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Paulus Gerdes (organização e coordenação)

A Numeração em Moçambique

Contribuição para uma reflexão sobre cultura, língua e educação matemática

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ISBN: 978-1-4357-2634-5

Copyright © 2008 by Centro de Pesquisa para Matemática, Cultura e Educação www.lulu.com http://stores.lulu.com/pgerdes

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Paulus Gerdes


Contribuição para uma reflexão sobre cultura, língua e educação matemática

2ª edição 2008

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Ficha técnica Título: A Numeração em Moçambique : Contribuição para uma

reflexão sobre cultura, língua e educação matemática Organização e coordenação: Paulus Gerdes Autores: Paulus Gerdes, Abdulcarimo Ismael, Abílio Mapapá, Daniel

Soares, Evaristo Uaila, Jan Draisma, Marcos Cherinda Revisão linguística do texto em Português: Ana Maria Branquinho Primeira Edição (1993): Projecto de Investigação ‘Etnomatemática’, Universidade Pedagógica Número de registo: 1040/FBM/93, Maputo, Moçambique Edição internacional (2008): Lulu.com, Morrisville, NC 27560, Estados Unidos da América, e Londres, Reino Unido Distribuição: Vide: http://stores.lulu.com/pgerdes ou procure ‘Paulus Gerdes’ na página www.lulu.com Copyright © 2008 Centro de Pesquisa para Matemática, Cultura e Educação C.P. 915, Maputo, Moçambique [email protected]

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Conteúdo página Prefácio 7

1 Enquadramento 9

1.1� Sistemas africanos de numeração [Paulus Gerdes & Marcos Cherinda, 1993]

9

1.2 Sobre a história da numeração falada [Paulus Gerdes, 1980]

32

2 Fontes escritas sobre a numeração e a contagem em Moçambique

39

2.1 Numerais na língua Makonde (1) [M. Viegas Guerreiro, 1963]

39

2.2 A contagem entre os Makonde [M. Viegas Guerreiro, 1966]

42

2.3 Numerais na língua Makonde (2) [E. Mpalume & M. Mandumbwe, 1991]

46

2.4 Numerais na língua Yao [Miguel Viana, 1961]

50

2.5 A contagem entre os Yao [Manuel Amaral, 1990]

53

2.6 Numerais na língua Nyanja [Missionários da Companhia de Jesus, 1964]

58

2.7 Sentido numérico Cheua [A.Rita-Ferreira, 1966]

61

2.8 Numerais na língua Nyungwe [Victor Courtois, 1887]

63

2.9 Numerais em Makhuwa-Lóhmé, Cóti e Árabe

[António Pires Prata, 1960]

68

2.10 Numerais na língua Sena [J. Torrend, 1900]

79

2.11 Numerais na língua Shona (Ndau) [D. Dale, 1968]

82

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6

página�

2.12 Numerais na língua Tshwa [J.A.Persson, 1932]

85

2.13 Numerais na língua Chope [Luís Feliciano dos Santos, 1941]

90

2.14 Numerais na língua Tonga e o ‘sentido matemático’

[Henrique Junod, 1934]

97

2.15 Numerais na língua Changana [Armando Ribeiro, 1965]

101

2.16 Numerais em Tsonga (Changana) [Bento Sitoe, 1985]

104

2.17 Numerais na língua Ronga [José Quintão, 1951]

109

2.18 Numerais na língua Swazi [D. Ziervogel, 1952]

113

2.19 Numerais na língua Zulu [Clement Doke, 1927]

116

3� Fontes orais sobre a numeração e a contagem em Moçambique

119

3.1� Quadros da numeração falada nas línguas bantu de Moçambique�

119�

3.2� Métodos populares de contagem em Moçambique

[Abdulcarimo Ismael & Daniel Soares, 1993]�

134�

4 Tabelas e mapas comparativos relativos à numeração falada em Moçambique

[Abílio Mapapá & Evaristo Uaila, 1993]�

141

5 Numeração e educação 155

5.1� Numeração falada como recurso na aprendizagem da Aritmética

[Jan Draisma, 1993] �

155�

5.2� Algumas reflexões para estimular o debate e a investigação�

176�

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Prefácio

Como se conta nas diversas línguas faladas em Moçambique? Como se desenvolveram os sistemas de numeração? Quais são os principais sistemas de numeração em África? Como fazem os falantes das diversas línguas os seus cálculos mentais? Como se pode melhorar o processo de ensino-aprendizagem da Aritmética nas escolas moçambicanas?

Estas perguntas constituem algumas das questões colocadas no

livro A Numeração em Moçambique. Com este livro pretende-se contribuir para uma reflexão sobre cultura, língua e educação matemática básica.

No primeiro capítulo apresenta-se um enquadramento global,

com informações gerais sobre sistemas africanos de numeração e sobre a história da numeração falada. No segundo capítulo reproduzem-se fontes escritas sobre a numeração e a contagem referentes a diversas línguas faladas em Moçambique, terminando cada secção com algumas perguntas para estimular a reflexão. No terceiro capítulo apresentam-se algumas fontes orais referentes à numeração e à contagem em Moçambique; divulgam-se resultados de inquéritos realizados no contexto do Projecto de Investigação Etnomatemática, dizendo respeito à numeração falada e a outros métodos populares de contagem. O quarto capítulo apresenta uma análise comparativa da estrutura dos sistemas de numeração falada em Moçambique. No último capítulo reflecte-se sobre numeração e educação; apresenta-se uma análise da numeração falada como recurso na aprendizagem da aritmética e algumas reflexões para estimular o debate e a investigação.

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O livro resulta de pesquisas e debates realizados no contexto do

Projecto de Investigação 'Etnomatemática' e do Projecto 'Licenciatura em Educação Matemática para o Ensino Primário' (LEMEP). Os nossos resultados são provisórios. Esperamos poder enriquecer a análise e a reflexão com contribuições dos leitores.

Convidam-se os leitores a fornecerem novos dados relativos à

numeração falada, ao cálculo mental nas línguas bantu e aos métodos populares de contagem, e a apresentarem reflexões e sugestões para aprofundar o debate. Assim os leitores poderão contribuir para a realização dum dos objectivos principais da investigação etnomatemática: melhorar a qualidade da educação matemática, incorporando-a melhor no contexto cultural. Por outras palavras, pretende-se garantir que a educação matemática em Moçambique se sintonize com as tradições africanas e com o meio ambiente sócio-cultural.

Queira enviar as suas informações e reflexões para um dos

departamentos de Matemática da Universidade Pedagógica: Departamento de Matemática, UP, C.P.2923, Maputo; Departamento de Matemática, UP, C.P.2025, Beira.

15 de Agosto de 1993

Cap. 1: Enquadramento

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Capítulo 1 Enquadramento

1.1 Sistemas africanos de numeração 1

Tal como os povos noutras regiões do Mundo, os povos de África

aprenderam durante a sua história que contar e calcular se tornam muito difíceis, quando se utiliza, para cada quantidade, quer dizer para cada número, uma palavra ou um símbolo completamente novo e diferente. Se somente para os números de 1 a 100 se utilizassem palavras completamente diferentes e não relacionadas, imagine quão difícil seria memorizá-las na ordem correcta. Para além disto, seria quase impossível executar cálculos com elas. Por isso tornou-se necessário evitar, na indicação de números, demasiados símbolos ou palavras não relacionadas. A fim de ter modos práticos e úteis de contagem e para exprimir quantidades, e a fim de poder fazer os cálculos eficazmente, tornou-se necessário inventar sistemas de numeração bem estruturados.

Neste artigo dão-se apenas alguns exemplos das muitas centenas de sistemas de numeração inventados na África ao Sul do Sahara. Serão apresentados sistemas de numeração falados, e sistemas simbólicos que utilizam partes do corpo ou objectos para contar ou indicar números. 1.1.1 Numeração verbal

A maneira mais vulgar para evitar a invenção de palavras

1 Texto: Paulus Gerdes; Desenhos: Marcos Cherinda. Cf. Gerdes, P.

& Cherinda, M.: Contar en Africa, El Correo de la UNESCO, Paris, Nov. 1993, 37-39.


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completamente novas para indicar números quando se avança com a contagem de quantidades maiores, foi a de compor numerais novos a partir de numerais verbais existentes, apoiando-se nas relações aritméticas entre os números envolvidos.

A formação de novos numerais verbais por adição e multiplicação Na língua Makhuwa falada no Norte de Moçambique diz-se

‘thanu na moza’, isto é ‘cinco mais um’ para exprimir ‘seis’. ‘Sete’ é ‘thanu na pili’, isto é ‘cinco mais dois’. Para exprimir ‘vinte’, diz-se ‘miloko mili’, isto é ‘dezenas duas’ ou ‘10x2’. ‘Trinta’ é ‘miloko miraru’, isto é ‘dezenas três’. Uma vez que ‘thanu’ (5) e ‘nloko’ (10) são dominantes na composição dos numerais verbais na língua Makhuwa, eles são chamados as bases do sistema Makhuwa de numeração. Nos dois primeiros exemplos, um e dois são adicionados a cinco. Nos outros exemplos dez é multiplicado por dois e três, respectivamente.

As bases mais comuns em África são 10, 5 e 20. Algumas línguas como Nyungwe (Moçambique) utilizam apenas a base dez. Outras tais como Balante (Guiné Bissau) usam 5 e 20 como bases. A numeração na língua Bété da Costa do Marfim usa três bases: 5, 10 e 20 [Vide os quadros 1.1 e 1.2]. Por exemplo, 56 exprime-se por ‘golosso-ya-kogbo-gbeplo’, isto é ‘vinte vezes dois mais dez (e) cinco (e) um’ (20x2 + 10 +5 +1). Os Bambara do Mali e da Guiné têm um sistema decimal-vigesimal, isto é, dez e vinte constituem as bases [Vide o quadro 1.3]. A palavra para vinte ‘mugan’ significa ‘uma pessoa’; a palavra para quarenta, ‘debé’ significa ‘esteira’, referindo-se a uma esteira em que homem e mulher dormem juntos e têm quarenta dedos em conjunto.

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Quadro 1.1 Exemplo dum texto elaborado na escrita Bété

(Fonte: Niangoran-Bouah, p. 203)

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Quadro 1.2 Numeração na língua Bété (Costa do Marfim)

(Fonte: Tro, p. 64-65)

numeral estrutura1 blo 2 sô 3 ta 4 mono 5 n’gboua 6 gbeplo 5+17 gbosso 5+28 gbota 5+39 kodablo

10 kogbo 11 kogbo-blo 10+112 kogbo-sô 10+213 kogbo-ta 10+314 kogbo-mono 10+415 kogbo-n’gbouo 10+516 kogbo-gbeplo 10+5+117 kogbo-gbosso 10+5+218 kogbo-gbota 10+5+319 kogbo-kodablo 20 goloblo 20x121 goloblo-ya-blo 20x1 + 122 goloblo-ya-sô 20x1 + 230 goloblo-ya-kogbo 20x1 + 1034 goloblo-ya-kogbo-mono 20x1 + 10 + 440 golosso 20x250 golosso-ya-kogbo 20x2 + 1056 golosso-ya-kogbo-gbeplo 20x2 +10 + 5+160 golota 20x370 golota-ya-kogbo 20x3 + 1080 golomono 20x490 golomono-ya-kogbo 40x4 + 10

100 golo-n’gbouo 20x5

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Quadro 1.3 Numeração na língua Bambara (Guiné, Mali)

(Fonte: Almeida, p. 404)

� numeral estrutura 1 kelén�

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2� fulá, flá �

3� sabá �

4� maani �

5� duru, dulu �

6� woro �

7� wolomilá, wolonglá �

8� seegi �

9 konontó 10 tan 20 mugan, tan-fulá 20, 10x2 30 mugan-ni-tan 20+10 40 debé 50 debé-ni-tan 40+10 80 kemé 90 kemé-ni-tan 80+10

Quadro 1.4 Numerais na língua Bulanda

(Fonte: Schmidl, p. 192)

numeral estrutura 6 gfad 6 7 gfad nign foda 6+1 8 gfad nign sibn 6+2 9 gfad nign habn 6+3

10 gfad nign tasila 6+4 11 gfad nign kif 6+5 12 gfad nign fad 6+6

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Os Bulanda (África ocidental) utilizam seis como base: sete exprime-se por 6+1, oito por 6+2, etc. [Vide o quadro 1.4]. Os Adele (Togo) contam ‘koro’ (6), ‘koroke’ (6+1=7), ‘nye’ (8) e ‘nyeki’ (8+1=9) (Schmidl, p. 192).

No seio dos Huku do Uganda as palavras para 13, 14, 15 podem ser formadas adicionando a doze 1, 2 ou 3. Por exemplo, 13 exprime-se por ‘bakumba igimo’, significando ‘doze mais um’. As alternativas decimais 10+3, 10+4 e 10+5 eram também conhecidas (Schmidl, p. 177, 178).

Uma das vantagens de utilizar um número pequeno – como 5 – como uma das bases dum sistema verbal de numeração, reside no facto de que pode facilitar a execução oral ou mental de cálculos onde a resposta ainda não tinha sido memorizada. Por exemplo, 7+8 seria (5+2) mais (5+3). Como 2+3=5, acha-se a resposta 5+5+5, 10+5, ou 5 multiplicado por 3.

O princípio duplicativo

Um caso particular do uso da adição para compor numerais verbais é a situação em que ambos os números são iguais ou diferem em uma unidade. Por exemplo, entre os Mbai conta-se de 6 para 9 da seguinte maneira: ‘mutu muta’ (3+3), ‘sa do muta’ (4+3), ‘soso’ (4+4), e ‘sa dio mi’ (4+5). No seio dos Sango (Norte do Congo / Zaire), 7 exprime-se por ‘-na na-thatu’ (4+3), 8 como ‘mnana’ (4+4) e 9 como ‘-sano na-na’ (5+4) (Schmidl, p. 191, 172). Uma das razões possíveis para optar pelo princípio duplicativo na composição de numerais entre 6 e 9 é que pode facilitar a execução oral ou mental das operações aritméticas, em particular da duplicação. Por exemplo, para obter o dobro de 7, deve-se adicionar, se a resposta ainda não está memorizada, 4+3 e 4+3. Tendo em conta que 4+3+3 = 10, a resposta fica 10+4. Aqui seria necessário sublinhar que existiam na África ao Sul do Sahara fortes tradições de cálculo mental [Vide os quadros 1.5 e 1.6], e que multiplicação oral e mental frequentemente se baseavam (e ainda às vezes se baseiam) em duplicação repetida [Vide o quadro 1.7].


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Quadro 1.5

Thomas Fuller, escravo africano e prodígio em cálculo (Fonte: Fauvel & Gerdes)

Quantos segundos há num ano e meio? Quantos segundos viveu uma pessoa com setenta anos, dezassete dias e doze horas de idade? Suponha que um agricultor tem seis porcas e cada uma tem seis porcas no primeiro ano e todos os anos aumentam na mesma proporção, quantas terá o agricultor ao fim de oito anos? O leitor será capaz de determinar mentalmente as respostas e estas questões? Sem papel e caneta? Sem usar um calculador electrónico? Thomas Fuller (1710-1790) foi um africano deportado como escravo para a América em 1724. Com setenta e tal anos ele ainda era capaz de resolver estes e outros problemas mentalmente. Por exemplo, ele sabia multiplicar mentalmente dois números de nove algorismos, tais como

235643784 x 658251873. Aprendeu a fazer cálculos mentais em criança, em África. Thomas Fuller cresceu e foi educado dentro de uma forte tradição de cálculo mental.

Quadro 1.6 Multiplicação por duplicação repetida

A duplicação é uma estratégia muita utilizada em África para fazer a multiplicação mental ou oralmente. Um exemplo ilustra o método.

6 x 13 = ? Duas vezes treze é igual a vinte e seis. Quatro vezes treze é duas vezes vinte e seis, isto é, cinquenta e dois. Por isso, seis vezes treze é vinte e seis mais cinquenta e dois, isto é setenta e oito: 6 x 13 = 78.

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Quadro 1.7 A aprendizagem do processo de contar no seio de crianças

Chaga (Tanzania) (Fonte: Raum, 1967, p.397, 268-269)

No seio dos Chaga pede-se às vezes às crianças pequenas para contarem dez objectos colocados atrás das costas. Até nove objectos devem responder de cada vez: ‘Este não é’; mas para o décimo devem responder: ‘Este é’. Um rapaz aprende a contar com os companheiros de brincadeira mais velhos. Obrigam-no a dizer os numerais e a deitar uma estaca no chão para cada número. Para complicar as coisas, podem dizer-lhe para deitar no chão para cada número, a quantidade correspondente de estacas. Quando comete um erro, perguntam-lhe: ‘Queres ser comido por um leão?’ ou dizem-lhe: ‘Desonraste-nos a todos!’

Os Chaga conhecem também um jogo chamado tarumbeta. Há quatro participantes e cada um traz uma taça com feijões. Quarenta e cinco feijões são colocados em nove filas, formando um triângulo. A fila da base tem nove feijões e cada fila subsequente tem um feijão menos que a anterior. Um rapaz é escolhido para ser o ‘chefe’, isto é,


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árbitro. Senta-se ao lado do topo do triângulo. O lugar do concorrente é na base, virado de costas para os feijões. Os outros dois rapazes estão sentados nos outros lados do triângulo e removem os feijões um por um, limpando fila por fila indo da base para o topo. Após retirar cada feijão, perguntam ao concorrente quantos feijões já foram removidos. Em concordância com as regras do jogo, o concorrente é proibido de responder quando se remove o primeiro feijão de uma fila. Quando é permitido responder, no entanto, deve incluir no cálculo o passo omitido. A criança não deve apenas visualizar o processo de remoção que decorre atrás das suas costas, mas também recordar em que altura não deve responder. O rapaz que não comete nenhum erro ganha todos os feijões colocados no triângulo.

Quadro 1.8

Exemplos dos princípios subtractivo e aditivo na numeração Yoruba (Fonte: Tro, p.182-184)

Numeral estrutura

16 eerin din logun 4 até 20 17 eeta din logun 3 até 20 18 eegi din logun 2 até 20 19 ookan din logun 1 até 20 20 ogun 21 ookan le logun 1+20 34 eerin le logban 4+30 35 aarun din logoji 5 até 20x2

O chamado princípio subtractivo

Em várias línguas africanas utiliza-se também, além dos

princípios aditivo e multiplicativo, a subtracção na formação de numerais verbais. Por exemplo, na língua Yoruba da Nigéria, 16 exprime-se por ‘eerin din logun’ significando ‘quatro até se chega a vinte’ [Vide o quadro 1.8]. Um outro exemplo do uso do princípio subtractivo pode ser encontrado entre os Luba-Hemba (Congo / Zaire).

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Sete exprime-se por ‘habulwa mwanda’, isto é ‘faltando um até oito’, e nove é ‘habulwa likumi’, isto é ‘faltando um até dez’ (Schmidl, p.169).

Variações

O exemplo da Guiné Bissau mostra que sistemas de numeração

falados podem variar muito em regiões geográficas relativamente pequenas [Vide o quadro 1.9].

Quadro 1.9 Numeração em línguas da Guiné Bissau (Fontes: Almeida, 389-440; Béart, p.736)

Felup

Manjaco Balante Bijagó

1 anor, ainka

ulólé, pelólé

oda, hoda quilim

2 sigabá quetâbe sime fulá 3 sieidji cuante caâme sabá 4 sibácri quebacre tàilà nane 5 utóc canhan tchifo lulo 6 utóc-

ianor sieidji-sieidji

5+1

3+3

pádge tchifo com oda

5+1 horo

7 sibácri-sieidji

4+3 pádge napelon

6+1

tchifo com sime

5+2 horoguba

8 sibácri-sibácri

4+4 cuásse tchifo com caâme

5+3 sai

9 utóc-sibácri

sibácri-utóc

4+5 5+4

cuásse napelon

8+1

tchifo com tàilà

5+4 conontò

10 cum-ene inhanabute tchifo mine 5x2 tam 20 ana bau inhanabute

quetâbe 10x2

sàuál oda 20x1

muan

30 tâ sabá 10x3 80 samenhane

tàilà 20x

4 tã sai 10x8


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Os Bijagó têm um sistema decimal puro; os Balante usam um sistema quinário-vigesimal (5-20); os Manjaco têm um sistema decimal, com excepção de numerais compostos como 6+1 para 7 e 8+1 para 9; e os Felup empregam um sistema decimal-vigesimal em que o princípio duplicativo é usado em formas tais como 4+3 para 7 e 4+4 para 8.

Às vezes alguns numerais verbais são adjectivos, enquanto outros são substantivos. Caso isto aconteça, podem aparecer estruturas para os numerais verbais que não correspondem directamente a uma adição, multiplicação ou subtracção. Por exemplo, na língua Tshwa (Moçambique central) sessenta exprime-se por ‘thlanu wa makumi ni ginwe’, isto é ‘cinco dezenas mais uma (dezena)’.

Expressões para números grandes

Nos contextos em que foi necessário ter palavras para números relativamente grandes, aparecem frequentemente numerais verbais completamente novos ou alguns que exprimem uma relação com a base do sistema de numeração. Por exemplo, entre os Bangongo (Congo / Zaire) diz-se ‘kama’ (100), ‘lobombo’ (1000), ‘njuku’ (10,000), ‘lukuli’ (100,000) e ‘losenene’ (1,000,000) (Torday & Joice, p. 229). No seio dos Ziba (Tanzania) diz-se ‘tsikumi’ para 100, ‘lukumi’ para 1000, e ‘kukumi’ para dez mil. Os três termos relacionam-se claramente com ‘kumi’ (10). Apenas os prefixos mudam (Schmidl, p.182). 1.1.2 Numeração por gestos

Contagem por gestos é comum no seio de muitos povos africanos. Os Yao (Malawi, Moçambique) representam 1, 2, 3 e 4 apontando com o polegar da mão direita 1, 2, 3 ou 4 dedos estendidos da mão esquerda [Vide o quadro 1.10]. “Cinco” é indicado fazendo um punho da mão esquerda. “Seis”, “sete”, “oito” e “nove” são indicados juntando um, dois, três ou quatro dedos estendidos da mão direita ao punho esquerdo. Para representar dez abrem-se ambas as mãos, batendo uma na outra.


