Álgebra
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Ensino Superior: Álgebra Linear: Autovalores e autovetores Introdução aos autovalores Autovalores e Autovetores Autoespaço associado
Polinômio característico
Matrizes Semelhantes Matriz ortogonal Aplicação em Geometria
Aplicação em Eq.Diferenciais
"O temor do Senhor é o princípio do conhecimento; mas os insensatos desprezam a sabedoria e a instrução."
Provérbios 1:7, A Bíblia Sagrada
Introdução aos autovalores
Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K, A uma matriz quadrada de ordem n e T:V V uma transformação linear, definida para cada v V por:
T(v) = A.vPergunta: Será que existe algum vetor v V, cuja imagem T(v) pela transformação T tenha a mesma direção que o vetor v, ou seja, será que existe um escalar µ K tal que
T(v) = µ vO vetor nulo tem essa propriedade para qualquer escalar, mas observamos que o vetor nulo não pode ser utilizado em uma base do espaço vetorial V, objetivo fundamental no contexto do estudo de autovalores e autovetores.Estamos procurando vetores v V e escalares µ K para os quais
T(v) = A.v = µ vSubjacente ao processo de descoberta desses escalares e vetores estão as soluções de muitos problemas aplicados da Matemática, Física, Engenharias Civil e Elétrica, etc.
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo K. Se existe um escalar µ K e um vetor v 0 tal que:
A.v = µ veste escalar µ é denominado um autovalor de A e v é um autovetor associado a este escalar µ.Sinônimos para autovalor são: valor próprio e valor característico.
Exemplo 1: Seja uma matriz A e um vetor v R³ tal que:
A = |||
1 0 0
0 2 0
0 0 3
|||
e v =
|||
xyz
|||
Observamos que:
A.v = |||
1 0 0
0 2 0
0 0 3
|||.|||
xyz
|||=
|||
1x2y3z
|||
Procuramos escalares µ tal que A.v=µv, isto é:|||
1x2y3z
|||= µ
|||
xyz
|||
Devemos resolver o sistema com as três equações:(1–µ) x = 0, (2–µ) y = 0, (3–µ) z = 0
com a condição que vt=(x,y,z) (0,0,0).Usamos a notação vt=(x,y,z) para indicar a transposta do vetor coluna com os elementos x, y e z.Temos três possibilidades para os autovalores.
1. Se x 0 então µ=1. Com tais valores nas outras equações segue que y=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é u=(1,0,0)t.
2. Se y 0 obtemos µ=2, o que implica que x=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é v=(0,1,0)t.
3. Se z 0 então µ=3, garantindo que x=0 e y=0. Um vetor com estas propriedades é w=(0,0,1)t.
Neste caso específico, concluímos que para cada autovalor existe um único autovetor associado.Exemplo 2: Seja uma matriz A e um vetor v R³ tal que:
A = |||
1 0 0
0 2 0
0 0
|||
e v =
|||
xyz
|||
2Como
A.v = |||
1 0 0
0 2 0
0 0 2
|||.|||
xyz
|||=
|||
1x2y2z
|||
Devemos obter escalares µ tal que A.v=µv, isto é:|||
1x2y2z
|||= µ
|||
xyz
|||
Basta resolver o sistema de equações(1–µ) x = 0, (2–µ) y = 0, (2–µ) z = 0
exigindo que vt=(x,y,z) (0,0,0).Existem duas possibilidades para os autovalores.
1. Se x 0 então µ=1,y=0 e z=0. Um vetor com estas propriedades é u=(1,0,0)t.
2. Se y 0 então µ=2 e x=0, mas existem infinitos valores para z, inclusive z=0. Um vetor com estas propriedades é v=(0,1,0)t.
3. Se z 0 então µ=2 e x=0, mas existem infinitos valores para y, inclusive y=0. Um vetor com estas propriedades é w=(0,0,1)t.
Neste caso, observamos que para o autovalor µ=1 existe apenas um autovetor, mas para o autovalor µ=2 existem dois autovetores.Exemplo 3: Seja uma matriz A e um vetor v R³ tal que:
A = |||
2 0 0
0 2 0
0 0 2
|||
e v =
|||
xyz
|||
Como
A.v = |||
2 0 0
0 2 0
0 0 2
|||.|||
xyz
|||=
|||
2x2y2z
|||
Devemos obter escalares µ tal que A.v=µv, isto é:|||
2x2y2z
|||= µ
|||
xyz
|||
Basta resolver o sistema de equações(2–µ) x = 0, (2–µ) y = 0, (2–µ) z = 0
exigindo que vt=(x,y,z) (0,0,0).Aqui temos um único autovalor µ=2. Realmente, se x 0 ou y
0 ou z 0 ou xyz 0 então µ=2, garantindo que existem infinitos valores para x, y e z, mas escolheremos três simples:
1. Com x=1, y=0 e z=0, obtemos u=(1,0,0)t.
2. Com x=0, y=1 e z=0, obtemos v=(0,1,0)t.
3. Com x=0, y=0 e z=1, obtemos w=(0,0,1)t.
Observamos que o mesmo autovalor µ=2 gerou três autovetores.
Autoespaço associado ao autovalor
Levando em consideração os três exemplos, tem sentido definir o conceito de autoespaço associado a cada autovalor.Se µ é um autovalor de uma matriz A, definimos o autoespaço associado a µ como o conjunto de todos os vetores obtidos pela combinação linear dos autovetores associados a µ. Denotamos este conjunto por:
S(µ) = {v V: A.v=µv }Proposição: O conjunto S(µ) é um subespaço vetorial de V gerado pelos autovetores associados a µ.Demonstração: O vetor nulo não é um autovetor mas 0 S(µ) pois A.0=µ0.Se v S(µ) e w S(µ), então A.v=µv e A.w=µw, logo
A(v+w) = A.v+A.w = µv + µw = µ(v+w)e concluímos que v+w S(µ).Analogamente, se k K e v S(µ), então:
A(kv) = µ(kv) e concluímos que kv S(µ).
Polinômio característico
Ao invés de trabalhar diretamente com a resolução de sistemas como nos exemplos apresentados, existe um processo mais simples para obter os autovalores de A.Se A é uma matriz nxn sobre K e I é a matriz identidade de mesma ordem que A, definimos o polinômio característico de A como:
f(µ) = det(µI–A)Exemplo: Seja a matriz definida por:
A = ||
1 2
4 9
||
Assim:
f(µ) = det||µ–1–4
–2
µ–9|| = µ²–10µ+1
Algumas vezes vemos na literatura o polinômio característico da matriz A definido na forma trocada
f(µ) = det(A–µI)Lema: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Um sistema M.v=0 tem solução não trivial se, e somente se, det(M)=0.Teorema: Os autovalores de uma matriz quadrada A de ordem n são os zeros do polinômio característico de A, isto é, escalares µ para os quais f(µ)=0.Demonstração: Os autovalores da matriz A podem ser obtidos a partir da exist|ncia de escalares µ e vetores não nulos v=(x,y,z)t para os quais: A.v=µv. Este sistema pode ser reescrito como A.v=µIv, ou seja:
(µI–A).v = 0Este sistema terá uma solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz µI–A for nulo (consequência da Regra de Cramer), isto é:
det(A–µI) = 0Observamos que det(A–µI) é uma função polinomial da variável µ, daí a razão de indicarmos esta expressão por:
f(µ) = det(A–µI)A partir deste Teorema podemos obter os autovetores se resolvermos o sistema: (µI–A)v=0.Exemplo: Seja a matriz dada por
A = | 0 1 1 |
||
–1 2 1
–1 1 2
||
O polinômio característico associado à matriz A éf(µ) = µ³–4µ²+5µ–2
Como a soma dos coeficientes deste polinômio é igual a zero, µ=1 é um zero de f=f(µ) e f(1)=0.Dividindo esta função polinômial por (µ–1), obtemos a forma decomposta: f(µ)=(µ–1)(µ²–3µ+2). Com a fórmula quadrática, obtemos: f(µ)=(µ–1)(µ–1)(µ–2), significando que os autovalores de A são:
µ=1, µ=1 e µ=2Em geral, o sistema (µI–A)v=0 fica na forma
(µI–A)|||
xyz
|||
=|||
µ11
–1µ–2–1
–1–1
µ–2
|||
.|||
xyz
|||
=|||
000
|||
Para µ=1, o sistema toma a forma:|||
111
–1 –1 –1
–1 –1 –1
|||.|||
xyz
|||=
|||
000
|||
e este sistema se reduz a apenas uma equação: x–y–z=0. Como temos duas variáveis livres, podemos escrever x=y+z, para obter x em função de y e de z. Se y=1 e z=0 então x=1 e u=(1,1,0)t é um autovetor. Se y=0 e z=1 então x=1 e v=(1,0,1)t é outro autovetor.Para µ=2, o sistema toma a forma:
|||
211
–1
0 –1
–1
–1
0
|||.|||
xyz
|||=
|||
000
|||
e este sistema se reduz a apenas uma relação x=y=z. Tomando x=y=z=1, obtemos o terceiro autovetor da matriz A: w=(1,1,1)t.
Matrizes Semelhantes
Duas matrizes A e B são semelhantes, se existe uma matriz inversível P tal que
A = P–1B PEm muitas situações, a matriz P é formada pelos autovetores da matriz A, postos em colunas.Exercício: Seja a matriz A do exemplo anterior:
A = |||
0 1 1–1 2
1–1 1
2
|||
1. Construa uma matriz P que tem como colunas os autovetores u, v e w da matriz A.
2. Obtenha a inversa da matriz P.
3. Calcule a matriz D=P–1AP semelhante a A.
4. Conclua algo sobre a posição dos autovalores na matriz D.
5. Verifique que traço(D)=traço(A).
6. Verifique que det(D)=det(A).
Exercício: Considere uma matriz A definida por:
A= |||
1 2 –1
0 0 11 1 0
|||
1. Mostre que o polinômio característico de A é dado por: f(µ)=µ³–µ²–1.
2. Para obter os autovalores complexos de A, resolva a equação f(µ)=0, cujos zeros são:
µ1=1.46557, µ2=–0.23279+0.79255 i, µ3=–0.23279–0.79255 i
3. Obtenha os autovetores da matriz A.
4. Construa uma matriz P que tem como colunas os autovetores u, v e w da matriz A.
5. Obtenha a inversa da matriz P.
6. Calcule a matriz D=P–1AP semelhante a A.
7. Conclua algo sobre os autovalores na matriz D.
8. Mostre que traço(D)~traço(A), onde ~ significa que o cálculo é aproximado.
9. Mostre que det(D)~det(A).
Matriz ortogonal
Uma matriz M é dita ortogonal se M–1=Mt, isto é, se M.Mt=I.Exemplo: Uma típica matriz ortogonal é a matriz de rotação ø radianos, definida por:
Rø = ||
cos(ø) –sin(ø)
sin(ø) cos(ø)
||
pois a inversa de Rø é igual à transposta de Rø.
Aplicação de autovalores em Geometria
Consideremos a curva plana definida pela forma quadráticaax² +2bxy +cy² = d
onde a²+b²+c² 0.Podemos reescrever o membro da esquerda da equação acima, como:
ax² +2bxy +cy² =| x y
|
|
|
a b
b c
||
|
|
xy||= vt A v
onde
A = ||
a b
b c
||
e v =
||xy||
Pergunta: Será que podemos escrever x e y em função de duas novas variáveis X e Y (em maiúscula) de modo que a nova forma quadrática nessas variáveis X e Y, não possua o termo em XY para que a forma quadrática fique na forma
A X² + XY² = DEsta nova forma recebe o nome de forma canônica.Uma resposta adequada é dada pela rotação de eixos, uma vez que o termo em xy que aparece na primeira equação é responsável pela inclinação dos eixos principais associados à curva no sistema cartesiano.Como a matriz de rotação de ø radianos é dada por:
R(ø) = ||
cos(ø) –sen(ø)
||
sen(ø) cos(ø)podemos realizar a mudança de variáveis com:
v = ||xy||=
||cos(ø)sen(ø)
–sen(ø) cos(ø)
||
|
|
XY
||
Tomando P=R(ø) na relação acima, podemos escrever:
W = ||XY
||=
||
cos(ø)–sen(ø)
sen(ø) cos(ø
)
||
|
|
xy||= P–1v
Como a matriz P é ortogonal, podemos escrever:vtAv=(PW)tA(PW)=Wt Pt APW=Wt(P–1AP)W=d
Escolhendo o valor de ø em função das constantes a, b e c da forma quadrática, poderemos escrever a matriz:
P–1AP = D = ||
p 0
0 q
||
e a nova forma quadrática:p X² + q Y² = k
não contém o termo em XY.Conclusão: Os valores p e q são os autovalores da matriz A e a matriz P é a matriz cujas colunas são os autovetores obtidos a partir da matriz A.
Aplicação de autovalores em Eq. Diferenciais
Consideremos a equação diferencial ordinária (EDO)2 y"(x) – 6y'(x) + 4y(x) = 0
O polinômio característico associado a esta EDO é dado por:p(k) = 2k² –6k +4
cujos zeros são k1=1 e k2=2 (autovalores). As autofunções são: y1(x)=exp(k1x) e y2(x)=exp(k2x) (autovetores), garantindo que:
W = {y1(x), y2(x) } = {exp(1x), exp(2x) }é o conjunto de autofunções e a solução geral da EDO é a combinação linear dos elementos de W:
y(x) = A exp(x) + B exp(2x)
Ensino Superior: Álgebra Linear: Consistência de sistemas lineares
"Porque o Senhor dá a sabedoria; da sua boca procedem o conhecimento e o entendimento,..."
