abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso
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Abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software
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Fabio Luiz de Oliveira
Orientação: Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
Abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software
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© 2014
Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática
Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática
Reitor (a) da UFOP | Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza Vice-Reitor (a) | Profa Dra Célia Maria Fernandes Nunes
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS
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Prof. Dr. Dale William Bean; Prof. Dr. Daniel Clark Orey; Prof. Dr. Dilhermando Ferreira Campos; Prof. Dr. Frederico da Silva Reis; Profa Dra Marger da Conceição Ventura; Profa Dra Maria do Camo Vila; Prof. Dr. Milton Rosa; Prof. Dr. Plínio Cavalcanti Moreira; Profa Dra Regina Helena de Oliveira Lino Franchi; Profa Dra Teresinha
Fumi Kawasaki Viana.
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Catalogação: [email protected]
Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados.
O48a Oliveira, Fabio Luiz de. Abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software MAXIMA. / Fabio Luiz de Oliveira. Ouro Preto: UFOP, 2014. 62p.: il.; color.; grafs.; tab. Orientadora: Profa Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi.
Produto Educacional do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto.
1. Software de aplicação. 2. Funções de variáveis complexas. 3. Cálculo. 4. Multimídia interativa. I. Franchi, Regina Helena de Oliveira Lino. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título
CDU: 51:37.011.3
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Expediente Técnico
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Organização | Fabio Luiz de Oliveira
Pesquisa e Redação | Fabio Luiz de Oliveira
Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
Revisão | Afonso Celso Henriques
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP
Ilustração | Fabio Luiz de Oliveira
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Índice _______________________________
Apresentação ...........................................................................................................9
Introdução …….........................................................................................................10
O Cálculo de funções de várias variáveis..................................................................11
A visualização............................................................................................................12
Apresentando o software MAXIMA..........................................................................14
As atividades…..........................................................................................................33
Considerações finais................................................................................................ 60
Referências….............................................................................................................61
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Apresentação
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Caro(a) Professor(a) de Cálculo,
Este Produto Educacional é resultado do desenvolvimento da pesquisa intitulada “A
produção de conhecimento matemático acerca de funções de várias variáveis” realizada no
âmbito do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro
Preto.
Neste material apresentamos atividades exploratórias acerca de temas abordados no
cálculo de duas variáveis com a utilização do software MAXIMA. Estas atividades referem-se
a: construção de gráficos de funções de duas variáveis, domínio, curvas de nível, derivadas
parciais e extremos de funções de duas variáveis. Comentamos sobre a aplicação das
atividades, as dificuldades que tivemos e a forma como as contornamos, sobre os recursos e as
limitaçoes do software utilizado e apresentamos sugestões tendo como base a experiência de
aplicação das atividades apresentadas.
Para conhecer em detalhes o contexto do desenvolvimento desta pesquisa, bem os
estudos teóricos que a subsidiaram, você pode acessar a dissertação na página
www.ppgedmat.ufop.br.
Esperamos que este material possa contribuir para sua prática docente.
Fabio e Regina
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Introdução ____________________________
Sendo o cálculo uma das ferramentas indispensáveis para a resolução de problemas
em diversas áreas do conhecimento, a disciplina de Cálculo está presente em uma grande
diversidade de cursos superiores no Brasil.
Apesar de sua importância, o ensino e a aprendizagem do Cálculo vem enfrentando
problemas no contexto universitário, como por exemplo, o elevado número de reprovações e
as dificuldades dos estudantes para aprendizagem dos conceitos. Estes temas são abordados
em muitas pesquisas, entre elas as de Baruffi (1999) e Rezende (2003). Grande parte das
pesquisas sobre o ensino de Cálculo busca investigar as causas dessas dificuldades e desses
fracassos, propondo alternativas para enfrentamento desses problemas. No entanto são poucas
as que focalizam especialmente o Cálculo de funções de duas vaariáveis. Nossa pesquisa
procurou investigar a produção do conhecimento matemático acerca de funções de duas
variáveis com uso de tecnologias. Para tanto concebemos e aplicamos atividades com uso de
software Tivemos como norte o constructo teórico “Seres-humanos-com-mídias”, descrito por
Borba e Villarreal (2005), segundo o qual o pensamento é reorganizado e o conhecimento é
produzido por um coletivo pensante com atores humanos e não humanos.
Procuramos criar ambientes de aprendizagem nos quais os estudantes, com uso de
Tecnologias Digitais e outras mídias, como o lápis-papel, explorassem conceitos matemáticos
acerca de funções de duas variáveis, de modo a elaborar e testar conjectura e produzir ideias
matemáticas referentes ao tema. Para tanto buscamos aproveitar características que as mídias
utilizadas oferecem, como as possibilidades de trabalhar diferentes representações: gráficas,
numéricas e algébricas.
Neste Produto Educacional apresentamos alguns aspectos teóricos que norterarm a
pesquisa realizada, assim como as atividades desenvolvidas seguidas de comentários e
sugestões.
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O cálculo de funções de várias variáveis ________________________
Sabemos que muitas das dificuldades com o ensino e a aprendizagem do Cálculo de
várias variáveis aparecem em decorrência de deficiências na aprendizagem de conceitos da
matemática da Educação Básica. Outras se referem aos conceitos relativos ao Cálculo de uma
variável e às características do pensamento matemático avançado. Porém muitas delas são
específicas do Cálculo de várias variáveis. Não encontramos muitas pesquisas que abordam
esse tema quando comparado com o cálculo de funções de uma variável. Esse fato é citado
por autores como Alves (2011) e Imafuku (2008).
Entre as dificuldades no ensino-aprendizagem do cálculo de funções de várias
variáveis podemos citar:
Aspectos relacionados à visualização no cálculo de funções de várias variáveis são
mais complexos quando comparado com o cálculo de funções de uma variável.
As dificuldades na transição dos conceitos de funções de uma variável com os
correspondentes no cálculo de funções de várias variáveis.
Em sua pesquisa Imafuku (2008) relata que mesmo os alunos que foram bem sucedidos
nas disciplinas do Cálculo de uma variável, muitas vezes apresentam dificuldades diante de
situações que envolvam funções definidas por mais de uma variável. Estas dificuldades estão
relacionadas ao seu significado, à sua representação gráfica, entre outras. Muitos destes alunos
bem sucedidos podem ter apenas decorado os procedimentos e técnicas do Cálculo de uma
variável. Isso enfatiza mais uma vez a ênfase dada à técnica procedimental para a resolução
dos exercícios em detrimento da atribuição de significados e da compreensão.
Alves (2011) também aborda as dificuldades na transição interna do Cálculo de uma
para várias variáveis como a representação simbólica mais complexa, as argumentações
envolvidas nas demonstrações e a natureza geométrica dos objetos envolvidos.
