albertazzi.inferências relativas à média. (5.1) 5 inferências relativas à média

Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.1)

55Inferências Relativas à Média


é o parâmetro de interesse

é uma estatística

estatística e estimadoresestatística e estimadores

• estatística: – uma estatística é qualquer função das observações de uma

amostra aleatória

• convenção:


n

iixn

X1

1

– uma estatística é denominada de “estimador não tendencioso” se, e somente se, a média da distribuição amostral do estimador é igual a

• estimador não tendencioso:

é uma estimativa não tendenciosa de

exemplo:

estatística e estimadoresestatística e estimadores


é uma VA praticamente normal padronizada se n é grande

estimativa pontualestimativa pontual

• é uma estimativa de . Mas quanto se aproxima de ?

n

-XZ

2//2n

-Xz-

z

X X

2/n

-X

z

onde z/2 é um valor tal que a área da curva normal padronizada a sua direita é /2

f(x)

z/2

/2/2

-z/2

o que eqüivale a:

Logo, há uma probabilidade de 1 - da inequação abaixo ser satisfeita:

1 -


estimativas da médiaestimativas da média(com nível de confiança 1 - (com nível de confiança 1 - ))

• quando é conhecido:

nz

.-X 2/

n

st .-X 2/

• quando é desconhecido:


intervalo de confiança da médiaintervalo de confiança da média

• quando é conhecido:

nz

nz

.X.-X 2/2/

n

st

n

st .X.-X 2/2/

• quando é desconhecido:


exemplo 1:exemplo 1:Sabe-se que a vida em horas de lâmpadas incandescentes é uma variável aleatória normal com = 50 h. Uma amostra de 10 lâmpadas foi ensaiada e a vida média obtida foi 1.556 h. Qual o intervalo dentro do qual, com nível de confiança 95%, espera-se encontrar a média da população?

nz

nz

.X.-X 2/2/

é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por:

para P = 95%

10

50.5561

10

50.-1556 025,0025,0 zz z0,025 = 1,960

58711525 h)315561(


Qual o tamanho necessário da amostra da questão anterior para, com a mesma probabilidade, reduzir o tamanho do intervalo de confiança de ±31 h para apenas ±10 h?

exemplo 2:exemplo 2:

nz

.-X 2/

é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por:

2

025,0 10

50.

zn

9610

50.960,1

2

n

2

2/

-X

.

zn


exemplo 3:exemplo 3:A massa de um diamante foi medida repetidamente nove vezes por uma balança com erro sistemático desprezável. As indicações não se repetem pela ação de um erro aleatório com distribuição normal e média zero. Encontre o intervalo de confiança dentro do qual, com uma probabilidade de 95% deve encontrar-se o valor verdadeiro da massa do diamante.

20,4 20,1 20,4 20,6 20,2 20,4 20,3 20,5 20,3

não é conhecido, mas pode se estimado por s:

1509,019

)(9

1

2

i

i Xxs

36,20X

da tabela: t(=0,025, =8) = 2,306

116,03

1509,0.306,2.-X 2/

n

st

g)12,020,36(


teste de hipótesesteste de hipóteses• Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre uma

população (e não sobre a amostra)

• Normalmente são formuladas duas hipóteses:– H0: (hipótese nula) que é a hipótese que se quer testar

– H1: (hipótese alternativa) que será aceita se não for possível provar que H0 é verdadeira

• Exemplos:(a) H0: mulheres vivem mais que homens

H1: mulheres vivem o mesmo ou menos que homens

(b) H0: o réu é culpado H1: o réu é inocente


teste de hipóteses (unilateral)teste de hipóteses (unilateral)

• Exemplo: seja:H0: = 50 MPa e H1: < 50 MPa

Se Ho é aceita

Pergunta: quanto deve ser menor que 50 MPa para H0 ser falsa?

MPaX 50

X

5050 -

rejeitar H0 e aceitar H1

Qual é o valor crítico de ?

Não é possível rejeitar H0


teste de hipóteses (bilateral)teste de hipóteses (bilateral)

• Exemplo: seja:H0: = 50 MPa e H1: 50 MPa

Se Ho é aceita

Pergunta: quanto deve se afastar de 50 MPa para H0 ser falsa?

