Álgebra linear e geometria analítica
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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
6ª aula
DETERMINANTES
PermutaçõesUma permutação
= ( p1, p2, p3, … , pn) dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, … , n}é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões
EXEMPLO:
= ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
EXEMPLO:
= ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Paridade de uma permutaçãoNúmero de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem.
Permutação par número de trocas parPermutação ímpar número de trocas ímpar
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0 (3+0+1+0) = 4
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0 (3+0+1+0) = 4
é par
Sinal de uma permutação
ímparése
parése
1
1)sgn(
Exemplos:
= (6, 5, 3, 1, 2, 4)paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11sgn() = -1
= (1, 3, 2, 4, 6, 5)paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2sgn() = +1
Produtos elementares:
A é uma matriz quadrada nnChama-se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A.a1p1
a2p2 a3p3
… anpn
Exemplos:
= (6, 5, 3, 1, 2, 4)Produto elementar correspondente:a16 a25 a33 a41 a52 a64
= (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar correspondente:a11 a23 a32 a44 a56 a65
Produtos elementares assinalados:
A é uma matriz quadrada nnChama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente:sign()a1p1
a2p2 a3p3
… anpn
Com = (p1, p2, …, pn )
Exemplos:
= (6, 5, 3, 1, 2, 4)Produto elementar assinalado correspondente:- a16 a25 a33 a41 a52 a64
= (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar assinalado correspondente:+ a11 a23 a32 a44 a56 a65
Determinante de uma matriz:
Determinante da matriz A é a soma de
todos os produto elementares assinalados
de A.
Representa-se por det(A) ou por |A|
Matrizes 22
Produtoelementar
Permutação associada
Paridade Produto elementar assinalado
a11a22 (1, 2) par a11a22
a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21
Matrizes 22
Produtoelementar
Permutação associada
Paridade Produto elementar assinalado
a11a22 (1, 2) par a11a22
a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21
det(A) = a11a22 - a12a21
Matrizes 33Produto elementar Permutação
associadaParidade Produto elementar
assinalado
a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33
a12a23a31 (2, 3, 1) par + a12a23a31
a13a21a32 (3, 1, 2) par + a13a21a32
a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31
a12a21a33 (2, 1, 3) ímpar - a12a21a33
a11a23a32 (1, 3, 2) ímpar - a11a23a32
Matrizes 33Produto elementar Permutação
associadaParidade Produto elementar
assinalado
a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33
a12a23a31 (2, 3, 1) par + a12a23a31
a13a21a32 (3, 1, 2) par + a13a21a32
a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31
a12a21a33 (2, 1, 3) ímpar - a12a21a33
a11a23a32 (1, 3, 2) ímpar - a11a23a32
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann
Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann
Em particular:det(I) = 1det(O) = 0
Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann
Em particular:det(I) = 1det(O) = 0
Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então:det(A) = kn
Determinantes de matrizes especiais
Se A é triangular (superior ou inferior):
det(A) = a11 a22 … ann
Propriedades dos determinantes:
1. det(A) = det(AT)2. Se A tem uma linha (ou coluna) nula
então det(A) = 03. Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas
(ou colunas) então det(A’) = - det(A)4. Se A tem duas linhas (ou colunas)
iguais então det(A) = 0
Propriedades dos determinantes:
5. Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por então det(A’) = det(A)
6. Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0
7. det(A) = n det(A)
Propriedades dos determinantes:
8. Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então
det(A) = det + det
n
i
L
L
L
'
1
n
i
L
L
L
''
1
Propriedades dos determinantes:
9. A mesma propriedade para as colunas10. det(AB) = det(A) det(B)11. A é invertível se e só se det(A) 0
(e se e só se car(A) = n)12. Se A é invertível então det(A-1)=
)det(
1
A
Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo I
Trocando duas linhas o determinante muda o sinalEXEMPLO
162
510
963
det
162
963
510
det
Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo II
Multiplicar uma linha por um escalar não nuloEXEMPLO
162
321
510
det3
162
963
510
det
Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo III
Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalarEXEMPLO
133 2
5100
510
321
det
162
510
321
det
LLL
Cálculo do determinante por condensação da matriz:
165553
5500
510
321
det3
5100
510
321
det3
162
510
321
det3
162
321
510
det3
162
963
510
det
Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace:• Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao
determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij
• Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por ijA
EXEMPLO
722
281
532
A
341ˆ3428
53det
31ˆ372
21det
3113
3131
1221
1212
AAA
AAA
Teorema de Laplace
• Para cada linha k:
• Para cada coluna j:
knknkkkk AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211
njnjjjjj AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211
Observações
• O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1;
• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;
• Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.
EXEMPLO:
1211
1121
1112
1111
det
EXEMPLO:
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det
EXEMPLO:
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
EXEMPLO:
032
113
221
det
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
EXEMPLO:
470
770
221
det
032
113
221
det
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
EXEMPLO:
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
47
77det11
470
770
221
det
032
113
221
det 11
EXEMPLO:
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
214928
47
77det11
470
770
221
det
032
113
221
det 11
Inversa de uma matriz usando determinantes• Matriz dos co-factores ou dos complementos
algébricos:
• Matriz adjunta da matriz A:
• Matriz inversa de A:
ijAA ˆˆ
TAAAdj ˆ)(
)(det
11 AAdjA
A
EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
12
34A
EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
13
24ˆ)(12
34ˆ TAAadjA
EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
13
24
2
1
264)det(
13
24ˆ)(12
34ˆ
1A
A
AAadjA T
EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
2
1
2
312
13
24
2
1
264)det(
13
24ˆ)(12
34ˆ
1A
A
AAadjA T
Regra prática para determinantes 33
211
112
121
det
Regra prática para determinantes 33
112
121
211
112
121
121112211
211
112
121
det
Regra prática para determinantes 33
112
121
211
112
121
111111222
121112211
211
112
121
det
Regra prática para determinantes 33
112
121
211
112
121
4106111111222
121112211
211
112
121
det
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