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Procuramos elaborar sequências de atividades nas quais os estudantes fossem
estimulados a explorar conceitos do cálculo de funções de duas variáveis utilizando o software
MAXIMA. Os conceitos eram explorados primeiramente e depois trabalhados de forma
teórica pelo professor. Demos especial atenção às possibilidades de visualização que o
software oferece. Também procuramos resgatar conceitos relativos a funções de uma variável
que pudessem facilitar a abordagens de conceitos equivalentes para duas variáveis,
favorecendo a transição interna do Cálculo.
Para oferecer suporte a esse tipo de abordagem, buscamos no constructo teórico
"seres-humanos-com-mídias”, descrito por Borba e Villarreal (2005), bem como estudos
relacionados à visualização na Educação Matemática, que abordaremos na próxima seção.
A visualização ___________________________________
As possibilidades da visualização na Educação Matemáica são descritas por diversos
autores como Borba e Villarreal (2005), Couy (2008), Guzmán (2002), Machado (2008),
Presmeg (2006), entre outros. Esses teóricos apresentam diferentes estudos e abordagens
sobre o termo visualização, bem como a sua importância na Educação Matemática.
Dentre as potencialidades cognitivas da imagem, Machado (2008) destaca que as
imagens provocam processos mentais como abstrações, associações e articulações, dessa
forma, propriciando a descoberta.
Assim, Machado (2008) acrescenta:
A imagem na qual a matemática está interessada vai além de uma simples ilustração: são as visualizações matemáticas, ou seja, são imagens que, por si só permitem a compreensão de uma determinada propriedade (MACHADO, 2008, p. 104).
Frota (2013) também destaca a importância da visualização tanto para o
desenvolvimento da Matemática como para a Educação Matemática. Refere-se à visualização
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como um processo de interpretar e criar imagens para comunicar ideias usando diferentes
formas para expressar essas ideias.
Borba e Villarreal (2005), citando Zimmermann e Cunningham (1991), apontam que a
visualização em matemática é um processo de formação de imagens (mentalmente, ou com
papel e lápis, ou com o auxílio da tecnologia) e defendem utilizá-las com o objetivo de obter-
se uma melhor compreensão, estimulando o processo de descoberta matemática.
Para Kawasaki (2008), uma das vantagens de incorporar as tecnologias
computacionais nos processos de ensino e aprendizagem é a possibilidade de visualizar e
manipular ideias matemáticas, articulando diferentes tipos de representações dos objetos
matemáticos.
Parece haver consenso entre educadores matemáticos sobre o valor pedagógico da visualização no ensinar, no aprender e, até mesmo, no ‘fazer’ matemática. Dessa forma, recursos visuais (não necessariamente, os computacionais) sempre foram utilizados, por professores, para introduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do ensino de Cálculo, alguns educadores exaltam, no uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma representação gráfica, simultânea e continuamente articulando-a, de forma dinâmica, a suas representações numérica e algébrica. (KAWASAKI, 2008, p. 43)
As possibilidades de visualização potencializadas pelos computadores e sua relação
com a construção de conceitos matemáticos também é destacada por Machado (2008):
A visualização matemática, através da tela do computador, dá possibilidade de se elaborar um conjunto de argumentos (conjecturas) e ainda utilizá-los para resolver problemas, permitindo aos estudantes construir e relacionar as várias representações da informação e construir os conceitos matemáticos. (MACHADO, 2008, p. 107)
As estratégias com foco na visualização são favorecidas com o uso das tecnologias
digitais, sendo esta o principal meio de feedback fornecido pelos computadores (BORBA e
VILARREAL, 2005). Para esses autores,
O processo de visualização atinge uma nova dimensão quando se considera o ambiente computacional de aprendizagem como parte de um pensamento
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coletivo, onde estudantes, professor-pesquisador, mídia e conteúdos matemáticos residem juntos (BORBA E VILLARREAL, 2005, p. 96).
Consideramos que a visualização, associada às tecnologias digitais, proporciona
novos cenários para a exploração e investigação matemática, se tornando um importante elo
entre o estudante e o objeto em estudo.
Dessa forma, na concepção das atividades da dissertação “A produção de
conhecimento matemático acerca de funções de várias variáveis” trazidas para este Produto
Educacional, a visualização não teve o papel de apresentar imagens, mas de utilizar os
recursos oferecidos pelas mídias informáticas para a exploração de conceitos, a fim de
propiciar a discussão e a descoberta, contribuindo para a produção das ideias matemáticas
acerca de funções de várias variáveis.
Apresentando o software MAXIMA _________________________
Entre os diversos softwares matemáticos disponíveis atualmente, optamos pela
utilização do MAXIMA por entendermos que neste, no coletivo formado por um software e
outras mídias (oralidade e escrita), encontramos recursos que permitem a exploração conceitos
e a produção do conhecimento. Os recursos do MAXIMA possibilitam a exploração de
diversos conceitos do Cálculo de duas variáveis, como gráficos, curvas de nível, cálculo de
derivadas, entre outros.
O MAXIMA é um software de livre acesso, disponível para os sistemas operacionais
atuais, inclusive uma versão para tablets. Trata-se de um sistema de computação algébrica, o
qual permite realizar cálculos numéricos e simbólicos, representações gráficas e
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possibilidades para programação, possuindo uma grande variedade de comandos para os mais
variados fins em Matemática e suas aplicações.
O MAXIMA é derivado do sistema Macsyma, desenvolvido no Massachusetts
Institute of Technology (MIT), nos anos de 1968 a 1982, como parte do Projeto Machine
Aided Cognition (MAC), e sua versão atualizada está disponível no seguinte endereço
eletrônico: http://sourceforge.net/projects/maxima/files/.
Após a instalação do MAXIMA, serão apresentadas duas versões do software: a
XMAXIMA e a WXMAXIMA, as quais são identificadas respectivamente na área de trabalho
pelos ícones:
Na realização das atividades aqui propostas, optamos por utilizar a versão
WXMAXIMA uma vez que há uma interface gráfica mais interativa com o usuário e permite
o acesso às funções através de menus e caixas de diálogos. Assim, esta é a nossa sugestão para
o professor de Cálculo: utilizar a versão WXMAXIMA.
A versão utilizada, nas atividades deste Produto, é a 5.28, mas provavelmente, quando
o leitor acessar o endereço eletrônico acima, estarão disponíveis versões mais recentes. Como
se trata de um software livre, o mesmo está em constante desenvolvimento e as versões
posteriores provavelmente contarão com recursos adicionais e melhoramentos.
Abaixo, apresentamos a tela inicial do WXMAXIMA.
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Algumas funções do software MAXIMA
Apresentaremos, nesta seção, alguns comandos básicos para a utilização do
MAXIMA. Também é importante destacar que outras funções necessárias para o
desenvolvimento das atividades serão apresentadas em conjunto com as mesmas.
Ao final deste Produto, deixaremos sugestões de leitura referentes ao uso do software
MAXIMA e também relacionadas aos aportes teóricos utilizados para a análise dos dados da
dissertação de mestrado os quais foram norteadores para a construção e desenvolvimento das
sequências de atividades aqui propostas.