Provérbios 2:6-7 A Bíblia Sagrada
Problema
Sejam as equaçõesa x + b y = kc x + d y = le x + f y = m
Quais são as condições que devem ser impostas aos termos independentes k, l e m para que o sistema seja consistente? A condição k=l=m, é falsa, pois existem:
1. Sistemas Consistentes: que não satisfazem à relação k=l=m.
1 x + 4 y = 44 x + 1 y = 45 x + 5 y = 8
A solução é x’=y’=4/5 mas k=l=4 e m=8.
2. Sistemas Inconsistentes: satisfazendo à relação k=l=m.
1 x + 4 y = 12 x + 2 y = 13 x - 2 y = 1
Este sistema não possui solução, mas k=l=m=1.
Solução trivial
Se k=l=m=0, as três retas passam pela origem e a solução simples para o problema é x=y=0. Existem outras soluções não triviais.
Situação hipotética
Se nós assumirmos que existe um ponto (x’,y’) no plano XY, pertencente às três retas, então valerá a condição:
a x’ + b y’ = kc x’ + d y’ = le x’ + f y’ = m
Como o sistema original pode ser transladado para um novo sistema de eixos passando pelo ponto (x',y'), construímos um outro sistema:
a (x-x’) + b (y-y’) = k - a x’ - b y’ = 0c (x-x’) + d (y-y’) = l - c x’ - d y’ = 0e (x-x’) + f (y-y’) = m - e x’ - f y’ = 0
Este sistema possui solução x=x’ e y=y’.
Análise da consistência com 2 equações
Consideraremos inicialmente duas retas quaisquer do sistema. Por simplicidade, tomaremos as duas primeiras:
a x + b y = kc x + d y = l
A Regra de Cramer garante que:
1. C1: Existe uma única solução, se ad-bc é não nulo, e, neste caso, as retas são concorrentes.
2. C2: Existem infinitas soluções, se ad-bc=0, al-ck=0 e bl-dk=0, e, neste caso, as retas são coincidentes.
Análise de C1: Uma única soluçãoSe existe uma única solução x=x’ e y=y’, então
a x’ + b y’ = kc x’ + d y’ = l
e o sistema transladado pode ser escrito na forma:a (x-x’) + b (y-y’) = 0c (x-x’) + d (y-y’) = 0
Análise de C2: Infinitas soluçõesSe há infinitas soluções da forma x=x’ e y=y’, as retas coincidem, garantindo que há infinitos (x’,y’), tal que
a x’ + b y’ = kc x’ + d y’ = l
e de novo, o sistema transladado pode ser escrito como:a (x-x’) + b (y-y’) = 0c (x-x’) + d (y-y’) = 0
Análise da consistência com as 3 equações
Voltemos ao sistema original, com as três equações:
a x + b y = kc x + d y = le x + f y = m
Devemos analisar dois casos.
3. C3: Uma única solução, quando a solução x=x’ e y=y’ do sistema formado pelas duas primeiras equações, satisfaz também à terceira equação. O ponto P=(x’,y’) é a interseção das três retas concorrentes.
4. C4: Infinitas soluções, quando as três retas são coincidentes.
Análise de C3: Uma única soluçãoSe há uma única solução para o sistema formado pelas duas primeiras retas, digamos x=x’ e y=y’, então segue que
a x’ + b y’ = kc x’ + d y’ = l
Se o ponto (x’,y’) pertence à reta ex+fy=m, entãoe x’ + f y’ = m
e todo o sistema transladado pode ser escrito como:a (x-x’) + b (y-y’) = 0c (x-x’) + d (y-y’) = 0e (x-x’) + f (y-y’) = 0
Análise de C4: Infinitas soluçõesSe há infinitas soluções da forma x=x’ e y=y’, as retas coincidem, garantindo que há infinitos (x’,y’), tal que
a x’ + b y’ = kc x’ + d y’ = le x’ + f y’ = m
e novamente, o sistema transladado pode ser escrito:a (x-x’) + b (y-y’) = 0c (x-x’) + d (y-y’) = 0e (x-x’) + f (y-y’) = 0
Condição correta
Nos quatro casos possíveis, o sistema original terá solução se, existir um ponto (x’,y’) satisfazendo à condição:
a x’ + b y’ = kc x’ + d y’ = le x’ + f y’ = m
Criatividade
Criatividade 2-dimensional linearTome um ponto fixo P=(x’,y’) no plano R² e construa um feixe de retas passando por P, isto é, uma coleção de retas:
y - y’ = n (x - x’)onde n (coeficiente angular) é um número real. Ainda existe uma reta vertical x=x’ que passa por P.Tomaremos apenas n como um número natural e já teremos uma coleção com infinitas retas passando por P=(x’,y’), como por exemplo a coleção que aparece na tabela:
Coeficiente Reta Equação
n=1 y = x + y’ - 1x’ -1x + 1y = y’ - 1x’
n=2 y = x + y’ - 2x’ -1x + 1y = y’ - 2x’
n=3 y = x + y’ - 3x’ -1x + 1y = y’ - 3x’
n=4 y = x + y’ - 4x’ -1x + 1y = y’ - 4x’
... ... ...
Podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.
Criatividade 3-dimensional linearTome um ponto fixo P=(x’,y’,0) em R³ e construa um feixe de retas passando por P, contidas no plano z=0, isto é, uma coleção de retas da forma
y - y’ = n (x - x’), z = 0onde n é um número real. Ainda existe a reta x=x’ no plano z=0 que passa por P.Há infinitas retas contidas no plano z=0 que passam pelo ponto P. Se você "levantar" verticalmente todas estas retas, você terá um feixe de planos verticais no espaço R³, todos eles passando pelo ponto P. Podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.
Criatividade n-dimensional linearTome um ponto fixo P=(p1,p2,0,...,0) no hiperplano
H = {x=(x1,x2, ..., xn) em Rn : x3 = x4 = ... = xn = 0 }e construa um feixe de retas contidas nesse hiperplano H que passam por P=(p1,p2,0,...,0), isto é, uma coleção de retas da forma
x2 - p2 = q (x1 - p1), x3 = x4 = ... = xn = 0onde q é um número real. Ainda existe a reta x1=p1 no hiperplano H que passa por P. Há infinitas retas passando por P=(p1,p2,0,...,0). Se você "levantar" todas estas retas no espaço Rn, você terá um feixe de hiperplanos, todos eles passando pelo ponto P. Assim, podemos construir infinitos sistemas consistentes com 3 equações e 2 incógnitas em que os termos independentes não são iguais.
Criatividade ampliada não linearApós a nossa análise linear, amplie a sua criatividade com um estudo para outros tipos de curvas, como as cônicas: circunferências, elipses, parábolas, hipérboles, ou outro tipo. Por exemplo, considere o sistema com as três equações (possivelmente cônicas) em R².
a1 x² + b1 y² +2c1 xy + 2d1 x + 2e1 y = f1
a2 x² + b2 y² +2c2 xy + 2d2 x + 2e2 y = f2
a3 x² + b3 y² +2c3 xy + 2d3 x + 2e3 y = f3
Quais são as condições que devem ser impostas a f1, f2 e f3
para que o sistema seja consistente?
Exemplo: Estude o sistema com 3 circunferências em R²:x² + y² + a x + b y = kx² + y² + c x + d y = lx² + y² + e x + f y = m
Quais são as condições que devem ser impostas a k, l e m, para que o sistema seja consistente? Embora este sistema seja bastante parecido com o primeiro sistema apresentado, a solução é muito diferente!
Ensino Superior: Álgebra: Corpos Propriedades distributivas Corpo
Propriedades: elemento nulo
Isomorfismo de corpos
Propriedades gerais no corpo
"Feliz é o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire entendimento,..."Provérbios 3:13 A Bíblia Sagrada
Propriedades distributivas
Seja K um conjunto não vazio sobre o qual podem ser definidas duas aplicações binárias e e sejam x,y,z K. Diz-se que a aplicação é distributiva em relação à aplicação
sex (y z) = x y x z
e que a operação é distributiva em relação à operação se:(x y) z = x z y z
Exemplo: Seja o conjunto K={0,1,2,3} com a adição e a multiplicação , definidas pelas tabelas:
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 3 1
3 0 3 1 2
Sobre este conjunto K, a multiplicação é distributiva em relação à adição .Nem sempre as palavras adição e multiplicação têm os significados comuns que conhecemos do ensino fundamental.Corpo
Seja K um conjunto não vazio sobre o qual podem ser definidas as operações binárias e . a estrutura (K, , ) é um corpo se:
1. (K, ) é um grupo abeliano;
2. (K– {0}, ) é um grupo abeliano;
3. é distributiva em relação à operação .
Para saber sobre grupo abeliano, visite o link grupos.Exemplos:
1. A estrutura (Z,+,.), em que Z é o conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação, não representa um corpo.
2. A estrutura (Q,+,.), em que Q é o conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação, representa um corpo.
3. A estrutura (R,+,.), em que R é o conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação, representa um corpo.
4. A estrutura (C,+,.), em que C é o conjunto dos números complexos com as operações usuais de adição e multiplicação, representa um corpo.
5. O conjunto K={0,1,2,3} munido com as operações de adição e multiplicação , definidas pelas tabelas:
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 3 1
3 0 3 1 2
6. representa um estrutura de corpo com uma quantidade finita de elementos.
7.
Propriedades do elemento nulo em um corpo
Seja K=(K, , ) um corpo.1. Se 0 é o elemento neutro aditivo em K, então para todo
x K, tem-se que: x 0=0 x=0.
2. Para todos x,y K, tem-se: x y=(–x) (–y).
3. Para todos x,y K, tem-se: (–x) y=x (–y)=(x y).
4. Se x,y K e x y=0, então x=0 ou y=0.
5. Se x,y K e x y 0, então x 0 e y 0.
Isomorfismo de corpos
Se (S,+,*) e (T, , ) são corpos, a aplicação f:S T é um isomorfismo entre estes corpos, se:
1. f é uma bijeção f:S T;
2. f:(S,+) (T, ) é um isomorfismo de grupos;
3. f:(S– {0},*) (T– {0}, ) é um isomorfismo de grupos.
Para saber sobre isomorfismo de grupos, visite o link grupos.Para esta aplicação f:S T e para quaisquer x,y S, valem as seguintes propriedades:
Soma f(x+y) = f(x) f(y)
Produto f(x*y) = f(x) f(y)
Quando existe um isomorfismo entre o corpo (S,+,*) e o corpo (T, , ), tais corpos são denominados isomorfos.Em geral, utilizamos apenas o sinal + no lugar de e o sinal * ou o sinal . no lugar de .
Propriedades gerais em um corpo
Sejam K=(K,+,.) um corpo e os elementos x,y,z,a,b K. Demonstrar que:
1. Se 0 K é o elemento neutro aditivo, então -0=0.
2. –(x+y)=(–x)+(–y)=–x–y.
3. –(x-y)=y–x.
4. Se e K é o elemento neutro multiplicativo, então e-1=e.
5. x/y=0 se, e somente se, x=0.
6. Se x 0 e x.y=x.z então y=z.
7. Se x 0 e y=z então x.y=x.z.
8. Se y 0 e w 0 então
x
y+
z
w=
x.w + y.z
y.w9. Se y 0 e w 0 então
x
y.
z
w=
x.z
y.w10. x.(y–z)=x.y–x.z.
11. (x–y)+(y–z)=x–z.
12. (x–y)–(z–y)=x–z.
13. (x–y).(z–w)=(x.z+y.w)–(x.w+y.z).
14. x–y=z-w se, e somente se, x+w=y+z.
15. A equação a.x+b=0 tem uma única solução se a 0.
16. A equação a.x+b=0 não tem solução se a=0 e b 0.
17. A equação a.x+b=0 tem infinitas soluções se a=b=0.
Tratamento mais simples Matriz cofatora Alguns determinantes Determinante (por linhas)
Determinante (por colunas)
Tratamento mais refinado Permutação Função determinante Partição de matriz
Propr. dos determinantes
"O Senhor pela sabedoria fundou a terra; pelo entendimento estabeleceu o céu."Provérbios 3:19 A Bíblia Sagrada
Um tratamento mais simples
Apresentaremos inicialmente um estudo simplificado sobre o conceito de determinante, similar ao utilizado no âmbito do Ensino Médio no Brasil.Como as matrizes tratadas neste estudo são quadradas, faz-se necessário identificar tais matrizes. Uma matriz quadrada A de ordem n será denotada por A=[aij] onde os índices i=1,2,...,n indicam as linhas e os índices j=1,2,...,n indicam as colunas da matriz. O elemento da linha i e da coluna j da matriz A será indicado por aij.Matriz cofatora
Para cada elemento aij de uma matriz quadrada A de ordem n, podemos construir uma matriz cofatora, que é uma matriz de ordem n-1, construída pela retirada da linha i e da coluna j da matriz original A, multiplicada pelo número (-1)i+j. Uma notação para a matriz cofatora de posição (i,j) é Aij.
Exemplo: Para a matriz dada por:
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a matriz cofatora A11 para o elemento a11 é a matriz de ordem 2 obtida da matriz A pela retirada da linha 1 e da coluna 1, multiplicada pelo número (-1)1+1:
A11 = (-1)1+1a22 a23
a32 a33 =a22 a23
a32 a33
A matriz cofatora A23 para o elemento a23 é a matriz de ordem 2 obtida da matriz A pela exclusão da linha 2 e da coluna 3, multiplicada pelo número (-1)2+3=-1:
A23 = (-1)2+3a11 a12
a31 a32 =-a11 -a12
-a31 -a32
As matrizes cofatoras Aij são conhecidas como matrizes menores pois uma matriz A de ordem n possui n×n matrizes cofatoras de ordem n-1.
