2013-2 - 05 - soluções aproximadas de equações algébricas e transcendentais - 2 a5 corpo 18
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1
5. Solues Aproximadas de Equaes Algbricas e
Transcendentais
5.1 Isolamento de Razes
Equation Chapter 5 Section 1Se uma equao algbrica ou
transcendental for, em geral, complicada, normalmente no se pode
encontrar suas razes exatas. Assim, so importantes os mtodos de
aproximao de uma raiz e a estimativa de seu grau de preciso.
Seja ento uma equao qualquer 0f x , definida e contnua em um
intervalo ,a b , isto , ,f x C a b .
Em determinados casos necessrio que se garanta a continuidade,
tambm, da primeira derivada f x e da segunda derivada f x . Assim,
precisa-se que a funo 0f x seja definida em um espao 2 ,C a b .
-
A cada valor de x , onde a funo identicamente nula, denomina-se zero
ou raiz da equao. Assim, se em um determinado x , a funo f x for
nula, uma raiz dela.
Assumir-se- que as razes de f x so isoladas, isto , para cada raiz de
f x existe uma vizinhana ,V r em que no existe nenhuma outra raiz.
Teorema 1: Se uma funo contnua y f x assume valores opostos
em sinal nos pontos extremos de um intervalo ,a b , isto , se 0f a f b ,
ento no intervalo existir no mnimo uma raiz da equao 0f x .
Teorema 2: Seja uma raiz exata e x uma raiz aproximada da equao
0f x , ambas localizadas em algum intervalo ,a b e seja 0f x m para
a x b . Ento a seguinte estimativa permanece verdadeira:
-
3
f xxm
(Prove como exerccio. Sugesto: Use o teorema do valor mdio)
Seqncias de Sturm
O isolamento das razes importante, como j se viu acima. Outro
procedimento de fazer isso pelo estabelecimento de seqncias de
Sturm. Seja ento a equao a ser resolvida 0 0f x diferencivel no
segmento ,a b . Ento as funes contnuas
0 1, , , mf x f x f x (5.1.1)
formam uma seqncia de Sturm 0
m
k kf sobre ,a b se elas satisfazem as
seguintes condies:
0f x , tem pelo menos uma raiz em ,a b ; (5.1.2)
-
mf x , no se anula em ,a b ; (5.1.3)
se 1 10 0, ,k k kf f f a b ; (5.1.4)
se 0 0 10 0, ,f f f a b ; (5.1.5)
Teorema 3: O nmero de zeros de 0f x em ,a b igual diferena
entre o nmero de variaes de sinal em 0 1, , , mf a f a f a e em
0 1, , , mf b f b f b sabendo-se que 0 0 0f a f b e 0 1, , , mf x f x f x forma
uma seqncia de Sturm em ,a b .
Demonstrao
O nmero de variaes de sinais pode mudar quando x varia de a at b por meio de alguma funo que muda o sinal
sobre o intervalo. Por (5.1.3) a funo no pode ser mf x . Assumindo que em algum , 0ka b f para
algum k em 0 k m . Numa vizinhana de , o sinal precisa ser qualquer dos seguintes:
x 1kf kf 1kf ou x 1kf kf 1kf
+ - - +
+ 0 - - 0 +
-
5
+ - - +
Os sinais na linha x seguem de (5.1.4) Os sinais na primeira e ltima coluna advm da continuidade devido a que
ser suficientemente pequeno. A possibilidade de sinal na coluna central genrica. V-se que dessas tabelas que x
passa atravs de sem mudana de sinal. Examinando agora a variao de 0f x prximo da raiz x :
x 0f x 1f x ou x 0f x 1f x
+ - - +
0 - 0 +
- - + +
As colunas de 0f x representam os dois casos possveis para uma raiz simples. O sinal de 1f segue da condio
(5.1.5) e a continuidade implica nos demais sinais nas ltimas colunas. Claramente, existe nesse caso um decrscimo de
uma mudana no nmero de variaes quando x cresce a partir da raiz de 0f x . Quando esses resultados so
cambiados, segue o estabelecido no teorema.
-
relativamente fcil a construo de uma seqncia de Sturm quando
0f x um polinmio qualquer. Definindo-se:
1 0f x f x (5.1.6)
que satisfaz a condio (iv) para raiz simples. Ento se divide 0f x por
1f x e o resto 2f x . Divide-se ento 1f x por 2f x e o resto 3f x .
Continuando este procedimento at o fim (quando o polinmio
encontrado tiver grau menor que o seu predecessor):
0 1 1 2
1 2 2 3
2 1 1
1
m m m m
m m m
f x q x f x f x
f x q x f x f x
f x q x f x f x
f x q x f x
(5.1.7)
-
7
Este procedimento conhecido como algoritmo Euclidiano para
determinao do mximo divisor comum, mf x entre 0f x e 1f x .
EXERCCIOS
1. Isole as razes da equao 4 4 1 0f x x x
2. Uma aproximao de uma das razes da equao 4 1f x x x
1,22 . Estime o erro absoluto desta raiz.
-
5.2 Mtodo da Diviso em Duas Partes ou da Bisseo
Equation Section (Next)Seja a equao 0f x onde f x contnua em
,C a b e 0f a f b . Para achar a raiz da funo dada, existente no
intervalo ,a b , divide-se o intervalo ao meio. Se 2f a b , ento 2a b
a raiz procurada. Se 2 0f a b , ento se escolhe um novo intervalo,
ou , 2a a b ou 2,a b b de modo que o produto dos valores da funo
calculado nos extremos do novo intervalo seja menor que zero. Procede-
se assim, continuamente, at que se ache a raiz procurada, com um erro
estabelecido. Ou seja, tem-se a seqncia infinita de intervalos:
1 1, , , , , , ,n na b a b a b (5.2.1)
de modo que:
-
9
0, 1,2,2
n n n n n
b af a f b n b a
(5.2.2)
Isso garante que lim limn nn n
a b
que o que se procura.
Algoritmo da Diviso em Duas Partes ou da Bisseo
Entrar com os pontos extremos ,a b
Entrar com a tolerncia TOL
Entrar com o nmero mximo de iteraes N
1i
FA = f a Enquanto i N faa
/ 2p a b a % ponto mdio
FP = f p % valor da funo no ponto p
Se FP=0 ou / 2b a TOL
Ento imprima p
Pare;
1i i
-
Se 0FA FP Ento
a p
FA FP Seno
b p
Fim enquanto
Imprima mtodo falhou aps N iteraes =, N
fim
Exemplo
A equao 3 24 10 0f x x x tem razes em 1, 2 uma vez que 1 5f e
2 14f . Usando o algoritmo acima se escreveu o seguinte programa em
Matlab, para solucionar o problema:
% Mtodo da Diviso em 2 Partes - Biseco
%
clear; clc;
disp(' =========== Razes pelo Mtodo da Diviso ===========');
% funo f a ser determinada a raiz
f = @(x) x^3+4*x^2-10;
-
11
%
a = input('Entre com o extremo esquerdo = ');
b = input('Entre com o extremo direito = ');
TOL = input('Entre com a tolerncia = ');
N = input('Entre com o nmero mximo de iteraes = ');
fprintf('\n n= an= bn= pn= fpn=');
i=1;
FA=f(a);
while i
-
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5
0
5
10
15
Eixo dos XE
ixo d
os
Y
Funo Polinomial do 3 Grau
Figura 5.1 Funo Polinomial de 3 Grau
-
13
Figura 5.2 Mtodo da Diviso para determinao de raiz entre 1 e 2
-
EXERCCIOS:
1. Determine a raiz da equao abaixo pelo mtodo da diviso, no
intervalo indicado com preciso de 510 :
a. 4 32 1 0f x x x x , no intervalo [0,1].
b. 3 20,2 0,2 1,2 0f x x x x , no intervalo [1,2].
c. 1 2sin( ) 0f x x x , nos intervalos 0;0,5 e 0,5;1 .
2. Uma calha de comprimento L tem sua seo transversal na forma
de um semicrculo de raio r . Quando cheia de gua at uma
distancia h do topo, o volume V de gua dado por:
1/ 22 2 2 20,5 arcsin hV L r r h r hr
. Supondo que 5L m , 0,50r m ache
a profundidade h quando:
-
15
a. 30,20V m , e
b. 31,40V m com preciso de 310 e de 510 respectivamente.
-
5.3 Mtodo das Cordas ou Mtodo da Falsa-Posio
Equation Section (Next)Este mtodo semelhante ao anterior e usa as
mesmas hipteses, isto , para se determinar uma raiz de ,f x C a b
necessrio se ter um intervalo ,a b tal que 0f a f b , pois isso implica
que exista pelo menos uma raiz no intervalo ou um nmero impar delas.
Seja, por exemplo, 0 0f a f b e que exista apenas uma raiz em ,a b .
Ento ao invs de se dividir o intervalo ao meio, dividimo-lo na razo
f a
f b . Isto produz uma aproximao do valor da raiz procurada:
1 1x a h (5.3.1)
onde
1
f a b ah
f b f a
(5.3.2)
-
17
Ento aplicando o mesmo procedimento ao intervalo 1 1, ,a x x b ,
conforme seja a situao em que o produto dos valores da funo nos
extremos seja menor que zero, encontra-se 2x , e assim sucessivamente.
Seja a corda existente entre o ponto ,A a f a e ,B b f b , cuja equao
(reta que passa por dois pontos):
( )( ) ( )
x a y f a
b a f b f a
Considerando que em 1x x , 0y , pois o ponto onde a corda corta o eixo
dos x , tem-se:
1
( ).( )
( ) ( )
f ax a b a
f b f a
(5.3.3)
-
Dependendo de que 0f a ou 0f b , o ponto contrrio ficar fixo, assim
poder-se- ter uma das seguintes frmulas vlidas (que so
completamente equivalentes):
1( )
.( ), 0,1,2,( ) ( )
nn n n
n
f xx x x a n
f x f a
(5.3.4)
ou
1( )
.( ), 0,1,2,( ) ( )
nn n n
n
f xx x b x n
f b f x
(5.3.5)
Comparando o mtodo das cordas com o da bisseo pode-se verificar
que no primeiro mtodo o erro 1n nnn
x x
x decresce mais rapidamente
que no segundo, mostrando que o esquema do mtodo das cordas
mais eficiente que o da bisseo.
