a transformada de laplace -...

14
METAHEURO EDUCACIONAL José Roberto Marques 2013 (direitos reservados) A TRANSFORMADA DE LAPLACE O cálculo operacional foi inicialmente desenvolvido por Oliver Heavyside (1850-1025) que, entre outras contribuições, desenvolveu a função degrau unitário u(t). O operador D=d/dt do cálculo operacional de Heavyside em muitos aspectos era similar a transformada de Laplace, as operações algébricas eram as mesmas, mas a transformada tinhas as seguintes vantagens: As funções descontínuas e impulsivas eram facilmente manuseáveis. A solução era completa, incluindo a solução da parcela forçada ou de regime estacionário e a parcela relativa ao transitório. As condições iniciais eram introduzidas no início e não precisavam ser laboriosamente derivadas ao final do problema, principalmente em estudos envolvendo sistemas de controle, que envolviam a análise de sistemas de ordem mais elevada. O método da transformada de Laplace, na prática, não envolve nenhuma dificuldade de integração, uma vez que existem tabelas disponíveis para soluções rápidas de uma ampla gama de problemas. A transformada de Laplace de qualquer função f(t) variante no tempo, é F(s) onde: Onde s é o operador de Laplace e possui algumas das propriedades do operador D=d/dt do cálculo operacional de Heavyside. A transformação inversa de F(s) é: É desnecessário realizar qualquer uma dessas tarefas de transformação, uma vez que existem tabelas que abreviam enormemente o trabalho. O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão de um dado problema em uma soma de respostas dentro de um espectro de funções exponenciais, uma vez que tanto as funções harmônicas geralmente associadas a excitação de circuitos (seno e coseno) podem ser representadas

Upload: hadiep

Post on 20-Mar-2018

244 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

METAHEURO EDUCACIONAL

José Roberto Marques – 2013 (direitos reservados)

A TRANSFORMADA DE LAPLACE

O cálculo operacional foi inicialmente desenvolvido por Oliver Heavyside

(1850-1025) que, entre outras contribuições, desenvolveu a função degrau

unitário u(t). O operador D=d/dt do cálculo operacional de Heavyside em muitos

aspectos era similar a transformada de Laplace, as operações algébricas eram

as mesmas, mas a transformada tinhas as seguintes vantagens:

As funções descontínuas e impulsivas eram facilmente manuseáveis.

A solução era completa, incluindo a solução da parcela forçada ou de

regime estacionário e a parcela relativa ao transitório.

As condições iniciais eram introduzidas no início e não precisavam ser

laboriosamente derivadas ao final do problema, principalmente em

estudos envolvendo sistemas de controle, que envolviam a análise de

sistemas de ordem mais elevada.

O método da transformada de Laplace, na prática, não envolve nenhuma

dificuldade de integração, uma vez que existem tabelas disponíveis para

soluções rápidas de uma ampla gama de problemas.

A transformada de Laplace de qualquer função f(t) variante no tempo, é F(s)

onde:

Onde s é o operador de Laplace e possui algumas das propriedades do

operador D=d/dt do cálculo operacional de Heavyside. A transformação inversa

de F(s) é:

É desnecessário realizar qualquer uma dessas tarefas de transformação, uma

vez que existem tabelas que abreviam enormemente o trabalho.

O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão de

um dado problema em uma soma de respostas dentro de um espectro de

funções exponenciais, uma vez que tanto as funções harmônicas geralmente

associadas a excitação de circuitos (seno e coseno) podem ser representadas

Page 2: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

como exponenciais, assim os diversos tipos de respostas transitórias. Em

casos de excitações mais complexas, as mesmas podem ser separadas,

quando necessário, em formas mais simples e analisadas de acordo com o

teorema da superposição, onde a soma de todas as componentes corresponde

a resposta completa da excitação original.

UM MÉTODO

Uma situação bastante comum é a energização de um circuito em um

determinado intante t0, no qual a corrente pode ser calculada pela aplicação da

expressão:

Onde I(S) é a transformada de Laplace da corrente que circula no circuito i(t),

V(s) é a transformada da função de excitação (fonte de tensão do circuito) e

Z(s) é a impedância complexa do circuito em função do operador de Laplace

(s).

