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A PRIMEIRA E A SEGUNDA FORMAS FUNDAMENTAIS NO PSEUDO-

ESPAÇO DE LORENTZ MINKOWSKI E SUAS RELAÇÕES COM O

ESPAÇO EUCLIDIANO.

Silva, Ismael Teixeira (Ms)(1)

Guadalupe, Irwen Valle (Dr.)(2)

RESUMO

Este trabalho tem por objetivo tecer comparações entre o cálculo da primeira e segunda forma

fundamentais para superfícies no espaço tridimensional Euclidiano – R3, e no pseudo-espaço

tridimensional de Lorentz-Minkowski – L3.

Palavras-chave

Aplicação de Gauss , Formas fundamentais, Geometria diferencial, Lorentz-Minkowski.

ABSTRACT

The aim of this work is to compare the calculation between the first and second fundamental

forms for the surfaces in the Euclidian tridimensional space – R3, and in the tridimensional

pseudo-space of Lorentz-Minkowski – L3.

Keywords

Differential geometry, Fundamental forms, Gauss Map, Lorentz-Minkowski.

___________________________________________(1) Docente do Centro Universitário de Lavras – Unilavras. Mestre em Matemática e Estatística pela Universidade Vale do Rio

Verde – Unincor. Contato: ismael@unilavras.edu.br(2) Professor orientador. Universidade Vale do Rio Verde – Unincor. Doutor (Livre Docente) em Matemática pela Universidade

Estadual de Campinas – Unicamp. Contato: irwenguadalupe@terra.com.br, mestrado_profissional@yahoo.com.br.

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1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por objetivo fazer um estudo comparativo da primeira e segunda formas

fundamentais no espaço tridimensional euclidiano, R3 e no pseudo-espaço tridimensional de

Lorentz-Minkowski, L3. Este último tem sua importância nas aplicações em Física, onde sua

maior expressão é na Teoria da Relatividade Especial de Albert Einstein, onde é mais comumente

formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas com uma

única dimensão de tempo para formar uma variedade quadridimensional para representar um

espaço-tempo.

Após definir o pseudo-espaço de Lorentz-Minkowski e apresentar vários conceitos

importantes utilizados na geometria diferencial e a plicação normal de Gauss são determinados os

coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais e sua aplicação na geometria de

superfícies em R3 e em L3.

2 O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL DE LORENTZ-MINKOWSKI – L3

Definição: Seja R3 = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 Î R}, o espaço real tridimensional. Dados os

vetores x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) em R3, definimos o pseudo-produto

escalar de x e y por:

áx, yñ1 = – x1y1 + x2y2 + x3y3.

Milani, Shojaeifard (2006) apresentam o pseudo-produto escalar em L3 como áx, yñ1 =

x1y1 + x2y2 – x3y3, porém, a mudança de posição do sinal (–) em nada modifica a geometria das

superfícies geradas nesta métrica.

Chamaremos (R3, áx, yñ1) de pseudo-espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski e

escreveremos L3 = R31 para denotar (R3, áx, yñ1 ).

Como o pseudo-produto escalar pode ser positivo, negativo ou nulo, este não pode ser,

portanto, um produto interno.

Seja v = (v1, v2, v3) Î L3. A forma quadrática áv, vñ1 define, segundo Walrave (1995), o

vetor como sendo tipo espaço, tempo ou luz.

Definição: Seja v um vetor em um espaço L3. Dizemos que v é:

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a) Tipo espaço (spacelike), se áv, vñ1 > 0.

Exemplo: v = (2, 3, 1)

áv, vñ1 = –22 + 32 + 12 = 6 > 0.

b) Tipo luz (lightlike), se áv, vñ1 = 0.

Exemplo: v = (5, 3, 4)

áv, vñ1 = –52 + 32 + 42 = 0.

c) Tipo tempo (timelike), se áv, vñ1 < 0.

Exemplo: v = (3, 2, 2)

áv, vñ1 = –32 + 22 + 22 = –1 < 0.

O índice 1 em á,ñ1 indica um sinal negativo na assinatura da métrica, ou seja, enquanto a

assinatura da métrica em R3 é (+, +, +), a assinatura de L3 é (–, +, +), para garantir dois vetores

ortogonais tipo espaço e um vetor tipo tempo ortogonal aos dois primeiros na base ortonormal de

L3.