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Quadro 1.10 A contagem por gestos no seio dos Yao

(Fonte: Amaral, p. 437).

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Os Makonde do Norte de Moçambique, no entanto, começam a contagem pela mão direita com apoio do indicador da mão esquerda [Vide o quadro 1.11]. Para representar “cinco” faz-se um punho com a mão direita. De seis até nove, a representação é simétrica relativa a de “um” até “quatro”, isto é, inverte-se o papel das mãos. Agora o indicador da mão direita aponta os dedos da outra mão. Juntando dois punhos representa-se dez.

O método de contagem por gestos adoptado pelos Shambaa (Tanzania, Quénia) utiliza o princípio duplicativo [Vide o quadro 1.12]. Indicam “seis” estendendo os três dedos externos de cada mão; “sete” ao mostrar quatro dedos na mão direita e três na mão esquerda, e “oito” mostrando quatro em cada mão.

Para exprimir números maiores que dez, os Sotho (Lesotho) empregam homens diferentes para indicar as centenas, dezenas e unidades. Por exemplo, para representar 368, a primeira pessoa levanta três dedos da mão esquerda representando três centenas, a segunda levanta o polegar da mão direita para representar seis dezenas, e a terceira levanta três dedos da mão direita para indicar oito unidades [Vide o quadro 1.13]. De facto, aqui trata-se de um sistema posicional porque depende da posição de cada pessoa, conforme indica unidades, dezenas, centenas, milhares, etc.

Quadro 1.13 A representação de 368 na contagem por gestos dos Sotho

(Fonte: Raum, 1938, p. 20)


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Quadro 1.11

A contagem por gestos no seio dos Makonde (Fonte: Guerreiro, p. 14-15)

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Quadro 1.12

A contagem por gestos no seio dos Shambaa (Fonte: Schmidl, p. 173)

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A utilização de dedos e mãos para contar pode constituir uma explicação possível para a escolha de cinco e dez para base de sistemas de numeração verbal. O uso de bases pode ter sido estimulado também por práticas de contagem acelerada. Por exemplo, cesteiros Makonde contam a quantidade de tiras de planta no fundo dos cestos ‘likalala’ quatro por quatro, em vez de uma por uma [Vide o quadro 1.14].

Quadro 1.14 A contagem quatro por quatro na cestaria Makonde

4 4444

1.1.3 Instrumentos auxiliares da contagem

Diversos instrumentos auxiliares da contagem eram usados na África ao Sul do Sahara. Apresentamos alguns exemplos de Moçambique.

Rapazes da população Chuabo utilizam a seguinte técnica de contagem quando jogam futebol: as duas metades duma folha de coqueiro, obtidas depois de lhe ter sido retirada a nervura central, servem de instrumento de contagem para cada equipa; as metades chamam-se ‘mulobuó’. Quando uma equipa marca um golo, faz-se uma dobra no seu ‘mulobuó’ [Vide o quadro 1.15]. No fim do jogo comparam-se os comprimentos dos dois ‘milobuó’, ou contam-se as dobras para ver quem ganhou.


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Quadro 1.15

Mulobuó com dobras

No seio dos Tswa utilizam-se árvores no registo das idades das crianças. Depois do nascimento de uma criança faz-se um corte no tronco de uma árvore. Em cada ano que passa, junta-se mais um corte até a pessoa ter idade suficiente para contar por si próprio. Estacas com cortes são usadas para controlar o número de animais dum rebanho. Cada corte corresponde a um animal (Soares, p. 71-79).

Quadro 1.16 Fio com nós

No seio dos Makonde utilizavam-se fios com nós [Vide o quadro 1.16]. Suponha que um homem parte para uma viagem de onze dias. Ele fazia onze nós num fio e dizia à sua esposa: “Este nó” (tocando o primeiro) “é hoje, quando estou a partir; amanhã” (tocando o segundo nó) “estarei a caminhar, e continuarei a caminhar no segundo e terceiro dia, mas aqui” (pegando no quinto nó) “chegarei ao destino da viagem. Lá ficarei durante o sexto dia, e no sétimo dia iniciarei o regresso. Não esqueça, mulher, de desfazer cada dia um nó, e no décimo dia deve cozinhar para mim, porque no décimo primeiro dia voltarei” (Weule, p. 329). Mulheres grávidas costumavam fazer um nó num fio cada lua cheia que passava, para saber a data aproximada em que iam dar à luz (Dias & Dias, p. 133). Para registar a idade duma pessoa,


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utilizam-se dois fios; faz-se um nó no primeiro fio a cada lua cheia que passa; uma vez feitos doze nós, faz-se um nó num segundo fio para marcar o primeiro ano, etc. (Soares, p. 4). 1.1.4 Outros sistemas de numeração visual

Existe uma variedade de sistemas de numeração em África que, duma maneira ou outra, são ‘escritos’.

Os Bushongo orientais (Congo / Zaire) contam simultaneamente três por três e dez por dez. Para cada grupo de três objectos marcam na areia três traços curtos e paralelos, com três dedos duma mão:

Depois de ter completado de cada vez três grupos de três traços, marca-se um traço maior para o objecto seguinte, indicando, deste modo, que foram contados mais dez objectos (Torday, p. 229). Por exemplo, o agrupamento seguinte representa 36 objectos:

O jogo ‘koti zigi’ é praticado pelos Gbundi e Mende na Libéria e no oeste da Costa do Marfim. Os jogadores formam padrões estandardizados de pedras no solo para representar números [Vide o quadro 1.17]. Observa-se que 6 exprime-se por 3+3, 7 por 3+1+3, 8 por 4+4, 9 por 4+1+4, e 10 por 5+5 ou 4+2+4.

Os Fulani ou Fulbe, um povo semi-nómada do Niger e do Norte da Nigéria, colocam estacas em frente das suas casas para indicar o número de vacas ou cabritos que possuem. Uma centena de animais é representada por duas estacas curtas colocadas no chão formando um V. Duas estacas que se cruzam, X, simbolizam cinquenta animais. Quatro estacas numa posição ‘vertical’, | | | |, representam quatro; duas estacas numa posição ‘horizontal’ e três numa ‘vertical’, — — | | |, indicam vinte e três animais [Vide o quadro 1.18].


27

Quadro 1.17 A representação de números no jogo “koti zigi”

(Fonte: Béart, p. 714)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Quadro 1.18

A representação de números no seio dos Fulbe (Fonte: Ale)

1

10

50

100


28

Por exemplo, a configuração seguinte foi encontrada em frente da casa dum proprietário

VVVVVVXII, mostrando que possuía 652 vacas (Ale, p. 35-38).

Os povos Akan (Costa de Marfim, Ghana, Togo) usavam pesos monetários, isto é, usavam estatuetas de pedra ou de metal, ou simplesmente sementes vegetais como moedas. Estava combinado que o peso de uma estatueta representava o valor monetário correspondente a uma certa quantia de ouro em pó do mesmo peso. As estatuetas representam animais, nós, cadeiras, sandálias, tambores, etc. As estatuetas podem também ter diversas formas geométricas tais como pirâmides, estrelas ou cubos. Em muitos pesos monetários apresentam-se sinais gráficos que representam números [Vide quadro 1.19]. Embora se utilize apenas a base “dez” nas línguas faladas pelos povos Akan, tais como Anyi, Baoulé, Aboure, Attie e Ebrie, a base “cinco” encontra-se igualmente nos pesos monetários:

5 = 6 = 5 + 1 = 7 = 5 + 2 =

8 = 5 + 3 = 9 = 5 + 4 = e

9 = 5 + 4 = A estrutura simétrica de um dos símbolos para 11 e de um para 13 pode ser observada:

11 = 3 + 5 + 3 = e 13 = 4 + 5 + 4 = Duplicação pode ser observada na transição de

6 = para

12 = 6 + 6 =


29

Quadro 1.19

Exemplos de numerais em pesos monetários dos povos Akan (Fontes: Niangoran-Bouah, p.253; Mveng, p. 33)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

20


30

É interessante notar que os Agni, um dos grupos populacionais

Akan, usaram uma série de unidades de pesos monetários com uma estrutura binária: cada unidade nova é o dobro da unidade anterior [Vide o quadro 1.20].

Quadro 1.20

Unidades dos pesos monetários dos Agni (Fonte: Niangoran-Bouah, p. 267)

1 bazien = 2 banzan

1 mêtêba = 2 bazien = 4 banzan 1 adjarikwa = 2 mêtêba = 8 banzan

1 smalé = 2 adjarikwa = 16 banzan 1 balé = 2 smalé = 32 banzan

1 araen = 2 balé = 64 banzan 1 bêna = 2 araen = 128 banzan

Referências Ale, Sam (1989), Mathematics in rural societies, in: K. Keitel, A.

Bishop, P. Damerow & P. Gerdes (org.), Mathematics, Education, Society, UNESCO, Paris, 35-38.

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Amaral, Manuel Gama (1990), O povo Yao, subsídios para o estudo de um povo do noroeste de Moçambique, Instituto de Investigação Científica e Tropical, Lisboa.

Béart, Charles (1955), Jeux et jouets de l’ouest africain, IFAN, Dakar. Dias, Jorge & Dias, Margot (1964), Os Macondes de Moçambique:

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Fauvel, John & Gerdes, Paulus (1990), African slave and calculating prodigy: Bicentenary of the Death of Thomas Fuller, Historia Mathematica, New York, 17, 141-151.

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Mveng, R. (1980), L’art et l’artisanat africains, Editions Clé, Yaoundé.

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der Anthropologischen Gesellschaft, Viena, 35(3), 165-209. Soares, Daniel (1992), Sobre métodos populares de contagem em

Moçambique, Relatório LEMEP, Universidade Pedagógica, Beira. Torday, Emil & T. Joyce, T. (1911), Notes ethnographiques sur les

peuples communément appelés Bakuba, ainsi que les peuplades apparentées - Les Bushongo, Annales du Musée du Congo Belge, Ethnographie, Série III, Tome II, Fasc.I, Bruxelas.

Tro, Gueyes (1980), Étude de quelques systèmes de numération en Côte d’Ivoire, (publicação do autor), Abidjan.

Weule, Karl (1970), Native life in East Africa (1909), Negro Universities Press, Westport.


32

1.2 Sobre a história da numeração falada 2 O Homem soube sempre contar?

Pode-se pensar em ‘um’, ‘dois’, ‘três’...isto é tão fácil, o Homem soube sempre contar! Mas no fim do século passado descobriu-se – a que é que se chama ‘descobrir’? – no deserto de Kalahari uma etnia que, na sua língua falada, apenas podia exprimir ‘um’, ‘dois’ e ‘vários’. Faltavam-lhe palavras para ‘quatro’, ‘cinco’, etc... Como é possível? Uma explicação tribalista podia ser: “esta tribo é tão estúpida mas...”. Porém, uma tal explicação não tem consistência, uma vez confrontada com as línguas Bantu. Em muitas línguas Bantu, os três primeiros numerais 3 são adjectivos, conjugados conforme a classe do substantivo correspondente, enquanto que os numerais seguintes são substantivos. Por exemplo, temos na língua Changana: munhu munwe ‘pessoa uma’,

uma pessoa sinha hunwe ‘árvore uma’,

uma árvore vanhu vambiri ‘pessoas duas’,

duas pessoas misinha mimbiri ‘árvores duas’,

duas árvores vanhu vanharh

‘pessoas três’, três pessoas

misinha minharh

‘árvores três’, três árvores

mas:

mune wa vanhu

‘um quarteto de pessoas’, quatro pessoas

mune wa misinha

‘um quarteto de árvores’, quatro árvores

2 Primeira parte do artigo Sobre a origem histórica do conceito de

número, da autoria de Paulus Gerdes, publicado em Ciência e Tecnologia (Maputo, Vol.1, 1980, 53-57), reeditado como TLANU mini-brochura nº 5 (Maputo, 1986) e reproduzido em BOLEMA (Rio Claro, Brasil, Especial Nº 1, 1989, 35-50).

3 Um numeral (cardinal) falado é uma palavra para indicar um número, ou seja, para indicar uma determinada quantidade.


��33

Esta diferença linguística sugere uma origem diferente. Por outras palavras, num passado remoto os antepassados dos actuais povos Bantu só tinham igualmente numerais para ‘um’, ‘dois’, e ‘três’. Ainda se pode tentar refugiar numa explicação racista, suspirando: “...mas o Homem civilizado sempre soube contar”. Que orgulho tinha o colonizador da sua pretendida civilização! No entanto, também esta explicação se evapora como água perante o Sol da linguística. No português, as palavras ‘um’ e ‘dois’ conhecem também uma forma feminina, a saber ‘uma’ e ‘duas’, enquanto que os outros numerais não a conhecem, e, ainda por cima, a palavra ‘três’ está relacionada com a palavra francesa ‘très’, que significa ‘muito’ e com a palavra latina ‘trans’, que significa ‘para além’; quer isto dizer, que, de igual modo, os antepassados dos povos europeus somente sabiam contar um pouco: ‘um’, ‘dois’, ‘muito’. Primeiras fases nas sociedades de caçadores e recolectores

Vejamos agora como se foi desenvolvendo a noção de número. Neste artigo limitamo-nos às primeiras fases do desenvolvimento do conceito de número natural (1,2,3,4,...).

Para poder responder à nossa pergunta “como?”, apoiar-nos-emos em resultados da Arqueologia, Linguística e Etnografia, ciências estas que ainda são relativamente muito jovens. Por exemplo, em África, ao sul do Sahara, tiveram lugar muito poucas investigações arqueológicas. Por isso apenas podemos indicar algumas linhas gerais de desenvolvimento do conceito de número.

As primeiras sociedades humanas foram as de caçadores e recolectores, e abrangem um período de 500.000 a um milhão de anos. Inicialmente os homens ainda não dispunham duma noção explícita de número mas já aprendiam a tirar determinadas conclusões importantes para a reprodução da sua vida, conclusões às quais, actualmente, se chamam quantitativas.

Assim, por exemplo, foram aprendendo a estimar quantidades de comida: para hoje já capturámos bastantes animais ou não; para hoje já colhemos frutos suficientes ou não. Este processo de aprender a estimar foi possível na base, por um lado, da constituição biológica do Homem, e, por outro, da experiência acumulada ao comparar os resultados do trabalho dum dia com os dos dias anteriores.


34

Exemplo hipotético

Dois grupos de caçadores vão em direcções diferentes, à descoberta. Ambos encontram, por exemplo, algumas gazelas, e voltam à tribo para buscar os outros. Mas como decidir em que direcção é que se deve ir à caça? Comparando, um caçador exprime: “Vi tantas gazelas como um pássaro tem asas”, enquanto que um outro diz: “Vi tantas gazelas como a minha mão ‘conta’ dedos”. Comparações

Este exemplo hipotético ilustra o seguinte: em resposta a determinadas necessidades surgidas – tais como comunicar e tomar decisões, em particular, no que se refere à reprodução da vida – começou-se a comparar colecções de objectos, de tal modo que a quantidade de uma colecção se tornava clara através da comparação com a quantidade de uma outra colecção: “tantas gazelas como uma ave tem asas”, “tantos cabritos como uma mão tem dedos”...4

Desta fase de desenvolvimento encontramos ainda vestígios em muitas línguas actuais. Assim, os numerais correspondentes a ‘cinco’ em Zulu, Changana e Swahili, ‘hlanu’, ‘nthlanu’ e ‘tano’ respectivamente (duma origem comum), significavam, segundo alguns autores 5, originalmente ‘mão’ ou ‘punho’, como também acontece, por exemplo, no grego ou no russo. Na língua Banda da África central, o numeral correspondente a ‘vinte’ significa, à letra, ‘homem completo’, referindo-se ao total de vinte dedos de um homem. Um exemplo interessante encontra-se na língua Mandingo falada no Mali. A palavra para ‘nove’, a saber ‘kononto’, significa ‘aquele lá na

4 Ao comparar, deste modo, duas quantidades chama-se, na

matemática actual, pôr numa correspondência biunívoca os dois conjuntos: a cada elemento do primeiro conjunto faz-se corresponder, duma maneira biunívoca, um elemento do outro (por exemplo, a cada asa corresponde uma gazela).

5 Vide Schmidl, M., Zahl und Zählen in Afrika, Mitteilungen der anthropo-logischen Gesellschaft in Wien, Viena, 1915, Vol.45, p.168

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��35

barriga’, dizendo respeito aos nove meses da duração duma gravidez.6 Adjectivos

Estes vestígios nas línguas actuais já indicam a transição de comparações individualmente inventadas, e que possivelmente não são imediatamente compreendidas por toda a gente, para comparações mais correntes, geralmente aceites dentro de uma determinada cultura. Foram desenvolvendo numerais como abreviatura de comparações que eram claras para cada um. Estes primeiros numerais reflectem uma propriedade dum conjunto de objectos e são, por isso, adjectivos, que podem ser conjugados, como nos mostram os seguintes exemplos: em português ‘dois carros’ mas ‘duas crianças’, conforme o género do substantivo envolvido. Na língua Changana ‘sinha hunwe’ (uma árvore), xiharhi xinwe’ (um animal), ‘munhu munwe’ (uma pessoa), correspondente à classe do substantivo. Aqui vemos uma raíz comum ‘-nwe’ nos numerais para ‘um’. O aparecimento de uma raíz comum para indicar quantidades iguais de objectos de classes diferentes pode pertencer a uma fase posterior, como a língua dos índios norte-americanos Tsimshia nos mostra provavelmente: ‘t’epqat’, ‘goupal’, ‘gaopskan’, ‘g’alpeeltk’, e ‘gulbel’ são numerais diferentes, todos indicando dois objectos, mas pertencentes a classes diferentes, tais como de objectos achatados, redondos compridos, pessoas, canoas e medidas, respectivamente.7 Substantivação

Pode-se observar um desenvolvimento na direcção duma substantivação crescente dos numerais no sentido de que, cada vez mais, para mais classes de objectos são utilizados os mesmos numerais, como por exemplo, no Português, o numeral ‘três’ pode ser usado para quaisquer objectos e não só para redondos ou achatados. Em muitas sociedades constata-se um outro desenvolvimento paralelo a esta substantivação. É o desenvolvimento para comparar com determinadas colecções padrão, tais como dedos, cortes num pau, nós num fio, pedrinhas (no Latim a palavra para pedrinhas é ‘calculi’, da 6 Vide Zaslavsky, C., Black african traditional mathematics, The

Mathematics Teacher, Reston (EUA), 1970, Nº 4, p.346 7 Vide Conant, L., The number concept, Nova Iorque, 1896, p.87

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36

qual deriva a palavra portuguesa ‘cálculo’), riscos em pedras ou ossos, etc. Perto de Ishango, no actual Zaire, foram encontrados vestígios de tais riscos paralelos feitos entre 9000 e 6500 a.C. 8 Mais recentemente foi encontrado numa cave nos Montes Libombo, na fronteira entre a Suazilândia e a África do Sul, um osso em que foram feitos 29 riscos paralelos e que data de, aproximadamente 35.000 a.C., constituindo “um dos vestígios mais antigos da actividade matemática”. 9

É possível que noutras sociedades estas formas de comparar precedessem e estimulassem essa substantivação dos numerais. Resumo esquemático

Em resumo, podemos constatar que a noção de número (os números naturais mais pequenos) e a possibilidade de falar sobre estas quantidades, ou seja a introdução de numerais falados, foram nascendo num processo de abstracção, cada vez mais, de determinadas propriedades das colecções de objectos que o Homem das sociedades de caçadores e recolectores encontrava, como resposta criadora aos problemas que enfrentava na sua vida diária. A noção de número e a utilização de numerais reflectem a experiência acumulada por ‘inumeráveis’ gerações.

Um processo semelhante de abstracção verifica-se na formação de outros conceitos, por exemplo, na noção de ‘cor’. Em esquema: 10

8 Vide Zaslavsky, C., Africa Counts, Boston, 1973, p.19 9 Vide Bogoshi, J. e outros, The oldest mathematical artefact, The

Mathematical Gazette, Londres, nº 71, 1987, p.294 10 Compare Aleksandrov, A., A general view of mathematics,

Mathematics, its contents, methods and meaning, Nova Iorque, 1969, Vol.1, p.10


37

objecto considerado

como um todo |

Comparar | |

tal como um corvo | |

tantos...como uma ave tem asas

|

adjectivo (propriedade de uma colecção de objectos)

|

pedra negra | | |

duas árvores | | |

substantivo (propriedade

distinguida dos objectos concretos)

negrura | |

dois | |

cor número natural

A propriedade que é comum a todos os conjuntos cujos elementos podem ser postos numa correspondência biunívoca com as asas de um pássaro, é o número indicado pelo numeral falado ‘dois’ ou pelo numeral escrito ‘2’ (dizendo-se, muitas vezes, abreviadamente, o número ‘dois’).

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38

Mapa 1 Distribuição geográfica de algumas línguas e dialectos

Nyanja/

Makonde

Mw

ani

Lohme

Coti

Lolo

ChuwaboSena

CheuaDemaSenga

Shona/ Ndau

Yao

Tso

nga-

Cha

ngan

a

Tsh

wa

Chope

RongaSwazi

Zulu

Shona

Nyu

ngw

e

Nya

nja

Yao

Sw ahili

MakhuwaM

akhuwa

Gito

ng

a

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia

Cap. 2: Fontes escritas

39

Capítulo 2 Fontes escritas sobre a numeração e a contagem em

Moçambique

2.1 Numerais na língua Makonde (1)

Fonte: M. Viegas Guerreiro, Rudimentos da Língua Maconde, Instituto de Investigação Científica de Moçambique, Lourenço Marques, 1963, p. 21-22

CARDINAIS:

um -mo dois� mbili, -vili três natu, -tatu quatro ncheche cinco mwanu seis mwanu na -mo sete mwanu na mbili, -vili oito mwanu na natu, -tatu nove mwanu na ncheche dez kumi onze kumi na -mo doze kumi na mbili, -vili treze kumi na natu, -tatu catorze kumi na ncheche quinze kumi na mwanu dezasseis kumi namwana na -mo, etc. vinte makumi mavili vinte e um makumi mavili na -mo, etc.


