capítulo 2 - funções

Capítulo 2 - Funções

• Prof. Daniel Keglis • Matemática

2.1) Noção de Função Observe a relação abaixo: Lado do quadrado x perímetro

* Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da medida do lado.

p = 4l , onde : p é uma variável dependente de l e l é uma

variável independente.

2.1.1) Relação entre conjuntos Sejam os conjuntos A e B, onde x pertence a A e y pertence a B.

y = 3x• Note que: todos os elementos de A tem um correspondente em

B

Veja outras relações e observe quais representam um função f de A em B.

Não é função É função Não é função y = x 4

2.1.2) Definição de função

Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de x ϵ A a um único elemento y ϵ B

2.1.3) Domínio, Contradomínio e Imagem da função Dada uma função f de A em B

y = f(x)

Para obtermos Domínio D(f), Contradomínio CD(f) e Imagem Im(f) de uma função, faremos a seguinte análise.

Sejam os conjuntos A e B, onde x ϵ A e y ϵ B e f(x) = 2x

D(f) = {0,1,2,3} CD(f) = {0,1,2,3,4,5,6} Im(f) = {0,2,4,6}

2.1.4) Valor NuméricoVeja o exemplo: Seja a função f(x) = x2 + 2 , o valor numérico

para:

f(-1) = (-1)2 + 2 = 3

f(0) = (0)2 + 2 = 2

f(3) = (3)2 + 2 = 11

2.2) Gráficos

Os gráficos e tabelas encontrados em revistas, jornais e livros, querem retratar uma determinada situação. Esses gráficos e tabelas representam funções e por meio deles podemos obter informações sobre a situação em estudo.

Exemplo

2.2.1) Coordenadas Cartesianas

Usamos a notação (x,y) para indicar o par ordenado de números reais que serão representados no sistema de eixos ortogonais. Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas de quadrantes, conforme representação abaixo:

Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são coordenadas cartesianas do ponto P. A coordenada a chamamos de abscissa e a coordenada b é a ordenada.

Vamos localizar no plano cartesiano os pontos: A(4,1); B(1,4); C(-2,-3); D(2,-2); E(-1,0); F(0,3) e O(0,0).

2.2.2) Construção de gráficos

Para construir o gráfico de uma função dada no plano cartesiano devemos:

• Construir uma tabela com valores.• A cada par ordenado associar um ponto do

plano cartesiano.• Esboçar o gráfico.

Exemplo

2.2.3) Análise de gráficos Reconhecendo se o gráfico representa uma

função.

É função Não é função

• Determinando domínio e imagem da função através do gráfico.

• Determinando onde a função cresce e onde ela decresce.

Crescente: ]-6,-3] U [2,6[ Crescente: ]-∞,3] Decrescente: [-3,2] Constante: [3,+∞[

2.3) Função definida por várias sentenças

4 x se x,- 6

4 x se 3,

4 x se ,2x

)x(f

Estudo do domínio de uma função

Veremos no caderno os exemplos para este estudo.

2.4) Função Inversa Definição: Dada uma função f: A B, bijetora,

denomina-se função inversa de f a função g: B A tal que f(x) = y e g(y) = x, com x que

pertence a A e y que pertence a B.

Observe:

D(f) = Im(g)D(g) = Im(f)

Processo para determinar a função inversa

• Escrevemos f(x) = y.• Trocamos y por x e x por y.• Determinamos y em função de x.• Escrevemos y = f -1(x).

2.5) Função Composta Definição: Dada uma função f: A B, e , g: B C denomina-se função composta de em f a função gof: A C, que é definida por

(gof)(x) = g(f(x)), x pertencente a A.

Exemplo: