aluno vol2 mat ef 7a

6a SRIE 7oANOENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAISVolume 2

MATEMTICA

CADERNO DO ALUNO

MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMTICAENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

6a SRIE/7o ANOVOLUME 2

Nova edio

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAO

So Paulo

Governo do Estado de So Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Af Domingos

Secretrio da Educao

Herman Voorwald

Secretria-Adjunta

Cleide Bauab Eid Bochixio

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretria de Articulao Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formao e Aperfeioamento dos Professores EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gesto da Educao Bsica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gesto de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informao, Monitoramento e Avaliao

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assuno

Coordenadora de Infraestrutura e Servios Escolares

Dione Whitehurst Di Pietro

Coordenadora de Oramento e Finanas

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),

Voc est recebendo o Caderno de Matemtica para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre, voc encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabns pelo esforo!

Agora, h outros desafios pela frente. Neste Caderno, voc estudar um dos conceitos matem-ticos mais importantes do Ensino Fundamental: a proporcionalidade. Esse conceito utilizado em diversas situaes do cotidiano: na interpretao da escala de um mapa, na adaptao de uma receita culinria para mais pessoas, na tabela de preos de um estacionamento que cobra por quantidade de horas, entre muitas outras.

Alm disso, o Caderno convida voc, aluno, a conhecer um pouco mais a histria de Leonardo da Vinci e seus estudos sobre as propores ideais do corpo humano. Com essa leitura, voc reali-zar atividades que buscam verificar as razes entre as partes do corpo humano descritas por esse grande cientista, uma das figuras mais criativas do sculo XV.

Voc ter, ainda, a oportunidade de estudar a ideia de proporcionalidade a partir do duplex, um quebra-cabea desenvolvido por Lewis Carroll, autor de Alice no pas das maravilhas. O desafio consiste em transformar uma palavra em outra, trocando uma letra por vez e formando, no decor-rer da atividade, palavras conhecidas. Usando o mesmo princpio, voc poder resolver problemas matemticos por meio de tabelas.

Voc aprender tambm a possvel utilizao de letras para representar algum valor desconhe-cido. O uso de letras na Matemtica comum na representao de padres em sequncias e voc, a partir da observao, generalizao e registro algbrico, poder desenvolver as atividades propostas com bastante xito.

As frmulas no aparecem apenas na Geometria, mas esto por toda a parte, como se pode verificar na Fsica, quando relacionamos a distncia aproximada percorrida por um objeto em queda livre e o tempo de queda. Ou, ainda, aparecem tambm relacionadas sade, como o ndice de Massa Corprea (IMC) que pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa.

Esperamos que voc participe de todas as atividades propostas pelo professor e, com isso, possa aprender cada vez mais. O objetivo contribuir para que o estudo da Matemtica seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!

Equipe Curricular de MatemticaCoordenadoria de Gesto da Educao Bsica CGEB

Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

Matemtica 6a srie/7o ano Volume 2

5

SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 A NOO DE PROPORCIONALIDADE

Reconhecendo a proporcionalidade

1. Verifique se as previses feitas so confiveis e se h proporcionalidade entre as grandezas en-volvidas. Justifique sua resposta.

a) Um pintor gastou 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes iguais quela, ele levar 2 horas.

b) Um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, ao final do primeiro tempo (45 minutos), ele ter marcado 6 gols.

c) Uma banheira contendo 100 litros de gua demorou, aproximadamente, 5 minutos para ser esvaziada. Para esvaziar uma banheira com 200litros de gua sero necessrios, aproxima-damente, 10 minutos.

d) Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade constante percorreu 60km. Mantendo a mesma velocidade, aps 3 horas ele ter percorrido 150 km.

e) Um estacionamento cobra R$ 3,00 por hora. Por um automvel que ficou estacio - nado 2horas, foi cobrado do motorista o valor de R$ 6,00. Se ele ficasse estacionado 6ho-ras, o valor cobra do seria de R$ 18,00.

VOC APRENDEU?


6

f ) Em 20 minutos, uma pessoa gastou R$ 30,00 no supermercado. Se ela ficar 40 minutos, gastar R$ 60,00.

g) Ao tomar um txi para ir da minha casa at a escola, o motorista passou por 4 avenidas diferentes. O valor cobrado pela corrida foi de R$ 10,00. Na volta, ele passar somente por 2 avenidas, portanto, o valor cobrado ser de R$ 5,00.

2. Em cada um dos casos a seguir, verifique se h ou no proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. Justifique sua resposta.

a) A altura de uma pessoa diretamente proporcional sua idade?

b) O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro diretamente proporcional quantidade de litros abastecidos?

c) A massa de uma pessoa diretamente proporcional sua idade?

d) O permetro de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado?

e) A distncia percorrida por um automvel em 1 hora de viagem diretamente proporcional velocidade mdia desenvolvida?


7

Os limites da proporcionalidade

3. Analise as situaes a seguir e avalie se elas so possveis.

a) Um professor corrige 20 provas em 1 hora de trabalho. Aps 30 horas, ele ter corrigido 600 provas.

b) Um corredor percorre 10 km em 1 hora. Portanto, aps 20 horas, ele ter percorrido 200km.

c) Uma pessoa leu 3 livros na semana passada. Em um ano, ela ler 156 livros.

LIO DE CASA

4. Verifique se houve variao proporcional nos seguintes casos.

a) Uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os funcionrios. O salrio de Joo passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salrio de Antnio passou de R$1 000,00 para R$1 200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos dois funcionrios? Justifique sua resposta.


8

b) Uma empresa de informtica resolveu dar um desconto de 25% no preo de toda a sua linha de produtos. O preo de um computador passou de R$ 1 000,00 para R$750,00, e o de uma impressora passou de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve proporcionalidade no desconto dado nos dois produtos? Justifique sua resposta.

VOC APRENDEU?

Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais

5. Analise as situaes a seguir e verifique se as grandezas envolvidas so direta ou inversamente proporcionais.

a) Um pintor demora, em mdia, 2 horas para pintar uma parede de 10 m2. Observe a rela o entre o tempo gasto, o nmero de paredes pintadas e o nmero de pintores repre-sentados na tabela a seguir e complete as sentenas.

SITUAES A B C D

Nmero de pintores 1 1 2 2

Nmero de paredes de 10 m2 1 2 1 2

Tempo gasto (horas) 2 4 1 2

t 0UFNQPHBTUP proporcional ao nmero de pintores.

t 0UFNQPHBTUP proporcional ao nmero de paredes.


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b) Um automvel gasta 2 horas para percorrer 200 km, viajando com velocidade mdia de 100km/h. Observe a relao entre a velocidade mdia, a distncia percorrida e o tempo gasto na viagem representados na tabela a seguir e complete as sentenas.

SITUAES A B C D

Velocidade mdia (km/h) 100 100 50 50

Distncia percorrida 200 400 400 100

Tempo gasto (horas) 2 4 8 2

t "EJTUODJBQFSDPSSJEB proporcional velocidade.

t 0UFNQPHBTUP proporcional velocidade.

Leitura e anlise de texto

Duplex

Lewis Carroll, autor de Alice no pas das maravilhas, era um matemtico que ado-rava desenvolver quebra-cabeas. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabea que envolvia a transformao de duas palavras com o mesmo nmero de letras. O desafio consistia em partir de uma palavra e chegar outra de mesmo nmero de letras, trocando uma letra por vez e formando, no caminho, palavras conhecidas. Veja o exemplo a seguir.

t 5SBOTGPSNBS0630FN-*90

O U R O Etapas

M U R O Trocar o O pelo M

M U D O Trocar o R pelo D

M E D O Trocar o U pelo E

L E D O Trocar o M pelo L

L I D O Trocar o E pelo I

L I X O Trocar o D pelo X


10

VOC APRENDEU?

6. Agora sua vez. Resolva os duplex a seguir.

TIA POR LISO POETA

LUA MAL PENA TANGO


Duplex, tabelas e proporcionalidade

Usando o mesmo princpio, podemos resolver problemas matemticos por meio de tabelas. Em vez de letras, o incio e o fim do encadeamento sero nmeros. Por exemplo:

Para fazer uma dzia de pes, um padeiro gasta, aproximadamente, 3 600 gramas de farinha. Quantos gramas de farinha sero necessrios para fazer 18 pes?

1o passo: colocar as informaes em uma tabela.

Nmero de pes Farinha (gramas)

12 3 600

18 ?

2o passo: verificar se as grandezas envolvidas so direta ou inversamente proporcio-nais. Se forem diretamente proporcionais, ento as grandezas devem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo fator. No caso de serem inversamente proporcionais, se uma das grandezas for multiplicada por um nmero, a outra dever ser dividida por esse mesmo nmero e vice-versa.


11

VOC APRENDEU?

7. Na tabela a seguir, registraram-se a quantidade vendida e o valor recebido pela venda de um mesmo produto. Contudo, alguns valores no foram preenchidos. Complete a tabela, man-tendo a proporcionalidade direta entre a quantidade vendida e o valor recebido.