-
19
Abaixo se apresenta o algoritmo das cordas desenvolvido em linguagem
em Matlab:
Algoritmo das Cordas
% Mtodo das Cordas ou da Falsa-Posio
%
clear;
clc;
%
% funo f a ser determinada a raiz (pode ser substituda pela
% funo que o leitor quiser, sempre na mesma sintaxe)
%
f = @(x) x^3+4*x^2-10;
%
TOL=0; N=0; a=0; b=0;
neg = 1;
while neg==1
disp(' ========== Razes pelo Mtodo das Cordas ==========');
a = input('Entre com o extremo esquerdo = ');
b = input('Entre com o extremo direito = ');
TOL = input('Entre com a tolerncia = ');
-
N = input('Entre com o nmero mximo de iteraes = ');
x0 = input('Entre com o valor inicial das iteraes = ');
if (f(a)*f(b) < 0 && x0 < b && x0 > a && TOL < 0.01)
neg = 0;
else
clc;
disp('Erro: Verifique limites ou valor inicial');
disp('----- Entre com os dados novamente -----');
end
end
%
fprintf('\n n= x(n)= x(n+1)= erro');
i=1;
x=linspace(1,2,100);
for k=1:100
y(k)=f(x(k));
end
h = figure(1); plot(x,y);grid on; axis on;hold on;
xlabel('Eixo dos X');
ylabel('Eixo dos Y');
title('Funo Polinomial do 3 Grau');
%
fa = f(a); % valor da funo no ponto a
fb = f(b); % valor da funo no ponto b
x(1) = 1.2;
if fa < 0
while i
-
21
fprintf('\n %2.0i %15.10f %15.10f %15.10f',i,x(i),x(i+1),erro);
if fp == 0 || erro < TOL
fprintf('\n Valor final da raiz = %16.12g',x(i+1));
disp(' ');
plot(x(i+1),fp,'dr'); %plota um diamante vermelho na raiz
return;
end
i=i+1;
end
else % f(b) < 0
while i
-
Executando-se o programa acima para o mesmo problema do exemplo
utilizado no mtodo da diviso em duas partes, com os mesmos
parmetros, se obtm os resultados apresentados a seguir. Observamos
que o mtodo das cordas tem convergncia mais rpida que o mtodo da
diviso em duas partes (Figura 5.2), pois enquanto este precisou de 17
iteraes aquele precisou de apenas 8 iteraes para a obteno da raiz
com erro da ordem 510 (Figura 5.3):
-
23
Figura 5.3 Metodo das Cordas determinao raiz [1 e 2].
-
EXERCCIOS
1. Determine a raiz da equao abaixo pelo mtodo das cordas e
mtodo da bisseo, com erro da ordem de 510 :
a. 4 32 1 0f x x x x , no intervalo [0,1].
b. 3 20,2 0,2 1,2 0f x x x x , no intervalo [1,2].
c. 20.5 2.5 4.5f x x x , no intervalo [0, 10].
2. Ache a menor raiz positiva da funo 2 cos 5x x usando os mtodos
das cordas e da bisseo. Para localizar a regio onde se encontra a
raiz, plot a funo no intervalo de 0 a 5. Realiza os clculos at que o
erro 1n nnn
x x
x seja menor que 1%. Cheque sua resposta final
substituindo na funo original.
-
25
3. A velocidade v de um pra-quedista caindo dada por 1 c m tgmv ec
onde 9,8g m/s2. Para um pra-quedista com um coeficiente de
arrasto 15c kg/s, calcule a massa m assim que a velocidade alcanar
35v m/s em 9t s. Use os mtodos conhecidos para obter uma
resposta com 1n nnn
x x
x
-
5.4 Mtodo de Newton-Raphson ou Mtodo da Tangente para
Equao Simples
Equation Section (Next)Este mtodo j foi apresentado na seo 4.4, para
o caso de aproximao de funes. Agora ser aplicado para a
determinao de razes.
Seja 0f x uma funo contnua definida em 2 ,C a b , semelhana do
que se admitiu nos casos anteriores, e que
0f a f b , e mais, que f x e f x sejam
contnuas e preservem o sinal em ,a b .
Seja n nx h (5.4.1)
uma raiz de f x , onde nh uma quantidade
pequena. Aplicando o desenvolvimento de Figura 5.4 Mtodo Newton-Raphson
-
27
Taylor, usando os dois primeiros termos, tem-se:
0 n n n nf f x h f x h f x
Donde se pode determinar nh :
n
n
n
f xh
f x
que substituindo em (5.4.1), encontra-se:
1
, 0,1,2,nn nn
f xx x n
f x
(5.4.2)
e onde uma boa aproximao para 0x aquela para qual a inequao
abaixo satisfeita:
0 0 0f x f x
-
Se v assm que este mtodo requer que 0f x tenha uma soluo e
mais, que sua derivada primeira seja contnua na vizinhana de e no
seja singular em .
EXERCCIOS
1. Determine a raiz da equao abaixo pelo mtodo de Newton:
a. 4 32 1 0f x x x x , no intervalo [0,1].
b. 3 20,2 0,2 1,2 0f x x x x , no intervalo [1,2].
c. 4 23 75 10000 0f x x x x , no intervalo [-100, -10]
d. tan 0f x x x , no intervalo [/2, 3/2]
-
29
Outra forma de apresentao deste mtodo, com uma pequena variao,
o conhecido como Mtodo de Newton Modificado, que ser visto a
seguir.
Se a derivada f x varia lentamente em um intervalo ,a b , ento a
frmula do Mtodo de Newton-Raphson Modificado :
1( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x (5.4.3)
Pode-se fazer
0'( ) '( )nf x f x (5.4.4)
Assim o processo de aproximao, dar-se- pela frmula:
10
( )
'( )
nn n
f xx x
f x (5.4.5)
-
Este mtodo tem uma vantagem sobre o Mtodo de Newton-Raphson
Simples, pois se evita nele o clculo de nf x em cada aproximao.
EXERCCIOS
1. Determine a raiz da equao abaixo pelo Mtodo de Newton-
Raphson Modificado:
a. 4 22 1 0f x x x x , no intervalo [0, 1].
b. 3 20,2 0,2 1,2 0f x x x x , no intervalo [1, 2].
c. 4 23 75 10000 0f x x x x , no intervalo [-100, -10]
d. tan 0f x x x , no intervalo [/2, 3/2]
-
31
Usando o Mathcad para solucionar as razes de polinmios, atravs do
uso do menu Simbolics / Variable / Solve v-se abaixo alguns exemplos:
x4
3 x3 17.2x
2 3 x 60.5
has solution(s)
1.84464298797634823253.5421915825432999264i
1.84464298797634823253.5421915825432999264i
.344642987976348232451.9168634105775423629i
.344642987976348232551.9168634105775423629i
x3
5 x2 4 x 20
has solution(s)
5
2
2
1
2x2 x 2
has solution(s)
1 i 3
1 i 3
Figura 5.5 Determinao de Razes pelo MathCad
-
Outra forma de soluo de razes no Mathcad a seguinte, onde se usa o
menu Simbolics / Polinomial Coeficientes e logo depois a funo
polyroots:
-
33
p x( ) x4
2 x2 x 1
has coefficients
v
1
1
2
0
1
r polyroots v( )r
0.482
0.172 1.577i
0.172 1.577i
0.825
p x( )
x
1 0.5 0 0.5 1
1.5
1
0.5
0.5
Figura 5.6 Raizes pelo MathCad usando polyroots
-
5.5 Mtodo da Iterao
Equation Section (Next)Um dos mtodos mais importante para a soluo
numrica de equaes o mtodo das aproximaes sucessivas ou
mtodo da iterao,
Essencialmente, o mtodo consiste no seguinte. Seja uma equao
0y f x (5.5.1)
com f x contnua em 2 ,C a b e deseja-se determinar suas razes reais.
Troca-se a equao (5.5.1) como posta por outra equivalente, da forma:
x x (5.5.2)
De alguma maneira, escolhe-se uma aproximao inicial 0x para o valor
da raiz desejada e faz-se:
-
35
1 0
1n n
x x
x x
(5.5.3)
Se esta seqncia convergente, ento existe um limite lim nn
x
. Levando
esta hiptese em (5.5.3) obtm-se:
1 1lim lim limn n nn n n
x x x
ou seja,
(5.5.4)
Assim, o limite a raiz procurada de (5.5.2) e pode ser calculada pela
frmula iterativa (5.5.3).
-
Teorema 1: Seja a funo x definida e diferencivel no segmento
,a b com todos os valores ,x a b . Ento se existir uma frao prpria q ,
tal que:
1x q (5.5.5)
para a x b , ento:
o processo de iterao 1n nx x , converge, qualquer que seja o valor
inicial 0 ,x a b ;
o valor limite lim nn
x
a raiz da equao x x no intervalo ,a b .
a sucesso satisfaz a 1 1 0nn nx x q x x
Demonstrao:
Sejam duas aproximaes sucessivas
1n nx x e 1n nx x
-
37
Ento 1 1n n n nx x x x
Aplicando o teorema do valor mdio, tem-se:
1 _1n n n nx x x x (1)
Onde 1,n nx x . Mas 1x q e 11
n n
n n
x xx
x x
Logo 1 1n n n nx x q x x (2)
para 1,2,n , pode-se construir
2 1 1 0
2
3 2 2 1 1 0
1 1 1 0
n
n n n n
x x q x x
x x q x x q x x
x x q x x q x x
(3)
Seja ento a srie:
0 1 0 2 1 1n nx x x x x x x (4)
Para a qual as aproximaes sucessivas de nx so 1n somas parciais, que leva seguinte expresso: 1n nx S . De
(3) v-se que os termos de (4) so menores em valores absolutos que a correspondente srie geomtrica de razo 1q ;
logo (4) converge absolutamente. Assim
1lim limn nn n
S x
-
onde ,a b e a raiz de 1n nx x , a qual no tem qualquer outra raiz no intervalo ,a b . E mais, se
e ento:
1 0
c
c
com ,c ; como 1 0c , logo 0 donde se conclui que e nica.
Est demonstrado o teorema.
Nota: Este teorema permanece vlido se a funo x estiver definida e
for diferencivel num intervalo infinito , .
Teorema 2: Seja o segmento ,a b no qual ,x a b , isto , x existe e
satisfaz a desigualdade: 1x . Seja a seqncia 1 2 3, , ,x x x definida por
1 0, ,n nx x x a b . Se
1 1 0 ,1
x x x a b
-
39
Ento o teorema 1 acima permanece vlido.
5.5.1 Estimativa de uma aproximao.
Da terceira concluso do teorema 1 da seo anterior se tem:
1 1 2 1
1 2
1 0 1 0 1 0
2 1
1 0
1
n p n n p n p n p n p n n
n p n p n
n p
x x x x x x x x
q x x q x x q x x
q x x q q q
O ltimo termo do produto acima uma progresso geomtrica, cuja
soma 11
pq
q, logo se tem:
1 0 1 01
1 1
p nn
n p n
q qx x q x x x x
q q
Permitindo, na expresso acima, que no limite p v para o infinito, ento:
-
lim n p n np
x x x
logo
1 01
n
n
qx x x
q
(5.5.6)
donde se conclui que o processo de iterao converge o mais rpido
quanto menor for q. Ento como nx , tem-se
1 0(1 )
nqx x
q (5.5.7)
ou se considerar o erro na n-sima iterao tem-se
1(1 )
n
n n
qx x
q
(5.5.8)
-
41
Teorema 2: Seja a funo x definida e diferencivel em algum
intervalo ,a b e a equao
x x (5.5.9)
Ter uma raiz localizada em um pequeno intervalo , , onde:
1
3
1
3
a b a
b b a
No caso, se
0
1
,
a x q a x b
b x
ento:
1. todas as aproximaes sucessivas permanecem no intervalo ,a b :
1 , , 1n nx x a b n
-
2. o processo de aproximaes sucessivas convergente, isto , o
limite de nx existe: lim n
nx
e a nica raiz de (5.5.9) no intervalo
,a b .
