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2016/2 – IC / UFF

aula 11Superfícies

Superfícies

representações não paramétricas

Por equações tri-dimensionais :

Por equações tri-dimensionais :

Quádricas

Por equações tri-dimensionais :

Representações não paramétricas, implicita

Por equações tri-dimensionais :

exemplos

Representações paramétricas

Formas de geração:

Revolução

Geradas por interpolação

Lofting – interpolando as curvas

Patches

Superfície de Bezier

Superfície B-Splines

• Superficie que pode ser considerada como uma NURBS na qual uma seqüência de pontos de controle determina a superfície, que lembra a letra "T".

• Esse tipo de superfície facilita a fusão de pedaços .

T-spline surface

Nurbs

Mapeamentos

Curvas de NívelExiste uma outra técnica útil, para descrever o comportamento

de uma função de duas variáveis.

O método consiste em descobrir no plano xy os gráficos das

equações f(x, y) = k para diferentes valores de k.

Os gráficos obtidos desta maneira são chamados as curvas de

nível da função f.

Curvas de Nível

Curva de nível tal que .

Exemplo

f(x,y) = z = altura em relação ao nível do mar.

Essas curvas de nível correspondem às linhas de contorno

topográfico.

As curvas de nível são os gráficos das equações .

Exemplo

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

z = x2

+ y2

z = 9

z = x2

+ y2

z = 4

z = 2

z = 0

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

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Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Exemplos: Função Real de Variável Vetorial - Curvas de Nível

Curvas de nível: .

3.

Exemplo

Superfície de Nível

Se f é uma função de três variáveis x, y, z então, por definição, as

superfícies de nível de f são os gráficos de f(x, y, z) = k, para

diferentes valores de k.

Superfícies de nível tal que .

Em aplicações, por exemplo, se f(x, y, z) é a temperatura no

ponto (x, y, z) então as superfícies de nível são chamadas

superfícies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas

são chamadas superfícies equipotenciais.

Superfície de Nível

Exemplo

Superfície de Nível

A superfície

É o gráfico de f.

Uma curva de nível típica no domínio da função

Parabolóide

A curva de contorno f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75

é a circunferência x2 + y2 = 25 no plano z = 75.

A curva de nível f(x,y) = 100 – x2 + y2 = 75 éa circunferência x2 + y2 = 25 no plano xy.

Plano z = 75

Curvas de Nível X Curvas de Contorno

Traço: é a curva definida pelo encontro da superfícief(x,y) com os planos xy, xz e yz.

Curvas de Nível

Bibliografia

• Abel Gomes, Irina Voiculescu, Joaquim Jorge, Brian Wyvill, Callum GalbraithImplicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures andAlgorithms, Springer, 2009

• “Computer Graphics: Principles andPractice”, Foley,van Dam, Feiner andHughes; Capítulo 11

• “3D Computer Graphics”, A. Watt, Capítulo 6