Quantidade vendida Valor recebido

10 R$ 30,00

5

R$ 3,00

R$ 21,00

14

R$ 420,00

3o passo: assim como no duplex, o desafio ser transformar o nmero 12 em 18 por meio de operaes de multiplicao ou diviso, mantendo a proporcionalidade (direta ou inversa) entre as grandezas envolvidas.

Nmero de pes Farinha (gramas) Transformaes

12 3 600 Diviso por 6

2 600 Multiplicao por 9

18 5 400

6 6

u9 u9

Portanto, sero necessrios 5 400 gramas de farinha para fazer os 18 pes.


12

8. Um clube dispe de uma quantia fixa de dinheiro para comprar bolas de futebol para os treinamentos. Com o dinheiro disponvel, possvel comprar, de um fornecedor, 24 bolas a R$ 6,00 cada. O gerente pesquisou os preos de outros fabricantes e anotou as informaes na tabela a seguir. Complete-a obedecendo ao princpio de proporcionalidade e descubra qual foi o menor preo pesquisado pelo gerente.

Preo de uma bola Nmero de bolas

R$ 6,00 24

R$ 12,00

R$ 4,00

72

R$ 24,00

144

R$ 72,00

Resposta:

9. Para produzir 1 000m de um cabo telefnico, 24 operrios trabalham regularmente durante 6 dias. Quantos dias sero necessrios para produzir 1 250 m de cabo com 10operrios trabalhando?

a) Indique se as grandezas, duas a duas, mantidas as demais constantes, so direta ou inversa-mente proporcionais.

t'JYBOEPTFPUFNQPEFUSBCBMIPBQSPEVPEFDBCPT proporcional ao nmero de operrios.

t'JYBOEPTF B RVBOUJEBEF EF DBCPT P UFNQP EF QSPEVP proporcional ao nmero de operrios.

t'JYBOEPTFPONFSPEFPQFSSJPTBRVBOUJEBEFEFDBCPT proporcional ao tempo de produo.


13

b) Preencha a tabela a seguir mantendo a proporcionalidade entre as linhas.

Produo de cabos (m) Nmero de operrios Tempo de produo (dias)

1 000 24 6

2 000 24

2 000 6

500 6

500 24

500 12

3 12

3 6

1 250 6

1 250 10

LIO DE CASA

10. Para produzir 180 pias de granito, 15 pessoas trabalham durante 12 dias em uma jornada de 10 horas de trabalho dirio. Procurando adequar sua empresa nova legislao trabalhista, o di-retor reduziu a jornada de trabalho de 10 para 8 horas ao dia e contratou mais funcionrios. Ao mesmo tempo, a demanda por pias aumentou, e ser necessrio aumentar a produo. Nesse novo contexto, quantos dias sero necessrios para produzir 540 pias de granito, contando com 25 pessoas trabalhando 8 horas por dia?

a) Relacione, duas a duas, as grandezas mantidas as demais constantes, e indique o tipo de proporcionalidade envolvida (direta ou inversa).


14

b) Preencha a tabela a seguir e encontre a soluo do problema.

Produo de pias Nmero de funcionriosTempo de

produo (dias)Nmero de horas

trabalhadas por dia

180 15 12 10

540 25 8

Resposta:


15

SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 RAZO E PROPORO

VOC APRENDEU?

O conceito de razo

1. O que voc entende por razo?

2. Procure no dicionrio alguns significados para a palavra razo.

3. Qual o significado da palavra razo em Matemtica?

4. Calcule os resultados das razes a seguir e expresse-os em termos de porcentagem:

a) razo 3 : 150b) razo 24 : 40c) razo 4 : 50d) razo 9 : 125e) razo 165 : 300


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Escala

5. O que escala? Explique por meio de um exemplo.

6. O mapa a seguir foi feito na escala 1 : 30 000 000 (l-se um para trinta milhes). Essa nota-o representa a razo de proporcionalidade entre o desenho e o real, ou seja, cada unidade no desenho , na realidade, 30 milhes de vezes maior. Utilizando uma rgua e a escala fornecida, determine:

OCEANO

ATL

NTIC

O

BeloHorizonte

Braslia

So PauloRio de Janeiro

Florianpolis

SP

MGGO

RJ

ES

SC

PR

N

S

LO

1 : 30 000 000

C

onex

o E

dito

rial

Mapa ilustrativo. Elaborado especialmente para o So Paulo faz escola.

a) a distncia real entre Braslia e Rio de Janeiro;

b) a distncia real entre Florianpolis e Braslia.


17

LIO DE CASA


Velocidade

Em Fsica, a velocidade a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posio. Em nosso cotidiano, a palavra velocidade geralmente significa velocidade mdia, que a razo entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para efetuar esse deslocamento. Dessa forma, quando nos referimos velocidade de um carro (80 km/h), ou de um corredor (4 m/s), estamos nos referindo sua velocidade mdia.

O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situaes anlogas. Por exemplo: a pulsao ou frequncia de batimentos cardacos exprime a rapidez com que o corao bate, ou seja, o nmero de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa ter uma pulsao entre 60 e 100 batimentos por minuto.

7. Com base no texto apresentado na seo Leitura e anlise de texto, resolva as seguintes questes.

a) Qual foi a velocidade mdia de um automvel que percorreu 530 km em 6 horas?

Resposta:

b) Qual a pulsao (batimentos por minuto) de uma pessoa cujo corao bate 12 vezes a cada 10 segundos?

Resposta:

c) Qual a velocidade de transmisso de dados na internet, em kbps (quilobytes por segundo), de um computador que leva 30 segundos para baixar um arquivo de 12megabytes? (Dica: 1 megabyte 1 000 quilobytes.)

Resposta:


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PESQUISA INDIVIDUAL

8. Pesquise o significado das expresses densidade de um material e densidade demogrfica.

VOC APRENDEU?

9. Com base na pesquisa anterior, resolva as questes a seguir.

a) Sabendo que 300 g de uma substncia ocupam um volume de 450 cm3, determine a densi-dade dessa substncia.

Resposta:

b) A populao estimada do Estado de So Paulo, em 1o de julho do ano de 2013, era de, aproximadamentea, 42 304 694 habitantes. Sabendo que a rea do Estado de, aproxima-damente, 248 209 km2, calcule sua densidade demogrfica.

Resposta:

a Fonte: Fundao Seade. Disponvel em: . Acesso em: 20 nov. 2013.


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PIB per capita

a razo entre o valor de todos os bens e servios produzidos em um pas em 1 ano e o total da populao.

10. Resolva as questes a seguir.

a) O PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro em 2012, medido em dlares, foi de aproxima-damente US$ 2,253 trilhes para uma populao estimada em 198,7 milhes de pessoas. Determine o PIB per capita brasileiro nesse ano.

Resposta:

b) O PIB da ndia em 2006 foi de US$ 903 bilhes para uma populao estimada em 1 bilho e 150 milhes de habitantes. Determine o PIB per capita da ndia em 2006.

Resposta:

11. Seu professor vai propor que voc discuta com seus colegas se o resultado do PIB per capita brasileiro obtido na atividade anterior representa, de fato, a condio econmica da popu - lao brasileira. Escreva um pargrafo sobre suas concluses.


20


Probabilidade

A probabilidade um tipo especial de razo, na qual se compara o nmero de pos-sibilidades de ocorrncia de um evento particular com o nmero total de possibilidades relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lanamento de uma moeda, a probabilidade de obter a face cara de uma em duas, ou seja, uma chance em duas, ou 1 __ 2 , ou, ainda, 50%. a razo entre o nmero de possibilidades de obter cara (1) e o nmero total de possibilidades, cara ou coroa (2). No lanamento de um dado numerado de 1 a 6, a probabilidade de obter o nmero 5 de uma em seis, ou 1 __

6 , ou 16,7%.

VOC APRENDEU?

12. Com base nas informaes apresentadas na seo Leitura e anlise de texto, resolva as questes a seguir.

a) No lanamento de um dado numerado de 1 a 6, qual a probabilidade de obter um nmero par? E um nmero maior que 4?

Resposta:

b) Jogando-se ao acaso duas moedas, qual a probabilidade de obter duas coroas?

Resposta:


21

c) Uma urna contm 7 bolas, sendo 3 vermelhas e 4 pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja vermelha? E de que ela seja preta?

Resposta:

d) Um baralho contm 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espadas e paus). Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se obter uma carta de copas? E de se obter um valete?

Resposta:

LIO DE CASA

13.Para cada situao, preencha a tabela e calcule a razo entre as grandezas envolvidas. Em segui-da, verifique se h proporcionalidade entre elas.

a) Se 5 bolas de futebol custam R$ 100,00, ento 7 bolas custaro R$ 140,00.

Nmero de bolas Valor pago em reais Razo (preo por bola)

Resposta:


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b) Um automvel percorreu 120 km em 1 hora e meia. Em 2 horas, ele ter percorrido 160km.

Distncia percorrida em km Tempo em horas Razo (velocidade)

Resposta:

c) Um supermercado vende 4 rolos de papel higinico por R$ 3,00 e 12 rolos por R$8,00.

