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Baseado: Fundamentals of Physics 2007

Produto vetorial

)(ˆ senbanba

prof. Daniel B. Oliveira

A força magnética Fb sobre uma particula é proporcional a carga q e a velocidade v daparticula.

A intensidade e a direção de Fb depende davelocidade da particula e da intensidade e a direção de B

Quando a particula move-se emparalelo ao campo magnético aforça magnética sobre a partícula énula.

Quando a velocidade e o campo magnético formamum ângulo diferente de zero a força magnética éperpendicular a velocidade e o campo magnético.

Uma força magnética que atua sobre uma partícula positiva tem a direção oposta a da força magnética quando atua sobre uma partícula negativa.

A intensidade da força magnética em um partícula em movimento é proporcional a sin(Θ). Sendo Θ é ângulo entre o campo magnético e a velocidade da partícula.

Resumindo:

(a) Carga q positiva (b) Carga q negativa

O módulo ou intensidade da força magnética é dado por:

)sin(vBqFb

Principais diferenças entre Forças elétricas e forças magnéticas:◦ A força elétrica atua em paralelo ao campo elétrico,

a força magnética atual perpendicularmente ao campo magnético.

◦ A força elétrica atua em uma partícula parada ou em movimento, a força magnética atua apenas em partículas em movimento.

◦ A força elétrica realiza trabalho quando uma partícula é deslocada, a força magnética não exerce nenhum trabalho em partículas em movimento.

Quando uma partícula carregada se move com uma velocidade v através de um campo magnético, o campo pode alterar a direção do vetor de velocidade, mas não pode alterar a velocidade ou energia cinética da partícula.

A unidade de medida do campo magnético é Newton por Columb-metro por segundo.

A unidade é denominada de Tesla (T)

Como Columb por segundo é Ampare logo:

Fonte do campo Intensidade do campo (T)

Magneto supercondutor de laboratório 30

Magneto convencional de laboratório 2

Unidade de exames de ressonância magnética 1.5

Barra magnética 10-2

Superfície do sol 10-2

Superfície da terra 0.5 x10-4

Cérebro humano 10-13

Exemplo

Um elétron no tubo de imagem de umatelevisão move-se a uma velocidade de8x106 m/s no eixo x, sobre um campomagnético de intensidade 0.025T, com umângulo de 60º em relação ao eixo x e noplano xy . Qual é a força magnética e ovalor da aceleração do elétron.

Exemplo

Assim como uma carga em movimento sofre a ação de um campo magnético uma corrente também pode sofrer ação do campo magnético.

A força resultante sobre o condutor será a resultante das forças exercidas em cada partícula carregada na corrente.

Seja um condutor de área transversal A, comprimento L e um corrente I passa pelo mesmo. Em um campo magnético uniforme B

A força magnética sobre uma partícula com velocidade vd

BvqF d

O volume do segmento é AL, a quantidade de cargas no seguimento é nAL. Aonde n é quantiade de carga por unidade de volume.

nALBvqF db )(

Escrevendo a corrente como: AnqvI d

Seja o vetor L, como vetor na direção da corrente I e com a intensidade igual ao comprimento L, assim:

Valido apenas para um segmento reto de fio sob um campo magnético uniforme.

Considerando um fio arbitrário em um campo magnético uniforme:

A força magnética é perpendicular ao plano do fio e do campo magnético

Caso 1 – Um fio curvo em um campo magnético uniforme

Como o campo magnético é constante, pode ser colocado fora da integral.

A integral de ds resultará na soma vetorial de todos os segmentos dsque formam o fio.

Case 2 – Um condutor fechado de forma qualquer em um campo magnético uniforme.

A soma vetorial de todos os vetores de deslocamento em forma fechada é nula

00 Fds

A força magnético sobre um fio fechado em um campo magnético uniforme é nula.

Exemplo

Um fio dobrado em um semicírculo de raio R forma um circuito fechado e transporta uma corrente I. O fio encontra-se no plano xy, e um campo magnético uniforme é dirigido ao longo do eixo positivo y. Ache a intensidade e direção da força magnética atuando diretamente sobre a porção reta do fio e na porção curvada.