MPaX 50

X

50 50 + 50 -

Não é possível rejeitar H0 rejeitar H0 e aceitar H1

rejeitar H0 e aceitar H1

Qual é o valor crítico de ?



Suponha que a resistência do material seja uma variável aleatória com distribuição normal com X = 2,5 MPa.

No exemplo anterior = 1,5 MPa seria uma boa escolha?

Assim, a resistência de um corpo de prova seria determinada, testada e:– Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que = 50 MPa;– Caso contrário, afirma-se que 50 MPa.

Este é um bom teste?

51,548,5


Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa:

48,5 51,5

/2 = 0,274/2 = 0,274

z1 = -0,60 z2 = 0,60

60,05,2

0,505,481

z

60,05,2

0,505,512

z

A escolha de = 1,5 MPa não é boa. Quando o material tiver resistência de 50 MPa apenas 45,2% dos ensaios darão a resposta certa. Cerca de 54,8% levarão à conclusão errada, o que é uma margem de erro muito alta!

0,452

50



Suponha que em lugar de ensaiar um corpo de prova, 10 corpos de prova sejam ensaiados e sua média calculada. Se as demais condições forem mantidas, = 1,5 MPa seria uma boa escolha?

Sintetizando o teste:Dez corpos de prova serão ensaiados e resistência média calculada e submetida ao seguinte critério:– Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que = 50 MPa;– Caso contrário, afirma-se que 50 MPa.

E agora: este é um bom teste?


Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa. A média de 10 corpos de prova terá desvio padrão de:

90,1790,0

0,505,481

z

90,1790,0

0,505,512

z

Neste caso, a escolha de = 1,5 MPa resulta em uma margem de acerto de 94,2% e uma margem de erro de apenas 5,76%, o que é aceitável. Portanto, para estas condições, = 1,5 MPa é uma boa escolha!

790,010

5,2

nX

5048,5 51,5

/2 = 0,0288/2 = 0,0288

z1 = -1,90 z2 = 1,90

/2 = 0,942


erros de decisãoerros de decisão

Erro tipo I: rejeitar H0 quando esta é verdadeira

Erro tipo II: não rejeitar H0 quando esta é falsa

decisão H0 é verdadeira H0 é falsa não rejeita H0

rejeita H0

decisão correta erro tipo I decisão correta

erro tipo II

– A probabilidade de cometer erro tipo I é denominada “nível de significância” e é denotada por

– A probabilidade de cometer erro tipo II é denotada por


nível de significância (nível de significância ())No exemplo anterior, sendo a distribuição normal, X = 2,5 MPa, n = 10, e = 1,5 MPa. Quanto vale ?

5048,5 51,5

/2 = 0,0288/2 = 0,0288

z1 = -1,90 z2 = 1,90

= P(Z<-1,90) + P(Z>1,90)

= 0,0288 + 0,0288 = 0,0576

5,76% das amostras aleatórias vão rejeitar H0 quando a resistência do material for mesmo 50 MPa. Para diminuir :

– (a) aumentar ou – (b) aumentar n


erro tipo IIerro tipo II

– pode ser calculado para um dado valor específico. Exemplo, seja = 52. Quanto vale ?

2643,0)0,525,515,48( quandoXP

= 0,2643

52

26,43% das amostras aleatórias vão aceitar H0 quando a resistência do material for 52 MPa

5048,5 51,5


erro tipo I versus erro tipo IIerro tipo I versus erro tipo II

• e para várias combinações de n e

9918,0500,00014,0160,520,48

9445,02119,00164,0165,515,48

9705,0500,00114,0100,520,48

8923,02643,00576,0105,515,48

5,5052

X

X

X

X

ememnaceitaçãoderegião


teste de hipóteses: conclusõesteste de hipóteses: conclusões

1. O tamanho da região crítica (aceitação) e podem sempre ser reduzidas pela escolha apropriada dos valores críticos

2. Os erros tipo I e II estão sempre relacionados. Para o mesmo “n” o aumento da probabilidade de um reduz a do outro

3. Para os mesmos valores críticos, o aumento de “n” reduz as probabilidades dos erros I e II

4. Quando H0 é falsa, aumenta quando o valor verdadeiro do parâmetro se aproxima do valor especificado em H0 e vice-e-versa