Nmero de rolos Valor pago em reais Razo (preo por rolo)

Resposta:

d) Em uma receita de milk-shake, recomenda-se colocar 3 bolas de sorvete de chocolate para 2 xcaras e meia de leite (1 xcara equivale a 250 ml). Para 1 litro de leite, devemos colocar 7 bolas de sorvete.

Bolas de sorvete Nmero de xcaras de leite Razo (bolas por xcara)

Resposta:


23

e) Em determinado dia, US$ 20,00 eram vendidos por R$ 36,00 e US$ 50,00 por R$ 90,00.

Quantidade de dlares Valor em reais Razo (reais por dlar)

Resposta:


O Homem vitruviano e as razes no corpo humano

Leonardo da Vinci foi uma das figuras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itlia, no sculo XV, e criou algumas das obras mais famosas de todos os tempos, como a Mona Lisa, A ltima ceia e A virgem das rochas. Leonardo realizou estudos nas mais diversas reas: pintura, arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu, como ningum, aproximar a cincia da arte. Leonardo tambm produziu um estudo sobre as propores do corpo humano, baseado no tratado feito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, que, no sculo I a C., havia descrito as propores ideais do corpo hu-mano, segundo um padro de harmonia matemtica. Assim como muitos outros artistas, Leonardo interessou-se pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um de seus cadernos de anotao. No meio dessas anotaes, desenhou a figura de um homem dentro de um crcu-lo e de um quadrado. Essa figura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornando um de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o esprito renascentista. O desenho de Da Vinci evidenciou a retomada e a valorizao de princpios da tradio greco-latina, tais como beleza, harmonia, equilbrio e proporo. Essa obra atualmente faz parte da coleo das Gallerie dellAccademia (Galerias da Academia), em Veneza, na Itlia.

Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gra-vura do Homem vitruviano.

[...] O comprimento dos braos abertos de um homem igual sua altura [...]; desde o fundo do queixo at ao topo da cabea um oitavo da altura do homem [...]; a maior largura dos ombros contm em si prpria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo at o ngulo da axila um oitavo da altura do homem. A mo inteira ser um dcimo da altura do homem. [...] O p um stimo do homem [...]; a distncia entre o fundo do queixo e o nariz, e entre as razes dos cabelos e as sobrancelhas a mesma, e , como a orelha, um tero da cara.

Disponvel em: . Acesso em: 20 nov. 2013.


24

B

ettm

ann/

Cor

bis/

Latin

stock


25

VOC APRENDEU?

14. Com base no texto apresentado na seo Leitura e anlise de texto, preencha a tabela a seguir com as razes entre as partes do corpo humano descritas no texto de Leonardo da Vinci.

Razo entre Frao Decimal %

Longitude dos braos e altura 1 __ 1 1,0 100

Altura da cabea e altura

Largura dos ombros e altura

Distncia do cotovelo s axilas e altura

Comprimento da mo e altura

Comprimento do p e altura

Distncia do queixo ao nariz e face

Distncia da sobrancelha raiz dos cabelos e face

15. Agora, vamos verificar se as razes descritas por Leonardo da Vinci no texto anterior real-mente correspondem ao corpo retratado em seu desenho. Para isso, voc dever medir o comprimento de cada parte do corpo do Homem vitruviano, usando uma rgua milimetrada. Em seguida, calcule as razes entre as medidas obtidas e a altura do homem ou a altura da face. Registre os resultados obtidos na tabela, em porcentagem.


26

LIO DE CASA

16. Compare as razes obtidas por meio das medidas (atividade 15) com aquelas descritas no texto de Da Vinci (atividade 14). Os resultados ficaram prximos? Houve diferenas? O que poderia explicar as diferenas observadas (se houver)?

Partes do corpo Medidas em cmEm relao

alturaEm relao

face

Altura do homem

Longitude dos braos

Altura da cabea

Largura dos ombros

Do cotovelo s axilas

Comprimento da mo

Comprimento do p

Altura da face (do queixo raiz dos cabelos)

Do queixo ao nariz

Da sobrancelha raiz dos cabelos


27

SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 RAZES NA GEOMETRIA

VOC APRENDEU?

Ampliao de figuras

1. A figura a seguir mostra o desenho de uma caravela representado em uma malha quadriculada.

a) Considerando como unidade de medida os lados dos quadrados, determine o comprimento e a altura da caravela.

Resposta:

b) Qual das figuras a seguir corresponde a uma ampliao proporcional da caravela original?

I. II.

III. IV.

C

onex

o E

dito

rial

C

onex

o E

dito

rial

C

onex

o E

dito

rial

C

onex

o E

dito

rial

C

onex

o E

dito

rial


28

c) Qual foi a razo de ampliao utilizada?

Resposta:

Proporcionalidade no quadrado

2. Na malha quadriculada a seguir, desenhe 3 quadrados de lados iguais a 2 cm, 3 cm e 6 cm, respectivamente. Em cada um deles, trace uma diagonal ligando dois vrtices opostos. Mea com uma rgua o comprimento das diagonais obtidas e registre os valores na tabela. Em seguida, calcule a razo entre as medidas da diagonal e do lado de cada quadrado.

Quadrado Lado () em cm Diagonal (d) em cm Razo dQ 1 2

Q 2 3

Q 3 6

a) Duplicando a medida do lado, a medida da diagonal tambm duplica?


29

b) E triplicando a medida do lado, a medida da diagonal tambm triplica?

c) H proporcionalidade entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado?

d) A razo obtida entre as medidas da diagonal e do lado desses quadrados se aproxima de qual dos nmeros:

__ 2 ,

__ 3 ou

__ 5 ?

(Observao: voc pode utilizar a calculadora para obter uma aproximao.)

LIO DE CASA

3. Tomando como base a atividade 2, apresentada na seo Voc aprendeu?, preencha a seguinte tabela e responda s questes:

Quadrado Lado (cm)

Permetro P (cm)

rea A (cm2)

Razo P __ Razo A __ Q 1Q 2Q 3

a) H proporcionalidade entre a medida do lado e o permetro do quadrado?

b) E entre a medida do lado do quadrado e sua rea?

c) O que acontece com a rea do quadrado quando duplicamos seu lado?

d) E quando triplicamos?


30

O15o

A

30o

60o

D

B

C

VOC APRENDEU?

ngulos e tringulos

4. Na figura a seguir, cada um dos ngulos do tringulo retngulo foi associado a seu lado oposto. Esse lado o cateto oposto ao ngulo indicado. Por exemplo, o ngulo de 30o tem como cateto oposto o segmento AC. Vamos investigar se existe proporcionalidade entre os ngulos assinalados e os catetos opostos correspondentes.

a) Registre a medida dos catetos AB, AC e AD na tabela.

ngulos Catetos (cm)

15o

30o

60o

b) Duplicando o ngulo de 30, o cateto oposto aumenta na mesma proporo? Verifique to-mando por base os dados da tabela.

c) Triplicando o ngulo de 30, o que acontece com a medida do cateto oposto?

d) As medidas dos ngulos so diretamente proporcionais s medidas dos catetos opostos a eles?


31

Atividade para investigao!

Proporcionalidade na circunferncia

Uma das caractersticas mais importantes de uma circunferncia a equidistncia de seus pontos em relao ao centro. Por essa razo, ela considerada a figura geomtrica mais perfeita em termos de simetria. Alm disso, qualquer que seja a circunferncia, sua forma sempre a mesma. Uma circunferncia maior uma ampliao perfeita de uma menor. Ser, ento, que h proporcionalidade entre suas partes? o que vamos verificar a seguir.

Material necessrio: objetos circulares, por exemplo, um CD, uma lata de leite conden-sado, uma moeda etc.; fita mtrica; rgua; compasso; folha de papel sulfite.

Etapas:

I. Mea o comprimento da circunferncia do objeto usando a fita mtrica.

II. Coloque o objeto sobre o papel sulfite e desenhe o seu contorno (circunferncia).

Exemplo:p

III. Marque trs pontos quaisquer, A, B e C, na circunferncia.

C A

B

C

onex

o E

dito

rial


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IV. Usando o compasso, trace a mediatriz entre os pontos A e B e entre os pon-tos B e C.

C A

B

V. A interseo das duas mediatrizes o centro da circunferncia. Desenhe o dime-tro da circunferncia e mea seu comprimento com a rgua.


33

5. Registre as medidas do comprimento da circunferncia (C) e do dimetro (D) do objeto circular na tabela. Em seguida, calcule a razo entre C e D. Registre tambm as medidas e as razes obtidas por quatro colegas que tenham escolhido um objeto diferente do seu.

Objeto circular Comprimento C (cm) Dimetro D (cm) Razo C ___ D

Mdia

a) A medida do comprimento e do dimetro das circunferncias variou de objeto para objeto?

b) E o valor da razo entre o comprimento e o dimetro da circunferncia?

c) Calcule a mdia das razes obtidas e registre-a na tabela anterior.

d) Para uma circunferncia perfeita, o valor da razo entre seu comprimento e seu dimetro se apro-xima de um valor constante, que vale aproximadamente 3,14. A essa razo foi dado o nome de pi, representado pela letra do alfabeto grego . O valor da mdia que voc calculou ficou acima, igual ou abaixo do valor de ? Se no foi igual, a que voc atribuiria essa diferena?