Para visualizarmos o valor de uma expressão, é necessário empregar ao final de cada
instrução o ponto e vírgula (;) e em seguida Shift+Enter.
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Exemplos:
1) Cálculo do valor de 3 + 2:
(%i1) 3+2;
(%o1) 5
2) Cálculo de 9
(%i2) sqrt(9); (%i3) 9^(1/2);
(%o2) 3 (%o3) 3
3) Fatorial de 6
(%i1) 6!;
(%o2) 720
4) Atribuição da constante :
(%i2) % pi;
(%o2) %pi o output do programa será a mesma expressão que se escreveu. No
entanto, se colocarmos o comando float, visualizaremos um valor aproximado de :
(%i3) float (%pi);
(%o3) 3.141592653589793 será impresso no programa um valor numérico
aproximado da constante .
5) Atribuição da constante e:
(%i4) %e;
(%io4) %e;
6) Cálculo de 2 ::
(%i2) sqrt(2);
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(%o2) 2
No entanto, se colocarmos o comando float, visualizaremos o valor aproximado de
2 :
(%i3) float(sqrt(2));
(%o3) 1.414213562373095
Operadores aritméticos
Funções básicas
Comando Descrição do Comando
abs(expressão)
Calcula o valor absoluto da expressão. Se a expressão for um
número complexo, retorna 2 2| |a bi a b .
factorial(x) Fatorial de um número x.
sqrt(x) Raiz quadrada de x
x^(a/b) Raiz de índice b de x com expoente a b ax
log(x) Calcula o logaritmo natural de x (base e)
exp(x) Calcula a exponencial de x: ex
Operadores Operação
+ Adição
- Subtração
/ Divisão
* Multiplicação
^ Potenciação
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Funções trigonométricas
Função Trigonométrica Descrição
sin(x), sinh(x) Seno, seno hiperbólico
cos(x), cosh(x) Cosseno, cosseno hiperbólico
tan(x), tangh(x) Tangente, tangente hiperbólica
acos(x) Arco-seno
asin(x) Arco-cosseno
atan(x) Arco-tangente
Manipulação de variáveis
Uma ferramenta importante, no MAXIMA, é a capacidade de atribuir e manipular
variáveis. Uma variável, em programação, é um identificador ao qual se pode atribuir valores.
No MAXIMA, a instrução de atribuição concretiza-se empregando o símbolo : (dois pontos)
Assim, por exemplo, o comando a:7 significa que está sendo atribuído o valor
numérico 7 à variável a. Então, toda vez que aparecer a letra a em uma expressão, será
entendida como numericamente igual a 7.
(%i1) a:7;
(%o1) 7
(%i3) b:3;
(%o3) 3
(%i4) c:a+b;
(%o4) 10
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(%i5) 2*c;
(%o5) 20
(%i6) b*c;
(%o6) 30
Expressões algébricas No MAXIMA, podemos resolver e fatorar expressões algébricas, para esse propósito,
utilizamos os comandos expand e factor respectivamente.
(%i2) expand(expressão); Esse comando desenvolve a expressão algébrica.
(%i3) factor(expressão); Esse comando fatora a expressão ou o número.
Exemplos:
1) Vamos desenvolver a expressão 3( 1)x :
2) Para fatorar a expressão 2( 4)x :
3) Fatorando o número 36:
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No MAXIMA, é possível resolver equações, calcular valores numéricos, raízes e
plotar gráficos de funções de uma e de duas variáveis.
Equações
Uma das possibilidades de resolver uma equação é com a utilização do comando
solve:
solve (expr, x): Resolve a equação algébrica expr para a variável x e retorna uma
lista de soluções em x.
Exemplos:
1) Resolver a equação 24 5 0x x .
2) Resolver a equação 3 26 11 6 0x x x .
3) Resolver a equação 2 1 0x x .
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Observamos que essa equação possui raízes complexas, nesse caso, o MAXIMA
indica a unidade imaginária por %i.
Outra opção para resolver uma equação é através do menu Equações – Resolver como
mostrado na figura abaixo:
Em seguida, na caixa de diálogo, digitamos a equação e a variável da mesma:
Muitas das funções disponíveis, no MAXIMA, podem ser utilizadas como vimos
acima, digitando a linha de comando ou usando a janela gráfica. Desse ponto em diante,
apresentaremos e daremos ênfase à utilização da janela gráfica, sempre que essa opção estiver
disponível.
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Entendemos que essa funcionalidade é um importante facilitador para a utilização do
MAXIMA, pois não é necessário digitar e saber extensas linhas de comandos e seu uso é
semelhante à maioria dos softwares disponíveis atualmente. Dessa forma, reduzem-se erros na
digitação dos mesmos e agiliza o desenvolvimento das atividades.
Funções de uma variável e construção de gráficos
Para inserirmos uma função no MAXIMA, digitamos o nome da função seguido de :=
(dois pontos igual): f(x):=
Exemplo:
1) Para definir a função 2( ) 5 6f x x x :
2) Calcule os valores de (1), (2), (3)f f f para a função definida no item anterior.
3) Encontre os zeros de ( )f x ou as raízes de ( ) 0f x
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4) Construa o gráfico da função ( )f x .
Para construir o gráfico de uma função, podemos utilizar o comando plot2d:
plot2d (expr, intervalo_x, ..., opções, ...);
No MAXIMA, podemos contruir vários gráficos em uma mesma janela:
5) Represente na mesma janela os gráficos das funções 2( ) 4f x x x e ( )g x x .
Utilizando o comando plot2d:
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Outra forma de construir um gráfico de uma função de uma variável é através do:
Menu gráfico gráfico 2d :
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A possibilidade da mudança dos intervalos das variáveis x e y constitui uma
importante ferramenta para a exploração e investigação de funções. Esse aspecto pode
contribuir para a produção de ideias matemáticas, permitindo ao estudante explorar e observar
as mudanças na visualização de um gráfico na medida em que se alteram os intervalos de x e
y.
6) Construa o gráfico da função ( )f x sen x
É importante observar a forma de inserir o intervalo [ 6 ,6 ] . Outra opção de construir
esse gráfico é pela janela gráfica:
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Assim, obtemos o seguinte gráfico:
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Funções de duas variáveis
Nesta seção, apresentaremos a construção de gráficos de funções de duas variáveis e
suas respectivas curvas de nível. As demais funções referentes às funções de duas variáveis
serão apresentadas ao longo do desenvolvimento das atividades.
Para construir um gráfico de uma função de duas variáveis, temos a opção na barra de
ferramentas: Menu gráfico gráfico 2d, como observamos na figura abaixo:
A: Nesse campo, digite a função a qual deseja construir o gráfico.
B: Nesse campo, digite os intervalos das variáveis x e y.
C: Nesse campo, Grade identifica a quantidade de pontos a serem utilizados na construção do
gráfico.
D: Nesse campo, o formato gnuplot é o pacote gráfico mais avançado entre os disponíveis no
MAXIMA e possibilita, por exemplo, realizar a rotação do gráfico.