Cofator relativo à posição ij, indicado por dij, é o determinante da matriz cofatora Aij, isto é: dij=det(Aij)
A Matriz adjunta associada à matriz A, denotada por adj(A), é a transposta da matriz com os (determinantes) cofatores dij da matriz A.
adj(A) =
d11 d21 d31
d12 d22 d32
d13 d23 d33
Alguns determinantes
Matriz de ordem 1: Para uma matriz A=[a11] com apenas um escalar (1 linha e 1 coluna), definimos:
det(A) = a11
Matriz de ordem 2: Para uma matriz quadrada A de ordem 2 (2 linhas e 2 colunas)
A = a11 a12
a21 a22
Definimos o determinante de A como:det(A) = a11 a22 - a21 a12
Matriz de ordem 3: Para uma matriz quadrada A de ordem 3 (3 linhas e 3 colunas)
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
definimos o determinante de A como:det(A)=a11a22a33 +a13a21a32 +a12a23a31
-a11a23a32 -a13a22a31 -a12a21a33
Apresentaremos agora uma definição mais geral que permite calcular recursivamente o determinante de uma matriz de ordem n como a combinação linear de n determinantes de matrizes de ordem n-1, em função das matrizes cofatoras.
Determinante desenvolvido por linhas
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é um escalar denotado por det(A), construído a partir de qualquer uma das i linhas da matriz A, tal que:
det(A) = ai1det(Ai1)+ ai2det(Ai2) +…+ aindet(Ain)ou de uma forma sintética
det(A) = j=1..n aij det(Aij)para cada linha i=1,2,...,n fixada.Em todas as situações acima, Aij significa a matriz de ordem n-1, obtida pela exclusão da linha i e da coluna j.
Determinante desenvolvido por colunas
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é um escalar denotado por det(A), construído a partir de qualquer uma das j colunas da matriz A, tal que:
det(A) = a1jdet(A1j) + a2jdet(A2j) +…+ anjdet(Anj)ou seja
det(A) = i=1..n aij det(Aij)para cada coluna j=1,2,...,n fixada.As duas definições representam o mesmo número e são livres uma vez que podemos fixar qualquer linha ou qualquer coluna para obter qualquer uma das formas acima, conhecidas como expansões de Laplace.
Estudo mais refinado de determinantes
A partir daqui, definiremos o determinante como uma função n-linear alternada, forma normalmente tratada no âmbito do Ensino Superior no Brasil. Tal definição exige alguns conceitos algébricos importantes como o de permutação.Permutação
O conjunto dos n primeiros números naturais, será denotado por In={1,2,3,...,n}. Por exemplo: I5={1,2,3,4,5}.Uma permutação em In é uma função p:In In que é bijetora. Como o conjunto In é finito, a função p:In In é bijetora se, e somente se, p é injetora.Cada permutação em In será indicada na forma:
p= ( 1p(1)
2p(2)
3p(3)
...
...n
p(n))onde a primeira linha mostra os elementos do domínio In e a segunda linha mostra as respectivas imagens desses elementos através de p.
Exemplo: Existem apenas 2 funções bijetoras definidas sobre I2={1,2}. Tais permutações são:
p1= ( 11
22) e p2= ( 1
221)
O número de permutações em I2 é o fatorial de 2, isto é, 2!=2 e o conjunto dessas permutações é: P(2)={p1,p2}
Exemplo: Existem apenas 6 funções bijetoras definidas sobre I3={1,2,3}. Tais permutações são:
p1= ( 11
22
33) p2= ( 1
123
32) p3= ( 1
322
31)
p4= ( 12
21
33) p5= ( 1
321
32) p6= ( 1
223
31)
O número das permutações em I3 é o fatorial de 3, isto é, 3!=6 e o conjunto dessas permutações é: P(3)={p1,p2,p3,p4,p5,p6}.Tomando o último exemplo como referência, tomemos a permutação:
p1= ( 11
22
33)
A segunda linha coincide com a primeira e esta permutação é denominada a permutação identidade.Consideremos a permutação:
p2= ( 11
23
32)
Trocando o número 2 pelo número 3 na segunda linha, obtemos exatamente os números que aparecem na primeira linha.
p2= ( 11
23
32) p1= ( 1
122
33)
Considerando que só podemos trocar os números de dois em dois, necessitamos apenas de 1 troca para obter a identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 1 que é um número ímpar.Consideremos agora a permutação:
p5= ( 13
21
32)
Trocando o número 3 pelo número 1 na segunda linha, obtemos uma outra permutação que ainda não é a identidade. Ainda devemos realizar uma segunda troca para obter a permutação identidade:
p5= ( 13
21
32) p2= ( 1
123
32) p1= ( 1
122
33)
Neste caso, necessitamos de 2 trocas para obter a permutação identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 2 que é um número par.
Paridade da permutação: Uma permutação é denominada par se necessita de um número par de trocas para transformá-la na identidade e é ímpar se necessita de um número ímpar de trocas para transformá-la na identidade.
O Sinal de uma permutação é definido pela função:
sgn(p)={ 1 se p é par-1 se p é ímpar
Exemplo: Com relação às 6 permutações possíveis definidas sobre I3, temos que p1, p5 e p6 são pares e p2, p3 e p4 são ímpares.A função determinante (por permutações)
Seja Mn(K) o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n com escalares em um corpo K e P(n) o conjunto de todas as permutações de elementos de In={1,2,3,...,n}. Definimos a função determinante det:Mn(K) K que associa a cada matriz A Mn(K), o escalar denotado por det(A), por:
det(A) = p P(n) sgn(p) a1p(1) a2p(2)a3p(3)...anp(n)
sendo que a soma acima deve ser realizada sobre todas as permutações p que pertencem ao conjunto P(n).Realiza um papel fundamental a indicação dos índices j e p(j). O primeiro j aponta para a linha onde está o elemento a j
p(j) enquanto que o segundo p(j) aponta para a coluna do elemento aj p(j).
Exemplo (matriz de ordem 1): Seja A=[a11]. O elemento desta matriz pode ser escrito em função da única permutação de P(1)={p} e como p(1)=1, segue que
det(A) = sgn(p) a1p(1) = a11
que coincide com a forma apresentada antes.
Exemplo (matriz de ordem 2): Seja a matriz
A = [ a11 a12
a21 a22]
Cada elemento desta matriz pode ser escrito em função das 2 permutações de P(2):
p1= ( 11
22 ) e p2= ( 1
221 )
segue que p1(1)=1, p1(2)=2, p2(1)=2, p2(2)=1, sgn(p1)=1 e sgn(p2)=-1, logo:
det(A) = p P(2) sgn(p) a1 p(1) a2 p(2)
= sgn(p1) a1p1(1)a2p1(2) +sgn(p2) a1p2(1)a2p2(2)
= (+1) a11 a22 + (-1) a12a21
= a11 a22 - a12 a21
que coincide com a forma apresentada antes.
Exemplo (matriz de ordem 3): Tomemos a matriz
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Cada elemento desta matriz pode ser escrito em função das 6 permutações de P(3):
p1= ( 11
22
33 ) p2= ( 1
123
32 ) p3= ( 1
322
31 )
p4= ( 12
21
33 ) p5= ( 1
321
32 ) p6= ( 1
223
31 )
segue quep1(1)=1, p1(2)=2, p1(3)=3p2(1)=1, p2(2)=3, p2(3)=2p3(1)=3, p3(2)=2, p3(3)=1p4(1)=2, p4(2)=1, p4(3)=3p5(1)=3, p5(2)=1, p5(3)=2p6(1)=2, p6(2)=3, p6(3)=1
sgn(p1)=sgn(p5)=sgn(p6)=+1sgn(p2)=sgn(p3)=sgn(p4)=-1
Assim:det(A) = p P(3) sgn(p) a1 p(1) a2 p(2) a3 p(3)
= sgn(p1) a1 p1(1) a2 p1(2) a3 p1(3)
+sgn(p2) a1 p2(1) a2 p2(2) a3 p2(3)
+sgn(p3) a1 p3(1) a2 p3(2) a3 p3(3)
+sgn(p4) a1 p4(1) a2 p4(2) a3 p4(3)
+sgn(p5) a1 p5(1) a2 p5(2) a3 p5(3)
+sgn(p6) a1 p6(1) a2 p6(2) a3 p6(3)
= a11 a22 a33+a13 a21 a32+a12 a23 a31
-a11 a23 a32-a13 a22 a31-a12 a21 a33
que coincide com a forma apresentada antes.
Existe uma notação para o determinante de uma matriz quadrada A=[aij] que é a colocação de uma barra vertical à esquerda e outra à direita dos elementos da matriz:
A =
|||||
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
a31 a32 ... a3n
..... ..... .... .....an1 an2 ... ann
|||||
Partição de uma matriz quadrada de ordem n
Em geral, uma matriz quadrada A=[aij] de ordem n pode ser escrita na forma:
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
..... ..... ... .....an1 an2 ... ann
Esta matriz A pode ser particionada em n linhas:
A =
L1
L2
...Ln
sendo que para cada i=1,2,3,...,n, a linha i é um vetor da forma:
Li = (ai1, ai2, ai3, ..., ain)Esta mesma matriz A pode ser particionada em n colunas:
A = [C1, C2, C3, ..., Cn]sendo que para cada j=1,2,3,...,n, a coluna j é um vetor da forma:
Cj =
a1j
a2j
...anj
Propriedades da função determinante
1. Aditividade para cada linha (ou coluna): A função determinante é aditiva para cada linha (ou coluna) desde que sejam mantidas fixas todas as outras linhas (ou colunas).|||||
a11
a21
...x1
a12
a22
...x2
...
...
...
...
a1n
a2n
...xn
|||||
+
|||||
a11
a21
...y1
a12
a22
...y2
...
...
...
...
a1n
a2n
...yn
|||||
=
|||||
a11
a21
...x1+y1
a12
a22
...x2+y2
...
...
...
...
a1n
a2n
...xn+yn
|||||
2. Homotetia para cada linha (ou coluna): A função determinante é homotética para cada linha (ou coluna) desde que sejam mantidas fixas todas as outras linhas (ou colunas).
|||||
a11
a21
...an1
k.a12
k.a22
...k.an2
...
...
...
...
a1n
a2n
...ann
|||||
= k
|||||
a11
a21
...an1
a12
a22
...an2
...
...
...
...
a1n
a2n
...ann
|||||
3. Se In é a matriz identidade de ordem n, então det(In)=1.
4. Se A é uma matriz quadrada com uma linha nula (ou coluna nula), então det(A)=0.
5. Se A é uma matriz quadrada com duas linhas (ou colunas), iguais então det(A)=0.
6. Seja uma matriz quadrada A de ordem n, decomposta em linhas:
A =
L1
...Li
...Lj
...Ln
7. Se B é uma matriz com as mesmas linhas que A exceto pela linha Li que é substituída pela soma das linhas Li e Lj da matriz A, isto é:
B =
L1
...Li+Lj
...Lj
...Ln
8. então det(B)=det(A).
9. Usando a aditividade sobre a linha i, segue que:
det(B) = det
L1
...Li+Lj
...Lj
...Ln
= det
L1
...Li
...Lj
...Ln
+
L1
...Lj
...Lj
...Ln
=det(A)
10. O último determinante é nulo pois a matriz respectiva possui duas linhas iguais. Esta propriedade vale para soma de linhas como para soma de colunas.
11. Se o conjunto das linhas {L1,L2,…,Ln} ou o conjunto das colunas {C1,C2,…,Cn} de uma matriz quadrada A
forma um conjunto linearmente independente em Rn, então det(A) é diferente de zero.
12. Alternada: Se B é uma matriz obtida a partir da matriz quadrada A pela troca de duas linhas (ou colunas), então: det(B) = -det(A).
det
L1
...Li
...Lj
...Ln
= -det
L1
...Lj
...Li
...Ln
13. O determinante do produto de duas matrizes quadradas é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, isto é:
det(AB) = det(A) det(B).
14. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta At, i.e.
det(At) = det(A).
15. Se A é uma matriz quadrada, então:
A adj(A) = adj(A) A = det(A) In.
16. O determinante da inversa de uma matriz A é igual ao inverso do determinante de A.
det(A-1) = [det(A)]-1
17. Se uma matriz M pode ser particionada em blocos na forma:
M = [A 0B C ]
18. Em que A e C são matrizes quadradas, então
19. det(M) = det(A) det(C)20. Se A e B são matrizes quadradas semelhantes, isto
é, existe uma matriz P tal que A=P-1BP, então
det(A) = det(P-1BP) = det(B)
Exercícios:
1. Para a matriz A=[aij] de ordem n definida por aij=ij-1, mostrar que
det(A) = 1! 2! 3! 4! ... (n-1)!
2. Para a matriz A=(aij) de ordem 2 definida por aij=i+j, calcular f(t)=det(A-tI2) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.
3. Para a matriz definida por:
M = [a bc d ]
4. calcular f(t)=det(A-tI2) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.
Espaço vetorial Propriedades: Espaço vetorial Exemplos de espaços vetoriais Subespaço vetorial Caracterização de subespaço
Exemplos de subespaços
Combinações lineares Conjunto gerado Propriedades: Conjunto gerado Soma de subespaços Interseção de subespaços
Soma direta de subespaços
"Adquire a sabedoria, adquire o entendimento; não te esqueças nem te desvies das palavras da minha boca."
Provérbios 4:5 A Bíblia Sagrada
Espaço Vetorial
Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de
elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:
1. Quaisquer que sejam u,v,w V:
(u+v)+w = u+(v+w)2. Existe ö V (elemento nulo) tal que para todo v V:
ö + v = v3. Para cada v V, existe –v V (elemento oposto) tal que
v+(–v)=ö4. Quaisquer que sejam u,v V, segue que
u+v=v+u5. Para todo escalar k K e quaisquer v,w V:
k.(v+w) = k.v + k.w6. Para quaisquer k,m K e todo v V:
(k+m).v = k.v + m.v7. Para quaisquer k,m K e qualquer v V:
(km).v = k(m.v)8. Para qualquer v V tem-se que
1.v = v
Propriedades em um espaço vetorial
Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:
1. Para todo k K segue que k.ö=ö.
2. O vetor nulo ö é único.
3. Para todo v V tem-se que 0.v=ö.
4. Para cada v V o vetor oposto –v V é único.
5. Seja k K e v V. Se k.v=ö então k=0 ou v=ö.
6. Se v+u=v+w para u,v,w V, então u=w.
7. Quaisquer que sejam v,w V, existe um único u V tal que v+u=w.
8. Para todo k K e para todo v V segue que:
(–k).v = –(k.v) = k.(–v)9. Para todo k K e para todo v V segue que
(–k)(–v) = kv10. Se k1,k2,…,kn K e v V, então:
(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv11. Se k K e v1,v2,…,vn V, então:
k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn
Exemplos de espaços vetoriais
1. Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K.