LIO DE CASA

6. Na malha quadriculada a seguir, desenhe trs circunferncias de raios iguais a 1 cm, 2 cm e 3 cm, respectivamente, e trace seus dimetros. Com o auxlio de uma fita mtrica ou um barbante e uma rgua, mea o comprimento C de cada circunferncia e de seu dimetro D. Registre os valores obtidos na tabela e calcule a razo entre C e D.


34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Considere que cada unidade da malha possui 1 cm de lado.

Circunferncia Comprimento C (cm) Dimetro D (cm) Razo C ___ D

C1

C2

C3


35

a) O que acontece quando duplicamos a medida do dimetro da circunferncia de 2 cm para 4 cm?

b) E quando triplicamos o dimetro da circunferncia de 2 cm para 6 cm?

c) Calcule a razo entre o comprimento e o dimetro de cada circunferncia.

d) Existe proporcionalidade entre o comprimento da circunferncia e seu dimetro?

VOC APRENDEU?

7. Se a razo entre o comprimento da circunferncia (C) e seu dimetro (D) constante e vale, aproximadamente, 3,1, isso significa que podemos calcular C multiplicando D por esse valor. Ou seja, C = 3,1 uD. Da mesma forma, conhecendo o comprimento C de uma circunferncia, podemos obter seu dimetro dividindo C por 3,1. Com base nessas ideias, resolva os seguintes problemas.

a) Uma pista de corrida foi construda na forma de um crculo. Sabendo-se que o dime - tro dessa pista mede 2 km, calcule o comprimento da pista inteira.

b) Para fazer uma circunferncia, Marcos usou o compasso com abertura de 5 cm (raio). Quanto mede o comprimento dessa circunferncia?


36

c) Usando um barbante, mediu-se o comprimento da circunferncia de uma lata cilndrica. O resultado dessa medida foi 62 cm. Qual o dimetro dessa lata?

d) O aro de uma bicicleta mede aproximadamente 40 cm. A espessura do pneu de aproxima-damente 3 cm. Qual o comprimento da roda dessa bicicleta? Qual a distncia que essa bicicleta deve percorrer em 10 pedaladas?

e) O dimetro de uma circunferncia mede 10 cm. Qual o comprimento aproximado dessa circunferncia?


37


A razo urea

Na Matemtica, existem alguns nmeros que so especiais e, por isso, recebem um nome prprio. o caso do nmero pi (), que vale aproximadamente 3,14159... e repre-senta a razo constante existente entre a circunferncia de qualquer crculo e seu dimetro. Dessa forma, em qualquer clculo que envolva circunferncias, a razo est presente. Um aspecto surpreendente desse nmero o fato de que ele possui infinitas casas decimais, sem nenhum padro aparente de repetio. Por essa razo, classificado como um nmero irracional, isto , que no pode ser gerado por uma diviso entre inteiros.

Outro nmero especial na Matemtica, embora menos conhecido, o fi, representado pela letra grega q. Ele vale aproximadamente 1,618..., e, assim como o , tambm irracional. O q decorre de uma razo muito especial, que pode ser encontrada nas mais diferentes situaes, tanto na natureza (no formato de uma concha, na espiral de uma marga-rida, no crescimento dos galhos de uma rvore) como nas construes humanas e suas artes (o Parthenon grego, a sede da ONU em Nova Iorque, alguns quadros de Leonardo da Vinci etc.). Por isso, essa razo tambm foi chamada de razo urea ou proporo divina.

Concha Nautilus.

G

avin

Kin

gcom

e/SP

L/La

tinsto

ck

Lado maior a

Lado

mai

or

b


38

Leonardo da Vinci, Mona Lisa, 1503-1507, leo sobre madeira, Museu do Louvre.

A palavra proporo pode ser entendida de diferentes maneiras. No uso comum, proporo pode significar a relao comparativa entre duas quantidades, como no caso da receita de um suco concentrado (uma parte de suco para trs partes de gua). Tam-bm pode significar uma relao harmoniosa ou agradvel entre diferentes partes. Por exemplo, no caso de um arranjo de flores benfeito ou em uma construo de uma casa. Na Matemtica, o termo proporo refere-se igualdade entre duas razes: oito est para seis assim como quatro est para trs. A razo urea especial porque mistura, de alguma forma, essas trs ocorrncias.

Podemos definir a razo urea da seguinte maneira: se dividirmos um segmento (a) em duas partes, uma maior (b) e outra menor (a b), a razo entre o segmento inteiro (a) e a maior parte (b) deve ser igual razo entre esta maior parte (b) e a menor parte (a b).

Todo (a)

Maior parte (b) Menor parte (a b)

todo _____ maior

maior ______ menor a __ b b _____

a b

Essa proporo s acontece quando as razes valem, aproximadamente, 1,618, ou seja, o valor de fi.

G

iann

i Dag

li O

rti/C

orbi

s/La

tinsto

ck


39

PARA SABER MAIS

t %*4/&:Donald no pas da matemgica. Fbulas, v. 3 [DVD]. EUA: Walt Disney. 1959.

t %0$;* (O poder dos limites: harmonias e propores na natureza, arte e arquitetura. So Paulo: Mercuryo, 1990.

t -7*0.SJPRazo urea: a histria de fi, um nmero surpreendente. Rio de Janeiro: Record, 2006.

t O nmero de ouro. Srie Arte & Matemtica [DVD2]. So Paulo: TV Escola/MEC-TV Cultura 2001.

VOC APRENDEU?

8. A figura a seguir chamada de retngulo ureo, pois a razo entre seus lados vale, aproxima-damente, 1,618. Se tirarmos desse retngulo um quadrado de lado igual ao lado menor do retngulo, obteremos outro retngulo ureo, cujos lados tambm esto na razo urea. Isso pode ser feito continuamente, como mostram as figuras a seguir:

1o)

3o)

2o)

4o)


40

Tire as medidas dos lados dos quatro retngulos assinalados nas figuras e registre-as na tabela. Em seguida, resolva as questes propostas.

a) Calcule a razo aproximada entre as medidas do lado maior e do lado menor de cada retngulo.

b) Calcule a mdia entre as razes obtidas.

Retngulo Lado maior (cm) Lado menor (cm) Razo

1o

2o

3o

4o

Mdia

c) A mdia ficou prxima do valor da razo urea?

Resposta:

d) H proporcionalidade entre os retngulos destacados na cor vermelha?

Resposta:

Construo geomtrica

9. A espiral urea ou logartmica uma espiral que cresce segundo a razo urea. O formato da concha Nautilus (apresentada na seo Leitura e anlise de texto) aproxima-se de uma espiral desse tipo. A cada quarto de volta, a curva aumenta na razo de 1,618, aproximadamente. Essa espiral pode ser construda com base no retngulo ureo, como veremos a seguir.

Etapas:

t 6TBOEPPDPNQBTTPUSBDFVNRVBSUPEFDJSDVOGFSODJBOPRVBESBEPNBJPSEJSFJUB

DPNcentro no ponto A e raio igual ao lado desse quadrado.

t 'BBPNFTNPDPNPTFHVOEPRVBESBEPNBJPSFNDJNBFTRVFSEB

DPNDFOUSPOPQPOUPB, de modo a dar continuidade ao arco anterior.

t 3FQJUBFTTBDPOTUSVPQBSBUPEPTPTRVBESBEPTJOUFSOPTBPSFUOHVMP0SFTVMUBEPOBMBespiral urea.


41

A

BC

DE

FG


42

SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 GRFICO DE SETORES E PROPORCIONALIDADE

VOC APRENDEU?

1. As circunferncias a seguir foram divididas em 24 arcos de 1 cm cada. Em cada uma delas, foi marcado um determinado ngulo central: 30o, 45o, 90o e 150o.

30o

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

90o

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

45o

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

150o

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7


43

a) Registre na tabela a medida dos ngulos centrais e as medidas dos arcos correspondentes.

ngulo central Medida dos arcos (cm)

b) H proporcionalidade direta entre a medida dos arcos e os ngulos correspondentes?

c) Qual deve ser a medida do arco correspondente ao ngulo de 55o?

d) Calcule o ngulo central que corresponde ao arco de comprimento 7,5 cm.

O relgio e a proporcionalidade

2. O relgio da figura a seguir est marcando 1 hora. Com base em seus conhecimentos sobre ngulos e proporcionalidade, determine:

a) Quantos graus o ponteiro das horas se deslocou do meio-dia at 1 hora?

Resposta:

C

onex

o E

dito

rial


44

b) Houve deslocamento do ponteiro dos minutos? Se sim, de quantos graus?

Resposta:

Agora, consideremos que o relgio marca 4 horas. Passados 10 minutos, ambos os ponteiros tero se deslocado do local original. Pergunta-se:

c) Quantos graus o ponteiro dos minutos se deslocou?

Resposta:

d) E o das horas?