3. a estimativa 1 0(1 )
n
n
qx x x
q
vlida.
Exemplo
Seja achar a raiz da equao sin 0,25x x , com trs dgitos
significantes, no intervalo [1,1; 1,3].
Soluo:
-
43
Escrevendo-se a equao dada como sin 0,25x x , ento:
sin 0,25x x e sua derivada cosx x e ento, pelo teorema 1,
precisa-se ter, para o valor inicial a condio:
1x q ento 0cos 1x q
Tomando-se q o menor possvel como, por exemplo, seja 0,5q ,
ento:
arccos 0,5 60 1,05x x rad
Seja ento a equao de iterao:
1sin 0,25n nx x
-
x(n+1) x(n) erro
1,0500000
1,1174232 1,1174232 0,0674232
1,1489748 1,1489748 0,0315516
1,1623447 1,1623447 0,0133699
1,1677369 1,1677369 0,0053922
1,1698653 1,1698653 0,0021284
1,1706980 1,1706980 0,0008327
1,1710227 1,1710227 0,0003247
1,1711491 1,1711491 0,0001264
1,1711983 1,1711983 0,0000492
1,1712175 1,1712175 0,0000191
Tabela 5.1 Dados iterao x=sin(x)+0.25
Analisando a tabela acima, v-se que o valor 1,171 tem os dgitos
significativos pedidos, pois na 7 e 8 iterao coincidem trs dgitos
significativos; assim,
41,171 1,26 10
-
45
EXERCCIOS
Achar as razes das equaes abaixo pelo mtodo da iterao.
1. 3 1000 0x x
2. 3 1 0x x
3. tan 0x x
4. 3 26 8 6 0x x x
-
5.6 Mtodo da Iterao para Sistemas de Duas Equaes
Equation Section (Next)Seja o sistema:
12
, 0
, 0
f x y
f x y (5.6.1)
cujas razes reais so necessrias serem determinadas com uma dada
preciso. Graficamente as razes do sistema so as intersees das curvas
de 1( , )f x y e 2 ,f x y .
Seja 0 0,x y uma primeira aproximao de uma raiz de (5.6.1) obtida de
alguma forma (graficamente ou por tentativas).
Mostra-se a seguir um processo iterativo o qual sob certas condies,
permite melhorar o valor da aproximao da raiz. Para fazer isso, (5.6.1)
deve ser reescrita da seguinte forma:
-
47
1
2
,
,
x x y
y x y
(5.6.2)
E se constri as aproximaes sucessivas de acordo com o seguinte
esquema:
1 1 0 0 1 2 0 0
2 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 2
, ; ,
, ; ,
, ; ,n n n n n n
x x y y x y
x x y y x y
x x y y x y
(5.6.3)
Se o processo de iterao acima converge, isto , se os limites abaixo
existem:
lim ; limn nn n
x y
ento, assume-se que 1 ,x y e 2 ,x y sejam contnuos, tem-se
-
1 2, ; ,x y x y
Teorema 1: Em uma regio fechada na vizinhana de uma raiz ,
do sistema (5.6.2), se as funes 1 ,x y e 2 ,x y forem definidas e
continuamente diferencivel em , a aproximao inicial 0 0,x y e todas as
aproximaes que se sucedem , , 1,2,n nx y n permanecem em , e as
seguintes desigualdades forem vlidas em :
1 21
1 22
1
1
qx x
qy y
ento o processo de aproximaes sucessivas (5.6.3) converge para as
razes do sistema (5.6.2), isto ,
lim limn nn n
x e y
-
49
Exemplo
Sejam
2
1
2
2
( , ) 2 5 1 0
( , ) 3log( ) 0
f x y x xy x
f x y x x y
Ache a raiz positiva prxima de 0 0, 3,5; 2,2x y para 4 dgitos
significativos.
Soluo
Para aplicar o mtodo iterativo do teorema 2 acima, se devem
reescrever as equaes dadas da seguinte forma:
-
1
2
( 5) 1( , )
2
( , ) 3log( )
x yx x y
y x y x x
e ento
1
2
1
2
5
( 5) 14
2
31
2 3log( )
( 5) 14
2
0
y
x x y
M
x
x x x
x
y x y
y
com ln 10 0,43429M .
-
51
Restringindo o espao de soluo a uma vizinhana do ponto 0 0,x y ,
tem-se, por exemplo,
3,5 0,1; 2,2 0,1x y
Que gera a regio 3,4 3,6 ; 2,1 2,3x y
Substituindo esses valores nas expresses das derivadas parciais,
obtm-se, colocando no numerador os x e y de maior valor e no
denominador os x e y de menor valor, de modo a que a expresso
seja a maior possvel, obtm-se:
1 2.3 5 0,543.4(2.1 5) 1
42
x
-
1 3,6 0,273,4(2,1 5) 1
42
y
23*0,43
13,4
0,422 3,4 3log(3.4)x
2 0y
logo
1 2 0,54 0,42 0,96 1x x
1 2 0,27 0 0,27 1y y
satisfazendo a condio (2) do teorema 1 acima.
-
53
Seja agora construir as aproximaes sucessivas pelas frmulas:
1
1
( 5) 1
2
3. log( )
0,1,2,...
n nn
n n n
x yx
y x x
n
(5.6.4)
n Xn Yn
- 3,500000 2,200000
1,000000 3,478505 2,265437
2,000000 3,483738 2,258912
3,000000 3,484835 2,260503
4,000000 3,485804 2,260836
5,000000 3,486391 2,261131
6,000000 3,486771 2,261309
7,000000 3,487013 2,261425
8,000000 3,487168 2,261498
9,000000 3,487267 2,261545
10,000000 3,487331 2,261575
11,000000 3,487371 2,261595
Tabela 5.2 Iterao pra Eqs 5.6.4
-
Logo 3,487nx e 2,261ny , nos quais a casa decimal j se repete a
partir da 6 iterao, logo, para quatro dgitos significativos, a
soluo :
3,48732,2615
Outra forma de resolver o problema exposto utilizar a ferramenta
de computao Mathcad, que utiliza o mtodo de Levenberg-
Marquardt que um mtodo quasi-Newton (uma variao do
mtodo do gradiente).
Veja como fcil a soluo do sistema de equaes dadas, no
Mathcad (Figura 5.7):
-
55
x 3.5 y 2.2
Given
2 x2 x y 5 x 1 0
x 3 log x( ) y2
0
Find x y( )3.487
2.262
Figura 5.7 Soluo Eqs.5.6.4 pelo MathCad
Ou seja, com poucas definies, obtm-se a soluo desejada.
Uma maneira de acelerar o processo iterativo fazer na construo
do esquema de aproximaes sucessivas uma alterao, utilizando
sempre os resultados mais recentes da iterao imediatamente
anterior. Este processo conhecido como processo de Seidel:
-
1 1
1 2 1
,
, , 0,1,2,
n n n
n n n
x x y
y x y n
Aplicando este processo ao exemplo anterior, tem-se:
n Xn Yn
- 3,500000 2,200000
1,000000 3,478505 2,258912
2,000000 3,482109 2,258912
3,000000 3,483986 2,260008
4,000000 3,485238 2,260579
5,000000 3,486032 2,260959
6,000000 3,486541 2,261200
7,000000 3,486866 2,261355
8,000000 3,487074 2,261454
9,000000 3,487207 2,261517
10,000000 3,487292 2,261557
11,000000 3,487346 2,261583
Tabela 5.3 Soluo das Eqs 5.6.4 usando o processo de Seidel
Logo 3,487nx e 2,261ny , nos quais a casa decimal j se repete a
partir da 8 iterao, logo, para 4 dgitos significativos, a soluo
-
57
3,48732,2615
5.7 Mtodo de Newton-Raphson para Sistemas de Equaes
5.7.1 Mtodo de Newton-Raphson para Sistemas de Duas Equaes
Equation Section (Next)Seja nx , ny uma raiz aproximada do sistema de
equaes:
1
2
, 0
, 0
f x y
f x y
(5.7.1)
onde 1 ,f x y e 2 ,f x y so funes continuamente diferenciveis. Colocando
n nn n
x x h
y y k (5.7.2)
-
tem-se
1
2
, 0
, 0
n n n n
n n n n
f x h y k
f x h y k
(5.7.3)
ou ainda
1 1
1
2 22
( , ) ( , )( , )
( , ) ( , )( , )
n n n nn n n n
n n n nn n n n
f x y f x yf x y h k
x y
f x y f x yf x y h k
x y
(5.7.4)
Se o jacobiano
1 1
2 2
( , ) 0n n
f f
x yJ x y
f f
x y
Ento de (5.7.4) tem-se
-
59
1 1
1 1
2 2) )2 2
,,
1 1
( , ( ,
n nn n
n n
n n n n
x yx y
f ff fy x
h e kf fJ x y J x y
f fy x
como
n nn n
h x x
k y y
tem-se
1
1
1
2)2
1
( ,n n
n n
ff
yx x
fJ x yf
y
(5.7.5)
1
1
1
2)2
1
( ,n n
n n
ff
xy y
fJ x yf
x
(5.7.6)
-
para 0,1,2,n , onde 0 0,x y pode ser determinado da maneira mais
grotesca possvel.
Exemplo
Seja o sistema de equaes
3 2
1
3
2
( , ) 2 1 0
( , ) 4 0
f x y x y
f x y xy y
(5.7.7)
Ache a raiz prxima de 0 0, 1.2;1.7x y .
Soluo:
Calculemos o valor das funes em 0 0,x y ; ento,
-
61
1 0 02 0 0
, 0,434
, 0,1956
f x y
f x y
Calculando, encontra-se:
0 0
0
0
, 97,910
0,0349
0,0390
J x y
h
k
Logo
1 0 01 0 0
1,2349
1,6610
x x h
y y k
Continuando a fazer os clculos da iteratividade tem-se:
-
n J hn kn xn yn
0 1,200000 1,700000
1 97,954760 0,034876 (0,039020) 1,234876 1,660980
2 99,585918 (0,000602) 0,000547 1,234275 1,661526
3 99,539742 (0,000000) 0,000000 1,234274 1,661526
4 99,539730 (0,000000) 0,000000 1,234274 1,661526
5 99,539730 0,000000 0,000000 1,234274 1,661526
6 99,539730 0,000000 (0,000000) 1,234274 1,661526
7 99,539730 0,000000 (0,000000) 1,234274 1,661526
Tabela 5.4 Iterao para raizes das Eqs. 5.7.7
Ver-se assim que a raiz procurada :
1,234274
1,661526
n
n
x
y
A soluo deste problema em Mathcad:
-
63
x 1.2 y 1.7
Given
2 x3 y
21 0
x y3 y 4 0
Find x y( )1.234274
1.661526
Figura 5.8 Soluo das Eqs 5.7.7 pelo MathCas
Observamos que a funo Find(x,y,) do Mathcad (Figura 5.8) pode
resolver at 50 equaes simultneas.