2.1 Norma e base ortonormal

Definição: Se v = (v1, v2, v3) Î L3, definimos a norma de v por:

Dois vetores u e v em L3 são ortogonais se áv, vñ1 = 0 e um vetor u em L3 que verifica áu,

uñ1 = ±1 é chamado de vetor unitário.

Definição: Uma base {v1, v2, v3} em L3 é chamada de base ortonormal se os vetores v1, v2

e v3 são mutuamente ortogonais.

Corolário: Se v é um vetor tipo tempo em L3 e u ¹ 0 é ortogonal a v, então u é um vetor

tipo espaço.

2.2 O produto vetorial no espaço L3.

Definição: Seja u, v Î L3, define-se o produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3),

nesta ordem, como sendo o único vetor u Ù v Î L3 definido por:

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Onde {e1, e2, e3} é uma base ortonormal de L3.

Por analogia às propriedades do produto vetorial em R3 definidas em Steinbruch, Winterle

(1987), o produto vetorial em L3 verifica:

i. u Ù v = – (v Ù u), u, v Î L3.

ii. (au + bv) Ù w = (au Ù w) + (bv Ù w), a, b Î R.

iii. u Ù v = 0 se, e somente se u, v são linearmente dependentes.

iv. (u Ù v) Ù w = áv, wñ u – áu, wñ v

2.3 O produto misto no espaço L3.

Rodrigues (2006) demonstra que o produto misto de três vetores u, v, w Î L3, onde u =

(u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é dado por:

i. áu, u Ù vñ1 = áv, u Ù vñ1 = 0

ii.

3 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE SUPERFÍCIES TIPO ESPAÇO EM L3.

Definição: Gray (1999) afirma que uma superfície regular é uma aplicação X : U Ì R2 ®

M (M = R3 ou M = L3) de um conjunto aberto U Ì R2 para M tal que:

i. X é diferenciável, isto é, se escrevermos X(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v) Ì U, as

funções x(u,v), y(u,v), z(u,v) possuem derivadas parciais contínuas de todas as ordens em

U.

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ii. Para cada ponto q Î U a diferencial dX(q) : R2 ® M é um-a-um (condição de

regularidade).

A aplicação X é chamada parametrização e as variáveis u e v são chamadas de parâmetros

da superfície X. O conjunto imagem S = X(u,v) Ì M é chamado traço de X.

Definição: Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície parametrizada, então, fixando-se q = (u0,

v0) Î U, as curvas

u ® X(u, v0) e v ® X(u0, v)

são chamadas curvas coordenadas de X em q (FIGURA 1).

Esta curva tem em X(q) o vetor tangente ¶X/¶u = Xu, onde as derivadas são calculadas no

ponto q = (u0, v0).

FIGURA 1 CURVAS COORDENADAS DE UMA SUPERFÍCIE REGULAR EM M.

3.1 O Plano tangente

Definição: Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície parametrizada. Um vetor w Î M é

chamado vetor tangente a X em q = (u0, v0) se w = a’(t0), onde a(t) = X(u(t),

v(t)) é uma curva da superfície, tal que (u(t0), v(t0)) = (u0, v0).

Definição: O plano tangente a X em q = (u0, v0) é o conjunto de todos os vetores tangentes

a X em q, obtidos como combinação linear de Xu(u0, v0) e Xv(u0, v0), denotado

por TqX (FIGURA 2).

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FIGURA 2 PLANO TANGENTE A X EM Q = (U0, V0) Î X(U).

Definição: Uma superfície X : U Ì R2 ® M é chamada superfície tipo espaço se o plano

tangente em todo ponto é tipo espaço, isto é, áv, vñ1 > 0 para cada v Î TqX.

Observação: Toda superfície clássica em R3 com a métrica euclidiana é tipo espaço.

3.2 O vetor normal unitário

Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície tipo espaço. Se Xu e Xv são vetores tipo espaço do

plano tangente TqX, então existe uma única direção normal a este plano e portanto existem dois

vetores unitários normais a X em q como sendo o vetor

Se o domínio da superfície X é um aberto U Ì R2 então, variando (u, v) Î U, temos uma

aplicação diferenciável N : U® M, denominada aplicação normal de Gauss, definida por

Se M = R3, a imagem de N(u, v) está contida na esfera unitária S2(1), centrada na origem.