Resposta:

e) Desenhe, nos relgios a seguir, os ponteiros das horas e dos minutos nos seguintes horrios:

(Observao: lembre-se de que o ponteiro das horas se desloca continuamente e de forma pro-porcional ao tempo decorrido.)

I. 12:30 II. 12:10

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

III. 2:00 IV. 2:30

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11


45

f ) Preencha a tabela com os graus correspondentes aos horrios marcados nos relgios, tendo como referncia os ponteiros das horas e dos minutos s 12 horas em ponto.

Horrio Tempo decorridongulo em relao s 12 horas

Ponteiro das horas Ponteiro dos minutos

1:00 60 minutos

12:30 30 minutos

12:10 10 minutos

2:00 120 minutos

2:30 150 minutos

g) Quantos graus o ponteiro dos minutos se desloca em 1 minuto?

E o das horas?

LIO DE CASA

3. Represente os horrios nos relgios e calcule a medida dos ngulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos em relao s 12:00.

a) 4:30 b) 3:20

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

Ponteiro das horas: Ponteiro das horas:

Ponteiro dos minutos: Ponteiro dos minutos:


46

c) 1:40 d) 5:15

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

Ponteiro das horas: Ponteiro das horas:

Ponteiro dos minutos: Ponteiro dos minutos:

VOC APRENDEU?

4. Uma pesquisa foi feita com 420 pessoas para saber qual esporte elas mais praticavam. Os resul-tados encontram-se na tabela a seguir.

Esporte praticado Nmero de pessoas % em relao ao totalFutebol 210Vlei 105

Basquete 63Corrida 42Total 420 100

a) Calcule a porcentagem de cada esporte escolhido em relao ao total de entrevistados.

b) Qual dos grficos de setores a seguir representa melhor os dados da tabela? Justifique sua resposta.

Grfico 1 Grfico 2


47

Grfico 3 Grfico 4

c) Que cor corresponde a cada um dos esportes?

5. O resultado de uma pesquisa feita com 80 pessoas sobre a preferncia de um local de viagem gerou o seguinte grfico:

Montanha

Outros

Cidadeshistricas

Praia

a) usando um transferidor, mea os ngulos centrais de cada setor circular representado no grfico e anote-os na tabela.

b) calcule as porcentagens que representam a razo entre cada ngulo e 360o. Anote-as na tabela.

c) calcule o nmero de pessoas que escolheram cada tipo de viagem. Anote-o na tabela.

Local ngulo central % Nmero de pessoasPraiaMontanhaCidades histricasOutrosTotal 100,0 80


48

6. Para saber qual era o programa cultural mais apreciado pelos habitantes de uma cidade, foi feita uma pesquisa, cujos resultados (em porcentagem) esto representados na tabela a seguir.

Programa preferido % ngulo central

Cinema 37,5

Msica 25,0

Teatro 16,7

Dana 12,5

Outros 8,3

Total 100,0

a) Usando proporcionalidade, determine os ngulos correspondentes s porcentagens expres-sas na tabela.

b) Usando a circunferncia a seguir, que foi dividida em 24 setores de 15o cada um, represente os resultados da pesquisa por meio de um grfico de setores.

(Dica: faa as aproximaes dos ngulos centrais para valores inteiros.)


49

LIO DE CASA

7. Uma agncia de viagens fez uma pesquisa sobre a nacionalidade das pessoas que viajaram pela Amrica Latina. A tabela a seguir mostra as porcentagens de turistas classificados por nacionalidade.

a) Usando proporcionalidade, determine os ngulos correspondentes s porcentagens expres-sas na tabela.

Nacionalidade % ngulo central

Brasileiros 45

Argentinos 25

Chilenos 20

Outros 10

Total 100

b) Usando compasso e transferidor, represente as porcentagens da tabela em um grfico de setores.

50


SITUAO DE APRENDIZAGEM 5 INVESTIGANDO SEQUNCIAS POR ARITMTICA E LGEBRA

VOC APRENDEU?

1. Observe com ateno a sequncia a seguir:

Qual o prximo smbolo que deve ser colocado na sequncia para que seja mantido seu padro?

I. II. III. IV. V.

a) O smbolo I.

b) O smbolo II.

c) Os smbolos II ou III.

d) Os smbolos I ou IV.

e) Os smbolos II ou IV.

2. Por que possvel escolher mais de um smbolo para continuar o padro da sequncia?

3. Desenhe uma sequncia usando como padro o smbolo da figura III, apresentado na atividade 1.

4. Desenhe os 7 primeiros smbolos da sequncia apresentada na atividade 1, numerando-os con-forme sua posio.

51


a) Qual smbolo deve ser colocado na 20a posio da sequncia? E na posio 573?

b) Escreva uma regra que permita identificar exatamente o smbolo correspondente a cada uma das posies da sequncia.

LIO DE CASA

5. Escreva uma regra de identificao dos smbolos para cada uma das sequncias a seguir.

a) Sequncia 1

b) Sequncia 2

c) Sequncia 3

52


d) Sequncia 4

6. Tendo como base as sequncias apresentadas na atividade anterior, desenhe:

a) a figura que ocupa a 20a posio na Sequncia 1;

b) a figura que ocupa a 73a posio na Sequncia 2;

c) a figura que ocupa a 123a posio na Sequncia 3;

d) a figura que ocupa a 344a posio na Sequncia 4.

53


VOC APRENDEU?

7. Observe a sequncia a seguir e responda s perguntas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a) Qual a prxima figura da sequncia?

b) Como podemos descrever com palavras as posies em que encontramos a figura ?

c) Como podemos descrever em palavras as posies onde encontramos as figuras , e ?

d) Qual a figura que ocupa a posio 263 dessa sequncia?

8. Para fazer entregas de gs na cidade de So Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade em 180 regies e estabeleceu o seguinte calendrio de entrega:

2a feira 3a feira 4a feira 5a feira 6a feira Sbado

Regio 1 Regio 2 Regio 3 Regio 4 Regio 5 Regio 6

Regio 7 Regio 8 Regio 9 Regio 10 Regio 11 Regio 12

......

......

......

54


a) Cite cinco regies da cidade que recebem gs s sextas-feiras.

b) Que regies da cidade recebem gs aos sbados?

c) Em que dia da semana a regio 180 tem entrega de gs? E a regio 129?

d) Como podemos descrever, em palavras, as regies nas quais a entrega de gs acontece s quintas-feiras?

9. Complete a sequncia das potncias de 7 at conseguir identificar o padro de repetio do algarismo das unidades e, em seguida, responda s perguntas.

70 71 72 73 74 75 76 77

1 7

a) Quais so os algarismos que se repetem na casa das unidades? Em que ordem?

b) Explique por que esse padro acontece.

c) Para quais expoentes da potncia de 7 os resultados sero nmeros terminados em 1?

55


d) Para quais expoentes da potncia de 7 os resultados sero nmeros terminados em 7?

e) Qual o algarismo da unidade do resultado da potncia 7179?

Desao!

10. Qual o algarismo da unidade do resultado da expresso numrica 7100 + 7150 + 5?

Resposta:

VOC APRENDEU?

11. Observe a sequncia de bolinhas e responda s perguntas.

1 32 4

a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar as posies 5 e 6.

b) Preencha a tabela, associando o nmero de bolinhas com a posio da figura.

Posio 1 2 3 4 5 6

Nmero de bolinhas

56


c) Quantas bolinhas ter a figura que ocupa a 10a posio?

d) E a figura que ocupa a 45a posio?

e) Descreva, em palavras, o padro de formao dessa sequncia.

12. Considere, agora, a mesma sequncia da atividade anterior representada por bolinhas coloridas.

1 32 4 5

a) Que lgica foi utilizada para colorir as bolinhas?

b) Qual a nica bolinha que no forma par e est presente em todas as figuras?

c) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contm a figura 4? E a figura 5?

d) Quantos pares de bolinhas da mesma cor haver na figura 18? E na figura 31?

e) Qual a figura da sequncia que possui 25 pares de bolinhas da mesma cor? Quantas boli-nhas essa figura possui no total?

57


f ) Utilizando a letra P para identificar a posio da figura, escreva uma frmula que determine o nmero N de bolinhas de cada figura.

LIO DE CASA

13. Em cada uma das sequncias a seguir, faa o que se pede.

I. Desenhe a prxima figura da sequncia.

II. Calcule o nmero de bolinhas das figuras que ocupam a 5a e a 20a posio.

III. Escreva uma frmula que relacione o nmero N de bolinhas com a posio P que ocupa a figura na sequncia.

Sequncia 1

1 32 4

II. 5a: / 20a:

III. N =

Sequncia 2

II. 5a: / 20a:

III. N =

4321

58


Sequncia 3

II. 5a: / 20a:

III. N = 4321

Sequncia 4

II. 5a: / 20a:

III. N = 4321

Sequncia 5

II. 5a: / 20a:

III. N = 4321

Sequncia 6

4321

II. 5a: / 20a:

III. N =

59


PESQUISA INDIVIDUAL

1. Faa uma pesquisa e encontre dois exemplos de frmulas. Registre-as no espao a se-guir e escreva um pargrafo sobre o que voc sabe a respeito delas (para que so usadas, como funcionam, de que rea do conhecimento elas vm etc.).