2. O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e multiplicação de R.
3. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e multiplicação de C.
4. R²={(x,y): x R, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)k(x,y)=(kx,ky)
5. Rn={(x1,x2,…,xn): xi R, i=1,2,…,n} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar definidas por:
(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)k.(x1,x2,…,xn)=(kx1,kx2,…,kxn)
6. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.
7. O conjunto Mm×n(K) das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.
8. O conjunto Mm×1 (K) dos vetores-linhas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.
9. O conjunto M1×n(K) dos vetores-colunas com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K.
10. O conjunto F(R)={f:R R} das funções reais cujo domínio é o conjunto dos números reais é um espaço vetorial sobre R.
11. O conjunto P[K] de todas as funções polinomiais da forma:
p(x) = a0 + a1 x + a2 x² +…+ an xn
onde ai K (i=0,1,2,…,n) é um espaço vetorial sobre o corpo K.
12. O conjunto F([a,b],R)={f:[a,b] R} das funções reais cujo domínio é o intervalo fechado [a,b] é um espaço vetorial sobre R.
Subespaço Vetorial
Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) para um subespaço.Para mostrar que (S,+,.) é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V ou usar uma das duas caracterizações seguintes:
Caracterização de subespaço vetorial
Teorema I: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:
1. S é não vazio.
2. Se v,w S, então v+w S.
3. Se k K e v S, então k.v S.
Teorema II: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:
1. O vetor nulo de V pertence ao conjunto S.
2. Se v,w S e p, q K, então p.v + q.w S.
Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.
Exemplos de subespaços vetoriais
1. O conjunto nulo S={ö} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.
2. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.
3. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.
4. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R².
5. Seja A uma matriz de números reais com m linhas e n colunas. O conjunto
H = {x=(x1,x2,…,xn)t Rn: A.x = ö}é um subespaço (hiperplano) de Rn.
6. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n é um subespaço de Mm×n(K), o espaço vetorial das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K, se n<m.
7. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço de Mn(R).
8. O conjunto An(R) das matrizes anti-simétricas é um subespaço de Mn(R).
9. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³.
10. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.
11. O conjunto P={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³.
12. O conjunto Q={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³.
13. O conjunto Cº(R)={f:R R: f é contínua} é um subespaço de F(R,R).
14. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço de P[R].
15. O conjunto P0 de todas as funções polinomiais com coeficientes reais e o grau exatamente igual a 3 não é um subespaço de P[R].
16. O conjunto F'={f:(a,b) R, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) R}.
17. O conjunto C[A]={X Mn(R): AX=XA} das matrizes que comutam com A, é um subespaço de Mn(R).
18. O conjunto S={X M2(R): det(X)=0} das matrizes singulares, não é um subespaço de M2(R).
19. O conjunto Id={X M2(R): X²=X} das matrizes idempotentes, não é um subespaço de M2(R).
Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos.
Combinações lineares
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e C={v1,v2,…,vn} uma coleção de vetores em V. Dizemos que um vetor v é combinação linear dos elementos de C, se existem escalares k1,k2,…,kn K tal que
v = k1 v1 + k2 v2 +…+ kn vn
Exemplo: O vetor v=(3,-2,1) R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois existem escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que
(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1)Exercício: Determinar escalares p,q,r R tal que:
(1,2,3) = p(1,0,0) +q(1,1,0) +r(1,1,1)
Conjunto gerado
Se S é um subconjunto de um espaço vetorial V, definimos o conjunto gerado por S, denotado por <S>, como o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S.
Exemplos de conjuntos gerados(1) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2) de R² é a reta que passa pela origem de R² e possui a direção do vetor v=(1,2), pois:<(1,2)> = {t(1,2): t em R}
= {(x,y) em R²: x=1t,y=2t, t real}
= {(x,y) em R²: x/1=y/2}
= {(x,y) em R²: y=2x}
(2) O conjunto gerado pelos vetores de R², u=(1,0) e v=(0,1) é todo o espaço R², pois:<u,v> = {w=xu+yv em R²: x,y em R}
= {w=x(1,0)+y(0,1): x,y em R}
= {w=(x,0)+(0,y): x,y em R}
= {w=(x,y): x,y em R} = R²
(3) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2,3) de R³ é a reta que passa pela origem de R³ e possui a direção do vetor v=(1,2,3), pois:<(1,2,3)> = {t(1,2,3): t real}
= {(1t,2t,3t): t real}
= {(x,y,z): x=1t,y=2t,z=3t,t real}
= {(x,y,z) em R³: x/1=y/2=z/3}
(4) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0) e v=(0,1,0) de R³ é o plano z=0 em R³, pois:<u,v> = {w=xu+yv em R³: x,y em R}
= {w=x(1,0,0)+y(0,1,0): x,y em R}
= {w=(x,0,0)+(0,y,0): x,y em R}
= {w=(x,y,0): x,y em R}
= {w=(x,y,z) em R³: z=0}
(5) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0), v=(0,1,0) e w=(0,0,1) de R³ é todo o espaço R³, pois:<u,v,w> ={xu+yv+zw em R³: x,y,z em R}
={x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1): x,y,z em R}
={(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z): x,y,z em R}
={(x,y,z): x,y,z em R} = R³
Em todas as situações acima, os conjuntos gerados sempre apresentaram subespaços como resultados.
Propriedades dos conjuntos gerados
Sejam S e T subconjuntos de um espaço vetorial V e <S> e <T> os seus respectivos conjuntos gerados. É possível mostrar que
1. <S> é um subespaço de V.
2. <S>={ö}, onde ö é o vetor nulo de V.
3. S está contido em <S>.
4. Se S está contido em T então <S> está contido em <T>.
5. S=<S> se, e somente se, S é subespaço de V.
6. <<S>> = <S>.
Soma de subespaços vetoriais
Em um espaço vetorial V, definimos a soma dos seus subespaços U e W, denotada por U+W, como o conjunto de todos os vetores da forma v=u+w, onde u U e w W, isto é:
U+W = { u+w : u U; w W }Proposição: Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, então a soma U+W é um subespaço de V.Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V.
1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öU=öW=ö e segue que U+W não é vazio pois contém o vetor nulo ö = öU + öW.
2. Se v'=u'+w' U+W e v"=u"+w" U+W, então:
v'+v" = (u'+w') + (u"+w") = (u'+u") + (w'+w") U+W3. Se v=u+w U+W e k K (corpo), então:
k v = k (u+w) = k u + k w U+WExemplo: Sejam os subespaços de R³ definidos por:
U=<(1,0,0),(0,1,0)>={(x,y,0): x R, y R}W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): z R }
O conjunto U+W é um subespaço de R³ e na realidade, segue que U+W=R³.Exercício: Sejam os subespaços de R³ definidos por:
U=<(1,0,0)> = { x (1,0,0) : x R }W=<(0,1,0)> = { y (0,1,0) : y R }
Mostrar que U+W é o plano z=0, isto é, o subespaço de R³ tal que:
U+W={(x,y,z) R³: z=0}
Interseção de subespaços vetoriais
Em um espaço vetorial V, definimos a interseção dos subespaços de U e W, denotada por U W, como o conjunto de todos os vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é:
U W = {v: v U e v W }Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção U W é um subespaço de V.Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V.
1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öU=öW=ö, assim U W é não vazio.
2. Se v' U W e v" U W, então v' U, v1 W, v" U e v" W, assim v'+v" U e v'+v" W e segue que v'+v" U W.
3. Se k K e v U W, então v U, v W, logo k.v U e k.v W o que garante que k.v U W.
Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:
U=<(1,0,0),(0,1,0)> = {(x,y,0): x R, y R }W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): z R }
O conjunto U W é um subespaço de R³ e observamos que U W ={ö} o subespaço nulo.Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por:
U=<{(1,0,0),(0,1,0)}>={(a,b,0): a R, b R }W=<{(1,0,0),(0,0,1)}>={(c,0,d): c R, d R }
Mostrar que U W é o subespaço vetorial de R³, conhecido como o Eixo OX.Exercício: Se V é um espaço vetorial, exiba subespaços vetoriais U e W de V cuja reunião nao seja um subespaço vetorial de V.
Soma direta de subespaços
Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, definimos a soma direta de U e W, denotada por U W, como o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos de uma forma única v=u+w, onde u U e w W.Teorema caracterizando a soma direta: Sejam U e W subepaços de um espaço vetorial V. V=U W se, e somente se, V=U+W e U W ={ö}.Exemplo: Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2, S o subespaço de V das matrizes simétricas, isto é, as matrizes da forma:
s = ||
x y
y z
||
e T o subespaço de V das matrizes anti-simétricas, que têm a forma geral:
t = ||
0 w
-w 0
||
Assim V=S T, pois V=S+T e S T={ö}.Isto significa que toda matriz quadrada de números reais de ordem 2, pode ser decomposta, de forma única, na soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.Se M é uma matriz quadrada arbitrária de ordem 2, então é possível obter uma matriz simétrica M' e uma matriz anti-simétrica M", dadas por:
M' = ½(M + Mt) e M" = ½(M - Mt)de modo que existe uma decomposição única para M, isto é, M=M'+M".Exercício: Seja F={f:R R} o espaço vetorial de funções, F" o subespaço de F das funções pares e F' o subespaço de F das funções ímpares, isto é,
F' = { f F: f(-x)=-f(x), x R }F" = { f F: f(-x)= f(x), x R }
Então, F=F" F', pois F"+F'=F e F" F'={0}.Sugestão: Se f=f(x) F, escreva f(x)=g(x)+h(x) e mostre que g(x)=½(f(x)+f(-x)) e h(x)=½(f(x)-f(-x)). Mostre depois que g=g(x) é par e que h=h(x) é ímpar.
Aplicação Elementos de uma aplicação Restrição de uma aplicação
Aplicação bijetora Composição de aplicações Aplicações inversas
Extensão de uma aplicação Aplicação injetora
Aplicação sobrejetora
Imagem direta por aplicação Imagem inversa por aplicação
Propriedades mistas
"Porque melhor é a sabedoria do que as jóias; e de tudo o que se deseja nada se pode comparar com ela."
Provérbios 8:11 A Bíblia Sagrada
Aplicação
Dentre todas as relações em um determinado produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto que é muito mais exigente mas que produz resultados de grande valor na Matemática. Este conceito é denominado função.Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma aplicação f no produto cartesiano A×B, é definida como sendo uma relação em A×B, que satisfaz às duas propriedades:
1. Para cada x A, existe y B tal que (x,y) f.
2. Se (x,y1) f e (x,y2) f, então y1=y2
Uma notação usual para uma aplicação f definida no produto cartesiano A×B, é f:A B.
Observações sobre aplicações1. O primeiro ítem da Definição declara que todos os
elementos de A devem estar relacionados com elementos de B.
2. O segundo ítem da Definição garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em B
3. Nem toda relação no produto cartesiano R² é uma aplicação, como mostra o exemplo seguinte:
K = {(x,y) R² : x²+y²=1}
4. Em textos antigos, a palavra função era usada de uma forma bastante livre no lugar de aplicação, mas na literatura atual a palavra aplicação passou a ter outros nomes como: operador, transformação, funcional,…, e houve a necessidade de restringir a palavra função exclusivamente às situações em que o conjunto B é um subconjunto do conjunto R dos números reais.
Elementos de uma aplicação
Seja f uma aplicação em A×B, denotada por f:A B.1. O gráfico de f, às vezes usado como a definição de
função, é definido por:
G(f)={(x,y) A×B: x A, y B, y=f(x)}2. O conjunto A recebe o nome de domínio de f, denotado
por Dom(f).
3. O conjunto B recebe o nome de contradomínio de f, denotado por Codom(f).
4. A imagem de f, denotada por texto Im(f) é o conjunto:
f(A)={y B: existe x A tal que y=f(x)}Exemplo: A função quadrática f:R [0, ) pode ser escrita na forma:
f={(x,y) R×[0, ): x R, y R, y=x²}ou na forma f:R [0, ) definida por
f(x)=x² sendo Dom(f)=R, Codom(f)=Im(f)=[0, ).
Exercícios:1. Sejam A={1,2,3,4,5} e B={0,3,8,15,20}. Verificar se a
relação f em A×B, definida por (a,b) f se, e somente se, b=a²-1, é uma aplicação.
2. Verificar se a relação f:Q Q definida por f(m/n)=mn é uma aplicação. (Dica: 1/2=3/6 mas,...)
3. Para A={1,2,3} e B={a,b,c,d}, seja a relação g:A×BB×A, definida por g(x,y)=(y,x). Mostrar que g é uma aplicação.
Restrição de uma aplicação
Podemos restringir o domínio de uma função f:A B a um subconjunto S de A de modo que a função restrita ao conjunto S, denotada por f|S:S B seja coincidente com a função original sobre o conjunto S, isto é, para cada x S tem-se que: f|S(x)=f(x).
Exemplo: Podemos definir a restrição da função f:R R, f(x)=x² ao conjunto [0, ) de modo que:
f|[0, ):[0, ) R, f(x)=x²
Extensão de uma aplicação
Podemos estender uma função f:A B a um conjunto M contendo o conjunto A de modo que a função estendida ao conjunto M, denotada por F:M B deva ser coincidente com a função original sobre o conjunto A, isto é, para cada, x A tem-se que F(x)=f(x).