Exemplo

A força F1 atuando sobre a porção reta do fio é dada por:

RLIRBILBF 221

A direção da força é perpendicular ao plano do fio e do campo magnético ao longo do eixo positivo z.

Exemplo

A força F2 que atua sobre a porção curva do fio é determinada inicialmente através da expressão de dF2

dsIBBsdIFd )sin(2

dIRBFdRddsRs )sin(2

22 )sin()sin( dIRBdIRBFdF

IRBIRBF 2)cos( 02

Exemplo

As forças F1 e F2 apresentam a mesma intensidade mas estão em sentidos opostos. Assim a força resultante é nula

Seja um circuito retangular com uma carga I

• Nenhuma força magnética atual em (1) e (3) – paralelos ao campo magnético

• Mas, existe força magnética nos lados (2) e (4) – perpendiculares a B

• Força F2 e F4 tem o mesmo módulo e direção mas sentidos opostos.

A = área do retângulo a*b

O torque máximo é obtido apenas quando o campo magnético está paralelo ao plano do circuito.

Devido a direção do campo magnético o circuito irá rodar no sentido horário, invertendo-se o sentido do campo inverte-se o sentido da rotação.

O campo magnético está há um ângulo Θ < 90º com o plano do circuito

• As forças nos lados (4) e (2) vão se anular.

• As forças nos lados (1) e (3) formam um par e iram exercer um torque sobre um determinado ponto.

Uma fórmula conveniente para o torque:

O vetor A é perpendicular ao plano e tem o módulo igual a área do circuito

A grandeza IA é definida como sendo o momento do dipolo magnético (A.m2)

Se uma bobina tem N fios enrolados,onde todos carregam a mesma corrente e estão dentro da mesma área.

O momento do dipolo magnético da bobina é N vezes o momento do dipolo de apenas um fio.

O torque da bobina é N vezes o torque de um fio.

A energia potencial do dipolo magnético em um campo magnético depende da orientação do dipolo no campo

Exemplo

Uma bobina retangular de dimensões 5,40 cm x 8,50 cm, com 25 voltas e com uma corrente de 15 mA. Um campo magnético de 0,350 T é aplicado paralelo ao plano da bobina. Calcule o valor do momento do dipolo magnético e o torque

Considerando o caso em que a velocidade seja perpendicular com campo magnético

Como mostrado a particula irá ter uma trajetória circular

A intensidade da força será sempre qvB

A força magnético altera apenas a direção da velocidade e não a sua intensidade

Com a carga em movimento circular:

O raio do movimento é diretamente proporcional ao momento linear (mv) e inversamente proporcional a carga e o campo magnético

A velocidade angular da partícula é dada por:

O período do movimento, o tempo para realizar uma volta completa:

Os resultados mostram que a velocidade angular e o período não dependem da velocidade linear da partícula

Quando uma carga move-se em um campo magnético e sua velocidade faz um ângulo qualquer com o campo magnético, a carga descreve um caminho helicoidal.

• Considere um campo magnético na direção x. Assim, a aceleração em x será nula e a componente x da velocidade não mudará.

• Como a força magnética é resultado do produto vetorial as componentes em y e z da velocidade irá mudar continuamente.

• Assim:

zy vvv

Exemplo

Um próton move-se em uma orbita de 14 cm sob um campo magnético de 0.35T perpendicular a velocidade do próton. Qual é a velocidade linear do próton?

Quando uma carga move-se em um campo não uniforme o movimento é complexo.

Um campo magnético fraco em seus extremos e forte no meio pode fazer com que uma carga avance e recue dentro do campo.

Este tipo de configuração é denominado de magnetic bottle (garrafa magnética)

É utilizado para conter plasma (gás formado por íons e elétrons)

O cinturão de Van Allen circula a terra de pólo a pólo, formando um campo magnético não uniforme.

As partículas oriundas do sol ou outras estrelas (raios cósmicos) ficam presas nesse cinturão.

Quando estas partículas se acumular nos pólos e entram em contato com a atmosfera dão inicio ao efeito da aurora boreal no hemisfério norte ou Aurora Australis no sul

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