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notas de aula
de
funes de vrias variveis
cincias uema
Elaborada por :
Raimundo Merval Morais Gonalves Licenciado em Matemtica/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Cincias/UEMA
So Lus MaAGOSTO / 2011
NDICE
p.
1. Funes de vrias variveis ......................................................... 03
2. Limites e Continuidade ................................................................. 07
3. Derivadas Parciais ....................................................................... 10
4. Regra da Cadeia ............................................................................ 15
5. Derivadas Parciais Direcionais ..................................................... 20
6. Plano Tangente e Reta Normal ..................................................... 24
7. Pontos Extremos Mximos e Mnimos ....................................... 26
8. Mximos e Mnimos Restritos ....................................................... 29
9. Integrais Duplas ........................................................................... 32
10. Integrais Triplas ............................................................................ 46
11. Coordenadas Polares .................................................................. 44
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FUNES DE VRIAS VARIVEIS
1. INTRODUO Vamos estender o conceito de funo a funes de mais de uma varivel independente. Tais funes ocorrem frequentemente em situaes prticas. Por exemplo, a rea aproximada da su-perfcie do corpo de uma pessoa depende do seu peso e altura. O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e a altura. De acordo com a lei do gs ideal, o volume ocupado por um gs confi-nado diretamente proporcional sua temperatura e inversamente proporcional sua presso. O custo de um determinado produto pode depender do custo do trabalho, preo de materiais e despesas gerais. Para ampliar o conceito de funo a funes de um nmero qualquer de variveis, precisa-mos primeiro considerar pontos num espao numrico n-dimensional. Da mesma forma que denota-mos um ponto em R por um nmero real x, um ponto em R 2 por um par ordenado de nmeros reais ( x, y ) e um ponto em R 3 por um tripla ordenada de nmeros reais ( x, y, z ), um ponto do espao n-dimensional, R n , representado por uma nupla de nmeros reais, sendo comumente denotado por P = ( x 1, x 2, x 3, . . . , x n )
2. FUNES DE DUAS VARIVEIS DEFINIO : Uma funo de duas variveis reais a valores reais uma funo : A B, onde A
R 2. Uma tal funo associa a cada par ( x, y ) A, um nico nmero ( x, y ) R. O domnio todo o plano xy ou parte dele.
EXEMPLOS :a) ( x, y ) = x2 2xy b) g( x, y ) = x y 2 c) z = x2 + y2
OBSERVAO : Quando os valores de uma funo so dados por uma frmula e no descrevemos ex-plicitamente o Domnio da funo, admitimos que o domnio consista de todos os pontos ( x, y ) para os quais a frmula definida.
2. 1 GRFICO O grfico de uma funo ( x, y ) uma superfcie que representa o conjunto de pontos ( x, y, z ) R 3 para os quais ( x, y) R 2 ( domnio) e z = ( x, y ).
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2.2 CURVAS DE NVEL A representao geomtrica de uma funo de duas variveis no tarefa fcil. Ento quando se pretende ter viso geomtrica da funo, utiliza-se as suas curvas de nvel, por ser mais fcil de se obter a sua representao geomtrica. Uma curva de nvel de uma funo ( x, y ) a curva ( x, y ) = c ( c = cte ) no plano xy, logo a curva de nvel consiste dos pontos ( x, y ) R 2 onde a funo tem valor c .
3. FUNES DE TRS VARIVEIS DEFINIO : Uma funo de trs variveis reais, definida em A R 3, uma funo que associa, a
cada terno ( x, y, z ) A, um nico nmero real w = ( x, y, z ) R. O domnio todo o R 3 ou parte dele.
EXEMPLOS :
a) ( x, y, z ) = x 2 + 2xy z b) g( x, y, z ) = 2x2 + y2 z3 c) w = x2 3z2 + y
3. 1 SUPERFCIES DE NVEL O grfico de uma funo de trs variveis um subconjunto do espao de quatro di -menses e, como tal, no temos a possibilidade de represent-lo em um desenho. Dizemos que se trata de uma hipersuperfcie de R 4 . De modo geral, o grfico de uma funo : A R , onde A R n uma hipersuperf-cie do espoco R n + 1 . Como j foi dito no possvel visualizar o grfico de uma funo de trs variveis, pois o grfico em 4 dimenses. Em vez disso, consideramos suas Superfcies de Nvel. Uma superfcie de nvel de ( x, y, z ) uma superfcie ( x, y, z ) = c no R 3, onde a funo tem valor constante.
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Seja a funo definida por ( x , y ) = 1 + 3x2 y . Determine :
a) Domnio de ; b) ( 1, 4 ) c) ( 0, 9 ) d) ( 1, 1 )
2. Determinar as superfcies de nvel da funo w = 2 2 2x y z+ + . Dar exemplos de trs pontos per-tencentes ao grfico de w .
