a transformada de laplace -...
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METAHEURO EDUCACIONAL
José Roberto Marques – 2013 (direitos reservados)
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
O cálculo operacional foi inicialmente desenvolvido por Oliver Heavyside
(1850-1025) que, entre outras contribuições, desenvolveu a função degrau
unitário u(t). O operador D=d/dt do cálculo operacional de Heavyside em muitos
aspectos era similar a transformada de Laplace, as operações algébricas eram
as mesmas, mas a transformada tinhas as seguintes vantagens:
As funções descontínuas e impulsivas eram facilmente manuseáveis.
A solução era completa, incluindo a solução da parcela forçada ou de
regime estacionário e a parcela relativa ao transitório.
As condições iniciais eram introduzidas no início e não precisavam ser
laboriosamente derivadas ao final do problema, principalmente em
estudos envolvendo sistemas de controle, que envolviam a análise de
sistemas de ordem mais elevada.
O método da transformada de Laplace, na prática, não envolve nenhuma
dificuldade de integração, uma vez que existem tabelas disponíveis para
soluções rápidas de uma ampla gama de problemas.
A transformada de Laplace de qualquer função f(t) variante no tempo, é F(s)
onde:
Onde s é o operador de Laplace e possui algumas das propriedades do
operador D=d/dt do cálculo operacional de Heavyside. A transformação inversa
de F(s) é:
É desnecessário realizar qualquer uma dessas tarefas de transformação, uma
vez que existem tabelas que abreviam enormemente o trabalho.
O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão de
um dado problema em uma soma de respostas dentro de um espectro de
funções exponenciais, uma vez que tanto as funções harmônicas geralmente
associadas a excitação de circuitos (seno e coseno) podem ser representadas
como exponenciais, assim os diversos tipos de respostas transitórias. Em
casos de excitações mais complexas, as mesmas podem ser separadas,
quando necessário, em formas mais simples e analisadas de acordo com o
teorema da superposição, onde a soma de todas as componentes corresponde
a resposta completa da excitação original.
UM MÉTODO
Uma situação bastante comum é a energização de um circuito em um
determinado intante t0, no qual a corrente pode ser calculada pela aplicação da
expressão:
Onde I(S) é a transformada de Laplace da corrente que circula no circuito i(t),
V(s) é a transformada da função de excitação (fonte de tensão do circuito) e
Z(s) é a impedância complexa do circuito em função do operador de Laplace
(s).
Esse método faz as seguintes alterações no circuito:
R (resistências) permanecem inalteradas.
L (indutâncias) tornam-se (reatância indutiva complexa)
C (capacitâncias) tornam-se 1/sC (reatâncias capacitivas complexas).
A transformada da fonte V(s) deve ser obtida diretamente da talela de
transformadas.
Como tanto V(s) como Z(s) podem ser polinômios em s, a resultado final
dever ser algebricamente reduzidos de modo a formar os padrões contidos
na tabela de transformadas, denominamos esta etapa “expansão em
frações parciais”.
A solução obtida por esse método é a solução completa da corrente i(t)
constituída da parte operacional de regime e mais as parcelas
correspondentes ao transitório.
Nosso curso lida com aplicações da transformada de Laplace utilizando o
método acima, A análise de malhas, a análise nodal, os teoremas de redes
e o método de superposição, partindo do princípio que todos os circuitos
podem ser descridos por equações diferenciais lineares e com coeficientes
constantes.
A seção abaixo contém as propriedades e e a transformada de Laplace de
algumas funções básicas.
1. A transformada é um operador linear
Seja uma função fo tempo definida por )()()( 21 tbftaftf , sua transformada de Laplace é:
0 0
21
0
21 )()()()()()( dtetfbdtetfadtetbftafsFtfL ststst
)()()()()( 2121 sbFsaFtfbLtfaLtfL
2. A transformada de Laplace das derivadas
Como já verificamos na lições anteriores, a engenharia lida com muitas equações
diferenciais e até integro-diferenciais, que são compostas por integrais e derivadas em uma
única função. Assim é do interesse dos engenheiros o conhecimento da resolução destas
equações para aumentar sua capacidade de análise e projeto de sistemas físicos
Seja f(t) uma função qualquer cuja transformada de Laplace é L {f (t)} = F(s), e seja
df(t)/dt a sua derivada. Para obtermos a transformada de Laplace da derivada, fazemos:
dtedt
tdf
dt
tdfL st
0
)()(
Resolvendo por integração por partes temos:
Fazendo stst sedt
tdudtetu
)()( e
)()(
)()(
tfdtdt
tdftv
dt
tdf
dt
dv
Então:
)()0()(
)()()( 0
000
ssFfee
fdtetfstfedte
dt
tdf stst
st
)0()()(
fssFdt
tdfL
Como já vimos, as equações diferenciais podem ter termos de ordem muito maior que 1,
assim vamos nos preocupar com essas derivadas também. Para a derivada de ordem 2,
temos:
)0(')0()()( 2
2
2
fsfsFsdt
tfdL
Para ordem 3
)0('')0(')0()()( 23
3
3
fsffssFsdt
tfdL
As transformadas de derivadas de ordem superior podem ser determinadas por indução.