Exemplos:
A
B
C
D
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1) Insira a função ( , ) cosf x y x sen y .
(%i1) f(x,y):=cos(x)*sin(y); Shift+Enter
(%o1) f(x,y):=cos(x)sin(y)
2) Encontre os valores de 0,2
f
e 3
0,2
f
3) Construa o gráfico de ,f x y
Na barra de ferramentas: Menu gráfico gráfico 3d
Dessa maneira, obtemos o seguinte gráfico:
Neste campo, digite a
função que deseja
construir o gráfico. Caso
a função não esteja
definida, é necessário
digitar a mesma da
seguinte forma:
cos(x)*sin(y)
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Curvas de nível
O MAXIMA oferece muitos recursos para a construção das curvas de nível.
Mostraremos, nesta seção, algumas formas de construção das mesmas e os resultados obtidos.
Uma delas é através da seguinte linha de comando:
contour_plot(f(x,y),[x,-10,10],[y,-10,10]);
Assim, construímos as seguintes curvas de nível para a função ( , ) cosf x y x sen y :
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Também podemos plotar, em uma mesma janela, o gráfico de ( , )f x y e suas curvas
de nível, para isso, usamos:
Observação:
both: plota as curvas de nível na superfície da função e no plano xy;
base: plota as curvas de nível no plano xy;
surface: plota as curvas de nível na superfície do gráfico da função.
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Utilizando a função both
Utilizando a função base
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As atividades __________________________
As atividades foram divididas em grupos relacionados aos temas do cálculo de
funções de duas variáveis. Essa divisão em grupos foi motivada pelo fato de que a
constituição do coletivo seres-humanos-com-mídias aconteceu em diversos momentos, não
apenas durante as aulas realizadas no laboratório de informática, mas também em sala de aula.
Em todos esses momentos, ficou evidente a utilização das tecnologias da inteligência, como a
oralidade, a escrita e a informática.
Apresentaremos, nas próximas seções, os grupos de atividades, bem como seus
objetivos, sugestões e nossas impressões durante a sua realização.
Utilizando a função surface
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O primeiro grupo de atividades: Gráfico e domínio de uma função de duas variáveis
Esse grupo de atividades tem como principais objetivos:
Proporcionar condições ao aluno de compreender a definição de funções de duas
variáveis, através de uma atividade exploratória com o auxílio do computador, em que
discente terá a oportunidade plotar e visualizar de “diferentes ângulos” e intervalos, o
gráfico de uma função de duas variáveis. Dessa maneira, identificando as funções
representadas algebricamente por uma expressão algébrica com seus respectivos
gráficos os quais são representados por superfícies no R3.
Compreender, identificar e descrever o domínio de uma função de duas variáveis,
relacionando-o com uma região do plano xy a qual pode ser uma limitada ou não
limitada.
Para o desenvolvimento dessas atividades, sugerimos o seguinte roteiro:
1) Defina, no MÁXIMA, a função 22),( yxyxf . Você pode fazer isso digitando
na linha de comando f(x,y):=x^2+y^2; Shift+Enter
a) Esboce o gráfico da função ( , )f x y nos intervalos 2 2x e 2 2y ,
utilizando, na barra de menu, as opções: Gráfico Gráfico 3d..., no campo
Expressão digite f(x,y), variável x de -2 para 2, variável y de -2 para 2 e no
Formato selecione gnuplot.
b) Com o cursor sobre a janela do gráfico, mantenha pressionado o botão esquerdo do
mouse. Movimente o gráfico em diferentes direções.
c) Salve o gráfico que, em sua opinião, apresentou melhor visualização. Para isso, na
janela gnuplot graph em que está o seu gráfico, selecione .
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d) Utilizando, na barra de menu, as opções: Gráfico Gráfico 3d..., esboce
novamente o gráfico da função ( , )f x y alterando os intervalos de variação de x e
de y
Comentário: Essa atividade foi importante, pois é foi primeiro contato do estudante
com os gráficos de uma função de duas variáveis, compreendendo que o seu gráfico é uma
superfície em três dimensões enquanto o gráfico de uma função de uma variável é uma curva
no plano. Também foram utilizados pela primeira vez os recursos do MAXIMA que foram
fundamentais no desenvolvimento das atividades seguintes, como rotacionar o gráfico e
modificar os intervalos das variáveis. Na figura abaixo, temos a construção do gráfico da
função 22),( yxyxf .
2) Defina, no MÁXIMA, a função
100cos),(
22 yxyxg . Você pode fazer isso
digitando na linha de comando g(x,y):=cos((x^2+y^2)/100); Shift+Enter. Para saber
como as diferentes constantes e funções devem ser digitadas, você pode recorrer à
Ajuda do MAXIMA.
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a) Utilizando a barra de menu as opções: Gráfico Gráfico 3d... plote diversos
gráficos da função ( , )g x y alterando apenas os intervalos de x e y:
I. 55 x e 55 y
II. 1010 x e 1010 y
III. 2020 x e 2020 y
IV. 3030 x e 3030 y
b) Observe os gráficos esboçados da ( , )g x y em diferentes intervalos de x e de y.
Você observa alguma modificação na aparência da superfície obtida? Existe mais
de um gráfico para a mesma função ( , )g x y ? Explique.
Comentário: Nos itens a e b, os estudantes têm a oportunidade de compreender que
uma função ( , )f x y qualquer possui apenas um gráfico, mudando apenas a visualização em
função dos intervalos das variáveis x e y . Observamos que, em alguns casos, essa
compreensão não é tão imediata, como aconteceu durante a exploração da função
100cos),(
22 yxyxg em que as alterações, na forma do gráfico, são muito significativas
na medida em que alteramos os intervalos indicados no item a dessa atividade. Nos intervalos
sugeridos em I e II, não existe uma mudança significativa na visualização. Mas, nos intervalos
sugeridos em III e IV, existe uma grande variação na visualização do gráfico.
Na figura seguinte, construída pelo grupo D1, observamos gráficos de ( , )g x y nos
intervalos solicitados nessa atividade.
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c) É possível esboçar o gráfico da função ( , )g x y para quaisquer valores de x e de
y?
d) Chamamos de domínio de uma função ao conjunto de valores das variáveis
independentes para os quais a função está definida. No caso das funções de duas
variáveis x e y, o domínio é um conjunto de pares ordenados 2, yx , para os
quais é possível obter o valor da função. No caso da função ( , )g x y , qual é o
domínio?
Comentário: Essa etapa da atividade proporciona discussão em relação à
possibilidade de existir o valor de ( , )g x y para qualquer ponto 2, yx . Também
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constitui uma oportunidade para o professor explorar aspecto do domínio de uma função de
uma variável, com o objetivo de estender conceitos para o domínio de funções de duas
variáveis, sendo um dos elos de transição do cálculo de funções de uma variável para o
cálculo de funções de duas variáveis.