5.7.2 Mtodo de Newton-Raphson para Sistemas de n Equaes No-Lineares
Seja o sistema de equaes no-lineares:
-
1 1 2
2 1 2
1 2
. , , 0
. , , 0
. , , 0
n
n
n n
f x x x
f x x x
f x x x
(5.7.8)
ou de uma forma compacta:
0f x (5.7.9)
Seja px a p-sima aproximao de (5.7.9), pelo mtodo das aproximaes
sucessivas:
1 2, , ,p p p pnx x xx
Ento a raiz exata de (5.7.9) pode ser representada por:
p p x x (5.7.10)
-
65
onde 1 2, , ,p p p pn a correo. Levando-se (5.7.10) em (5.7.9), tem-
se:
0p pf x f x (5.7.11)
Sob a hiptese de que a funo f x continuamente diferencivel em
algum domnio convexo contendo x e px , pode-se expandir o lado
esquerdo de (5.7.11) em potncia do pequeno vetor p , retendo apenas
seus termos lineares:
0p p p p pf x f x f x f x (5.7.12)
pf x uma matriz especial conhecida na anlise matemtica como
matriz jacobiana de 1 2, , , nf f ff com relao s variveis 1 2. , , nx x x , isto
,
-
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
...
...'( ) ( )
... ... ... ...
...
n
n
n n n
n
f f f
x x x
f f f
x x x
f f f
x x x
f x J x
(5.7.13)
ou ainda de uma forma mais compacta:
, , 1, 2, ,ij
fi j n
xf x J x
Reescrevendo-se (5.7.12) tem-se:
0p p p p p pf x f x f x J x (5.7.14)
ou ainda, se a matriz jacobiana for no-singular,
1p p p J x f x (5.7.15)
-
67
Levando (5.7.15) em (5.7.10), e considerando-se que a prxima
aproximao seja a 1p -sima, tem-se:
1 1 , 0,1,2, ,p p p p p nx x J x f x (5.7.16)
e conhecido como Mtodo de Newton-Raphson, que anlogo quele
mtodo apresentado no item 5.4.
EXERCCIOS
Determine uma aproximao ( 310erro ) da soluo positiva do
seguinte sistema de equaes:
2
1 10
2
2
, 3
, 2 5 1
f x y x log x y
f x y x xy x
pelo Mtodo de Newton , tomando como soluo inicial 3,4x e
2,2y .
-
5.8 Interao Funcional para Sistemas de Equaes
Equation Section (Next)Seja um espao vetorial ou euclidiano
completo. Seja x um vetor coluna n-dimensional com componentes
1 2. , , nx x x e : f x uma funo vetorial n-dimensional, isto , com
componentes 1 2, , , nf f fx x x . Ento o sistema a ser resolvido :
x f x (5.8.1)
Ou de forma aberta
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
( , ,..., )
( , ,..., )
( , ,..., )
n
n
n n n
x f x x x
x f x x x
x f x x x
A soluo ou raiz de (5.8.1) algum vetor com componentes 1 2, , , n
os quais so por sua vez algum ponto no espao euclidiano dado. O
processo iterativo iniciado com uma aproximao 0x da raiz , isto ,
-
69
0 0 0 01 2, , , nx x xx
ou seja
1 , 0,1,2,n n n x f x (5.8.2)
Para anlise, pode-se usar uma norma qualquer dentre as seguintes:
1
11
2
21
max ii n
n
i
i
n
i
i
x
x
ou
x
x
x
x
(5.8.3)
Teorema 1: Seja f x satisfazendo a
1 2 1 2 f x f x x x (5.8.4)
-
para todos os elementos ,1 2x x , tal que 01x x e
0
2x x , com a
constante de Lipschitz satisfazendo a seguinte relao:
0 1 (5.8.5)
Seja 0x numa vizinhana da raiz , de maneira que a iterao inicial 0x
satisfaa a
(0) (0)( ) (1 ) f x x (5.8.6)
Ento todas as iteraes (5.8.2) satisfazem a
( ) (0)nx x (5.8.7)
as iteraes convergem para algum vetor:
lim nn
x (5.8.8)
-
71
onde a raiz de (5.8.1). Logo a nica raiz de (5.8.1) em (0)x x .
Demonstrao:
Provar-se- (i) por induo. Seja ento 1 0x f x , ento de (5.8.6) e (5.8.2) tem-se
2
(1 ) (1 )
... (1 )n n
(0) (0) (1) (0)
(n+1) (n) (n) (n-1) (n-1) (n-2) (1) (0)
f x x x x
x x x x x x x x (5.8.9)
Ento aplicando recursivamente
1
...
...
( ... 1)(1 ) (1 )n n n
(n+1) (0) (n+1) (n) (n) (n-1) (1) (0)
(n+1) (n) (n) (n-1) (1) (0)
x x x x x x x x
x x x x x x
visto que < 1 . Logo (i) est demonstrado.
Para provar (ii) deve-se provar que a seqncia nx de Cauchy. Assim, para inteiros positivos e arbitrrios m e p ,
seja:
-
1 1
...
...
( ... )(1 ) (1 )m m m p p m
(m) (m+p) (m) (m+1) (m+1) (m+2) (m+p-1) (m+p)
(m) (m+1) (m+1) (m+2) (m+p-1) (m+p)
x x x x x x x x
x x x x x x .
Tem-se usado aqui as inequaes (5.8.9), as quais so vlidas, pois (i) foi provado. Agora dado 0 , com 0,1
fixo, pode-se achar um N tal que m m p x x para todo ; 0m N p . Veja que, necessita-se que
N
, ento a seqncia nx uma seqncia de Cauchy e tem limite em uma vizinhana V 0x de 0x .
Assim f x contnua em V 0x e a seqncia nf x tambm de Cauchy e tem um limite f que por (5.8.2) tambm , isto , f . Logo
1 0n n n n n x f x f x x
Para a parte (iii) que a prova da unicidade da soluo, seja outra raiz de (5.8.1) na vizinhana V 0x . Ento e
esto ambas em V 0x , assim como (5.8.4) verdadeiro, tem-se
( ) ( ) f f
Isto uma contradio, logo implica que . Est provado (iii). Como esto provados (i), (ii). (iii), o teorema est
demonstrado.
-
73
Teorema 2: Seja, x f x , com uma raiz x . Sejam os componentes
de f x contnuas e que tenham tambm a primeira derivada parcial
contnua e satisfazendo a
( )ij
f
x n
x (5.8.10)
< 1 para todos os elementos
x x (5.8.11)
Ento para qualquer 0x satisfazendo (5.8.11), todas as iteraes nx de
(5.8.2) tambm satisfazem a (5.8.11).
Para qualquer 0x satisfazendo (5.8.11) as iteraes de (5.8.2) convergem
para uma raiz de (5.8.1) a qual nica em (5.8.11).
-
Demonstrao:
Para quaisquer dois elementos , 1 2x x e satisfazendo a (5.8.11), pelo teorema de Taylor (desenvolvimento de
funes em srie) tem-se:
( )
1, 2,
1 1,
( )( ) ( )
ini
i i j j
j j
ff f x x
x
1 2x x (5.8.12)
para 1,2, ,i n e onde i
um ponto do segmento aberto que une , 1 2x x e onde 1, 2,,j jx x so os
componentes dos elementos , 1 2x x , respectivamente. Assim
i satisfaz (5.8.11). Usando (5.8.3) e (5.8.10) tem-
se:
( )
1, 2,
1 1,
( )
1,
( )( ) ( ) .
( )
ini
i i j j
j j
i
i
j
ff f x x
x
f
x
1 2
1 2 1 2
x x
x x x x
(5.8.13)
Assim, a inequao permanece para i, e tem-se ( ) ( ) .
1 2 1 2
f x f x x x e assim prova-se que f x contnua
no domnio (5.8.11) com relao norma indicada. Note que para qualquer 01
x em (5.8.11)
( ) ( ) . .
(1) (0) (0)1 1 1x f x f x
onde 01
x tambm satisfaz a (5.8.11). bvio, que por induo, obtm-se:
-
75
( ) ( )
.
...
. .n n
(n) (n-1)
1 1
(n-1)
1
(0)
1
x f x f
x
x
(5.8.14)
Logo todos os n1
x esto em (5.8.11), o que segue sua convergncia (5.8.14) acima, com < 1. A prova da unicidade
semelhante o que se fez no teorema 1 anterior.
O ponto crucial da demonstrao acima a derivao em (5.8.13). claro que em (5.8.10) preciso ser substitudo por
um nmero de condies as quais devem ser, talvez, menos restritivas, mas permanecendo vlido o teorema. Uma
dessas condies :
1
max ( ) 1,n
iji
j
f
x x (5.8.15)
onde se introduz o elemento iijj
ff
x
x. Se ijf F x x uma matriz, ento (5.8.15) pode ser reescrito como:
( ) 1 F x , onde a norma da matriz induzida pela norma de mximo vetor ou norma uniforme
.
Se a funo f x tal que a raiz
( )( ) 0, , 1,2,...,i
j
fi j n
x
F (5.8.16)
-
e essas derivadas so contnuas prximas raiz, ento (5.8.10) bem como (5.8.15) pode ser satisfeita para algum > 0 .
Se, alm disso, as derivadas segundas dos componentes de f x em relao aos componentes de x : 2 ( )i
j k
f
x x
x existem
na vizinhana da raiz. Novamente pelo teorema de Taylor, tem-se:
2 ( )
1 1
1 ( )( ) ( )
2
in ni
i i j j k k
j k j k
ff f x x
x x
x .
Agora, na iterao (5.8.2), tem-se: 2
.M
(n) (n-1)x x onde M escolhido de maneira que:
2
2, ,
( ) 2.max ii j k
j k
f M
x x n
x.
Logo a convergncia quadrtica pode ocorrer na soluo do sistema de equaes por iterao.
-
77
5.8.1 Alguns Esquemas Explcitos de Iterao para Sistemas
Em geral, o sistema a ser resolvido est na forma:
0f x (5.8.17)
Tal sistema pode ser representado na forma estudada (5.8.1) do item
anterior, de diversas maneiras. Aqui ser escolhida a seguinte forma:
g x x A x f x (5.8.18)
onde A x uma matriz quadrada de n-sima ordem com componentes
ija x . As equaes (5.8.1) e (5.8.17) tero as mesmas solues, se A x for
no singular, isto , se
0 0 A x f x f x
-
Uma escolha simples para A x uma matriz constante, A x A , no
singular. Seja ento a matriz
( )( ) ij
f
x
xJ x
cujo determinante o jacobiano das funes if x ; ento de (5.8.18),
considerando as definies anteriores, tem-se:
( )( ) . ( )ij
f
x
xg x I A J x (5.8.19)
Pelo segundo teorema da seo anterior, ou pela sua modificao onde
(5.8.15) substitui (5.8.10) as iteraes usando:
( ) (n+1) (n) (n)x x Af x (5.8.20)
-
79
converge, para um nx suficientemente prximo de , se os elementos da
matriz (5.8.19) forem suficientemente pequenos, por exemplo, quando
no caso de J ser no singular e A ser aproximadamente igual inversa
de J . Este procedimento anlogo ao Mtodo das Cordas e ele sugere
uma alterao natural, a qual, novamente, denominada de Mtodo de
Newton.