Por outro lado, se M = L3, temos que áXu Ù Xv, Xuñ1 = áXu Ù Xv, Xvñ1 = 0, e assim, Xu Ù

Xv, por definição anterior, é um vetor tipo tempo. O vetor normal à superfície é perpendicular ao

plano tangente, Por conseqüência, o vetor normal unitário N(q) é um vetor tipo tempo de L3 cuja

imagem está contida no pseudo-espaço hiperbólico definido por:

H2(–1) = {(x, y, z) Î L3; –x2 + y2 + z2 = –1, x > 0}.

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3.3 A primeira forma fundamental

Definição: Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície tipo espaço. A forma quadrática Iq : TqX

® R dada por

v ® Iq = áv, vñ = || v ||2 > 0

v Î TqX é chamada primeira forma fundamental da superfície regular X Ì M em q Î X,

denotada por Iq.

Expressa-se a primeira forma fundamental na base {Xu,Xv} associada à parametrização

X(u,v) em q=(u0, v0).Visto que um vetor tangente α(t)=X(u(t),v(t)), t Î I = (–x, x), com

q=(u0,v0), temos:

Iq=áα’(t₀), α’(t₀)ñq

Iq = áXuu’+Xvv’, Xuu’ + Xvv’ñq

Iq = áXu, Xuñq (u’)2 + 2áXu, Xvñq u’v’ + áXv, Xvñq (v’)2

Iq = E(u’)2 + 2Fu’v’ + G(v’)2

onde,

E(u0, v0) = áXu, Xuñq

F(u0, v0) = áXu, Xvñq

G(u0, v0) = áXv, Xvñq

são os coeficientes da primeira forma fundamental.

De outra forma, seja v Î Tq tal que v = aXu(q) + bXv(q), onde a, b, Î R. Logo,

Iq=áv, vñq = áaXu(q) + bXv(q), aXu(q) + bXv(q)ñq

Iq = a2áXu, Xuñq + 2abáXu, Xvñq + b2áXv, Xvñ

Iq = a2 Eq + 2abFq + b2G

em que E, F e G, coeficientes da primeira forma fundamental, são funções das variáveis u e v e

possuem, de acordo com Tenenblat(1990), as seguintes propriedades:

E(u, v) > 0 e G(u, v) > 0, para todo (u, v), pois os vetores tangentes Xu e Xv são não nulos.

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i. E(u, v) G(u, v) – F2 (u, v) > 0.

De fato, como

|| Xu Ù Xv ||2 + áXu, Xvñ2 = || Xu ||2 || Xv ||2, temos que

EG – F2 = || Xu ||2 || Xv ||2 – áXu, Xvñ2 = || Xu Ù Xv ||2 > 0

Se M = L3, aplicando a propriedade (ii) do produto misto em L3, temos:

áu Ù v, u Ù v ñ = áXu, Xvñ2 – áXu, XuñáXv, Xvñ = F2 – EG

Porém, como Xux Xv é tipo tempo, temos:

–(áXu, Xvñ2 – áXu, XuñáXv, Xvñ) = áXu, Xvñ2 – áXu, XuñáXv, Xvñ = EG – F2 > 0.

Logo, para qualquer superfície tipo espaço em M = R3 ou M = L3, a forma quadrática

EG – F2 = || Xu Ù Xv ||2 > 0.

Caso EG – F2 £ 0, a superfície não é tipo espaço e é denominada superfície Lorentziana

(VAN DE WOESTIJNE, 1990).

Geometricamente, a primeira forma fundamental se apresenta como ferramenta para se

calcular medidas sobre a superfície – comprimento de curvas, ângulos de vetores tangentes e

áreas de regiões – sem fazer menção ao espaço ambiente que esta se encontra (TENENBLAT,

1990).