40

vinte seis� makumi mavili na mwanu na-mo, etc.�trinta� makumi matatu quarenta� makumi ncheche cinquenta� makumi mwanu sessenta� makumi mwanu na limo setenta� makumi mwanu na mavili oitenta� makumi mwanu na matatu noventa� makumi mwanu na ncheche cem� makumi kumi ou

imia (imo)

Os cardinais -mo, -vili, -tatu tomam, na sua concordância, os prefixos dos substantivos. Atente-se, porém, em que na 1ª e 2ª classes o prefixo de -mo é u- : munu umo, mpini umo.

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Mapa 2 Distribuição geográfica dos falantes da língua

Makonde

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia

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42

2.2 A contagem entre os Makonde

Fonte: M. Viegas Guerreiro, Os Macondes de Moçambique, Lisboa, 1966, Vol. 4, 14-17

1 Quando se pede a um maconde que conte, logo ele utiliza os

dedos das mãos. Com o indicador da mão esquerda e os outros dedos recolhidos, baixa o mínimo da mão direita até à palma da mão e em seguida o anelar, médio, indicador, indo o polegar acomodar-se sob o indicador e ficando o punho fechado. E vai dizendo:

1� imo�

2� mbili 3� nnatu 4� ncheche 5� mwanu

7 É, depois, o indicador da mão direita que faz baixar do mesmo

modo cada um dos dedos da mão esquerda, e, contado o polegar, bate com os punhos um no outro, pronunciando o número 10:

6� mwanu na imo 7� mwanu na mbili 8� mwanu na nnatu 9� mwanu na ncheche

10� kumi

10 Se quer prosseguir, torna a contar o mesmo modo até 10, e, ao bater com os punhos um no outro, diz:

20� makumi mavili

12 E assim por diante até 100:

30� makumi matatu 40� makumi ncheche 50� makumi mwanu 60� makumi mwanu na limo

��

��43

70� makumi mwanu na mavili�80� makumi mwanu na matatu 90� makumi mwanu na ncheche

100� makumi kumi

13 Usa-se muito, em vez da expressão makumi kumi, o vocábulo suaíli imia.

15 Note-se que, com seis palavras apenas, se conta até 100. Usa-se um sistema quinário combinado com outro decimal:

mwanu na imo - cinco e um mwanu na mbili - cinco e dois, etc.

19 Kumi (“dez”) tem o plural makumi, e mbili (“dois”), mavili. “Vinte” diz-se makumi mavili (“dois dez”), e “trinta” makumi matatu (“três dez”), sendo matatu o plural de nnatu; e assim por diante.

23 Não se dizem números separados dos nomes dos objectos que se contam. À pergunta de Vapitile vanembo dachi? (“Quantos elefantes passaram?”), respondem com o punho fechado, por exemplo: Vandipita vanembo mwanu (“Passaram cinco elefantes”), e não “Passaram cinco”. Se tiverem de responder “dez”, acompanharão as palavras do batimento de ambos os punhos. E isto tanto de dia como de noite, ainda que os punhos não se vejam. Somam-se aqui dois símbolos do concreto: nomes e dedos.

32 A abstracção máxima de que são capazes, neste domínio, é a que está contida na generalidade do vocábulo vinu (“coisas”):

Vinu dachi? - Quantas coisas? Vinu mwanu - Cinco coisas.

36 Não pude achar qualquer relação de sentido entre os nomes dos números e pessoas ou coisas. Em lugar de mwanu (“cinco”), empregam, às vezes, nkono umo (“uma mão”), mas é, segundo afirmam, expressão recente e usada exclusivamente para copos de cerveja: Ngupimila nkono umo [“Dá-me uma mão” (cinco copos de cerveja)].

42 Não têm numeração escrita. O que fazem é riscos no chão para representar as dezenas; o do número 10 fica mais comprido. O

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processo é principalmente usando na marcação de pontos, nos jogos.

46 Para contar números maiores costumam dar nós num cordel, de dez em dez unidades. É assim que os presos contam os dias de reclusão, afirma-se. Se trazem coisas para troca e as contaram deste modo em casa, vão desatando os nós à medida que as entregam.

51 Também juntam um a um, em grupos de dez, os objectos que querem trocar (batata doce, bananas, papaias, laranjas, peixes). E, se não estes, pedrinhas que os representem.

54 Em outro tempo contavam também pelos dedos dos pés. Acabados os das mãos, descia o indicador da direita ao dedo grande do pé direito e, passando pelos outros e para o outro pé, completavam a segunda dezena fechando o número com as palavras:

20� kumi na ku madodo (dez e os dos pés)

59 Um homem vulgar sabe contar até 100 e muitas mulheres só até 10. Para além deste número hesitam e, sorrindo, com um sacudido encolher do ombro esquerdo exclamam: Hi! Namanya! (“Não sei”).

63 Algumas encontrei, porém, a contar com desembaraço como os homens. Uma mulher de idade levou os números até 100, acrescentando que aprendera isso no tempo em que ia vender borracha aos Brancos.

67 A influência do quissuaíli é hoje, todavia, muito grande, e uma parte dos homens usa-o para contar as centenas e os grandes números.

70 É escusado dizer que foi o comércio com os Brancos e os trabalhos remunerados que, principalmente, puseram os Macondes na necessidade de ampliar a sua aritmética.

Comentários e questões para reflexão 1. Vide linhas 19-20. O leitor concorda com a tradução de

“makumi mavili” por “dois dez”? Ou prefere “dez dois”, “dezenas duas” ou outra?

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2. Na linha 23 o autor fala em “números”, onde devia empregar a expressão “numerais”. Porquê?

3. O leitor concorda ou não com a afirmação “Não tem numeração escrita” (linha 42)?

4. Na linha 46 seria mais vulgar dizer-se “contar quantidades” em vez de “contar números”. Está errado dizer-se “contar números”?

5. A língua Makonde utiliza as bases de “cinco” e “dez”. Compare com o agrupamento de riscos, nós e pedrinhas (linhas 42-53).

6. Conforme as linhas 59-66, os homens sabiam em geral contar mais do que as mulheres. Quais podem ter sido as razões que contribuíram para tal situação?

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46

2.3 Numerais na língua Makonde (2) Fonte: Estêvão Jaime Mpalume & Marcos Agostinho Mandumbwe,

Nashilangola wa shitangodi sha Shimakonde, Guia da língua Makonde, Núcleo da Associação dos Escritores Moçambicanos de Cabo Delgado, 1991, p. 100-101, 103, 106

As palavras que indicam a quantidade determinada das pessoas,

coisas, animais e das acções e estados ou a sua ordem numa série chamam-se numerais.

Numerais cardinais, exprimem o número das coisas, das pessoas e dos animais.

Ex: Vila (0), imo (1), mbili (2), natu (3), nceshe (4), mwanu (5), mwanu na imo (6), mwanu na mbili (7), mwanu na natu (8), mwanu na nceshe (9), kumi (10) etc. Os numerais imo, mbili, natu, nceshe, mwanu, kumi, imiya, élupu a sua enumeração é absoluta, e os restantes resultam da combinação ou adição dos numerais mwanu, kumi, imiya e elupu.

Ex: mwanu na imo (seis), mwanu na mbili (sete), mwanu na natu (oito), mwanu na nceshe (nove), kumi na imo (onze), kumi na mbili (doze), dimiya mbili (duzentos) dimiya natu (trezentos), dyélupu mbili (dois mil), dyélupu natu (três mil), etc.

Todos os numerais concordam com os substantivos, segundo as

classes nominais e prefixo de dependência (genitivizado).

1� imo, umo, shimo, limo �2� mbili, vavili, vivili 3� natu, vatatu, vitatu 4� nceshe 5� mwanu 6� mwanu na imo 7� mwanu na mbili 8� mwanu na natu 9� mwanu na nceshe

10� kumi 11� kumi na imo 12 �kumi na mbili

��

��47

13� kumi na natu �14� kumi na nceshe 15� kumi na mwanu 16� kumi na mwanu na imo 20� makumi mavili 21� makumi mavili na imo 30� makumi matatu 40� makumi nceshe

Sentido de adição, subtracção, multiplicação e divisão Adição

Na língua makonde, a operação que serve para somar, juntar, reunir, aumentar, adicionar, para saber a soma ou total, é kwanjedya. Exemplo: mbili kwanjedya natu, pamo mwanu (dois mais três é igual a cinco). Subtracção

Para tirar, diminuir ou subtrair, para saber o resto ou a diferença, para saber quanto sobra menos ou quanto falta é kupungula. Exemplo: mwanu kupungula natu dijalila mbili (cinco menos três restam dois). Multiplicação A multiplicação indica-nos “vezes mais”. Em Shimákonde “vezes mais” é mwanda (singular) e myanda (plural), ou imindi (singular) e dimindi (plural). Exemplos: * natu kwa mwanda umo, pamo natu (três vezes um é igual a três) * natu kwa myanda mivili, pamo mwanu imo (três vezes dois é

igual a seis) * natu kwa imindi imo, pamo natu (três vezes um é igual a três) * natu kwa dimindi mbili, pamo mwanu na imo (três vezes dois, é

igual a seis).

��

48

Divisão Dividir é repartir, é distribuir. Em Shimákonde, dividir é kujava. Exemplos: * nceshe kujavania kwa mbili ni mbili (quatro a dividir por dois dá

dois) * nceshe kujavania kwa imo ni nceshe (quatro a dividir por um dá

quatro).


49


Yao

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


50

2.4 Numerais na língua Yao Fonte: Miguel J. Viana, Dicionário de Português - Chi-Yao e Chi-Yao

- Português, Memória do Instituto de Investigação Científica de Moçambique, Lourenço Marques, 1961, Vol. 3, 1-172, p. 16-17

A numeração chi-yao compõe-se basicamente de 1, 2, 3, 4, 5, 10

e 100. Os demais números formam-se combinando aqueles entre si. Os números 1, 2 e 3 simples ou compostos, concordam com os

substantivos, conforme a classe a que pertencem, e formam-se, portanto, fazendo-os preceder dos respectivos prefixos especificativos ou relativos. Os números 4 e 5 são invariáveis. Os números 10 e 100 funcionam como substantivos da 5ª classe (likumi/ma, lichila/ma). Numerais cardinais:

1� -mo�

2� -widi, -wili 3� tatu 4� mcheche 5� msano 6� msano na (ou bambu) -mo 7� msano na (ou bambu) -widi, etc. 8� msano na (ou bambu) tatu 9� msano na (ou bambu) mcheche

10� likumi 11� likumi kwisa (ou bambu) -mo 12� likumi kwisa (ou bambu) -widi ,etc. 13� likumi kwisa (ou bambu) tatu 14� likumi kwisa (ou bambu) mcheche 15� likumi kwisa (ou bambu) msano 16� likumi kwisa (ou bambu) msano na -mo 17� likumi kwisa (ou bambu) msano na -widi, etc. 18� likumi kwisa (ou bambu) msano na tatu 19� likumi kwisa (ou bambu) msano na mcheche 20� makumi gawidi 21� makumi gawidi kwisa (ou bambu) -mo 22� makumi gawidi kwisa (ou bambu) -widi, etc.

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��51

23� makumi gawidi kwisa (ou bambu) tatu�

24� makumi gawidi kwisa (ou bambu) mcheche 25� makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano 26� makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na -mo 27� makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na -widi, etc. 28� makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na tatu 29� makumi gawidi kwisa (ou bambu) msano na mcheche 30� makumi gatatu 31� makumi gatatu kwisa gatatu kwisa (ou bambu) -mo 32� makumi gatatu kwisa (ou bambu) -widi, etc. 33� makumi gatatu kwisa (ou bambu) tatu 34� makumi gatatu kwisa (ou bambu) mcheche 35� makumi gatatu kwisa (ou bambu) msano 36� makumi gatatu kwisa ( (ou bambu) msano na -mo 40� makumi mcheche 42� makumi mcheche kwisa (ou bambu) -widi, etc. 46� makumi mcheche kwisa (ou bambu) msano na -mo 47� makumi mcheche kwisa (ou bambu) msano na -widi, etc. 50� makumi msano 60� makumi msano na limo 70� makumi msano na gawidi 73� makumi msano na gawidi kwisa (ou bambu) tatu 78� makumi msano na gawidi kwisa (ou bambu) msano na

tatu 80� makumi msano na gatatu 90� makumi msano na mcheche 99� makumi msano na mcheche kwisa (ou bambu) msano na

mcheche 100� lichila 102� lichila kwisa (ou bambu) -widi, etc. 110� lichila kwisa (ou bambu) likumi 116� lichila kwisa (ou bambu) likumi kwisa (ou bambu)

msano na mo 127� lichila kwisa (ou bambu) makumi gawidi kwisa (ou

bambu) msano na -widi, etc. 199� lichila kwisa (ou bambu) makumi msano na mcheche 200� machila gawidi

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283� machila gawidi kwisa (ou bambu) makumi msano na gatatu kwisa (ou bambu) tatu�

1000� machila likume. 1965� machila likumi kwisa (ou bambu) msano na mcheche

kwisa (ou bambu) makumi msano na limo kwisa (ou bambu) msano.

2000� machila makumi gawidi Exemplos:

litete limo um caniço.�lukosyo lumo um clã.�chipula chimo uma faca.�maganga gatatu três pedras�isopo itatu três anzóis.�kajuni katatu três passarinhos.�ndembo siwidi dois elefantes.�wandu wawidi dois homens.�ipewa iwidi dois chapéus.�musogo makumi usano na gawidi

setenta cães-do-mato�

nyuchi likumi siwidi doze abelhas.�chiswi chimo na imbanga makume gatatu kwisa msano na iwidi

um leopardo e trinta e sete milhafres.�

Comentários e questões para reflexão 1. Concorda ou não com a utilização do termo “número” nas linhas

2 e 3? Porquê?

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2.5 A contagem entre os Yao Fonte: Manuel Gama Amaral, O povo Yao, subsídios para o estudo de

um povo do noroeste de Moçambique, Instituto de Investigação Científica e Tropical, Lisboa, 1990, p.437-439

Na contagem usam os wayao apenas seis vocábulos diferentes: os

números de um a cinco e o número dez. Todos os demais resultam da combinação dos primeiros cinco entre si ou com o número dez.

Contrariamente ao que é habitual a quem costuma contar pelos dedos, que o faz, geralmente, com a mão esquerda aberta e com o indicador da mão direita apontando os dedos a partir do mínimo que é o “um”, até o polegar, que é o “cinco” e voltando ao mínimo como (seis), seguindo até o polegar, que será o “dez”, os wayao fazem a contagem dos primeiros cinco números fechando os dedos da mão esquerda sobre o respectivo polegar.

Com o dedo polegar da mão direita levantam e estendem o dedo mínimo da mão esquerda dizendo “cimo”, um (subentendendo “cala”, dedo); repetem o gesto, em relação ao anelar, médio e indicador, dizendo, respectivamente: “iwili”, “itatu”, “ncece” (subentendendo “iyaka”, dedos). E chegando ao número cinco fecham, de novo, os quatro dedos sobre o polegar, dizendo “nsano”, cinco.

A contagem de cinco a nove é feita da seguinte forma: a mão esquerda mantém-se fechada sobre o polegar enquanto se vão introduzindo os dedos da mão direita, um de cada vez e a partir do mínimo até o indicador, debaixo dos dedos da mão esquerda, fechada, e contando: “nsano nacimo”, seis, para o mínimo; “nsano naiwili”, sete, para o anelar; “nsano naitatu”, oito, para o médio; “nsano nancece”, nove, para o indicador. Contando o nove abrem ambas as mãos e, batendo-as, dizem: “likumi”, dez.

De dez a quinze a contagem é feita de modo idêntico à de cinco a dez, isto é, com a mão esquerda fechada sobre o polegar e sendo a contagem feita com os dedos da mão direita que se vão introduzindo debaixo dos dedos da mão esquerda fechada, pela seguinte forma: introduz-se o mínimo e diz-se “likumi kwisa cimo” onze; para o anelar diz-se “likumi kwisa iwili”, doze; para o médio diz-se “likumi kwisa itatu”, treze. Chegado aqui não se introduz o polegar para contar quinze, mas sim, retira-se a mão direita e, abrindo-a, voltada para


54

cima, faz-se um gesto para a frente, como quem vai depositar alguma coisa e diz-se “likumi kwisa nsano”, quinze.

De quinze a dezanove segue-se o mesmo processo utilizado de dez a catorze. Ao chegar a vinte, com a mão direita aberta, faz-se o gesto de quem se vai apoderar de alguma coisa (neste caso a contagem até quinze) seguindo-se um duplo batimento de mãos e pronunciando “makumi gawili”, vinte. As dezenas seguintes são assinaladas por três, quatro, etc., batimentos de mãos, seguidos da indicação da terceira, quarta, etc., dezenas.

Likumi, dez, parece ter origem nas palavras “ligasa”, mão aberta, e no verbo “kuwika”, juntar.

A seguir relaciono os numerais cardinais, em língua Ciyao, a partir de um até mil:

1�

�

cimo�

2� iwili�3� itatu�

4� ncece�

5� nsano�

6� nsano nacimo�

7� nsano nawili�8� nsano naitatu�

9� nsano nancece�

10� likumi�11� likumi kwisa cimo�

12� likumi kwisa iwili�13� likumi kwisa itatu�

14� likumi kwisa ncece�

15� likumi kwisa nsano�

16� likumi kwisa nsano nacimo�

17� likumi kwisa nsano naiwili�18� likumi kwisa nsano naitatu�

19� likumi kwisa nsano nancece�

20� makumi gawili�21� makumi gawili kwisa cimo�

22� makumi gawili kwisa iwili�23� makumi gawili kwisa itatu�

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��55

24�

�

makumi gawili kwisa ncece�

25� makumi gawili kwisa nsano�

26� makumi gawili kwisa nsano nacimo�

27� makumi gawili kwisa nsano naiwili�28� makumi gawili kwisa nsano naiwili�29� makumi gawili kwisa nsano nancece�

30� makumi gatatu�

31� makumi gatatu kwisa cimo, etc.�40� makumi ncece�

41� makumi ncece kwisa cimo, etc.�50� makumi nsano�

51� makumi nsano kwisa cimo, etc.�60� makumi nsano nalimo�

61� makumi nsano nalimo kwisa cimo, etc.�70� makumi nsano nagawili�71� makumi nsano nagawili kwisa cimo, etc.�80� makumi nsano nagatatu�

81� makumi nsano nagatatu kwisa cimo, etc.�90� makumi nsano nancece�

91� makumi nsano nancece kwisa cimo, etc.�100� licila�

101� licila kwisa cimo, etc.�200� macila gawili�201� macila gawili kwisa cimo, etc.�300� macila gatatu�

301� macila gatatu kwisa cimo, etc.�400� macila ncece�

500� macila nsano�

600� macila nsano kwisa cimo�

700� macila nsano kwisa gawili ou macila nsano nagawili�

800� macila nsano kwisa gatatu ou macila nsano nagatatu�

900� macila nsano nancece�

1000� macila likumi.�

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Comentários e questões para reflexão 1. Observando a tabela de numeração em Yao fornecida pelo autor,

concorda ou não com a afirmação na primeira linha, segundo a qual os Yao usam “apenas seis vocábulos diferentes”?

2. Analisando o texto, indique onde o autor emprega a palavra “número” de forma errada.

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Nyanja

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


58

2.6 Numerais na língua Nyanja

Fonte: Missionários da Companhia de Jesus, Elementos da Gramática Cinyanja, Junta de Investigações do Ultramar, Lisboa, 1964, p. 56-58

Os numerais concordam com as coisas numeradas, como

qualquer adjectivo em número e classe; e por isso apresentamos só o radical precedido de +. Numerais cardinais:

1�

�

+modzi2� +wiri3� +tatu4� +nai5� +sanu6� +sanu ndi + modzi7� +sanu ndi +wiri8� +sanu ndi +tatu9� +sanu ndi +nai

10� khumi11� khumi ndi +modzi12� khumi ndi +wiri16� khumi ndi +sanu ndi +modzi20� makumi awiri21� makumi awiri ndi +modzi60� makumi asanu ndi limodzi61� makumi asanu ndi limodzi ndi

+modzi75� makumi asanu ndi awiri ndi +sanu

100� dzana ou makumi khumi200� madzana awiri ou

makumi khumi kawiri (duas vezes dez dezenas)

1000� cikwi ou madzana khumi (dez centenas)

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Observação:

O cinyanja, muito pobre na numeração, chega só até cinco (+sanu). Daí para diante vai somando; 6 (5+1), +sanu ndi +modzi, até 10 (dez ou dezena), khumi (da 6ª classe); 11 (10+1), khumi ndi + modzi; 16 (10+5+1), khumi ndi +sanu ndi +modzi; 22 (2 dezenas + 2), makumi awiri ndi +wiri; 38 (3 dezenas +5+3), makumi atatu ndi +sanu ndi +tatu; 69 (5 dezenas +1 dezena +5+4), makumi asanu ndi limodzi ndi +sanu ndi +nai, ou makumi asanu ndi limodzi kudza +sanu ndi +nai, ou ainda makumi asanu ndi limodzi, kudza mphambu zisanu ndi zinai (5 dezenas + 1 dezena, vindo 5+4 unidades).

Como se pode verificar, quanto mais cresce o número mais complicada é a contagem. Por isso, a partir de cinco passa-se a contar em inglês ou português.

Os vocábulos kudza (do verbo kudza vir, sobreviver), e mphambu (unidade) são imprescindíveis em frases que originariam confusão. Exemplo: 87 pessoas (5 dezenas + 3 dezenas + 5 unidades + 2 unidades de pessoas) seria: anthu makumi asanu ndi atatu, kudza mphambu zisanu ndi ziwiri, ou anhtu makumi asanu ndi atatu, kudza anthu asanu ndi awiri , e não simplesmente: anthu makumi asanu ndi atatu ndi asanu ndi awiri, porque pela igualdade de características de concordância de anthu (pessoas) e makumi (dezenas) tanto se poderia entender: 5 dezenas + 3 dezenas + 5 dezenas + 2 dezenas de pessoas (=150 pessoas), como 5 dezenas + 3 dezenas de pessoas +5+2 pessoas (=87 pessoas). Comentários e questões para reflexão 1. Comente a afirmação segundo a qual a língua Nyanja é “muito

pobre na numeração” (linha 6). 2. Considere o parágrafo das linhas 15-17. O argumento

apresentado pelos autores é ou não suficiente e relevante para a conclusão a que chegam?