teste de hipóteses: procedimento geralteste de hipóteses: procedimento geral

1. Identifique o parâmetro de interesse no problema2. Formule a hipótese nula (H0)

3. Formule uma hipótese alternativa apropriada (H1)

4. Defina o nível de significância5. Estabeleça a estatística usada6. Estabeleça a região de rejeição da estatística7. Execute o experimento, obtenha os dados e faça as contas8. Decida se H0 deve ou não ser rejeitada e transponha esta

conclusão para o contexto do problema


2/2/2/2/0

0

0

00

tToutTzZouzZ

tTzZ

tTzZ

seHrejeiteseHrejeiteasalternativhipóteses

dodesconheciconhecido

hipóteses relativas a uma médiahipóteses relativas a uma média

H0: = 0

n

XZ

0

ns

XT 0


Verificar se a condutividade térmica de um certo tipo de tijolo é 0,340 com nível de significância 0,05 a partir de uma amostra com n = 35 que resultou no valor médio 0,343. Sabe-se que = 0,010.


Solução:P1 - parâmetro de interesse: condutividade térmica do tijoloP2 - H0: = 0,340P3 - H1: 0,340P4 - nível de significância: 0,05P5 - é conhecido,

usar a estatística Z < -z 0.025 ou Z > z 0.025


P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da média dos 35 ensaios, obedecer uma das seguintes condições:

Z < -1.960 ou Z > 1,960P7 - Fazendo as contas:

77,135010,0

340,0343,0

z

P8 - Como -1,960 < 1,77 < 1,960, H0 não pode ser rejeitada, isto é, a pequena diferença entre 0,340 e 0,343 pode decorrer do acaso.


Um certo tipo de barbante deve apresentar resistência média à ruptura de 180 N. Se cinco pedaços, selecionados aleatoriamente de alguns rolos apresentaram média 169,5 N com s = 5,7 N. Teste a H0 = 180 N contra H1 < 180 N com = 0,01. Assuma que a população é normal.


Solução:P1 - parâmetro de interesse: resistência do barbanteP2 - H0: = 180 NP3 - H1: < 180 NP4 - nível de significância: 0,01P5 - não é conhecido,

usar a estatística T < -t 0.01 para = 4

ns

XT 0


P6 - H0 será rejeitada se o valor de T, calculado a partir da média dos cinco ensaios, obedecer a seguinte condição:

T < -3,747P7 - Fazendo as contas:

12,457,5

0,1805,169

t

P8 - Como o valor obtido é menor que o crítico, rejeita-se H0 e aceita-se a hipótese de que a resistência média do barbante é mesmo menor que 180 N.


2/2/2/2/21

21

21

00

tToutTzZouzZ

tTzZ

tTzZ

seHrejeiteseHrejeiteasalternativhipóteses

dodesconheciconhecido

221 nn

hipóteses relativas a duas médiashipóteses relativas a duas médias

H0: 1 - 2 =

2

2

1

2

21

21

)(

nn

XXZ

XX

21

2121

222

211

21 )2(.

)1()1(

)(

nn

nnnn

snsn

XXT



Solução:P1 - parâmetro de interesse: diferença de resistênciaP2 - H0: = 0,050

P3 - H1: > 0,050

P4 - nível de significância: 0,05P5 - não é conhecido, mas n > 30

é possível usar a estatística Z > z 0.05

ns

XT 0

Verifique se a diferença entre a resistência elétrica entre dois condutores é maior que 0,050 com nível de significância = 0,05. Uma amostra com n = 32 foi extraída de cada condutor resultando em: X1 = 0,136 e s1 = 0,004 e X2 = 0,083 e s2 = 0,005 .


P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da diferença das médias dos 32 ensaios, obedecer a condição:

Z > 1,645P7 - Fazendo as contas:

65,2

32)005,0(

32)004,0(

050,0083,0136,022

z

P8 - Como 2,65 > 1,645 rejeita-se a H0 e afirma-se que a resistência do primeiro condutor é maior que a do segundo em pelo menos 0,050 .

albertazzi.inferências relativas à média. (5.1) 5 inferências relativas à média

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