No mtodo de Newton, a matriz A x substituda por:
-1A x J x (5.8.21)
onde se assume a hiptese de 0J x para x em x . O uso desse
procedimento interessante, pois no se necessita calcular uma inversa
a cada iterao; e melhor ainda, um sistema linear de ordem n tem que
ser resolvido. Para ver isso, e ao mesmo tempo ganhar algum
-
discernimento do mtodo, note que usando (5.8.21) em (5.8.18) as
iteraes do Mtodo de Newton so:
n+1 n n n n-1x g x x J x f x (5.8.22)
onde 0g x dado. Da tira-se:
n n n+1 nJ x x x f x (5.8.23)
e requer que f x tenha duas derivadas e J x seja no singular em para
que o mtodo tenha convergncia quadrtica.
-
81
Exemplo
Solucionar o sistema abaixo usando o mtodo de Newton para
determinar uma raiz positiva prxima de 0 0 01 2 3, , 0,5;0,5;0,5x x x0
x :
2 2 2
1 2 3
2 2
1 2 3
2 2
1 2 3
1
2 4. 0
3 4 0
x x x
x x x
x x x
(5.8.24)
Reescrevendo o sistema acima na forma (5.8.19), tem-se:
2 2 2
1 2 3
2 2 4
1 2 3
2 2
1 2 3
1 0
( ) 2 4 0
3 4 0
x x x
x x x
x x x
f x
ento
-
0,25 0,25 0,25 1 0,25
( ) 0,5 0,25 2 1,25
0,75 2 0,25 1
(0)f x
o Jacobiano
1 2 3
1 2
1 3
2 2 2
4 2 4
6 4 2
1 1 1
( ) 2 1 4 det ( ) 40
3 4 1
x x x
x x
x x
(0) (0)
J x
J x J x
A matriz inversa
115 5 5
114 2 6
4011 7 1
(0)J x
usando (5.8.22), obtm-se a primeira aproximao:
-
83
( ) ( )
3 1 18 8 80,5 0,25
7 310,5 1,2520 20 20
0,5 1711 140 40 40
[0,875;0,500;0,375]
(1) (0) -1 (0) (0)
(1)
x x J x f x
x
Procedendo de maneira semelhante para as demais iteraes,
encontra-se:
0,78981
0,49662
0,36993
0,78521
0,49662
0,36992
(2)
(3)
x
x
Usando-se agora o Mathcad:
Sejam x = x1, y = x2 e z= x3, tem-se:
-
x 0.5 y 0.5 z 0.5
Given
x2
y2
z2
1 0
2 x2 y
24 z 0
3 x2 4 y z
20
Find x y z( )
0.785197
0.496611
0.369923
Figura 5.9 Soluo das Eqs 5.8.24 pelo Mathcad.
-
85
5.8.2 Observaes Gerais sobre a Convergncia do Mtodo de
Newton
Se a iterao inicial (0)x suficientemente fechada em torno da raiz de
0f x , ento o teorema 2 da seo 5.8 pode ser usado para provar que a
iterao n( )x definida em (5.8.22) converge para a raiz. Entretanto no se
sabe de antemo se uma dada iterao inicial (0)x est bastante prxima
da raiz procurada .
Desenvolver-se- uma condio suficiente, sob a qual o mtodo de
Newton converge, sem que se saiba de antemo o valor de .
Teorema 1: Seja (0)x uma aproximao inicial tal que a matriz jacobiana (0)
J x tem uma inversa com norma limitada por:
0 a-1J x (5.8.25)
-
Seja a norma da diferena das duas primeiras iteraes pelo mtodo de
Newton, limitada por:
1 0 0 0 b -1x x J x f x (5.8.26)
Sejam os componentes de f x terem segundas derivadas contnuas e que
satisfaam a:
2
1
( )n i
k j k
f c
x x n
x (5.8.27)
para todos os elementos 0 2 , , 1,2, ,b i j nx x x .
Se as constantes , ,a b c so tais que
1. .2
a b c (5.8.28)
-
87
Ento as iteraes de Newton ((5.8.22) e (5.8.23)) da seo 5.8.1 e
repetidas abaixo:
n+1 n n n n-1x g x x J x f x
n n n+1 nJ x x x f x
so unicamente definidas e permanecem na bola em torno de (0)x ,
denominado de 2b-bola :
0 2bx x
as iteraes convergem para algum lim nn
x para o qual 0f e mais
22
n
n
bx (5.8.29)
-
OBS: Todas as normas vetoriais deste teorema so normas mximas .
e as normas das matrizes so aquelas induzidas pela norma mxima, isto
:
1
maxn
iji
j
aA (5.8.30)
Demonstrao:
A prova deste teorema requer, por convenincia, uma notao mais enxuta, sucinta. Assim, usar-se- a notao
n nJ J x para as matrizes jacobianas e 1
1 1 0,1,2, ,n n n n
A I J J . Assim
1 1
2
2
1( )
2
( ) 2 .
n
n
b
b
a
(n+1) (n)
(n+1) (0)
-1
n+1 n n n+1
-1 -1
n+1 n+1 n
x x
x x
A J J J
J I A J
(5.8.31)
-
89
Da hiptese (5.8.26) segue que (5.8.31)(a) e (5.8.31)(b) so satisfeitas para n=0. Agora, quando (5.8.31)(b)
estabelecido para quaisquer valores de n , ento 1n
x e n
x esto dentro da 2b-bola em torno de 0
x na qual
assegurada a existncia e continuidade das segundas derivadas de if x . Dessa forma pode-se aplicar o teorema de
Taylor para os componentes de 1nJ , para obter:
( 1) ( )
1
( ) ( )
.
ni in ni i
k k
kj j j k
ff fx x
x x x x
(n) (n+1) (n)
(n+1) (n) x x xx x
com 0 < i < 1 .
Assim ,(n+1) (n)
x x esto na 2b-bola, isto , esto em 0 2b ( )x x , logo o ponto n (n+1) (n)x x x tambm est inserido nesta bola, o que, aplicando (5.8.27) fornece:
.c (n+1) (n)n+1 n
J J x x (5.8.32)
No presente estgio s vlido para n=0. Mas usando (5.8.25), (5.8.26) e (5.8.28) em (5.8.31)(c), com 0n , tem-se:
1. . . . .
2a c a b c -1 (1) (0)1 0 1 0A J J J x x
Agora, (5.8.31)(a), (5.8.31)(b) e (5.8.31)(c) foi estabelecido para 0n . Se para qualquer valor de n a matriz nJ for no
singular e obedece a seguinte identidade
( ) n+1 n n+1
J J I J
onde, como em (5.8.31)(a), -1n+1 n n n-1A J J J . Mas sabe-se que se 1n+1A ento 1nJ no singular, e
-
1
-1
n-1
n+1
n+1
JJ
A (5.8.33)
Desde que (c) seja vlido para 0n , pode-se usar este resultado em (5.8.33), o que produz:
2a-11
J . Assim (5.8.31) tem se verificado para 0n .
Seja agora fazer uma hiptese de que (5.8.31) vlido para todos 1n k e proceder demonstrao de tambm
vlido para n k .
Desde que kJ seja no singular, a 1k -sima iterao de Newton 1k
x unicamente definida e de (5.8.22) da
seo anterior obtm-se:
. (k+1) (k) -1 (k) -1 (k)k kx x J f x J f x (5.8.34)
Entretanto, desde que (5.8.31)(b) seja vlido para 1n k , o ponto k
x est na 2b-bola em torno de 0
x . Ento pelo
teorema de Taylor, com o termo do resto e tendo em vista (5.8.22) com 1n k , tem-se:
1
1 1
( , )
( , )
( , )
k
k k
R
R
R
(k) (k-1) (k) (k-1) (k) (k-1)
(k-1) (k) (k) (k-1) (k) (k-1)
(k) (k-1)
f x f x J x x x x
J x x J x x x x
x x
usando (5.8.3) pode-se limitar o termo R acima para produzir (5.8.35) a seguir:
-
91
( ) ( 1) ( ) ( 1) 2
1 1
i
max ( , )
.max . .
2!
com 0< 12
i
k k k kn nj j i i i
ii
j i i j
R
x x x x f
x x
c
(k+1) (k) (k-1)
(k-1) (k) (k-1)
(k) (k-1)
f x x x
x x x
x x
(5.8.35)
Novamente usar-se- o fato de que (k+1) (k) (k-1)x x x est dentro da 2b-bola em torno de 0( )x desde que (k)x e (k-1)
x tambm estejam. Usando (5.8.35) em (5.8.34) e relembrando (5.8.31), que por hiptese vlida para 1n k ,
tem-se:
2 2
1 1 1
1
k
. .2
. . .2 . . .
2 2 2 2
1 .
2 2
b
2
k
k k k
k
c
c b a b c ba a b c
b
(k+1) (k) -1 (k) (k-1)
kx x J x x
Desta forma (5.8.31)(a) estabelecido vlido para n k , Ento, desde que:
-
( 1) (0) ( 1) ( )0
( 1) ( )
0
0
1 .
2
2.
kk p p
p
kp p
p
k
pp
x x x x
x x
b
b
(5.8.36)
a expresso (5.8.31)(b) tambm estabelecida vlida para n k . Mas ento (k 1)x est em 2b-bola em torno de 0( )x e
(5.8.32) tambm vlida para n k . Isso fornece:
.
. .
. .
1
2
c
a b c
-1
k+1 k k k-1
-1
k k k-1
-1 (k) (k-1)
k
A J J J
J J J
J x x
Isso prova que (5.8.31)(c) vlido para n k e implica que 1kJ no-singular. Ento usando (5.8.33) com n k ,
produz (5.8.31)(d) e assim est completa a prova indutiva de (5.8.31).
A parte (i) do teorema segue de (5.8.31)(b) e (5.8.31)(d). A convergncia de n( )x segue de (5.8.31)(a) desde que eles
formem uma seqncia de Cauchy, isto ,
-
93
1
1 1
1
.2
2
n p
q n
n p n p
qq n q n
n
qb
b
(n+p) (n) (q+1) (q)
(q+1) (q)
x x x x
x x (5.8.37)
Lembrando que o limite limn
(n)x usa-se (5.8.31)(a), (5.8.35) e a continuidade de f x para deduzir que
22. .
4kb c
(k)f x . Como no limite 0 (k)f x f , ento (5.8.36) ao limite quando p , tem-se:
2nb
(n) x , e assim a parte (ii) do teorema est estabelecida vlida e, por conseguinte, o teorema todo est
demonstrado.
Este teorema muito importante. Verifica-se que a condio 1. .2
a b c pode
ser satisfeita apenas se for igual a 11p
e se f for uma raiz de ordem
1p e se 2p . Por exemplo, se pf x x e 0 0x ento:
-
0
0
0 0
1 ( ) 1. . . . ( ) 1
( ) ( )a b c
p
f xf x
f x f x
Por outro lado, se 12
h abc , ento Kantarovich demonstrou que:
2 1
2.