Exemplo: Consideremos a função f:R-{0} R definida porf(x)=sen(x)/x
Não tem sentido para x=0, mas podemos estender esta função de uma forma natural a todo o conjunto R dos números reais, tomando f(0)=1. Esta forma é comumente utilizada em Análise Matemática.
Dada uma aplicação f:A B que associa a cada elemento de A um único elemento de B, esta definição não obriga que todos os elementos de A tenham imagens distintas ou mesmo que todos os elementos de B sejam imagens de elementos de A.
Aplicação injetiva
Mesmo que a b pode ocorrer que f(a)=f(b). Quando elementos distintos de A possuem imagens distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A definição seguinte estabelece este fato.Uma aplicação f:A B é denominada injetiva, injetora, unívoca ou 1-1, se:
a b implicar que f(a) f(b)
Exemplo: A função f:R R, definida por f(x)=x² não é injetiva, pois f(-2)=f(2), mas a função f:[0, ) [0, ) definida por f(x)=x² é injetiva.
Teorema: Seja f:A B uma aplicação. f é injetora se, e somente se, f(a)=f(b) implica que a=b;Demonstração: São equivalentes as proposições lógicas
a b implica que f(a) f(b)e
f(a)=f(b) implica que a=bpois a proposição lógica (p q) é equivalente à proposição lógica (q' p').
Aplicação sobrejetora
Pode ocorrer que algum elemento de B não seja imagem de um elemento de A. Temos uma outra definição.Dizemos que a aplicação f:A B é sobrejetiva, sobre ou sobrejetora, se todos os elementos de B são imagens de elementos de A, ou seja:
para todo b B existe a A tal que f(a)=bsignificando que f(A)=B.
Exemplo: A função f:R R, definida por f(x)=x² não é sobrejetiva, pois não existe x R tal que f(x)=-2, mas f:[0, )
[0, ) definida por f(x)=x² é sobrejetiva
Teorema: Seja f:A B uma aplicação. f é sobrejetora se, e somente se, para todo b B, a equação f(x)=b tem pelo menos uma solução em AA demonstração é imediata, pois temos aqui duas maneiras para garantir que f é sobrejetiva
Aplicação bijetora
Uma aplicação f:A B é denominada bijetiva, bijetora ou uma correspondência biunívoca, se f é injetiva e também sobrejetiva
Exemplo: A função f:R R, f(x)=x² não é bijetiva, mas a função f:[0, ) [0, ) definida por f(x)=x² é bijetiva
Exemplo: A aplicação f:R-{2} R-{3} definida por f(x)=(3x-1)/(x-2) é injetora pois, se f(a)=f(b) então (3a-1)/(a-2)=(3b-1)/(b-2) e daí segue que a=b. f também é sobrejetiva pois se f(x)=b, então (3x-1)/(x-2)=b, de onde segue que para b 3: x=(2b-1)/(b-3). Finalmente, segue que f é bijetora pois é injetora e sobrejetora
Sobre a palavra 'sobre': Afirmar que f:A B é uma aplicação injetiva sobre o conjunto B, é o mesmo que afirmar que f é bijetiva
Exercícios:1. Mostrar que f:R R, definida por f(x)=3x+2, é bijetora.
2. Seja f:R R uma função real afim da forma f(x)=ax+b, sendo a 0. Mostrar que f é bijetora
3. Mostrar que f:R R definida por f(x)=2x²+4x-1 não é sobrejetora, pois não existe x em R tal que f(x)=-4.
4. Mostrar que funções reais de segundo grau não são injetoras e nem mesmo sobrejetoras, dependendo do domínio e do contradomínio destas funções.Dica 1: Para mostrar que f(x)=ax²+bx+c com a 0 não é injetora, basta calcular f(-(b)/(2a)+r) e f(-(b)/(2a)-r).Dica 2: Para mostrar que f não é sobrejetiva suponha que o coeficiente a seja positivo e tente obter o número real que é levado em (-b²+4ac)/(4a)-1. Se a é negativo, calcule uma pré-imagem de (-b²+4ac)/(4a)+1.
Composição de aplicações
Definição de composta: Sejam as aplicações f:A B e g:BC. Definimos a aplicação composta g©f:A C de g e f, nesta ordem, por: (g©f)(x)=g(f(x))
Uma outra representação geométrica para a composta das aplica7ccedil;ões f e g, está ilustrada na figura seguinte.
Exemplo: Sejam f:R R definida por f(x)=2x e g:R R definida por g(y)=y². Definimos a composta g©f:R R por:
(g©f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)² = 4x²
Aplicação identidadeA identidade I:A A é uma das mais importantes aplicações da Matemática, definida para todo a A, por I(a)=a. Quando é importante indicar o conjunto X onde a identidade atua, a aplicação identidade I:X X é denotada por IX
Propriedades das aplicações compostas1. A composição de aplicações não é comutativa, isto é:
f©g g©f2. A composição de aplicações é associativa, isto é:
(f©g)©h=f©(g©h)3. A composição de aplicações possui elemento neutro,
isto é:
f©I=I©f=f4. Se f e g são aplicações injetivas, sobrejetivas e
bijetivas, então as compostas g©f são, respectivamente, injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
Aplicações inversas
Aplicação inversa à esquerda: Sejam f:A B e g:B A aplicações. Dizemos que g é uma inversa à esquerda para f se g©f=IA, isto é, para todo a A:
(g©f)(a)=a
Aplicação inversa à direita: Sejam g:B A e f:A B aplicações. Dizemos que g é uma inversa à direita para f se f©g=IB, isto é, para todo b B:
(f©g)(b)=b
Aplicação inversa: Uma aplicação f:A B tem inversa g:B A se, g é uma inversa à esquerda e também à direita para f. Isto significa que, para todo a A e para todo b B:
(f©g)(a)=IA(a) e (g©f)(b)=IB(b)
Notação para a inversa: A inversa de f é denotada por g=f-1. É possível demonstrar que se a inversa g=f-1 existe, ela é única e que a inversa da inversa de f é a própria f, isto é: (f-1)-
1=f.
Imagem um conjunto por uma aplicação
A imagem (direta) de um conjunto A X pela aplicação f:XY, é definida por:
f(A) = {f(a): a A}
Propriedades da imagem diretaSejam f:X Y uma aplicação, A X e B X. Então:
1. f({x})={f(x)} para todo x em X.
2. Se A ø então f(A) ø.
3. Se A B, então f(A) f(B).
Demonstração: Seja y f(A). Pela definição de imagem direta de um conjunto por uma aplicação f, existe x A tal que y=f(x) f(A). Como por hipótese, A B, então xB, logo y=f(x) f(B).
4. f(A B)=f(A) f(B).
Demonstração: Em duas etapas:a. f(A B) f(A) f(B).
b. f(A) f(B) f(A B).
Parte a: Seja w f(A B). Pela definição de imagem direta, existe x A B tal que w=f(x). Assim, x A ou x B e temos que f(x) f(A) ou f(x) f(B) e garantimos que w=f(x) f(A) f(B).Parte b: Seja y f(A) f(B). Então, y f(A) ou y f(B). Existe a A tal que y=f(a) ou existe b B tal que y=f(b).A primeira afirmação garante que y=f(a) f(A). Como A
A B,então pelo ítem (3) acima, segue que f(A) f(AB), e temos que y f(A B).Analogamente, y=f(b) f(B). Como B A B, então pelo ítem (3) acima, segue que f(B) f(A B) e temos que yf(A B).As duas circunstâncias garantem que y f(A B).
5. f(A B) f(A) f(B).
Demonstração: Seja w f(A B). Pela definição de imagem direta, existe x A B tal que w=f(x). Assim, x A
e x B e temos que f(x) f(A) e f(x) f(B), logo w f(A) e wf(B), assim w f(A) f(B).
6. Existem aplicações para as quais f(A B) f(A) f(B).
Imagem inversa por uma aplicação
A imagem inversa de um conjunto W Y pela aplicação f:XY, é definida por
f-1(W)={x X: f(x) W }
Propriedades da imagem inversaSejam f:X Y uma aplicação, U Y e V Y. Então:
1. f-1(ø)=ø
2. Se U V então f-1(U) f-1(V).
Demonstração: Seja x f-1(U). Pela definição de imagem inversa de um conjunto por uma função f, segue que f(x) U. Como por hipótese, U V, então f(x) V, logo x f-
1(V).3. f-1(U V)=f-1(U) f-1(V)
Demonstraremos a igualdade, em duas partes:a. f-1(U V) f-1(U) f-1(V).
b. f-1(U) f-1(V) f-1(U V).
Parte a: Seja x f-1(U V). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x) U V. Pela definição de reunião de conjuntos, temos que f(x) U ou f(x) V. Assim, x f-
1(U) ou x f-1(V). Concluímos então que x f-1(U) f-1(V).Parte b: Seja x f-1(U) f-1(V). Pela definição de reunião de conjuntos, temos que x f-1(U) ou x f-1(V). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x) U ou f(x)V. Assim, f(x) U V e concluímos que x f-1(U V).
4. f-1(U V)=f-1(U) f-1(V)
Demonstraremos com duas inclusões:a. f-1(U V) f-1(U) f-1(V).
b. f-1(U) f-1(V) f-1(U V).
Parte a: Seja x f-1(U V). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x) U V. Pela definição de interseção de conjuntos, temos que f(x) U e f(x) V. Assim, x f-1(U) e x f-1(V). Concluímos que x f-1(U) f-1(V).
Parte b: Seja x f-1(U) )f-1(V). Pela definição de interseção de conjuntos, temos que x f-1(U) e x f-1(V). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x) U e f(x) V. Assim, f(x) U V e concluímos que x f-1(U V).
5. f-1(Vc)=[f-1(V)]c
Demonstração em duas etapas.a. f-1(Vc) [f-1(V)]c.
b. [f-1(V)]c f-1(Vc).
Parte a: Seja x f-1(Vc). Pela definição de imagem inversa, segue que f(x) Vc. Pela definição de complementar, temos que f(x) não está em V, logo x não pertence a f-1(V) e temos que x [f-1(V)]c.Parte b: Seja x [f-1(V)]c. Pela definição de complementar, temos que x não pertence a f-1(V). Assim, f(x) não pertence ao conjunto V ou seja f(x) Vc, o que implica que x f-1(Vc).
6. Se V U então f-1(U-V)=f-1(U)-f-1(V)
Demonstração: Usando o conceito de complementar, segue que U-V=U Vc. Pela relação do ítem (4):
f-1(U-V)=f-1(U Vc)=f-1(U) f-1(Vc)Pelo ítem (5), segue que:
f-1(U-V)=f-1(U) [f-1(V)]c=f-1(U)-f-1(V)
Propriedades mistas
Sejam f:X Y uma aplicação. Assim:1. Para todo A X, tem-se que:
A f-1(f(A))2. Para todo V Y, tem-se que:
f(f-1(V)) V3. Se f é injetiva, então para todo A X, tem-se que:
f-1(f(A)) = A4. Se f é sobrejetiva, então para todo V Y, tem-se que
f(f-1(V)) = V5. Se f é bijetiva, para todo A X e para todo V Y, tem-se
que:
f-1(f(A))=A e f(f-1(V))=V
Todas as relações em A×B Todas as funções em A×B Todas as funções injetoras
Todas as funções sobrejetoras
Todas as funções bijetoras Inversas das funções bijetoras Relação de Stifel
Propriedade binomial
Relacões e funções entre conjuntos
Consideremos dois conjuntos A={a,b} e B={1,2}. Vamos estudar a quantidade de relações e funções existentes entre estes conjuntos
1. Todas as relações em A×B.
O produto cartesiano A×B possui 4 pares ordenados, apresentados por:
A×B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}
Existem duas relações triviais em A×B que são: R1=Ø e R16=A×B. A relação vazia é aquela que não possui elementos de A×B, enquanto que a relação R=A×B contém todos os pares ordenados possíveis em A×B.Existem ainda outros tipos de relações em A×B, contendo 1, 2 ou 3 pares ordenados.
O número de relações contendo 1 par ordenado é dado por C4,1=4. Tais relações são:
R2={(a,1)}, R3={(a,2)}, R4={(b,1)}, R5={(b,2)}
O número de relações contendo 2 pares ordenados é dado por C4,2=6. Tais relações são:
R6={(a,1),(a,2)}, R7={(a,1),(b,1)},R8={(a,1),(b,2)}, R9={(a,2),(b,1)},R10={(a,2),(b,2)}, R11={(b,1),(b,2)}
O número de relações contendo 3 pares ordenados é dado por C4,3=4. Tais relações são:
R12={(a,1),(a,2),(b,1)}, R13={(a,1),(a,2),(b,2)},R14={(a,1),(b,1),(b,2)}, R15={(a,2),(b,1),(b,2)}
Concluímos que existem 16 relações em A×B, que foram apresentadas.A fórmula geral para obter este número N de relações em A×B, é dada por:
N = C4,0 + C4,1 + C4,2 + C4,3 + C4,4 = 24
que é um caso particular da identidadeCn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n-1 + Cn,n = 2n
que é válida para todo inteiro n não negativo. Esta última identidade também pode ser escrita com números binomiais na forma:
(n0
)+(n1
)+(n2
)+...+(n
n-1)+(
nn
)=2n
2. Todas as funções possíveis em A×B.
Para obter todas as funções em A×B, analisaremos todas as 16 relações obtidas anteriormente.
A relação trivial R1=Ø em A×B, não é uma função, pois ela não possui qualquer elemento no domínio A e nem mesmo no contradomínio B.
A relação R16=A×B não é uma função pois um mesmo elemento a em A está associado a dois outros em B.
As relações R2, R3, R4 e R5 com apenas um par ordenado, não são funções porque em cada caso, apenas um dos elementos de A está associado a elementos de B e pela definição de função, todos os elementos de A deveriam estar associados a elementos de B.
