relações e funções aproximadas: uma abordagem baseada na

Relações e Funções Aproximadas:

Uma Abordagem Baseada

na Teoria de Conjuntos Aproximados

Joaquim Quinteiro Uchôa

&

Maria do Carmo Nicoletti

Universidade Federal de São Carlos (UFSCar)

Departamento de Computação (DC)

C. P. 676 - 13.565-905 - São Carlos (SP) - Brasil

e-mail: joaquim,[email protected]

Resumo: Esse trabalho apresenta e discute a extensão dos conceitos básicos da Teoria de

Conjuntos Aproximados (TCA) a relações e funções entre conjuntos, evidenciando alguns

problemas quando da prova de certas propriedades que na literatura são assumidas como

válidas. É também apresentado um formalismo, baseado em conjuntos aproximados, para a

obtenção da reta real aproximada.

Palavras-chaves: Teoria de Conjuntos Aproximados (TCA), espaços e conjuntos

aproximados, relações e funções aproximadas, reta real aproximada.

Índice

Relações e Funções Aproximadas:Uma Abordagem Baseada na Teoria de Conjuntos Aproximados

1 Introdução 1

2 Espaços e Conjuntos Aproximados 1

3 Função de Pertinência Aproximada 4

4 Inclusão Aproximada e Igualdade Aproximada de Conjuntos 6

5 Relações Aproximadas 115.1 Conceitos Básicos 115.2 Aproximações de Relações Aproximadas 145.3 Propriedades de Relações Aproximadas 15

6 Conjuntos Aproximados na Reta Real 346.1 Considerações Iniciais 346.2 Espaço Real Aproximado 346.3 Seqüências Aproximadas de Reais 396.4 Funções Aproximadas Reais 40

7 Funções Aproximadas 43

8 Conclusões 46

Apêndice APré-requisitos Matemáticos 48

A.1 Conjuntos 48

A.2 Relações, Relações de Ordem, Relações de Equivalência e Partição de um Conjunto 49

A.3 Funções, Seqüências, Limites e Continuidade 51A.3.1 Funções e Funções Reais 51A.3.2 Limite e Continuidade de uma Função 52A.3.3 Seqüências e Limites de Seqüências 52

Referências Bibliográficas 54

Relações e Funções Aproximadas:Uma Abordagem Baseada na Teoria de Conjuntos

Aproximados

1 Introdução

O objetivo principal deste relatório técnico é o de investigar a extensão dos conceitos básicos da

Teoria de Conjuntos Aproximados (TCA) a relações e funções entre conjuntos. A TCA foi

inicialmente proposta por Pawlak em [Pawlak (1982)] como um formalismo matemático para

tratamento de incerteza e posteriormente foi utilizada para subsidiar técnicas de aprendizado

indutivo de máquina em Sistemas Baseados em Conhecimento (SBCs).

Este relatório técnico dá continuidade a um conjunto de relatórios técnicos do

Departamento de Computação da Universidade Federal de São Carlos (DC/UFSCar), dedicados

ao estudo e análise da TCA.

O trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2, são revistos os conceitos básicos

da TCA, bem como alguns exemplos de aplicação desta teoria; na Seção 3, é apresentada a

função de pertinência aproximada, usada para o estabelecimento de algumas equivalências da

Seção 4, onde são definidos os conceitos de inclusão aproximada e igualdade aproximada de

conjuntos. A Seção 5 apresenta o conceito de relações aproximadas e discute algumas

propriedades tidas como válidas pela comunidade da TCA. Nessa seção é ainda demonstrado

que várias dessas propriedades não se verificam, sendo apontadas diversas inconsistências.

Além disso, são fornecidas provas formais da validade de propriedades que se verificam,

permitindo uma reescrita do texto das propriedades analisadas. A Seção 6, por sua vez, apresenta

um formalismo para obtenção de conjuntos aproximados na reta real, apresentando também o

conceito de função real aproximada. Conceito esse que é estendido por nós na Seção 7, para

funções aproximadas, permitindo novas possibilidades de se abordar funções em espaços

aproximados. Por último, a Seção 8 apresenta as principais conclusões e aponta trabalhos

futuros. Ao fim do texto, um apêndice fornece ao leitor subsídios matemáticos sobre conjuntos,

relações e funções.

2 Espaços e Conjuntos Aproximados

Essa seção apenas introduz as noções essenciais de espaço e conjunto aproximados; para uma

abordagem mais detalhada desses conceitos ver [Pawlak (1991)] ou [Uchôa & Nicoletti (1997)].

Um espaço aproximadoé um par ordenadoA U R= ( , ), ondeU é um conjunto finito e

não-vazio de objetos, denominadouniverso, e R é uma relação de equivalência emU,

denominada derelação de indiscernibilidade. Objetos pertencentes a uma classe de

1

Relações e Funções Aproximadas: Uma Abordagem Baseada na Teoria de Conjuntos Aproximados

equivalência deR são ditos seremindiscerníveis. Com efeito, sexRy, entãox e y são

indiscerníveis.

Obviamente,R induz uma partição (e conseqüentemente, classificação) dos objetos deU;

as classes de equivalência deR são chamadasconjuntos elementaresde A (assume-se que o

conjunto vazio também é um conjunto elementar). Dessa forma, a partição deU porR, notada

porU R, pode ser vista como o conjunto~

,..., R U R E En= = 1 , onde cadaE i , 1≤ ≤i n, é um

conjunto elementar deA. Note que objetos deU pertencentes a um mesmo conjunto elementar

são indiscerníveis. Uma outra notação possível para conjuntos elementares é aquela que usa a

notação convencional de classes de equivalência: dado um conjunto elementarE i que possui o

elementox, entãoE i pode ser notado como[ ] | x y U xRyR = ∈ .

DadoX U⊆ , é importante verificar quão bem os elementos deXpodem ser definidos pelos

conjuntos elementares deA. Com esse objetivo, são definidas:

1. Aproximação inferiordeXemA, formada pela união dos conjuntos elementares deA

que estão totalmente contidos emX,

A X E x x XA i

Ei

U R i n

R

Ei

X−

⊆ ≤ ≤

= = ⊆⊆

inf

,

( ) |[ ]

1

U

2. Aproximação superiordeXemA,formada pela união dos conjuntos elementares deA

que possuem elementos pertinentes aX,

A X E x x XA i

Ei

U R i n

R

Ei X−

⊆ ≤ ≤

= = ∩ ≠ ∅∩ ≠∅

sup

,

( ) |[ ]

1

U

Quando o espaço aproximadoAé conhecido e não há risco de confusão, escreve-seA Xinf ( )

e A Xsup ( ), em substituição aAA−inf e AA−sup , respectivamente, por razões de simplicidade. Dadas

as aproximações inferior e superior de um conjuntoX U⊆ , é possível evidenciar três regiões

associadas aX, emU:

1. Região positivadeX emA, pos XA ( ), formada pelos conjuntos elementares deA que

estão totalmente contidos emX. Pode-se afirmar com certeza que elementos desta

região pertencem aX. Essa região é igual à aproximação inferior deX emA:

pos X A XA ( ) ( )inf=

2. Região negativadeX emA, neg XA ( ), formada pelos conjuntos elementares deA que

não possuem nenhuma intersecção comX. Observe que essa região é formada pelos

elementos deU que não pertencem à aproximação superior deX emA , ou seja,

2


neg X U A XA ( ) ( )sup= −

3. Região duvidosadeX emA, duv XA ( ), também chamada defronteiradeX, formada

pelos conjuntos elementares deA que não pertencem à região positiva ou à região

negativa deX em A. Dado um elemento desta região, não é possível afirmar com

certeza se pertence ou não aX. Observe que essa região é formada pelos elementos da

aproximação superior deXemAque não pertencem à aproximação inferior deXemA,

ou seja,

duv X A X A XA ( ) ( ) ( )sup inf= −

QuandoAé conhecido e não há risco de confusão, escreve-sepos X( ),neg X( )eduv X( ), em

substituição apos XA ( ), neg XA ( ) e duv XA ( ), respectivamente.

Dado um espaço aproximadoA U R= ( , ), o conjuntoX U⊆ pode ou não ter suas fronteiras

claramente definidas em função dos conjuntos elementares deA. Isso leva ao conceito de

conjuntos aproximados. O conjunto aproximado ′X deX é uma aproximação deX , através de

A Xinf ( ) e A Xsup ( ). Assim, o conjunto aproximado ′X de X, pode ser definido pelo par

′ =X A X A Xinf sup( ), ( ) , conforme proposto em [Klir & Yuan (1995), p.481-483] ou então

como sendo a família de todos os subconjuntos deU que possuem a mesma aproximação

superior e a mesma aproximação inferior com relação aX em A, como proposto em

[Pawlak(1982)]. Conforme comentado em [Nicoletti & Uchôa (1997a)], essas duas definições

são equivalentes e expressam o mesmo conceito.

Conceitos da TCA são utilizados principalmente no contexto de Sistemas de

Representação de Conhecimento (SRCs). UmSistema de Representação de Conhecimentoé

uma 4-uplaS U Q V= ( , , , )ρ , ondeU é o universo finito deS. Os elementos deU são chamados

objetos, que são caracterizados por um conjunto deatributos e seus respectivosvalores. O

conjunto de atributos responsáveis pela caracterização dos elementos deU é dado porQ.

V Vqq Q

=∈U é o conjunto dos valores de atributo;Vq é o domínio do atributoq. Por sua vez,

ρ:U Q V× → é umafunção de descriçãotal queρ( , )x q Vq∈ parax U∈ eq Q∈ . Esses conceitos

serão expostos no Exemplo 1, a seguir. Para um estudo mais aprofundado das relações existentes

entre SRCs e a TCA ver [Pawlak (1991)] e [Nicoletti & Uchôa (1998)].

Exemplo 1: Seja S U Q V= ( , , , )ρ o SRC fornecido pela Tabela 1. Nesse caso,

U x x x x x x x x x= , , , , , , , , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,Q a b c d= , , , ,V V V Va b c d= = = = , 01 e, como exemplos da

função de descrição, temos:

ρ( , )x a1 1= ρ( , )x b1 0= ρ( , )x c2 1=

ρ( , )x d3 1= ρ( , )x b4 1= ρ( , )x d9 0=

3


Observe que os valores dos atributos deQ produzem uma relação de indiscernibilidade entre os

objetos. Assim, por exemplo,x1 ex2 são indiscerníveis com relação ao conjunto de atributosQ.

Assim, Q induz um espaço aproximadoA U Q= ( , ), onde a partição deU por Q é dada por

U Q x x x x x x x x x= , , , , , , , , 1 2 3 7 4 8 5 9 6 , sendo que os conjuntos elementares deA

(exceto o conjunto vazio) encontram-se representados na Tabela 2.

Dessa forma, dado um conjunto de objetos deU, é possível sua análise pela ótica da TCA. Seja,

por exemplo,X U⊆ tal queX x x x x= , , , 1 3 5 7 . As aproximações e regiões deXemAsão dadas

por:

A X E x xinf ( ) , = =2 3 7

A X E E E x x x x x xsup ( ) , , , , , = ∪ ∪ =1 2 4 1 2 3 5 7 9

pos X A X x x( ) ( ) , inf= = 3 7

neg X U A X x x x( ) ( ) , , sup= − = 4 6 8

duv X A X A X x x x x( ) ( ) ( ) , , , sup inf= − = 1 2 5 9

3 Função de Pertinência Aproximada

SejaA U R= ( , ) um espaço aproximado eX U⊆ . A função de pertinência aproximadadeX no

espaçoA, proposta em [Pawlak (1994)], tem por objetivo principal expressar a quantidade de

4


U a b c d

x1 1 0 1 1

x2 1 0 1 1

x3 0 1 0 1

x4 1 1 1 1

x5 1 1 1 0

x6 1 0 1 0

x7 0 1 0 1

x8 1 1 1 1

x9 1 1 1 0

Tabela 1

Exemplo de sistema de representaçãode conhecimento, ondeU x x= ,... , 1 9

eQ a b c d= , , ,

U Q a b c d

E x x1 1 2= , 1 0 1 1

E x x2 3 7= , 0 1 0 1

E x x3 4 8= , 1 1 1 1

E x x4 5 9= , 1 1 1 0

E x5 6= 1 0 1 0

Tabela 2

Conjuntos elementares gerados peloSRC fornecido pela Tabela 1

incerteza quanto à pertinência de um elemento qualquerx U∈ , ao conjuntoX. Ela é definida

como:

µ X

A R

R

xx X

x( )

[ ]

[ ]=

∩

A notaçãoµ X

A x( ) pode ser substituída porµ X x( ), quandoA é conhecido e não há risco de

confusão. Conforme apontado em [Pawlak & Skowron (1994)], a função de pertinência

aproximada possui as seguintes propriedades:

µ X x x neg x( ) ( )= ⇔ ∈0

µ X x x pos x( ) ( )= ⇔ ∈1

0 1< < ⇔ ∈µ X x x duv x( ) ( )

0 1≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ⊆µ X x x U X U( ) , ,

µ µX Xx x( ) ( )= −1

sexRy, entãoµ µX Xx y( ) ( )=

µ µ µX Y X Yx x x∪ ≥( ) max[ ( ), ( )]

µ µ µX Y X Yx x x∩ ≤( ) min[ ( ), ( )]

Observe que a função de pertinência pode ser utilizada para redefinir os conceitos de

aproximações e regiões de um conjunto. Com efeito, dado um espaço aproximadoA U R= ( , ) e

um conjuntoX U⊆ , então:

A X x U xXinf ( ) | ( ) = ∈ =µ 1

A X x U xXsup ( ) | ( ) = ∈ >µ 0

pos X x U xX( ) | ( ) = ∈ =µ 1

neg X x U xX( ) | ( ) = ∈ =µ 0

duv X x U xX( ) | ( ) = ∈ < <0 1µ

Exemplo 2: Sejam A U S= ( , ) o espaço aproximado do Exemplo 1 eX U⊆ tal que

X x x x x= , , , 1 3 5 7 . Nesse caso, tem-se:

5


µ X

R

R

xx x x x x

x

x x x x x( )

[ ] , , ,

[ ]

, , , ,1

1 1 3 5 7

1

1 2 1 3 5=∩

=∩ x

x x

x

x x

7

1 2

1

1 2

05

,

| |

| , |.= =

µ X x( ) .2 05=

µ µX Xx x( ) ( )3 7 1= =

µ µ µX X Xx x x( ) ( ) ( )4 6 8 0= = =

µ µX Xx x( ) ( )5 9 0= =

4 Inclusão Aproximada e Igualdade Aproximada de Conjuntos

A seção anterior estendeu o conceito de pertinência de elementos a conjunto, da teoria clássica de

conjuntos, permitindo assim a proposta de uma relação de pertinência aproximada de elementos

a conjunto. De maneira análoga, o conceito de “aproximado” pode ser estendido à inclusão e

igualdade entre conjuntos. Dessa forma, dado um espaço aproximadoA U R= ( , ) e X Y U, ⊆ ,

diz se que:

1. X é aproximadamente inf-incluídoem Y, notado porX YA

⊂~

, se e somente se

A X A Yinf inf( ) ( )⊆

2. X é aproximadamente sup-incluídoem Y, notado porX YA

~⊂ , se e somente se

A X A Ysup sup( ) ( )⊆

3. X é aproximadamente incluídoem Y se e somente seA X A Yinf inf( ) ( )⊆ e

A X A Ysup sup( ) ( )⊆ , isto é,X YA

⊂~

e X YA

~⊂ , sendo notado porX YA

~~⊂ .

Se X YA

~~⊂ (ou X Y

A

⊂~

, ou X YA

~⊂ ), então diz-se queX é umA-subconjunto aproximado

(A-subconjunto inferior aproximado,A-subconjunto superior aproximado) deY. QuandoA é

conhecido e não existe risco de confusão, escreve-seX Y~~⊂ , X Y⊂

~e X Y~⊂ , ao invés deX Y

A

~~⊂ ,

X YA

⊂~

e X YA

~⊂ , respectivamente.

Se existemk classes de equivalência em~R, isto é, seU R k= , então há2k possíveis

aproximações inferiores e2k possíveis aproximações superiores1. Donde seria de se supor que

existissem2 2 22k k k× = A-subconjuntos aproximados deU. No entanto, como observado em

[Pawlak (1994a)], existem ao todo

6


1 2k é o número de possíveis subconjuntos de um conjunto comk elementos.

k

ii

k

k k

=

=

−∑1

12 3

A-subconjuntos aproximados deU. A afirmação de Pawlak, constante dessa última referência,

de que “existem2k A-subconjuntos inferiores aproximados e2k A-subconjuntos superiores

aproximados deU” não procede, haja vista ser facilmente verificável que existem3k

A-subconjuntos inferiores aproximados e3k A-subconjuntos superiores aproximados deU e,

conseqüentemente, 3k A-subconjuntos aproximados deU. Para isso, basta observar que, em se

tratando do conjunto universoU, qualquer um de seusA-subconjuntos inferiores aproximados é

um A-subconjunto superior aproximado e vice-versa. Isso pode ser verificado no Exemplo 3

(mais especificadamente na Tabela 5) a seguir.

