Álgebra Linear e

Geometria Analítica

6ª aula

DETERMINANTES

PermutaçõesUma permutação

= ( p1, p2, p3, … , pn) dos elementos do conjunto

{1, 2, 3, … , n}é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões

EXEMPLO:

= ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

EXEMPLO:

= ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade dos elementos do conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Paridade de uma permutaçãoNúmero de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem.

Permutação par número de trocas parPermutação ímpar número de trocas ímpar

Como determinar a paridade rapidamente?

Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

Como determinar a paridade rapidamente?

Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

Exemplo: = (4, 1, 3, 2)

Como determinar a paridade rapidamente?

Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0

Como determinar a paridade rapidamente?

Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0 (3+0+1+0) = 4

Como determinar a paridade rapidamente?

Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0 (3+0+1+0) = 4

é par

Sinal de uma permutação

ímparése

parése

1

1)sgn(

Exemplos:

= (6, 5, 3, 1, 2, 4)paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11sgn() = -1

= (1, 3, 2, 4, 6, 5)paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2sgn() = +1

Produtos elementares:

A é uma matriz quadrada nnChama-se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A.a1p1

a2p2 a3p3

… anpn

Exemplos:

= (6, 5, 3, 1, 2, 4)Produto elementar correspondente:a16 a25 a33 a41 a52 a64

= (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar correspondente:a11 a23 a32 a44 a56 a65

Produtos elementares assinalados:

A é uma matriz quadrada nnChama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente:sign()a1p1

a2p2 a3p3

… anpn

Com = (p1, p2, …, pn )

Exemplos:

= (6, 5, 3, 1, 2, 4)Produto elementar assinalado correspondente:- a16 a25 a33 a41 a52 a64

= (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar assinalado correspondente:+ a11 a23 a32 a44 a56 a65

Determinante de uma matriz:

Determinante da matriz A é a soma de

todos os produto elementares assinalados

de A.

Representa-se por det(A) ou por |A|

Matrizes 22

Produtoelementar

Permutação associada

Paridade Produto elementar assinalado

a11a22 (1, 2) par a11a22

a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21

Matrizes 22

Produtoelementar

Permutação associada

Paridade Produto elementar assinalado

a11a22 (1, 2) par a11a22

a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21

det(A) = a11a22 - a12a21

Matrizes 33Produto elementar Permutação

associadaParidade Produto elementar

assinalado

a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33

a12a23a31 (2, 3, 1) par + a12a23a31

a13a21a32 (3, 1, 2) par + a13a21a32

a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31

a12a21a33 (2, 1, 3) ímpar - a12a21a33

a11a23a32 (1, 3, 2) ímpar - a11a23a32

Matrizes 33Produto elementar Permutação

associadaParidade Produto elementar

assinalado

a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33

a12a23a31 (2, 3, 1) par + a12a23a31

a13a21a32 (3, 1, 2) par + a13a21a32

a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31

a12a21a33 (2, 1, 3) ímpar - a12a21a33

a11a23a32 (1, 3, 2) ímpar - a11a23a32

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32

Determinantes de matrizes especiais

Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann

Determinantes de matrizes especiais

Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann

Em particular:det(I) = 1det(O) = 0

Determinantes de matrizes especiais

Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann

Em particular:det(I) = 1det(O) = 0

Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então:det(A) = kn

Determinantes de matrizes especiais

Se A é triangular (superior ou inferior):

det(A) = a11 a22 … ann

Propriedades dos determinantes:

1. det(A) = det(AT)2. Se A tem uma linha (ou coluna) nula

então det(A) = 03. Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas

(ou colunas) então det(A’) = - det(A)4. Se A tem duas linhas (ou colunas)

iguais então det(A) = 0

Propriedades dos determinantes:

5. Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por então det(A’) = det(A)

6. Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0

7. det(A) = n det(A)

Propriedades dos determinantes:

8. Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então

det(A) = det + det

n

i

L

L

L

'

1

n

i

L

L

L

''

1

Propriedades dos determinantes:

9. A mesma propriedade para as colunas10. det(AB) = det(A) det(B)11. A é invertível se e só se det(A) 0

(e se e só se car(A) = n)12. Se A é invertível então det(A-1)=

)det(

1

A

Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo I

Trocando duas linhas o determinante muda o sinalEXEMPLO

162

510

963

det

162

963

510

det

Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo II

Multiplicar uma linha por um escalar não nuloEXEMPLO

162

321

510

det3

162

963

510

det

Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo III

Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalarEXEMPLO

133 2

5100

510

321

det

162

510

321

det

LLL

Cálculo do determinante por condensação da matriz:

165553

5500

510

321

det3

5100

510

321

det3

162

510

321

det3

162

321

510

det3

162

963

510

det

Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace:• Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao

determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij

• Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por ijA

EXEMPLO

722

281

532

A

341ˆ3428

53det

31ˆ372

21det

3113

3131

1221

1212

AAA

AAA

Teorema de Laplace

• Para cada linha k:

• Para cada coluna j:

knknkkkk AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211

njnjjjjj AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211

Observações

• O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1;

• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;

• Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

EXEMPLO:

1211

1121

1112

1111

det

EXEMPLO:

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det

EXEMPLO:

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det 11

EXEMPLO:

032

113

221

det

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det 11

EXEMPLO:

470

770

221

det

032

113

221

det

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det 11

EXEMPLO:

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det 11

47

77det11

470

770

221

det

032

113

221

det 11

EXEMPLO:

032

221

113

det11

0320

2210

1130

1111

det

1211

1121

1112

1111

det 11

214928

47

77det11

470

770

221

det

032

113

221

det 11

Inversa de uma matriz usando determinantes• Matriz dos co-factores ou dos complementos

algébricos:

• Matriz adjunta da matriz A:

• Matriz inversa de A:

ijAA ˆˆ

TAAAdj ˆ)(

)(det

11 AAdjA

A

EXEMPLO:

11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

2222

1221

2112

1111

AA

AA

A

12

34A

EXEMPLO:

11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

2222

1221

2112

1111

AA

AA

A

13

24ˆ)(12

34ˆ TAAadjA

EXEMPLO:

11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

2222

1221

2112

1111

AA

AA

A

13

24

2

1

264)det(

13

24ˆ)(12

34ˆ

1A

A

AAadjA T

EXEMPLO:

11det1ˆ22det1ˆ

33det1ˆ44det1ˆ

43

21

2222

1221

2112

1111

AA

AA

A

2

1

2

312

13

24

2

1

264)det(

13

24ˆ)(12

34ˆ

1A

A

AAadjA T

Regra prática para determinantes 33

211

112

121

det

Regra prática para determinantes 33

112

121

211

112

121

121112211

211

112

121

det

Regra prática para determinantes 33

112

121

211

112

121

111111222

121112211

211

112

121

det

Regra prática para determinantes 33

112

121

211

112

121

4106111111222

121112211

211

112

121

det