Dentre as relações com dois pares ordenados, R6={(a,1),(a,2)} e R11={(b,1),(b,2)} não são funções,
porque um mesmo elemento de A está associado a dois elementos de B.
Só as relações R7={(a,1),(b,1)}, R8={(a,1),(b,2)}, R9={(a,2),(b,1) } e R10={(a,2),(b,2) } são funções em A×B.
Dentre as relações R12, R13, R14 e R15 com três pares ordenados, nenhuma delas é uma função pois para um mesmo elemento de A, estão associados dois elementos de B.
Todas as possíveis funções em A×B são as relações R7={(a,1),(b,1)}, R8={(a,1),(b,2)}, R9={(a,2),(b,1)} e R10={(a,2),(b,2)}.
3. Todas as funções injetoras em A×B.
Dentre todas as funções em A×B, dadas por:
R7={(a,1),(b,1)}, R8={(a,1),(b,2)},R9={(a,2),(b,1)}, R10={(a,2),(b,2)}
R7 e R10 não são injetoras, porque dois elementos diferentes em A são associados ao mesmo elemento de B, assim, somente R8 e R9 são funções injetoras.
4. Todas as funções sobrejetoras em A×B.
Dentre todas as funções em A×B, dadas por:
R7={(a,1),(b,1)}, R8={(a,1),(b,2)},R9={(a,2),(b,1)}, R10={(a,2),(b,2)}
R7 e R10 não são sobrejetoras, porque existem elementos em B que não estão associados a elementos de A, logo, somente R8 e R9 são funções sobrejetoras.
5. Todas as funções bijetoras em A×B.
Como R8 e R9 são funções injetoras e também sobrejetoras, segue que tais funções são bijetoras.
6. As inversas das funções que são bijetoras
A inversa da função R8={(a,1),(b,2)} é dada por
I8={(1,a),(2,b)}
A inversa da função R9={(a,2),(b,1)} é dada porI9={(2,a), (1,b)}
respectivamente obtidas pelas trocas das posições das duas coordenadas dos pares ordenados das funções R8 e R9.
Relação de Stifel
Esta relação afirma que para quaisquer inteiros não negativos n e p com p<n, vale a identidade:
(np
) + (n
p+1) = (
n+1p+1
)
Demonstração:
(np
) + (n
p+1) =
n!
p!(n-p)!+
n!
(p+1)!(n-p-1)!
=n!
p!(n-p)!(n-p-1)!+
n!
(p+1)!p!(n-p-1)! = n!(p+1) + n!(n-p)
(p+1)!(n-p)! (p+1)!(n-p)!(n-p-1)!
=n!(p+1)
(p+1)!(n-p)!+
n!(n-p)
(p+1)!(n-p)!
=n!(p+1+n-p)
(p+1)!(n-p)!=
n!(n+1)
(p+1)!(n-p)!
=(n+1)!
(p+1)!(n-p)!=
(n+1)!
(p+1)![(n+1)-(p+1)]!
=(n+1)!
(p+1)!
Propriedade binomial
Demonstrar que para cada inteiro n não negativo, vale a identidade com números binomiais:
(n0
)+(n1
)+(n2
)+...+(n
n-1)+(
nn
)=2n
Usaremos a notação de combinação para esta identidade, isto é:
P(n): Cn0 + Cn
1 + Cn2 + ... + Cn
n-1 + Cnn = 2n
A demonstração utilizará o Princípio da Indução Matemática.A propriedade P(1) é verdadeira, pois:
P(1): C10 + C1
1 = 1+1 = 2 = 21
Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para m natural com m>1, isto é:
P(m): Cm0 + Cm
1 + Cm2+...+Cm
m-1 + Cmm = 2m
Usando a hipótese de indução acima, demonstraremos que é verdadeira a propriedade para m+1, isto é:
P(m+1): Cm+10+Cm+1
1+...+Cm+1m+Cm+1
m+1=2m+1
Na sequência usaremos a relação de Stifel:Cn
p + Cnp+1 = Cn+1
p+1
Realizaremos a demonstração, desenvolvendo o membro da esquerda de P(m+1), que será indicado por E(m+1).
E(m+1) = Cm+10 +Cm+1
1+...+Cm+1m +Cm+1
m+1
= [Cm0 +Cm
1+...+Cmm-2 +Cm
m-1 +1] +[1 +Cm1 +Cm
2+...+Cmm-1 +Cm
m]
= [Cm0 +Cm
1+...+Cmm-2 +Cm
m-1 +Cmm] +[Cm
0 +Cm1 +Cm
2 +...+Cmm-1 +Cm
m]
= 2m + 2m = 2(2m) = 2m+1
Aplicação binária Características das operações
binárias Proposição sobre o simétrico
Grupo
Exemplos importantes Tabelas de operações binárias Interpretação das tabelas
Isomorfismo de grupos
"Quanto melhor é adquirir a sabedoria do que o ouro e quanto mais excelente é escolher o entendimento do que a prata!"
Provérbios 16:16 A Bíblia Sagrada
Aplicação binária
Seja S um conjunto não vazio. Uma aplicação binária em S é uma aplicação f:S×S S. Às vezes, uma operação binária é denominada operação interna, pois tomando dois elementos arbitrários em S, o resultado deverá estar dentro do conjunto S.
Exemplos: Seja N={1,2,3,...} o conjunto dos números naturais.
1. A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m+n é uma aplicação binária, onde + é a adição usual.
2. A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m.n é uma aplicação binária, onde . é a multiplicação usual.
3. A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m–n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a diferença m–n está no conjunto N dos números naturais.
4. A aplicação f:N×N N definida por f(m,n)=m÷n não é uma aplicação binária, pois nem sempre a divisão m÷n está no conjunto N dos números naturais.
Observações sobre aplicações binárias:
1. Escrevemos m+n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m+n que é a operação de adição.
2. Escrevemos m.n, para entender que existe uma aplicação binária f(m,n)=m.n que é a operação de multiplicação.
3. Se não estiver clara a operação, usaremos outros sinais como *, o, ou para substituir esta operação.
4. A notação (S,*) significa que está definida uma aplicação binária * sobre um conjunto não vazio S.
Características das operações binárias
Seja * uma aplicação binária sobre um conjunto não vazio S. Diz-se que a estrutura (S,*) possui:
1. a propriedade comutativa se, para quaisquer m,n S, tem-se que m*n=n*m.
2. a propriedade associativa se, para quaisquer m,n,p S, vale: (m*n)*p=m*(n*p).
3. elemento neutro (ou identidade) e S, se para todo n S: e*n=n*e=n.
4. elemento simétrico em S, se para cada n S, existe mS tal que n*m=m*n=e.
onde e é o elemento neutro apresentado no ítem anterior e m é o elemento simétrico de n.
Proposição sobre o simétrico
Demonstrar que se a estrutura (S,*) possui as três propriedades:
1. é associativa;2. possui elemento neutro; e
3. para cada m S, existe um elemento simétrico em S
então, cada simétrico é único e além disso, o simétrico do simétrico de m é o próprio m.
Observação: A palavra simétrico recebe nomes especiais como oposto ou inverso, dependendo da operação utilizada. Se usamos a adição usual, o simétrico aditivo de m S é denotado por -m e conhecido na literatura como oposto, mas se usamos a multiplicação usual, o simétrico multiplicativo de m S é denotado por m-1, conhecido na literatura como inverso.Grupo
Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:
1. (S,*) é associativa;2. (S,*) possui um elemento neutro;
3. Cada elemento n S possui um simétrico m S com relação à operação *.
Se a aplicação * é a adição, o grupo (S,*) é aditivo e se a aplicação * é a multiplicação, o grupo (S,*) é multiplicativo.Se a estrutura de grupo (S,*) é comutativa, o grupo é comutativo ou grupo abeliano.Exemplos importantes:
1. O conjunto Z dos números inteiros com a adição usual, estabelece uma estrutura (Z,+) de grupo abeliano, pois:
a. Para quaisquer m,n,p Z tem-se que (m+n)+p=m+(n+p).
b. Existe 0 Z tal que para todo m Z tem-se que 0+m=m+0=m.
c. Para cada m Z existe –m Z tal que m+(–m)=0.
d. Para quaisquer m,n Z tem-se que m+n=n+m.
2. O conjunto W={0,1} munido com a operação definida por:
0 0 = 0, 0 1 = 1, 1 0 = 1 e 1 1 = 0possui uma estrutura (W, ) de grupo abeliano.
3. O conjunto Y={1,–1} com a operação usual de multiplicação de números inteiros estabelece uma estrutura (Y,.) de grupo abeliano.
4. Se P={0,1,2,3,4,5,...} é um conjunto de números inteiros munido com a adição usual, (P,+) não forma uma estrutura de grupo, pois nem todos os elementos de P possuem opostos em P, embora (P,+) seja associativa, comutativa e possua elemento neutro.
Tabelas de operações binárias e grupos
Muitas vezes temos conjuntos S munidos de operações definidas através de tabelas de dupla entrada (na forma de uma matriz) com o resultado da operação do primeiro elemento de uma linha com o primeiro elemento de uma coluna aparecendo no cruzamento da linha com a coluna.Exemplos de grupos definidos por tabelas
1. O conjunto W={0,1} com a adição definida pela tabela abaixo define (W, ) como um grupo abeliano.
0 10 0 11 1 0
2. O conjunto Y={–1,1} com a multiplicação usual definida pela tabela abaixo define (Y,.) como um grupo abeliano.
. –1 1–1 1 –11 –1 1
3. O conjunto S={0,1,2,3} com a adição definida pela tabela abaixo define (S, ) como um grupo abeliano.
0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2
4. O conjunto T={1,i,–1,–i} dos números complexos que são zeros da equação algébrica x4–1=0 com a
multiplicação * definida pela tabela abaixo define uma estrutura (T,*) de grupo abeliano.
* 1 i –1 –i1 1 i –1 –ii i –1 –i 1
–1 –1 –i 1 i–i –i 1 i –1
Interpretação das tabelas
Usaremos a tabela abaixo para obter informações.0 1 2 3
0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2
1. A simetria dos elementos em relação à diagonal principal significa que esta operação é comutativa.
2. A linha (ou coluna) do 0 se repete em relação à linha (ou coluna) do significando que 0 é o elemento neutro.
3. Se aparece 0 (elemento neutro citado no ítem anterior) no cruzamento de uma linha com uma coluna, significa que o primeiro elemento da linha e o primeiro elemento da coluna são simétricos um do outro, como é o caso de 3 e 1, pois 3 1=1 3=0.
4. A associatividade deve ser verificada para todos os elementos.
Isomorfismo de grupos
Uma aplicação f:S T é um isomorfismo entre os grupos (S,) e (T,*), se f é bijetora e para quaiquer x,y S, tem-se que
f(x y) = f(x) * f(y)Se existe um isomorfismo entre os grupos (S, ) e (T,*), dizemos que os grupos (S, ) e (T,*) são isomorfos.Exemplo: Sejam S={0,1,2,3} e T={1,i,-1,-i} os conjuntos cujas operações binárias foram apresentados nas duas tabelas.
Os grupos (S, ) e (T,*) são isomorfos, pois tomando a aplicação f:S T definida para cada m S por
f(m) = im = i*i*i...*i (m vezes)segue que f é bijetora e além disso, quaisquer que sejam m,n S, tem-se que:
f(m n) = im+n = im*in = f(m) * f(n)A aplicação f é um isomorfismo entre (S, ) e (T,*), f(0)=1, isto é, o elemento neutro 0 S é aplicado no elemento neutro 1 T por f. Ainda temos: f(1)=i, f(2)=–1 e f(3)=–1.
Introdução à Regressão Linear A reta dos mínimos quadrados A parábola dos mínimos quadrados
A cúbica dos mínimos quadrados
A quártica dos mínimos quadrados Regressão Linear no espaço
Resolução de um problema prático
"Não há sabedoria, nem entendimento, nem conselho contra o Senhor."Provérbios 21:30 A Bíblia Sagrada
Introdução à Regressão Linear
Consideremos uma coleção de pares ordenados obtidos em função de algum experimento, como:
x x1 x2 x3 x4 x5 ... xn-1 xn
y y1 y2 y3 y4 y5 ... yn-1 yn
A colocação destes pares ordenados num plano cartesiano, depende dos valores de xi e yi, (i=1..n) e pode fornecer um gráfico como:
Um fato que atrai pesquisadores aplicados das mais diversas áreas é a possibilidade de obter uma função real que passe nos pontos ou pelo menos passe próximo dos pontos (x i,yi) dados.Estudando uma Matemática mais aprofundada existe a Teoria de Interpolação que é a área que estuda tais
processos para obter funções que passam exatamente pelos pontos dados, enquanto que a Teoria de Aproximação estuda processos para obter funções que passem o mais próximo possível dos pontos dados.É óbvio que se pudermos obter funções que passem próximas dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manipulada, teremos obtido algo positivo e de valor científico.Dentre os processos matemáticos que resolvem tal problema, com certeza, um dos mais utilizados é o Método dos Mínimos Quadrados, que serve para gerar o que se chama em Estatística: Regressão Linear ou Ajuste Linear.As curvas mais comuns utilizadas pelos estatísticos são:
Ordem Função Nome1 y = ao+a1 x Reta2 y = ao+a1 x+a2 x² Parábola3 y = ao+a1 x+a2 x²+a3 x³ Cúbica4 y = ao+a1 x+a2 x²+a3 x³+a4 x4 Quártica
A idéia básica para qualquer uma das funções acima citadas é tentar descobrir quais são os valores dos coeficientes ao, a1, a2 e a3, de tal modo que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida curva y=f(x) a cada um dos pontos dados (yi) seja a menor possível, daí o nome Método dos Mínimos Quadrados.Para obter tais coeficientes, deve-se conhecer conceitos de Derivadas Parciais, a Teoria de Máximos e Mínimos de funções de várias variáveis e as características de formas quadráticas positivas definidas de funções de várias variáveis envolvidas com o Teorema de Sylvester. Tais teoremas são normalmente encontrados em bons livros de Álgebra Linear e Cálculo Avançado.Para não nos perdermos em considerações teóricas, apresentarei aqui as fórmulas para a obtenção da Regressão Linear para a Reta, a Parábola e a Cúbica.