2 1
n
n
hb(n)x (5.8.38)
isto , tem convergncia quadrtica.
-
95
5.8.3 Mtodo de Newton-Raphson Modificado
Um inconveniente essencial na formao do processo de Newton-
Raphson
(n+1) (n) -1 (n) (n)x x J x f x
a necessidade de calcular a matriz inversa -1 (n)J x para cada iterao. Se
a matriz -1J x contnua na vizinhana da soluo desejada e a
aproximao inicial 0x suficientemente prxima de (muitas vezes se
diz fechada em torno de ), ento se pode fazer a seguinte aproximao:
-1 (n) -1 (0)J x J x
Assim, chega-se ao processo de Newton-Raphson modificado:
f (n+1) (n) -1 (0) (n)x x J x x (5.8.39)
-
para 0,1,2,n .
Este processo conseqncia direta do resultado do ltimo teorema da
seo anterior.
Exerccios
Ache a soluo dos sistemas no-lineares abaixo e discuta sua
convergncia:
21 1
4 16
1 1sin
3 2
x y
x y
2
2
2 1
3 2
x y
x y
-
97
2
2
0,25 1,25
0,25 1,25
x y
x y
Mostre que o sistema 2
2
4 1,4
4 1,6
x y
x y tem uma e somente uma soluo em
0,1x e 0,1y . Ache a soluo com preciso de 410 . Prove que o
resultado obtido est dentro da preciso requerida.
Considere a soluo do sistema linear: 0,9 0,1 1
0,4 0,4 0
0,8 0,1 0
x y z
x y z
x y z
pelo seguinte
processo de iterao: 1
1
1
1 0 0,9 0,1
0 0,4 0 0,4
0 0,8 0,1 0
n n
n n
n n
x x
y y
z z
e mostre que esta
iterao converge para a nica soluo do sistema, para qualquer
conjunto arbitrrio de valores iniciais.
-
99
5.9 Anlises de Erro para Mtodos Iterativos
Equation Section (Next)Nesta seo se investigar a ordem de
convergncia dos esquemas iterativos de Newton. Para isso e necessrio
que se tenha uma medida de quo rapidamente uma seqncia
converge.
Definio 1: Seja 0n nx uma seqncia que converge para nx ,
com nx x para todo e qualquer n . Se existirem constantes positivas ,
tal que
1
lim
n
n n
x x
x x (5.9.1)
Ento 0n nx converge para x com ordem , com constante assinttica
de erro .
-
Uma tcnica iterativa da forma 1n nfx x dita ser ordem se a
seqncia 0n nx convergir para a soluo fx x de ordem .
Em geral, uma seqncia com uma ordem de convergncia mais alta
converge mais rapidamente que uma com ordem de convergncia mais
baixa. A constante assinttica afeta a velocidade de convergncia, mas
no to importante quanto ordem. Dois casos de ordem merecem
ateno:
Se (e ), a seqncia linearmente convergente;
Se , a seqncia quadraticamente convergente.
Para ver essa diferena entre a ordem de convergncia, seja o seguinte
exemplo: `
Exemplo:
-
101
Supondo que 0n nx seja linearmente convergente para 0 (zero) com
1
lim 0,5
n
n n
x
x
Seja tambm a seqncia 0n nz quadraticamente convergente para
0 (zero) com
1
2lim 0,5
n
n n
z
z
Por simplicidade, sejam 1 1
20,5 0,5
n n
n ne
x z
x z
Para o esquema que linearmente convergente isto significa que
21 1 2 00,5 0,5 0,5 nn n n nx 0 x x x x
-
Enquanto no esquema que quadraticamente convergente se tem
22 2 431 1 2 1
42 83 73 1
22 1 0
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5nn
n n n n n
n n
z 0 z z z x
z z
x
2 1 2
10,5 .i i
iz z
; 10,5 .i
ix x
As tabelas a seguir ilustram a velocidade relativa de convergncia
das seqncias para zero, quando 0 0 1x z (feitas em Mathcad).
i 2 3 10
-
103
V-se que a seqncia
quadraticamente convergente
(valores z na Figura 5.10)) na sua
6 iterao j convergiu para o
resultado, enquanto a
linearmente convergente
(valores x na Figura 5.10) com 10 iteraes chega apenas prxima ao
valor obtido na 4 iterao da seqncia anterior. Entretanto bom
salientar que muitas tcnicas de convergncia so apenas lineares.
x1 1
z1 1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
0.25
0.125
0.063
0.031
0.016
-37.81310
-33.90610
-31.95310
-49.76610
z
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
0.125
-37.81310
-53.05210
-104.65710
0
0
0
0
0
Figura 5.10 Sequencias de convergncia
-
O teorema 1 apresentado na seo 5.5 acima ser reapresentado a seguir
e dado uma demonstrao similar (porm no igual `aquela j
apresentada) como forma de obter alguns resultados intermedirios
necessrios para fundamentar a anlise de erro que se quer realizar:
Teorema 1: Seja ,f C a b tal que , , ,f x a b x a b . Seja, em adio, f
contnua sobre ,a b e que uma constante positiva 1q existe de modo
que
, ,f x q x a b
Se 0f x , ento para qualquer nmero inicial 0x em ,a b , a seqncia.
1 , 1n nx f x para n (5.9.2)
converge sempre linearmente para x em ,a b .
Demonstrao (veja demonstrao similar na seo 5.5):
-
105
Por hiptese existe um, e apenas um ponto x , raiz em ,a b . Dessa forma f mapeia ,a b nele mesmo e a seqncia
0n nx definida para todo 0n e ,nx a b . Usando o teorema do Valor Mdio e o fato de que
, ,f x q x a b se tem, para cada n ,
1 1 1.n n n n nx x f x f x f x x q x x
onde ,n a b . Aplicando a inequao acima indutivamente, se tem
2
1 2 0
n
n n nx x q x x q x x q x x (5.9.3)
Assim como 0 1q ter-se- que o limite da exponenciao de q lim 0nn
q e mais
0 0lim lim 0nn n nn n
x x q x x x x
E o teorema est provado.
Corolrio: Se f satisfaz as hipteses do teorema 1 acima, ento os
limites do erro envolvido no uso de nx para aproximar x dado por
0 0max ,nnx x q x a b x
-
e 1 0 , 11
n
n
qx x x x n
q
Demonstrao:
Seja ,x a b ento para o primeiro limite, tira-se de (5.9.3) o seguinte:
0 0 0max ,n n
nx x q x x q x a b x
Para 1n , se tem
2
1 1 1 1 2 1 0
n
n n n n n n n nx x f x f x q x x q x x q x x
Agora para 1m n , se tem
1 1 1
1 1 2 1
1 2
1 0 1 0 1 0
2 1
1 0 1
m n m m m n n
m m m m n n
m m n
n m n
x x x x x x x
x x x x x x
q x x q x x q x x
q x x q q q
Mas do teorema 1 acima se tem que lim mm
x x logo,
1
1 0 1 0
0 0
lim limm n
n i n i
n m nm m
i i
x x x x q x x q q x x q
Mas a somatria 0
i
i
q uma serie geomtrica com razo q e 0 1q ; essa seqncia converge para 1
1 q (como
se sabe do estudo das sries), o que leva ao segundo limite
-
107
1 01
n
n
qx x x x
q
Assim est demonstrado o corolrio.
Exemplos:
1 - Seja a equao 3 24 10 0x x ; ela tem uma raiz no segmento
, 1, 2a b . De quantas maneiras diferentes se pode representar a
equao de ponto fixo na forma x f x usando apenas
manipulaes algbricas. A partir das formas encontradas fazer um
estudo sobre a soluo das funes para verificar se elas so
realmente solues da equao original.
Soluo:
As formas de recorrncia que podem ser encontradas so:
-
(a) 3 2 3 214 10 0 4 10x x x f x x x x
(b) 12
3 2 2
2
10 104 10 0 4 0 4x x x x x x f x x
x x
(c) 123 2 2 3 31
3 24 10 0 4 10 10x x x x x f x x
(d) 12
3 2 2
42
10 104 10 0 4
4x x x x x f x
x x
(e) 1
33 2 3 2 2
54 10 0 4 10 0 10 4x x x x x f x x
Tomar-se- como ponto inicial 0 1,5x que o ponto mdio do
intervalo onde se sabe conter uma raiz.
Fazendo um procedimento em Mathcad para se estudar o resultado
de cada funo, se tem: como se v as funes dos casos (a), (b) e
(e) no atendem a equao original, enquanto as funes dos casos
-
109
(c) e (d) convergem para o valor da raiz, cujo valor 1,365230013.
Os resultados obtidos pelo procedimento Mathcad acima, para os
casos (a), (b) e (e) so respectivamente:
Resultado 15.1 Caso (a)
x1
1.5
0.875
6.732421875
469.720012002
1.027545552 108
1.084933871 1024
1.277055591 1072
2.082712909 10216
-
Resultado 5.2 Caso (b)
x2
1.5
0.816496581
2.996908806
2.941235061i
2.753622388 2.753622388i
1.814991519 3.53452879i
2.384265848 3.434388064i
2.1827719 3.596879228i
-
111
Resultado 25.3 Caso (e)
Para os casos (c) e (d) se tem as seguintes seqncias de
convergncia:
x5
1.5
1
1.817120593
0.737397496 1.277209928i
2.497908941 0.406090203i
1.629663175 1.951899706i
2.897699627 1.05712025i
2.312403297 2.130274605i
-
x4
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.5
1.348399725
1.367376372
1.364957015
1.365264748
1.365225594
1.365230576
1.365229942
1.365230023
1.365230012
1.365230014
1.365230013
1.365230013
1.365230013
1.365230013
1.365230013
1.365230013
1.365230013
1.365230013
1.365230013
1.365230013
x3
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1.5
1.286953768
1.402540804
1.345458374
1.375170253
1.360094193
1.367846968
1.363887004
1.365916733
1.364878217
1.365410061
1.365137821
1.365277209
1.36520585
1.365242384
1.36522368
1.365233256
1.365228353
1.365230863
1.365229578
1.365230236
1.365229899
1.365230072
1.365229984
1.365230029
1.365230006
1.365230017
1.365230011
1.365230014
1.365230013
1.365230014
-
113
Resultado 5.4 Caso (c) Resultado 5.5
Caso (d)
V-se assim, que a funo 3f converge mais lentamente (30
iteraes foram necessrias) que a funo 4f (que necessitou de
apenas 11 iteraes para convergncia.)
2 - Faa estudo das 5 funes encontradas no exemplo acima, luz
do teorema 1 e seu corolrio.
Soluo:
Para 3 21 4 10x f x x x x como se tem que 1 11 6, 2 12f f
bvio que 1f no mapeia o intervalo 1, 2 nele mesmo. Alm do mais
-
21 11 3 8 1, 1, 2f x x x f x x . Pelo teorema 1, isso garante que o
mtodo falha e a convergncia no acontecem.
