SLITs

– Portanto modelos de espaço de estados são mais poderosos, mas com inferiores técnicas de desenho e de análise

– Dada uma sinusóide na entrada, a saída do SLIT é uma sinusóide com a mesma frequência mas possivelmente com uma fase e amplitude diferentes

– Dado um sinal de entrada que é descrito como uma soma de sinusóides de certas frequências, a saída pode ser descrita como uma soma de sinusóides com a mesma frequência mas com a fase e amplitudes possivelmente modificadas em cada frequência

– Se a entrada para um SLIT contínuo é ejωt então a saída é H(ω)ejωt, onde H(ω) é uma constante que depende da frequência ω da exponencial complexa.

– Quando a saída do sistema é apenas uma versão escalada da entrada, a entrada é denominada de função própria (eigenfunction)

– Quando na entrada temos ∀ t∈Reais, x(t)=ejωt

– A saída é definida por∀ t∈Reais, y(t)=H(ω )ejωt

– A função H:Reais → Complexos é denominada resposta em frequência

– Define a resposta de um SLIT a uma entrada exponencial complexa numa dada frequência

– Define a ponderação que o sistema impõe nessa exponencial complexa

– No caso dos sistemas discretos é semelhante– Quando na entrada temos

∀ n∈Inteiros, x(n)=ejωn

– A saída é definida por∀ n∈Inteiros, y(n)=H(ω )ejωn

– A função H:Reais → Complexos é denominada resposta em frequência

– Existe uma diferença fundamental entre o discreto e o contínuoejωn =ej(ω+2π)n = ej (ω+4π) n

logo∀ ω∈Reais, H(ω)= H(ω+2Kπ)

– Define a resposta em frequência de um SLIT discreto como sendo periódica com período 2π

• Exemplo:– Considere um sistema discreto definido pela equação às diferenças

∀ n∈Inteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2– Assumindo que a entrada é dada por

∀ n∈Inteiros, x(n)=ejωn

e que a saída tem a forma∀ n∈Inteiros, y(n)=H(ω )ejωn

obtemosH(ω)ejωn =(ejωn+ ejω(n-1))/2

– Resolvendo em ordem a H(ω) obtemos∀ ω∈Reais, H(ω)=(1+ e-jω)/2

• Exemplo:– Considere um sistema contínuo com entrada x e saída y

relacionadas pela equação diferencial∀ t∈Reais, RC dy(t)/dt + y(t)=x(t)

– Assumindo que a entrada é dada por ∀ t∈Reais, x(t)=ejωt

e que a saída tem a forma∀ t∈Reais, y(t)=H(ω )ejωt

obtemosRCjωH(ω )ejωt+H(ω )ejωt =ejωt

ou seja,∀ ω∈Reais, H(ω)=1/(1+jRCω)

• Equação às diferenças linear – Considere um sistema descrito por uma equação às diferenças linear

∀ n∈Inteiros, a0y(n)+a1y(n-1)+...+aNy(n-N)=box(n)+b1x(n-1)+...+bMx(n-M)

– Os coeficientes podem ser reais (ou complexos)– Assumindo que a entrada é dada por x(n)=ejωn e que a saída tem a

forma y(n)=H(ω )ejωn

obtemosa0 H(ω )ejωn+a1 H(ω )ejω(n-1)+...+aN H(ω )ejω(n-N)

=bo ejωn+b1ejω(n-1)+...+bMejω(n-M)

ou seja,

ωωωω jN

eaeaaebebbHReais −−

−−

++++++

=∈∀......)(,

• Equação diferencial– Considere um sistema descrito por uma equação diferencial

– Os coeficientes podem ser reais (ou complexos)– Assumindo que a entrada é dada por x(t)=ejωt e que a saída tem a

forma y(t)=H(ω )ejωt

obtemosaN(jw)NH(ω)ejωt+...+a1(jw)H(ω)ejωt+a0H(ω)ejωt

=bM(jw)Mejωt+...+b1(jw)ejωt+b0ejωt

ou seja,

)(...)()(...)()(,

ajajabjbjbHReais N

++++++

=∈∀ωωωωωω

)()(...)()()(...)(, 0101 txbtdtdxbt

dtxdbtyat

dtdyat

dtydaReaist M

N +++=+++∈∀

– Pode-se exprimir uma relação entre sinusóides e a exponencial complexa

cos(ωt)=(ejωt+ e-jωt)/2– Se for este o sinal de entrada para um SLIT com resposta em

frequência H(ω) então a saída seráy(t)=(H(ω)ejωt+ H(-ω)e-jωt)/2

– Quando a entrada é real normalmente a saída de um SLIT étambém real, o que implica que