Esse método faz as seguintes alterações no circuito:

R (resistências) permanecem inalteradas.

L (indutâncias) tornam-se (reatância indutiva complexa)

C (capacitâncias) tornam-se 1/sC (reatâncias capacitivas complexas).

A transformada da fonte V(s) deve ser obtida diretamente da talela de

transformadas.

Como tanto V(s) como Z(s) podem ser polinômios em s, a resultado final

dever ser algebricamente reduzidos de modo a formar os padrões contidos

na tabela de transformadas, denominamos esta etapa “expansão em

frações parciais”.

A solução obtida por esse método é a solução completa da corrente i(t)

constituída da parte operacional de regime e mais as parcelas

correspondentes ao transitório.

Nosso curso lida com aplicações da transformada de Laplace utilizando o

método acima, A análise de malhas, a análise nodal, os teoremas de redes

e o método de superposição, partindo do princípio que todos os circuitos

podem ser descridos por equações diferenciais lineares e com coeficientes

constantes.

A seção abaixo contém as propriedades e e a transformada de Laplace de

algumas funções básicas.

Page 3: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

1. A transformada é um operador linear

Seja uma função fo tempo definida por )()()( 21 tbftaftf , sua transformada de Laplace é:

0 0

21

0

21 )()()()()()( dtetfbdtetfadtetbftafsFtfL ststst

)()()()()( 2121 sbFsaFtfbLtfaLtfL

2. A transformada de Laplace das derivadas

Como já verificamos na lições anteriores, a engenharia lida com muitas equações

diferenciais e até integro-diferenciais, que são compostas por integrais e derivadas em uma

única função. Assim é do interesse dos engenheiros o conhecimento da resolução destas

equações para aumentar sua capacidade de análise e projeto de sistemas físicos

Seja f(t) uma função qualquer cuja transformada de Laplace é L {f (t)} = F(s), e seja

df(t)/dt a sua derivada. Para obtermos a transformada de Laplace da derivada, fazemos:

dtedt

tdf

dt

tdfL st

0

)()(

Resolvendo por integração por partes temos:

Fazendo stst sedt

tdudtetu

)()( e

)()(

)()(

tfdtdt

tdftv

dt

tdf

dt

dv

Então:

)()0()(

)()()( 0

000

ssFfee

fdtetfstfedte

dt

tdf stst

st

Page 4: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

)0()()(

fssFdt

tdfL

Como já vimos, as equações diferenciais podem ter termos de ordem muito maior que 1,

assim vamos nos preocupar com essas derivadas também. Para a derivada de ordem 2,

temos:

)0(')0()()( 2

2

2

fsfsFsdt

tfdL

Para ordem 3

)0('')0(')0()()( 23

3

3

fsffssFsdt

tfdL

As transformadas de derivadas de ordem superior podem ser determinadas por indução.

3. A transformada de Laplace da integral

Seja f(t) uma função qualquer cuja transformada de Laplace é )())( sFtfL e seja

dttf )( sua integral.

A transformada de Laplace é:

0

)()( dtedttfdttfL st

Utilizando a técnica da integração por partes fazemos:

)()(

)()(0

tfdt

tdudttftu

t

e stst es

tvedt

tdv 1

)()(

tsttst

dttfss

sFdttfLdt

s

etfdttf

s

edttfL )(

1)()(

)()()(

00

Page 5: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

t

dttfss

sFdttfL )(

1)()(

observe que se 0)( tf para 0t , então 0)(

0

tf .

Repetindo o procedimento acima para integrais de onde superior podemos escrever:

dtdttfs

dttfss

sFdtdttfL

t ttt t

)(

1)(

1)()(

22

ou ainda para integrais triplas:

dtdtdttfs

dtdttfs

dttfss

sFdtdttfL

t t tt ttt t

)(

1)(

1)(

1)()(

233

4. Transformada da função degrau unitário

A função degrau unitário desempenha um importante papel nos circuitos elétricos, uma vez que

ela modela uma chave ON-OFF ideal (sem repique mecânico). Podemos ver na figura 1 como

isso é realizado:

E

Chave ON-OFF

x(t)

+

t o

Figura 1

Page 6: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

Note que se E=1V, então

0

0

0

1)(

tt

tttx que é escrito como )()( 0ttutx onde

)( 0ttu é a função degrau.