Dicas de pesquisa: voc pode encontrar exemplos de frmulas em seus livros escolares (Matemtica, Cincias ou Geografia), enciclopdias, jornais e revistas ou na internet.

Frmula 1:

Frmula 2:

VOC APRENDEU?

Frmulas na Geometria

2. Vamos partir de uma situao concreta de clculo do permetro de um retngulo.

a) Calcule o permetro de um retngulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a sentena matemtica correspondente a essa operao.

6 cm

4 cm

P = =

SITUAO DE APRENDIZAGEM 6 EQUAES E FRMULAS

60


b) Como ficaria a sentena matemtica se o retngulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm?

P = =

c) Vamos substituir as medidas dos lados do retngulo pelas letras a e b, representando o com-primento e a largura, respectivamente. Escreva a expresso do permetro desse retngulo.

P = =

d) A expresso matemtica encontrada no item anterior a frmula do permetro do retngulo. Usando essa frmula, calcule o permetro de um retngulo cujo comprimento a tem 8,3 cm e a largura b, 4,1 cm.

e) Sabendo que a medida da largura de um retngulo 5 m e que seu permetro vale 22 m, descubra qual o seu comprimento.

f ) Usando a frmula do permetro, encontre as medidas a e b dos lados de um retngulo para que seu permetro seja igual a 36 cm.

LIO DE CASA

3. A frmula para o clculo da rea de um tringulo

qualquer A = , onde A representa a medida

da rea; , a medida de um lado; e h, a medida da altura do tringulo em relao a esse lado. Considere o tringulo retngulo ABC, de catetos a e b e hipo-tenusa c, representado ao lado.

uh_____2

B

b

C

c

A

a

61


a) Sabendo que os catetos a e b so perpendiculares entre si, qual seria a frmula da rea para um tringulo retngulo de lados a, b e c?

b) Utilizando a frmula do item anterior, calcule a rea de um tringulo retngulo, cujos cate-tos medem, respectivamente, 3 cm e 4 cm

c) Use a frmula para calcular a rea de um tringulo retngulo cujos catetos medem, respec-tivamente, 28 cm e 32 cm.

d) A rea de um tringulo retngulo conhecida e igual a 144 cm2. Use a frmula A = para descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse tringulo.

I. 12 cm e 25 cm.

II. 14 cm e 24 cm.

III. 16 cm e 18 cm.

IV. 17 cm e 17 cm.

e) Sabendo que a rea de um tringulo retngulo 40 cm e que um dos catetos mede 10 cm, determine a medida do outro cateto.

aub_____2

62


VOC APRENDEU?

Frmulas de mdia aritmtica

4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemtica.

a) Calcule a mdia aritmtica das notas obtidas.

b) Escreva uma frmula para calcular a mdia aritmtica M(a, b) de dois valores quaisquer, representados pelas letras a e b.

c) Escreva uma frmula para calcular a mdia aritmtica M(a, b, c) de trs valores quaisquer, representados pelas letras a, b e c.

d) Use a frmula e calcule a mdia aritmtica dos nmeros 19, 24 e 35.

e) Um aluno obteve notas 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a ser realizada, qual nota ele deve obter para que a mdia aritmtica das trs provas seja igual a 6?

63


Frmulas na Economia

PESQUISA INDIVIDUAL

5. Faa uma pesquisa sobre o Imposto de Renda, tendo como base as seguintes perguntas: O que so os impostos? Quem os arrecada? Para onde vai o dinheiro arrecadado? O que o Imposto de Renda? Registre o resultado de sua pesquisa nas linhas a seguir.


Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda?

A mordida do leo di todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta onde os recursos recolhidos so aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma parte do imposto seja usada para uma causa nobre doar para entidades de apoio criana e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas qualquer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a institui-es, desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criana e do Adolescente.

CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista poca. Disponvel em: . Acesso em: 4 dez. 2013.

64


O surgimento do Leo

No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou uma campanha publicitria para divulgar o Programa Imposto de Renda. Aps anlise das propostas, foi imaginado o leo como smbolo da ao fiscalizadora da Receita Federal e, em especial, do imposto de renda. De incio, a ideia teve reaes diversas, mas, mesmo assim, a campanha foi lanada.

A escolha do leo levou em considerao algumas de suas ca-ractersticas:

1. o rei dos animais, mas no ataca sem avisar;

2. justo;

3. leal;

4. manso, mas no bobo.

A campanha resultou em uma identificao pela opinio pblica do leo com a Receita Federal e, em especial, com o Imposto de Renda. Embora hoje em dia a Receita Federal no use a figura do leo, a imagem do smbolo ficou guardada na mdia e na mente dos contribuintes.

Disponvel em: . Acesso em: 20 nov. 2013.

6. Explique o significado da expresso mordida do leo, que aparece na matria apresentada na seo Leitura e anlise de texto.

VOC APRENDEU?

A frmula do Imposto de Renda

7. A tabela a seguir mostra o clculo que foi realizado para a cobrana do Imposto de Renda no Brasil (em 2013). Ela informa a porcentagem cobrada de cada faixa de rendimento (salrios, aluguis e outras remuneraes). Veja que at determinado valor o contribuinte isento, isto , no precisa pagar o Imposto de Renda. Alm disso, existe uma parcela fixa a ser descontada do imposto calculado.

D

orlin

g K

inde

rsle

y/G

etty

Imag

es

65


Tabela progressiva para o clculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa Fsica para o exerccio de 2014, ano-calendrio de 2013

Base de clculo mensal em R$

Alquota %

Parcela a deduzir do imposto em R$

At 1 710,78

De 1 710,79 at 2 563,91 7,5 128,31

De 2 563,92 at 3 418,59 15,0 320,60

De 3 418,60 at 4 271,59 22,5 577,00

Acima de 4 271,59 27,5 790,58

Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil. Disponvel em: . Acesso em: 9 dez. 2013.

a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 2 100,00 de rendimento mensal.

b) Escreva uma frmula para o clculo do Imposto de Renda com alquota de 7,5%. Represente o imposto a ser pago pela letra I e a remunerao pela letra R.

c) Faa o mesmo para a alquota de 15%.

66


d) Faa o mesmo para a alquota de 22,5%.

e) Faa o mesmo para a alquota de 27,5%.

f ) Calcule o valor do Imposto de Renda a ser pago para as seguintes remuneraes:

I. R$ 2 500,00 II. R$ 4 300,00 III. R$ 6 000,00

8. Considere os valores obtidos no item d da atividade anterior.

a) Calcule a porcentagem efetiva de imposto cobrado em cada caso:

t Remunerao = R$ 2 500,00 A Imposto = R$ A Imposto ___________ Remunerao = %

t Remunerao = R$ 4 300,00 A Imposto = R$ A Imposto ____________ Remunerao = %

t Remunerao = R$ 6 000,00 A Imposto = R$ A Imposto ____________ Remunerao = %

b) O que voc pode concluir com base nesses resultados?

67


c) As remuneraes de R$ 4 300,00 e R$ 6 000,00 esto sujeitas mesma alquota de imposto (27,5%). Contudo, a porcentagem efetivamente cobrada no a mesma. Qual a razo para essa diferena?


Frmula relacionada sade

O ndice de Massa Corprea (IMC) uma razo que relaciona a massa em qui-logramas de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele reconhecido pela Organizao Mundial da Sade (OMS) como um padro razovel para avaliar a proporo saudvel entre massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa, refletindo possveis problemas de baixo peso (subnutrio ou anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele calculado dividindo--se o peso da pessoa pelo quadrado da altura, como mostra a frmula: I = p __

a2 , onde p

o peso, em quilograma, e a a altura, em metros.

A tabela a seguir mostra a classificao da OMS para a populao adulta, segundo o valor do IMC.

Classificao IMC (kg/m)

Magreza severa Menor que 16

Abaixo do peso Menor que 18,5

Peso normal Entre 18,5 e 24,99

Sobrepeso/pr-obesidade Entre 25,0 e 29,99

Obesidade Entre 30,0 e 39,99

Obesidade de alto grau Maior que 40

Fonte dos dados: adaptado da OMS. Disponvel em: . Acesso em: 20 nov. 2013.

Observao!

Usamos comumente a palavra peso para nos referir massa de uma pessoa, embora, na Fsica, tais termos possuam significados distintos.

68


LIO DE CASA

9. Com base nos dados fornecidos na tabela apresentada na seo anterior, resolva as questes a seguir.

(Dica: para efetuar os clculos, voc poder usar a calculadora.)

a) Uma pessoa com 1,60 m e 65 kg est em que categoria da tabela?

Resposta:

b) Os resultados a seguir referem-se s medidas de peso e altura de um grupo de adultos. Calcule o IMC para cada pessoa e classifique sua condio, conforme a tabela fornecida na seo anterior.

t Pessoa A: 72 kg e 1,72 m

t Pessoa B: 84 kg e 1,77 m

t Pessoa C: 54 kg e 1,60 m

t Pessoa D: 60 kg e 1,82 m

c) Qual o maior peso que uma pessoa adulta com 1,73 m de altura pode ter para ficar den-tro da categoria de peso normal segundo a tabela?