Exemplo 3: SejaS U Q V= ( , , , )ρ o SRC fornecido pela Tabela 3, a seguir. Nesse caso tem-se

U Q x x x x x x x x x= , , , , , , , , 1 2 6 3 7 4 5 8 9 , sendo que os conjuntos elementares deA (exceto o

conjunto vazio) encontram-se representados na Tabela 4. Os subconjuntos aproximados deU,

utilizando a notação proposta em [Klir & Yuan (1995)] para representação de conjuntos

aproximados, encontram-se listados na Tabela 5.

O conceito de inclusão aproximada pode ser definido também utilizando a função de

pertinência aproximada, como proposto em [Pawlak (1994a)] :

X Y x x x UA

X Y

~ ( ) ( ),~⊂ ⇔ ≤ ∀ ∈µ µ (A)

7


U a b c

x1 1 0 1

x2 1 0 1

x3 0 1 0

x4 1 1 1

x5 1 1 1

x6 1 0 1

x7 0 1 0

x8 1 1 1

x9 1 1 1

Tabela 3

Sistema de representação deconhecimento ondeU x x= ,... , 1 9

eQ a b c= , ,

U Q a b c

E x x x1 1 2 6= , , 1 0 1

E x x2 3 7= , 0 1 0

E x x x x3 4 5 8 9= , , , 1 1 1

Tabela 4

Conjuntos elementares gerados pelo SRCfornecido pela Tabela 3

Lembramos, entretanto, que a definição acima e a expressa no item 3 (p. 6) não são

equivalentes. O Exemplo 4 mostra uma situação onde ambas as definições coincidem;

entretanto, o Exemplo 5 mostra que elas podem produzir resultados diferentes.

⟨∅ ∅⟩, ⟨∅ ∪ ⟩,E E1 2 ⟨∅ ∪ ∪ ⟩,E E E1 2 3

⟨∅ ⟩,E1 ⟨∅ ∪ ⟩,E E1 3

⟨∅ ⟩,E2 ⟨∅ ∪ ⟩,E E2 3

⟨∅ ⟩,E3

⟨ ⟩E E1 1, ⟨ ⟩E E2 2, ⟨ ⟩E E3 3,

⟨ ∪ ⟩E E E1 1 2, ⟨ ∪ ⟩E E E2 1 2, ⟨ ∪ ⟩E E E3 1 3,

⟨ ∪ ⟩E E E1 1 3, ⟨ ∪ ⟩E E E2 2 3, ⟨ ∪ ⟩E E E3 2 3,

⟨ ∪ ∪ ⟩E E E E1 1 2 3, ⟨ ∪ ∪ ⟩E E E E2 1 2 3, ⟨ ∪ ∪ ⟩E E E E3 1 2 3,

⟨ ∪ ∪ ⟩E E E E1 2 1 2, ⟨ ∪ ∪ ⟩E E E E1 3 1 3, ⟨ ∪ ∪ ⟩E E E E2 3 2 3,

⟨ ∪ ∪ ∪ ⟩E E E E E1 2 1 2 3, ⟨ ∪ ∪ ∪ ⟩E E E E E1 3 1 2 3, ⟨ ∪ ∪ ∪ ⟩E E E E E2 3 1 2 3,

⟨ ∪ ∪ ∪ ∪ ⟩E E E E E E1 2 3 1 2 3,

Tabela 5

33 possíveis subconjuntos aproximados deU, ondeU Q = 3

Exemplo 4: Sejam A U S= ( , ) o espaço aproximado do Exemplo 1 eX Y Z U, , ⊆ tal que

X x x x x= , , , 1 3 5 7 , Y x x x x x x= , , , , , 1 2 3 5 7 9 e Z x x x x= , , , 2 3 7 9 . As aproximações inferiores e

aproximações superiores deX, Y eZ emA são dadas por:

A X x xinf ( ) , = 3 7 e A X x x x x x xsup ( ) , , , , , = 1 2 3 5 7 9

A Y x x x x x xinf ( ) , , , , , = 1 2 3 5 7 9 e A Y x x x x x xsup ( ) , , , , , = 1 2 3 5 7 9

A Z x xinf ( ) , = 3 7 e A Z x x x x x xsup ( ) , , , , , = 1 2 3 5 7 9

Com isso, através da definição de inclusão aproximada de conjuntos expressa no item 3., p. 6,

utilizando-se de aproximações inferiores e aproximações superiores, tem-se os seguintes

resultados:

X Y~~⊂ , pois X Y⊂

~e X Y~⊂

Z Y~~⊂ , pois Z Y⊂

~e Z Y~⊂

X Z~~⊂ , pois X Z⊂

~e X Z~⊂

Z X~~⊂ , pois Z X⊂

~e Z X~⊂

Y X~⊂ e Y Z~⊂

8


Para utilização da definição de inclusão aproximada de conjuntos expressa em (A), na página

anterior, é necessário antes o cálculo da função de pertinência de um elemento a cada um dos

conjuntosX, Y e Z. Isso é fornecido pela Tabela 6, a seguir. Com os dados da função de

pertinência, pode-se facilmente constatar que:

X Y~~⊂ , poisµ µX Yx x x U( ) ( ),≤ ∀ ∈

Z Y~~⊂ , poisµ µZ Yx x x U( ) ( ),≤ ∀ ∈

X Z~~⊂ , poisµ µX Zx x x U( ) ( ),≤ ∀ ∈

Z X~~⊂ , poisµ µZ Xx x x U( ) ( ),≤ ∀ ∈

U µX µY µ Z

x112 1 1

2

x212 1 1

2

x3 1 1 1

x4 0 0 0

x512 1 1

2

x6 0 0 0

x7 1 1 1

x8 0 0 0

x912 1 1

2

Tabela 6

Grau de pertinência dos elementos deU x x= ,... , 1 9 , a X x x x x= , , , 1 3 5 7 ,aY x x x x x x= , , , , , 1 2 3 5 7 9 e aZ x x x x= , , , 2 3 7 9 em A

Exemplo 5: Sejam A U S= ( , ) o espaço aproximado do Exemplo 3 eX Y U, ⊆ tais que

X x x x x x= , , , , 1 3 4 5 7 e Y x x x x x= , , , , 1 2 3 7 8 . As aproximações inferiores e as aproximações

superiores deX eY emA, são portanto:

A X x xinf ( ) , = 3 7 e A X Usup ( ) =

A Y x xinf ( ) , = 3 7 e A Y Usup ( ) =

Ou seja, pela definição de inclusão aproximada expressa no item 3., p.6, utilizando-se de

aproximações inferiores e superiores, tem-se:

X Y~~⊂ , pois X Y⊂

~e X Y~⊂

9


Y X~~⊂ , pois Y X⊂

~e Y X~⊂

No entanto, pela definição de inclusão aproximada expressa em (A), p. 7, utilizando-se da

função de pertinência, tantoX Y~~⊂ comoY X~

~⊂ não são válidos. Isso pode ser constatado na

Tabela 7, verificando queµ µX Yx x( ) ( )≤ eµ µY Xx x( ) ( )≤ não são válidos para todox ∈ U.

U µX µY

x113

23

x213

23

x3 1 1

x412

14

x512

14

x613

23

x7 1 1

x812

14

x912

14

Tabela 7

Grau de pertinência dos elementos deU x x= ,... , 1 9 aX x x x x x= , , , , 1 3 4 5 7 e aY x x x x x= , , , , 1 2 3 7 8 , em A

Da teoria clássica de conjuntos, tem-se que dois conjuntosX e Y são iguais seX for

subconjunto deY e vice-versa, isto é,

X Y X Y= ⇔ ⊆ eY X⊆

Da mesma forma, o conceito de igualdade aproximada de conjuntos é definido tendo como

base o conceito de inclusão aproximada de conjuntos. Dado um espaço aproximadoA U R= ( , ) e

X Y U, ⊆ , e utilizando os conceitos de inclusão aproximada através de aproximações inferiores e

aproximações superiores (p. 6) tem-se que:

1. X é aproximadamente inf-iguala Y, notado porX YA

=~

, se e somente seX YA

⊂~

e

Y XA

⊂~

, isto é,A X A Yinf inf( ) ( )=

2. X é aproximadamente sup-igualaY, notado porX YA~= , se e somente seX YA

~⊂ e

Y XA

~⊂ , isto é,A X A Ysup sup( ) ( )=

3. Xéaproximadamente igualaY, notado porX YA≈ , se e somente seX YA

~~⊂ eY X

A

~~⊂ ,

isto é, A X A Yinf inf( ) ( )= e A X A Ysup sup( ) ( )= , ou ainda,X YA

=~

e X YA~=

10


QuandoA é conhecido e não há risco de confusão, escreve-seX Y=~

, X Y~= e X Y≈ , ao

invés deX YA

=~

, X YA~= e X YA≈ , respectivamente.

Exemplo 6: SejamA U S= ( , ) o espaço aproximado do Exemplo 1 eX Y Z U, , ⊆ tais como

foram definidos no Exemplo 4. Tem-se, então:

X Y/≈ , pois X Y~= ( X Y~⊂ eY X~⊂ ) masX Y/=~

(X Y/⊂~

e Y X/⊂~

)

Z Y/≈ , poisZ Y~= (Z Y~⊂ eY Z~⊂ ) masZ Y/=~

(Z Y/⊂~

e Y Z/⊂~

)

X Z≈ , poisX Z~~⊂ e Z X~

~⊂

A igualdade aproximada também pode ser definida utilizando-se a função de pertinência

aproximada:

X YA≈ µ ⇔ X Y~~⊂ eY X~

~⊂ ⇔ µ µX Yx x( ) ( )= , ∀ ∈x U (B)

QuandoAé conhecido e não há risco de confusão, escreve-seX Y≈µ , ao invés deX YA≈ µ .

Conforme apontado por [Pawlak (1994a)], as duas definições de igualdade aproximada não são

equivalentes, como ilustra o Exemplo 7 a seguir.

Exemplo 7: SejamA U S= ( , ) o espaço aproximado do Exemplo 3 eX Y U, ⊆ tais como foram

definidos no Exemplo 5. Pelo conceito de igualdade aproximada, exposto no item 3., na página

anterior, utilizando-se aproximações inferiores e superiores, tem-se queX Y≈ . Pelo conceito de

igualdade aproximada definido em (B), utilizando-se a função de pertinência, pode ser

facilmente verificado, no entanto, que o mesmo não ocorre (bastando para isso examinar a

Tabela 7, na página anterior; como já observado no Exemplo 5, nem mesmoX Y~~⊂ ou Y X~

~⊂ são

válidos, se utilizado o conceito de inclusão aproximada usando função de pertinência). Dessa

contradição, facilmente se conclui que as duas definições de igualdade aproximada não são

equivalentes.

5 Relações Aproximadas

5.1 Conceitos Básicos

SejamA U R1 1 1= ( , ) e A U R2 2 2= ( , ) dois espaços aproximados. O produto deA1 por A2 é o

espaço aproximado denotado porA U R= ( , ), ondeU U U= ×1 2 e a relação de indiscernibilidade

R U U⊆ ×( )1 2

2 é definida por(( , ),( , ))x y x y R1 1 2 2 ∈ ⇔ ( , )x x R1 2 1∈ e ( , )y y R1 2 2∈ , onde

x x U1 2 1, ∈ e y y U1 2 2, ∈ .

11


Os elementos( , )x y1 1 e( , )x y2 2 são indiscerníveis emRse e somente se os elementosx1 ex2

forem indiscerníveis emR1 e y1 e y2 forem indiscerníveis emR2 . Isso implica que[( , )]x y R , a

classe de equivalência deR contendo( , )x y , deve ser igual ao produto cartesiano de[ ]x R1

por

[ ]y R2

, como pode ser observado no Exemplo 8. Tem-se queR, da maneira como foi definida, é

uma relação de equivalência (indiscernibilidade), pois:

a) é reflexiva:

ComoR1 e R2 são relações de equivalência emU 1 e U 2 , respectivamente, então

( , )u u R1 1 1∈ , ∀ ∈u U1 1 e ( , )u u R2 2 2∈ , ∀ ∈u U2 2 . Pela definição deR, entretanto,

tem-se que se( , )u u R1 1 1∈ e ( , )u u R2 2 2∈ ⇔ (( , ),( )),u u u u R1 2 1 2 ∈ ⇔ R é reflexiva.

b) é simétrica:

Dado queR1 eR2são relações de equivalência emU 1 eU 2 , respectivamente,R1 eR2

são simétricas, i.e.,

w ( , ) ( , )u u R u u R1 2 1 2 1 1

∈ ⇔ ∈

w ( , ) ( , )v v R v v R1 2 2 2 1 2

∈ ⇔ ∈

Então:

(( , ),( , ))u v u v R1 1 2 2 ∈ ⇔ ( , )u u R1 2 1∈ e ( , )v v R1 2 2∈ ⇔ ( , )u u R2 1 1∈ e

( , )v v R2 1 2∈ ⇔ (( , ),( , ))u v u v R2 2 1 1 ∈ ⇔ Ré simétrica.

c) é transitiva

Dado queR1 eR2são relações de equivalência emU 1 e U 2 , respectivamente,R1 e

R2 são transitivas, i.e.,

w ( , )u u R1 2 1

∈ e ( , )u u R2 3 1

∈ ⇔ ( , )u u R1 3 1

∈

w ( , )v v R1 2 2

∈ e ( , )v v R2 3 2

∈ ⇔ ( , )v v R1 3 2

∈

Então:

(( , ),( , ))u v u v R1 1 2 2 ∈ e (( , ),( , ))u v u v R2 2 3 3 ∈ ⇔ ( , )u u R1 2 1∈ e ( , )u u R2 3 1∈ ,

( , )v v R1 2 2∈ e ( , )v v R2 3 2∈ ⇔ ( , )u u R1 3 1∈ e ( , )v v R1 3 2∈ ⇔

(( , ),( , ))u v u v R1 1 3 3 ∈ ⇔ Ré transitiva.

Exemplo 8: Sejam A U R1 1 1= ( , ) e A U R2 2 2= ( , ) dois espaços aproximados, onde

U x x x x1 1 2 3 4= , , , , R x x x x x x x x x x x x1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 1=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )x x x x3 4 4 3 ,

U a b c2 = , , e R a a b b c c a b b a2 =( , ),( , ),( , ),( , ),( , ). Nesse caso, os espaços aproximadosA1 e

A2 (e seus respectivos conjuntos elementares), encontram-se representados na Figura 1. Seja

A U R U U R= = ×( , ) ( , )1 2 o produto deA1 por A2 , ondeR U U⊆ ×( )1 2

2U U U= ×1 2 . Nesse caso,

o conjunto de objetosU é dado por:

U x a x b x c x a x b x c x a=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( ,1 1 1 2 2 2 3 ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )x b x c x a x b x c3 3 4 4 4

12


e comoR é definida por( )( , ),( , ) ( , )x y x y R x x R1 1 2 2 1 2 1∈ ⇔ ∈ e( , )y y R1 2 2∈ , tem se que:

( ) ( ) ( )R x a x a x b x b x c x c x a= ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , )1 1 1 1 1 1 1( ) ( )

( ) ( ), ( , ) , ( , ), ( , )

( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , (

x b x b x a

x a x a x b x b

1 1 1

2 2 2 2( ) ( ) ( )x c x c x a x b x b x a

x a x

2 2 2 2 2 2

3 3

, ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , )

( , ), (( ) ( ) ( ) ( ), ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( ,a x b x b x c x c x a x b x3 3 3 3 3 3 3( )

( ) ( ) ( )b x a

x a x a x b x b x c x c

), ( , )

( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , )

3

4 4 4 4 4 4( ) ( )

( ), ( , ), ( , ) , ( , ), ( , )

( , ), ( , ) , ( , ), (

x a x b x b x a

x a x a x b

4 4 4 4

1 2 1( ) ( ) ( ) ( )x b x c x c x a x b x b x a

x

2 1 2 1 2 1 2

2

, ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , )

(( ) ( ) ( ), ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( ,a x a x b x b x c x c x a x1 2 1 2 1 2 1( ) ( )

( ) ( )b x b x a

x a x a x b x b x c

) , ( , ), ( , )

( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , )

2 1

3 4 3 4 3( ) ( ) ( )

( ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , )

( , ), ( , ) , (

x c x a x b x b x a

x a x a

4 3 4 3 4

4 3( ) ( ) ( )x b x b x c x c x a x b x b x4 3 4 3 4 3 4, ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), (( ) 3 , )a

Nesse caso, o espaço aproximadoA (e seus conjuntos elementares) é tal como representado na

Figura 2:

.