3) Defina, no MÁXIMA, a função 2216),( yxyxh .
a) Esboce gráficos da função ( , )h x y usando opções diferentes para as variações de
x e de y. O que acontece quando usamos intervalos de variação maiores?
b) Encontre os valores de (2,2)h , ( 1,2)h , (4,0)h e (3,3)h . É possível obter os
valores da função nos pontos acima indicados? Por quê?
c) Movimente o gráfico da função de modo a visualizar a região para a qual não é
possível calcular ( , )h x y . Para melhor determinação da região, ao esboçar o
gráfico, aumente os valores da grade.
d) Que região do plano xy corresponde ao domínio da função ( , )h x y ? Faça um
esboço do domínio da função ( , )h x y .
e)
Comentário: Nessa atividade, o estudante percebe, de forma mais clara, a região do domínio
da função ( , )h x y pelo fato de essa região ser limitada no plano. Ao calcular os valores
solicitados no item b, os estudantes podem compará-los com a região plana obtida no item c,
percebendo algebrica e graficamente que não é possível obter valores de ( , )h x y para
qualquer 2, yx . Aumentando-se os valores da grade, obtemos gráficos com melhores
contornos, como mostramos na figura abaixo, construída pelo Grupo D5.
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No item d, quando os estudantes determinaram e esboçaram o gráfico da região que
representa o domínio de ( , )h x y , foi utilizada também a mídia lápis-papel, possibilitando aos
estudantes a utilização de diferentes mídias.
A estratégia do aumento da grade possibilita a superação de uma das limitações do
MAXIMA no que se refere à visualização. A região correspondente ao domínio da função
( , )h x y não é percebida como uma circunferência utilizando uma grade, por exemplo, de
30x30 (primeiro gráfico na figura acima), mas, aumentando a grade, melhora a percepção de
que essa região é uma circunferência.
Outra sugestão para o professor é o a utilização de outras mídias, como a lápis-papel,
para formalizar a expressão algébrica do domínio, incluindo a explicação sobre a região de
fronteira, pois, com a movimentação do gráfico da função ( , )h x y gerada pelo MAXIMA,
não é possível verificar se a região que delimita o domínio é uma região aberta ou fechada.
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Essa exposição também pode ser realizada após a próxima questão, pois, nesta, são
exploradas outras funções com características diferentes quanto ao domínio e a sua região no
plano.
4) Explore as funções indicadas abaixo. Procure uma boa visualização do gráfico,
movimente o gráfico de modo a visualizar também o domínio, determine o domínio.
a) 4, 22 yxyxf
b) xy
yxf
1
,
c) 2, xyyxf
d) )log(, 2xyyxf
e) )( 22
., yxexyxf
f) ).2.(., xyx
ysenxyxf
Comentário: Nessa atividade, foram propostas diversas funções com características
diferentes das regiões planas de seu domínio. O fato de deixar o estudante livre para explorar
essa função permite que o mesmo escolha o seu caminho para encontrar o domínio das
funções. Assim, podemos observar quais foram as ideias matemáticas produzidas acerca do
tema central desse grupo de atividades: gráfico e domínio de uma função de duas variáveis.
O segundo grupo de atividades: Curvas de nível de uma função de duas variáveis.
Esse grupo de atividades tem como principais objetivos:
Proporcionar ao aluno condições de identificar, descrever, construir e compreender as
curvas de nível de uma função de duas variáveis.
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Relacionar o gráfico de uma superfície obtido a partir de função de duas variáveis
com as suas respectivas curvas de nível.
Roteiro da atividade:
Com esta atividade, temos o objetivo de explorar um importante conceito relativo a
funções de duas variáveis, que é o conceito de curva de nível.
Uma curva de nível ou curva de contorno de uma função f de duas variáveis é o
conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é igual a c, sendo que c é
uma constante. As curvas de nível ( , )f x y c são cortes (traços) do gráfico de f no plano
horizontal z c projetados sobre o plano xy (plano z=0).
Vamos utilizar alguns dos recursos gráficos do software MAXIMA para explorar esse
conceito.
1. Considere a função 229),( yxyxf . Sabemos que o gráfico de ( , )f x y é
uma superfície em 3R . Vamos utilizar o MAXIMA para visualizar o gráfico de
( , )f x y e os cortes na superfície de f por planos z=c. Salve todas as imagens
possíveis e escreva, em um arquivo Word, suas observações e conclusões relativas às
etapas indicadas abaixo, inserindo as imagens correspondentes. Para isso, sugerimos:
a) Defina, no MÁXIMA, a função f;
b) Esboce o gráfico de f;
c) A sequência de comandos a seguir possibilita traçar na superfície de ( , )f x y as
curvas obtidas pelo corte por planos z=c. Execute e observe as curvas
identificadas na superfície.
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d) Como definido no início, uma curva de nível é uma projeção do corte (traço) do
gráfico de f no plano xy (z=0). Movimente o gráfico de ( , )f x y de modo a
visualizar o que seriam essas curvas projetadas no plano z=0.
Comentário: Para essa primeira atividade relacionada às curvas de nível, escolhemos a função
229),( yxyxf . A escolha dessa função foi motivada pelo fato de ela possuir uma
boa visualização com os recursos do MAXIMA e de suas curvas de níveis serem
circunferências. Assim, alguns aspectos dessa função já eram conhecidos pelos estudantes.
Acreditamos que a construção indicada no item d favorece a compreensão das curvas de nível
como cortes na superfície de uma função ( , )f x y . Espera-se que, até essa etapa, após os
estudantes realizarem a rotação do gráfico, estes tenham condições de identificar e descrever
as curvas de nível da função 229),( yxyxf . Sugerimos ao professor que deixe
gravado em um arquivo do MAXIMA as linhas de comandos para a execução do item c.
Dessa forma, evitam-se erros de digitação dos comandos que podem ocasionar atraso
no desenvolvimento da atividade. Na figura abaixo, a sequência da visualização obtida pelo
do Grupo D15.
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e) Existe um comando do MAXIMA que traça as curvas de nível de uma
determinada função f: é o comando contour_plot. Faça isso para a função f em
estudo, digitando contour_plot(f(x,y),[x,-3,3],[y,-3,3]); Shift+Enter.
f) Compare as imagens obtidas na visualização pedida no item d com as curvas do
item e. O que você observa?
Comentário: No desenvolvimento dos itens e e f, os estudantes podem utilizar e
comparar os resultados obtidos por dois recursos para a obtenção das curvas de nível, dessa
forma, favorecendo a compreensão do mapa de contorno de uma função. Essa ação é
completada no próximo item. Abaixo, aparece a construção do Grupo D5.
-3-2
-1 0
1 2
3-3
-2
-1
0
1
2
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
z
x
y
z
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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x y
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3 -3
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g) Com os recursos do MAXIMA, é possível obter a imagem do gráfico de ( , )f x y ,
dos cortes da superfície por planos z=c e das respectivas projeções. Experimente
isso para a função ( , )f x y
h) Escreva as expressões das curvas de nível obtidas a partir da função ( , )f x y para
valores de z=0, z=1, z=2 e z=3. Que tipo de curvas são essas? Esboce os gráficos.