60

Mapa 5 O Distrito de Macanga

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


61

2.7 Sentido numérico Cheua Fonte: A.Rita-Ferreira, Os Cheuas da Macanga, in: Memórias de

Investigação Científica de Moçambique, Lourenço Marques, 1966, Vol. 8, p. 259

1 Os Cheuas manifestam acentuada limitação do sentido matemático

e geométrico, limitação que se não deve atribuir a defeito intelectual mas unicamente à carência de incentivos. À medida que, sob o impulso da civilização, vão desenvolvendo as suas necessidades económicas, desenvolvem também a arte de contar. Sintomática desta evolução é a adopção do sistema decenal oriundo de Tete e, mais modernamente, dos numerais portugueses.

8 O jogo das pedras conhecido por tsolo demonstra que o sentido numérico não é tão deficiente como parece. Podem contar-se sete numerais:

1� -modzi 2 -wiri 3 -tatu 4 -nai 5 -sanu

10 -khumi 100� -dzana.�

11 O sistema é pois quinário. Qualquer outro número deve ser feito

com combinações destas sete palavras. Por exemplo, para designar 8 dir-se-á sanu ndi tatu, para designar-se 21 dir-se-á makumi awiri ndi modzi. Esta crescente complicação da frase à medida que aumenta a quantidade, levou, como dissemos, à adopção dos numerais portugueses e ingleses.

17 Na contagem de dinheiro usam os Cheuas da Macanga as expressões: kobiri (corrupção de cobre), para designar a moeda de $50, e drama, para indicar a moeda de 5$00. A importância de 2$50 será referida por kobiri asanu, e a de 50$00 por drama khumi. Os trabalhadores migratórios regressados dos territórios estrangeiros vizinhos introduziram o hábito de designar o dinheiro segundo termos britânicos, dado que entre o nosso sistema e o

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esterlino existia certa correlação. Assim, a moeda de $50 passou a ser conhecida por peny, a de 1$00 por two pence, a de 2$50 por six pence, a de 5$00 por shirini (corrupção de “shilling”), e, enfim, a nota de 100$00 por bondo (corrupção de “pound”). Hoje mesmo, apesar dos esforços das autoridades, esta terminologia continua em voga, provocando compreensíveis confusões derivadas da desvalorização da libra.

Comentários e questões para reflexão 1. Concorda ou não com a afirmação sobre a “acentuada limitação

do sentido matemático” e a explicação da mesma dada pelo autor (linhas 1-7)?

2. Considera ou não contar uma arte (linha 5)? Porquê? 3. Segundo o Dicionário da Língua Portuguesa (Porto Editora, 6ª

edição), ‘decenal’ significa “que dura dez anos; que se realiza de dez em dez anos”. Acha o termo o mais adequado para ser utilizado na linha 6?

4. O sistema de numeração cheua é classificado de quinário pelo autor. Concorda ou não com esta classificação? Porquê?

5. Concorda ou não com a explicação dada pelo autor para a adopção de numerais portugueses e ingleses (linha 15 e seg.)?

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2.8 Numerais na língua Nyungwe Fonte: Victor J. Courtois, Elementos de Grammática Tetense (1887),

1890, p.39 Numerais Cardinais. São aqueles que indicam o número. Tomam o prefixo dos nomes que determinam.

0� paribe, ou papezi�1� posi; e bodzi, modzi, quando

adjectivo indefinido 2� piri 3� tatu 4� nai 5� xanu 6� tant’atu 7� chinomue 8� sere 9� f’emba

10� k’umi 11� k’umi na ibodzi 12� k’umi na ziwiri 13� k’umi na zitatu 14� k’umi na zinai 20� mak’umi mawiri 21� mak’umi mawiri na ibodzi 22� mak’umi mawiri na ziwiri 23� mak’umi mawiri na zitatu 30� mak’umi matatu 31� mak’umi matatu na ibodzi 40� mak’umi manai 50� mak’umi maxanu 60� mak’umi matant’atu 70� mak’umi manomue 80� mak’umi masere 90� mak’umi maf’emba

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100� dzana�

101� dzana na ibodzi 110� dzana na k’umi 120� dzana na mak’umawiri 200� madzana mawiri 300� madzana matatu 500� madzana maxanu 900� madzana maf’emba

1000� churu 2000� bzuru bziwiri 3000� bzuru bzitatu

10000� bzuru k’umi, etc.

Observação:

A contabilidade do preto é simples e limitadíssima. Procede sempre por dezenas, e por cada uma dá um nó numa corda, ou um golpe num pau, ou, ainda, junta umas pedrinhas. É pelas dezenas que faz suas contas.

Os adjectivos numerais cardinais concordam com o substantivo

que determinam, tomando o prefixo que lhe pertence. Exemplos: wana wanomue, sete crianças; akazi atatu, três mulheres; p’aza ribodzi, uma enxada; mp’ete zixanu, cinco anéis; bzisu bzisere, oito facas; want’ u k’umi, dez pessoas; miti miwiri, duas árvores; ntsomba zinai, quatro peixes; mauta mak’umi mawiri, vinte arcos; mbarame zitant’atu, seis aves; miadiya mif’emba, nove canhôas; achikunda k’umi na anai, quatorze soldados. Comentários e questões para reflexão 1. Comente a observação segundo a qual a “contabilidade do preto é

simples e limitadíssima” (linha 1). Contabilidade? Simples? Limitadíssima?

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Nyungwe

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


66


Makhuwa-Lóhmé

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


67


Cóti

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


68

2.9 Numerais em Makhuwa-Lóhmé, Cóti e Árabe Fonte: António Pires Prata, Gramática da Língua Macua e seus

Dialêctos, Cucujães, 1960, p. 118-145 1 Os povos macuas têm os seus números próprios, mais ou menos

comuns aos bantus. Os do litoral, mais influenciados pelos árabes, adoptaram ou pelo menos conhecem outras numerações.

5 Os povos de Angoche conhecem a numeração macua, mas ordinariamente adoptam a numeração recebida dos árabes ou outra mais propriamente sua, também usada em suaíli. A fim de as poder conhecer e comparar, damos abaixo essas três numerações.

10 Os numerais cardinais são, pois, os seguintes (vide p. 70 - 75).

Como se vê, os numerais simples em macua são apenas oito: -mosa, pili, tharu (-raru), -sheshe, -thanu, -muloko, mía e álufu. Mmosa admite o plural amosa que representa então um verdadeiro indefinido: uns ,umas, e quando repetido amosa...amosa...”uns ... outros...”; “umas ... outras...”.

16 Mmosa pode receber os sufixos -ru e -tu (ou -thu), tomando as formas de mmosaru e mmosatu, tendo então o sentido de um só, único. Amosa pode ser um plural respeitoso.

Ex.: Kohona athyana amosa, vi uma mulher. 20 Todos os outros são compostos destes.

Mulokó ou mlokó é um substantivo com significado de grupo, fileira, linha, etc., (aqui tem o de dezena ou grupo de dez) e por isso faz o plural Milokó na formação dos números além de 19. Emía tem o plural imía, mas geralmente emprega-se a forma invariável mía.

26 Nalgumas regiões do Distrito de Quelimane e do de Cabo

Delgado em vez de muloko, para significar dez, usam khumi

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(invariável, como na língua cóti) ou kumi, podendo esta palavra, como substantivo que é, fazer o plural makumi ou makhumi.

30 Em Lómuè também em vez de mia emprega-se nsana, recebido das línguas do sul, por meio do chuabo ou chissena. Masama, plural de nsana, e makhumi (ou makumi) têm as concordâncias da classe ma. Àlufu ou alfu ou elfu é invariável. Tanto mia como àlufu têm as concordâncias da classe E-l.

36 Notemos que a contagem acima das primeiras dezenas e das centenas só teoricamente tem um valor, pois habitualmente, por ser ela muito complicada, é substituída pela contagem portuguesa ou pelo árabe onde são conhecidas. Junto à fronteira da Niassalândia [Malawi] também por alguns é conhecida e empregada a contagem inglesa.

42 Os números expressos no quadro servem para a contagem

absoluta ou seja para a contagem sem substantivos ou só com substantivos da classe E e S. Juntos dos substantivos tomam, para a concordância, os prefixos nominais como se pode ver pelo quadro seguinte:

Quadro dos numerais cardinais em concordância com as classes

CLASSE� UM DOIS TRÊS QUATRO

A� Mmosa Áili Araru Asheshe

Ma Nimosa Maíli Mararu Masheshe

Mi Mmosa Mili Miraru Misheshe

O Mmosa Mili Miraru Misheshe

I Emosa Pili Tharu Misheshe

S Emosa Pili Tharu Misheshe

O Omosa Opili Otharu Osheshe

Mu Mmosa Mopili Motharu Mosheshe

Va Vamosa Vaíli Vararu Vasheshe

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CLASSE� CINCO SEIS SETE

A� Athanu Athanu na mmosa Athanu n'aíli Ma Mathanu Mathanu na mimosa Mathanu na maíli Mi Mithanu Mithanu na Mmosa Mithanu na mili O Mithanu Mithanu na Mmosa Mithanu na mili I Thanu Thanu na mosa Thanu na pili S Thanu Thanu na mosa Thanu na pili O Othanu Othanu n'omosa Othanu n' opili Mu Mothanu Mothanu na mmosa Mothanu na mopili Va Vathanu Vathanu na vamosa Vathanu na váili

47 Observações a este quadro: 1. Em vez de -mosa usam-se também as seguintes formas: -moza (no

litoral, nas regiões de A. Enes [Angoche], Mogincual, Moçambique [Ilha], Mossoril, etc.) -modha (dialecto nampamela, A. Enes e Moma); -moha, -mohi e -mosi (dialectos lóhmé e chirima); moka, motca e motci, (meto e macua do Distrito de Cabo Delgado); moja (dialecto chaca).

2. Áili e máili (tonalidade alta na última sílaba) ouvem-se muitas vezes pronunciar eli e meli (por contracção de ai) e mais raramente também áili e máyili.

3. Em vez de aili, maili, mili e pili usam-se no litoral do distrito de Moçambique as formas nasaladas: enli, menli, minli e pinli.

4. Em vez de sheshe também usam-se as formas isheshe (chirima), tceshe, (meto e macua do Distrito de Cabo Delgado, etc.) keshe e kese (Sangage, etc.) e sese (Nampamela).

5. Em Nampula, Meconta, etc., usam-se as formas aili ou ayili e maili ou mayili que nos parecem mais correctas.

6. Em vez de tharu ou itharu também há quem pronuncie taru, tcaru, tcharu e tjaru, assim como também quem diga ithanu, tchanu, tcanu e tjanu, em vez de thanu.

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67 Para a composição de números usam-se das copulativas ni e na, cujo significado é “e” ou “com”. Ni é de língua macua e na provém de língua estranha. Na sobreposição dos números digitos 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30 e 40 emprega-se na ou ni, podendo-se dizer thanu na mosa ou thanu ni mosa (6), prevalecendo na no litoral e ni no interior, depois de 10.

73 Na sobreposição dos números a números superiores a 50 usa-se de na para a junção de dezenas e centenas; e ni para os números digitos, mosa, pili, tharu, sheshe e thanu ou thanu na ... Ex.: Miloko mithanu na mili ni thanu na sheshe - 79.

Com os nomes das classes A e O os numerais têm as concordâncias e formas especiais:

Nakhuwo miraru, três plantas de milho. Ovilo miraru ola ori va, estes três cogumelos que estão aqui.

Comentários e questões para reflexão 1. Comente a utilização do termo “número” nas linhas 1, 67, 70, 73

e 75. 2. Porque será que uma palavra com o significado de grupo, fileira,

linha, etc. (vide linhas 21-22) pode ter ficado um numeral? 3. Concorda com a explicação dada pelo autor nas linhas 36-39 para

o facto de a numeração makhuwa ser frequentemente substituída pela numeração em Português ou em Árabe?

4. Observe bem o quadro de numeração entre dez mil e um milhão. Compare as três línguas.


72

�

MACUA

CÒTI ÁRABE

1 Mosa�

Moti Wahiti 2� Pili (ili) Piri Tineni, tinini 3� Tharu (raru) Thathu Thalata 4� Sheshe Nne Àruba, arba 5� Thanu Thanu Hámusa 6� Thanu na mosa ou

mmosa Sithá Sithá

7� Thanu na pili Sabá Sabá 8� Thanu na tharu Nane Thamania 9� Thanu na sheshe Tísya (Kentha) Tísya

10� Mulokó ou mlokó ou nlokó

Khumi Ashara, anshara, eshara

11� Mulokó na (ou ni) mosa

Khumi na mote Wahitanshara

12� Mulokó na (ou ni) pili

Khumi na piri Tinentashara

13� Mulokó na (ou ni) tharu

Khumi na thathu Thalatashara

14� Mulokó na (ou ni) sheshe

Khumi na nne Arubatashara

15� Mulokó na (ou ni) thanu

Khumi na thanu Hams(i)tashara

16� Mulokó na (ou ni) thanu na mosa

Khumi na sithá Sitashara

17� Mulokó na (ou ni) thanu na pili

Khumi na sába Sabatashara

18� Mulokó na (ou ni) thanu na tharu

Khumi na nane Thamaniatashara

19� Mulokó na (ou ni) thanu na sheshe

Khumi na tísya Tisyatashara

20� Milokó mili khumi piri Ashirini ou eshirini 21� Miloko mili na (ou

ni) mosa khumi piri na mote

Wahiti w'eshirini

22� Miloko mili na (ou ni) pili

khumi piri na piri Tineni w'eshirini

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�

MACUA

CÒTI ÁRABE

23 Miloko mili na (ou ni) tharu�

khumi piri na thathu

Thalata w'eshirini

24� Miloko mili na (ou ni) sheshe

khumi piri na nne Àruba w'eshirini

25� Miloko mili na (ou ni) thanu

khumi piri na thanu

Hamsa w'eshirini

26� Miloko mili na (ou ni) thanu na mosa

khumi piri na sítha

Sithá w'eshirini

27� Miloko mili na (ou ni) thanu na pili

khumi piri na saba

Sabá w'eshirini

28� Miloko mili na (ou ni) thanu na tharu

khumi piri na nane

Thamanía w'eshirini

29� Miloko mili na (ou ni)thanu na sheshe

khumi piri na tísya

Tísya w'eshirini

30� Miloko miraru khumi thathu Thalathini 40� Miloko misheshe khumi nne Arubaíni 50� Miloko mithanu khumi thanu Ham(u)sini 51� Miloko mithanu ni

mosa khumi thanu na mote

Wahiti wa hamsini

52� Miloko mithanu ni pili

khumi thanu na piri

Tineni wa hamsini

53� Miloko mithanu ni tharu

khumi thanu na thathu

Thalata wa hamsini

54� Miloko mithanu ni sheshe

khumi thanu na nne

Àruba wa hamsini

55� Miloko mithanu ni thanu

khumi thanu na thanu

Hamsa wa hamsini

59� Miloko mithanu ni thanu na sheshe

khumi thanu na tísya

Tísya wa hamsini

60� Miloko mithanu na mosa ou miloko nithanu ni mloko mosa

khumi sítha Sithini

61� Miloko mithanu na mosa ni mosa

khumi sítha na mote

Wahiti wa sithini

62� Miloko mithanu na mosa ni pili

khumi sítha na piri

Tineni wa sithini

��

��

�

MACUA

CÒTI ÁRABE

69 Miloko mithanu na mosa ni thanu na sheshe�

khumi sítha na tísya

Tísya wa sithini

70� Miloko mithanu na mili

Sabíni Sabíni ou sabaíni

71� Miloko mithanu na mili na (ou ni) mosa

Sabíni na mote Wahiti wa sabini

72� Miloko mithanu na mili na (ou ni) pili

Sabíni na piri Tineni wa sabini

73� Miloko mithanu na mili na (ou ni) tharu

Sabíni na thathu Thalata wa sabini

74� Miloko mithanu na mili na (ou ni) sheshe

Sabíni na nne Àruba wa sabini

75� Miloko mithanu na mili na (ou ni) thanu

Sabíni na thanu Hamsa wa sabini

78� Miloko mithanu na mili na (ou ni) thanu na tharu

Sabíni na nane Thamanía wa sabini

80� Miloko mithanu na miraru

Thamanini Thamanini

90� Miloko mithanu na misheshe

Tuswini ou tiswini Tisini

97� Miloko mithanu na misheshe na thanu na pili

Tuswini na sába Sabá wa tisini

100� Miloko muloko ou Milokosene mloko ou Emia ou mía

Mía Mia

101� Miloko muloko na (ou ni) mosa ou Emia ou mía na mosa

Mía na mote Mia na wahiti

��

��75

�

MACUA

CÒTI ÁRABE

102 Miloko muloko na (ou ni) pili ou Emia ou mía na pili�

Mía na piri Mia na tineni

103� Miloko muloko na (ou ni) tharu ou Emia ou mía na tharu

Mía na thathu Mia na thalata

104� Miloko muloko na (ou ni) sheshe ou Emia ou mía na tsheshe

Mía na nne Mia n'áruba

105� Miloko muloko na (ou ni)thanu ou Emia ou mía na thanu

Mía na thanu Mia na hamsa

107� Miloko muloko na (ou ni) thanu na pili

Mía na sába Mia na sabá

110� Miloko muloko na (ou ni) muloko ou Emia ou mía na muloko

Mía na khumi Mia n'ashara

120� Miloko muloko na (ou ni) muloko mili ou Emia ou mía na muloko mili

Mía na khumi piri Mia n'eshirini

130� Miloko muloko na (ou ni) muloko miraru ou Emia ou mía na muloko miraru

Mía na khumi thathu

Mia na thalathini

��

��

�

MACUA

CÒTI ÁRABE

140 Miloko muloko na (ou ni) muloko misheshe ou Emia ou mía na muloko misheshe�

Mía na khumi nne Mia n'arubaini

150� Miloko muloko na (ou ni) muloko mithanu ou Emia ou mía na muloko mithanu

Mía na khumi thanu

Mia na hamsini

160� Miloko muloko na (ou ni) muloko mithanu na mmosa

Mía na khumi sithá

Mia na sithini

170� Miloko muloko na (ou ni) muloko mithanu na mili

Mía na sabíni Mia na sabini

180� Miloko muloko na (ou ni) muloko mithanu na miraru

Mía na thamanini Mia na thamanini

190� Miloko muloko na (ou ni) muloko mithanu na misheshe

Mía na tuswini Mia na tisini

200� Miloko muloko mili ou milokosene muloko mili

Mía piri Mitini

300� Miloko muloko miraru ou milokosene muloko miraru

Mía thathu Thalata mia

400� Miloko muloko misheshe ou milokosene muloko misheshe

Mía nne Áruba mia

��

��77

�

MACUA

CÒTI ÁRABE

500 Miloko muloko mithanu ou milokosene muloko mithanu�

Mía thanu Hamsa mia

600� Miloko muloko mithanu na mosa

Mía sithá Sithá mia

700� Miloko muloko mithanu na mili

Mía sabá Sabá mia

800� Miloko muloko mithanu na miraru

Mía nane Thamania mia

900� Miloko muloko mithanu na misheshe

Mía tísya Tísya mia

1000� Miloko muloko miloko ou álufu ou álfu ou elfu ou Imia muloko ou mia muloko

Àlufu Alfu ou elfu

2000� Álifu pili Àlufu piri Alfeini ou elfeini 3000� Álufu tharu Àlufu thathu Thalata alfu 4000� Álufu sheshe Àlufu nne Árabu alfu 5000� Álufu thanu Àlufu thanu Hamsa alfu

10.000�

Laki ou lakhi Àlufu khumi Asharatalafu

100.000�

Lakhi Miatalafu

1.000.000�

Lakhi khumi Ashara laki

��

��


Sena

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


79

2.10 Numerais na língua Sena

Fonte: J. Torrend, Gramática do Chisena - A grammar of the language of the lower Zambezi, Missão de Chipanga, Chipanga, 1900, p. 81-83

Os numerais cardinais

um -bodzi dois -wiri três -tatu quatro -nai cinco -xanu seis -tant’atu sete -nomeu oito -sere nove -femba

com os três seguintes

quantos? -ngasil o mesmo identicamente -bidzibodzi muitos -zinji

são adjectivos. Nota-se que k’umi, dez, pl. makumi; dz-ana, cem, pl. ma-dz-ana; e chikui, mil só se empregam como substantivos. Os números cardinais de um a nove têm também formas de substantivos. Tratados como tais os seguintes pertencem à classe MU-A:

um posi dois piri três tatu cinco xanu seis tant’atu oito sere nove femba


80

À classe CHI pertencem

quatro chi-na sete chi-nomue

��

��81


Shona (Ndau)

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia

��

82

2.11 Numerais na língua Shona (Ndau) Fonte: D. Dale, S.J., Shona Companion, Mambo Press, Zimbabwe,

[1968], 1986, p. 230-231 Numerais Cardinais: Um dólar: dhora rimwe chete Dois dólares: madhora maviri Três dólares: madhora matatu Quatro dólares: madhora mana Cinco dólares: madhora mashanu Seis dólares: madhora matanhatu Sete dólares: madhora manomwe Oito dólares: madhora masere Nove dólares: madhora mapfumbamwe Dez dólares: madhora gumi Onze anos: makore gumi nerimwe chete Doze anos: makore gumi namaviri Treze anos: makore gumi namatatu Catorze anos: makore gumi namana Quinze anos: makore gumi namashanu Dezasseis anos: makore gumi namatanhatu Dezassete anos: makore gumi namanomwe Dezoito anos: makore gumi namasere Dezanove anos: makore gumi namapfumbamwe Vinte anos: makore makumi maviri/ makumi maviri amakore 22 dias: mazuva makumi maviri ana maviri 30 dias: mazuva makumi matatu 33 dias: mazuva makumi matatu ana matatu 40 dias: mazuva makumi mana 44 dias: mazuva makumi mana ana mana 50 dias: mazuva makumi mashanu 55 dias: mazuva makumi mashanu ana mashanu 60 dias: mazuva makumi matanhatu 66 dias: mazuva makumi matanhatu ana matanhatu 70 dias: mazuva makumi manomwe 77 dias: mazuva makumi manomwe ana manomwe


83

100 soldados: masoja zana/ zana ramasoja 1000 soldados: masoja chiuru/ chiuru chamasoja Uma cabeça de gado: mombe imwe chete Duas cabeças de gado: mombe mbiri Três cabeças de gado: mombe nhatu Quatro cabeças de gado: mombe ina Cinco cabeças de gado: mombe shanu Seis cabeças de gado: mombe nhanhatu Sete cabeças de gado: mombe nomwe Oito cabeças de gado: mombe sere/ tsere Nove cabeças de gado: mombe pfumbamwe Dez cabeças de gado: mombe gumi/ gumi repondo Onze milhas: maira gumi neimwe chete Doze milhas: maira gumi nembiri Treze milhas: maira gumi nenhatu Catorze milhas: maira gumi neina Quinze milhas: maira gumi neshanu Dezasseis milhas: maira gumi nenhanhatu Dezassete milhas: maira gumi nenomwe Dezoito milhas: maira gumi nesere/ tsere Dezanove milhas: maira gumi nepfumbamwe Vinte milhas: maira makumi maviri/ makumi maviri amamaira 22 casas: dzimba makumi maviri ane mbiri 30 casas: dzimba makumi matatu 33 casas dzimba makumi matatu ane nhatu 40 casas: dzimba makumi mana 44 casas: dzimba makumi mana ane ina 50 casas: dzimba makumi mashanu 55 casas: dzimba makumi mashanu ane shanu 60 casas: dzimba makumi matanhatu 100 bois: mombe zana/ zana remombe 200 bois: mombe mazana maviri/ mazana maviri emombe 1000 bois: mombe churu/ churu chemombe 2000 bois: mombe zviuru zviviri.