4 APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

Definição: Seja X : U Ì R2 ® M (M = R3 ou M = L3) uma superfície tipo espaço de M. O

sinal e da superfície X é:

+1, se áN, Nñ = 1

–1, se áN, Nñ = –1

4.1 A geometria da aplicação normal de Gauss

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Definição: Seja X(u, v) uma superfície tipo espaço de M (M = R3 ou M = L3) orientada

pelo vetor unitário normal N. Se X(u, v) tem sinal e, isto é, sinaláN, Nñ = e, as

superfícies X(u, v) são dadas por:

X(u, v) = S2(1), se e = 1

X(u, v) = H2(–1), se e = –1

onde S2(1) é a esfera unitária e H2(–1) o pseudo-espaço hiperbólico.

A aplicação N : U Ì R2 ® M é chamada aplicação normal de Gauss de X(u, v), onde a

diferencial dNq de N em q Î U é uma aplicação linear de TqX em TN(q)M. Como TqX e TN(q)M

são os mesmos espaços vetoriais, dNq pode ser obtida como uma aplicação linear.

A diferencial dNq = TqX ® TqX da aplicação de Gauss é uma aplicação linear auto-

adjunta, em particular, dNq(xu) = Nu e dNq(xv) = Nv. Logo,

áNu, xvñ = áxu, Nuñ

o que equivale a dizer que

áNu, xvñ = –áN, xuvñ = áNv xuñ

O fato de dNq : TqX ® TqX ser uma aplicação linear auto-adjunta nos permite associar a

dNq uma forma quadrática Q em TqX dada por Q(v) = ádNq(v), vñ, v Î TqX.

Definição: A forma quadrática

IIq = á–dNq(v), vñ

É chamada segunda forma fundamental da superfície tipo espaço X(u, v) em

q.

Seja X(u, v) uma parametrização em um ponto q Î U de uma superfície tipo espaço X, e

seja a curva a(t) = X(u(t), v(t)) uma curva parametrizada em X, com q = (u(0), v(0)). Para

simplificar a notação, convecionaremos que todas as funções que aparecem abaixo indicam seus

valores no ponto q.

O vetor tangente a α(t) em q é α’=Xuu’ + Xvv’ e dN(α’) = N’(u(t), v(t)) = Nuu’+ Nvv’.

Portanto, a expressão da segunda forma fundamental na base {Xu ,Xv} é dada por:

IIq(α’) = á–dN(α’),α’ñ = –ádN(α’),α’ñ

IIq(α’) = –áNuu’+ Nvv’, Xuu’+ Xvv’ñ

IIq(α’) = áNu, Xuñ(u’)2 + (áNu, Xvñ + áNv, Xuñ)u’v’ + áNv, Xvñ(v’)2

Sendo áN, Xuñ = áN, Xvñ = 0, temos:

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e = –áNu, Xuñ = áN, Xuuñ

f = –áNu, Xvñ = áN, Xuvñ = áN, Xvuñ = –áNv, Xuñ

g = –áNv, Xvñ = áN, Xvvñ

portanto, obtemos:

IIq(α′)=e(u’)2 + 2fu’v’ + g(v’)2

onde e, f e g são chamados de coeficientes da segunda forma fundamental da superfície

parametrizada X(u,v).

De modo mais simples, pode-se escrever os coeficientes da segunda forma

fundamental em função de outros parâmetros:

e = –áNu, Xuñ = áN, Xuuñ

mas, se || Xu Ù Xv ||2 = EG – F2, temos que:

Verifica-se que a segunda forma fundamental independe da curva escolhida.

Seja v = aXu(u0, v0) + bXv(u0, v0), e considere uma curva qualquer a(t) = X(u(t), v(t)) Ì

X(u, v) tal que q = (u(t0), v(t0)) e a’(t) = v, isto é, (u(t0), v(t0)) = (u0, v0) = (u’(t0), v’(t0)) = (a, b).

Como

a’(t) = u’(t)Xu(u(t), v(t)) + v’(t)Xv(u(t), v(t)) e

a”(t) = u”(t)Xu(u(t), v(t)) + (u’(t)2Xuu(u(t), v(t)) + 2u’(t)v’(t)Xuv(u(t), v(t)) + (v’(t)2Xvv(u(t)) +

v”(t)Xv(u(t), v(t)),

temos que

IIq = áa”(t0), N(uo, v0)ñ

IIq = (a2áXuu, Nñ + 2abáXuv, Nñ + b2áXvv, Nñ)

onde esta última expressão não depende da curva a(t).