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
y
0
0.5 1
1.5
2
2.5
3
sqrt(-y^2-x^2+9) 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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1
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i) Você acha que as curvas de nível dão algum tipo de informação sobre o gráfico da
função? É possível imaginar o gráfico de uma função conhecendo os traçados das
curvas de nível e os respectivos valores de z? Explique.
Comentário: No desenvolvimento do item h, observamos a preferência pela utilização
da mídia lápis-papel. Assim, como afirma Villarreal (1999), as abordagens algébricas e
visuais complementam-se no processo de aprendizagem da matemática. Em todas as
atividades já desenvolvidas, essa complementação e a utilização de diferentes abordagens
(visual e algébrica), em diferentes mídias, são importantes na produção das ideias matemáticas
acerca de funções de várias variáveis. No constructo seres-humanos-com-mídias, o
conhecimento é sempre produzido na presença de determinada tecnologia da inteligência:
oralidade, escrita e informática.
2. Explore livremente as funções abaixo, procurando sempre estabelecer uma relação
entre o gráfico, os cortes e as curvas de nível de cada uma das funções. Monte
arquivos com as imagens e as observações feitas.
a) 224),( yxyxf
b) b)22),( yxyxf
c) 2
1
4
1
12
1),( 23 yxxyxf
d)1
5),(
22
yx
xyxf
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Comentário: Nessa atividade, os estudantes têm a oportunidade de explorar
livremente diversas funções e suas respectivas curvas de nível utilizando habilidades
desenvolvidas e o conhecimento produzido acerca de funções de duas variáveis.
O terceiro grupo de atividades: Derivadas parciais de primeira ordem de uma função de
duas variáveis.
Este grupo de atividades divide-se em duas partes:
I) Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem e
II) Interpretação geométrica das derivadas parciais.
Com a primeira parte desta atividade, temos o objetivo de explorar os recursos
algébricos do MAXIMA para o cálculo das derivadas parciais de uma função de duas
variáveis. Apesar de esta atividade não ter feito parte da análise da pesquisa de mestrado “A
produção de conhecimento matemático acerca de funções de várias variáveis”, apresentamos
aqui porque ela foi feita na sequência das aulas por julgamos importante o estudante conhecer
os recursos do MAXIMA para o cálculo das derivadas parciais. É um bom momento para
introduzir as diferentes notações das derivadas parciais e retomar alguns conceitos das
derivadas parciais de uma função de uma variável. Abaixo, o roteiro desta atividade.
O MÁXIMA possui um recurso para o cálculo de derivadas de uma função. Esse
recurso pode ser usado tanto para o cálculo de derivadas ordinárias (funções de uma variável)
como também para o cálculo de derivadas parciais.
Para essa finalidade, temos a seguinte linha de comando:
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Nesse caso, o comando calcula da derivada de primeira ordem da função f(x,y) em
relação à variável x.
1) Encontre as derivadas parciais de primeira ordem (em relação às variáveis que
aparecem na função) das funções indicadas abaixo. Realize todos os cálculos
necessários. Depois, utilize o MAXIMA para o cálculo e compare as duas respostas.
a) 423),( yxyxf
b) 4235 33),( xyyxxyxf
c) yxez 3
d) xyz ln
e) yx
yxyxf
),(
f) yxyxf ),(
g) cossenw
h) yzzxyzyxf 3),,( 32
Ordem da derivada
Variável
Função a ser derivada
Comando para a diferenciação
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i) yzexzyxf 2),,(
j) )32ln( zyxw
l) 324 3),( yxxyxf
m) )53ln(),( yxyxf
A segunda parte deste grupo de atividades tem o objetivo de proporcionar ao
estudante uma sequência de atividades para a exploração e a interpretação geométrica das
derivadas parciais, tendo como referência a interpretação geométrica das derivadas ordinárias,
as quais sugerimos serem retomadas ao longo do desenvolvimento da mesma.
Abaixo, apresentamos o texto inicial e a sequência desta parte da atividade:
Com esta atividade, temos o objetivo de explorar graficamente o conceito das
derivadas parciais de uma função de duas variáveis.
Para esse propósito, vamos utilizar alguns dos recursos gráficos do software
MAXIMA para explorar esse conceito.
Uma questão que frequentemente se apresenta nas aplicações de funções de várias
variáveis é “Como o valor da função será afetado por variações em uma das variáveis
independentes?” Podemos respondê-la considerando as variáveis independentes uma de cada
vez. Dessa forma, a derivada parcial de ( , )f x y em relação à x em 0 0( , )x y é obtida
derivando a variável x mantendo-se y fixo. Analogamente, a derivada parcial de ( , )f x y em
relação à y em 0 0( , )x y é obtida derivando a variável y mantendo-se x fixo.
Como você já sabe, podemos utilizar as seguintes notações para as variáveis parciais:
( , )x
ff x y ou
x
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( , )y
ff x y ou
y
O que representa o valor numérico de cada derivada parcial aplicada em determinado
ponto?
1) Vamos analisar o caso da derivada parcial de 2 2( , ) 8 2f x y x y em relação à
variável x. Vamos escolher o ponto inicial P(1,2).
Nas derivadas parciais, consideramos uma das variáveis como constante. No caso
de (1,2)
f
x
, qual variável deve ser considerada constante e qual deve ser o valor
dessa constante?
Quando fazemos y = constante, temos um plano paralelo ao plano xz. Esse plano
tem interseção com a superfície do gráfico de ( , )f x y .
Podemos visualizar essa situação com o auxílio do MAXIMA, para isso inserimos
as seguintes linhas de comandos:
Plota o gráfico
de f(x,y)
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Você consegue visualizar a interseção do gráfico de ( , )f x y e do plano y =2? O que
é essa interseção?
Faça a rotação desse gráfico.
Para relacionar a derivada parcial de 2 2( , ) 8 2f x y x y em relação a x no
ponto (1,2), vamos manter y constante em 2. Assim, temos que 2( ,2)f x x .
Agora vamos plotar essa curva no plano com o auxílio do MAXIMA. Compare a
representação dessa curva no plano com o gráfico que mostra a interseção de
( , )f x y com o plano y=2. Faça a rotação de modo a visualizar essa curva na
mesma posição que aparece na representação plana.
Comentário: Nessa etapa, sugerimos que o professor disponibilize as linhas de
comandos acima, a exemplo do que já foi feito em atividades anteriores, com o objetivo de
que não se dispenda tempo com a digitação dos mesmos e a correção de possíveis erros de
digitação. A sequência de comandos acima produz o gráfico abaixo:
Plota o gráfico
do plano y = 2
Define a escala dos
eixos x e y
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-2 -1 0 1 2 -2
-1 0
1 2
3 4
-25
-20-15
-10-5
0 5
Com essa construção, o professor pode instigar os estudantes a identificarem a
interseção das duas superfícies. Talvez, apenas com essa visualização, não seja suficiente para
que os estudantes percebam que essa interseção é uma parábola, mas com o incentivo do
professor e percepção dos estudantes, eles podem concluir esse item com a análise do gráfico
e da expressão algébrica que obteram quando calcularam 2( ,2)f x x . Essa dificuldade
também poderá ser superada com a próxima etapa da atividade.