Observação: Se você está interessado em aprender o "processo", fique atento às mudanças que ocorrem quando passamos da reta para a parábola e da parábola para a cúbica. Não construiremos o processo para a quártica mas
julgo que você saberá construí-lo com o material apresentado.
Notações usadas na sequência
n=Número de pares ordenados SX=x1+x2+x3+...+ xn = Soma dos xi
SY=y1+y2+y3+...+yn = Soma dos yi
SXY=x1 y1+x2 y2+x3 y3+...+xn yn = Soma dos xiyi
SX2=(x1)²+(x2)²+(x3)²+...+(xn)² = Soma dos xi²
SX3=(x1)³+(x2)³+(x3)³+...+(xn)³ = Soma dos xi³
SX4=(x1)4+(x2)4+(x3)4+...+(xn)4 = Soma dos xi4
SX5=(x1)5+(x2)5+(x3)5+...+(xn)5 = Soma dos xi5
SX6=(x1)6+(x2)6+(x3)6+...+(xn)6 = Soma dos xi6
SX2Y=(x1)²y1+(x2)²y2 +...+(xn)²yn=Soma dos xi²yi
SX3Y=(x1)³y1+(x2)³y2+...+(xn)³yn=Soma dos xi³yi
A reta dos mínimos quadrados
Para obter a reta dos mínimos quadrados, basta resolver o sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas ao e a1 :
ao n+a1 SX = SYao SX+a1 SX2 = SXY
Na forma matricial este sistema pode ser escrito como:n SX
. a0
= SY
SX SX2 a1 SXY
Para resolver este sistema, existem vários métodos, mas a Regra de Cramer dá uma resposta rápida para os coeficientes:
ao = (SY.SX2-SX.SXY)/(n SX2-SX.SX)a1 = (n SXY-SX.SY) / (n SX2-SX.SX)
A parábola dos mínimos quadrados
Para obter a parábola de melhor ajuste, basta resolver o sistema com as 3 incógnitas ao, a1 e a2:
ao n+a1 SX+a2 SX2 = SYao SX+a1 SX2+a2 SX3 = SXY
ao SX2+a1 SX3+a2 SX4 = SX2Y Este sistema pode ser escrito na forma matricial como:
n SX SX2 .
a0
= SY
SX SX2 SX3 a1 SXYSX2 SX3 SX4 a2 SX2Y
Observação: Encontre as diferenças entre este sistema e o sistema obtido no caso anterior da reta.Como todos os termos da primeira matriz (matriz dos coeficientes) e da última matriz (matriz das constantes) são conhecidos, fica fácil resolver o sistema pelo processo de inverter a primeira delas e multiplicar pela última para obter os coeficientes ao, a1 e a2 .
A cúbica dos mínimos quadrados
Para obter a cúbica dos mínimos quadrados resolve-se o sistema de equações com 4 equações e 4 incógnitas ao, a1, a2 e a3, colocado na forma matricial:
n SX SX2 SX3
.
a0
=
SYSX SX2 SX3 SX4 a1 SXY
SX2 SX3 SX4 SX5 a2 SX2YSX3 SX4 SX5 SX6 a3 SX3Y
Como os termos da primeira e última matrizes são conhecidos, pode-se resolver o sistema invertendo a primeira matriz e multiplicando pela última.
A quártica dos mínimos quadrados
Observação: Observe novamente as diferenças entre o sistema obtido para a cúbica e os sistemas obtidos nos casos da reta e da parábola. De posse de tais informações, você estaria capacitado a produzir a curva quártica de
melhor ajuste dos mínimos quadrados apenas com o material apresentando aqui?É possível estender o método para a construção de uma superfície de melhor ajuste no espaço tridimensional.
Regressão Linear no espaço
Agora estudaremos uma situação no espaço R³ onde é conhecido um conjunto de pontos (ternos) dados por:
C = { (xi, yi, zi) : i=1,2,3,...,n }Desejamos ajustar uma superfície da forma
z = f(x,y) = a+b x+c y+d x²+e xy+f y²Usando procedimentos semelhantes ao caso do plano, poderemos construir uma função:
S(a,b,c,d,e,f) = Soma (z-zi)²
onde esta soma é tomada sobre todos os i=1,2,3,4,...,n.Esta função S é não negativa e diferenciável, assim podemos garantir que o ponto de mínimo para S ocorrerá quando o gradiente da função S for nulo, isto é, quando:
Sa = Sb = Sc = Sd = Se = Sf = 0o que equivale a:
Sa = 2 Soma (z-zi).(1) = 0Sb = 2 Soma (z-zi).(xi) = 0Sc = 2 Soma (z-zi).(yi) = 0Sd = 2 Soma (z-zi).(xi²) = 0Se = 2 Soma (z-zi).(xiyi) = 0Sf = 2 Soma (z-zi).(yi²) = 0
A notação Sm usada significa a derivada parcial da função S em relação à variável m, onde m pode ser a,b,c,d,e ou f.
Temos aqui um sistema com 6 equações e 6 incógnitas, que pode ser reescrito como:
Soma (a+bxi+cyi+dxi²+exiyi+fyi² - zi) = 0Soma (a+bxi+cyi+dxi²+exiyi+fyi² - zi)(xi) = 0Soma (a+bxi+cyi+dxi²+exiyi+fyi² - zi)(yi) = 0Soma (a+bxi+cyi+dxi²+exiyi+fyi² - zi)(xi²) = 0Soma (a+bxi+cyi+dxi²+exiyi+fyi² - zi)(xiyi) = 0Soma (a+bxi+cyi+dxi²+exiyi+fyi² - zi)(yi²) = 0
Passando as constantes para o segundo membro da igualdade de cada equação, teremos o sistema com 6 equações e 6 incógnitas:a n + b X1Y0 + c X0Y1 + d X2Y0 + e X1Y1 + f X0Y2 = Z1X0Y0
a X1Y0 + b X2Y0 + c X1Y1 + d X3Y0 + e X2Y0 + f X1Y2 = Z1X1Y0
a X0Y1 + b X1Y1 + c X0Y2 + d X2Y0 + e X1Y2 + f X0Y3 = Z1X0Y1
a X2Y0 + b X3Y0 + c X2Y1 + d X4Y0 + e X3Y1 + f X2Y2 = Z1X2Y0
a X1Y1 + b X2Y1 + c X1Y2 + d X3Y1 + e X2Y2 + f X1Y3 = Z1X1Y1
a X0Y2 + b X1Y2 + c X0Y3 + d X2Y2 + e X1Y3 + f X0Y4 = Z1X0Y2
onde n é o número de ternos ordenados e
XpYq = x1p y1
q + x2
p y2q
+ ...+xnp yn
q
Z1XpYq = z1x1p y1
q + z2x2
p y2q
+...+ znxnp yn
q
sendo que p e q podem assumir os valores 0,1,2,3 ou 4.Este sistema pode ser escrito na forma matricial:
n X1Y0 X0Y1 X2Y0 X1Y1 X0Y2
.
a
=
Z1X0Y0X1Y0 X2Y0 X1Y1 X3Y0 X2Y0 X1Y2 b Z1X1Y0X0Y1 X1Y1 X0Y2 X2Y0 X1Y2 X0Y3 c Z1X0Y1X2Y0 X3Y0 X2Y1 X4Y0 X3Y1 X2Y2 d Z1X2Y0X1Y1 X2Y1 X1Y2 X3Y1 X2Y2 X1Y3 e Z1X1Y1X0Y2 X1Y2 X0Y3 X2Y2 X1Y3 X0Y4 f Z1X0Y2
Para resolver este sistema, sugiro que utilize uma planilha de cálculo. Existem muitas disponíveis gratuitamente na Internet. Em qualquer uma delas, deve-se montar a planilha como a que aparece abaixo, dando uma forte ênfase na
última linha que é a mais importante e que contem as somas necessárias à montagem do sistema.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
1 x y z x² xy y² x²y xy² x³y x³ y³ x²y x4 x²y² xy³ zx zy zx² zxy zy²
2
3
4
...
n
n+1 Soma
Após a construção da tabela acima, deve-se construir uma segunda tabela com a matriz aumentada do sistema. Nesta nova tabela aparecerão todas as somas calculadas na tabela anterior (indicadas na linha em amarelo) e pode-se observar que a nova matriz será simétrica:
n X1Y0 X0Y1 X2Y0 X1Y1 X0Y2 Z1X0Y0
X1Y0 X2Y0 X1Y1 X3Y0 X2Y0 X1Y2 Z1X1Y0
X0Y1 X1Y1 X0Y2 X2Y0 X1Y2 X0Y3 Z1X0Y1
X2Y0 X3Y0 X2Y1 X4Y0 X3Y1 X2Y2 Z1X2Y0
X1Y1 X2Y1 X1Y2 X3Y1 X2Y2 X1Y3 Z1X1Y1
X0Y2 X1Y2 X0Y3 X2Y2 X1Y3 X0Y4 Z1X0Y2
Matriz dos coeficientes
Matriz dasconstantes
Na sequência, deve-se obter a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicá-la pela matriz das constantes para obter uma matriz com 6x1, que é exatamente a matriz dos coeficientes procurados:
a
=
...
b ...
c ...
d ...
e ...
f ...
Resolução de um problema prático
Consideremos os dados fornecidos na tabela:X 30 30 30 30 10 10 10 10 4 4 4 4 1 1 1 1Y1,5 2 3 5 1,5 2 3 5 1,5 2 3 5 1,5 2 3 5Z 73 41,218,46,843,523,710,53,926,7156,82,213,573,71,5
Pergunta: Qual é a função matemática que relaciona as variáveis x e y com a variável z?Resposta: Tentei obter uma função quadrática da forma:
z = a + b x + c y + d x² + e xy + f y²que se ajustasse aos dados. Como a soma dos quadrados dos erros ficou muito grande, alterei a estratégia de análise.Observei que os dados x e z eram grandes em relação aos dados y, assim, tomei os logaritmos naturais dos dados x e z e refiz todas as operações e obtive um ajuste muito bom!Na sequência eu apresento alguns detalhes dos cálculos.Os coeficientes calculados são:
a=-0,08519, b=0,069359, c=0,349672,d=-0,0096, e=-0,01209, f=0,000927
A função deveria ser a seguinte:z=-0,08519+0,069359x+0,349672y-0,0096x²-
0,01209xy+0,000927y²mas como eu usei Ln(x) e Ln(z), respectivamente nos lugares de x e z, então a forma que resolve o problema com grande precisão é:
Ln(z)=-0,08519+0,069359Ln(x)+0,349672y-0,0096(Ln(x))²-0,01209y.Ln(x)+0,000927y²
Para obter o valor de z, calculamos a exponencial de Ln(z) uma vez que a função exponencial é a inversa da função logaritmo natural.
Introdução às relações Relação
Propriedades das relações
Relação de Equivalência Classes de Equivalência
Relação de Ordem
"E apliquei o meu coração a inquirir e a investigar com sabedoria a respeito de tudo quanto se faz debaixo do céu; essa enfadonha ocupação deu Deus aos filhos dos homens para
nela se exercitarem."Eclesiastes 1:13 A Bíblia Sagrada
Introdução às relações
Tomemos dois conjuntos A={a,b,c} e B={r,s} relacionados de algum modo, associando o valor a A ao valor r B, a A ao valor s B, b A ao valor s B e c A ao valor r B.
Para escrever que os elementos de A estão associados com os elementos de B da forma citada acima, usamos um modo para fazer isto através de um objeto matemático denominado relação, indicada por R e escrita na forma de um conjunto de pares ordenados:
R = {(a,r),(a,s),(b,s),(c,r)}A definição seguinte sintetiza tudo. Relação
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma relação R de A em B, é qualquer subconjunto de A×B (produto cartesiano), isto é, R é um conjunto tal que: R A×B. Se A=B, dizemos relação em A ao invés de dizer relação de A em A.
Exercício: Construir um diagrama para a relação R em A={a,b,c} dada por
R={(a,b),(b,c),(c,a),(c,b)}Neste caso temos (a,b) R que significa a está relacionado com b e que às vezes escrevemos aRb.
Exemplo: Consideremos S a relação formada pelo conjunto de todos os pares de números inteiros, definida por (a,b) S se, e somente se, |a|+|b|=2.Atribuímos valores para a e obtemos os correspondentes valores de b. Por exemplo, se a=1 então 1+|b|=2 ou seja |b|=1 implica que b=1 ou b=-1. Assim (1,1) S e (1,-1) S.Analisando todas as possibilidades, obtemos
S={(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1),(2,0)}
Propriedades das Relações
Se A é um conjunto não vazio e R é uma relação em A, podemos explorar as seguintes situações:
1. Reflexividade: Se a A, pode ser que aRa ou que a não esteja em relação com o próprio a. Se aRa para todos os elementos a A, dizemos que R é uma relação reflexiva. Se não é verdade que aRa para todo a A, diremos que R não é reflexiva.
2. Simetria: Se aRb então pode ser que bRa ou não. Se para todo par (a,b) R tivermos que aRb também implica que bRa, diremos que R é simétrica. Se existir algum par (a,b) R tal que (b,a) R, então R não é simétrica.
3. Transitividade: Se aRb e bRc, pode acontecer que aRc ou que (a,c) R. Se, para todo par (a,b) R e para todo par (b,c) R tivermos que (a,c) R, diremos que R é transitiva. Para que R não seja transitiva, basta que exibir um par (a,b) R e um outro par (b,c) R tal que (a,c) R.