(Dica: calcule o peso para um IMC igual a 25. A pessoa dever ter um peso menor que o obtido nesse clculo.)

Resposta:

69



Frmulas da Fsica

Uma das frmulas mais conhecidas na Fsica a que relaciona a distncia aproximada (d), em metros, percorrida por um objeto em queda livre e o tempo (t), em segundos, de queda.

d = 5 u t2

Os resultados obtidos por meio dessa frmula so vlidos para objetos em queda livre que estejam prximos superfcie da Terra, desprezando-se os efeitos da resistncia do ar. A partir dessa frmula, podemos determinar, com relativa preciso, a distncia em metros que um corpo percorre por segundo ao ser abandonado de certa altura, partindo do repou-so, em funo da acelerao provocada pela gravidade terrestre.

VOC APRENDEU?

10. Uma pedra foi abandonada do alto de uma ponte e demorou 7 segundos para atingir a gua. Use a frmula citada na seo Leitura e anlise de texto e calcule a altura aproximada dessa ponte.

C

onex

o E

dito

rial

Resposta:

70


11. Um paraquedista saltou de um avio a 3 500 metros de altura. Considerando desprezvel a re-sistncia do ar, calcule a distncia percorrida em queda livre pelo esportista a cada segundo, nos primeiros 5 segundos de queda. Preencha a tabela com os valores da distncia percorrida (d), em metros.

Tempo t (segundos) 1 2 3 4 5

Distncia d (metros)

a) Assinale, no desenho, as distncias percorridas pelo paraquedista a cada segundo de queda.

Con

exo

Edi

toria

l

0 s1 s

2 s

3 s

4 s

5 s

b) H proporcionalidade direta entre a distncia percorrida e o tempo de queda livre? Justifique.

c) O paraquedista deve abrir seu paraquedas quando estiver a uma altura de 1 500 metros do solo. Sabendo que ele iniciou o salto a 3 500 metros de altura, determine o tempo de queda livre antes que ele acione o paraquedas.

Resposta:

71


SITUAO DE APRENDIZAGEM 7 EQUAES, PERGUNTAS E BALANAS

VOC APRENDEU?

1. Escreva a equao que representa o problema e descubra a resposta, se houver.

a) Qual o nmero cujo dobro somado a 5 resulta em 19?

Equao: Soluo:

b) O triplo de um nmero menos 12 igual a 3. Qual esse nmero?

Equao: Soluo:

c) Qual o nmero cuja quarta parte menos 5 igual a zero?

Equao: Soluo:

d) O quadrado de um nmero natural acrescido de 19 igual a 100. Qual esse nmero?

Equao: Soluo:

2. Escreva uma pergunta que represente a equao dada. Em seguida, determine o valor de x.

a) 3x + 12 = 21

72


b) x __ 3 4 = 6

c) 2 u (x + 1) = 12 (x um nmero natural)

d) 2x + 1 = 12

e) x 1 _____ 4 3 = 0

f ) 5 (2x + 4) = 30

g) 5 2x + 4 = 30

3. Resolva as seguintes equaes por meio do raciocnio aritmtico:

a) 3x + 12 = 21

b) x3

4 = 6

73


c) 2(x + 1) = 12

d) 2x + 1 = 12

e) (x 1)4

3 = 0

f ) 5 (2x + 4) = 30

g) 5 2x + 4 = 30

O equilbrio na balana e a igualdade na equao

4. Sabendo que a balana de pratos est em equilbrio e a massa do melo vale 1,15 kg, descubra a massa da pea desconhecida.

400 400 x

C

onex

o E

dito

rial

74


C

onex

o E

dito

rial

5. Nesta atividade, representaremos a massa de cada abacaxi pela letra x, e a massa de cada pera pela letra y. Consideraremos, ento, que os dois abacaxis tm a mesma massa, assim como as duas peras. Em cada uma das situaes, represente o equilbrio da balana por meio de uma equao. Em seguida, escreva uma concluso sobre as equaes obtidas.

a) Se trocarmos os objetos de um prato de uma balana para o outro, o equilbrio se mantm.

5 kg

1 kg

5 kg

1 kg

Concluso:

b) Acrescentando-se um mesmo peso em ambos os pratos, o equilbrio da balana no se altera (admitindo-se que as peras tm pesos iguais).

2 kg

2 kg

Concluso:

75


c) Na balana, se retirarmos o mesmo peso de ambos os pratos, o equilbrio permanece inalterado.

1 kg1 kg1 kg1 kg

1 kg1 kg

Concluso:

d) Se juntarmos os elementos dos pratos de duas balanas em equilbrio em uma s balana, como mostra a figura, o equilbrio se mantm.

2 kg

150 g150 g

150 g150 g

2 kg

Concluso:

C

onex

o E

dito

rial

76


LIO DE CASA

6. Nesta atividade, o quadrado representa uma massa x, o tringulo representa uma massa y e o crculo, uma massa z. Represente o equilbrio da balana por meio de uma equao e escreva uma concluso sobre o resultado obtido.

t Se aumentarmos ou diminuirmos proporcionalmente o peso de ambos os pratos de uma balana, o equilbrio se mantm.

Concluso:

Desafio!

7. Um problema de peso Tenho seis bolinhas idnticas em aspecto. H, porm, uma pequena diferena entre elas: uma delas tem um peso ligeiramente diferente das demais, no se sabe se para mais ou para menos. Com o auxlio de uma balana de pratos, descubra uma estratgia para identificar a bolinha diferente, usando, no mximo, trs pesagens.

1 42 53 6

C

onex

o E

dito

rial

77


VOC APRENDEU?

8. Vamos utilizar os princpios ilustrados nos exemplos anteriores para resolver equaes com incgnitas em ambos os lados.

a) Resolva a equao 4x 7 = x + 11 fazendo as transformaes solicitadas.

4x 7 = x + 11

Subtraia x de ambos os lados

Adicione 7 a ambos os lados

Divida ambos os lados por 3

Resultado final

b) Faa o mesmo para a equao 5x 1 = x __ 2 + 8.

5x 1 = x __ 2 + 8

Multiplique ambos os lados da equao por 2 para eliminar a frao

Subtraia x de ambos os lados para eliminar o termo com x do 2o membro da equao

Adicione 2 em ambos os lados da equao

Divida ambos os lados por 9

Resultado final

78


9. Ao distribuir o gabarito de uma prova sobre equaes, um professor, acidentalmente, trocou as respostas de lugar. Organize o gabarito dessa prova, associando cada equao soluo correspondente.

Equao Gabarito trocado Gabarito correto

a) 5x 12 = 2x + 27 a) x = 2

b) x + 3x ___ 2 = 2x + 2 b) x = 5

c) 2 u(x 3) = 4 + 7x c) x = 13

d) 4x 3 u(x 1) = 3x ___ 5 + 5 d) x = 4

LIO DE CASA

10. Resolva as equaes a seguir e descreva cada etapa de resoluo.

a) 5x + 7 = 2x 14

Resoluo Descrio

5x + 7 = 2x 14

79


b) x __ 5 + 2 = 3x 26

Resoluo Descrio

x __ 5 + 2 = 3x 26

c) 2 __ 3 x 3 = 5 __ 4 x

Resoluo Descrio

2 __ 3 x 3 = 5 __ 4 x

80


d) 3 __ 5 + 5x ___ 4 = 2x + 1 __ 2

Resoluo Descrio

3 __ 5 + 5x ___ 4 = 2x + 1 __ 2

81


SITUAO DE APRENDIZAGEM 8 PROPORCIONALIDADE E EQUAES

VOC APRENDEU?

1. Uma das equaes a seguir foi resolvida de maneira incorreta.

a) Identifique-a e explique por que o erro aconteceu.

I. 5x 3 = 17

5x = 17 + 3

5x = 20

x = 20 4 5

x = 4

II. 2x ___ 5 = 12

2x = 5 u12

2x = 60

x = 60 4 2

x = 30

III. 2x ___ 3 = 28 ___ 6

x =

x = 84 ___ 12

x = 7

2 u 63 u28_____

IV. 1 + x __ 2 = 3

1 + x = 3 u2

1 + x = 6

x = 6 1

x = 5

V. 2 + 3x ___ 8 = 1

3x ___ 8 = 1 + 2

3x = 3 u8

x = 24 ___ 3

x = 8

VI. 5x = 15 ___ 8

x =

x = 15 ___ 40

x = 3 __ 8

155 u____

b) Agora, resolva-a de maneira correta.

82


2. Considere o seguinte problema: Joo comprou 5 CDs idnticos por R$ 4,80. Quanto Joo pagaria por uma dzia de CDs do mesmo tipo?

a) Represente as informaes do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido.

CD Valor

b) Determine o preo unitrio de cada CD.

Resposta:

c) A partir dessa informao, descubra o valor referente compra de 12 CDs.

Resposta:

d) Agora, resolva o problema por meio da regra de trs.