H(ω)= H*(-ω)– Esta propriedade é denominada de simetria conjugada

– A resposta em frequência de um sistema real (cujos sinais de entrada e de saída são reais) é simétrica conjugada

– Quando a entrada for x(t)=cos(ωt) a saída será∀ t∈Reais, y(t)=Re{H(ω)ejωt}

– Escrevendo H(ω) na forma polar

permite-nos obter a saída como

– H(ω ) consiste de um ganho |H(ω)| e de uma fase ∠H(ω) que o sinal de entrada sinusoidal de frequência ω sofre.

)()()( ωωω HjeHH ∠=

))(cos()()(, ωωω HtHtyReaist ∠+=∈∀

• Exemplo:– Considere um sistema, que realiza um atraso T, definido como

y(t)=x(t-T)– Assumindo que a entrada é dada por ∀ t∈Reais, x(t)=ejωt

e que a saída tem a forma ∀ t∈Reais, y(t)=H(ω )ejωt

obtemosH(ω)=e-jωT

em que |H(ω)|=1 e ∠H(ω)= -ωT– Uma entrada na forma de coseno gera na saída um coseno da

mesma amplitude e com um deslocamento de fase– Um filtro com uma resposta em amplitude unitária e constante é

denominado filtro passa-tudo

• Exemplo:– Considere o sistema discreto definido pela equação às diferenças

∀ n∈Inteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2– A resposta em frequência H(ω) é dada por

∀ ω∈Reais, H(ω)=(1+ e-jω)/2

– A resposta de frequência em amplitude é dada por

|H(ω)|=|(1+ e-jω)/2|– Este sistema tem um

comportamento de um filtro passa-baixo

– A resposta em frequência diz-nos tudo o que precisamos saber sobre um sistema

– Podemos passar a representar um SLIT através da sua resposta em frequência, em lugar da representação entrada/saída, modelo de espaço de estados, da resposta impulsiva, ...

• Exemplo– Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é

dada por H(ω)=cos(2ω)

– Consideremos o sinal de entrada

que pode escrito como x(n)=cos(πn)– A saída é dada por

– Ou seja o sistema não altera a entrada

⎩⎨⎧−

=ímparn

parnnx

)()cos())(cos()()( nxnHnHny ==∠+= ππππ

– Consideremos o sinal de entrada x(n)=5

que pode escrito como x(n)=5cos(0n)– A saída é dada por

– Ou seja o sistema não altera a entrada

)(5))0(0cos(5)0()( nxHnHny ==∠+=

– Consideremos o sinal de entrada x(n)=cos(πn/2)

– A saída é dada por

– Ou seja o sistema inverte a entrada

)()2/cos()2/cos())2/(2/cos()2/()( nxnnHnHny −=−=+=∠+= ππππππ

– Consideremos o sinal de entrada x(n)=cos(πn/4)

– A saída é dada por

– Ou seja o sistema anula a entrada

0))4/(4/cos()4/()( =∠+= πππ HnHny

• Resposta em frequência para séries de Fourier– No caso das séries de Fourier representámos o sinal de entrada como

onde ω0=2π/p– A saída do SLIT para a entrada periódica é representada por

– Para um SLIT, se a entrada é dada pela soma de exponenciais complexas, a saída é dada pela soma das mesmas exponenciais, cada uma escalada pela resposta em frequência, avaliada na frequênciacorrespondente

∑∞+

−∞==∈∀

tjkkeXtxReaist 0)(, ω

∑∞+

−∞==∈∀

tjkkeXkHtyReaist 0)()(, 0

– Todas as componentes de frequência da saída estão na entrada

– A saída consiste das mesmas componentes em frequência da entrada em que cada componente aparece escalada

– Os SLITs podem ser usados para ampliar ou suprimir certas componentes de frequência, operação denominada de filtragem

– A resposta em frequência caracteriza quais as frequências que são ampliadas ou suprimidas e também quais os deslocamentos de fase impostos pelo sistema nas componentes individuais

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