��

84


Tshwa

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


85

2.12 Numerais na língua Tshwa Fonte: J. A. Persson, Outlines of Tshwa Grammar (with practical

exercises), Inhambane Mission Press, 1932, p.52-54

Os vaTshwa contam aos cinco, quer dizer, têm palavras separadas para os números até cinco, depois começam de novo: cinco mais um, cinco mais dois, etc., até dez; em seguida dez mais um, dez mais dois, etc., até quinze, que é dez mais cinco; a seguir, dez mais cinco mais um, etc. até vinte, que é duas dezenas. Ao contar deste modo utilizam apenas sete palavras, das quais três são adjectivos e quatro substantivos. Numerais cardinais

Os três primeiros números são adjectivos que utilizam o prefixo do substantivo que qualificam. São -nwe, um; -mbiri, dois; -nharu, três.

classe

um dois três

1 munwe vambiri vanharu 2 munwe mimbiri minharu 3 ginwe mambiri manharu 4 xinwe zimbiri zinharu 5 yinwe timbiri tinharu 6 linwe timbiri tinharu

No plural da segunda classe utiliza-se frequentemente o prefixo

pronominal em vez do prefixo substantivo, isto é yimbiri, yinharu. Os substantivos contidos nas classes 7 e 8 são substantivos

colectivos, abstractos ou verbais, e, em regra, não são usados juntamente com numerais.

Como a tabela ilustra os adjectivos numéricos, tal como os outros adjectivos, concordam com os substantivos que qualificam; por exemplo:

��

86

khumba ginwe um porco vafana vambiri dois rapazes timbuti tinharu três cabras

Mune, quatro, e ntlhanu, cinco, são substantivos da 2ª classe.

Khume, dez, e zana, cem, são substantivos da 3ª classe, cujos plurais são formados pelo prefixo ma. São diferentes dos adjectivos no sentido de que são colocados antes do substantivo a que se referem. Com um adjectivo diz-se vanhu va ntamo, pessoas fortes; com os substantivos numéricos inverte-se a ordem, e diz-se, mune wa vanhu, quatro de pessoas; khume ga mahaxi, dez de cavalos; ntlhanu wa tipondo, cinco libras.

Vinte e trinta exprimem-se por duas dezenas e três dezenas, respectivamente. Makume mambiri, vinte; makume manharu, trinta. Uma vez que quatro e cinco são substantivos que precedem os substantivos por eles qualificados, quarenta e cinquenta são formados da seguinte maneira: Mune wa makume, ntlhanu wa makume. Sessenta aparece do seguinte modo: Ntlhanu wa makume ni khume ginwe, cinco dezenas e um dez.

Em todos os números abaixo de cem, as dezenas são colocadas antes das unidades:

khume ni ginwe dez e um khume ni mambiri dez e dois khume ni ntlhanu dez e cinco

khume ni ntlhanu ni ginwe dez e cinco e um makume mambiri ni ginwe duas dezenas e um

O facto de que existem apenas sete palavras para exprimir todos

os números é, inicialmente, desconcernante por causa das repetições constantes, em particular com números grandes. Os exemplos seguintes indicam diferentes maneiras de formar números. Deve notar-se que enquanto mune, ntlhanu, khume e zana usam as partículas possessivas das suas respectivas classes, as três primeiras unidades tomam o prefixo do substantivo qualificado.


87

ntlhanu wa vanhu ni vanharu oito pessoas

ntlhanu wa tiyivu ni tiyivu tinharu

oito ovelhas

ntlhanu ni manharu a matiko oito países ntlhanu wa zibya ni mune nove pratos

khume ga tisimu ni tisimu timbiri doze canções khume ni ntlhanu wa zihari ni

zihari zimbiridezassete animais

khume ga vanhu ni ntlhanu ni mune

dezanove pessoas

makume mambiri ya mabhuku ni mambiri

vinte e dois livros

makume manharu ya timyana ni ntlhanu ni yinwe

trinta e seis cães

zana ga miti ni khume ni yinharu cento e treze aldeias

Estes exemplos mostram que os números adjectivos sempre seguem os substantivos que qualificam; esta regra, contudo, não se aplica em expressões como as seguintes:

a mambiri ya mabhuku lawo dois daqueles livros zinharu za zibya za mina três dos meus pratos

De mesmo modo encontramos com números maiores que o

substantivo é colocado no primeiro lugar para evitar uma repetição demasiado frequente:

A tihomu ta ntlhanu wa makume ni makume mambiri ni tinharu, 73 vacas; Vanhu va ntlhanu wa makume ni mune wa makume ni ntlhanu ni mune, 99 pessoas.

Nota:

Sendo este sistema de numeração tão incómodo, está a ser substituído por números portugueses, exceptuando quando se utilizam numerais abaixo de dez ou quantidades capazes de se exprimirem em dezenas ou centenas exactas.


88

Nza lava quarenta e cinco wa timetro ta malikani, quero 45 metros de pano branco. Va lo tshovela vinte e três wa tisakwa ta zipfhaki, eles colheram 23 sacos de milho. A hi yimneleleni a lisimu la oitenta e oito, cantemos hino nº 88.

Comentários e questões para reflexão 1. Comente a nota final.


89


Chope

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


90

2.13 Numerais na língua Chope Fonte: Luís Feliciano dos Santos, Gramática da Língua Chope,

Imprensa Nacional de Moçambique, Lourenço Marques, 1941, p. 95 - 100

Os numerais cardinais: 1. São estes os nomes dos números que designam a quantidade dos

objectos. Em Chope os números cardinais são simples e compostos. Os numerais cardinais simples são: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000.

Todos os restantes são compostos dos simples. 2. Os nomes dos numerais cardinais simples são os seguintes: -muè, um; -mbiri, dois; -raru, três; mune, quatro; ntchanu, cinco;

digume, (pl. makume), dez; dzana (pl. madzana), cem; dikhulu (pl. makulu), mil.

3. O numeral -muè-, um, apresenta uma forma especial, diferente da dos restantes numerais, e aparentada à pronome indefinido correspondente a “mesmo”, como veremos adiante.

Constrói-se esta forma atendendo a -mué- a característica nominal do substantivo em referência (na 1ª classe o i ou m- prefixo nominal evoluído) e pospondo-lhe a reduplicação relativa da respectiva partícula possessiva. Na 1ª, 2ª, e 3ª classe em vez do uo, diz-se io por eufonia. As formas atributivas e predicativas do -mué- são, de resto, idênticas às dos adjectivos simples primitivos, como -nene, -dotho, etc.

4. Quadro sinóptico da forma atributiva do numeral 1 (um): 1ª classe - Inthu (uà) muèio ou mmuèio, um homem. 2ª classe - Nhóka (uà) umuèio, uma cobra. 3ª classe - Uluate (uà) umuèio, uma doença. 4ª classe - Dirole (dà) dimuèdo, um vitelo. 5ª classe - Litiho (là) limuèlo, um dedo. 6ª classe - Tchilonda (tchà) tchimuètcho, uma ferida. 7ª classe - Nhari (ià) imuèio, um búfalo.


91

8ª classe - Kuranda (kà) kumuèio, uma vontade. 5. Os numerais -mbidi, 2 (dois) e -raru, 3 (três), em razão de a sua

concordância com os substantivos ser, como a de -muè-, idêntico à dos adjectivos qualificativos primitivos, devem ser considerados também como adjectivos primitivos.

6. Quadro sinóptico da concordância atributiva de -mbidi e -raru: -mbidi, 2 (dois), -raru, 3 (três)

1ª classe Vathu (rà) vambidi, 2 homens

Vathu (và) vararu, 3 homens

2ª classe Mindonga (iá) imbidi, duas árvores

Mindonga (ià) iraru, três árvores

3ª classe Malaho (à) mambidi, 2 arcos

Malho (à) mararu, 3 arcos

4ª classe Marole (à) mabidi, 2 vitelos

Marole (à) mararu, 3 vitelos

5ª classe Titiho (tà) timbidi, 2 dedos

Titiho (tà) tiraru, 3 dedos

6ª classe Silonda (sà) simbidi, duas feridas

Silonda (sà) siraru, três feridas

7ª classe Timbua (tà) timbidi, 2 cãis

Timbua (tà) tiraru, 3 cãis

8ª classe Kuranda (kà) kumbidi, duas vontades

Kuranda (kà) kuraru, três vontades

NB. - Cumpre notar, todavia, que na linguagem corrente a partícula possessiva, indicada entre parêntesis, já desapareceu quase por completo da forma atributiva, o que não sucede com os adjectivos qualificativos primitivos. Os numerais -muè-,-mbidi- e -raru são sempre propostos aos substantivos que determinam.

7. Os numerais mune, 4 (quatro) e ntchanu, 5 (cinco) funcionam como substantivos do singular da 2ª classe nominal (mu-mi). Ao contrário dos precedentes, estes dois numerais tanto podem anteceder como ser propostos aos substantivos que determinam. Exemplos:

Mune uà timbuva, ou : timbuva tà mune, quatro cães.


92

Intchanu uà silonda, ou : silonda sà ntchanu, cinco feridas.

É, todavia, preferível a primeira forma.

Observações: 1. Mune, que, em outras línguas bântu, em chi-chambala, é

simplesmente ne, e em chi-nhungue de Tete é nai, e segue nessas línguas as regras de concordância dos adjectivos, em chope, pelo contrário, deve-se considerar como um substantivo, em virtude da concordância restritiva com os substantivos.

2. De ntchanu vale o que dissemos acêrca do prefixo nominal do singular da 1ª e 2ª classe. O i inicial, que por vezes se ouve, é a forma evoluída de mu com subsequente nasalação e reforçamento do fonema primitivo ch, que assim se transformou no fonema ntch.

O i inicial é quase impossível, quando o sujeito da oração começa por ntchanu. Quando ntchanu é posposto ao substantivo, desaparece por completo o i inicial, elidindo-se com a vogal da partícula possessiva que o liga ao substantivo.

(Vejam-se os exemplos supra). Quando, finamente, ntchanu é nome predicativo, o i inicial

tem som pleno e de tonalidade alta. Exemplo: Sirumo sà Dibandza dò-basa intchanu, os mandamentos da

Santa Igreja são cinco. 3. Não é de aceitar a observação de H. Ph. Junod em Eléments

de Grammaire tchopi, p.26, de que o gitonga e o chilengue conservaram “a velha forma da língua, inteiramente diferente das outras línguas bântu”, para exprimir o numeral 5 (cinco), que em gitonga, segundo este autor, é libandi, e em chilengue lihandi.

A forma lihandi, a meu ver, longe de ser “a velha forma da língua”, outra coisa não é senão a corruptela do termo saxónico die Hand (em alemão) ou the hand (em inglês), que significa a mão, e é, portanto, um neologismo (bárbaro)


93

de importação estrangeira, para designar os cinco dedos da mão.

A forma chope, ntchanu, é, sem dúvida possível, a primitiva forma bântu, tendo apenas sofrido as alterações fonéticas peculiares desta língua. E a razão óbvia é que esta forma chope se encontra, com pequenas variantes, na quase totalidade das línguas bântu, desde o chi-chambala, falado nas faladas do Kilimandjaro ao quimbundo e umbundo de Angola, e desde o chinhungue de Tete ao chironga de Lourenço Marques, ou desde o nhakiusa do norte do Niassa ao zulu e sotho do Transvaal.

4. A pronuncia de ntchanu difere um pouco entre o sul e o centro e norte da região chope. No sul tem som dento-lateral (achanganado): ntchanu: no centro e norte, as mulheres, sobretudo, conservaram o som fricativo: ntchanu.

8. Os numerais digume (pl. makume), 10 (dez); didzana (pl.

madzana), 100 (cem): dikhulu (pl. makhulu), 1000 (mil), seguem as regras de concordância de substantivos pertencentes à 4ª classe nominal.

Como os numerais mune e ntchanu, tanto podem preceder como seguir o substantivo que determinam, sendo todavia, preferível a primeira forma. Exemplos:

Digume dà vanhapue, ou vanhapue và digume, dez pessoas.

Didzana dà mindonga ià didzana, cem árvores. Dikhulu dà malembe ou malembe à dikhulu, mil anos.

9. Números compostos. - Os restantes números formam-se dos precedentes, da seguinte forma: De 6 a 9, acrescentando a ntchanu (5) a preposição ni

(com) e -muè-, mbidi, -raru, mune, para designar respectivamente: 6, 7, 8, 9, mas com as particularidades seguintes: a) - A -muè- devem acrescentar-se os “prefixos e sufixos”

acima indicamos, correspondentes às oito classes nominais. Exemplos:


94

Intchanu uà silonda ni tchimuètcho, ou silonda sà ntchanu ni tchimuètcho, seis feridas.

Intchanu uà timbua ni imuèi, ou timbua tà ntchanu ni imuèio, seis cãis.

b) - A -mbidi e a -raru deve antepor-se a característica nominal da classe a que pertence o substantivo que determinam. Exemplos:

Intchanu uà miti ni imbidi (f. dial. ni mimbidi), ou miti ià ntchanu ni imbidi (ou mimbidi), sete aldeias.

Intchanu uà titiho ni tiraru, ou titiho tà ntchanu ni tiraru, oito dedos.

c) - A mune apenas se antepõe a preposição ou conjunção ni (com ou e). Exemplo:

Intchanu uà malembe ni mune, ou malembe à ntchanu ni mune, 9 anos.

NB. - Como se depreende da exposição feita e dos exemplos citados, na classe das unidades de 1 a 3 os substantivos precedem esses numerais. Nas unidades 4 e 5 os substantivos tanto podem preceder como seguir os numerais, sendo preferível a primeira forma. Na classe das unidades de 6 a 9 os substantivos tanto podem preceder como ser intercalados entre ntchanu e -muè-, -mbidi, -raru, ou mune. Preferível é esta segunda forma. Se o número representa qualquer dezena, centena ou milhar, seu excesso de unidades, o substantivo coloca-se ou no princípio ou no fim. Exemplos:

Makume mambidi à mindonga, ou mindonga ià makume mambidi, 20 árvores.

Madzana manbidi à seketa, ou siketa sà madzana manbidi, 200 ananases.

Madzana mararu à timbua, ou timbua tá madzana mararu, 300 cãis, etc.


95

Se o número representa qualquer centena com excesso de dezenas, ou qualquer milhar com excesso de centenas ou dezenas, o substantivo colocar-se-á no fim, concordando com o último numeral-substantivo. Exemplo:

Didzana ni makume mambidi à mipama, 120 bofetadas.

Finalmente, se o número contém além disso unidades, estas indicam-se depois do substantivos, que se coloca a seguir à classe das dezenas.

Comentários e questões para reflexão 1. Comente a utilização dos termos “número” e “numeral” nos

pontos 1, 2 e 9. 2. O que é que o leitor acha da argumentação apresentada na

observação 3, referente ao numeral “lihandi” na língua Tonga?


96


Tsonga (Changana)

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


97

2.14 Numerais na língua Tonga e o ‘sentido matemático’ Fonte: Henrique A. Junod, Usos e costumes dos Bantos (1934),

Lourenço Marques, 1974, Vol.2, p.151, 152, 153-154, 576-577 1 Comparados aos milhares de advérbios descritivos, os nomes

numerais fazem triste figura na gramática tonga. Os Tongas possuem apenas sete: n’uè, um; bíri, dois; raro, três (são tratados como adjectivos); múnè, quatro; nthlano, cinco; qhúmè, dez; dzana, cem (estes últimos são substantivos). Todos os números têm de ser expressos por meio destas sete palavras. É extremamente complicado. “Novecentos e oitenta e sete” tem de ser dito assim: cinco centos, e quatro centos, e cinco dez, e três dez, e cinco, e dois. Este sistema de numeração é nitidamente decimal e está em relação directa com os dez dedos da mão: a prova é que os indígenas, ao contarem, empregam geralmente os dedos. Começam com o mínimo da mão esquerda, um; depois, o mínimo e o anelar, dois; este dois e o máximo, três; estes três e o indicador, quatro; este quatro e o polegar, cinco; depois juntam os dedos da mão direita, começando pelo polegar: cinco mais um, cinco mais dois, cinco mais três, cinco mais quatro. Dez obtém-se batendo as duas mãos uma contra a outra. Note-se que cinco, a mão esquerda, com o polegar separado dos outros quatro dedos, imita o algarismo romano V, e dez, as duas mãos juntas com os dedos cruzados, faz um X, o sinal romano para dez! Isto prova que o nosso sistema de números, de que a justo título somos tão orgulhosos, nasceu provavelmente da mesma maneira que na maior parte das tribos bantas!

24 Por outro lado, deve-se dizer que, se o sistema de numeração não atingiu maior desenvolvimento, a razão está em que os Tongas não têm necessidade disso e, por consequência, não se esforçam para exprimir grandes números. Apressam-se a dizer que um número é tjandjabalhaii (Djonga) ou lhulabacônti (Ronga), isto é, “aquele que ultrapassa a capacidade do calculador”.

30 Quanto a contar homens, era formalmente proibido, outrora. Se alguém, vendo uma grande reunião de gente na praça pública, desejava conhecer o número de presentes, diziam-lhe: “Quê? Tu estás a contar-nos? Quem desejas tu ver desaparecer?” (Chana uá hi nconta, u tá hi pumba ná?).


98

35 Onde é necessário dar provas de certo sentido aritmético ou, pelo menos, de mostrar que se sabe somar, é quando se trata de fazer a conta do lobolo, quando este é pago em enxadas. As dezenas são empilhadas separadamente, com muito cuidado. Toda a família assiste interessadamente à operação – mas não se poderia chamar a isto uma proeza na ordem matemática.

41 Assim, as ocasiões que se apresentam aos primitivos para usarem da faculdade de contar são, no conjunto, muito raras e não devemos admirar-nos de que essa faculdade não se tenha desenvolvido. Pretender que ela falta inteiramente, seria erróneo. Posso apresentar várias provas de que ela existe e se manifesta, por vezes, de maneira interessante. Primeira, no jogo nhenguéli-nhenguéli-múnè. Os jogadores colocam no chão um certo número de caroços, dois a dois; um volta as costas ao outro e este, designando o primeiro par, diz: Nhenguéli-nhenguéli-múnè? - isto é: “Quantos caroços estão ali?” O que está de costas voltadas responde: “Tira um e põe-no ali” – e indica o lugar que entende. Faz-se o mesmo com o segundo par e assim sucessivamente, de modo que alguns montes ficam com mais caroços que outros. Quando um monte ficar completamente disperso, o que está a adivinhar deve dizer: Macua ntsiquitane – o que significa “Aí não há mais”. O inquiridor passa, então, rapidamente, de monte em monte e o adivinhador deve dizer quantos caroços estão em cada monte. Este jogo exige grande esforço de memória.

59 Segunda prova: Chinangana. Chinangana é um homem que vivia nos Spelonken, perto da Missão de Elim, um puro indígena que não sabia ler nem escrever e nunca tinha ido à escola. Ora, este tonga criou uma cronologia que vem do ano de 1838 a 1905. Sabe o que aconteceu em cada ano, desde 1959, e chegou, por si mesmo, à concepção duma era. A sua era começa com a emigração das tribos tongas para o Transvaal, em fuga perante Manicusse, quando de regresso deste chefe angóni da Mussapa ou do país de Gaza. Os Ncunas, Mavundjas, Psungos e outros clãs dos Lhábis foram obrigados a refugiar-se nos Spelonken. Aqui começa a era de Chinangana. Vários dos anos que se seguiram têm um nome especial. Tive a sorte de interrogar Chinangana em 1905 e pude tomar nota, a ditado dele, dos pormenores da sua cronologia. Depois de ter enumerado todos esses anos, ele conclui clamando triunfalmente: “Todos estes anos depois do regresso de


99

Manicusse fazem cinco centos, e três centos, e quatro meses!”. Eis um caso muito curioso de historiografia indígena. Creio-o único em toda a tribo tonga.... Como possuía aptidão notável para esta espécie de cálculo, Chinangana desenvolveu o seu dom natural. Tornou-se célebre e era consultado por todos que desejavam conhecer a idade que tinham ou a data de qualquer acontecimento.

