aula 1 - números reais e propriedades - exercícios
Post on 05-Feb-2016
8 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Cálculo I Professor Hans
Aula 2: Funções -Teoria
Funções Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-
se função (ou aplicação) de A em B, representada por
f : A B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que
associa a cada elemento de A, um único elemento de
B. Portanto, para que uma relação de A em B seja
uma função, exige-se que a cada x A esteja
associado um único y B, podendo entretanto
existir y B que não esteja associado a nenhum
elemento pertencente ao conjunto A.
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é
imagem de x pela função f, ou seja:
y está associado a x através da função f.
Para definir uma função, necessitamos de dois
conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma
fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do
domínio a um e somente um elemento do
contradomínio. Quando D(f) (domínio) R e
D(f)(contradomínio) R, sendo R o conjunto dos
números reais, dizemos que a função f é uma função
real de variável real.
Representação de Funções Dada uma função f : A B definida por y =
f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y)
f onde xA e yB, num sistema de coordenadas
cartesianas. O gráfico obtido será o gráfico de f.
Assim:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, fornece o
domínio da função.
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, fornece o
conjunto imagem da função.
c) toda reta vertical que passa por um ponto do
domínio da função, intercepta o gráfico da função em
no máximo um ponto.
Tipos de Funções Função Sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao
contradomínio.
.
Exemplo:
Função Injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos
distintos do seu domínio, possuem imagens distintas,
isto é: x1 x2 f(x1) f(x2) .
Exemplo:
Função Bijetora
Uma função é dita bijetora, quando é injetora e
sobrejetora ao mesmo tempo.
Exemplo:
2
Função de 1º grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou
função afim, a qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são
números reais dados e a 0. A função afim y = ax + b
é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente
angular da reta e, como veremos adiante, a está
ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear
da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o
coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a
reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º
grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x)
= 0.
Crescimento e Decrescimento
A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente
quando o coeficiente de x é positivo (a > 0).
A função do 1º grau f(x) = ax + b é
decrescente quando o coeficiente de x é
negativo (a < 0).
Equação da Reta
Dados dois pontos 1 1,x y e 2 2,x y a equação
da reta que passa por esses pontos é dada por
1 1
2 2
1
1 0
1
x y
x y
x y
Função Quadrática Chama-se função quadrática, ou função polinomial
do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax
2 + bx + c, onde a, b e c são números
reais e a 0. O gráfico de uma função polinomial do 2º
grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada
parábola.
Nota-se que:
se a > 0, a parábola tem a concavidade
voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade
voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º
grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x
tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2
+ bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 +
bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula
de Bhaskara:
2
bx
a
com 2 4b ac
A quantidade de raízes reais de uma função
quadrática depende do valor obtido para o radicando
, chamado discriminante, a saber:
Quando é positivo, há duas raízes reais e
distintas;
Quando é zero, há só uma raiz real (para ser
mais preciso, há duas raízes iguais);
Quando é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada
para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a
parábola tem concavidade voltada para baixo e um
ponto de máximo V. Em qualquer caso, as
coordenadas de V são ,2 4
b
a a
.
3
Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax
2 + bx + c, a
0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há
duas possibilidades:
1ª - quando a > 0, Im4
y ya
2ª - quando a < 0, Im4
y ya
Função Modular Chamamos de função modular a função
definida por
Assim, a função modular é uma função definida
por duas sentenças.
Função Exponencial Chamamos de funções exponenciais aquelas
nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
A função f:IR→IR+ definida por
( ) xf x a
com a IR+ e a1, é chamada função exponencial
de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR
(reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos,
maiores que zero).
Gráfico da Função Exponencial
Temos 2 casos a considerar:
quando a > 1.
f(x) é crescente e Im=IR
+ para quaisquer x1 e x2 do
domínio: x2>x1 y2>y1.
quando 0 < a < 1.
f(x) é decrescente e Im=IR
+para quaisquer x1 e x2 do
domínio: x2>x1 y2<y1.
Função Logarítmica A função f:IR
+→IR definida por
( ) logaf x x
com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de
base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+
(reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio
é IR (reais).
Gráfico Cartesiano Da Função Logarítmica
Temos 2 casos a considerar:
quando a > 1
, se 0( ) ( )
, se 0
x xf x x ou f x
x x
4
f(x) é crescente e Im=IR para quaisquer x1 e x2 do
domínio: x2>x1 y2>y1.
quando 0 < a < 1
f(x) é decrescente e Im=IR para quaisquer x1 e x2 do
domínio: x2>x1 y2<y1.
Podemos observar que
a) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto
(1,0). A raiz da função é x=1;
c) y assume todos os valores reais, portanto o
conjunto imagem é Im=IR.
Propriedades dos Logaritmos
Sejam 0a , 1a e 0b
log x
a b x b a
log 1 0a
log 1a a
loga ba b
log x
a a x
log . log loga a ab c b c
log log loga a a
bb c
c
log logn
a ab n b
1log logn aa
b bn
loglog
log
ca
c
bb
a
10log logb b
ln logeb b
Funções Trigonométricas São funções angulares, importantes no estudo
dos triângulos e na modelação de fenômenos
periódicos. Podem ser definidas como razões entre
dois lados de um triângulo retângulo em função de
um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de
coordenadas de pontos na circunferência
trigonométrica.