13


x1x2

x3 x4

ab

c

A =(U ,R )1 1 1 A =(U ,R )2 2 2

Figura 1

Espaços aproximadosA U R1 1 1= ( , ) e A U R2 2 2( , ),ondeU x x x x1 1 2 3 4= , , , e U a b c2 = , ,

A U,R= ( )( )x ,a1

( )x ,b1 ( )x ,a2

( )x ,b2

( )x ,c1 ( )x ,c2

( )x ,a3( )x ,b3

( )x ,a4 ( )x ,b4

( )x ,c3( )x ,c4

Figura 2

O espaço aproximadoA U R= ( , ) é o produto deA U R1 1 1= ( , ) e A U R2 2 2= ( , ),

ondeU x x x x1 1 2 3 4= , , , eU a b c2 = , ,

5.2 Aproximações de Relações Aproximadas

Os conceitos da TCA podem ser facilmente estendidos a uma relação, principalmente pelo fato

que uma relação é também um conjunto. Assim, sejamA U R1 1 1= ( , )eA U R2 2 2= ( , )dois espaços

aproximados eA U R U U R= = ×( , ) ( , )1 2 o produto deA1 por A2 . Dada uma relação (ou um

conjunto)X U U⊆ ×1 2 , podem ser definidas a aproximação inferior e a aproximação superior de

X no espaço aproximadoA:

A X x y U U x y XRinf ( ) ( , ) |[( , )] = ∈ × ⊆1 2

A X x y U U x y XRsup ( ) ( , ) |[( , )] = ∈ × ∩ ≠ ∅1 2

Exemplo 9: SejaA U R U U R= = ×( , ) ( , )1 2 o espaço aproximado produto conforme definido no

Exemplo 8. Sejam também as relaçõesX Y Z U U, , ⊆ ×1 2 , tal que X x a x b=( ),( , ),1 1 ,

Y x c x c x c x c=( , ),( , ),( , ),( , )1 2 3 4 eZ x a x c x a x c x c=( , ),( , ),( , ),( , ),( , )1 1 3 3 4 . Neste caso, tem-se:

A Xinf ( ) = ∅

A X x a x b x a x b x aR Rsup ( ) [( , )] [( , )] ( , ),( , ),( , ),= = =1 1 1 1 2 ( , )x b2

A Y A Y x c x c x c x cR Rinf sup( ) ( ) [( , )] [( , )] ( , ),( , )= = ∪ =1 3 1 2 ,( , ),( , )x c x c Y3 4 =

A Z x c x c x cRinf ( ) [( , )] ( , ),( , )= =3 3 4

A Z x a x c x a x c UR R R Rsup ( ) [( , )] [( , )] [( , )] [( , )]= ∪ ∪ ∪ =1 1 3 3

Exemplo 10: SejamA U S1 1 1= ( , )o espaço aproximado do Exemplo 1,A U S2 2 2= ( , )o espaço

aproximado do Exemplo 3 eA U S= ( , ) o produto deA1 por A2 . Seja também uma relação

X U⊆ , dada por X x x x x x x x x x x x x=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )1 1 1 3 1 7 2 3 2 7 3 3 ,( , )x x6 7 . A

aproximação inferior e a aproximação superior deX emA são, portanto:

A X x x x x x x x xinf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , )= 1 3 1 7 2 3 2 7

...........A X x x x x x x x x x xsup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),(= 1 1 1 2 1 3 1 6 1 7 x x x x x x

x x x x x x x

2 1 2 2 2 3

2 6 2 7 3 3 3

, ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )x x x x x x x x x7 7 3 7 7 6 3 6 7

...........

Os conceitos de regiões, bem como o de pertinência aproximada, também podem ser

facilmente estendidos a relações:

pos X A X x y U U x y XA R( ) ( ) ( , ) |[( , )] inf= = ∈ × ⊆1 2

neg X U U A X x y U U x y XA R( ) ( ) ( , ) |[( , )] sup= × − = ∈ × ∩ = ∅1 2 1 2

14


duv X A X A X x y U U x y XA R( ) ( ) ( ) ( , ) |[( , )] |sup inf= − = ∈ × ∩ ≠ ∅1 2 [( , )] x y XR /⊆

µ X

R

R

x yx y X

x y( , )

[( , )]

[( , )]=

∩

Observe que as definições e conceitos relativos a um espaço aproximado produto binário

A A1 2× podem ser facilmente estendidos a um espaço produto n-ário, da seguinte forma: seja

A An1 ,..., uma família de espaços aproximados onde cadaA U R i ni i i= ≤ ≤( , ), 1 . Então

A U U Rn= × ×( ... , )1 é um espaço aproximado, onde R é uma relação de indiscernibilidade definida

da seguinte forma:xRy, x x x U Un n= ∈ × ×( ,..., ) ...1 1 e y y y U Un n= ∈ × ×( ..., ) ...,1 1 ⇔ x R yi i i , para

todo i, 1≤ ≤i n, e x y Ui i i, .∈

5.3 Propriedades de Relações Aproximadas

Em [Pawlak (1981), p. 9-10], são listadas doze propriedades de aproximações de relações

binárias em um espaço produto aproximado; o autor assume todas como válidas e não prova

nenhuma. Entretanto, quando da análise dessas propriedades, evidenciamos que algumas não se

verificam2, como será visto a seguir.

Considere um espaço aproximadoA U R= ( , ) e o espaço aproximado obtido pelo produto

A A× , notado porB A A U S= × =( , )2 onde S U U⊆ ×( )2 . Além disso, considere a relação

Q U⊆ 2 . Então:

Propriedade 1:

SeQ é uma relação de identidade, então:

a) A Qinf ( ) não é relação de identidade

b) A Qsup ( ) não é relação de identidade

c) A Qsup ( ) é uma relação simétrica

d) A Qinf ( ) = ∅

Comentários: As propriedades 1.a) e 1.b) não se verificam. É possível, por exemplo, encontrar

uma relação de identidadeQ, tal queA Q A Q Qinf sup( ) ( )= = . Nesse caso,Q, A Qinf ( ) e A Qsup ( ) são

relações de identidade. Com isso, a propriedade estabelecida por 1.d), a de que seQ é uma

relação de identidade,A Qinf ( ) = ∅ , também não se verifica.

15


2 É importante aqui ressaltar que esse não é o único ponto problemático encontrado quando do estudo e análise da TCA. Essefato só vem a corroborar nossa tese de que o formalismo da TCA não é tratado com a devida seriedade por várias publicaçõesda área.

O Exemplo 11 a seguir mostra uma situação onde 1.a), 1.b) e 1.c) são verificadas e 1.d)

não é verificada. Já o Exemplo 12 mostra uma situação onde 1.a) , 1.b) e 1.d) não são verificadas

e 1.c) é verificada.

Exemplo 11: Seja A U R= ( , ) um espaço aproximado ondeU a b c= , , e

R a a b b c c a b b a=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ), ou seja, U R a b c= , , , como ilustrado na Figura 3. Seja

tambémB U S= ( , )2 , o espaço aproximado produto deA porA. Tem-se, portanto, pela definição

de espaço aproximado produto, queU a a a b a c b a b b b c2 =( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),c a c b ( , )c c

eSé dada por

( ) ( ) ( ) ( )S a a a a a a a b a a b a a a b b= ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) ,

( ) ( ) ( ) ( )( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) ,

(

a b a a a b a b a b b a a b b b

b( ) ( ) ( ) ( ), ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) ,

( ,

a a a b a a b b a b a b a b b

b b( ) ( ) ( ) ( )), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) ,

( , ),

a a b b a b b b b a b b b b

a c( ) ( ) ( ) ( )( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) ,

( , ), (

a c a c b c b c a c b c b c

c a c( ) ( ) ( ) ( ), ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) ,

( , ), ( ,

a c a c b c b c b c b c b

c c c c( ) )

Nesse caso,U S a a a b b a b b a c b c c a2 = ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ,( , ),( , )c b c c , sendo

que o espaço aproximadoB encontra-se representado na Figura 4.

Seja Q uma relação de identidade sobreU, isto é, Q a a b b c c=( , ),( , ),( , ). Neste caso,

A Q c cinf ( ) ( , )= e A Q a a a b b a b b c csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= . Dessa forma, nemA Qinf ( ), nem

A Qsup ( ) são relações de identidade. Observe ainda que:

w Q, A Qinf ( ) e A Qsup ( ) são relações simétricas

w Q e A Qsup ( ) são relações reflexivas sobreU, masA Qinf ( ) não é reflexiva

16


ab

c

A=(U,R)

Figura 3

Espaço aproximadoA U R= ( , ),ondeU a b c= , ,

w A Qinf ( ) é uma relação de identidade em c , subconjunto deU

Exemplo 12: Seja A U R= ( , ) um espaço aproximado ondeU x x x= , , 1 2 3 e

R x x x x x x=( , ),( , ),( , )1 1 2 2 3 3 , ou seja, U R x x x= , , 1 2 3 . Seja tambémB U S= ( , )2 , o

espaço aproximado produto deA por A. Tem-se portantoU x x x x2

1 1 1 2=( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),(x x x x x x x x x x x x x1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3, )x , eStal queU S é dado por:

U S x x x x x x x x

x x

2

1 1 1 2 1 3 2 1

2

= ( , ),( , ),( , ),( , ),

( , 2 2 3 3 1 3 2 3 3),( , ),( , ),( , ),( , )x x x x x x x x

SejaQ x x x x x x=( , ),( , ),( , )1 1 2 2 3 3 uma relação de identidade sobreU. Nesse caso tem-se

A Q Q A Qinf sup( ) ( )= = . DondeA Qinf ( ) e A Qsup ( ) são também relações de identidade sobreU.

Observe também queQ A Q, ( )inf e A Qsup ( ) são relações simétricas e reflexivas sobreU.

Dado queQ é uma relação de identidade, o que se pode garantir é que:

w seA Qinf ( ) ≠ ∅ , entãoA Qinf ( )é uma relação simétrica emU, uma vez queA Q Qinf ( ) ⊆ , e

Q é relação de identidade (qualquer subconjunto não-vazio de uma relação de

identidade é uma relação simétrica). Na verdade,A Qinf ( )é uma relação de identidade em

um subconjunto deU

w a propriedade 1.c) é válida uma vez que:

i) seQ é uma relação de identidade,Q é simétrica

ii) seQ é simétricaA Qsup ( ) é simétrica

17


( )a,a( )a,b ( )b,a

( )b,b

( )c,a ( )c,b

( )a,c ( )b,c

( )c,c

B U ,S= ( )2

Figura 4

O espaço aproximadoB U S= ( , )2 é oproduto deA porA

w seA Q Qsup ( ) ≠ , entãoA Qsup ( ) não é relação de identidade pois relaciona elementos deU

que não são idênticos. O Exemplo 11 ilustra esse fato

Prova de ii):Hipótese: Q é simétrica

Tese: A Qsup ( ) é simétrica, i.e.,( , ) ( ) ( , ) ( )sup supx y A Q y x A Q∈ ⇔ ∈

Seja( , ) ( )supx y A Q∈ . Então duas situações devem ser consideradas:

a) ( , )x y Q∈Se( , )x y Q∈ , então( , )y x Q∈ (poisQé simétrica por hipótese). ComoQ A Q⊆ sup ( ) , conclu-se

que( , ) ( )supy x A Q∈b) ( , )x y Q∉

Como( , ) ( )supx y A Q∈ , ( , ) [( , )]x y a bS

∈ , tal que[( , )]a b QS

∩ ≠ ∅ . Escolhemos para notar a

classe justamente um seu elemento( , )a b , que também pertence aQ, i.e.,( , )a b Q∈ . Note que

não é obrigatório que se tenhaa b≠ .Tem-se que:

w ( , ) [( , )]x y a bS

∈ ⇔ ( , ) ( , )x y S a b ⇔ xRa e yRb ⇔ yRb e xRa (a ordem não é

importante nesse caso, pois o espaço aproximado produto é construído sobre um único

espaço aproximado -B é da formaA A× ). Mas yRb e xRa ⇔ ( , ) ( , )y x S b a ⇔( , ) [( , )]y x b a

S∈

w Como Q é simétrica e como( , )a b Q∈ , ( , )b a Q∈ . Por outro lado,( , ) [( , )]b a b aS

∈ ,

donde[( , )]b a QS

∩ ≠ ∅ . ComoA Q c d U c d QSsup ( ) ( , ) |[( , )] = ∈ ∩ ≠ ∅2 , tem-se que

[( , )] ( )supb a A QS

⊆ . Dado que ( , ) [( , )]y x b aS

∈ e [( , )] ( )supb a A QS

⊆ , é possível

concluir que:( , ) ( )supy x A Q∈

Dadas todas essas considerações, sugerimos que a Propriedade 1 seja reescrita como:

18


Se Q é uma relação de identidade, então:

w se A Q Qinf ( ) = , A Qinf ( ) é uma relação de identidade em U

w se A Q Qinf ( ) ≠ , A Qinf ( ) não é uma relação de identidade em U

w se A Qinf ( ) ≠ ∅ e A Q Qinf ( ) ≠ , então A Qinf ( ) é uma relação de

identidade em um subconjunto de U sendo, portanto,

simétrica em U

w Se A Q Qsup( ) = , A Qsup( ) é uma relação de identidade em U

w Se A Q Qsup( ) ≠ , A Qsup( ) não é uma relação de identidade em U

w A Qsup( ) é uma relação simétrica em U

Propriedade 2:

SeQ é uma relação reflexiva, então:

a) A Qsup ( ) é reflexiva

b) A Qinf ( ) não é reflexiva

Comentários: A propriedade 2.b) não é válida para qualquerQ U⊆ 2 ; como comentado e visto

anteriormente, existem situações ondeA Q Qinf ( ) = e nessas situações, seQ é reflexiva,A Qinf ( )é

também reflexiva (ver Exemplo 12). Já quandoA Q Qinf ( ) ≠ , A Q Qinf ( ) ⊂ e conseqüentemente

existirão elementos emQ que não estarão emA Qinf ( ). Nessa situação, nada pode ser garantido,

como mostrado:

w no Exemplo 11, ondeQ é reflexiva,A Q Qinf ( ) ≠ e A Qinf ( ) não é reflexiva

w no Exemplo 13, ondeQ é reflexiva,A Q Qinf ( ) ≠ e A Qinf ( ) é reflexiva

Por outro lado 2.a) é válida uma vez que, seQ for uma relação reflexiva, comoQ A Q⊆ sup ( ),

A Qsup ( ) é também reflexiva (qualquer relação que contenha uma relação reflexiva é também

reflexiva). Observe que, seA Q Qinf ( ) ≠ , A Qinf ( ) é uma relação reflexiva em um subconjunto de

U.

Sugerimos que essa propriedade seja reescrita como:

Exemplo 13: SejaB U S= ( , )2 o espaço aproximado produto definido no Exemplo 11 e seja uma

relação não-simétrica e reflexivaQ a a a b b a b b c a c c=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ). A aproximação

inferior e a aproximação superior deQ são respectivamente,

A Q a a a b b a b b c cinf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

A Q a a a b b a b b c a c b c csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

DondeA Qinf ( ) é simétrica e reflexiva eA Qsup ( ) é não-simétrica e reflexiva. Observe que, nesse

caso,A Q Q A Qinf sup( ) ( )≠ ≠ .

19


Se Q é uma relação reflexiva em U, então:

w A Qsup( ) é reflexiva em U

w se A Q Qinf ( ) = , A Qinf ( ) é reflexiva em U

w A Qinf ( ) é reflexiva em um subconjunto de U

Propriedade 3:

SeQ é uma relação simétrica, então:

a) A Qsup ( ) é simétrica

b) A Qinf ( ) (dado queA Qinf ( ) ≠ ∅ ) é simétrica.

Comentários: A propriedade 3.a) foi já provada na prova da propriedade 1.c). Já a verificação de

3.b) é provada a seguir:

Hipótese: Q é simétrica

Tese: A Qinf

( ) é simétrica, i.e.,( , ) ( ) ( , ) ( )inf inf

x y A Q y x A Q∈ ⇒ ∈

Sabe-se queA Q c d U c d QSinf

( ) ( , ) |[( , ) ] = ∈ ⊆2 . Então:

a) se( , ) ( )inf

x y A Q∈ , ( , )x y Q∈ e, pelo fato deQ ser simétrica, tem-se que( , )y x Q∈ . Pode-se,

pois, dizer que[( , )]y x QS

∩ ≠ ∅b) se( , ) ( )

infx y A Q∈ , tem-se, por definição, que[( , )]x y Q

S⊆

Queremos mostrar que[( , )]y x QS

⊆ . Suponha que exista( , )a b U∈ 2 tal que( , ) [( , )]a b y xS

∈ e

( , )a b Q∉ . Mas( , ) [( , )]a b y xS

∈ ⇔ ( , ) ( , )a b S y x ⇔ aRy e bRx ⇔ bRx e aRy ⇔( , ) ( , )b a S x y ⇔ ( , ) [( , )]b a x y

S∈ . Mas( , ) [( , )]b a x y

S∈ e[( , )]x y Q

S⊆ ⇒ ( , )b a Q∈ . ComoQ

é simétrica, tem-se necessariamente que( , )a b Q∈ , o que contradiz a suposição inicial que

( , )a b Q∉ . Portanto, não existe( , )a b U∈ 2 tal que ( , ) [( , )]a b y xS

∈ e ( , )a b Q∉ . Como

[( , )]y x QS

∩ ≠ ∅ , conclui-se que[( , )]y x QS

⊆ , i.e.,( , ) ( )inf

y x A Q∈ , o que prova queA Qinf

( )é

simétrica.

Essa propriedade encontra-se exemplificada nos Exemplo 11 e Exemplo 12.