3. A transformada de Laplace da integral
Seja f(t) uma função qualquer cuja transformada de Laplace é )())( sFtfL e seja
dttf )( sua integral.
A transformada de Laplace é:
0
)()( dtedttfdttfL st
Utilizando a técnica da integração por partes fazemos:
)()(
)()(0
tfdt
tdudttftu
t
e stst es
tvedt
tdv 1
)()(
tsttst
dttfss
sFdttfLdt
s
etfdttf
s
edttfL )(
1)()(
)()()(
00
t
dttfss
sFdttfL )(
1)()(
observe que se 0)( tf para 0t , então 0)(
0
tf .
Repetindo o procedimento acima para integrais de onde superior podemos escrever:
dtdttfs
dttfss
sFdtdttfL
t ttt t
)(
1)(
1)()(
22
ou ainda para integrais triplas:
dtdtdttfs
dtdttfs
dttfss
sFdtdttfL
t t tt ttt t
)(
1)(
1)(
1)()(
233
4. Transformada da função degrau unitário
A função degrau unitário desempenha um importante papel nos circuitos elétricos, uma vez que
ela modela uma chave ON-OFF ideal (sem repique mecânico). Podemos ver na figura 1 como
isso é realizado:
E
Chave ON-OFF
x(t)
+
t o
Figura 1
Note que se E=1V, então
0
0
0
1)(
tt
tttx que é escrito como )()( 0ttutx onde
)( 0ttu é a função degrau.
Para outros valores de tensão da fonte escrevemos:
)()( 0ttEutx ou )()( tEutx para 00 t .
E
Eu(t-to)
0 tto
E
t
Eu(t)
0
A transformada de Laplace desta função é:
s
Ees
EdteEtuELtEuL stst 111))())(
00
s
es
dtetuLtuL stst 111))())(
00
5. Transformada da função impulso )(t
A função impulso gera uma transformada especial em função de sua própria definição. Como a
área sob a função impulso é, por definição, unitária, então:
1)()()(
0
00
stst etdtettL
6. Transformada da função rampa unitária
A função rampa unitária é mostrada na figura 2 e é definida como
0
00
0)(
tt
tttttr
que para 00 t fica
00
0)(
t
tttr ou )()( ttutr .
0 to
r(t)r(t) = t - to
t 0
r(t)
t
A transformada de Laplace desta função é obtida por integração por partes:
00
00 )(t
stst dttedtettttL
Fazendo dttdudt
tduttu )(1
)()(
st
t
st es
tvdtedv
1
)(
0
Assim
02
0
000
0
1*0
111
0
ststst
t
st ese
es
dtes
tes
dttettL
2
0
2
0
11
0s
ees
dttetLt
st
2
1
stL
7. Transformada da função pulso.
A função pulso de altura unitária e largura T segundos é definida como F )()( Ttutu . Sua
transformada de Laplace é:
0 00
)()()()()()( dteTtudtetudteTtutuTtutuL ststst
0 00 0
)(1
)()()()()( dteTtue
dtetudte
eeTtudtetuTtutuL Tts
sT
st
sT
sTstst
sTTts
sT
st es
dtee
dteTtutuL
11
11
1)()(0 0
sTes
TtutuL 11
)()(
8. Transformada da função exponencial ate
Vamos determinar a transformada da função exponencial pata 0t , ou atetu )( .
asas
ee
as
edtedteetueL
tsatasstatat
1
)(0
0
)(
00
as
tueL at
1
)(
9. Transformada da função sen(ωt)
A transformada da função seno pode ser realizada de diversos modos, entre eles podemos
aplicar a expansão em frações parciais duas vezes, de modp a gerar um termo repetido e em
função deste termo, colocado em evidência podemos obter a transformada procurada.