4. Anti-simetria: Se (a,b) R, pode ocorrer que (b,a) R ou que (b,a) R. Se (a,b) R com a b implicar que (b,a) R, diremos que R é anti-simétrica. Para que R não seja anti-simétrica, basta exibir dois pares (a,b) R e (b,a) R com a b.
Exercício: Provar que R não é reflexiva se, e somente se, existe x A que não está em relação com o próprio x, isto é, (x,x) R.
Outras propriedades interessantes: Irreflexiva, Assimétrica e Intransitiva. Elas aparecem em outras áreas da ciência, mas não trataremos sobre elas. Caso tenha interesse em estudar Teoria de Conjuntos, consulte o livro: "Teoria Intuitiva dos Conjuntos" com aplicações à Biologia, Abe e Papavero, Makron Books.
Relação de Equivalência
Uma relação de equivalência sobre o conjunto A é uma relação R que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplos:
1. Seja R a relação definida no conjunto dos números reais por (x,y) R se, e somente se, |x|=|y|. Para todo número real x temos que xRx, pois |x|=|x|, garantindo que R é reflexiva. Se xRy então |x|=|y| e segue que yRx pois |y|=|x|, provando que R é uma relação simétrica. Se aRb e bRc, então |a|=|b| e |b|=|c|, então |a|=|c|, ou seja aRc, logo R é transitiva. Concluímos que R é uma relação de equivalência.
2. Seja a relação em Z definida por a b(5) se, e somente se, 5|(a-b) que deve ser lida como: 5 divide a-b. Observamos que 6 1(5) pois 5|(6-1) e que também 23 2(5) porque 5|(23-2). É claro que para todo x Z temos x x(5) pois 5|0=x-x. Se x y(5) então y x(5) pois a primeira expressão significa 5|(x-y) e a segunda significa que 5|(y-x). Se a primeira é verdadeira, então a segunda também o será. Observe que x-y e y-x somente diferem no sinal. Se a b(5) e b c(5) então 5|(a-b) e 5|(b-c) então 5|(a-b)+(b-c) ou seja 5|(a-c), portanto a relação é transitiva e temos aqui outra relação de equivalência.
3. Seja R a relação definida no plano cartesiano por (a,b)R(c,d) se, e somente se, a²+b²=c²+d². Se (x,y) é um par ordenado tal que (x,y)R(3,4), então x²+y²=3²+4²=25 o que significa que devemos obter pontos (x,y) na circunferência com raio 5, centrada na origem (0,0). Um desses pontos é (5,0). Obtenha muitos outros pontos com esta propriedade.
Vale a propriedade reflexiva, pois (x,y)R(x,y) significa que x²+y²=x²+y² o que é verdadeiro.
Se (a,b)R(c,d) então a²+b²=c²+d², então c²+d²=a²+b² o que garante que (c,d)R(a,b). R é uma relação simétrica.
Se (a,b)R(c,d) e (c,d)R(m,n) então a²+b²=c²+d² e c²+d²=m²+n² ou seja a²+b²=m²+n², isto é, (a,b)R(m,n) e assim R é transitiva.
4. Uma relação de equivalência em um conjunto é um tipo de conceito matemático que está muito próximo de uma relação de igualdade. Vejamos um exemplo disso:
Seja a relação em Q definida por a/b c/d se, e somente se, a×d=b×c (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos em uma proporção). Pode-se verificar que é uma relação de equivalência. Temos que 2/3 6/9 mas muitas vezes afirmamos que 2/3=6/9.
Classes de Equivalência
Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência sobre A. Para cada a A podemos construir o conjunto de todos os elementos x A que são equivalentes ao elemento a A. Indicaremos tal conjunto por [a], isto é:
[a]={x A: x~a}O conjunto [a] nunca é vazio, pois a propriedade reflexiva garante que a [a]. O conjunto [a] é denominado classe de equivalência de a, que também pode ser denotada por cl(a) ou com uma barra sobre a letra a.
Exemplos: No Exemplo 1, segue que:[2]={-2,2}, [0]={0}, [t]={-|t|,|t|} se (t 0)
No Exemplo 2, temos que[2] = {x Z: x 2(5)} = {x Z:5|(x-2)} = ={x Z:x-2=5t,t Z}={2+5t:t Z}=2+5.Z
Analogamente, por exemplo:[4]=4+5.Z, [0]=0+5.Z=5.Z
Pode-se demonstrar que [5]=[0] e que, em geral, se a=5q+r então [a]=[r].Neste caso, a coleção Z5 de todas as classes de equivalência é:
Z5 = { [0], [1], [2], [3], [4] }No Exemplo 3, temos que
[(2,3)]={(x,y):(x,y)R(2,3)}={(x,y):x²+y²=13}que é uma circunferência centrada em (0,0).A classe [(3,4)] é a circunferência de raio 5 centrada em (0,0).
No Exemplo 4, temos:[2/5]={a/b Q:a/b 2/5}={±2/5,±4/10,±6/15,…}
Exercícios
1. Seja P={{1,2},{3,4,5},{6}} uma partição do conjunto X={1,2,3,4,5,6}. Se a,b X, definimos a relação aRb se, e somente se, existe M P com a,b M. Mostrar que R é uma relação de equivalência e que as classes de equivalência são exatamente os elementos de P.
2. Mostrar que a relação R formada por pares de números inteiros, definida por (a,b)R(c,d) se, e somente se, a+d=b+c é uma relação de equivalência. Determinar a classe do par ordenado (2,1).
Relação de Ordem
Uma relação de ordem R sobre um conjunto A é uma relação R que possui as propriedades reflexiva, anti-simétrica e transitiva.
Exemplos
1. Seja R a relação em N definida por aRb se, e somente se, a<b. Para todo número natural a tem-se a<a e vale a propriedade reflexiva. Se a<b e b<c então a<c e vale a propriedade transitiva.
2. Seja X um conjunto e P=P(X) o conjunto de todas as partes do conjunto X. Se M P e N P, definimos MRN se, e somente se, M N. R é uma relação de ordem.
3. Seja uma relação D sobre o conjunto N dos números naturais tal que (a,b) D se, e somente se, a|b (a divide b), isto é, se existe c N tal que b=ac. Qualquer que seja a N temos a|a pois a=a.1, garantindo que a relação é reflexiva. Se a N e b N e temos que a|b e b|a, então necessariamente temos que a=b e a relação é anti-simétrica. Se a|b e b|c então facilmente temos que a|c, garantindo que a relação é transitiva.
4. Definimos uma relação D sobre o conjunto dos números inteiros, com (a,b) D se, e somente se, a|b. Mostrar que esta relação D não é uma relação de ordem.
Exercícios:
1. A ordem lexicográfica « sobre um conjunto A é aquela seguida na organização de um dicionário.
Em um dicionário a letra a precede a letra c, denotada por a«c que se lê: a precede c. Da mesma forma:
a«abe, aab«aabc e bace«bbOutra situação: 1«3 que se lê: 1 precede 3. Analogamente:
1«125, 112«1123 e 2135«22Mostrar que « é uma relação de ordem sobre N.
2. Se a Z e b Z definimos a relação a«b se, e somente se, b-a N. Mostrar que « é uma relação de ordem sobre Z.
Definição de Sequências reais Outras notações para sequências Somas de termos de sequências Soma com os termos iguais Soma dos n primeiros naturais
Soma dos quadrados dos n primeiros naturais
Soma dos cubos dos dos n primeiros naturais
Projeto 1 : Soma dos quárticos dos n primeiros números naturais
Projeto 2 : Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais
Projeto 3 : Pesquisar fórmulas comuns ao trabalho
"Porque na muita sabedoria há muito enfado; e o que aumenta o conhecimento aumenta a tristeza."
Eclesiastes 1:18 A Bíblia Sagrada
Definição de Sequência de números reais
Tomaremos N={1,2,3,4,5,6,...} o conjunto dos números naturais. Uma sequência de números reais é uma função f:N
R que associa a cada número natural n um único número real, escrito na forma f(n)=un.
Exemplos de sequências reais: fo(n)=1, f1(n)=n, f2(n)=n², f3(n)=n³ e f4(n)=n4.
Outras notações para sequências
Muitas vezes tais sequências são indicadas, respectivamente, pelos conjuntos que representam as imagens dessas (funções) sequências, como por exemplo:
1. So = {1, 1, 1, 1, 1, 1, ... } = fo(N)2. S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } = f1(N)
3. S2 = {1, 4, 9, 16 , 25, ... } = f2(N)
4. S3 = {1, 8,27, 64,125,... } = f3(N)
5. S4 = {1,16,81,256,625,...} = f4(N)
Outra representação para tais sequências é a que indica a posição relativa ocupada pelo número real no conjunto imagem da referida função. Por exemplo, a sequência definida pela função f3, pode ser escrita como:
u1=1,u2=8,u3=7,u4=64,u5=125,...,un=n³,...Somas de termos de sequências
Um problema que aparece ligado a sequências é o que visa obter a soma dos n primeiros termos de uma sequência de números reais.Tal problema não é simples de uma forma geral, mas existe um processo muito interessante do ponto de vista didático para obter a soma das n primeiras potências dos números naturais.Apresentaremos um processo gradual para mostrar como calcular as Somas das potências:
1. de ordem 0 dos n primeiros naturais2. de ordem 1 dos n primeiros naturais
3. de ordem 2 dos n primeiros naturais
4. de ordem 3 dos n primeiros naturais
5. de ordem 4 dos n primeiros naturais
Com o estudo de sequências recursivas, é possível construir fórmulas que fornecem as somas em cada caso. Não apresento as demonstrações das fórmulas, uma vez que é exatamente o corpo do último assunto tratado nesta página.
#0: Soma de n termos constantes iguais a 1
Consideremos inicialmente o problema de obter a soma das potências de (expoente 0) dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar o número 1, n vezes, isto é:
Sn= 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n vezes)Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn=n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras potências mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional.Na área da Matemática, muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas!Consideraremos uma fórmula, que neste caso, será dada por:
Sn= Bo + B1(n-1)Para n=1 obtemos Bo=S1 e para n=2 obtemos Bo+B1=S2. Estas duas relações podem ser escritas na forma de um sistema matricial:
A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo=B1=1, e, substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos:
Sn= 1 + 1(n-1) = nque era a resposta antecipada para o problema.
#1: Soma dos n primeiros números naturais
Consideremos agora o problema de obter a Soma das potências de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é:
Sn= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + nAntes de continuar, apresentaremos um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Aos 10 anos de idade, Gauss teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada.Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está. O professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam, e, quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo.O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente:
S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101
o que significa somar 100 vezes o número 101, o que também pode ser escrito como:
2S= 101 x 100 = 10100assim
S= 5050"Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter:
Sn=n(n+1)/2De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras potências mais altas.A fórmula usada neste caso, é:
Sn= Bo + B1(n-1) + B2(n-1)²Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.
Para n=1, obtemos Bo= S1, para n=2 obtemos Bo+B1+B2=S2 e para n=3, obtemos Bo+2B1+4B2=S3, assim, essas equações podem ser escritas como um sistema na forma matricial:
A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado, Bo=1, B1=3/2 e B2=1/2, e substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos:
Sn= 1 + (3/2).(n-1) + (1/2).(n-1)²Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado:
Sn = n.(n+1)/2Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem.
#2: Soma dos quadrados dos n primeiros naturais
O problema agora é obter a soma das potências de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é:
Sn = 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras potências mais altas.A fórmula usada aqui é:
Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)³Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.Para n=1 obtemos
Bo=S1
para n=2Bo+B1+B2+B3=S2
para n=31Bo+2B1+4B2+8B3=S3
e para n=41Bo+3B1+9B2+27B3=S4.
Este sistema de equações pode ser posto na forma matricial:
A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado:
Bo=1, B1=13/6, B2=3/2 e B3=1/3e substituindo estas constantes na fórmula, obtemos:
Sn = 1+13(n-1)/6 +(3/2)(n-1)²+(1/3)(n-1)³Desenvolvendo esta expressão, obtemos finalmente:
Sn = n(n+1)(2n+1)/6
#3: Soma dos cubos dos n primeiros naturais
Consideremos agora o problema de obter a soma das potências de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é:
Sn = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... + n³Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior.Neste caso, a fórmula é dada por:
Sn = Bo+B1(n-1)+B2(n-1)²+B3(n-1)³+B4(n-1)4
Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.
O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas, que pode ser escrito na forma matricial:
A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula geral, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais.
Projeto: Soma dos quárticos dos n primeiros naturais
Consideremos agora o problema de obter a Soma das potências de ordem 4 dos n primeiros naturais.
Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4
Pode-se usar aqui a fórmula:Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)²+B3(n-1)³
+B4(n-1)4+B5(n-1)5
Seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e você deverá obter as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6.Observar as seguintes mudanças que ocorreram de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso:
Linha 1 Permaneceu a mesma
Linha 2 O número 1 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 3 O número 2 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 4 O número 3 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 5 O número 4 é elevado às potências 0,1,2,3,4, ...
Linha 6 Está na hora de desconfiar!
Obs. 7A matriz das constantes que serão determinadas, conterá tantas linhas quanto a potência considerada + 1 unidade, isto é: B0, B1, B2, B3, B4 e B5.
Obs. 8 Depois do sinal de igualdade, estará a matriz das somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6.
Obs. 9 A resolução do sistema pode ser realizada por muitas formas diferentes para obter os coeficientes: Bo, B1, B2, B3, B4 e B5.
Obs.10Importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada.
Projeto: Soma das k-ésimas potências dos primeiros números naturais.
Sn=1k +2k +3k +4k +...+ nk
Projeto: Pesquisar fórmulas comuns a este trabalho
Como um trabalho de pesquisa, descubra fórmulas semelhantes a estas apresentadas neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Sugiro que procure em textos que tratem sobre sequências recursivas.