Circunferência Trigonométrica
Consideremos uma semi-reta OA, tal que o
comprimento do segmento OA seja unitário.
Escolhemos também um referencial cartesiano tal
que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta
OA e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a
semi-reta OA no sentido anti-horário, de 90o ou
2
radianos.
Dado um número real x, associamos a ele o ponto
P=P(x) no círculo unitário, de tal modo que o
comprimento do arco AP é x unidades de medida de
comprimento, ou seja, a medida do arco AP é x
radianos.
Logo, temos que ˆAOP vale
o180 x
Função Seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a
relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo
x, denotado pelo número real sen(x).
5
A função é denotada por
( ) sen( )f x x
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x),
é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno 1. Domínio: A função seno está definida para
todos os valores reais, sendo assim
Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno
é o intervalo I={y em R: -1<y<1}.
3. Periodicidade: A função é periódica de
período 2 . Para todo x em R e para todo k
em Z.
Função Cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a
relação que associa a cada x em R o número real
cos(x).
Esta função é denotada por
( ) cos( )f x x
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a
projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal
OX.
Propriedades da função cosseno 1. Domínio: A função cosseno está definida para
todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função
cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}.
3. Periodicidade: A função é periódica de
período 2 . Para todo x em R e para todo k
em Z.
Função Tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma
(k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o
conjunto dos números reais diferentes destes valores.
Definimos a função tangente como a relação que
associa a este x real, a tangente de x.
A função é denotada por:
( ) ( )f x tg x
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
6
Propriedades 1. Domínio: Como a função cosseno se anula
para arcos da forma /2+k , onde k em Z,
temos Dom(tan)={x em R: x diferente de
/2+k }.
2. Imagem: O conjunto imagem da função
tangente é o conjunto dos números reais,
assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu
período é .
Função Cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k
onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos
números reais diferentes destes valores. Definir a
função cossecante como a relação que associa a este x
real, a cossecante de x.
A função é denotada por:
( ) cossec( )f x x
Gráfico: O segmento OU mede cossec(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 ,
sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em
valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades 1. Domínio: Como a função seno se anula para
arcos da forma k , onde k em Z, temos
Dom(cossec)={x em R: x diferente de k }.
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio
da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou
cossec(x)>1, assim o conjunto imagem da
cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(cossec)={y em R: y < -1 ou y > 1}.
3. Periodicidade: A função é periódica e seu
período é 2 .
Função Secante
Como a secante não existe para arcos da forma
(2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o
conjunto dos números reais diferentes destes valores.
Definimos a função secante como a relação que
associa a este x real, a secante de x.
A função é denotada por:
( ) sec( )f x x
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3
/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em
valor absoluto, tende ao infinito.
7
Propriedades 1. Domínio: Como a função cosseno se anula
para arcos da forma /2+k , onde k em Z,
temos Dom(sec)={x em R: x é diferente de
(2k+1) /2}.
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio
da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x)
1, assim o conjunto imagem da secante é dado
pelos conjuntos: Im(sec)={y emR: y < -1 ou
y 1}.
3. Periodicidade A função é periódica e seu
período é 2 .
Função Cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma
(k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando
o conjunto dos números reais diferentes destes
valores. Definimos a função cotangente como a
relação que associa a cada x real, a cotangente de x.
A função é denotada por:
( ) cotg( )f x x
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida
do arco AM está próxima de (ou - ), podemos
verificar que o gráfico da função cotangente cresce
muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai
ficando cada vez mais horizontal e a sua intersecção
com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades 1. Domínio: Como a função seno se anula para
arcos da forma +k , onde k em Z, temos
Dom(cotg)={x em R:x diferente de (k+1) }.
2. Imagem: O conjunto imagem da função
cotangente é o conjunto dos números reais,
assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu
período é .
Relações Trigonométricas Importantes
2 2sen cos 1x x
2 2sec tg 1x x
2 2cossec cotg 1x x
sen(x)
tgcos(x)
x
1sec
cosx
x
1cossec
senx
x
1
cotgtg x
x
Função Arco-Seno
A função inversa do seno com 1,1Dom ,
denotada por arcsen, é definida como:
( ) ( ) ,2 2
y arcsen x x sen y e y
8
Função Arco-Cosseno
A função inversa do cos com 1,1Dom ,
denotada por arccos, é definida como:
arccos( ) cos( ) 0,y x x y e y
Função Arco-Tangente
A função inversa da tangente com Dom ,
denotada por arctg, é definida como:
( ) ( ) ,2 2
y arctg x x tg y e y
Função Arco-Cotangente
A função inversa da cotangente com Dom ,
denotada por arccotg, é definida como :
arccotg( ) cotg( ) 0,y x x y e y
Função Arco-Secante
A função inversa da secante com
( , 1] [1, )Dom , denotada por arcsec, é
definida como:
sec( ) sec( ) 0, ,2 2
y arc x x y e y
Função Arco-Cossecante
A função inversa da cossecante com
( , 1] [1, )Dom , denotada por arccossec ,
é definida como:
arccossec( ) cossec( ) ,0 0,2 2
y x x y e y
top related