Propriedade 4:

SeQ é uma relação anti-simétrica, então:

a) A Qsup ( ) é anti-simétrica

b) A Qinf ( ) é anti-simétrica

Comentários: Como o subconjunto de uma relação anti-simétrica é também anti-simétrico,

então, seQ é anti-simétrica,A Qinf ( ) também o será, caso não seja vazia. Donde 4.b) é válido. A

propriedade 4.a) não se verifica. O Exemplo 14 mostra uma situação onde 4.a) é válida e o

Exemplo 15, uma situação onde não é válida.

Sugerimos que essa propriedade seja reescrita como:

20


Exemplo 14: SejaB U S= ( , )2 o espaço aproximado produto definido no Exemplo 11 e seja a

relação anti-simétrica Q a a a b a c c c=( , ),( , ),( , ),( , ). Como A Q c cinf ( ) ( , )= e

A Q a a a b b a b b a c b c c csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= , tem-se queA Qinf ( ) é anti-simétrica mas

A Qsup ( ) não é anti-simétrica.


relação anti-simétricaQ a c c c=( , ),( , ). ComoA Q c cinf ( ) ( , )= e A Q a c b c c csup ( ) ( , ),( , ),( , )= ,

tem-se queA Qinf ( ) e A Qsup ( ) são anti-simétricas.

Propriedade 5:

SeQ é uma relação não-simétrica, então:

a) A Qinf ( ) é não-simétrica

b) A Qsup ( ) é não-simétrica

Comentários: As propriedades 5.a) e 5.b) não são válidas, haja visto que tantoA Qinf ( ) quanto

A Qsup ( ) podem ou não ser não-simétricas, dado queQ é não-simétrica. Veja, a esse respeito, o

Exemplo 13 e o Exemplo 16.


relação não-simétrica Q b c c a c c=( , ),( , ),( , ). Como A Q c cinf ( ) ( , )= e

A Q a c b c c a c b c csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= , tem-se queA Qinf ( ) é não-simétrica e A Qsup ( ) é

simétrica.

Propriedade 6:

SeQ é uma relação transitiva, então:

a) A Qinf ( ) não é transitiva

b) A Qsup ( ) não é transitiva

Comentários: A propriedade 6.a) está totalmente incorreta, haja visto que seQ é uma relação

transitiva eA Qinf ( ) ≠ ∅ , então, conforme mostrado nos Exemplo 17 e Exemplo 18, e provado

21


Se Q é uma relação anti-simétrica sobre U, então:

w A Qinf ( ) é anti-simétrica em U

w se A Q Qsup( ) = , A Qsup( ) é anti-simétrica em U

logo após esses exemplos,A Qinf ( ) é transitiva. Quanto à propriedade 6.b), é possível evidenciar

situações nas quaisQ é transitiva eA Qsup ( ) é transitiva (como mostra o Exemplo 17) ou não

(como mostra o Exemplo 18).

Exemplo 17: SejaB U S= ( , )2 o espaço aproximado produto definido no Exemplo 11 e seja uma

relação transitivaQ a b b c a c=( , ),( , ),( , ). A aproximação inferior e a aproximação superior deQ

são respectivamente,

A Q a c b cinf ( ) ( , ),( , )=

A Q a a a b b a b b a c b csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

DondeA Qinf ( ) e A Qsup ( ) são transitivas. Observe que tem-se aindaA Q Q A Qinf sup( ) ( )≠ ≠ .

Exemplo 18: Seja um espaço aproximadoA U R= ( , ), onde U a b c d x y z= , , , , , , e

U R a x y b c z d= , , , , , , , como ilustrado na Figura 5. Seja tambémB U S= ( , )2 , o espaço

aproximado produto deA porA, como mostrado na Figura 6.

Seja Q a a a x x x x a a b x b c d=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) uma relação transitiva emU. A

aproximação inferior e a aproximação superior deQ são dadas por:

A Q a a a x x x x ainf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , )=

A Q a a a x x a x x a b a c a ysup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),= ( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),(

x b

x c x y b d b z c d c z y d y , )z

Neste caso,A Qinf ( ) é uma relação transitiva. Como( , ) ( )supx y A Q∈ e ( , ) ( )supy z A Q∈ , mas

( , ) ( )supx z A Q∉ , tem-se queA Qsup ( )não é uma relação transitiva. Observe ainda que, nesse caso,

tem-seA Q Q A Qinf sup( ) ( )≠ ≠ .

22


a x

y

z d

b c

A=(U,R)

Figura 5

Espaço aproximadoA U R= ( , ),ondeU a b c d x y z= , , , , , ,

A seguir, a prova de que, seQ é transitiva, entãoA Qinf ( ) é transitiva.

Hipótese: Q é transitiva

Tese: A Qinf

( ) é transitiva, i.e.,( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )inf inf inf

x y A Q y z A Q x z A Q∈ ∈ ⇒ ∈e

Seja( , ) ( )inf

x y A Q∈ e( , ) ( )inf

y z A Q∈ . Então:

a) como( , ) ( )inf

x y A Q∈ , então[( , )]x y QS

⊆b) como( , ) ( )

infy z A Q∈ , então[( , )]y z Q

S⊆

c) como( , )x y Q∈ e( , )y z Q∈ , tem-se, por hipótese, que( , )x z Q∈ , ou seja,[( , )]x z QS

∩ ≠ ∅

Precisamos provar que[( , )]x z QS

⊆ , o que será feito por absurdo. Para tanto, consideremos

( , ) [( , )]a b x zS

∈ , tal que( , )a b Q∉ . Como( , ) ( , )a b S x z , tem-se queaRx ebRz. ComoRé relação

de equivalência, tem-se quexRx, yRy e zRz. DeaRx e yRy, conclui-se que( , ) ( , )a y S x y , i.e.,

( , ) [( , )]a y x yS

∈ . Como[( , )]x y QS

⊆ , tem-se que( , )a y Q∈ . De maneira similar, deyRy ebRz,

conclui-se que( , ) [( , )]y b y zS

∈ . Como [( , )]y z QS

⊆ , tem-se que( , )y b Q∈ . Dado que

( , )a y Q∈ e( , )y b Q∈ , comoQ é transitiva por hipótese, tem-se, obrigatoriamente( , )a b Q∈ , o

que contradiz a suposição inicial. Logo[( , )]x z QS

⊆ , i.e.,( , ) ( )inf

x z A Q∈ . DondeA Qinf

( ) é

transitiva.

Dados tais resultados, sugerimos que essa propriedade seja reescrita como:

23


( )a,x

( )x,a( )a,a ( )z,z

( )y,y

( )d,y

( )z,y ( )z,b

( )d,b

( )z,c

( )d,c

( )x,y

( )a,y ( )a,b

( )x,b

( )a,c

( )x,c

( )d,x( )d,a( )z,x( )z,a

( )x,d( )x,z( )a,d( )a,z

( )c,d( )c,z( )b,d

( )b,z( )y,d( )y,z

( )c,x( )c,a( )b,x

( )b,a( )y,x( )y,a

( )b,y( )y,b ( )y,c

( )c,c( )c,b( )c,y( )b,c( )b,b

( )d,d( )d,z( )z,d

( )x,x

B U ,S= ( )2

Figura 6


Propriedade 7:

SeQ é uma relação de equivalência sobreU, então:

a) A Qsup ( ) é uma relação de tolerância (reflexiva e simétrica)

b) A Qinf ( ) define uma cobertura do conjuntoU U U U n= ∪ ∪ ∪1 2 ... , n ≥ 1, onde

U A Zi A i= −sup ( ) e Z i é uma classe de equivalência deQ, i.e.,U Z Z Zn= ∪ ∪ ∪1 2 ... ,

Z Zi j∩ ≠ ∅ (sic!), para cadai j≠ , i j n, , ,...,=12

Comentários: A propriedade 7.a) decorre dos resultados obtidos nas propriedades 2 e 3.ComoQ

é uma relação de equivalência, entãoQ é reflexiva, simétrica e transitiva. Dessa forma,A Qsup ( )é

reflexiva e simétrica, nada podendo ser garantido a respeito de sua transitividade. Portanto,

A Qsup ( ) é uma relação de tolerância emU.

Quanto à propriedade 7.b), é de se supor que houve um erro tipográfico, pois comoA Qinf ( )

pode ser vazia, não há como garantir que a mesma defina uma cobertura emU, por qualquer

método que se construa essa cobertura. Por outro lado, não é também possível afirmar que

A Qsup ( )define uma cobertura deU, poisA Qsup ( )é subconjunto deU 2 e não deU. O que pode ser

provado é que:

(i) as aproximações superiores das classes de equivalência induzidas porQ definem uma

cobertura deU

(ii) se Z i , 1≤ ≤i n, é uma classe de equivalência induzida porQ, então vale a seguinte

igualdade:

A Q U Ui ii n

sup ( ) = ×≤ ≤1

U

ondeU A Zi A i= −sup ( ), 1≤ ≤i n.

Prova de (i):Hipótese: Q é relação de equivalência

Tese:U U U U n= ∪ ∪ ∪1 2

... , ondeU A Zi A i=

- sup( ), 1≤ ≤i n, e Z

ié uma classe de equivalência induzida

porQ.

Ora,Q efetua uma partição emU da seguinte forma:U Z Z Zn= ∪ ∪ ∪1 2

... , onde cadaZi

é uma

classe de equivalência induzida porQ (ou seja, para cadai j≠ , tem-seZ Zi j∩ =∅ ). Sabe-se que

A Z UA i-

⊆sup

( ) ,1≤ ≤i n, o que implicaA Z A Z UA A n- -

∪ ∪ ⊆sup sup

( ) ... ( )1

. Além disso, uma propriedade

básica da TCA garante queX A X⊆ sup ( ), para qualquerX U⊆ (ver [Uchôa e Nicoletti(1997)]), donde:

24


Se Q é uma relação transitiva em U, então:

w se A Qinf ( ) ≠ ∅ , A Qinf ( ) é transitiva em U

Z A ZA1 1⊆ −sup ( )

M M M

Z A Zn A n⊆ −sup ( )

Ou seja:

U Z Z A Z A Zn A A n= ∪ ∪ ⊆ ∪ ∪− −1 1... ( ) ... ( )sup sup

Como A Z A Z UA A n- -

∪ ∪ ⊆sup sup

( ) ... ( )1

e U A Z A ZA A n⊆ ∪ ∪- -sup sup

( ) ... ( )1

, segue-se que

U U U U n= ∪ ∪ ∪1 2

... , ondeU A Zi A i=

- sup( ), 1≤ ≤i n, e Z

ié uma classe de equivalência induzida porQ.

Ou seja, ,... , U U n1é uma cobertura deU.

Prova de (ii):Hipótese: Q é relação de equivalência

Tese: seZi,1≤ ≤i n, são as classes de equivalência induzidas porQ e U A Z

i A i=

- sup( ), 1≤ ≤i n, então

vale a seguinte igualdade:

A Q U Ui ii n

sup ( ) = ×≤ ≤1

U

Para a prova da igualdade iremos provar que

U U A Qi ii n

× ⊆≤ ≤1

U sup ( ) e A Q U Ui ii n

sup ( ) ⊆ ×≤ ≤1

U

valem. Para a prova que

U U A Qi ii n

× ⊆≤ ≤1

U sup ( )

vale, é suficiente mostrar que dado( , )x y U Ui i

∈ × , então ( , ) ( )supx y A Q∈ . No entanto, se

( , )x y U U∈ ×1 1

, entãox y Ui

, ∈ , ou seja, existema b Zi

, ∈ tal quex aR

∈ [ ] e y bR

∈ [ ] , comaQb, i.e.,

( , )a b Q∈ . Como( , )a b Q∈ , então[( , )] ( )supa b A QS

∈ . Mas, comoxRa e yRb, ( , ) [( , )]x y a bS

∈ , i.e. ,

( , ) ( )supx y A Q∈ .

Resta agora provar que

A Q U Ui ii n

sup ( ) ⊆ ×≤ ≤1

U

vale. Para tanto, é suficiente provar que dado( , ) ( )supx y A Q∈ , então( , )x y U Ui i

∈ × , para algum

1≤ ≤i n. Seja( , ) ( )supx y A Q∈ , então( , ) [( , )]x y a bS

∈ , tal que( , )a b Q∈ . Ou seja, existe uma classe de

equivalênciaZi, induzida porQ, tal quea b Z

i, ∈ . Como( , ) ( , )x y S a b , tem-sexRaeyRb. Dondex a

R∈ [ ] e

y bR

∈ [ ] . Entretanto,[ ] ( )sup

a A aR A

⊆-

e [ ] ( )sup

b A bR A

⊆-

. Por sua vez, uma propriedade básica da

TCA diz que A X Y A X A Ysup sup sup( ) ( ) ( )∪ = ∪ (ver [Uchôa & Nicoletti (1997)]). Então

[ ] [ ] ( ) ( ) ( , )sup sup sup

a b A a A b A a b AR R A A A A

∪ ⊆ ∪ = ⊆- - - - sup

( )Zi

, pois , a b Zi

⊆ . Como

, [ ] [ ]x y a bR R

⊆ ∪ , tem-se quex y A Z UA i i

, ( )sup

∈ =-

. Donde( , )x y U Ui i

∈ × para algum1≤ ≤i n.

25


Esses resultados encontram-se ilustrados no Exemplo 19, a seguir.

Exemplo 19: Seja um espaço aproximadoA U R= ( , ), onde U a b c d e f g= , , , , , , e

U R a b c d e f g= , , , , , , , como ilustrado na Figura 7. Seja tambémB U S= ( , )2 , o espaço

aproximado produto deA porA, como mostrado na Figura 8.

Considere a seguinte relação de equivalência definida emU:

26


a

g

e f

d

b

c

A=(U,R)

Figura 7

Espaço aproximadoA U R= ( , ),ondeU a b c d e f g= , , , , , ,

( )a,b

( )b,b( )a,a ( )c,c

( )g,c

( )a,f

( )a,e ( )b,e

( )b,f

( )e,a( )f,a

( )f,f

( )e,e ( )e,f

( )f,e

( )a,c

( )b,d

( )g,b

( )g,f

( )b,g

( )f,g

( )g,a

( )g,e

( )a,g

( )e,g

( )f,d( )f,c( )e,d( )e,c

( )c,f ( )d,f( )f,b( )d,e( )c,e( )e,b

( )c,b

( )d,b

( )c,a( )b,c

( )d,a( )a,d

( )c,g

( )d,g

( )g,g

( )g,d

( )d,c( )c,d( )d,d

( )b,a

B U ,S= ( )2

Figura 8


Q a a c c a c c a d d e e f f

d e

=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )d f e d e f f e f d b b g g

Nesse caso as classes de equivalências induzidas porQ são:Z a c1 = , , Z b2 = , Z d e f3 = , , e

Z g4 = . As aproximações superiores dessas classes são dadas por:

U A Z a b c dA1 1= =−sup ( ) , , ,

U A Z a bA2 2= =−sup ( ) ,

U A Z c d e fA3 3= =−sup ( ) , , ,

U A Z gA4 4= =−sup ( )

Observe que nesse caso,U U U U U= ∪ ∪ ∪1 2 3 4 . Por sua vez, a aproximação superior deQ é

dada por:

A Q a a a b b a b b c c c d d csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= ,( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),

( , ),( , ),( , ),(

d d a c a d b c b d

c a c b d a d b e e e f f e f f c e c f d e d, ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , f

e c e d f c f d g g

),

( , ),( , ),( , ),( , ),( , )

Pode ser facilmente verificado queA Q U U U U U U U Usup ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= × ∪ × ∪ × ∪ ×1 1 2 2 3 3 4 4 .

Diante dos resultados obtidos, sugerimos que a propriedade seja reescrita como:

Propriedade 8: SeQ é uma relação de equivalência, então:

a) A Qinf ( ) é também uma relação de equivalência em algum conjuntoX U⊆b) as classes de equivalência deA Qinf ( ) são da formaA ZA i−inf ( ), ondeZ i é uma classe de

equivalência de Q, i.e., U Z Z Zn= ∪ ∪ ∪1 2 ... , Z Zi j∩ ≠ ∅ (sic!), para i j≠ ,

i j n, , ,...,=12 .

27


Se Q é uma relação de equivalência em U, então:

w A Qsup( ) é uma relação de tolerância (reflexiva e simétrica)

w as aproximações superiores das classes de equivalência

induzidas por Q definem uma cobertura de U

w se Zi , 1 ≤ ≤i n , é uma classe de equivalência induzida

por Q, então A Q U Ui i

i n

sup( ) = ×£ £1U , onde U A Zi A i=

- sup( ) ,

1 ≤ ≤i n

Comentários: A propriedade 8.a) decorre dos resultados obtidos nas propriedades 2, 3 e 6.Como

Qé uma relação de equivalência, entãoA Qinf ( ) é simétrica e transitiva, bem como é reflexiva em

um subconjunto deU. Portanto,A Qinf ( )é uma relação de equivalência em um subconjunto deU.

Para a prova de 8.b) é suficiente mostrar que:

(i) A Q U Ui ii n

inf ( ) = ×≤ ≤1

U , ondeU A Zi A i= −inf ( ), 1≤ ≤i n, e Z i é uma classe de equivalência

induzida porQ.

Com efeito, se uma relação de equivalênciaW é a união finita de produtos cartesianos da forma

Y Yi i× , ondeY Yi j∩ = ∅ parai j≠ , então é facilmente dedutível que as classes de equivalência de

W serão cada um dosYi , pois os elementos deYi estarão relacionados somente emY Yi i× .