2) Vamos, agora, interpretar o valor numérico das derivadas parciais.
No caso das funções de uma variável, a derivada aplicada em um ponto representa o
coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto.
Para a curva 2y x , calcule
1
dy
dx
, determine a reta tangente à curva no ponto
x=1 e esboce o gráfico no mesmo sistema de eixos que a curva.
Vamos, agora, construir o gráfico da reta tangente à superfície ( , )f x y , para isso
digite as seguintes linhas de comando:
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Para comparar com o que fizemos no plano e no espaço, vamos deletar os comandos
iniciais digitados anteriormente, ficando apenas:
Comentário: As duas últimas sequências de comandos geram os gráficos das figuras
abaixo. Com o primeiro gráfico, o estudante pode explorar a ideia da derivada parcial como a
Plota o gráfico da reta
tangente a f(x,y)
Plota o gráfico da curva
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inclinação da reta tangente à interseção da superfície com o plano obtido mantendo-se x ou y
fixos.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2-1
0 1
2 3
4
-25-20-15-10-5 0 5
Com a segunda construção, a visualização da interseção da curva com a reta tangente
da superfície fica mais evidente. Novamente, nesse momento, surge a oportunidade de
oportunizar a transição e extensão dos conceitos do Cálculo de uma variável para o Cálculo de
duas variáveis.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2
-15
-10
-5
0
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O quarto grupo de atividades: Extremos de uma função de duas variáveis
Este grupo de atividades tem o objetivo de explorar e estimar os extremos de funções
de duas varáveis e posteriormente encontrar os pontos críticos, finalizando com a classificação
dos extremos em máximos, mínimos ou sela. Todo esse processo é realizado através dos
recursos visuais do MAXIMA em conjunto a outras mídias.
Para este grupo de atividades, sugerimos que sejam divididas de modo a serem
desenvolvidas em quatro encontros.
Para o primeiro encontro, siga o seguinte roteiro:
a) Construa, no MAXIMA, o gráfico da função2 2( , ) 1f x y x y .
b) Modifique os intervalos de variação de x e y. Faça a rotação em diferentes direções e
procure identificar se a função tem extremos relativos (máximos ou mínimos).
Registre suas observações.
c) É possível para você estimar as coordenadas dos pontos que você indicou no item
anterior? Em caso afirmativo, quais são essas coordenadas? Caso não seja possível,
por quê?
d) Faça o mesmo para a função 2 2( , ) 2 4 3g x y x x y y e registre as suas
observações.
Comentário: O objetivo dessa sequência foi explorar graficamente as funções
2 2( , ) 1f x y x y e 2 2( , ) 2 4 3g x y x x y y e identificar o seu extremo.
Sugerimos ao professor não realizar anteriormente nenhuma explicação aos estudantes
relacionada aos extremos de uma função. Pela exploração visual, muitos estudantes
conseguem identificar o extremo da função ( , )f x y , encontrando suas coordenadas: (0,0,1) .
O mesmo não ocorre com a função ( , )g x y , pois a visualização do extremo desta função não
é favorecida apenas com o uso do software.
Neste momento, surge a oportunidade de iniciar a introdução de conceitos relativos
aos extremos de funções de duas variáveis:
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A função ( , )f x y tem um máximo local no ponto 0P se 0( ) ( )f P f P para todos os
pontos P próximos a 0P .
A função ( , )f x y tem um mínimo local no ponto 0P se 0( ) ( )f P f P para todos os
pontos P próximos a 0P .
Com isso, a sequência da atividade sugere:
e) Com o auxílio do MAXIMA, calcule valores da função ( , )f x y nos extremos
relativos estimados e em pontos das vizinhanças desses extremos. Compare os
valores.
f) Faça o mesmo com a função ( , )g x y .
Comentário: Com esses itens, surge novamente a oportunidade da utilização de outras
mídias e a complementação das abordagens algébricas e gráficas. Em nossa pesquisa, os
estudantes construíram tabelas e, com a ajuda do gráfico gerado pelo MAXIMA, estimaram o
extremo dessas funções. Ressaltamos que, para a função ( , )f x y , todos conseguiram
encontrar as coordenadas do extremo com exatidão. Fato que não aconteceu com a função
( , )g x y , pois poucos grupos conseguiram encontrar corretamente os extremos, mas muitos
encontraram uma boa estimativa para os mesmos. Sugerimos que o professor desenvolva essa
etapa em até dois encontros.
No segundo encontro, temos o objetivo de identificar e explorar características das
derivadas parciais nos extremos. Nesse momento, surge a oportunidade dos estudantes
relacionarem conhecimentos produzidos no terceiro grupo de atividades. Abaixo o texto desta
atividade:
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Nos extremos locais de funções de duas variáveis, as derivadas parciais têm
características especiais.
Para elaborarmos conjecturas a respeito das derivadas parciais, nos extremos relativos
de funções de duas variáveis, vamos retomar os conceitos trabalhados no terceiro grupo de
atividades em que interpretamos o significado geométrico das derivadas parciais.
Discuta com seu grupo o que representa o valor numérico da derivada parcial de uma
função de duas variáveis aplicada em determinado ponto.
Escreva o que concluíram.
Se P é um ponto máximo local de ( , )f x y , que valor você acha que deve ter
P
f
x
? E a P
f
y
? Justifique suas respostas.
Comentário: Observamos que muitos estudantes perceberam que as derivadas
parciais nos extremos é nula. Acreditamos que isso se deu pelo fato de terem construído o
conhecimento acerca da interpretação geométrica das derivas parciais. Também atribuímos o
fato à transição que ouve dos conceitos correspondentes de uma variável e que foram
evocados pelos estudantes.
Sugerimos, nesse encontro, a introdução da definição dos pontos críticos de uma
função de duas variáveis, de acordo com o roteiro abaixo:
Se uma função ( , )f x y tem um máximo ou mínimo locais em ( , )P a b , e as
derivadas parciais de primeira ordem de ( , )f x y existem nesses pontos, então
( , ) 0xf a b e ( , ) 0yf a b . Nesse caso, o ponto ( , )P a b é chamado ponto crítico. Mas,
como no cálculo, há uma variável, nem todos os pontos críticos correspondem a um máximo
ou mínimo. Em um ponto crítico, a função pode ter um máximo local ou um mínimo local ou
nenhum deles.
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Então, para determinar os pontos críticos de uma função de duas variáveis, devemos
examinar as derivadas parciais de ( , )f x y . Se elas estão definidas, qualquer x e qualquer y,
encontraremos os pontos críticos igualando-as a zero e resolvendo o sistema correspondente.