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Utilizando-se as expressões dos coeficientes e, f e g retro-mencionadas, podemos

escrever:

IIq = a2e + 2abf + b2g

4.2 Exemplos de aplicações

A) O catenóide em R3

A superfície obtida pela revolução da curva catenária em torno do eixo Ox, denominada

catenóide (FIGURA 3), pode ser dada em R3, segundo Do Carmo (2005) pela parametrização:

X(u, v) = (u, cosh(u)cos(v), cosh(u)sen(v))

FIGURA 3 CATENÓIDE EM R3 E SUAS PROJEÇÕES.

i) Derivadas de ordem superior:

Xu = (1, –cosh(u)cos(v), senh(u)sen(v))

Xv = (0, –cosh(u)sen(v),cosh(u)cos(v))

Xuu = (0, cosh(u)cos(v), cosh(u)sen(v))

Xvv = (0, –cosh(u)cos(v), –cosh(u)sen(v))

Xuv = (0, –senh(u)sen(v),senh(u)cos(v))

ii) I forma fundamental:

E = áXu, Xuñ = 1 + senh2(u)cos2(v) + sinh2(u)sen2(v) = 1 + senh2(u)

E = cosh2(u)

F = áXu, Xvñ = senh(u)cos(v)cosh(u)sen(v) – senh(u)cos(v)cosh(u)sen(v)

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F = 0

G = áXu, Xuñ = 0 + cosh2(u)sen2(v) + cosh2(u)cos2(v)

G = cosh2(u)

Iq = a2E + 2abF + b2G

Iq = a2 cosh2(u) + 2ab×0 + b2 cosh2(u)

Iq = (a2 + b2) cosh2(u), a,b Î R.

iii) II forma fundamental

EG – F2 = cosh2(u)cosh2(u) – 0 = cosh4(u)

e = –1

f = 0

g = 1

IIq = a2e + 2abf + b2g

IIq = a2(–1) + 2ab×0 + b2×1

IIq = b2 – a2, a,b Î R.

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B) O catenóide em L3

O catenóide de primeiro tipo em L3 (FIGURA 4), também denominado por Yang, Kim

(2006) catenóide elítico, é obtido pela rotação da catenária em torno de um eixo tipo tempo. Pode

ser parametrizado, segundo Van de Woestijne (1990) como:

X(u, v) = (u, –sen(v)senh(u), cos(v)senh(u))

FIGURA 4 CATENÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM L3 E SUAS PROJEÇÕES.

i) Derivadas de ordem superior:

Xu = (1, –sin(v)cosh(u), cos(v)cosh(u))

Xuu = (0, –sin(v)sinh(u), cos(v)sinh(u))

Xv = (0, –sinh(u)cos(v), –sinh(u)sin(v))

Xvv = (0, sinh(u)sin(v), –sinh(u)cos(v))

Xuv = (0, –cosh(u)cos(v), –cosh(u)sin(v))

ii) I forma fundamental:

E = áXu, Xuñ1 = –1 + sen2(v)cosh2(u) + cos2(v)cosh2(u) = –1 + cosh2(u)

E = senh2(u)

F = áXu, Xvñ1 = sen(v)cosh(u)senh(u)cos(v) – sen(v)cosh(u)senh(u)cos(v)

F = 0

G = áXv, Xvñ1 = –0 + senh2(u)cos2(v) + sen2(v)senh2(u)

G = senh2(u)

Iq = a2E + 2abF + b2G

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Iq = a2 si\enh2(u) + 2ab×0 + b2 senh2(u)

Iq = (a2 + b2)senh2(u), a,b Î R.

iii) II forma fundamental

EG – F2 = senh2(u)senh2(u) – 0 = senh4(u)

e = –1

f = 0

g = 1

IIq = a2e + 2abf + b2g

IIq = a2(–1) + 2ab×0 + b2×1

IIq = b2 – a2, a,b Î R.

C) O helicóide em R3

Considere uma hélice cilíndrica dada por a(t) = (acos(t), asen(t), bt), t Î R, a > 0 e b¹0.

Por cada ponto da hélice pode-se traçar uma reta paralela ao plano xy e que intersecta o eixo Oz.