0
)()()( dtetsentutsenL st
Fazendo )cos()()()( ttdutsentu e s
etve
dt
tdv stst
)(
)(
000
)cos()(
)( dtetss
etsendtetsen st
stst
Aplicando novamente a integração por parte neste segundo termo da expressão, temos:
)()(
)cos()( tsendt
tdwttw e
s
etze
dt
tdz stst
)(
)(
dtetsens
ets
dtets
ststst
)()cos()cos(
0
2
02
0
Substituindo na expressão original, temos:
dtetsens
etss
etsendtetsen stst
stst
)()cos(
)()(
0
2
02
00
2
0
2
0
02
00
2
2
)cos()0cos()()0(1
)cos()(
)(1
see
sesenesen
s
etss
etsendtetsen
s
stst
st
22
2
2
2
0
2
0
2
2
1
)()(1
s
s
sdtetsens
dtetsens
stst
22
0
)(
sdtetsen st
Um outro modo de calcular esta transformada é aplicando a propriedade:
j
eetsen
tjtj
2)(
0
)(
0
)(
0 0
)()(
002
1
2
1
2)(
js
e
js
e
jdtedte
jdte
j
eedtetsen
tjstjstjstjsst
tjtjst
)(2
111
2
1
2
1)(
0)(0)(
0
jsjs
jsjs
jjsjsjjs
ee
js
ee
jdtetsen
jsjsst
22
0)(
2
2
1)(
sjsjs
j
jdtetsen st
e temos o mesmo resultado acima.
10. Transformada da função sen(ωt+θ)
Vamos admitir que a função seno esteja defasada, assim,
j
eetsen
tjtj
2)(
0 0
)()(
002
1
2)( dtedte
jdte
j
eedtetsen tjstjsst
tjtjst
)(2
1
2
1)(
0
jsjs
ejsejs
jjs
e
js
e
jdtetsen
jjjjst
)(2
1
)(2
1)(
0
jsjs
ejseejse
jjsjs
ejsejs
jdtetsen
jjjjjjst
)(2
1
)(2
1)(
0
jsjs
eejees
jjsjs
ejseejse
jdtetsen
jjjjjjjjst
2222
0
)cos(*)(*22
22
2
1)(
s
sens
s
eej
j
eejs
jdtetsen
jjjj
st
22
0
)cos(*)(*)(
s
sensdtetsen st
0
)(
0
)(
02
1)(
js
ee
js
ee
jdtetsen
tjsj
tjsjst
TABELA DE TRANSFORMADAS ELEMENTARES DE LAPLACE
0
)()( dtetfsF st
00)(
0)(
ttf
ttf
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. s
A 1. Au(t)
2. 2
1
s 2. t
3. 1
!ns
n 3. nt (n=1,2,3...)
4. as
1 4. ate
5. as
1 5. ate
6. nas )(
1
6. atn et
n
1
)!1(
1
7. 2)(
1
as 7. atte
8. 2)(
1
as 8. atte
9. )0()( fssF 9. )(')(
tfdt
tdf
10. )0(')0()(2 fsfsFs 10. )('')(
2
2
tfdt
tfd
11.
0
)(1)(
dttfss
sF 11. dttf )(
12. 22
s 12. )( tsen
13. 22 s
s 13. )cos( t
14. 22
)cos(*)(*
s
sens 14. )( tsen
15. 22
s 15.. )( tsenh
16. 22 s
s 16. )cosh( t
17. 22
1
as 17. )(
1atsen
a
18. 22)(
as 18. )( tsene at
19. 22)(
as
as 19. )cos( te at
20. 22
s
BAs 20. )/(cos22 ABarctgtBA
21. s
e As
21. Attf
Attf
1)(
0)(
22. s
est01
22.Attfettf
tttf
0)(__00)(
01)( 0
23. 2
01
s
est
23.
Attfettf
ttttf
0)(__00)(
0)( 0
24.
2
201
s
est
24.
0
00
0
20)(__00)(
21)(
01)(
tttfettf
ttttf
tttf
25. 2
00
s
e
s
estst
25.
0
00
0)(
1)(
tttf
tttttf
26. 2)( as
s
26. ateat )1(
27. 2)(
3
as 27. ate
att
21
28. )(
1
ass 28. )1(
1 atea
29. 222 )(
1
s 29. )cos()(
2
13
tttsen
30. 222 )( s
s 30. )(
2tsen
t
31. ))((
1
bsas 31.
ba
ee atbt
32. ))(( bsas
s
32.
ba
beae btat
33. 2))((
1
baas 33.
2)(
)(1
ba
tbaee btat
34. 2))(( bsas
s
34.
2)(
)(
ba
aetebaba atbt
35. ))((
122 sas
35.
)cos()()(
122
ttsena
ea
at
36. 22)(
1
bas 36. )(
1tsene
b
at
37. ))()((
1
csbsas 37.
))()((
)()()(
accbba
eabecaebc ctbtat
38. ))()(( csbsas
s
38.
))()((
)()()(
accbba
ebaceacbecba ctbtat