Prova de (i):Hipótese: Q é relação de equivalência

Tese: seZi,1≤ ≤i n, é uma classe de equivalência induzida porQeU A Z

i A i=

- inf( ), então vale a seguinte

igualdade:

A Q U Ui ii n

inf ( ) = ×≤ ≤1

U

Para a prova da igualdade iremos provar que

U U A Qi ii n

× ⊆≤ ≤1

U inf ( ) e A Q U Ui ii n

inf ( ) ⊆ ×≤ ≤1

U

valem. Para a prova que

U U A Qi ii n

× ⊆≤ ≤1

U inf ( )

vale, é suficiente mostrar que dado( , )x y U Ui i

∈ × , então ( , ) ( )inf

x y A Q∈ . No entanto, se

( , )x y U Ui i

∈ × , entãox y Ui

, ∈ , ou seja,xQy, i.e.,( , )x y Q∈ , poisUié aproximação inferior de uma

classe de equivalência deQ. Como( , )x y Q∈ , então[( , )] ( )inf

x y A QS

I ≠ ∅ . Necessitamos provar que

[( , )] ( )inf

x y A QS

⊆ , o que será feito por absurdo. Com efeito, suponha( , ) [( , )]a b x yS

∈ tal que( , )a b Q∉ .

Mas, como( , ) ( , )a b S x y , tem-seaRx e bRy, ou sejaa xR

∈ [ ] e b yR

∈ [ ] . Por outro lado, como

U A Zi A i=

- inf( ), ondeZ

i,1≤ ≤i n, é uma classe de equivalência induzida porQ, tem-se obrigatoriamente

que[ ]x UR i

⊆ e[ ]y UR i

⊆ , o que implicaa b Ui

, ∈ . dondea b Zi

, ∈ e, conseqüentemente,( , )a b Q∈ , o

que contradiz a hipótese inicial de haver um( , ) [( , )]a b x yS

∈ tal que ( , )a b Q∉ . Ou seja,

[( , )] ( )inf

x y A QS

⊆ . Portanto,( , ) ( )inf

x y A Q∈ .

Resta agora provar que

A Q U Ui ii n

inf ( ) ⊆ ×≤ ≤1

U

28


vale. Para tanto, é suficiente provar que dado( , ) ( )inf

x y A Q∈ , então( , )x y U U∈ ×1 1

, para algum1≤ ≤i n.

Seja( , ) ( )inf

x y A Q∈ , então( , )x y Q∈ . Ou seja, existe uma classe de equivalênciaZi, induzida porQ, tal

quex y Zi

, ∈ . É possível provar, por absurdo, quex y Ui

, ∈ , ondeU A Zi A i=

- inf( ).Com efeito, suponha

que x y Ui

, ∉ . Isso implica a existência de elementosa xR

∈ [ ] e b yR

∈ [ ] , tais quea b Zi

, ∉ . Como

x y Zi

, ∈ , se a b Zi

, ∉ , com a xR

∈ [ ] e b yR

∈ [ ] , então( , )a b Q∉ . Pois, se for válido que( , )a b Q∈ ,

( , )x y Q∈ , a xR

∈ [ ] e b yR

∈ [ ] , então tem-se( , ) [( , )]a b x yS

∈ . Mas, comoaRx e yRy, tem-se que

( , ) [( , )]a y x yS

∈ . Como( , ) ( )inf

x y A Q∈ , tem-se que[( , )]x y QS

⊆ . Donde( , )a y Q∈ , ou sejaapertence à

mesma classe de equivalência quey, i.e.,a Zi

∈ (raciocínio semelhante vale parab, já quea eb tem que

estar, necessariamente, na mesma classe de equivalência). Em resumo, o fato dex y Ui

, ∉ , implica a

existência de elementosa xR

∈ [ ] eb yR

∈ [ ] , tais que( , )a b Q∉ . ComoaRx ebRy, tem-se necessariamente

que( , ) [( , )]a b x yS

∈ . Mas, já foi visto que[( , )]x y QS

⊆ . Ou seja( , )a b Q∈ , o que contradiz com a

hipótese inicial. Dondex y Ui

, ∈ , e portanto, ( , )x y U Ui i

∈ × . Essa propriedade encontra-se

exemplificada a seguir, no Exemplo 20.

Exemplo 20: Sejam os espaços aproximadosA U R= ( , )eB U S= ( , )2 , como foram definidos no

Exemplo 19. Seja tambémQ a relação de equivalência ali definida. Tem-se que

A Q e e f f e f f e g ginf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

que é uma relação de equivalência em , , e f g , subconjunto deU. As aproximações inferiores

das classes de equivalênciaZ Z1 4,..., induzidas porQ são dadas por:

U A Z U A ZA A1 1 2 2= = = = ∅− −inf inf( ) ( )

U A Z e fA3 3= =−sup ( ) ,

U A Z gA4 4= =−sup ( )

Observe queU 3 eU 4 são as classes de equivalência deQ.

A única ressalva a esta propriedade é o erro em considerarZ Zi j∩ ≠ ∅ (possivelmente,

erro tipográfico), quandoZ i e Z j , com i j≠ , são classes de equivalência induzidas porQ. De

forma que sugerimos uma reescrita dessa propriedade, para que fique totalmente correta:

Propriedade 9: SeQ é uma relação de ordem, então:

29


Se Q é uma relação de equivalência em U, então A Qinf ( ) é

também uma relação de equivalência em algum conjunto

Y U⊆ e as classes de equivalência de A Qinf ( ) são da forma

A ZA i− inf ( ) , onde Zi é uma classe de equivalência induzida

por Q.

a) A Qinf ( ) não é uma relação de ordem

b) A Qsup ( ) não é uma relação de ordem

Comentários: Estamos levando em conta, ao tratar dessa propriedade, que o autor quis se referir a

uma relação de ordem parcial, haja visto que toda relação de ordem total é uma relação de ordem

parcial (mas o inverso nem sempre é válido). Além do que, na literatura matemática não é

incomum referir-se a uma relação de ordem parcial apenas como relação de ordem. Uma relação

Qé de ordem parcial se e somente se for reflexiva, anti-simétrica e transitiva. De acordo com os

resultados obtidos nas propriedades 2, 4 e 6, seQ é uma relação de ordem parcial emU, tem-se

queA Qinf ( ) é uma relação de ordem parcial em um subconjuntos deU (que pode, inclusive, ser

igual ao próprioU), ou seja 9.a) não se verifica. O mesmo podendo ser dito a respeito de 9.b).

Pode-se dizer, então, que , seQé uma relação de ordem parcial emU, então tantoA Qinf ( ) quanto

A Qsup ( ) podem ou não serem relações de ordem parcial emU, conforme o estabelecido nas

propriedades 2, 4 e 6. Deforma que sugerimos que a propriedade seja reescrita como:

Propriedade 10: SeQ é uma relação qualquer emU, então:

a) A Q A Qinf inf( ) ( ( ))− −=1 1

b) A Q A Qsup sup( ) ( ( ))− −=1 1

Comentários: Essa propriedade deriva-se trivialmente de como foi formado o espaço

aproximadoB U S= ( , )2 . A propriedade 10.a) justifica-se da seguinte forma:( , ) ( )infx y A Q∈ −1 ⇔[( , )]x y QS ⊆ −1 ⇔ [( , )]y x QS ⊆ ⇔ ( , ) ( )infy x A Q∈ ⇔ ( , ) ( ( ))infx y A Q∈ −1 . A equivalência

[( , )] [( , )]x y Q y x QS S⊆ ⇔ ⊆−1 pode ser provada se observarmos que

( , ) [( , )] ( , ) [( , )]a b x y b a y xS S∈ ⇔ ∈ , fato verificado quando da prova de 1.c) (p. 18). A

propriedade 10.b) é provada de forma semelhante. Note queQ não precisa ser uma função para

que essas propriedades valham. A respeito de funções e relações inversas, ver Apêndice A.

Propriedade 11: SeQ V W= o (Q é uma composição deV eW), então:

a) A Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )= o

30


Se Q é uma relação de ordem parcial em U, então:

w se A Q Qinf ( ) = , então A Qinf ( ) é uma relação de ordem parcial

em U

w se A Q Qsup( ) = , então A Qsup( ) é uma relação de ordem parcial

em U

w A Qinf ( ) é uma relação de ordem parcial em um subconjunto de

U

b) A Q A V A Wsup sup sup( ) ( ) ( )= o

Comentários: O autor não explicita, no enunciado da propriedade, seQ, V e W são funções.

Considerando-se queQ, V eWpossam não ser funções, a propriedade 11.a) não se verifica uma

vez queA V A W A Qinf inf inf( ) ( ) ( )o ⊆ é válido, mas nem sempre se temA Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )⊆ o ,

como mostram os Exemplo 21 e Exemplo 22. A respeito de relações e funções composta, ver o

Apêndice A.


Exemplo 19. Seja Q V W= o , onde V a a b b e d e g f g=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) e

W a a a b b a b b d f g g=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ). Por definição de relação composta, tem-se

Q a a a b b a b b e f e g f g=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ). Nesse caso, tem-se que:

A V e g f ginf ( ) ( , ),( , )=

A W a a a b b a b b g ginf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

A Q a a a b b a b b e g f ginf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

Nesse caso, A V A W e g f ginf inf( ) ( ) ( , ),( , )o = , donde A V A W A Qinf inf inf( ) ( ) ( )o ⊆ , mas

A Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )⊄ o .

Exemplo 22: Seja os espaços aproximadosA U R= ( , ) e B U S= ( , )2 , como foram definidos no

Exemplo 19. Seja Q V W= o , onde V a a a b b a b b e d e g f g=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) e

W a a a b b a b b d f g g=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ). Por definição de relação composta, tem-se


A V a a a b b a b b e g f ginf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

A W a a a b b a b b g ginf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

A Q a a a b b a b b e g f ginf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )=

Nesse caso,A V A W a a a b b a b b e g finf inf( ) ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( ,o = g A Q) ( )inf= .

A seguir, a prova de que, seQ V W= o , entãoA V A W A Qinf inf inf( ) ( ) ( )o ⊆ .

Hipótese: Q V W= o

Tese: A V A W A Qinf inf inf

( ) ( ) ( )o ⊆

Tem-se que ( , ) ( ) ( )inf inf

x y A V A W∈ o ⇔ [( , )] ( ) ( )inf inf

x y A V A WS

⊆ o . Mas

[( , )] ( ) ( )inf inf

x y A V A WS

⊆ o se e somente se ( ( , ) [( , )]∀ ∈a b x yS⇒ ∈( , ) ( ) ( ) )

inf infa b A V A Wo , i.e.,

31


( ( , ) [( , )]∀ ∈a b x yS

⇒ ( , ) ( ) ( )inf inf

a b A V A W∈ o . Isso implica no fato que existec U∈ tal que

( , ) ( )inf

a c A V∈ e( , ) ( )inf

c b A W∈ ). ComoA X Xinf

( ) ⊆ vale em qualquer espaço aproximado (ver [Uchôa

& Nicoletti (1997)]), então( ( , ) [( , )]∀ ∈ ⇒ ∃ ∈a b x y c US

tal que( , )a c V∈ e ( , )c b W∈ ). ComoQ é

composta deV e W, ( ( , ) [( , )] ( , )∀ ∈ ⇒ ∈a b x y a b QS

. Ou seja, [( , )]x y QS

⊆ , i.e., ( , ) ( )inf

x y A Q∈ .

Resumindo:( , ) ( ) ( )inf inf

x y A V A W∈ o ⇒ ( , ) ( )inf

x y A Q∈ , donde,A V A W A Qinf inf inf

( ) ( ) ( )o ⊆ .

Se exige-se queQ, Ve Wsejam funções, entãoA Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )= o vale. Com efeito,

A V A W A Qinf inf inf( ) ( ) ( )o ⊆ já foi provado, restando demonstrar queA Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )⊆ o ,

o que pode ser feito por absurdo. Para tanto, considere( , ) ( )infx y A Q∈ tal que

( , ) ( ) ( )inf infx y A V A W∉ o . Como ( , ) ( )infx y A Q∈ , tem-se( , )x y Q∈ . Donde ∃ ∈c U tal que

( , )x c V∈ e ( , )c y W∈ . Mas, ( , ) ( ) ( )inf infx y A V A W∉ o implica que, para todoc U∈ tal que

( , )x c V∈ e ( , )c y W∈ , tem-se que[( , )]x c VS ⊄ ou [( , )]c y WS ⊄ . Nesse caso,( , )x c V∈ e

( , )c y W∈ implicam que existe( , ) [( , )]a b x c S∈ tal que( , )a b V∉ , ou que existe( , ) [( , )]e f c y S∈tal que( , )e f W∉ . ComoaRx e yRy, tem-se que( , ) [( , )]a y x y S∈ , o que implica que( , )a y Q∈ ,

ou seja∃ ∈g U tal que( , )a g V∈ e( , )g y W∈ . Donde, para que( , )a b V∉ seja válido é necessário

queb g≠ , o que contradiz com o fato deV ser função. De forma semelhante não é possível

( , ) [( , )]e f c y S∈ tal que ( , )e f W∉ . Ou seja, necessariamente tem-se que[( , )]x c VS ⊆ e

[( , )]c y WS ⊆ , para algumc U∈ sempre que( , ) ( )infx y A Q∈ . Nessas condições,( , ) ( )infx c A V∈ e

( , ) ( )infc y A W∈ para algumc U∈ . Donde( , ) ( ) ( )inf infx y A V A W∈ o , o que contradiz a hipótese

inicial. Donde( , ) ( )infx y A Q∈ ⇒ ( , ) ( ) ( )inf infx y A V A W∈ o , i.e. A Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )⊆ o .

Como valem A Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )= o e A V A W A Qinf inf inf( ) ( ) ( )o ⊆ , segue-se que

A Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )= o vale, sempre queQ, V e W são funções.

A propriedade 11.b), entretanto, vale mesmo quandoQ,VeWnão são funções, podendo ser

demonstrada trivialmente. Com efeito,( , ) ( )supx y A Q∈ ⇔ [( , )]x y QS ∩ ≠ ∅ ⇔∃ ∈( , ) [( , )]a b x y S tal que( , )a b Q∈ ⇔ ∃ ∈c U tal que( , )a c V∈ e( , )c b W∈ ⇔ ( , ) ( )supa c A V∈ e

( , ) ( )supc b A W∈ ⇔ ( , ) ( ) ( )sup supa b A V A W∈ o ⇔ [( , )] ( ( ) ( ))sup supa b A V A WS ∩ ≠ ∅o ⇔( , ) ( ) ( )sup supx y A V A W∈ o . Essa propriedade encontra-se ilustrada no Exemplo 23.


Exemplo 19 e SejaQ V W= o , ondeV eW foram definidos no Exemplo 22. Como já foi visto,


A V a a a b b a b b e c e d f csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= ,( , ),( , ),( , )f d e g f g

A W a a a b b a b b c e c f d esup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= ,( , ),( , )d f g g

A Q a a a b b a b b e e e f f esup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= ,( , ),( , ),( , )f f e g f g

Tem-se que A Q A V A Wsup sup sup( ) ( ) ( )= o , pois, pela definição de relação composta,

A V A W a a a b b a b b e e esup sup( ) ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( ,o = f f e f f e g f g),( , ),( , ),( , ),( , ).

32


Diante dos resultados obtidos, sugerimos que essa propriedade seja reescrita como:

Propriedade 12: SeQ Q i

i

∗

=

∞

=0

U (Q ∗ é o fecho transitivo deQ), então:

a) A Q A Q i

iinf inf( ) ( ( ))∗

=

∞

=0

U

b) A Q A Q i

isup sup( ) ( ( ))∗

=

∞

=0

U

Comentários: Não foi possível compreender o objetivo do autor nestas propriedades. Por

exemplo, não há um significado explicito parai emQ Q i

i

∗

=

∞

=0

U . SeQ i é considerado como sendo

um produto cartesiano de graui, então jamais será válido queQ ∗ seja o fecho transitivo deQ,

poisQ* conterá elementos da forma( , , )x y z , entre outros que o fecho transitivo deQnão conterá.

Por fecho transitivo de uma relaçãoQ, entende-se a relaçãoQ Q TT = ∪ , onde T possui os

elementos que faltam aQ para que esta seja transitiva.

Supor quei seja um índice, onde a notação adequada seriaQ Qii

∗

=

∞

=0

U invés deQ Q i

i

∗

=

∞

=0

U ,

também traz problemas, pois não há indicação de quem seriam osQi , bem como

A Q A Q ii

inf inf( ) ( ( ))∗

=

∞

=0

U ficaria totalmente sem sentido, pois só existe uma única aproximação

inferior para cada conjunto em um espaço aproximado definido.

Também não foi possível perceber o intento do autor com a afirmação “Q ∗ é o fecho

transitivo deQ” . Não fica claro se ele quer dizer queQ* é o fecho transitivo deQ por causa da

forma como foi definida, ou se seria necessário queQ* fosse o fecho transitivo deQpara que as

propriedades valessem.