Aritmética e educação (p.576, 577) Desenvolver as capacidades naturais, os dons duma raça, deve ser o fim de todo o sistema de educação. Mas é necessário, também, que ele se esforce por remediar as suas deficiências e precisamente por o sentido matemático ser tão rudimentar na maior parte dos indígenas é que nas escolas se impõe um ensino desenvolvido da aritmética. O método geralmente seguido é o da numeração europeia. É, a meu ver, um plano racional, vista a complicação do sistema indígena; nenhum trabalho de aritmética que exija precisão rigorosa seria possível com o emprego dos nomes numerais indígenas. O perigo que se encontra no ensino deste ramo de estudo, como noutros, é a tendência que os alunos têm a contentarem-se com um trabalho puramente mecânico, em que o raciocínio não desempenha papel. Comentários e questões para reflexão 1. Concorda ou não com o argumento apresentado pelo autor para

justificar a sua caracterização da numeração Tonga: “triste figura” (linha 2). Se se aplicasse o mesmo argumento, qual seria a avaliação do sistema de numeração binária? Concordaria com esta avaliação?

2. Nas linhas 6-7 o autor fala em “extremamente complicado”. Complicado para quem? Para quê?

3. Como se pode classificar a numeração Tonga? Decimal? (cf. linha 10)

4. Comente a utilização da expressão “sistema de números” na linha 21.

5. O leitor acha que se pode considerar um sistema de numeração falada mais “desenvolvido” ou menos “desenvolvido” do que um outro? Porquê? (cf. linhas 24-25, 44)


100

6. Uma tradução mais à letra (linhas 33-34) seria “Ora tu contas a nós; vais nos diminuir?”. Será que se trata de um tabu pré-colonial ou terá surgido no tempo colonial?

7. Acha que se pode falar em termos de um “sentido aritmético”? 8. Comente o parágrafo sobre “Aritmética e educação”.

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2.15 Numerais na língua Changana Fonte: Armando Ribeiro, Gramática Changana (Tsonga), Editorial

“Evangelizar”, Caniçado, 1965, p. 165-167, 175

Os numerais cardinais são os que exprimem o número das coisas, das pessoas e dos animais. Em changana há apenas oito palavras diferentes para exprimir todos os numerais. São eles:

...ñwe um, uma

...mbirhi� dois, duas

...nharu ou ...rharu três mune quatro nthlanu cinco tchume dez dzana cem khulo mil

Estas palavras diferem quanto à natureza gramatical e, portanto, também quanto à concordância, isto é, quanto ao modo de ligação entre si e com palavras a que se referem. a) Os três primeiros são adjectivos e por isso antepõe-se-lhes

sempre o prefixo nominal da classe do substantivo a que se referem: * ...ñwe leva o prefixo do singular; * ...mbirhi e ...nharu ou rharu o prefixo do plural, e vão

sempre depois do substantivo. Os prefixos sofrem as costumadas transformações:

munhu muñwe uma pessoa vanhu vambirhi duas pessoas nsinya wuñwe uma árvore minsinya yinharu três árvores homu yiñwe um boi tihomu timbirhi dois bois litiho liñwe um dedo

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tintiho tinharu três dedos lembe liñwe um ano malembe manharu três anos wurimba bziñwe uma armadilha marimba mambirhi duas armadilhas chicomu chiñwe uma enxada bsikomu bsimbirhi duas enxadas kuhanya kuñwe uma vida

b) Os restantes numerais são substantivos e têm portanto a sua

classe própria:

* mune e nthlanu pertencem à classe mu-mi e não têm plural. Mune conserva o prefixo na sua forma regular mu, pois o radical simples é ne. Nthlanu muda o prefixo mu em n.

* tchume, dzana e khulo pertencem à classe ri-ma e fazem no

plural: matchume, madzana e makhulo. No singular desapareceu o prefixo nominal. Sendo substantivos, nunca fazem a concordância por meio de prefixos nominais, mas ligam-se por meio das partículas restritivas das respectivas classes:

* mune e nthlanu pela partícula wa da classe mu-mi; * tchume, dzana e khulo, pelas partículas ra e ya,

respectivamente singular e plural da classe ri-ma a que pertencem.

Exemplos:

mune wa bsikomu quatro enxadas nthlanu wa vavanuna cinco homens tchume ra vavasati dez mulheres dzana la tihomu cem bois matchume mambirhi ya vafana vinte rapazes madzana mambirhi ya timbuti duzentas cabras khulo ra tinyempfu mil ovelhas makhulo manharu ya vanhu três mil pessoas

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Observações (p.175): Como acabamos de ver, o modo de contar em changana é muito deficiente e extremamente complicado: * deficiente, pois apenas tem oito termos diferentes para expressar

todos os números; * complicado, pois, para dizer por exemplo, 288 flores, que nós

exprimimos com seis palavras, emprega o changana 15: madzana mambirhi ya bsiluva ni nthlanu wa matchume ni matchume manharu ni nthlanu ni bsinharhu.

Pode-se no entanto com reflexão chegar a exprimir todos os números, mesmo os mais elevados. Hoje o indígena reconheceu a simplicidade e facilidade do nosso sistema e emprega correctamente os nossos números na sua contagem, geralmente ligados pela restritiva wa:

oitenta wa timbuti noventa e sete wa tihomu vinte cinco wa malembe.

Comentários e questões para reflexão 1. Comente as observações do autor sobre o modo de contar em

Changana. 2. No último parágrafo, onde o autor fala em “nosso sistema”, fica

bem patente que ele escreve para um público português. Termos como “simples” e “complexo” podem ter um significado objectivo? Ou dependem sempre do contexto?


104

2.16 Numerais em Tsonga (Changana) Fonte: Bento Sitoe, Morfologia dos nominais dependentes II: O

sistema qualificativo em Tsonga, Cadernos Tsonga, nº 8, Faculdade de Letras, Universidade Eduardo Mondlane, Maputo, 1985, p.7-10 (revista pelo autor em 1993)

Em Tsonga há apenas oito termos para exprimir todos os

numerais (por combinações e adições destes oito), que são: -n’we “um”; -mbirhi “dois”; -nharhu “três”; mune “quatro”; ntlhanu”cinco”;khume “dez”; dzana “cem”; gidi ou khulu “mil”. -n’we, -mbirhi e -nharhu comportam-se morfologicamente como adjectivos e por isso recebem o prefixo nominal de concordância do nome a que se referem:

munhu mun’we � uma pessoa

vanhu vanbirhi/vanhrarhu duas/três pessoas øhuku yim’we � uma galinha�

tihuku timbihri/tinharhu � duas/três galinhas�xifambu xin’we � um sapato�

svifambu svimbihri/svinharhu � dois/três sapatos Mune, ntlhanu, khume, dzana, gidi e khulu são nomes. Ligam-se aos nomes que quantificam com o emprego do extra prefixo de dependência da classe a que estes numerais pertencem e adicionam-se por meio da conjunção ni ou na. Mune e ntlhanu pertencem ao género mu-mi (classes 3 e 4):

Mune wa malembe quatro anos Ntlhanu wa timbuti cinco cabritos Eka makume mambirhi kuna mintlhanu yingani?

em vinte quantos ‘cincos’ há?

Khume, dzana, gidi e khulu são do género ri-ma (classes 5 e 6):

Khume ra masaka dez sacos Madzana mambirhi ya tibuku duzentos livros Gidi ra vanhu mil pessoas

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Makhulu ya svisiwana � milhares de pobres Exemplos do sistema de contagem, com um nome do género yi-ti (classes 9 e 10), buku (livro):

1 livro buku yin’we�

2 livros� tibuku timbirhi 3 livros� tibuku tinharu 4 livros� mune wa tibuku 5 livros� ntlhanu wa tibuku�

6 livros� ntlhanu wa tibuku ni yin’we (cinco livros e um)�

7 livros� ntlhanu wa tibuku ni timbirhi 8 livros� ntlhanu wa tibuku ni tinharhu�

9 livros� ntlhanu wa tibuku na mune 10 livros� khume ra tibukhu 11 livros� khume ra tibuku ni yin’we (dez livros e um)�12 livros� khume ra tibuku na timbirhi�15 livros� khume ra tibuku ni ntlhanu�

16 livros� khume ra tibuku ni ntlhanu ni yin’we (dez livros e cinco e um)�

20 livros� makume mambirhi ya tibuku�

21 livros� makume mambirhi ya tibuku ni yin’we�

30 livros� makume manharhu ya tibuku�

60 livros� ntlhanu wa makume ni (kume) rin’we ya tibuku�

61 livros� ntlhanu wa makume ni rin’we rin’we ya tibuku ni yin’we�

70 livros� ntlhanu wa makume ni (makume) mambirhi ya tibuku�

99 livros� ntlhanu wa makume ni mune ya tibuku ni ntlhanu ni yin’we�

100 livros� dzana ra tibuku�

101 livros� dzana ra tibuku ni yin’we�

106 livros� dzana ra tibuku ni ntlhanu ni yin’we�

199 livros� dzana ra tibuku ni ntlhanu ni mune wa makume ni ntlhanu ni mune�

200 livros� madzana mambirhi ya tibuku�

213 livros� madzana mambirhi ya tibuku ni khume ni tinharhu�

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345 livros� madzana manharhu ya tibuku ni mune wa makume ni ntlhanu�

900 livros� ntlhanu wa madzana ni mune (wa madzana) ya tibuku�

999 livros� ntlhanu wa madzana ni mune ya tibuku ntlhanu wa makume ni mune ni ntlhanu ni mune�

1000 livros� gidi ra tibuku (ou khulu ra tibuku)�1100 livros� gidi ra tibuku ni dzana�

1111 livros� gidi ra tibuku ni dzana ni khume ni yin’we�

1985 livros� gidi ra tibuku ni ntlhanu wa madzana ni mune ni ntlhanu wa makume ni manharhu na ntlhanu�

100000 livros� dzana ra magidi ra tibuku 1000000

livros�gidi ra magidi ya tibuku �

Além desta forma de composição dos numerais em que eles

antecedem o nome, pode-se usar a forma em que o nome antecede o numeral e, neste caso, o extra prefixo de dependência é o do nome quantificado:

Tibuku ta mune/ Mune wa tibuku � quatro livros�Svifambu sva ntlhanu wa makume ni rin’we/ Ntlhanu wa makume ni (kume) rin’we ya svifambu �

sessenta sapatos�

Esta combinação dos oito termos para expressar todos os

numerais é analítica. O “Tsonga Terminology and Ortography nº 3” regista um outro sistema de contagem em changana que é sintético e tem a vantagem de que os numerais entre 5 e 10 também são expressos pelo seu próprio termo, nomeadamente, tsevu “seis”, nkombo “sete”, nhungu “oito” e kaye “nove”. São nomes do género mu-va (classes 1 e 2). Neste sistema de contagem, há ligeiras diferenças no modo como os termos são combinados na composição dos numerais, como se pode observar nos exemplos que se seguem:

6 livros:� tibuku ta tsevu �7 livros:� tibuku ta nkombo�

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8.livros:� tibuku ta nhungu 9 livros: tibuku ta kaye

10 livros: tibuku ta khume 11 livros: tibuku ta Khumen’we�

12 livros:� tibuku ta khumembirhi�15 livros:� tibuku ta khumentlhanu�

16 livros:� tibuku ta khumetsevu 20 livros:� tibuku ta khummbirhi/makumembirhi�21 livros:� tibuku ta khumbirhin’we/makumenbirhin’we 30 livros: � tibuku ta khunharhu/makumenharhu 90 livros:� tibuku ta Khukaye/makhumekaye�

100 livros:� tibuku ta dzana 101 livros:� tibuku ta dzanariwe�

113 livros:� tibuku ta dzana khumenharhu�

500 livros:� tibuku ta dzantlhanu/madzanantlhanu�

1000 livros:� tibuku ta gidi 1111 livros:� tibuku ta gidi dzana khumen’we�

100 000 livros:� tibuku ta dzagidi/ magididzana

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Ronga

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia

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2.17 Numerais na língua Ronga Fonte: José L. Quintão, Gramática de Xironga (Landim), Agência

Geral das Colónias, Lisboa, 1951, p. 73-75

Em xironga, só temos os numerais de 1 a 5: ñwe, birji, rjarju, mune, nthanu; temos, além destes, uma dezena: khume, e uma centena: dzana.

Com estes numerais formam-se todos os outros números. Ñwe, birji e rjarju, são adjectivos pertecentes à 2ª série. Mune, nthanu, são substantivos pertencentes à classe mu-mi. Kume (pl. makume, sem aspiração), dzana, são substantivos pertecentes à classe dji-ma. Exemplo com um nome da 3ª cl. (yi-ti): huku, galinha.

1� (huku) yiñwe�

2� (tihuku) tibirji 3� (tihuku) tirjarju 4� mune wa (tihuku) 5� nthanu wa... 6� nthanu wa ... na yiñwe 7� nthanu wa ... na tibirji 8� nthanu wa ... na tirjarju 9� nthanu na mune wa (tihuku)

10� khume dja (tihuku) 11� khume dja ... na yiñwe 12� khume dja ... na tibirji 13� khume dja ... na tirjarju 14� khume na mune wa (tihuku) 15� khume na nthanu wa (tihuku) 16� khume na ntlhanu wa ... na yiñwe 17� khume na ntlhanu wa ... na tibirji 18� khume na ntlhanu wa... na tirjarju 19� klhume na ntlhanu na mune wa (tihuku) 20� makume mabirji ya (tihuku) 21� makume mabirji ya ... na yiñwe. 22� makume mabirji ya ... na tibirji 23� makume mabirji ya ... na tirjarju

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24� makume mabirji na mune wa (tihuku)�25� makume mabirji na nthanu wa (tihuku) 26� makume mabirji na nthanu wa ... na yiñwe 27� makume mabirji na nthanu wa ... na tibirji 28� makume mabirji na nthanu wa ... na tirjarju 29� makume mabirji na nthanu na mune wa (tihuku) 30� makume marjarju ya (tihuku) 40� mune wa makume ya (tihuku) 50� mthanu wa makume ya (tihuku) 60� nthanu wa makume na khume djiñwe dja ... 70� nthunu wa makume na makume mabirji ya ... 80� nthanu wa makume na makume marjarju ya ... 90� nthanu wa makume na mune wa makume ya ... 99� nthanu wa makume na mune wa makume na nthanu na

mune wa 100� dzana dja tihuku 101� dzana dja (tihuku) na yiñwe 120� dzana na makume mabirji ya ... 150� dzana na nthanu wa makume ya ... 200� madzana mabirji ya ... 300� madzana marjarju ya ... 400� mune wa madzana ya ... 500� nthanu a madzana ya ... 600� nthanu wa madzana na dzana djiñwe dja ... 700� nthanu wa madzana na madzana mabirji ya ... 800� nthanu wa madzana na maryarju wa madzana ya ... 900� nthanu wa madzana na mune wa madzana ya ...

1000� khume dja madzana ya..., etc. Quando os números são substantivos pode fazer-se a construção de duas maneiras:

nthanu wa tihomu ou tihomu ta nthanu - 5 bois khume dja bsilembe ou bsilembe bsa khume - 10 chapéus nthanu wa tihomu na tihomu tibirji - 7 bois, ou tihomu ta nthanu na tibirji - 7 bois

Contudo o primeiro processo é mais seguido.

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Nota: A gente nova diz bidji em vez de birji, parecendo que birji seja um som de transição. rjarju, também muita gente a substitui por nharju.


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Swazi

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


113

2.18 Numerais na língua Swazi Fonte: D. Ziervogel, Grammar of Swazi, Witwatersrand University

Press, Johannesburgo, 1952, p.53-54 O adjectivo “enumerativo” a. Os adjectivos pertencentes ao primeiro grupo do adjectivo

“enumerativo” são os numerais de 2 a 5 juntamente com -ngaki. Têm as mesmas concordâncias que os adjectivos “predicativos” e não diferem deles na forma, mas somente no significado e no tom. O significado transmitido por estes adjectivos é também “atributivo” sem, no entanto, transmitir uma proposição relativa. Compare:

tinkomo timbili� duas vacas�tinkomo timbili� as vacas são duas

tinkomo letimbili� vacas que são duas; duas vacas utsenge tintsatfu tinkabi� ele comprou três vacas ngibite bangaki bafana?� quantos rapazes devo chamar?

b. As raízes enumerativas adjectivais -nye (um), -ni? (de que

género?) e -phi? (que?, quais?) diferem das raízes acima mencionadas nos aspectos seguintes: i. têm concordâncias diferentes para as classes 9 e 10; ii. têm uma forma copulativa especial.

Estas três raízes assumem as formas seguintes com as suas concordâncias:

classe

1 munye� muni� muphi�2 banye� bani� baphi�3 munye� muni� muphi�4 minye� mini� miphi�5 linye� lini� liphi�6 manye� mani� maphi�7 sinye� sini� siphi�

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8� tinye� tini tiphi 9� (y)inye (y)nii (y)iphi

10� tinye tini tiphi 11� lunye luni luphi 14� bunye buni buphi 15� kunye kuni kuphi 17� kunye kuni kuphi

Compare: munye umfana (um rapaz), munye umfana (o rapaz é um), mas:

umfana lomunye (mais um rapaz) luhlobo luni? (que tipo?, que género?) muphi umfana? (qual rapaz?)

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Zulu

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia

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2.19 Numerais na língua Zulu Fonte: Clement Doke, Textbook of Zulu grammar, Longmans

Southern Africa (1927), Johannesburgo, 1968, p. 325-327 1 -nye. O numeral para “um” é usado duma maneira bastante

única. Associado com ele em formação concordial há apenas três outras raízes Zulu, -phi? (quais?), -ni? (que?) e -mbe (um diferente).

classe� classe

1 umuntu munye 5 inkabi inye 2 umuthi munye 6 uthi lunye 3 i:hashi linye 7 ubuso bunye 4 isilo sinye 8 ukudla kunye

Os numerais adjectivais (usados com concordâncias adjectivais):

2 -bili 3 -thathu 4 -ne 5 -hlanu

ababili emibili amabili ezimbili obubili okubili abathathu emithathu amathathu ezinthathu obuthathu okuthathu abane emine amane ezine obune okune abahlanu emihlanu amahlanu ezinhlanu obuhlanu okuhlanu

Para exprimir o numeral “cinco”, utiliza-se também frequentemente a construção relativa com o substantivo isihlanu. Assim: abantu abayisihlanu., etc. Os numerais relativos (a raiz do substantivo é conjugada para ficar um copulativo, e o resultante é usado com as concordâncias relativas): 6 isithupha (lit. o polegar)

abantu abayisithupha (seis pessoas) imithi eyisithupha (seis árvores) amahashi ayisithupha (seis cavalos)

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izinto eziyisithumpha (seis objectos) ubuso obuyisithumpha (seis caras) ukudla okuyisithumpha (seis refeições)

7 isikhombisa (lit. o indicador)

abantu abayisikhombisa (sete pessoas) imithi eyisikhombisa (sete árvores) izinto eziyisikhombisa (sete objectos)

8 isishiyagalombili (lit. o deixar de dois dedos)

abantu abayisishiyagalombili (oito pessoas) amahashi ayisishiyagalombili (oito cavalos)

9 isishiyagalolunye (lit. o deixar de um dedo)

ukukhanya okuyisishiyagalolunye (nove luzes) 10 i:shumi (um grupo de dez)

abantu abali:shumi ou abantu abayi:shumi ou abantu abayilishumi (dez pessoas) amahashi ayi:shumi (dez cavalos) izinto ezili:shumi (dez objectos)

Em algumas zonas utiliza-se isibhozo para 8, e i:thoba para 9. Numerais compostos:

11� i:shumi nanye�

12� i:shumi nambili 13� i:shumi nantathu 14� i:shumi nane 15� i:shumi nanhlanu ou i:shumi nesihlanu 16� i:shumi nesithupha 17� i:shumi nesikhombisa 18� i:shumi nesishiyagalombili 19� i:shumi nesishiyagalolunye 20� amashumi amabili 21� amashumi amabili nanye 22� amashumi amabili nambili

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26� amashumi amabili nesithupha�

29� amashumi amabili nesishiyagalolunye 30� amashumi amathathu 40� amashumi amane 50� amashumi amahlanu ou amashumi ayisihlanu 60� amashumi ayisithupha 70� amashumi ayisikhombisa 80� amashumi ayisishiyagalombili 90� amashumi ayisishiyagalolunye 99� amashumi ayisishiyagalolunye nesishiyagalolunye

100� i:khulu 458� amakhule amane namashumi ayisihlanu

nesishiyagalombili 1000� inkulungwane

Exemplos:

abantu abali i:shumi nanye (onze pessoas) izinkomo ezingamashumi amabili (20 vacas) amakhosi aamashumi (ou angamashumi) amabili (20 chefes) amabutho ayi:khulu (100 soldados) imithi eyinkulungwane (mil árvores) amabutho ayizinkulungwane eziyisikhombisa namakhulu ayisithupha namashumi ayisishiyagalolunye nane (7694 soldados)

Cap. 3: Fontes orais

119

Capítulo 3 Fontes orais sobre a numeração e a contagem em

Moçambique

3.1 Quadros da numeração falada nas línguas bantu de Moçambique


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Swahili Makonde Yao

1 moja mo mo

2� mbili bili, vili widi, wili 3 tatu natu, tatu tatu

4 nne ncheche mcheche

5 tanu nwanu msano

6 sita mwanu na mo msano na mo

7 saba mwanu na bili msano na widi 8 nane mwanu na natu msano na tatu

9 tisa mwanu na ncheche

msano na mcheche

10 kumi kumi kumi 11 kumi na

moja kumi na mo kumi kwisa mo

12 kumi na mbili

kumi na bili kumi kwisa widi

13 kumi na tatu kumi na natu kumi kwisa tatu

14 kumi na nne kumi na ncheche kumi kwisa mcheche

15 kumi na tanu kumi na mwanu kumi kwisa msano

16 kumi na sita kumi na mwanu na mo

kumi kwisa msano na mo

17 kumi na saba

kumi na mwanu na bili

kumi kwisa msano na widi

18 kumi na nane

kumi na mwanu na natu

kumi kwisa msano na tatu

19 kumi na tisa kumi na mwanu na ncheche

kumi kwisa msano na mcheche

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Swahili� Makonde Yao

20� ishirini� makumi mabili makumi mawidi 30� salasini makumi manatu makumi matatu