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A superfície gerada por essas retas, que muito se assemelha a uma escada em espiral é

denominada helicóide (FIGURA 5) ou, segundo Picado (2006), um helicóide é a superfície

descrita por uma hélice de avião quando este se move em linha reta com velocidade constante. É

uma superfície regrada obtida pela isometria do catenóide, cuja parametrização pode ser dada

segundo Do Carmo (2005) por:

X(u, v) = (senh(u)cos(v), senh(u)sen(v), v)

FIGURA 5 HELICÓIDE EM R3 E SUAS PROJEÇÕES.

i) I forma fundamental:

E = cosh2(u); F = 0; G = cosh2(u)

Iq = (a2 + b2)cosh2(u), a,b Î R.

Comparando os resultados obtidos acima com aqueles obtidos para o catenóide em R3,

percebe-se que EC = EH = cosh2(u), FC = FH = 0 e GC = GH = cosh2(u), caracterizando, então que

as superfícies são localmente isométricas (FIGURA 6).

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FIGURA 6 DEFORMAÇÃO ISOMÉTRICA DO CATENÓIDE EM HELICÓIDE NA

MÉTRICA R3.

ii) II forma fundamental:

e = 0; f = –1; g = 0

IIq = –2ab, a,b Î R.

D) O helicóide de primeiro tipo em L3

Superfície conjugada ao catenóide de primeiro tipo em L3 (FIGURA 7), o helicóide de

primeiro tipo, ou helicóide elítico é uma superfície regrada cuja parametrização pode ser dada,

segundo Van de Woestijne (1990) por:

X(u, v) = (–v, –cosh(u)cos(v), –cosh(u)sen(v))

FIGURA 7 HELICÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM L3 E SUAS PROJEÇÕES.

i) I forma fundamental

E = s=senh2(u); F = 0; G = senh2(u)

Iq = (a2 + b2)senh2(u), a, b Î R.

Comparando os resultados obtidos para o catenóide e helicóide de primeiro tipo em L3,

percebe-se que a isometria entre o catenóide e o helicóide em L3 também acontece (FIGURA 8).

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FIGURA 8 DEFORMAÇÃO ISOMÉTRICA DO CATENÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM

HELICÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM L3

ii) II forma fundamental

e = 0; f = 1; g = 0

IIq = 2ab, a, b Î R.

5 CONCLUSÃO

A mudança na métrica acarreta uma completa modificação na geometria das superfícies.

Pôde-se perceber que o pseudo-produto escalar em L3 resulta nas modificações significativas da

métrica, o que por sua vez resulta nas diferenças observadas na geometria das superfícies em R3 e

L3.

Dentre as diferenças mais significativas, observa-se que o catenóide em R3 não possui

pontos de singularidade, o que não ocorre com a superfície equivalente em L3 conforme se vê nas

figuras 3 e 4.

Quanto ao helicóide, percebe-se que em R3, este é construído regrando-se a a reta paralela

ao plano xy ao longo do eixo Oz, enquanto que em L3, a reta é regrada entre dois cilindros

concêntricos de diâmetros diferentes, determinando um “furo” no centro da superfície, como se

vê nas figuras 5 e 7.

Uma outra conclusão importante é a manutenção da isometria entre o catenóide e o

helicóide no pseudo-espaço L3, representadas nas figuras 6 e 8.

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Com o desenvolvimento da aplicação normal de Gauss, verificou-se que a forma de

calculá-la não difere de R3 para L3, porém, as diferenças nos coeficientes da primeira e segunda

formas fundamentais, conseqüência da alteração na geometria das superfícies, faz com que

apresentem diferentes resultados que vão refletir diretamente em outras de suas propriedades

geométricas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Janeiro: Editora SBM, 2005, 610 p.

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edition. New York (USA): CRC Press, 1999, 1053p.

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dimensional Minkowski Space. Transaction of the American Mathematical Society. 3-July

2006:1-11, 2006.

PICADO, J. Apontamentos de Geometria Diferencial. Apostila. Coimbra(Pt): Departamento

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Unincor, Três Corações (MG).

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Graw-Hill, 1987, 302 p.

TENENBLAT, K. Introdução à Geometria Diferencial. 1ª. reimpressão. Brasília: Editora

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19

WALRAVE, J. Curves and surfaces in Minkowski Space. Thesis (Doctorate). 1995. 112f. K.

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