33


Se Q V W= o ( Q é uma composição de V e W) em U, então:

w se Q, V e W são funções, então A Q A V A Winf inf inf( ) ( ) ( )= o

w A V A W A Qinf inf inf( ) ( ) ( )o ⊆ , mesmo quando Q, V e W não são

funções

w A Q A V A Wsup sup sup( ) ( ) ( )= o , mesmo quando Q, V e W não são

funções

6 Conjuntos Aproximados na Reta Real

6.1 Considerações Iniciais

Em sistemas de manufatura, principalmente no projeto de controladores, muitas situações

envolvem a modelagem de funções reais. Conforme observado em [Pawlak (1997), p.140],

uma abordagem baseada em conjuntos aproximados pode ser vista como uma proposta

intermediária entre a abordagem clássica e a abordagemfuzzypara sistemas de controles.

O conjuntof é uma função do conjuntoXno conjuntoY se e somente se for um subconjunto

de conjunto de pares ordenadosX Y× , ( , )a b f∈ e( , )a c f∈ implicab c= . Se( , )a b f∈ , então,b

é a imagem do argumentoa sobf, notado porf a( ).

Como toda função é uma relação, uma possível extensão da TCA a funções poderia ser

feita, eventualmente, introduzindo a noção de “função aproximada” através da adaptação de

conceitos já introduzidos de aproximação inferior e aproximação superior de relações

aproximadas às funções. Este procedimento, entretanto, é incorreto, uma vez que, da forma

como foram definidas, nada garante que a aproximação inferior (ou aproximações superior) de

uma função, seja também uma função. O exemplo 24 evidencia esta situação.

Exemplo 24: Seja o espaço aproximadoA U R= ( , ) como definido no Exemplo 19. Sejaf a

função identidade em U, i.e. f U U: → tal que f x x( ) = . Nesse caso

f a a b b c c d d e e f f g g=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )e, portanto:

A f g ginf ( ) ( , )=

A f a a a b b a b b c c c d d csup ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )= ,( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )d d e e e f f e f f g g

Note que, nesse caso, tantoA finf ( ) comoA fsup ( ) não são funções emU.

Dado que a abordagem adotada para relações aproximadas não se aplica a funções

aproximadas, Pawlak, em [Pawlak (1994a)] propõe uma outra abordagem, limitando-se,

entretanto, a funções na reta (funções reis aproximadas). Antes da sua apresentação e para

melhor subsidiar o seu entendimento, o conceito de espaço real aproximado precisa ser

discutido.

6.2 Espaço Real Aproximado

Sejaú o conjunto dos reais e sejaU a b= ( , ), U ⊆ ú, um intervalo aberto de reais. Por uma

discretização de U entendemos a seqüênciaS x x xn= , ,..., 0 1 de reais, tal que

a x x x bn= < < < =0 1 ... . Além disso assume-se que0 ∈ S por razões que serão comentadas

34


oportunamente. Embora o autor não tenha se preocupado, achamos que, para assumir que0 ∈ S,

necessariamente algumas considerações devem ser feitas com relação aS:

a) se∃ = ∈i x x Si i| ,0 , entãoS permanece inalterada

b) se/∃ = ∈i x x Si i| ,0 ,

b.1) Se0 < a, entãoS x x xi n= , , ,... 0 0

b.2) Seb <0, entãoS x x xn= , ..., , 0 1 0

b.3) Sea b< <0 , então parte deS deverá ser renomeada, para permitir a introdução do

0, da seguinte maneira:b.3.1) Todox x

i i| < 0 permanece inalterado

b.3.2) A partir do primeiro índicei tal que xi>0, renomeia-se cadax

ipor x

i+1e

renomeia-sexicomo 0, obtendo-seS x x x x

i i n=

- + + ,... , , ,... ,

0 1 1 10

Toda discretização S induz uma partição emU da seguinte forma:

U S x x x x x x xn= ,( , ), ,( , ),... 0 0 1 1 1 2 . ObviamenteA U S= ( , ) é um espaço aproximado,

onde os conjuntos elementares deA são tais queS x x s( ) [ ]= representa o bloco da partiçãoU S

contendox. Sex S∈ , entãoS x x( ) = . SeS x x xi i( ) ( , )= +1 , então porS x∗ ( )eS x∗ ( )são denotados

respectivamente o limite inferior e o limite superior do intervaloS x( ), isto é,S x x i∗ =( ) e

S x x i

* ( ) = +1 . Por ′S x( ) denota-se o fecho deS x( ), isto é, o intervalo fechado[ , ]x xi i+1 . Muito

embora o espaço aproximado considerado em [Pawlak (1995a)] e [Pawlak (1997)] seja

A S= ( , )ú , consideramos essa generalização por parte do autor equivocada. A definição de

espaço aproximado considera um conjunto universo e uma relação de equivalência definida

nesse conjunto. Assim sendo, o espaço aproximado que deve ser considerado aqui é aquele

induzido pela seqüênciaS, sobre( , )a b , i.e., A a b S= (( , ), ).

Exemplo 25: Seja uma seqüência arbitrária crescente de reaisS x x x x xn= = , , , ,..., 0 1 2 30 , um

intervalo aberto( , )a b tal quea x= 0 eb xn= , e um número real positivox tal quex x x3 4< < . S

induz uma partição em( , )a b como pode ser visto na Figura 9. Nesse caso, é facilmente visível

queS x x* ( ) = 3 e S x x* ( ) = 4 . Note queS x S xi i*

*( ) ( )= ,1≤ ≤i n.

Dado um intervalo qualquerI U⊆ , em um espaço real aproximadoA U R= ( , ), a

aproximação inferior e a aproximação superior deI emA são os conjuntos:

A I y S y Iinf ( ) | ( ) = ∈ ⊆ú

A I y S y Isup ( ) | ( ) = ∈ ∩ ≠ ∅ú

35


De forma semelhante são definidos os conceitos de regiões, bem como o de função de

pertinência para quaisquer intervalos deU. No entanto, o interesse maior recai sobre intervalos

que possam representar números reais “aproximadamente”. Com esse objetivo, no que segue, a

aproximação de números reaisx a b∈ [ , ] será interpretada, como a função

Q xx x

x x( )

[ , ]

[ , ]=

≥<

0 0

0 0

se

se

A razão disso é a de obter um formalismo baseado em TCA, onde um número realx a b∈ [ , ] que

não tem representação exata, i.e.,x S∉ , possa ser representado por um intervalo cuja amplitude,

em valor absoluto, é “aproximadamente”x, sex é positivo, e-x, sex é negativo. Daí a razão de

introduzir o número 0 no intervalo( , )a b a ser discretizado.

Seja um espaço aproximadoA U S= ( , ) como construído anteriormente. Dado umx U∈ ,

define-seS-aproximação inferior eS-aproximação superior deQ x( ) respectivamente como:

A Q x Q x y S y Q x Q S xSinf *( ( )) ( ) | ( ) ( ) ( ( ))= = ∈ ⊆ =ú

A Q x Q x y S y Q x Q S xS

sup

*( ( )) ( ) | ( ) ( ) ( ( ))= = ∈ ∩ ≠ ∅ =ú

Exemplo 26: Considere o intervalo real (3,11) e a seqüência

S x x= = = , . , , . , , , . , . , , 0 93 35 4 52 6 7 75 81 9 11 . Como visto anteriormenteS deve ser estendido

da maneira que0 ∈ S. Tem-se poisS x x= = = , , . , , . , , , . , . , , 0 100 3 35 4 52 6 7 75 81 9 11 . Considere

agora, o espaço aproximadoA S= (( , ), )011 e considere o número real 6.2 interpretado como a

funçãoQ( . ) ( , . )62 0 62= . Dado que62 6 7. ( , )∈ , tem-se queS* ( . )62 6= eS * ( . )62 7= , como pode ser

visualizado na Figura 10. Então:

36


(

(

(

(

(

( ...(

(

a=x0 x1

x1 x0 0 x3 x4 xn-1 xn

(

(

x3x =2 0

S x*( ) S x*( )

x4 b=xnxn-1

x

Figura 9

A sequência de reaisS x x x x xn= = , , , ,... , 0 1 2 30 induz uma partição em( , )a b

Q y S y Q S x QS ( . ) | ( ) ( , . ) ( ( )) ( ) ( , )*62 0 62 6 0 6= ∈ ⊆ = = =ú

Q y S y Q S x QS ( . ) | ( ) ( , . ) ( ( )) ( ) ( , )*62 0 62 7 0 7= ∈ ∩ ≠ ∅ = = =ú

Em [Pawlak (1997), p.142] é comentado que:

As definições de aproximações do intervalo( , )0 x podem também ser entendidas comoaproximações do número realx, que são simplesmente os limites do intervaloS x( ). Emoutras palavras, dado qualquer número realxe uma discretizaçãoS,porS-aproximaçãoinferior e S-aproximação superior dex nós entendemos os númerosS x

*( ) e S x* ( )

respectivamente.

É importante lembrar nesse ponto que o número real dadox, não é um número real

qualquer, mas sim um número do intervalo( , )x xn0 e S, uma discretização deste intervalo. O

autor, desde o introdução do conceito de espaço aproximado, “generaliza” o intervalo inicial

considerado, passando a considerar todos os reais mas mantém, entretanto, a discretização

confinada ao intervalo( , )x xn0 . Se realmente fossemos adotar o espaço aproximadoA S= ( , )ú ,

note que para pontos fora do intervalo, o erro introduzido pela aproximação praticamente

invalida qualquer uso desse conceito. Além disso, as definiçõesQ xs ( ) e Q xs ( ) ficariam

inconsistentes, pois, parax x xn∉ ( , )0 , não existeS x* ( ) ou S x* ( ).

Se generalizarmos o intervalo( , )a b ⊆ ú, ao próprio conjunto realú e considerarmos uma

discretizaçãoS sobre os reais (note queS deve também ser infinita), obtemos o espaço

aproximado A S= ( , )ú . Cada número realx, no contexto deste espaço aproximado é

representado pelo conjunto aproximado( ( ), ( ))Q x Q ss

s . Note que este mesmo conjunto

aproximado representa infinitos números reais.

Nesse caso, então, é possível uma simplificação das definições de aproximação superior e

aproximação inferior, de forma que esses conceitos possam ser aplicados a um número real, e

não a um intervalo que o represente. Isso pode ser feito da seguinte forma: dadox ∈ ú, em um

espaço aproximado realA S= ( , )ú , a aproximação inferior e aproximação superior dexemAsão

definidas como:

37


0=x0 3 3.5 4 5.2 6

6.2

7 7.5 8.1 9 11=x10

Figura 10

Espaço real aproximadoA U S= ( , ), ondeU = ( , )011

e S x x= = = , , . , , . , , , . , . , , 0 100 3 35 4 52 6 7 75 81 9 11

A x y S y x S xinf *( ) ( | ) ( )= ∈ ≤ =sup

A x y S y x S xsup

*( ) ( | ) ( )= ∈ ≥ =inf

ondesup e inf são, respectivamente o supremo e o ínfimo de um conjunto (ver Apêndice A).

Dessa forma, a aproximação de um número realx em A é dada por

⟨ ⟩ = ⟨ ⟩A x A x S x S xinf sup *

*( ), ( ) ( ), ( ) . Diz-se que o númerox é exato em A se e somente se

A x A xinf sup( ) ( )= , isto é,S x S x x*

*( ) ( )= = . Caso contrário,x é inexato (aproximado) em A.

Obviamentex é exato emA se e somente sex S∈ .

Exemplo 27: Sejaú o conjunto dos reais eù o conjunto dos naturais. Obviamenteù é uma

discretização deú, dondeA = ( , )ú ù é um espaço aproximado real. As aproximações de

−1 2 52, , e2πsão respectivamente, , [ , ], [ , ]−1 12 2 3 e[ , ]6 7 . Observe que -1 é exato e os demais

números são aproximados emA.

Quando da utilização da TCA, a região duvidosa pode ser usada para expressar o erro

existente quando da classificação de um conjunto em um espaço aproximado dado. Assim sendo,

o valorµ A x A x A x( ) ( ) ( )sup inf= − poderia ser usado como uma medida de erro dexemA, ou seja,

o erro de aproximarx utilizando-se da escalaS. Essa medida no entanto apresenta problemas,

pois o erro é função da seqüênciaS. O Exemplo 28 mostra como essa medida de erro é

significativa apenas quando o universo e seqüência são cuidadosamente escolhidos. Para que

fosse significativa,Sdeveria ter uma distribuição uniforme emU.

Exemplo 28: Considere o intervalo real( , )010 e a seqüênciaS x x= = = , , . , , . , , 0 60 1 25 4 65 7 10 ,

que define o espaço aproximadoA S= (( , ), )010 . Considere os seguintes reais do intervalo (0,10):

y1 05= . , y2 1002= . , y3 7002= . e y4 85= . . No espaço aproximado considerado, esses quatro reais

serão representados pelos conjuntos aproximados:( , )01 ,( , . )125 ,( , )710 e( , )710 , respectivamente;

o uso de tal representação implicará nos erros 1, 1.5, 3 e 3, respectivamente. Pode ser facilmente

verificado que essa medida de erro é função direta deSe é relativamente “independente” do

elemento escolhido no intervalo da partição. Qualquer elemento entre 0 e 1, porexemplo,

possuirá uma mesma medida de erro.

Uma medida de erro mais eficiente deve levar em conta queSpode não ser uniforme. Em

[Pawlak (1997)] é definida função de pertinência aproximada real, que pode ser utilizada para

esse fim. Ela é definida da seguinte forma: sejax um número real, aproximado porQ x( ), como

definido anteriormente, em um espaço real aproximadoA U S= ( , ). A função de pertinência

aproximada deQ x( ) possui a forma:

38


µQ x yQ x A y

A y( ) ( )

( ( ) ( ))

( ( ))=

∩∆∆

,

onde∆( ) (| |, , X x y x y X= − ∈sup é a medida da extensão de um conjunto de números reaisX.

Sexeysão reais positivos, entãoµQ x y( ) ( )mede o grau para o qualx y≤ . Dessa forma,µQ x x( ) ( ) é

uma medida do erro de aproximação dex emA, como ilustrado no Exemplo 29.

Exemplo 29: Seja A S= (( , ), )010 , o espaço real aproximado definido no Exemplo 28 e sejam

também y1 05= . , y2 1002= . , y3 7002= . e y4 85= . . Utilizando-seµQ x x( ) ( ) como medida de erro

de aproximação tem-se que:

µQ y yQ y A y

A y( ) ( )

( ( ) ( ))

( ( ))

([ , . ] ( , ))1

1

1 1

1

0 05 01=

∩=

∩∆∆

∆∆

∆∆(( , ))

(( , . ])

(( , ))

..

01

0 05

01

05

105= = =

µQ y yQ y A y

A y( ) ( )

( ( ) ( ))

( ( ))

([ , . ] ( ,2

2

2 2

2

01002 12=

∩=

∩∆∆

∆ . ))

(( , . ))

([ , . ])

(( , . ))

.

..

5

125

11002

125

0002

1500

∆∆∆

= = = 0133

µQ y yQ y A y

A y( ) ( )

( ( ) ( ))

( ( ))

([ , . ] ( ,3

3

3 3

3

0 7002 71=

∩=

∩∆∆

∆ 0

710

7 7002

710

0002

30000667

))

(( , ))

([ , . ])

(( , ))

..

∆∆∆

= = =

µQ y yQ y A y

A y( ) ( )

( ( ) ( ))

( ( ))

([ , ] ( , ))4

4

4 4

4

0 8 710=

∩=

∩∆∆

∆∆(( , ))

([ , ])

(( , )).

710

7 8

710

1

30333= = =

∆∆

Observe que esses valores representam bem melhor o erro da aproximação desses números no

espaço real aproximadoA, dada a forma comoU foi particionado porS.