40� arbaini makumi ncheche makumi mcheche

50� amsini makumi mwanu makumi msanu

60� sitini makumi mwanu na mo

makumi msano na mo

70� sabini makumi mwanu na mabili

makumi msano na widi

80� samanini makumi mwanu na manatu

makumi msano na tatu

90� tisaini makumi mwanu na mcheche

makumi msano na mcheche

100� mia imiya lichila

200� mia mbili dimia mbili machila mawidi 1000� elfu yelupo machila makumi

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�

Mwani� Makhuwa / Lóhmé

Cóti

1� m’moja� mosa móti 2� mbire pili piri 3� natu tharu, raru tathú

4� n’né sheshe nne

5� n’tano thanu thánu

6� sita thanu na mosa sithá

7� saba thanu na pili sabá

8� nane thanu na tharu nane

9� khénta thanu na sheshe tísya

10� kume mulockó khumi 11� kume na

m’moja mulockó na mosa khumi na móti

12� kume na mbire

mulockó na pili khumi na piri

13� kume na natu

mulockó na tharu khumi na tathú

14� kume na n’né

mulockó na sheshe

khumi na nne

15� kume na n’tano

mulockó na thanu

khumi na thánu

16� kume na sita mulockó na thanu na mosa

khumi na sithá

17� kume na saba

mulockó na thanu na pili

khumi na sabá

18� kume na nane

mulockó na thanu na tharu

khumi na nane

19� kume na khénta

mulockó na thanu na sheshe

khumi na tísya

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��123

Mwani� Makhuwa / Lóhmé

Cóti

20� shirini� milockó mili eshirini 30� talatini milockó miraru talathini 40� arubaine milockó misheshe arubaini 50� amusine milockó mithanu hamusini 60� sitine milockó mithanu

na mosa sithini

70� sabine milockó mithanu na mili

sabini

80� tamanine milockó mithanu na miraru

thamanini

90� tusuine milockó mithanu na misheshe

tuswini

100� mia emia mia

200� mia mbire emia pili mia piri 1000� álufu álufu, emia

mulockó álufu

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124

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Nyanja� Lolo Chuwabo

1� modzi� moy modha

2� wiri m’bily bili 3� tatu taru tharu

4� nai nay nai 5� sanu tanu tanu

6� sanu ndi modzi tanu na moy tanu na modha

7� sanu ndi wiri tanu na m’bily tanu na bili 8� sanu ndi tatu tanu na taru tanu na tharu

9� sanu ndi nai tanu na nay tanu na nai 10� khumi kumi kumi 11� khumi ndi modzi kumi na moy kumi na modha

12� khumi ndi wiri kumi na m’bily kumi na bili 13� khumi ndi tatu kumi na taru kumi na tharu

14� khumi ndi nai kumi na nay kumi na nai 15� khumi ndi sanu kumi na tanu kumi na tanu

16� khumi ndi sanu ndi modzi

kumi na tanu na moy

kumi na tanu na modha

17� khumi ndi sanu ndi wiri

kumi na tanu na m’bily

kumi na tanu na bili

18� khumi ndi sanu ndi tatu

kumi na tanu na taru

kumi na tanu na tharu

19� khumi ndi sanu ndi nai

kumi na tanu na nay

kumi na tanu na nai

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��125

Nyanja� Lolo Chuwabo

20� makhumi awiri� makumely makumi meli 30� makhumi atatu makumi mataru makumi matharu

40� makhumi anai makumi manay makumi manai 50� makhumi asanu makumi matanu makumi matanu

60� makhumi asanu ndi modzi

makumi matanu na moy

makumi matanu na modha

70� makhumi asanu ndi wiri

makumi matanu na mely

makumi matanu na meli

80� makhumi asanu ndi tatu

makumi matanu na mataru

makumi matanu na matharu

90� makhumi asanu ndi nai

makumi matanu na manay

makumi matanu na manai

100� dzana zana zana

200� madzana awiri makumely makumi meli 1000� cikwi, madzana

khumi makumi mataru makumi matharu

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126

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Dema� Nyungwe Sena

1� posi� posi posi 2� piri piri piri 3� tatu tatu tatu

4� nai nai nai 5� xanu xanu xanu

6� tanthatu tandhatu thandatu

7� nomwe cinomwe xinomwe

8� sere sere sere

9� pfemba pfemba femba

10� khumi khumi khumi 11� khumi na posi khumi na posi khumi na posi 12� khumi na piri khumi na piri khumi na piri 13� khumi na tatu khumi na tatu khumi na tatu

14� khumi na nai khumi na nai khumi na nai 15� khumi na xanu khumi na xanu khumi na xanu

16� khumi na tanthatu

khumi na tandhatu

khumi na thandatu

17� khumi na nomwe khumi na cinomwe

khumi na xinomwe

18� khumi na sere khumi na sere khumi na sere

19� khumi na pfemba khumi na pfemba khumi na femba

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��127

Dema� Nyungwe Sena

20� makhumi mawiri� makhumi mawiri makhumimawiri 30� makhumi matatu makhumi matatu makhumi matatu

40� makhumi manai makhumi manai makhumi manai 50� makhumi maxanu makhumi maxanu makhumi

maxanu

60� makhumi matanthatu

makhumi matandhatu

makhumi matant’atu

70� makhumi manomwe

makhumi manomwe

makhumi manomwe

80� makhumi masere makhumi masere makhumi masere90� makhumi

mapfemba makhumi mapfemba

makhumi mafembamwe

100� dzana dzana dzana

200� dzana mairi madzana mawiri madzana mawiri 1000� culu culu cikwi

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128

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Senga� Shona / Ndau Tshwa

1� mo� posi, possa nwe

2� wiri piri mbiri 3� tatu tatu nharu

4� nai cina mune

5� sanu shanu ntchanu

6� sanu na mo tandhatu ntchanu ni nwe

7� sanu na wiri nomwe ntchanu ni mbiri 8� sanu na tatu sere ntchanu ni nharu9� sanu na nai pfemba,

pfumbamwe ntchanu ni mune

10� kumi gumi khume

11� kumi na mo gumi na posi khume ni nwe

12� kumi na wiri gumi na piri khume ni mbiri 13� kumi na tatu gumi na tatu khume ni nharu

14� kumi na nai gumi na cina khume ni mune

15� kumi na sanu gumi na cina khume ni ntchanu

16� kumi na sanu na mo

gumi na tandhatu khume ni ntchanu ni nwe

17� kumi na sanu na wiri

gumi na nomwe khume ni ntchanu ni mbiri

18� kumi na sanu na tatu

gumi na sere khume ni ntchanu ni nharu

19� kumi na sanu na nai

gumi na pfemba khume ni ntchanu ni mune

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��129

Senga� Shona / Ndau Tshwa

20� makumi awiri� magumi mairi makhume mambiri

30� makumi atatu magumi matatu makhume manharu

40� makumi anai magumi mana mune wa makhume

50� makumi asanu magumi mashanu tlhanu wa makhume

60� makumi asanu na imo

magumi matanthatu

tlhanu wa makhume ni nwe

70� makumi asanu na awiri

magumi manomwe

tlhanu wa makhume ni mambiri

80� makumi asanu na atatu

magumi masere tlhanu wa makhume ni manharu

90� makumi asanu na anai

magumi mapfemba

tlhanu wa makhume ni mune

100� makumi-kumi zana dzana

200� makumi kumi awiri

mazana mairi madzana mambiri

1000� makumi-kumikumi

cihuru khume ga madzana

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Tsonga / Changana� Gitonga

1� n’we� mwe

2� mbirhi mbili 3� nharu tharu

4� mune na

5� ntlhanu libhandre

6� ntlhanu ni n’we libhandre na mwe

7� ntlhanu ni mbirhi libhandre na mbili 8� ntlhanu ni nharu libhandre na tharu

9� ntlhanu ni mune libhandre na na na

10� khume khumy

11� khume ni n’we khumy na mwe

12� khume ni mbirhi khumy na mbili 13� khume ni nharu khumy na tharu

14� khume ni mune khumy na na

15� khume ni ntlhanu khumy na libhandre

16� khume ni ntlhanu ni n’we

khumy na libhandre na mwe

17� khume ni ntlhanu ni mbirhi

khumy na libhandre na mbili

18� khume ni ntlhanu ni nharu

khumy na libhandre na tharu

19� khume ni ntlhanu ni mune

khumy na libhandre na ne

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��131

Tsonga / Changana� Gitonga

20� makume mambirhi� makhumy mavili 30� makume manharhu makhumy mararu

40� mune wa makume makhumy mana

50� ntlhanu wa makume libhandre makhumy 60� ntlhanu wa makume

ni n’we libhandre na mwe makhumy

70� tlhanu wa makume ni mambirhi

libhandre na mavili makhumy

80� tlhanu wa makume ni manharhu

libhandre na mararu makhumy

90� tlhanu wa makume ni mune

libhandre na mana makhumy

100� dzana dzana

200� madzana mambirhi madzana mavili 1000� khulu likhumi madzana

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Chope� Ronga

1� mué� -ñwe

2� mbiri birji 3� raru rjarju

4� mune mune

5� ntchanu nthanu

6� ntchanu ni mué nthanu ni -ñwe

7� ntchanu ni mbiri nthanu ni birji 8� ntchanu ni raru nthanu ni rjarju

9� ntchanu ni mune nthanu ni mune

10� gume khume

11� gume ni mué khume ni -ñwe

12� gume ni mbiri khume ni birji 13� gume ni raru khume ni rjarju

14� gume ni mune khume ni mune

15� gume ni ntchanu khume ni nthanu

16� gume ni ntchanu ni mué

khume ni nthanu ni -ñwe

17� gume ni ntchanu ni mbiri

khume ni nthanu ni birji

18� gume ni ntchanu ni raru

khume ni nthanu ni rjarju

19� gume ni ntchanu ni mune

khume ni nthanu ni mune

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Chope� Ronga

20� makume mambidi� makume mabirji 30� makume mararu makume marjarju

40� mune uà makume mune wa makume

50� ntchanu uà makume thanu wa makume

60� ntchanu uà makume thanu wa makume na khume

70� ntchanu uà makume thanu wa makume na makume mabirji

80� ntchanu uà makume thanu wa makume na makume marjarju

90� ntchanu uà makume thanu wa makume na mune wa makume

100� dzana dzana

200� madzana mabidi madzana mabirji 1000� khulu khume dja madzana

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3.2 Métodos populares de contagem em Moçambique 1

Introdução

No contexto do Projecto de Investigação ‘Etnomatemática’ e enquadrado no capítulo sobre os “Sistemas de numeração e práticas de contagem” na disciplina de “Matemática na História” leccionada pelo Professor Paulus Gerdes e com a assistência dos docentes Maurício Nhancolo (falecido), Daniel Soares, Abdulcarimo Ismael e Marcos Cherinda, nos cursos de Licenciatura em Ensino da Matemática e Física, e no curso de Licenciatura em Educação Matemática do Ensino Primário na Universidade Pedagógica, em Maputo, e na sua Delegação na Beira respectivamente, realizou-se um inquérito sobre “métodos populares de contagem em Moçambique” no seio dos estudantes dos cursos atrás referidos (anos 1989-1992). Idêntico inquérito foi realizado em 1992 no Instituto Médio Pedagógico em Nampula.

Em seguida apresentam-se algumas das informações recolhidas nos referidos inquéritos. A contagem por nós

A contagem por nós pode ser encontrada em várias províncias de Moçambique e é utilizada em diversos contextos, dos quais se destacam a contagem dos meses do ano, duração de grandes caçadas, idade de pessoas e tempo de gravidez, nas Províncias de Cabo Delgado e Nampula; a contagem de animais domésticos, tais como bois, cabritos e galinhas, e de animais de caça nas Províncias de Maputo e Nampula.

Na Província de Cabo Delgado, malundu (língua makonde) é um método de contagem através de nós. A própria palavra malundu, cujo singular é vilundo, significa nó(s). Este método é usado para indicar os meses do ano, a idade de crianças e o tempo de duração de longas caçadas. 1 Elaborado por Abdulcarimo Ismael e Daniel Soares na base de um

inquérito realizado no seio de estudantes da Universidade Pedagógica.

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Milundu é usado também para contar os meses de gravidez duma mulher; assim se consegue determinar o período do parto, que é depois de 9 meses. Vilundu é também usado para controlar a duração de construção duma casa, a duração do desenvolvimento duma criança até se sentar, andar, etc.

Para grandes caçadas que normalmente duravam mais do que uma semana, as pessoas daquela região do país levavam uma peça de capulana ou corda de aproximadamente um metro. Para cada dia que passava era feito um nó naquela peça, de tal forma que no fim de caçada se contavam o número de nós e se sabia quanto tempo tinha levada a caçada. Nalgumas regiões de Cabo Delgado onde se nota uma certa influência da religião Islâmica, o método malundu é usado na contagem de meses do calendário Islâmico. Para se saber quando é o mês de jejum, ou seja o mês de Ramadan, toma-se como referência o período anterior de jejum. Quando a lua nova aparece, imediatamente depois do mês de jejum, é feito um nó; nos meses seguintes são feitos nós de cada vez, até se terem 11 nós; o 12º nó corresponde então ao novo mês de jejum. Malundu é também usado para controlar a idade duma criança. Assim, se uma criança nasce no 5º mês do calendário Islâmico, só se faz um vilundo passados 12 meses lunares, ou seja quando aparece o 5º mês seguinte.

Nluthó ou Nlutché (língua makhuwa-lomwé), que também significa “nó”, é um método de contagem em nós utilizado na Província de Nampula, fundamentalmente para contar animais domésticos e também nalguns casos para a contagem do tempo. Neste caso concreto conta-se o tempo que vai da data da morte duma pessoa até 40 dias, altura em que se deve fazer a cerimónia do defunto denominada “Arybaini” (em língua árabe), segundo a religião Islâmica. Após o falecimento vão-se fazendo nós numa corda para cada dia que passa, o que permite saber-se exactamente o dia da cerimónia do defunto.

No caso de contagem de animais domésticos os nós são feitos numa corda; na corda são atados tantos nós quantas cabeças de gado existem no curral. Quando, de manhã cedo o gado vai ao pasto, é contado à medida que sai do curral através dos nós, e ao anoitecer, depois do pasto, o gado é novamente contado à medida que vai entrando no curral. Deste modo pode-se fazer um controle exacto do gado. De realçar que este método é também usado para a contagem e


136

controle de quantidades de outro tipo de animais domésticos tais como cabritos, galinhas, patos, etc.

Há factos que nos levam a crer que este método de contagem era utilizado em vários outros contextos. Em Nampula era utilizado por trabalhadores assalariados para a contagem dos dias de trabalho, o que lhes permitia depois comparar com o salário que recebiam e saber se o salário era real ou não.

Fundzu ou mafundzu (língua ronga), é uma forma de contar por nós, vulgarmente utilizada na província de Maputo para contar animais que uma família possui. Para cada cabeça de gado que certa família possuísse, esta fazia um nó numa corda de sisal; o número de nós correspondia ao número de cabeças de gado. Se nascessem mais animais, eram feitos mais nós na corda; se morressem, por doença, ou se fossem abatidas para o consumo, ou se fossem vendidas tantas cabeças, era desatado um número correspondente de nós. No caso duma família que possuísse mais do que uma espécie de animais domésticos, existia uma corda para cada espécie.

A contagem por pedrinhas

A contagem por pedrinhas pode ser encontrada em várias partes de Moçambique, em particular nas Províncias de Gaza e Tete.

Xiguama xa xibala (língua changana), refere-se a um cesto que contém pedrinhas. Trata-se de um método de contagem utilizado na província de Gaza para controlar a quantidade de animais no curral. O pastor dirige-se diariamente ao curral com o seu xiguama xa xibala para controlar o número de cabeças de gado; ele tira um por um os animais do curral, ao mesmo tempo que vai tirando pedrinhas, também uma por uma, do cesto, colocando-as em fila no chão. Se resta alguma pedrinha no saco significa que está a faltar algum animal que pode ter-se perdido ou ter ido para outro curral. O pastor pode sempre saber quantos animais há no curral. No caso em que se nota que existem mais animais do que as pedrinhas pode-se concluir que houve reprodução ou há lá animais de outros currais.

Mwala ou Myala (língua senga), que significa pedra, é uma forma de contagem geralmente utilizada para a contagem de animais domésticos, tais como galinhas, cabritos, patos, etc. Este método é


137

utilizado na Província de Tete. Todas as manhãs é feito o controle por alguém, um rapaz ou uma menina, que seja um membro da família. Ele(a) dirige-se ao estábulo ou curral onde se encontram os animais, na altura em que estes saem para o pasto; com um número de pedrinhas ele(a) vai pondo um pedrinha no chão ou passando-a duma mão para outra, à medida que os animais vão saindo. No fim ele(a) leva as pedrinhas correspondentes ao número de animais que foram ao pasto. Ao anoitecer, quando os animais se dirigem ao estábulo ou curral, é repetido o processo com as pedrinhas levadas naquela manhã. Assim que se nota que restam algumas pedrinhas, isto significa que estão a faltar alguns animais e assim ele(a) vai logo procurá-los. Se ele(a) se apercebe que há mais animais do que pedrinhas, vai imediatamente verificar se há de facto mais animais, se houve reprodução, ou se algum vizinho teria perdido alguns dos seus animais.

A contagem por tracinhos

A contagem por tracinhos é encontrada em diferentes contextos nas Províncias de Zambézia, Gaza, Inhambane e Nampula.

Mulobuó , plural milobuó (língua chuabo), que significa “parte duma folha de palmeira”, é um método de contagem utilizado por camadas jovens na Província da Zambézia para a contagem dos golos de cada equipa, num jogo de futebol. Deste modo consegue-se saber qual é a equipa vencedora.

Toma-se uma folha de palmeira e divide-se em duas partes iguais, correspondente a cada equipa em campo; cada uma destas partes chama-se mulobuó. Cada mulobuó fica na posse do capitão de cada uma das equipas. À medida que o jogo vai decorrendo, por cada golo que é marcado é feito um tracinho no mulobuó na presença do capitão da outra equipa para se evitarem irregularidades. No fim do jogo as equipas encontram-se para comparar os milobuó (plural) e a equipa que tiver mais tracinhos no Mulobuó ganha o jogo. Acontece que às vezes não há tempo para se contarem os tracinhos. Nestes casos apenas se compara o comprimento da parte dos Milobuó que contém os tracinhos e a equipa que tiver maior comprimento ganha o jogo.

Swivati (língua changana) é uma forma de contagem geralmente usada para a contagem da quantidade de dinheiro ou de animais paga como lobolo. Este método é frequente na Província de Gaza e consiste


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no seguinte: para cada animal, que pode ser boi, cabrito, galinha ou pato, ou para cada nota de 100 meticais (ou escudos antigamente), é feita uma marca, um tracinho no tronco da árvore mais próxima da casa, de preferência a mais alta e de longa vida. Cada grupo de marcas, cada grupo de swivati, o que corresponde a cada lobolo, pode depois ser sempre consultado.

Na Província de Inhambane utilizavam-se tracinhos para indicar as idades das pessoas, na contagem do número de animais num curral, do número de animais mortos na caça, etc.

Depois do nascimento duma criança as pessoas geralmente dirigem-se a uma árvore grande e antiga e lá fazem um risco no tronco desta com um golpe de catana ou faca; o golpe representa então essa ocorrência. Em cada ano seguinte é feito um risco diferente, e assim sucessivamente até a criança atingir a maturidade, ou seja, no contexto cultural considerado, quando a criança atinge o momento em que pode velar pela sua própria vida; no caso de rapaz, quando trabalha, e no caso da rapariga, quando se casa.

A contagem de animais por este método é feita da mesma maneira do que para a idade de pessoas, isto é, para cada animal existente é feito um risco no tronco duma árvore ou num ramo de tronco. O número de riscos ou tracinhos no tronco ou ramo de árvore corresponde assim ao número de animais existentes no curral.

O ramo contendo os tracinhos ou riscos que indicam a quantidade dos animais é depois entregue ao chefe da família para controlar os animais. No caso de se verificar uma reprodução é levado o ramo e são feitos nele tantos riscos quantos animais nasceram. No entanto no caso de morte ou abate de algum animal do curral, o nosso inquérito não conseguiu apurar qual era o procedimento para efeitos de controle. De realçar que para cada espécie de animais existe um ramo ou tronco diferente para evitar confusões.

Na caça é levado sempre um pau e nele é marcado um risco para cada animal que é apanhado.

Walaca ou Walakela (língua makhuwa) é uma forma geralmente usada para contar o número de pontos de cada equipa num jogo de cartas denominado Nthezó. Este método é usado em algumas regiões da Província de Nampula.


139

O jogo de cartas Nthezó é um dos mais populares divertimentos em regiões da Província de Nampula tais como Memba e Ilha de Moçambique. Antes do início de cada jogo é feito, numa folha de papel, um desenho para cada equipa. Este desenho consiste em três tracinhos com mais ou menos a mesma medida que se intersectam no meio, formando assim, mais ou menos, diagonais dum hexágono. No fim de cada série do jogo a equipa vencedora, que é a que tiver mais pontos, coloca uma bolinha numa das extremidades das linhas; no fim de tantas voltas a equipa que tiver ganho mais voltas é declarada equipa vencedora do jogo. No entanto, em certas ocasiões não contam tanto, as voltas que são realizadas, mais sim o número de partidas ganhas. Assim, no caso de terem sido realizados muitos jogos, compara-se o número de círculos, isto é, grupos de seis pontos ganhos e quem tiver mais círculos é automaticamente vencedor. Se se verificar que as equipas têm o mesmo número de círculos de seis pontos, são contados os pontos restantes e ganha a equipe que tiver mais pontos restantes.

Mbara, que significa “parte do cacho de cocos” numa palmeira que se parece com a casca de feijão verde, é também usado para contar o número de palmeiras escaladas num certo período de tempo durante a colheita de cocos na Província de Inhambane.

Antes do início da colheita os trabalhadores preparam um Mbara. À medida que vão escalando as palmeiras de onde colhem os cocos eles vão pegando no Mbara e fazendo marcas com ajuda duma faca ou catana; a marca é feita não como um simples risco, mas sim na margem do Mbara, de tal forma que no fim se pareça com dentes dum animal. No fim de cada jornada de trabalho, o número de golpes no Mbara corresponde ao número de palmeiras escaladas.