Resposta:

3. Considere o seguinte problema: dirigindo a 80 km/h, Mariana vai da cidade onde mora at a cidade em que reside a me dela em 1 hora e meia. Se ela fizesse a mesma viagem com veloci-dade constante de 100 km/h, quanto tempo demoraria?

a) Represente as informaes do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido.

Velocidade Tempo

83


b) Se Mariana faz a viagem em 1,5 hora quando est viajando a 80 km/h, qual a distncia entre as duas cidades?

c) Sabendo a distncia entre as duas cidades, calcule o tempo de viagem que ela levaria se a velocidade fosse de 100 km/h.

d) Identifique o tipo de proporcionalidade existente entre as grandezas nas condies do problema.

t 0UFNQPEFWJBHFN proporcional velocidade.

t "EJTUODJBQFSDPSSJEB proporcional velocidade.

t "EJTUODJBQFSDPSSJEB proporcional ao tempo de viagem.

e) Resolva o problema usando, adequadamente, a regra de trs.

Resposta:

LIO DE CASA

4. A tabela mostra os valores de duas grandezas diretamente proporcionais entre si.

A B5 810 16

a) Calcule a razo entre os valores da grandeza A. Compare-a com a razo obtida entre os valores da grandeza B. O que voc observou?

Razo entre os valores da grandeza A:

Razo entre os valores da grandeza B:

Resposta:

84


b) Calcule a razo entre os valores correspondentes da grandeza A e da grandeza B na 1a linha. Compare-a com a razo entre os valores das grandezas na 2a linha. O que voc observou?

Razo entre os valores da 1a linha:


Resposta:

c) Multiplique o valor da grandeza A na 1a linha pelo valor da grandeza B na 2a linha. Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2a linha e o valor da grandeza B na 1a linha. O que voc observou?

Produto A1 B2 =

Produto A2 B1 =

Resposta:

d) Generalize as concluses obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para repre-sentar os valores das duas grandezas.

A B

x y

z w

t

t

t

85


5. A tabela mostra os valores de duas grandezas inversamente proporcionais entre si.

A B

5 8

10 4

a) Calcule a razo entre os valores da grandeza A. Compare-a com a razo obtida entre os valores da grandeza B. O que voc observou?

Razo entre os valores da grandeza A:

Razo entre os valores da grandeza B:

Resposta:

b) Calcule a razo entre os valores correspondentes da grandeza A e da grandeza B na 1a linha. Compare-a com a razo entre os valores das grandezas na 2a linha. O que voc observou?



Resposta:

c) Multiplique o valor da grandeza A na 1a linha pelo valor da grandeza B na 2a linha. Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2a linha e o valor da grandeza B na 1a linha. O que voc observou?

Produto A1 u B2 =

86


Produto A2 u B1 =

Resposta:

d) Multiplique o valor da grandeza A pelo valor da grandeza B na 1a linha. Compare o resul-tado com o produto entre o valor da grandeza A e o valor da grandeza B na 2a linha. O que voc observou?

Produto A1 u B1:

Produto A2 u B2:

Resposta:

e) Generalize as concluses obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para repre-sentar os valores das duas grandezas.

A B

x y

z w

t

t

t

t

CONCEPO E COORDENAO GERALNOVA EDIO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTO DA EDUCAO BSICA CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gesto da Educao Bsica Joo Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Mdio e Educao Prossional CEFAF Valria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa So Paulo faz escolaValria Tarantello de Georgel

Coordenao Tcnica Roberto Canossa

Roberto Liberato

Smelq Cristina de 9lbmimerime :oee

EQUIPES CURRICULARES

rea de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Ktia Lucila Bueno e Roseli

Ventrella.

Educao Fsica: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,

Rosngela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto

Silveira.

Lngua Estrangeira Moderna (Ingls e Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro

e Neide Ferreira Gaspar.

Lngua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Id Moraes dos

Santos, Joo Mrio Santana, Ktia Regina Pessoa,

Mara Lcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli

Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

rea de Matemtica Matemtica: Carlos Tadeu da Graa Barros, Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio

Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira

Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

rea de Cincias da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e

Rodrigo Ponce.

Cincias: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e

Maria da Graa de Jesus Mendes.

Fsica: Anderson Jacomini Brando, Carolina dos Santos Batista, Fbio Bresighello Beig, Renata

Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da

Luz Stroeymeyte.

Qumica: Ana Joaquina Simes S. de Mattos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, Joo Batista Santos Junior, Natalina de Ftima Mateus e Roseli Gomes de Araujo da Silva.

rea de Cincias Humanas Filosoa: Emerson Costa, Tnia Gonalves e Tenia de Abreu Ferreira.

Geograa: Andria Cristina Barroso Cardoso, Dbora Regina Aversan e Srgio Luiz Damiati.

Histria: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corra, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NCLEO PEDAGGICO

rea de Linguagens Educao Fsica: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mnica Antonia Cucatto da Silva, Patrcia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Lngua Estrangeira Moderna (Ingls): Clia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Edna Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldo, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Ktia Vitorian Gellers, Ldia Maria Batista Bomm, Lindomar Alves de Oliveira, Lcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tpias, Patrcia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato Jos de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Lngua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letcia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Mrcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria Jos de Miranda Nascimento, Maria Mrcia Zamprnio Pedroso, Patrcia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Slvia Regina Peres.

rea de Matemtica Matemtica: Carlos Alexandre Emdio, Clvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glria, Everaldo Jos Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Ins Chiarelli Dias, Ivan Castilho, Jos Maria Sales Jnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mrio Jos Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro,

Rosngela Teodoro Gonalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Igns Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

rea de Cincias da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvrio, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Cincias: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Lus Prati.

Fsica: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, Andr Henrique Ghel Runo, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simes e Rui Buosi.

Qumica: Armenak Bolean, Ctia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antnio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Slvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

rea de Cincias Humanas Filosoa: lex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e Jos Aparecido Vidal.

Geograa: Ana Helena Veneziani Vitor, Clio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Mrcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mnica Estevan, Regina Clia Batista, Rita de Cssia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Librio, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

Histria: Aparecida de Ftima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin SantAna Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Loureno, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonalves, Celso Francisco do , Lucila Conceio Pereira e Tnia Fetchir.

Apoio:Fundao para o Desenvolvimento da Educao - FDE

CTP, Impresso e acabamentoEsdeva Indstria Grca Ltda.

A Secretaria da Educao do Estado de So Paulo autoriza a reproduo do contedo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educao do pas, desde que mantida a integri-dade da obra e dos crditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*devero ser diretamente negociados com seus prprios titulares, sob pena de infrao aos artigos da Lei no 9.610/98.

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Cincias Humanas Coordenador de rea: Paulo Miceli. Filosoa: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Lus Martins e Ren Jos Trentin Silveira.

Geograa: Angela Corra da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimares, Regina Araujo e Srgio Adas.

Histria: Paulo Miceli, Diego Lpez Silva, Glaydson Jos da Silva, Mnica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Cincias da Natureza Coordenador de rea: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabola Bovo Mendona, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Cincias: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, Joo Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Czar Foschini Lisba, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Mara Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogrio Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordo, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Fsica: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Iv Gurgel, Lus Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurcio Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puricao Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Qumica: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valena de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidio.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTO DO PROCESSO DE PRODUO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Mauro de Mesquita Spnola

GESTO DE TECNOLOGIAS APLICADAS EDUCAO

Direo da rea Guilherme Ary Plonski

Coordenao Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gesto Editorial Denise Blanes

Equipe de Produo

Editorial: Amarilis L. Maciel, Ana Paula S. Bezerra, Anglica dos Santos Angelo, Bris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cntia Leito, Eloiza Lopes, rika Domingues do Nascimento, Flvia Medeiros, Giovanna Petrlio Marcondes, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leslie Sandes, Main Greeb Vicente, Mara de Freitas Bechtold, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natlia S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Pietro Ferrari, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Renata Regina Buset, Rodolfo Marinho, Stella Assumpo Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconograa: Beatriz Fonseca Micsik, Dayse de Castro Novaes Bueno, rica Marques, Jos Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhes de Alencastro, Vanessa Bianco e Vanessa Leite Rios.

Edio e Produo editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grco e Occy Design projeto grco!.

CONCEPO DO PROGRAMA E ELABORAO DOS CONTEDOS ORIGINAIS

COORDENAO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEDOS PROGRAMTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Ins Fini coordenadora! e Ruy Berger em memria!.

AUTORES

Linguagens Coordenador de rea: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educao Fsica: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Srgio Roberto Silveira.

LEM Ingls: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lvia de Arajo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM Espanhol: Ana Maria Lpez Ramrez, Isabel Gretel Mara Eres Fernndez, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia Gonzlez.

Lngua Portuguesa: Alice Vieira, Dbora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, Jos Lus Marques Lpez Landeira e Joo Henrique Nogueira Mateos.

Matemtica Coordenador de rea: Nlson Jos Machado. Matemtica: Nlson Jos Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, Jos Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moiss, Rogrio Ferreira da Fonseca, Ruy Csar Pietropaolo e Walter Spinelli.

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