Para outros valores de tensão da fonte escrevemos:

)()( 0ttEutx ou )()( tEutx para 00 t .

E

Eu(t-to)

0 tto

E

t

Eu(t)

0

A transformada de Laplace desta função é:

s

Ees

EdteEtuELtEuL stst 111))())(

00

s

es

dtetuLtuL stst 111))())(

00

5. Transformada da função impulso )(t

A função impulso gera uma transformada especial em função de sua própria definição. Como a

área sob a função impulso é, por definição, unitária, então:

1)()()(

0

00

stst etdtettL

Page 7: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

6. Transformada da função rampa unitária

A função rampa unitária é mostrada na figura 2 e é definida como

0

00

0)(

tt

tttttr

que para 00 t fica

00

0)(

t

tttr ou )()( ttutr .

0 to

r(t)r(t) = t - to

t 0

r(t)

t

A transformada de Laplace desta função é obtida por integração por partes:

00

00 )(t

stst dttedtettttL

Fazendo dttdudt

tduttu )(1

)()(

st

t

st es

tvdtedv

1

)(

0

Assim

02

0

000

0

1*0

111

0

ststst

t

st ese

es

dtes

tes

dttettL

2

0

2

0

11

0s

ees

dttetLt

st

2

1

stL

Page 8: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

7. Transformada da função pulso.

A função pulso de altura unitária e largura T segundos é definida como F )()( Ttutu . Sua

transformada de Laplace é:

0 00

)()()()()()( dteTtudtetudteTtutuTtutuL ststst

0 00 0

)(1

)()()()()( dteTtue

dtetudte

eeTtudtetuTtutuL Tts

sT

st

sT

sTstst

sTTts

sT

st es

dtee

dteTtutuL

11

11

1)()(0 0

sTes

TtutuL 11

)()(

8. Transformada da função exponencial ate

Vamos determinar a transformada da função exponencial pata 0t , ou atetu )( .

asas

ee

as

edtedteetueL

tsatasstatat

1

)(0

0

)(

00

as

tueL at

1

)(

9. Transformada da função sen(ωt)

Page 9: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

A transformada da função seno pode ser realizada de diversos modos, entre eles podemos

aplicar a expansão em frações parciais duas vezes, de modp a gerar um termo repetido e em

função deste termo, colocado em evidência podemos obter a transformada procurada.

0

)()()( dtetsentutsenL st

Fazendo )cos()()()( ttdutsentu e s

etve

dt

tdv stst

)(

)(

000

)cos()(

)( dtetss

etsendtetsen st

stst

Aplicando novamente a integração por parte neste segundo termo da expressão, temos:

)()(

)cos()( tsendt

tdwttw e

s

etze

dt

tdz stst

)(

)(

dtetsens

ets

dtets

ststst

)()cos()cos(

0

2

02

0

Substituindo na expressão original, temos:

dtetsens

etss

etsendtetsen stst

stst

)()cos(

)()(

0

2

02

00

2

0

2

0

02

00

2

2

)cos()0cos()()0(1

)cos()(

)(1

see

sesenesen

s

etss

etsendtetsen

s

stst

st

22

2

2

2

0

2

0

2

2

1

)()(1

s

s

sdtetsens

dtetsens

stst

22

0

)(

sdtetsen st

Um outro modo de calcular esta transformada é aplicando a propriedade:

Page 10: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

j

eetsen

tjtj

2)(

0

)(

0

)(

0 0

)()(

002

1

2

1

2)(

js

e

js

e

jdtedte

jdte

j

eedtetsen

tjstjstjstjsst

tjtjst

)(2

111

2

1

2

1)(

0)(0)(

0

jsjs

jsjs

jjsjsjjs

ee

js

ee

jdtetsen

jsjsst

22

0)(

2

2

1)(

sjsjs

j

jdtetsen st

e temos o mesmo resultado acima.

