Álgebra de boole

Algebra de Boole

Alberto Simoesalberto.simoes@eu.ipp.pt

3 de Outubro de 2009

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de Boole

Simplificadamente, uma algebra define:

um conjunto de valores;um conjunto de operacoes;e garante um conjunto de propriedades

George Boole definiu uma algebra baseada em valores logicos:sobre um conjunto de dois valores:

verdadeiro (1)falso (0)

com tres operacoes basicas:

negacao (nao)conjuncao (e)disjuncao (ou)

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de Boole

Simplificadamente, uma algebra define:

um conjunto de valores;um conjunto de operacoes;e garante um conjunto de propriedades

George Boole definiu uma algebra baseada em valores logicos:sobre um conjunto de dois valores:

verdadeiro (1)falso (0)

com tres operacoes basicas:

negacao (nao)conjuncao (e)disjuncao (ou)

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de Boole

Simplificadamente, uma algebra define:

um conjunto de valores;um conjunto de operacoes;e garante um conjunto de propriedades

George Boole definiu uma algebra baseada em valores logicos:sobre um conjunto de dois valores:

verdadeiro (1)falso (0)

com tres operacoes basicas:

negacao (nao)conjuncao (e)disjuncao (ou)

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleNegacao

A negacao e habitualmente lida nao (not);

A sua representacao matematica e ¬;

x ¬x

0 11 0

¬0 = 1

¬1 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleNegacao

A negacao e habitualmente lida nao (not);

A sua representacao matematica e ¬;

x ¬x

0 11 0

¬0 = 1

¬1 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleNegacao

A negacao e habitualmente lida nao (not);

A sua representacao matematica e ¬;

x ¬x

0 11 0

¬0 = 1

¬1 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleConjuncao

A conjuncao e habitualmente lida e (and);

A sua representacao matematica e ∧;

∧ 0 1

0 0 01 0 1

1 ∧ 1 = 1

1 ∧ 0 = 0

0 ∧ 1 = 0

0 ∧ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleConjuncao

A conjuncao e habitualmente lida e (and);

A sua representacao matematica e ∧;

∧ 0 1

0 0 01 0 1

1 ∧ 1 = 1

1 ∧ 0 = 0

0 ∧ 1 = 0

0 ∧ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleConjuncao

A conjuncao e habitualmente lida e (and);

A sua representacao matematica e ∧;

∧ 0 1

0 0 01 0 1

1 ∧ 1 = 1

1 ∧ 0 = 0

0 ∧ 1 = 0

0 ∧ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleDisjuncao

A disjuncao e habitualmente lida ou (or);

A sua representacao matematica e ∨;

∨ 0 1

0 0 11 1 1

1 ∨ 1 = 1

1 ∨ 0 = 1

0 ∨ 1 = 1

0 ∨ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleDisjuncao

A disjuncao e habitualmente lida ou (or);

A sua representacao matematica e ∨;

∨ 0 1

0 0 11 1 1

1 ∨ 1 = 1

1 ∨ 0 = 1

0 ∨ 1 = 1

0 ∨ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleDisjuncao

A disjuncao e habitualmente lida ou (or);

A sua representacao matematica e ∨;

∨ 0 1

0 0 11 1 1

1 ∨ 1 = 1

1 ∨ 0 = 1

0 ∨ 1 = 1

0 ∨ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleOperadores Derivados

Implicacao:a⇒ b = ¬(a ∧ ¬b)

Ou exclusivo:

a⊕ b = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)

Equivalencia:a ≡ b = ¬(a⊕ b)

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleImplicacao

A implicacao e habitualmente lida implica (implies);

A sua representacao matematica e ⇒;

⇒ 0 1

0 1 11 0 1

1⇒ 1 = 1

1⇒ 0 = 0

0⇒ 1 = 1

0⇒ 0 = 1

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleImplicacao

A implicacao e habitualmente lida implica (implies);

A sua representacao matematica e ⇒;

⇒ 0 1

0 1 11 0 1

1⇒ 1 = 1

1⇒ 0 = 0

0⇒ 1 = 1

0⇒ 0 = 1

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleImplicacao

A implicacao e habitualmente lida implica (implies);

A sua representacao matematica e ⇒;

⇒ 0 1

0 1 11 0 1

1⇒ 1 = 1

1⇒ 0 = 0

0⇒ 1 = 1

0⇒ 0 = 1

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleOu exclusivo

O ou exclusivo e habitualmente denotado por xor;

a⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;

Nao tem uma representacao matematica oficial;

Nestes slides, sera usado o ⊕;

⊕ 0 1

0 0 11 1 0

1⊕ 1 = 0

1⊕ 0 = 1

0⊕ 1 = 1

0⊕ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleOu exclusivo

O ou exclusivo e habitualmente denotado por xor;

a⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;

Nao tem uma representacao matematica oficial;

Nestes slides, sera usado o ⊕;

⊕ 0 1

0 0 11 1 0

1⊕ 1 = 0

1⊕ 0 = 1

0⊕ 1 = 1

0⊕ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleOu exclusivo

O ou exclusivo e habitualmente denotado por xor;

a⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;

Nao tem uma representacao matematica oficial;

Nestes slides, sera usado o ⊕;

⊕ 0 1

0 0 11 1 0

1⊕ 1 = 0

1⊕ 0 = 1

0⊕ 1 = 1

0⊕ 0 = 0

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleEquivalencia

A equivalencia e habitualmente lida equivale a;

A sua representacao matematica e ≡;

≡ 0 1

0 1 01 0 1

1 ≡ 1 = 1

1 ≡ 0 = 0

0 ≡ 1 = 0

0 ≡ 0 = 1

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleEquivalencia

A equivalencia e habitualmente lida equivale a;

A sua representacao matematica e ≡;

≡ 0 1

0 1 01 0 1

1 ≡ 1 = 1

1 ≡ 0 = 0

0 ≡ 1 = 0

0 ≡ 0 = 1

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleEquivalencia

A equivalencia e habitualmente lida equivale a;

A sua representacao matematica e ≡;

≡ 0 1

0 1 01 0 1

1 ≡ 1 = 1

1 ≡ 0 = 0

0 ≡ 1 = 0

0 ≡ 0 = 1

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleLeis basicas

Associatividade da disjuncao e conjuncao:

a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

Comutatividade da disjuncao e conjuncao:

a ∧ b = b ∧ a

a ∨ b = b ∨ a

Distributividade:

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleLeis basicas

Associatividade da disjuncao e conjuncao:

a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

Comutatividade da disjuncao e conjuncao:

a ∧ b = b ∧ a

a ∨ b = b ∨ a

Distributividade:

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleLeis basicas

Associatividade da disjuncao e conjuncao:

a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

Comutatividade da disjuncao e conjuncao:

a ∧ b = b ∧ a

a ∨ b = b ∨ a

Distributividade:

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleLeis basicas

Dupla Negacao¬¬a = a

De Morgan¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b

¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b

Mais em http:

//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_Boolean_algebra

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleLeis basicas

Dupla Negacao¬¬a = a

De Morgan¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b

¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b

Mais em http:

//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_Boolean_algebra

Alberto Simoes Algebra de Boole

Algebra de BooleLeis basicas

Dupla Negacao¬¬a = a

De Morgan¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b

¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b

Mais em http:

//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_Boolean_algebra

Alberto Simoes Algebra de Boole