Com 12
2
104x f x x
x pode-se ver que
2f no mapeia 1, 2 em 1, 2 e
mais, a seqncia 0n n
x no definida nos quando 0 1.5x . Alm
disso, no existe intervalo que contenha 1.365x tal que 2 1f x , uma
vez que 2 3.4f x . Esta a razo pela qual ele no converge.
Para a funo 1231
3 210x f x x a sua derivada
122 33
3 410 0f x x x
em 1, 2 . Isso mostra que 3f estritamente decrescente em 1, 2 .
Entretanto 3 2 2.12f e falha a condio 3 1f x q sobre o intervalo
1, 2 . Entretanto examinando a funo mais de perto, v-se que a
seqncia 0n n
x iniciando com 0 1.5x pode ser considerada no
intervalo 1,1.5 em vez de 1, 2 . Sobre este novo intervalo 3 0f x e
-
115
que 3f estritamente decrescente em 1,1.5 ; e mais
3 3 31 1.28 1.5 1 1.5f f x f para todo e qualquer x pertencente a
1,1.5 . Isso mostra que 3f mapeia 1,1.5 em 1,1.5 e neste intervalo se
tem 3 3 1.5 0.66 1f x f que confirma a convergncia da funo.
Para a funo 12
4
10
4x f x
x, se tem
4 3 2
5
10 4f x
x de modo que
4 3 2 3 2
5 50.15, 1, 2
10 4 10 5f x x
x. O limite da magnitude de
4f x muito menor que o limite achado para 3f x , o que explica a
rpida convergncia de 4f .
-
5.10 Razes Mltiplas
Equation Section (Next)Para a funo 1
32
5 10 4x f x x v-se que ela no
mapeia 1, 2 em 1, 2 e mais, a seqncia 0n n
x no definida nos
quando 0 1.5x . Esta a razo para sua no convergncia.
Uma raiz mltipla corresponde a um ponto onde uma funo tangente
ao eixo dos x . Por exemplo, uma raiz dupla resultante de
2 ( 3) 1 1f x x x x (5.10.1)
ou multiplicando os termos: 3 22 5 7 3f x x x x . Essa funo tem uma raiz
dupla devido a que o valor 1x zerar dois termos na equao (5.10.1).
Fazendo o grfico se tem a Figura 5.11 abaixo, onde se pode ver que as
curvas tocam tangencialmente o eixo dos x na raiz dupla, sem cort-lo.
x 0 0.001 3.4
-
117
f2 x( ) x 3( ) x 1( ) x 1( )
f3 x( ) x 3( ) x 1( ) x 1( ) x 1( )
f4 x( ) x 3( ) x 1( ) x 1( ) x 1( ) x 1( )
-
0 0.44 0.88 1.31 1.75 2.19 2.63 3.06 3.5
32.672.33
21.671.33
10.670.33
0.330.67
11.331.67
22.332.67
33.333.67
4
Grfico de funoes com raizes multiplas
f2 x( )
f3 x( )
f4 x( )
x
Figura 5.11 Grficos das Funes f2, f3 e f4
-
119
Similarmente uma raiz tripla corresponde ao caso em que um valor de x
anula 3 termos em uma equao como a 3 ( 3) 1 1 ( 1)f x x x x x , que na
forma expandida :
4 3 26 12 10 3f x x x x x (5.10.2)
V-se no grfico acima que esta funo est representada por um trao
na cor azul e nota-se que ela corta o eixo dos x , sendo tangente no
ponto; alm disso, v-se tambm que ela muda de concavidade na raiz
mltipla.
Em geral as funes com um nmero impar de razes mltiplas, corta o
eixo dos x , o nem sempre verdade no caso de um nmero par de razes
mltiplas como se pode verificar na funo 4 ( 3) 1 1 ( 1)( 1)f x x x x x x
que est representado no grfico anterior com uma linha na cor marrom.
-
A determinao de razes mltiplas sempre um problema, pois nem
sempre possvel devido a diversas causas como a de que s vezes a
derivada da funo tambm tem um zero (ou raiz) no ponto onde a
funo original tem; isso pode levar a uma diviso por zero na frmula
iterativa do mtodo de Newton-Raphson(vide frmula (5.4.2)) uma vez
que nela existe a funo derivada f x no denominador:
1
, 0,1,2,nn nn
f xx x n
f x
Para contornar esse problema define-se uma nova funo u x , que a
razo entre a funo e sua derivada:
f xu xf x
(5.10.3)
-
121
Pode-se mostrar que esta funo tem as mesmas razes da funo
original. Substituindo (5.10.3) na expresso da formula de Newton-
Raphson se tem:
1
, 0,1,2,nn nn
u xx x n
u x
(5.10.4)
Calculando a derivada da funou x se tem:
2
f x f x f x f xu x
f x (5.10.5)
Levando (5.10.3) e (5.10.5) em (5.10.4) e simplificando se obtm:
1 2
n n
n n
n n n
f x f xx x
f x f x f x (5.10.6)
-
Exemplo:
Calcular a raiz 1x da equao (5.10.2) pelo mtodo de Newton-
Raphson como pelo mtodo modificado, tomando como valor inicial
0 0x .
Soluo:
Pelo Mtodo de Newton-Raphson:
A primeira derivada de 4 3 26 12 10 3f x x x x x 3 24 18 24 10f x x x x , logo
4 3 2
1 3 2
6 12 10 3
4 18 24 10n n
x x x xx x
x x x
Pelo mtodo modificado:
-
123
Aqui h necessidade da derivada segunda, isto , 212 36 24f x x x , logo
4 3 2 3 2
1 23 2 4 3 2 2
6 12 10 3 4 18 24 10
4 18 24 10 6 12 10 3 12 36 24n n
x x x x x x xx x
x x x x x x x x x
-
Utilizando-se o Excel para a realizao dos clculos iterativos se tem:
Newton-Raphson Newton-Raphson-modificado
Iterao x Erro x Erro
0 - 100,00% - 100,00%
1 0,300000 70,00% 1,071429 -7,14%
2 0,514773 48,52% 1,000914 -0,09%
3 0,666632 33,34% 1,000000 0,00%
4 0,772703 22,73% 1,000000 0,00%
5 0,845976 15,40% 1,000000 0,00%
6 0,896122 10,39% 1,000000 0,00%
7 0,930188 6,98% 1,000000 0,00%
8 0,953200 4,68% 1,000000 0,00%
9 0,968682 3,13% 1,000000 0,00%
10 0,979068 2,09% 1,000000 0,00%
11 0,986021 1,40% 1,000000 0,00%
12 0,990670 0,93% 1,000000 0,00%
13 0,993775 0,62% 1,000000 0,00%
14 0,995848 0,42% 1,000000 0,00%
15 0,997231 0,28% 1,000000 0,00%
Tabela 5.5 Sequencia de convergncia usando Excel
-
125
5.11 Razes de Polinmios
Equation Section (Next)V-se assim que o mtodo modificado tem uma
convergncia muito mais rpida que o mtodo de Newton-Raphson.
Quando a equao for um polinmio existem mtodos especficos para e
determinar as suas razes de maneira mais abrangente. Como se sabe os
polinmios tm a seguinte forma:
20 1 2
n
n nf x a a x a x a x (5.11.1)
Os coeficientes 0, na a podem ser reais ou complexos, mas nosso estudo
neste livro resume-se aos coeficientes reais.
Um polinmio de n -sima ordem tem n razes reais ou complexas e mais,
elas no so necessariamente distintas. As razes complexas sempre
-
aparecem em pares conjugados, isto , se uma p qj outra p qj onde
1j .
Teorema: Se a bj for um raiz complexa de multiplicidade m de um
polinmio com coeficientes reais, ento a bj tambm uma raiz de
multiplicidade m do mesmo polinmio e mais, o polinmio tem um fator
igual a 2 2 22 mx ax a b .
O software MATLAB trs embutido em si uma srie de funes que
auxiliam a determinao de razes de polinmios e outras caractersticas
dos polinmios:
poly p =poly(A)
p =poly(v)
- quando A for uma matriz n n retorna
um vetor p linha com 1n elementos,
que so os coeficientes do polinmio
-
127
caracterstico, ordenados em ordem
decrescente;
- quando v um vetor com as razes de
um polinmio retorna um vetor linha
com os coeficientes do polinmio
procurado cujas razes esto em v.
roots R=roots(p) - retorna um vetor coluna com as razes
do polinmio cujos coeficientes esto
no vetor p.
polyv
al
Y=polyval(p,x
)
- retorna o valor do polinmio de grau
n no ponto x. p um vetor contendo os
n+1 coeficientes de um polinmio de
-
grau n; x o ponto onde se quer avaliar
o valor do polinmio;
poly
der
k=polyder(p)
k=polyder(a,
b)
[q,d]=polyde
r(b,a)
- retorna a derivada do polinmio p;
- retorna a derivada do produto dos
polinmios a e b;
- retorna o numerador q e o
denominador d da derivada da diviso
do polinmio b/a;
- a, b e p so vetores contendo os
coeficientes de polinmios
deco [q,r]=deconv - retorna o polinmio quociente dos
polinmios u por v bem como o
-
129
nv (u,v) polinmio resto da referida diviso
Tabela 5.6 Funes Matlab para determinao de razes de Polinmios
No entanto, muito importante sabermos os algoritmos para a
determinao de razes. Para se determinar as razes de um polinmio,
quer sejam elas reais ou complexas, apresentar-se- a seguir alguns
mtodos entre os quais se destacam o mtodo de Mller e o mtodo de
Bairstow.
-
5.11.1 Mtodo de Mller
O mtodo de Mller consiste de determinar os coeficientes de uma
parbola que liga trs pontos. Esses pontos podem ser substitudos em
uma frmula quadrtica para obter o ponto onde a parbola intercepta o
eixo dos x , isto a raiz estimada. O procedimento facilitado escrevendo
a equao da parbola numa forma conveniente
22 2 2f x a x x b x x c (5.11.2)
O que se quer que esta parbola intercepte trs pontos 0 0,x f x ,
1 1,x f x e 2 2,x f x . Os coeficientes de (5.11.2) podem ser determinados
substituindo cada ponto na equao dada:
2
0 0 2 0 2
2
1 1 2 1 2
2
2 2 2 2 2
f x a x x b x x c
f x a x x b x x c
f x a x x b x x c
(5.11.3)
-
131
Por conciso retirou-se o ndice 2 da funo. Agora se tem 3 equaes e 3
incgnitas. V-se que da 3 equao de (5.11.3) se tem 2c f x ; levando
esse resultado as demais equaes, se tem:
20 2 0 2 0 2f x f x a x x b x x (5.11.4)
21 2 1 2 1 2f x f x a x x b x x (5.11.5)
Fazendo as manipulaes algbricas necessrias se tem:
0 1 0 1 2 1
1 0 2 1
0 1
1 0 2 1
h x x h x x
f x f x f x f x
x x x x
(5.11.6)
Substituindo (5.11.6) em (5.11.4) e (5.11.5) se tem
2
0 1 0 1 0 0 1 1
2
1 1 1 1
h h b h h a h h
h b h a h
-
Resolvendo para os coeficientes a e b encontra-se:
1 01 0
ah h
(5.11.7)
1 1b ah (5.11.8)
2c f x (5.11.9)
-
133
Para se achar a raiz aplica-se a frmula quadrtica equao (5.11.2).