3. Determinar o domnio e descrever o mesmo das funes :
a) ( x, y ) = ln ( x 2 y ) b) ( x, y ) = 2 2x y 4+
c) ( x, y, z ) = ln ( 16 4x 2 4y 2 z 2 ) d) ( x, y ) = 2
2
y x1 x
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LISTA DE EXERCCIOS
1. Encontrar uma funo de vrias variveis que nos d :
a) O volume de gua necessrio para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura.
b) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, numericamente igual a distn-cia do ponto ao centro da esfera .
2. Seja a funo g(x, y) = yx 2 . Calcule a imagem dos pontos abaixo .
a) P( 3, 5 ) b) M( 4 , 9 ) c) T( x + 2 , 4x + 4 )R. 2 ; 5
3. Esboce o grfico das funes abaixo :
a) ( x, y ) = x + y 4 b) g( x, y ) = x 2 + y 2
c) h( x, y ) = 22 yx25 d) ( x, y ) = 1 x 2 y
4. Encontre o domnio e conjunto imagem das funes de duas variveis abaixo .
a) ( x, y) = yx1 b) g( x, y) = ln ( xy 1) c) z = yx +
d) g( x, y ) = x 2 + y 2 2 e) ( x, y ) = 22 yxe + g) h( x, y ) = 2 29 x y
5. Trace algumas curvas de nvel das funes abaixo:
a) ( x, y ) = x 2y b) g( x, y ) = x 2 + y c) ( x, y ) = y . sen x
d) z = x . y e) h( x, y ) = x 2 + y 2 9
6. Encontre o domnio das funes abaixo :
a) ( x, y, z ) = 2x + y + z 2 b) g( x, y, z ) = ln (x2 + y2 4)
c) ( x, y, z ) = x1
+ y . z d) ( r, s, v, p ) = rs 2 + tg v + 4sv
e) h( x, y ) = 9yx 22 + f) h( x, y, z ) = 2x51
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7. Dada a funo h(x, y) = 22 yx25 .
a) Determine o seu domnio e o represente no plano xy;
b) Escreva a equao da curva de nvel c = 4 e a represente no plano xy.
8. A temperatura do ponto P( x, y) de uma chapa dada por T( x, y) = 2x2 + y 2 6. Determine a equa-o da isoterma que passa pelo ponto A( 1, 4 ) e a represente no plano xy.
9. O potencial eltrico em uma regio do plano xy dado por V( x, y ) = 22 yx120
+ (V medido em
volts) .
a) Qual o lugar geomtrico dos pontos cujo potencial 30 volts?
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto P( 1, 1 ).
10. Seja R(x, y) = 2x + 3y a receita de vendas de dois produtos de qualidades x e y. Esboce o grfico dos (x, y) para os quais R = 120, tal curva chamada em Economia de isoreceita.
11. Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preos unitrios so R$ 10,00 e R$ 30,00 respectivamente.
a) Determine a funo receita R( x, y ) ; b) Calcule R( 20, 40 ) ;
c) Represente graficamente os pares para os quais R = R$ 1200,00.R. b) R$ 1400,00
12. Seja ( x, y ) = 3x + 2y. Calcule:
a) ( 1, 1 ) b) h
)y,x(f)y,hx(f +
R . a ) 1 e b) 3
13. Considere a funo dada por ( x, y ) = 1x
y
.
a) Determine o conjunto domnio e o conjunto imagem da funo ;
b) Esboce algumas curvas de nvel da funo.
14. Hughes 299. A temperatura ajustada pelo fator vento( sensao trmica ) a temperatura que voc sente como resultado da combinao do vento e da temperatura , conforme tabela 2 .
a) Se a temperatura de 0 C e a velocidade do vento de 15 km/h, que temperatura voc sente ?
b) Se a temperatura de 35 C e a velocidade do vento de 15 km/h, que temperatura voc sente ?
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15. Hughes 306 . Esboce um diagrama de curvas de nvel correspondente funo C ( d, m ) = 40d + 0,15m. Inclua curvas de nvel com os valores C = 50, C = 100, C = 150 e C =200.
16. Hughes 306 . A figura abaixo representa as curvas de nvel da funo z = ( x, y ). A funo z crescente ou decrescente em relao varivel x ? E em relao varivel y ?
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LIMITES E CONTINUIDADE
1. INTRODUO Enquanto um ponto varivel x num eixo coordenado pode se aproximar de um ponto fixo x o por apenas dois sentidos, um ponto varivel ( x, y ) num plano coordenado pode se aproximar de um ponto fixo P( x o , y o ) por um nmero infinito de caminhos.
DEFINIO : Dizemos, que o limite de ( x, y ) o nmero L e escrevemos LyxfPyx = ),(lim),(, desde que o valor de ( x, y ) da funo em ( x, y ) tende a L, quando ( x, y ) tende a ( x o , y o ) sobre todos os caminhos que esto no domnio de