10. Transformada da função sen(ωt+θ)

Vamos admitir que a função seno esteja defasada, assim,

j

eetsen

tjtj

2)(

0 0

)()(

002

1

2)( dtedte

jdte

j

eedtetsen tjstjsst

tjtjst

)(2

1

2

1)(

0

jsjs

ejsejs

jjs

e

js

e

jdtetsen

jjjjst

)(2

1

)(2

1)(

0

jsjs

ejseejse

jjsjs

ejsejs

jdtetsen

jjjjjjst

)(2

1

)(2

1)(

0

jsjs

eejees

jjsjs

ejseejse

jdtetsen

jjjjjjjjst

2222

0

)cos(*)(*22

22

2

1)(

s

sens

s

eej

j

eejs

jdtetsen

jjjj

st

22

0

)cos(*)(*)(

s

sensdtetsen st

0

)(

0

)(

02

1)(

js

ee

js

ee

jdtetsen

tjsj

tjsjst

Page 11: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

TABELA DE TRANSFORMADAS ELEMENTARES DE LAPLACE

0

)()( dtetfsF st

00)(

0)(

ttf

ttf

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. s

A 1. Au(t)

2. 2

1

s 2. t

3. 1

!ns

n 3. nt (n=1,2,3...)

4. as

1 4. ate

5. as

1 5. ate

6. nas )(

1

6. atn et

n

1

)!1(

1

7. 2)(

1

as 7. atte

8. 2)(

1

as 8. atte

9. )0()( fssF 9. )(')(

tfdt

tdf

10. )0(')0()(2 fsfsFs 10. )('')(

2

2

tfdt

tfd

11.

0

)(1)(

dttfss

sF 11. dttf )(

12. 22

s 12. )( tsen

13. 22 s

s 13. )cos( t

Page 12: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

14. 22

)cos(*)(*

s

sens 14. )( tsen

15. 22

s 15.. )( tsenh

16. 22 s

s 16. )cosh( t

17. 22

1

as 17. )(

1atsen

a

18. 22)(

as 18. )( tsene at

19. 22)(

as

as 19. )cos( te at

20. 22

s

BAs 20. )/(cos22 ABarctgtBA

21. s

e As

21. Attf

Attf

1)(

0)(

22. s

est01

22.Attfettf

tttf

0)(__00)(

01)( 0

23. 2

01

s

est

23.

Attfettf

ttttf

0)(__00)(

0)( 0

Page 13: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

24.

2

201

s

est

24.

0

00

0

20)(__00)(

21)(

01)(

tttfettf

ttttf

tttf

25. 2

00

s

e

s

estst

25.

0

00

0)(

1)(

tttf

tttttf

26. 2)( as

s

26. ateat )1(

27. 2)(

3

as 27. ate

att

21

28. )(

1

ass 28. )1(

1 atea

29. 222 )(

1

s 29. )cos()(

2

13

tttsen

30. 222 )( s

s 30. )(

2tsen

t

31. ))((

1

bsas 31.

ba

ee atbt

32. ))(( bsas

s

32.

ba

beae btat

33. 2))((

1

baas 33.

2)(

)(1

ba

tbaee btat

34. 2))(( bsas

s

34.

2)(

)(

ba

aetebaba atbt

35. ))((

122 sas

35.

)cos()()(

122

ttsena

ea

at

Page 14: A TRANSFORMADA DE LAPLACE - metaheuro-inicialmetaheuro.com.br/educacao/calculo_iv_dir/NOTAS_DE_AULAS_2013/A... · O método da transformada de Laplace pode ser descrito como a conversão

36. 22)(

1

bas 36. )(

1tsene

b

at

37. ))()((

1

csbsas 37.

))()((

)()()(

accbba

eabecaebc ctbtat

38. ))()(( csbsas

s

38.

))()((

)()()(

accbba

ebaceacbecba ctbtat