Entretanto, devido a um erro de arredondamento em potencial, em vez
de se usar a forma tradicional pode-se usar a forma alternativa1:
3 2 2
2
4
cx x
b b ac (5.11.10)
Isolando o valor de 3x se tem:
1 Devido a problemas de cancelamento por subtrao de valores muito prximos a forma tradicional pode ser trocado por outra,
quando 2 4b ac , similar a (5.11.10). Isso minimiza o cancelamento por subtrao que , em geral, causa de instabilidade ou no
convergncia de processo iterativo.
-
3 2 2
2
4
cx x
b b ac (5.11.11)
Verifica-se que por esta formulao tanto as razes reais quanto as
complexas podem ser encontradas; isto o grande benefcio deste
mtodo.
O erro pode ser calculado ente as estimativas anteriores, 2x , e atual , 3x :
3 23
x x
x
O problema agora que a expresso (5.11.11) produz dois valores
correspondentes ao sinal existente no denominador. No mtodo de
Mller o sinal escolhido de modo a concordar com o sinal do
coeficiente b . Essa escolha ira produzir um denominador maior levando a
uma raiz estimada mais prxima de 2x .
-
135
Uma vez determinado o valor de 3x o processo se repete. Os prximos
valores a serem considerados para a determinao de 4x deve seguir a
uma das polticas a seguir:
se apenas razes reais sero localizadas, escolhe 3x e dois outros pontos
mais prximos dele;
se razes reais e complexas podem ser localizadas escolhe-se 3 2 1, ,x x x para
substituir 2 1 0, ,x x x .
-
Algoritmo do Mtodo de Muller
Algoritmo do Mtodo de Muller para solucionar 0f x dadas as
aproximaes 0 1 2, ,x x x :
So conhecidos a priori as aproximaes da raiz procurada 0 1 2, ,x x x , o erro ou tolerncia
desejada e o nmero de iteraes mximas desejadas.
Fazer
0 1 0
1 2 1
1 0
0
0
2 1
1
1
1 0
0 1
3
h x x
h x x
f x f x
h
f x f x
h
dh h
i
Enquanto i N fazer
1 1b h d
122
24D b f x d
-
137
Se b D b D
Ento E b D
Seno E b D
Faa
2
2
2 f xh
E
p x h
Se h erro
Ento p a raiz desejada, mostre-a e finalize o algoritmo
Faa (preparando a prxima iterao):
-
0 1
1 2
2
0 1 0
1 2 1
1 0
0
0
2 1
1
1
1 0
0 1
1
x x
x x
x p
h x x
h x x
f x f x
h
f x f x
h
dh h
i i
Mtodo Falhou, pois ultrapassou o nmero de iteraes estabelecido a priori.
-
139
Exemplo:
Fazer um programa em Matlab que encontre uma raiz de um
polinmio dado, conhecidos as aproximaes iniciais 3 2 1, ,x x x , o
nmero de iteraes e o erro tolerado. Mostrar passo a passo os
valores no decorrer do desenvolvimento do algoritmo.
Soluo:
O programa em Matlab o seguinte (seguindo o algoritmo supra
estabelecido):
% ================================================================
% == DETERMINAO DE RAIZES DE POLINOMIOS PELO MTODO DE MULLER ==
% ================================================================
clc
clear
% =========== DEFINIAO DE MENSAGENS E STRINGS ================
mens0 = '--------------------------------------------------';
mens1 = 'Ordem do Polinmio..................: ';
-
mens2 = 'Tolerncia a ser adotada ...........: ';
mens3 = 'Nmero mximo de iteraes..........: ';
mens4 = 'Coeficiente ';
mens5 = 'Aproximao x0 ....................: ';
mens6 = 'Aproximao x1 ....................: ';
mens7 = 'Aproximao x2 ....................: ';
mens8 = 'Polinmio Dado ...........: ';
mens9 = 'Raiz Procurada ...........: ';
mens10 = 'Nmero de iteraes ......: ';
mens11 = 'ERRO - Falha no Nmero de Iteraes ';
mens12 = 'Determinao de Razes pelo Mtodo de Mller';
mens13 = 'O valor da raiz procurada ';
mens14 = 'Parabns o Mtodo Convergiu';
dlgTitle = 'Dados do Problema: Mtodo de Mller';
format1 = ' %+12.8g ';
format2 = ' %+12.8g \n';
disp(mens0);disp(mens12);disp(datestr(now));disp(mens0);
% ===============================
% === ENTRADA DE DADOS GERAIS ===
%================================
prompt={mens1,mens2,mens3,mens5,mens6,mens7};
defp = {'4','0.00001','30','0.5','-0.5','0.0'};
dlgTitle = 'Dados do Problema: Mtodo de Mller';
lineNo = 1;
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
ordem = str2double(answer(1)); % ordem do polinmio
tol = str2double(answer(2)); % tolerancia
nmax = str2double(answer(3)); % nmero maximo de iteraes
x0 = str2double(answer(4)); % aproximao x0
x1 = str2double(answer(5)); % aproximao x1
x2 = str2double(answer(6)); % aproximao x2
-
141
disp(mens0);disp(dlgTitle);disp(mens0);
fprintf(strcat(mens1,format2),ordem);
fprintf(strcat(mens2,format2),tol);
fprintf(strcat(mens3,format2),nmax);
fprintf(strcat(mens5,format2),x0);
fprintf(strcat(mens6,format2),x1);
fprintf(strcat(mens7,format2),x2);
disp(mens0);disp(' ');
% =============================================
% === ENTRADA DOS COEFICIENTES DO POLINOMIO ===
%==============================================
coef = [];
% at potencia 8 entrada via prompt, mais de 8 entrada via input
lineNo = 1;
switch ordem
case 2
prompt={strcat(mens4,'2'),strcat(mens4,'1'),strcat(mens4,'0')};
defp = {'1','1','1'};
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
a0 = str2double(answer(1)); %a0 = coef. da maior potencia
coef = [coef a0];
a1 = str2double(answer(2)); % a1 = coef de ordem-1
coef = [coef a1];
a2 = str2double(answer(3)); % a2 = coef de ordem-2
coef = [coef a2];
case 3
prompt={strcat(mens4,'3'),strcat(mens4,'2'),strcat(mens4,'1'),...
strcat(mens4,'0')};
defp = {'1','0','-13','-12'};
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
a0 = str2double(answer(1)); % a0 = coef da maior potencia
coef = [coef a0];
a1 = str2double(answer(2)); % a1 = coef de ordem-1
coef = [coef a1];
-
a2 = str2double(answer(3)); % a2 = coef de ordem-2
coef = [coef a2];
a3 = str2double(answer(4)); % a3 = coef de ordem-3
coef = [coef a3];
case 4
prompt={strcat(mens4,'4'),strcat(mens4,'3'),strcat(mens4,'2'),...
strcat(mens4,'1'),strcat(mens4,'0')};
defp = {'16','-40','5','20','6'};
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
% a0x(n)+a1x(n-1)+...+a7x(n-7)+a8x(n-8)
a0 = str2double(answer(1));% a0 = coef da maior potencia
coef = [coef a0];
a1 = str2double(answer(2)); % a1 = coef de ordem-1
coef = [coef a1];
a2 = str2double(answer(3)); % a2 = coef de ordem-2
coef = [coef a2];
a3 = str2double(answer(4)); % a3 = coef de ordem-3
coef = [coef a3];
a4 = str2double(answer(5)); % a4 = coef de ordem-4
coef = [coef a4];
case 5
prompt={strcat(mens4,'5'),strcat(mens4,'4'),strcat(mens4,'3'),...
strcat(mens4,'2'),strcat(mens4,'1'),strcat(mens4,'0')};
defp = {'1','-3.5','2.75','2.125','-3.875','1.25'};
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
a0 = str2double(answer(1)); % a0 = coef da maior potencia
coef = [coef a0];
a1 = str2double(answer(2)); % a1 = coef de ordem-1
coef = [coef a1];
a2 = str2double(answer(3)); % a2 = coef de ordem-2
coef = [coef a2];
a3 = str2double(answer(4)); % a3 = coef de ordem-3
coef = [coef a3];
a4 = str2double(answer(5)); % a4 = coef de ordem-4
-
143
coef = [coef a4];
a5 = str2double(answer(6)); % a5 = coef de ordem-5
coef = [coef a5];
case 6
prompt={strcat(mens4,'6'),strcat(mens4,'5'),strcat(mens4,'4'),...
strcat(mens4,'3'),...
strcat(mens4,'2'),strcat(mens4,'1'),strcat(mens4,'0')};
defp = {'1','1','1','1','1','1','1'};
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
a0 = str2double(answer(1)); % a0 = coef da maior potencia
coef = [coef a0];
a1 = str2double(answer(2)); % a1 = coef de ordem-1
coef = [coef a1];
a2 = str2double(answer(3)); % a2 = coef de ordem-2
coef = [coef a2];
a3 = str2double(answer(4)); % a3 = coef de ordem-3
coef = [coef a3];
a4 = str2double(answer(5)); % a4 = coef de ordem-4
coef = [coef a4];
a5 = str2double(answer(6)); % a5 = coef de ordem-5
coef = [coef a5];
a6 = str2double(answer(7)); % a6 = coef de ordem-6
coef = [coef a6];
case 7
prompt={strcat(mens4,'7'),strcat(mens4,'6'),strcat(mens4,'5'),...
strcat(mens4,'4'),strcat(mens4,'3'),strcat(mens4,'2'),...
strcat(mens4,'1'),strcat(mens4,'0')};
defp = {'1','1','1','1','1','1','1','1'};
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
a0 = str2double(answer(1)); % a0 = coef da maior potencia
coef = [coef a0];
a1 = str2double(answer(2)); % a1 = coef de ordem-1
coef = [coef a1];
a2 = str2double(answer(3)); % a2 = coef de ordem-2
-
coef = [coef a2];
a3 = str2double(answer(4)); % a3 = coef de ordem-3
coef = [coef a3];
a4 = str2double(answer(5)); % a4 = coef de ordem-4
coef = [coef a4];
a5 = str2double(answer(6)); % a5 = coef de ordem-5
coef = [coef a5];
a6 = str2double(answer(7)); % a6 = coef de ordem-6
coef = [coef a6];
a7 = str2double(answer(8)); % a7 = coef de ordem-7
coef = [coef a7];
case 8
prompt={strcat(mens4,'8'),strcat(mens4,'7'),strcat(mens4,'6'),...
strcat(mens4,'5'),strcat(mens4,'4'),strcat(mens4,'3'),...
strcat(mens4,'2'),strcat(mens4,'1'),strcat(mens4,'0')};
defp = {'1','1','1','1','1','1','1','1','1'};
answer=inputdlg(prompt,dlgTitle,lineNo,defp);
%a0x(n)+a1x(n-1)+...+a7x(n-7)+a8x(n-8)
a0 = str2double(answer(1)); % a0 = coef da maior potencia
coef = [coef a0];
a1 = str2double(answer(2));