6.3 Seqüências Aproximadas de Reais

Observe que um espaço aproximado real, da maneira como foi definido, permite que as noções

de aproximações possam ser estendidas. Seja, por exemplo,A S= ( , )ú um espaço aproximado

real e seja an uma seqüência de números reais. Tem-se, entre outros, os seguintes resultados:

1. an é aproximadamente convergenteemA se possuir um limite aproximadol, i.e.,

∀ >ε 0, ∃ >N 0 tal que∀ >n N ⇒ | ( ) ( )|* *S a Sn − <l ε e | ( ) ( )|* *S a Sn − <l ε. Nesse

caso,S( )l é dito ser o limite aproximado de an eS* ( )l eS * ( )l são, respectivamente, o

limite inferior aproximado e o limite superior aproximado de an . Note que, da forma

como o espaçoA S= ( , )ú é definido (Sé uma coleção de intervalos), se fizermos

ε → 0, isso obrigatoriamente implicará a existência de um inteiro positivoi tal que

S a Sj( ) ( )= l para todoj i>

2. an é umaseqüênciaaproximadade Cauchyem A, se ∀ >ε 0, ∃ >N 0 tal que

∀ >m n N, ⇒ | ( ) ( )|* *S a S an m− < ε e | ( ) ( )|* *S a S an m− < ε. Da mesma forma que em

39


1., se fizermosε → 0, isso obrigatoriamente implicará a existência de um inteiro

positivoi tal queS a S ai j( ) ( )= para todoj i> . Observe que isso implica a existência de

l ∈ S a j( ) tal queS a Sj( ) ( )= l para todoj i> . Donde toda seqüência aproximada de

Cauchy é uma seqüência aproximadamente convergente e, portanto, um espaço

aproximado real é um espaço métrico completo

3. an éaproximadamentecrescenteemA, se para quaisquer inteiros positivosi e j, com

i j< , S a S ai j* *( ) ( )≤ e S a S ai j

* *( ) ( )≤

4. an é aproximadamentedecrescenteemA, se para quaisquer inteiros positivosi e j,

comi j< , S a S aj i* *( ) ( )≤ e S a S aj i

* *( ) ( )≤

5. an é aproximadamenteestritamentecrescenteem A, se para quaisquer inteiros

positivosi e j, comi j< , S a S ai j* *( ) ( )< e S a S ai j

* *( ) ( )<

6. an é aproximadamenteestritamentedecrescenteem A, se para quaisquer inteiros

positivosi e j, comi j< , S a S aj i* *( ) ( )< e S a S aj i

* *( ) ( )<

7. an é aproximadamenteperiódica em A, se existir um inteiro positivok tal que

S a S ai i k* *( ) ( )= + e S a S ai i k

* *( ) ( )= + . Observe que isso implicaS a S ai i k( ) ( )= +

8. an éaproximadamenteconstanteemA, seS a S ai i* *( ) ( )= +1 e S a S ai i

* *( ) ( )= +1 . Isso

implica queS a S ai i( ) ( )= +1 , ou seja, toda seqüência aproximadamente convergente é

uma seqüência aproximadamente constante, e vice-versa

6.4 Funções Aproximadas Reais

Sejam:

w f X Y: → uma função real

w S x x xn= , ,..., 0 1 uma discretização deX

w P y y ym= , ,..., 0 1 uma discretização deY

Se f é uma função contínua em todox S∈ , diz-se quef é S-contínua. Sejaf uma função

S-contínua e sejaN tal queN x ii( ) = . A funçãoF f :ù ù→ tal queF N x N P f xf i i( ( )) ( ( ( )))*= ,

será chamada derepresentaçãoaproximadadef (ou (S,P)-representação def).

Exemplo 30: Seja f :[ , ] [ , ]2 5 2 8→ , tal que f x x( ) = −2, conforme ilustrado na Figura 11.

Considere as discretizações

S =x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15

2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0

40


P =y0 y1 y2 y3 y5 y6 y7

2 3 4 5 6 7 8

A (S,P)-representação def é dada pela funçãoF f , representada na Tabela 8.

i xi N xi( ) f xi( ) P f xi* ( ( )) N P f xi( ( ( )))*

0 2.0 0 2.0 y0 0

1 2.2 1 2.4 y0 0

2 2.4 2 2.8 y0 0

3 2.6 3 3.2 y1 1

4 2.8 4 3.6 y1 1

5 3.0 5 4.0 y2 2

6 3.2 6 4.4 y2 2

7 3.4 7 4.8 y2 2

8 3.6 8 5.2 y3 3

9 3.8 9 5.6 y3 3

10 4.0 10 6.0 y4 4

11 4.2 11 6.4 y4 4

12 4.4 12 6.8 y4 4

13 4.6 13 7.2 y5 5

14 4.8 14 7.6 y5 5

15 5.0 15 8.0 y6 6

Tabela 8

(S,P)-representação def :[ , ] [ , ]2 5 2 8→ é dada pela funçãoF f

41


2

5

3

8

7

6

4

2 43 5

Figura 11

Gráfico da funçãof :[ , ] [ , ]2 5 2 8→ ,tal que f x x( )= −2

A função F f pode ser usada para definir algumas propriedades de funções reais, por

exemplo:

1) uma funçãof é aproximadamente crescente seF f x F f xf i f i( ( )) ( ( ))+ = +1 α, ondeα é

um inteiro positivo, para todoi n= −0 1,...,

2) uma função f é aproximadamente estritamente crescente se

F f x F f xf i f i( ( )) ( ( ))+ = +1 α, onde α é um inteiro positivo não-nulo, para todo

i n= −0 1,...,

3) uma funçãof é aproximadamente decrescente seF f x F f xf i f i( ( )) ( ( ))+ = −1 α, ondeα é

um inteiro positivo, para todoi n= −0 1,...,

4) uma função f é aproximadamente estritamente decrescente se

F f x F f xf i f i( ( )) ( ( ))+ = −1 α, onde α é um inteiro positivo não-nulo, para todo

i n= −0 1,...,

5) uma funçãof é aproximadamente periódica se existe um inteiro positivok tal que

F f x F f xf i f i k( ( )) ( ( ))= + , para todoi n= −0 1,...,

6) uma funçãof é aproximadamente constante se existe um inteiro positivok tal que

F f x F f xf i f i( ( )) ( ( ))= +1 , para todoi n= −0 1,...,

Além disso, entende-se porP-aproximaçãoinferior def a funçãof X Y* : → definida por:

f x P f x* *( ) ( ( ))= , ∀ ∈x X

e porP-aproximaçãosuperiordef, a funçãof X Y* : → definida por:

f x P f x* *( ) ( ( ))= , ∀ ∈x X

Logicamente, a funçãof éexatase f x f x*

*( ) ( )= . Caso contrário,f é inexata(aproximada)

emx. Pawlak em [Pawlak (1997)] propõe o valorµ f x f x f x( ) ( ) ( )*

*= − como medida do erro de

aproximação def emx. No entanto, como argumentado na Seção 6.2, p. 38-39, essa medida não

produz resultados satisfatórios, devendo ser substituída por

µQ f xQ f x B f x

B f x( ) ( )

( ( ( )) ( ( )))

( ( ( )))=

∩∆∆

onde, conforme definido anteriormente:

Q xx x

x x( )

[ , ]

[ , ]=

≥<

0 0

0 0

se

se

42


Considerando novamente uma dada função realf X Y: → , SeP discretizações deX eY,

respectivamente, diz-se quef é (S,P)-contínua (i.e.,aproximadamentecontínua) em x se e

somente se para todoy S x∈ ( ), f y P f x( ) ( ( ))∈ , ou seja,f S x P f x( ( )) ( ( ))⊆ . Como observado

em [Pawlak (1997), p. 145]:

O significado intuitivo desta definição é óbvio: o fato de uma função seraproximadamente contínua ou não depende da informação que se tem sobre a função,i.e., depende exatamente de como nós “vemos” a função através da discretização deXeY.

7 Funções Aproximadas

Com o objetivo de contornar o problema no Exemplo 24, no qual a aproximação inferior e a

aproximação superior de uma função não são funções, propomos que funções possam ser

aproximadas usando o conceito de aproximação discutido a seguir. SejamA X S= ( , )eB Y P= ( , )

dois espaços aproximados quaisquer e seja uma funçãof X Y: → . A representaçãodef emA é

a funçãof XA B

Y

( , ) : → 2 , tal que

f x y Y z x f z yA B S( , ) ( ) | [ ] , ( ) = ∈ ∈ =

ou seja, a (A,B)-aproximação def emx é o conjunto formado por todos os elementos dey que

sejam imagem dos elementos deX pertencentes à mesma classe de equivalência dex. Isso

permite que se definam aaproximaçãoinferior e aaproximaçãosuperiorde f emx, que são,

respectivamente, as funcõesf x X Y Pinf ( ): → e f x X Y Psup ( ): → , definidas por:

f x A f x x XB A Binf inf ( , )( ) ( ( )),= ∀ ∈−

f x A f x x XB A Bsup sup ( , )( ) ( ( )),= ∀ ∈−

Diz-se que uma funçãof éexataemx X∈ se e somente sef x f xinf sup( ) ( )= . Do contrário,

f é inexata(aproximadaemx). O conjuntof x f xsup inf( ) ( )− é o erro da aproximação def emx,

podendo ser medido porυ f x f x f x f x( ) ( ) ( ) ( )sup inf sup= − . Obviamente, sef é exata para todo

x X∈ , então f é exata emX . Como o interesse maior é aproximar todos os pontos deX,

define-se aaproximaçãoinferior e a aproximaçãosuperior de f A B( , ) em X, em símbolos

A f X Y

inf ( ): → 2 e A f X Y

sup ( ): → 2 , respectivamente, da seguinte forma:

A f x y X Y P y f xSinf inf( ) ( ,[ ] ) | ( )= ∈ × ∈

A f x y X Y P y f xSsup sup( ) ( ,[ ] ) | ( )= ∈ × ∈

Observe que, da forma como foram definidas, tantoA finf ( ), como A fsup ( ) continuam sendo

funções, o que pode ser observado no Exemplo 31.

43


Exemplo 31: Seja o espaço aproximadoA U R= ( , ) como definido no Exemplo 19. Sejaf a

função definida porf a a b a c e d g e a f b g g=( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ). Para o cálculo deA finf ( )

e A fsup ( ), é necessário obterf xinf ( ) e f xsup ( ) para todox U∈ , o que é fornecido pela Tabela 9.

x [ ]x R f xA B( , ) ( ) f xinf

( ) f xsup ( )

a , a b a ∅ , a b

b , a b a ∅ , a b

c , c d , e g g , , e f g

d , c d , e g g , , e f g

e , e f , a b , a b , a b

f , e f , a b , a b , a b

g g g g g

Tabela 9

Cálculo def xinf

( ) e f xsup ( )

Nesse caso, a aproximação inferior e a aproximação superior def A B( , ) são dadas por:

A f a b c g d g e a b ginf ( ) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , , ),( ,= ∅ ∅ , ),( , )a b g g

A f a a b b a b c e f g d e f gsup ( ) ( , , ),( , , ),( , , , ),( , , ,= ,( , , ),( , , ),( , )e a b g a b g g

Observe queA finf ( ) e A fsup ( ) são, a bem da verdade, aproximações da funçãof A B( , ) e não

de f. Mas ela permite que se pense em estratégias alternativas para funções aproximadas num

espaço aproximado qualquer. Uma possível extensão, por exemplo, é a definição de umafunção

de classificaçãoaproximadade um conjuntoZ X⊆ , baseada na funçãof, e nos espaços

aproximadosA X S= ( , ) e B Y P= ( , ) , notada porF A B

X Y

( , ) :2 2→ , tal que:

F Z f zA B A Bz Z

( , ) ( , )( ) ( )=∈U

O significado dessa função é claro: ela indica o quão bem o conjuntoZ está sendo

“enxergado” através da funçãof, em relação aos espaços aproximadosA e B, ou seja, comoZ é

“classificado” porf emB, induzido pelo espaço aproximadoB. Quando os espaços A e B são

conhecidos, e não há risco de confusão, utiliza-seF Z( ) em vez deF ZA B( , ) ( ). A aproximação

inferior e a aproximação superior da função de classificação aproximada def, notadas,

respectivamente, porF X Y

inf :2 2→ e F X Y

sup :2 2→ , são definidas como:

44


F Z f zz Z

inf inf( ) ( )=∈U

F Z f zz Z

sup sup( ) ( )=∈U

Impondo-se a condição deZser um conjunto elementar emA, tem-se queF ZA B( , ) ( ) mostra

o quão bemf mapeia a classeZ no espaço aproximadoB. Mais ainda,F Zinf ( ) indica a “certeza”

com o qual os espaços aproximadosA e B refletem f Z( ), pois é formado por uma união de

conjuntos elementares deB, cujos elementos seguramente pertencem àf Z( ), se analisados

através da classificação existente emB. F Zsup ( ), por sua vez, é formado pelos conjuntos

elementares deB, cujos elementos possivelmente pertencem àf Z( ) analisados através da

classificação existente emB. Isso pode ser melhor visualizado no Exemplo 32. Nesse caso ainda

(Zé um conjunto elementar emA), é intuitivo queF Z A F Zinf inf( ) ( ( ))= eF Z A F Zsup sup( ) ( ( ))= .

Exemplo 32: SejamSo SRC fornecido pela Tabela 10 ef uma função que mapeia todo objeto de

S em 0,1,2 conforme fornecido pela Tabela 11. Obviamentef pode ser vista como uma

classificação efetuada nos objetos deS.

U a b

x1 1 0

x2 1 0

x3 0 1

x4 1 1

x5 1 1

x6 1 0

x7 0 1

x8 0 0

x9 1 1

Tabela 10

Exemplo de SRC ondeU x x= ,... , 1 9 eQ a b= ,

Os conjuntos elementares deSsãoE x x x1 1 2 6= , , , E x x2 3 7= , , E x x x3 4 5 9= , , e E x4 8= .

Nesse caso, tem-se:

F E y y yA B( , ) ( ) , , 1 1 2 6= , F Einf ( )1 = ∅ e F E y y y ysup ( ) , , , 1 1 2 6 8=

F E y yA B( , ) ( ) , 2 3 7= , F E y yinf ( ) , 2 3 7= e F E y ysup ( ) , 2 3 7=

F E y y yA B( , ) ( ) , , 3 4 5 9= , F E y y yinf ( ) , , 3 4 5 9= e F E y y ysup ( ) , , 3 4 5 9=

45


F E yA B( , ) ( ) 4 8= , F Einf ( )4 = ∅ e F E y y y ysup ( ) , , , 4 1 2 6 8=

Observe que os objetos dos conjuntos elementaresE2 eE3 foram bem classificados, de acordo

com os resultados obtidos. O mesmo não pode ser dito dos objetos deE1 eE4 que possuem por

aproximação inferior da classificação aproximada def o conjunto vazio, indicando que esses

conjuntos elementares não foram bem classificados porf, levando-se em conta os espaços

aproximados existentes (um criado a partir do SRC S e outro a partir dos valores def(x) emU).

Além disso, os resultados obtidos nesse exemplo permitem afimar que as funçõesF A B( , ) , Finf e

Fsup podem ser utilizadas para a análise de SRCs que possuam uma classificação especialista,

verificando a relação entre a classificação especialista e aquela efetuada pelo conjunto de

atributos do sistema.

U y f xi i= ( )

x1 y1 0=

x2 y2 0=

x3 y3 2=

x4 y4 1=

x5 y5 1=

x6 y6 0=

x7 y7 2=

x8 y8 0=

x9 y9 1=

Tabela 11

Mapeamento dos objetos deSem 0,1

8 Conclusões

Este relatório aborda relações e funções aproximadas sob a ótica da TCA. Apresenta e discute

doze propriedades de relações aproximadas, evidenciando uma série de problemas que foram

encontrados, muitos deles que invalidam totalmente algumas das propriedades. Apenas duas

dentre essas propriedades (a terceira3 e a décima4) estavam totalmente corretas, não

necessitando de alteração e/ou reescrita. Todas as outras propriedades de relações aproximadas,

com exceção da quinta5 (mostrada ser incorreta) e da última6 (a notação adotada pelo autor não

permite a sua compreensão), foram alteradas e reescritas. As alterações propostas são

46


3 Analisada na p. 20 deste relatório4 p. 30 deste relatório5 p. 21 deste relatório6 p. 33 deste relatório

acompanhadas de prova matemática de sua validade. Com isso, procurou-se evidenciar, mais

uma vez, o descaso com o formalismo da TCA existente em várias referências da área. Há uma

excessiva preocupação por grande parte dos pesquisadores da TCA em supervalorizar a

proficuidade e potencial desta teoria. Alguns tentam inclusive mostrar (de maneira não

convincente) que a TCA se sobrepõe em alguns aspectos a outros formalismos para

representação de incerteza, principalmente a Teoria de Conjuntos Fuzzy (ver, a esse respeito,

nossas críticas em [Nicoletti & Uchôa (1997a)]). No entanto, há pouca preocupação em expor os

conceitos da TCA de forma clara e consistente. Aliás, [Pawlak (1981)] é o único documento

encontrado a elencar propriedades de relações aproximados. Por esse motivo, foi o escolhido

para análise das propriedades de relações aproximadas, apresentadas neste documento.

O estudo de funções aproximadas permitiu constatar que esse é ainda um conceito em “fase

de desenvolvimento” pela comunidade que pesquisa a TCA. Não existe ainda uma consolidação

desse conceito e de sua aplicabilidade. Vimos também que existem outras possibilidades de se

obter funções aproximadas que, com certeza, merecem um estudoper si. É importante ressaltar,

entretanto, que funções aproximadas (e mesmo relações aproximadas) necessitam de melhor

sistematização, objetivando uma caracterização clara, para que tenha aplicabilidade.

Acreditamos estar dando um passo nesse sentido ao propor aqui uma estratégia para obtenção de

funções aproximadas em espaços aproximados genéricos. Um outro passo já efetuado foi a

reescrita das propriedades de relações aproximadas, onde buscou-se eliminar as inconsistências

encontradas e demonstrar quais, efetivamente, são os resultados válidos.

47


Apêndice APré-requisitos Matemáticos

Este apêndice tem dois objetivos: o primeiro é o de rever alguns conceitos matemáticos

necessários a uma melhor compreensão das idéias apresentadas nesse trabalho e o segundo é o de

padronizar a notação utilizada.

A.1 Conjuntos

Um conjuntoS é definido como uma coleção bem-definida de objetos1. Os objetos de um

conjunto são denominadoselementosou pontosdesse conjunto. Sex é um elemento deS,

escreve-sex S∈ ; caso contráriox S∉ . O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado

de conjunto vazio e notado por∅ ou . Geralmente, indica-se um conjunto qualquer

discriminando seus elementos entre chaves ou por uma regra que bem defina os seus elementos.