Isso pode ser feito também usando os recursos de cálculo do MÁXIMA com os
comandos diff (para cálculo das derivadas parciais) e solve (para a resolução do sistema de
equações).
Vamos retomar as funções ( , )f x y e ( , )g x y estudadas e determinar os pontos
críticos. Vejam se eles coincidem com os valores estimados anteriormente por vocês.
Comentário: Essa etapa é importante, pois os estudantes calcularam algebricamente
os pontos críticos, consequentemente encontrando os extremos das referidas funções. Assim,
compararam com os resultados obtidos na fase inicial de exploração. Logo, percebemos que,
apesar de todas as potencialidades da visualização, em alguns momentos, ela, usada
isoladamente, pode não trazer resultados rápidos e precisos e é impostante que os estudantes
percebam isso.
Lembramos que, até esse momento, não mencionamos nas atividades o ponto de sela.
Na atividade abaixo, iniciamos a exploração do ponto sela:
Considere a função 2 2( , )h x y x y . Essa função tem um ponto crítico. Determine esse
ponto crítico.
Esboce o gráfico de ( , )h x y e observe as características da função no ponto crítico. Para isso,
faça a rotação da função procurando observar o gráfico em diferentes direções. Esse ponto é
de máximo? É de mínimo? Explique.
Comentário: Essas questões proporcionam um bom momento para discussão, pois o
ponto crítico da função ( , )h x y é um ponto sela. Sugerimos ao professor deixar os estudantes
discutirem sobre essas questões e, apenas no próximo encontro, introduzir a classificação dos
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extremos através do teste da derivada segunda e retomar as conclusões expostas pelos
estudantes acerca dessas duas últimas questões.
Abaixo, o texto do roteiro para esse estudo.
Comentário: Nessa etapa, é realizada a finalização dos conceitos relacionados aos
extremos de funções de duas variáveis. Na questão a seguir, os estudantes poderão explorar
outras funções desde a exploração através dos recursos visuais do MAXIMA até a
classificação dos extremos.
No caso de funções de duas variáveis, nem sempre os pontos críticos são pontos
de máximo ou mínimo relativos. Alguns pontos críticos correspondem ao que
chamamos de ponto de sela, não nem máximos e nem mínimos. É o que acontece com o
ponto crítico da função 2 2( , )h x y x y .
Uma forma de classificar os pontos críticos de uma função de duas variáveis é o
chamado teste das derivadas parciais de segunda ordem.
Suponha que as derivadas parciais de segunda ordem de ( , )f x y sejam
contínuas e que ( , ) 0xf a b e ( , ) 0yf a b . Considere
2( , ) ( , ) ( , ) [ ( , )]xx yy xyD D a b f a b f a b f a b :
Se 0D e ( , ) 0xxf a b , então ( , )f a b é um máximo local.
Se 0D e ( , ) 0xxf a b , então ( , )f a b é um mínimo local.
Se 0D , então ( , )f a b não é mínimo local nem máximo local, é ponto de
sela.
Se 0D , o teste é inconclusivo.
Retome as funções ( , )f x y , ( , )g x y e ( , )h x y e aplique o teste nos pontos
estudados.
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Construa o gráfico das seguintes funções, explore, calcule e analise os seus pontos
críticos:
a) 3 21 1 1( , )
12 4 2f x y x x y
b) 2 2( , ) 3 3 4f x y x xy y x y
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Considerações finais ________________________
Apresentamos, neste Produto educacional, as atividades desenvolvidas em nossa
pesquisa de dissertação “A produção de conhecimento matemático acerca de funções de duas
variáveis”. Esperamos que este material seja útil às aulas de cálculo de funções de várias
variáveis, sendo que, com a utilização das atividades descritas, o professor poderá criar
ambientes favoráveis à exploração dos conceitos e à produção de conhecimento em um
coletivo seres-humanos-com-mídias.
Nessas atividades, o software MAXIMA, em conjunto com as outras mídias, como a
escrita e a oralidade tiveram um papel importante para a produção do conhecimento acerca
dos temas abordados nas atividades.
Observamos, durante a realização das atividades, uma grande mudança na postura dos
estudantes, uma vez que passaram a ser mais participativos. Acreditamos ser esse fato oriundo
em parte pela proposta das atividades exploratórias aqui descritas, pois os discentes foram
instigados a investigar, explorar e discutir ideias associadas aos temas abordados.
Sugerimos ao professor a leitura do trabalho de Oliveira (2014), citado nas
referências, para conhecer em detalhes o contexto em que aconteceu a pesquisa e também para
conhecer todas as etapas desde a concepção até a análise das atividades.
Também sugerimos a leitura das referências citadas às quais abordam temas de
interesse do professor de Cálculo.
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Referências ________________________
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cálculo a várias variáveis. 2011. Tese (Doutorado em Educação), Universidade Federal do
Ceará, Fortaleza, 2011.
BARUFI, M. C. B. A construção/ Negociação de significados no curso universitário
inicial de Cálculo Diferencial e Integral. (Tese) São Paulo: USP, 1999.
BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. E. Humans-with-media and the reorganization of
mathematical thinking: Information and communication technologies, modeling,
experimentation and visualization. New York: Springer, 2005.
COUY, L; Pensamento visual no estudo de variação de funções. Dissertação (Mestrado em
Ensino de Ciências e Matemática), Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo
Horizonte, 2008.
FROTA, M. C. R.. Ambientes que favorecem a visualização e a comunicação em cálculo. In: FROTA, M. C. R.; BIANCHINI, B. L.; CARVALHO, A. M. F T. Marcas da educação matemática no ensino superior. São Paulo: Papirus, 2013. Cap. 3, p. 61-88.
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Paulo, 2008, 235 p.
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KAWASAKI, T. F. Tecnologias na sala de aula de matemática: resistência e mudanças na formação continuada de professores. Tese (Doutorado em Educação), Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2008.
MACHADO, R. M. A Visualização na resolução de problemas de Cálculo Diferencial e
Integral no ambiente computacional MPP. Tese (Doutorado em Educação), Universidade
Estadual de Campinas, 2008.
OLIVEIRA, F. L. A produção de conhecimento matemático acerca de funções de duas variáveis. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2014. PRESMEG, N.C. Research on visualization in learning and teaching mathematics: Emergence from psychology. Disponível em:< http://www.kaputcenter.umassd.edu/downloads/symcog/bib/pmeVisualizationFinalAPA.pdf>. Acesso em: 23 de outubro de 2013.
REZENDE, W.M. O ensino de cálculo: dificuldades de natureza epistemológica. Tese
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VILLARREAL, M. E. O pensamento matemático de estudantes universitários de Cálculo
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Estadual Paulista, Rio Claro, 1999.
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Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa. Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED
Da Universidade Federal de Ouro Preto, em Agosto de 2014
sobre papel 100% reciclato (miolo) 90g/m2 e (capa) 300 g/m2