É possível também utilizar uma representação gráfica em forma de diagramas.

Um conjuntoXé ditofinito se possui um número limitado de elementos, caso contrário será

infinito. O conjunto vazio é finito. Dado um conjunto finitoX, acardinalidadedeX, em símbolos

card X( ) ou| |X , é definida como sendo o número de elementos deX. Note que| |∅ = 0.

Um conjuntoSé ditosubconjuntode um conjuntoTse e somente se qualquer elemento deS

é também elemento deT. Denota-se “SésubconjuntodeT ” por S T⊆ . SeSé subconjunto deT,

pode-se também dizer queT contémSe escreverT S⊇ . Dois conjuntos S e T sãoiguais (S T= )

se e somente se contém exatamente os mesmos elementos, i.e.S T⊆ e T S⊆ . Quando se tem

S T⊆ e S T≠ entãoS é subconjunto própriodeT e indicado porS T⊂ . Indica-se “S não é

subconjuntodeT” por S T⊄ . Note que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Denomina-se o conjunto de todos os possíveis subconjuntos deSpor partesde Sou conjunto

potênciadeSe indica-se por2S .

Dados dois conjuntos quaisquerSeT, define-se ocomplementardeSemTcomo o conjunto

formado pelos elementos deTque não são elementos deS. Denota-se ocomplementardeSemT

por T S− . Um conjuntoU é dito serconjunto universose, num dado contexto, todos os

conjuntos aos quais se refere são subconjuntos deU. SeU é um conjunto universo, e pode ser

subentendido sem confusão, entãoU X− pode ser notado por( )−X ou simplesmente−X .

A uniãode dois conjuntos quaisquerSeTé o conjunto formado pelos elementos deSouT,

indicado por S T x x S x T∪ = ∈ ∈| ou . Por sua vez, aintersecçãode S e T é o conjunto

48


1. Por coleção bem-definida de objetos entendemos uma coleção de objetos distingüíveis e definíveis de acordo com aintuição ou o intelecto [Stoll (1979)].

formado pelos elementos que pertencem a ambosS e T, indicado por

S T x x S x T∩ = ∈ ∈| e .

As definições deuniãoeintersecçãopodem ser estendidas anconjuntos: dadosnconjuntos

quaisquerS S S S n1 2 3, , , ..., , define-se auniãodesses conjuntos como sendo o conjunto formado

por elementos que pertencem aqualquer um dessesn conjuntos, indicado por

S x x S i nii

n

i=

= ∈ ≤ ≤1

1U | , qualquer . Da mesma forma, define-se aintersecçãodesses

conjuntos como sendo o conjunto formado por elementos que pertencem atodos esses n

conjuntos, indicado por S x x S S i nii

n

i i=

= ∈ ≤ ≤1

1I | , ,todo .

DadosSeT conjuntos não-vazios, oprodutocartesianodeSporT é o conjunto formado

pelos pares ordenados( , )s t tal que s S∈ e t T∈ , e é notado S T s t s S e t T× = ∈ ∈( , ) | . O

produto cartesiano também pode ser estendido paran conjuntos: dadosn conjuntos quaisquer

S S S S n1 2 3, , , ..., , o produto cartesiano desses conjuntos, nessa ordem é o conjunto formado pelas

n-úplas ( ,..., )x xn1 , tal que x Si i∈ , 1≤ ≤i n, e é notado

S S S x x x S i nn n i i1 2 1 1× × × = ∈ ≤ ≤... ( ,..., )| , .

Os seguintes símbolos podem ser utilizados quando da caracterização de propriedades de

elementos em um conjunto:

w ∀ , que lê-se “qualquer” ou “para todo”

w ∃ , que lê-se “existe”

w ∃ ! , que lê-se “existe um único”

w /∃ , que lê-se “não existe”

w ⇒ , indica implicação lógica

w ⇔, indica equivalência lógica

A.2 Relações, Relações de Ordem, Relações de Equivalência e

Partição de um Conjunto

DadosSeTconjuntos não-vazios, a qualquer subconjunto deS T× é dado o nome derelaçãode

SemT. Dessa forma, seRé uma relação deSemT, entãoR S T⊆ × . Se( , )s t R∈ , entãoset estão

R-relacionados e escreve-sesRt. SeR S S⊆ × , entãoR é uma relação sobreS. Uma relaçãoR

sobreSé:

w reflexiva: ∀ x, x S xRx∈ ⇒

w irreflexiva: ∀ x, x S∈ ⇒ é impossível obterxRx

w simétrica: ∀ ∈x y S, , xRy yRx⇒

49


w anti-simétrica: ∀ ∈x y S, , xRy yRx x ye ⇒ =

w assimétrica: ∀ ∈x y S, , xRy ⇒ é impossível obteryRx

w transitiva: ∀ ∈x y z S, , , xRy yRz xRze ⇒

w compostadeV eW: ∀ ∈x y S, , xRy ⇒ ∃ ∈ z S, xVz e zWy

w inversadeV: ∀ ∈x y S, , xRy ⇒ yVx

QuandoR form uma composição deV e W, nota-se porR V W= o . A inversa deR é

representada porR−1 .

Uma relaçãoRsobre um conjuntoSé ditarelaçãodeordemparcialsobre Sse e somente se

Ré reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Dadosa b S, ∈ eRuma relação de ordem parcial sobreS, se( , )a b R∈ , diz-se quea b R∠ ( )(a

precedeb ordenado porR). Se todos os elementos deS forem comparáveis mediante uma

relação de ordem parcialR sobreS,entãoRserá chamadarelaçãodeordemtotal sobreS.

SejamSum conjunto parcialmente ordenado pela relaçãoRe A S⊆ , comA ≠ ∅

w L S∈ é umlimite superiordeA se for verdade que∀ ∈x S, x A x L R∈ ⇒ ∠ ( )

w l S∈ é umlimite inferior deA se for verdade que∀ ∈x S, x A l x R∈ ⇒ ∠ ( )

w M S∈ é ummáximodeA quandoM A∈ e também for um limite superior deA

w m S∈ é ummínimodeA quandom A∈ e também for um limite inferior deA

w osupremodeA, caso exista, é o mínimo do conjunto formado pelos limites superiores de

A

w o ínfimodeA, caso exista, é o máximo do conjunto formado pelos limites inferiores deA

Um relaçãoRsobre um conjuntoSé dita derelaçãodeequivalênciasobre Sse e somente se

Ré reflexiva, simétrica e transitiva. Dadosa b S, ∈ eRuma relação de equivalência sobreS, se

( , )a b R∈ , diz-se quea b R≡ ( ) (a é equivalente ab módulo R).

SejaRuma relação de equivalência sobreS. Dadoa S∈ , define-se aclassedeequivalência

determinada pora, móduloR, como o subconjunto[ ]a R deSformado por elementosx S∈ , tais

quexRa. Em símbolos:

[ ] |a x S xRaR = ∈

O conjunto das classes de equivalência deS, móduloR, é indicado porS R e chamado de

conjuntoquocientedeSporR.

50


Exemplo A.1: Seja S a b c= , , e R a a b b c c a c c a= ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) . Pode ser facilmente

verificado queRé uma relação de equivalência sobreS e que [ ] [ ] ,a c a cR R= = e [ ]b bR = .

Donde S R a b a c bR R= =[ ] ,[ ] , , .

SejaSum conjunto não vazio. Uma coleção finitaΩ de subconjuntos deSé umapartição

deSse e somente se:

(1) para quaisquerX Y, ∈Ω , X Y= ou X Y∩ = ∅ , ou seja, dois membros quaisquer deΩou são iguais ou são disjuntos

(2) a união de todos os elementos deΩ é igual aS

A partição de um conjuntoSestá intimamente ligada a uma relação de equivalênciaR, e isso

pode ser observado através dos seguintes resultados (cf. [Domingues & Iezzi (1982), Gemignani

(1990), Stoll (1979)]):

(a) seRé uma relação de equivalência sobreS, entãoS R é uma partição deS

(b) seΩ é uma partição deS, então existe uma relação de equivalência tal queS R = Ω

Em algumas situações tem-se uma famíliaΩ de subconjuntos deS, tal que a união de todos

os elementos deΩ é igual aS, sem que, no entanto, ocorra que os elementos deΩ sejam disjuntos

entre si. Nesse caso, diz-se queΩ é umacoberturadeS. É fácil visualizar que toda partição é

também uma cobertura, mas nem sempre o contrário é válido. Uma observação a ser feita é que

por famíliaentende-se uma coleção finita de conjuntos.

A.3 Funções, Seqüências, Limites e Continuidade

A.3.1 Funções e Funções Reais

Uma funçãof de X em Y, representada porf X Y: → , é um conjunto de pares ordenados

( , )x y X Y∈ × , no qual dois pares ordenados distintos não têm o primeiro número do par em

comum, i.e., se( , )x y f1 1 ∈ e ( , )x y f1 2 ∈ , então obrigatoriamente,y y1 2= . Além dissof é

definida em todo oX, ou seja,∀ ∈x X , ∃ ∈y Y, de forma que( , )x y f∈ . Nesse caso, escreve-se

f x y( ) = . O conjuntoX é dito ser odomíniode f; Y, por sua vez, é ocontra-domínio. Ao

subconjunto deY formado por aqueles elementos que pertençam à função, dá-se o nome de

imagemda função.

51


Uma função f X Y: → é compostade g X Z: → e h Z Y: → quando ∀ ∈x X ⇒f x h g x( ) ( ( ))= . A inversade uma funçãof X Y: → , quando houver, é uma funçãof Y X− →1 : ,

onde∀ ∈x X f x y( ) = ⇒ f y x− =1 ( ) .

No que segue o interesse recai sobre funções definidas da formaf X: →ú, ondeú é o

conjunto dos números reais eX ⊆ ú. Tais funções são ditas serem funções reais.

A.3.2 Limite e Continuidade de uma Função

DadoX ⊆ ú, a ∈ ú é dito ser ponto de acumulação deX se e somente todo intervalo aberto de

centroa possui infinitos pontos deX.

Sejaf X: →úuma função real, i.e.,X ⊆ ú, e sejam tambémx X∈ ea ∈ ú tal queaé ponto

de acumulação deX. Diz-se que o número realL é o limite de f x( ) quandox tende paraa, e

escreve-selim ( )x a

f x L→

= , quando,∀ >ε 0, ∃ >δ 0 tal que, ∀ ∈x X com 0 < − <| |x a δ ⇒| ( ) |f x L− < ε .

Uma função realf X: →ú é contínua ema X∈ quando,∀ >ε 0, ∃ >δ 0 tal que,∀ ∈x X

com0 < − <| |x a δ ⇒ | ( ) ( )|f x f a− < ε. Seaé um ponto de acumulação deX, entãof é contínua em

a se e somente selim ( ) ( )x a

f x f a→

= .

A.3.3 Seqüências e Limites de Seqüências

Umaseqüênciaé um caso especial de função, cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos

não-nulos. Os números na imagem da seqüência (que são chamados os elementos da seqüência)

serão restritos, neste texto, aos números reais. Se on-ésimo elemento da seqüência é dado por

f n( ), então a seqüência é o conjunto de pares ordenados da forma( , ( ))n f n , onden é um inteiro

positivo não-nulo.

Exemplo A.2: Seja a seqüência definida porf n n n( ) / ( )= +2 1 . Então:

f ( )11

3= , f ( )2

2

5= , f ( )3

3

7= e f ( )4

4

9=

Uma forma cômoda de representar uma seqüência é dada por an , onde cadaan , n um

inteiro positivo não-nulo, é on-ésimo elemento da seqüência. Diz-se que uma seqüência an é

convergentese possui umlimite L, i.e.,∀ >ε 0, ∃ >N 0 tal que∀ >n N ⇒ a Ln − < ε. SeL é o

limite de an , esse fato é indicado porlimn

na L→∞

= . Se a seqüência não for convergente, i.e., a

seqüência não possui limite, então diz-se que a seqüência édivergente.

Dadas an e bn seqüências convergentes ecuma constante real, as seguintes propriedades

podem ser verificadas (ver, por exemplo, [Leithold (1986)]):

52


(i) a seqüênciaconstante c , em quea cn = para todo inteiro positivo não-nulon, temc

como seu limite

(ii) lim limn

nn

nca c a→+∞ →+∞

=

(iii) lim( ) lim limn

n nn

nn

na b a b→+∞ →+∞ →+∞

± = ±

(iv) lim ( lim )( lim )n

n nn

nn

na b a b→+∞ →+∞ →+∞

=

(v) lim

lim

limn

n

n

nn

nn

a

b

a

b→+∞

→+∞

→+∞

= , se limn

nb→+∞

≠ 0

Uma seqüência an de reais é dita ser:

(i) não-decrescente, oucrescente, sea an n≤ +1 para todo inteiro positivo não-nulon

(ii) não-crescente, oudecrescente, sea an n≥ +1 para todo inteiro positivo não-nulon

(iii) estritamentecrescente, sea an n< +1 (um caso especial dea an n≤ +1 ) para todo inteiro

positivo não-nulon

(iv) estritamentedecrescente, sea an n> +1 (um caso especial dea an n≥ +1) para todo inteiro

positivo não-nulon

(v) monótona, se ela é crescente ou decrescente

(vi) periódica, se existir um inteiro positivok tal quea ai i k= +

(vii) de Cauchy, se ∀ >ε 0, ∃ >N 0 tal que∀ > ⇒ − <m n N x xm n, ε

Uma observação importante a ser feita é que, em se tratando do espaço real, uma seqüência

an é convergente se e somente se é de Cauchy. Um espaço em que uma seqüência de Cauchy é

convergente é dito ser um espaço métrico completo (ver, a esse respeito, [Kuelkamp (1988)]).

53


Referências Bibliográficas

[Klir-Yuan (1995)] J. G. Klir, B. Yuan.Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. New

Jersey, Prentice Hall, 1995

[Leithold (1986)] Leithold, L. O cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo, Harbra,

1986. 2v.

[Nicoletti & Uchôa (1997)] Nicoletti, M.C. & Uchôa, J. Q. Conjuntos aproximados sob a

perspectiva de função de pertinência. In:Anais do 3. Simpósio Brasileiro de Automação

Inteligente - SBAI. Vitória, ES, 3 a 5 desetembro de 1997, p. 307-312

[Nicoletti & Uchôa (1997a)] Nicoletti, M.C. & Uchôa, J. Q.O uso de funções de pertinência na

caracterização dos principais conceitos da teoria de conjuntos aproximados.Relatório

Técnico do Departamento de Computação 005/97, São Carlos, DC-UFSCar, 1997

[Nicoletti & Uchôa (1998)] Nicoletti, M.C. & Uchôa, J. Q.O Uso da teoria de conjuntos

aproximados na determinação de redutos de conjuntos de atributos.Relatório Técnico

do Departamento de Computação 001/98, São Carlos, DC-UFSCar, 1998

[Pawlak (1981)] Pawlak, Z. Rough Relations. ICS PAS Report 435. Warsaw, June 1981. 10 p.

[Pawlak (1982)] Pawlak, Z. Rough sets.International Journal of Computer and Information

Sciences, 11(5), 1982, p. 341-356

[Pawlak (1991)] Pawlak, Z.Rough sets: theoretical aspects of reasoning about data. London,

Kluwer, 1991

[Pawlak (1994)] Z. Pawlak. Hard and Soft Sets.Rough sets, fuzzy sets and knowledge discovery,

W. P. Ziarko (ed.), Springer-Verlag, 1994, p.130-135

[Pawlak (1994a)] Pawlak, Z.Rough sets, rough relation and rough functions. Research Report

24/94 of The Institute of Computer Science, W.U.T. (Warsaw University of

Technology), May 1995. [ftp at ftp.ii.pw.edu.pl/pub/Reports/]

[Pawlak (1995)] Pawlak Z.On some issues connected with roughly continuous functions.

Research Report 21/95 of The Institute of Computer Science, W.U.T. (Warsaw

University of Technology), May 1995. [ftp at ftp.ii.pw.edu.pl/pub/Reports/]

54


[Pawlak (1995a)] Pawlak, Z.Rough real functions and rough controllers. Research Report 1/95

of The Institute of Computer Science, W.U.T. (Warsaw University of Technology),

May 1995. [ftp at ftp.ii.pw.edu.pl/pub/Reports/]

[Pawlak (1997)] Pawlak, Z.Rough real functions and rough controllers. Rough sets and data

mining: analysis for imprecise data, T. Y. Lin & N. Cercone (eds.). Boston, Kluwer

Academic, 1997, pp . 139-147

[Pawlak & Skowron (1994)] Pawlak, Z. & Skowron, A. Rough membership functions.

Advances in the Dempster-Shafer Theory of Evidence, R. Yager; M. Fedrizzi; J.

Kacprzyk (eds.), John Wiley & Sons, 1994, pp. 251-271

[Stoll (1979)] Stoll, R. R.Set theory and logic. New York, Dover, 1979

[Uchôa & Uchôa (1997)] Uchôa, J. Q. & Nicoletti, M.C.Elementos da teoria de conjuntos

aproximados.Relatório Técnico do Departamento de Computação 001/97. São Carlos,

DC-UFSCar, 1997

55


relações e funções aproximadas: uma abordagem baseada na

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