Okwenhenha (língua makhuwa) é um meio de contar por riscos feitos no chão, na areia, utilizado na Província de Nampula, para contar o número de tiras de palhas evitando-se assim enganos na feitura de cestos, permitindo que o cesto apresente uma forma bonita. Os riscos são agrupados desta feita em 4, perfazendo 2 subgrupos de dois a dois, todos formando por sua vez dois grupos de riscos paralelos cruzados.


140

Contagem por pauzinhos

Miri (língua makhuwa-lóhmwé) é um método de contagem utilizado em algumas regiões da Província de Nampula para contar galinhas quando entram para a capoeira, como forma de verificar se estão ou não completas. Arranja-se um número determinado de pauzinhos correspondentes ao número de galinhas existentes na capoeira; depois, ao entardecer, pegam-se estes pauzinhos e vai-se controlando a entrada das galinhas para a capoeira; por cada galinha que entra vai-se retirando para outro lado um pauzinho. Deste modo consegue-se saber se todas as galinhas voltaram ou não para a capoeira.

Considerações finais

Os métodos de contagem que aqui apresentamos foram-nos facultados por estudantes dos cursos atrás referidos, através de inquéritos escritos. É natural que ao analisar determinados aspectos surjam algumas questões por esclarecer, que os próprios estudantes não podem fazer. A maior parte dos estudantes afirmaram terem aprendido estes métodos com os seus avós ou bisavós ou terem visto estes a utilizá-los; logicamente pode-lhes ter escapado algum aspecto importante do método.

Existem dúvidas, por exemplo, sobre em que medida são ainda são utilizados hoje em dia.

Convidam-se os leitores a contribuírem ou a recolherem mais informações sobre métodos populares de contagem em Moçambique. Queira enviar as suas informações para um dos Departamentos de Matemática da Universidade Pedagógica: Departamento de Matemática, UP, C.P. 2923, Maputo; Departamento de Matemática, UP, C.P. 2025, Beira.

Cap. 4: Tabelas e mapas

141

Capítulo 4 Tabelas e mapas comparativos relativos à numeração

falada em Moçambique 1

Situada na região oriental da África Austral, com 786380 km2 de área terrestre, banhada inteiramente a Leste pelo Oceano Índico, com um comprimento de costa de 2515 km, a população de República de Moçambique é maioritariamente de língua materna bantu. Dados do Recenseamento Geral da População de 1980 indicam que mais de 90% da população moçambicana tem línguas maternas bantu.

Com base em textos publicados e inquéritos realizados no seio de estudantes da Universidade Pedagógica elaboraram-se algumas tabelas e mapas que ilustram as semelhanças e as diferenças entre os sistemas verbais de numeração nas línguas bantu faladas em Moçambique.

A Tabela 4.1 apresenta uma listagem dos numerais simples (a partir dos quais se formam os restantes) de “um” até “cem”. É de notar a existência de dois grupos de sistemas de numeração: um de uma única base “dez”, e outro de base “dez” com base auxiliar “cinco”. A distribuição geográfica destes grupos apresenta-se no Mapa 4.6.

Na Tabela 4.2 compara-se a estrutura dos numerais. A notação 5 + P refere-se a “cinco mais uma parcela”, em que a parcela pode ser um, dois, três, ou quatro. As notações 10 x f, 10 x F e F x 10 indicam uma multiplicação à direita ou à esquerda de “dez” por um factor de multiplicação.

1 Elaborado por Abílio Mapapá e Evaristo Uaila na base de um

inquérito realizado no seio de estudantes da Universidade Pedagógica.


142

O Mapa 4.1 indica as regiões do país em que os numerais para “um” têm a mesma raíz. É de notar que tanto os numerais para “dois” como os para “três” têm em todo o país a mesma raíz.

O Mapa 4.2 indica as regiões do país em que os numerais para “quatro” têm a mesma raíz.

O Mapa 4.3 indica as regiões do país em que os numerais para “cinco” têm a mesma raíz.

O Mapa 4.4 indica as regiões do país em que os numerais para “dez” têm a mesma raíz.

O Mapa 4.5 indica as regiões do país em que os numerais para “cem” têm a mesma raíz.


143

Tabela 4.1 Numerais simples nas línguas bantu de Moçambique

1

2 3

Makonde -mo -bili, -vili -natu, -tatu Yao -mo -widi, -wili -tatu

Makhuwa -mosa -pili, -ili -tharu, -raru Lolo -moy -m’bily -taru

Chuwabo -modha -bili -tharu Nyanja /Cheua -modzi -wiri -tatu

Senga -mo -wiri -tatu Tshwa -nwe -mbiri -nharu

Tsonga / Changana

-n’we --mbirhi -nharu

Gitonga -mwe -mbili -tharu Chope -mué -mbiri -raru Ronga -ñwe -birji -rjarju Swahili -moja -mbili -tatu

Còti -moti -piri -thathu Nyungwe -posi, -bodzi, -

modzi -piri -tatu

Sena -bodzi -wiri -tatu Shona / Ndau -posi, -possa -piri -tatu

Zulu -nye -bili -thathu

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(continuação)

4

5 6

Makonde -ncheche -nwanu Yao -mcheche -msano

Makhuwa -sheshe -thanu Lolo -nay -tanu

Chuwabo -nai -tanu Nyanja /Cheua -nai -sanu

Senga -nai -sanu Tshwa mune ntchanu

Tsonga / Changana 2

mune ntlhanu

Gitonga -na libhandre Chope mune ntchanu Ronga mune nthanu Swahili -nne -tanu sita

Còti -nne -thanu -sithá Nyungwe -nai -xanu -tant’atu

Sena -nai -xanu -tant’atu Shona / Ndau -na -shanu -tanthatu,

-tandhatu Zulu -ne -hlanu -isithupha

2 Existe outra variante da língua Changana, que se usa na África do

Sul, onde se tem os seguintes numerais simples: (6) tsevu, (7) nkombo, (8) nhungu, e (9) kaye.

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��145


(continuação)

7

8 9

Makonde Yao

Makhuwa Lolo

Chuwabo Nyanja /Cheua

Senga Tshwa

Tsonga / Changana

Gitonga Chope Ronga Swahili saba nane tisa

Còti -sabá -nane -tísya Nyungwe -chinomwe -sere -f’emba

Sena -nomeu -sere -f’emba Shona / Ndau -nomwe -sere -pfemba, -

pfumba Zulu -isikhombisa -isisshiyagalombili -isishiyagalolunye

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146


(conclusão)

10

100

Makonde kumi imiya Yao kumi lichila, licila

Makhuwa mulockó emia, mia Lolo kumi zana

Chuwabo kumi zana Nyanja /Cheua khumi dzana

Senga 3 kumi Tshwa khume dzana

Tsonga / Changana

khume dzana

Gitonga khumy dzana Chope gume dzana Ronga khume dzana Swahili kumi mia

Còti khumi mia Nyungwe k’umi dzana

Sena k’umi dz-ana Shona / Ndau gumi zana

Zulu i:shumi i:khulu

3 Na língua Senga, o numeral para “cem” tem a forma de 10 x 10,

dizendo-se makumi-kumi.


147

Tabela 4.2 Estrutura dos numerais nas línguas bantu de Moçambique

Numerais

6, 7, 8, 9

20, 30 40, 50 60, 70, 80

90

Base 10

Swahili Còti

Nyungwe Sena

Shona / Ndau Zulu

Forma simples

10xF

Makonde Yao

Makhuwa Lolo

Chuwabo Nyanja / Cheua Senga

10xF

10x5 + 10xf

Tshwa Tsonga /

Changana

5x10+4x10 ou

(5+4) x10

Base 10

com base

auxiliar 5

Gitonga Chope Ronga

5+P

10xF

Fx10

5x10

+ 10xf

5x10+4x10

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148

Mapa 4.1 Distribuição geográfica dos numerais para “um”

-nye

-mue

-nwe

-nwe

-posi-possa

-bodzi

-bodzi

-posi

-modzi

-modzi

-mo-mosa

-moy -mot

i

-mo-mo -m

oja

-n’we

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


149

Mapa 4.2 Distribuição geográfica dos numerais para “quatro”

-ne

mun

e

-na

-nai

-nai

-nne

-nne

-namune

-nai-sheshe

-msheshe

-nsheshe

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia

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150

Mapa 4.3 Distribuição geográfica dos numerais para “cinco”

-nwanu

-msano

-thanu-sanu

-sanu

ntch

anu

ntlh

anu

libhandre

nthanu

-thanu

-shanu

-shanu

-hlanu

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


151

Mapa 4.4 Distribuição geográfica dos numerais para “dez”

kumi

mulocko’

kum

i

khumi

k’umi

kumi

khume

k’humygume

khume

khumi

k’umi

gumi

i:shumi

kumi

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


152

Mapa 4.5 Distribuição geográfica dos numerais para “cem”

lichilalicila

dzana

imiya

mia

emia

miadzana

dzana

zana

dz-ana

zana

dzan

a

i:khulu

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


153

Mapa 4.6 Distribuição geográfica dos sistemas de numeração

Base "10" com base auxiliar "5"

Base "10"

Zambia

Malawi

Tanzania

Oceano Indico

Zimbabwe

Africa do Sul

Suazilandia


154

Cap. 5: Numeração e educação

155

Capítulo 5 Numeração e educação

5.1 Numeração falada como recurso na aprendizagem da aritmética 1

Em 1992 os estudantes do curso de Licenciatura em Educação

Matemática do Ensino Primário (LEMEP)2 realizaram uma série de entrevistas com professores primários sobre o processo de ensino e aprendizagem da adição e subtracção nas primeiras classes da escola primária.

Numa das entrevistas surgiu o seguinte diálogo entre um professor da 4ª classe e um grupo de estudantes da LEMEP:

Perg.: Bem, o Senhor Professor já falou das dificuldades; agora

em que exercícios acha que os alunos têm mais facilidade de aprendizagem?

1 Autor: Jan Draisma. 2 A LEMEP funciona na Delegação da Beira da Universidade

Pedagógica e visa formar um grupo de especialistas do ensino da Matemática para o nível primário. Pensa-se que os futuros graduados deste curso poderão ser docentes de Matemática e Didáctica de Matemática nos vários cursos de formação de professores primários. Todos os estudantes da LEMEP são professores primários experientes (dos 1º e/ou 2º grau) e uma parte dos estudantes tem também experiência como instrutores de (Didáctica de) Matemática nos Centros de Formação de Professores Primários.


156

Resp.: “Por exemplo, exercícios do tipo (escrevendo) 300+500. Aqui os alunos têm facilidade porque já adicionam três mais cinco; 1000+5000 (escreveu), têm também facilidade. Mas para 1000+500 (escreveu), por exemplo, é um pouco difícil. O aluno é capaz de escrever:

1 0 0 0 + 5 0 0

Só quando o número de zeros for igual é que há facilidade.”

Perg.: O que é que o Sr. Professor faz quando os alunos cometem este tipo de erros, ou seja colocar algarismos de outros números na posição não correcta?

Resp.: “Faço a tabela de posição; ei-la:

1000 100 10 1

1 0 0 0

5 0 0

1 5 0 0 E até podem resolver na mesma tabela.” Apresentou a solução do problema, mil mais quinhentos na mesma tabela.

Perg.: Mas mil mais quinhentos, os alunos não podem dizer logo mil e quinhentos?

A resposta não se fez esperar: “Não, só se fosse a multiplicação é que seria mais fácil

para eles.”

Como é que se explica que o professor entrevistado ache que 1000 + 500 é um exercício difícil, enquanto que o entrevistador, que também é um professor primário, pensa que os alunos podem dizer de imediato o resultado? E porque é que o professor entrevistado pensa que multiplicar mil por quinhentos é mais fácil do que adicionar estes números?

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A diferença de pensamento entre os dois professores é que o primeiro, quando se fala de mil mais quinhentos, imagina automaticamente os numerais escritos, e vê que os alunos se podem enganar, se não alinharem correctamente os algarismos; enquanto que o segundo professor se limita a ouvir os numerais falados, concluindo que a tarefa é muito fácil: mil mais quinhentos é igual a mil e quinhentos. Usando os numerais falados, a “operação” limita-se à substituição da palavra “mais” pela palavra mais simples “e”, enquanto que as parcelas continuam inalteradas.

O professor entrevistado pensa que a multiplicação mil vezes quinhentos é mais fácil porque, neste caso, a colocação dos numerais escritos não é importante: basta acrescentar três zeros ao numeral escrito 500; para isto não é necessário alinhar os factores algarismo por algarismo.

Como é que seria a operação 1000 x 500, se fosse feita por palavras? Teríamos mil vezes quinhentos é igual a quinhentos mil. A “operação” consiste na troca da ordem dos factores e na eliminação da palavra vezes. Qual é a operação mais simples, aquela que é feita com os numerais escritos ou a que é feita com os numerais falados?

Este simples exemplo mostra que a maneira de resolver um problema aritmético depende do tipo de símbolos usados: quando se usam os símbolos escritos, compostos por algarismos, fazendo o cálculo algarismo por algarismo, é necessário respeitar certas regras de colocar os símbolos e de operar com eles. Mas quando se usam símbolos falados — palavras — o cálculo torna-se muito diferente. No presente texto vamos comparar com mais pormenor a aritmética escrita com a aritmética falada, e veremos que o uso de numerais falados pode constituir um recurso importante para as crianças passarem a dominar com mais facilidade os exercícios básicos da adição e da subtracção.

A importância dos exercícios básicos da adição e subtracção

Uma das tarefas principais das aulas de Matemática nas 1ª e 2ª classes é que os alunos passem a dominar os exercícios básicos da adição e subtracção. Chamamos exercícios básicos da adição e da subtracção, as somas de dois números dígitos (como 2+3 = 5 e

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158

7+9 = 16) e as diferenças correspondentes (à soma 7+9 = 16 correspondem os exercícios básicos da subtracção 16 - 7 = 9 e 16 - 9 = 7). Há autores que preferem falar de factos básicos em vez de exercícios básicos. As expressões exercícios básicos ou problemas básicos parecem mais correctas para a criança que ainda não memorizou os resultados. Para esta criança, 7 + 9 = ? é um problema a ser resolvido. Mas a partir do momento que os resultados estiverem memorizados, deixam de ser exercícios ou problemas e passam a ser factos numéricos básicos.

Porque é que se fala de exercícios (ou factos) básicos? O conhecimento destes factos constitui a base para o cálculo com números maiores: para calcular a soma de 3596 e 17283, muitas pessoas irão colocar os números na seguinte posição:

3 5 9 6 + 1 7 2 8 3

para em seguir calcular algarismo por algarismo. Este cálculo só é eficiente se a pessoa souber de cor que 6 + 3 = 9, 9 + 8 = 17, etc., isto é, se a pessoa tiver memorizado os factos básicos da adição. Exemplos semelhantes poderão ser dados sobre a subtracção, multiplicação e divisão. Um problema real que se verifica nas escolas primárias, é que a partir da 3ª classe os alunos aprendem os procedimentos escritos das quatro operações elementares, isto é, os procedimentos em que se calcula algarismo por algarismo, com os numerais escritos, sem que tenham memorizado todos os factos básicos. Por exemplo, entre os 29 alunos das 3ª e 4ª classes entrevistados por estudantes da LEMEP em Novembro de 1992, 6 alunos tiveram que recorrer aos dedos para determinar 7+9, durante o cálculo de 47 + 29. Kilborn 1991 (p. 30) apresenta dados referentes a 99 alunos da 3ª classe, de escolas das cidades de Maputo e Nampula, que mostram que mais de metade dos alunos entrevistados recorre a métodos de contagem, em geral apoiados pelos dedos, para determinar os resultados de 2+11, 3+9 e 8+27.

Como o domínio dos exercícios básicos é essencial para o desenvolvimento das capacidades matemáticas e, por outro lado, como a realidade nas escolas mostra que alunos e professores têm


159

dificuldades em conseguir este domínio, temos dado muita atenção ao tema nas aulas e trabalhos práticos da LEMEP. Como é que adultos e crianças calculam na realidade?

Para possuirmos alguns dados reais, os estudantes da LEMEP prepararam e aplicaram, em fins de 1991, uma entrevista contendo problemas simples de adição e de subtracção, cobrindo as exigências do programa da 1ª classe e parcialmente as exigências da 2ª classe. Todos os problemas eram apresentados oralmente. As pessoas entrevistadas ficavam completamente livres quanto ao método de resolução. Foram entrevistados três grupos de pessoas: A. Quinze mulheres analfabetas (estudantes do curso de educação

bilingue nos bairros de Estoril e Munhava Matope da cidade da Beira, isto é, um curso de alfabetização em língua Sena em que os participantes, numa segunda fase, aprendem também a língua portuguesa)

B. Catorze crianças em idade escolar (de 7 a 12 anos) que não frequentam a escola

C. Treze alunos das 1ª e 2ª classes de algumas escolas da Beira.

Um dos resultados mais importantes das entrevistas foi ter-se verificado que todas as mulheres entrevistadas resolviam com facilidade e segurança todos os problemas colocados, calculando com os numerais falados da língua Sena. Não precisavam dos numerais escritos. Leiam-se os seguintes exemplos:

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160

Em Sena� Tradução-1 Tradução-2

Makumi mathandatu kuburusa pixanu, pinakala pingasi? Makumi mathandatu tinaburusa pixanu; pinakala makumi maxanu na pixanu. Tinaika piwiri pinakala makumi maxanu na pinomwe

Sessenta e dois menos cinco, quanto é? Em sessenta tiramos cinco; fica cinquenta e cinco. Juntamos dois e fica cinquenta e sete.

62 - 5 = ? 60 - 5 = 55 55 + 2 = 57

Em Sena

Tradução -1 Tradução-2

Makumi mathandatu na pinai thimizira makumi masere, pinakala pingasi? Pamakumi mathandatu na pinai tinaburusa makumi piwiri mbatiika pamakumi masere mbapikala zana.

Sessenta e quatro mais oitenta, quanto é? De sessenta e quatro tiramos vinte para pôr no oitenta e obter cem.

64 + 80 = ? 64 - 20 = 44 80 + 20 =100

Zana tinaika makumi manai na pinai piosene mbapikala zana na makumi manai na pinai.

Ao cem juntamos quarenta e quatro para obter cento e quarenta e quatro.

100 + 44 =144

Foi através destas entrevistas que os estudantes da LEMEP

tomaram consciência de que é possível fazer cálculos sem conhecer e sem utilizar os numerais escritos.

Um outro resultado foi que não havia diferenças significativas entre os métodos usados pelos alunos da 1ª e 2ª classe e as crianças da mesma idade que não frequentam a escola: todas estas crianças

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��161

usavam, em geral, métodos de contagem apoiados pelos dedos das mãos (e, às vezes, pelos dedos dos pés). Apenas duas das crianças do grupo B e uma criança do grupo C usavam métodos de cálculo mental sem precisar de fazer contagens.

Na LEMEP analisámos estes resultados. Perguntámos aos estudantes: “Como é que se explica que as mulheres analfabetas calculem tão bem, sem nunca terem frequentado a escola e até sem saberem como se escrevem os números?” Os estudantes disseram: “Os adultos têm que enfrentar muitos problemas na sua vida, que não podem ficar sem solução; eles são forçados a encontrar soluções”. Esta parece uma explicação clara, embora seja interessante investigar na prática como isto funciona: aprender Matemática na medida em que se procuram soluções para problemas da vida real.

Depois perguntámos aos estudantes: “Como se explica que não haja diferenças entre as habilidades aritméticas dos alunos e das crianças que não frequentam a escola?” Esta foi uma pergunta embaraçosa para os estudantes que são professores primários experientes, porque a resposta parecia ser: “Não há diferença, por isso é melhor fechar as escolas. As crianças hão-de aprender a aritmética à medida que a vida os obrigar a resolver problemas reais.”

Finalmente perguntámos aos estudantes: “Como se deve interpretar o facto de os alunos do fim da 1ª classe e do fim da 2ª classe aplicarem poucas vezes os métodos de cálculo oral/mental sugeridos nos livros escolares actuais?”

Fizemos esta pergunta porque os cadernos de exercícios das 1ª e 2ª classes e os respectivos manuais do professor, introduzidos com o Sistema Nacional de Educação a partir de 1983, sugerem que todas as somas e diferenças no limite 100 possam ser determinadas através de cálculo oral, feito com os numerais falados e acompanhado pela escrita. A ideia dos autores destes materiais era que o cálculo oral poderia ser interiorizado e tornar-se cálculo mental.

Alguns estudantes da LEMEP indicaram como causas do fraco cálculo oral/mental observado nas escolas, alguns problemas dos próprios alunos, dos livros escolares actuais e do facto de a língua usada na escola ser uma língua segunda para muitos alunos e até para os professores. Contudo, a maioria dos estudantes apontou como causa principal a qualidade do trabalho feito por muitos professores primários, dizendo:


162

“Os próprios professores têm dificuldades: não aprenderam a fazer cálculo mental. Eles só conhecem bem o cálculo escrito; estão habituados ao cálculo escrito; por isso não dão importância ao cálculo mental.” “Os professores não explicam correctamente o método (de cálculo mental), porque não entendem que aquilo que está escrito nos manuais é para ser feito oralmente; assim, explicam o cálculo mental como se fosse uma forma de cálculo escrito.” Esta respostas dos estudantes da LEMEP foram consideradas

como hipóteses de explicação, que careciam de confirmação através de estudos adicionais. Como se faz cálculo oral?

Assim, começámos a estudar com mais atenção as entrevistas feitas em língua Sena e os métodos de cálculo usados pelas mulheres analfabetas. Pedimos também aos estudantes para resolverem os mesmos problemas usando os sistemas de numeração falada das suas próprias línguas. Na turma da LEMEP estão representadas cerca de 18 línguas; algumas destas línguas deverão ser consideradas como variantes ou dialectos de uma mesma língua principal.

Quanto ao cálculo oral/mental feito com base nos numerais falados/pensados, foi feito primeiro um levantamento dos sistemas de numeração contidos nas várias línguas moçambicanas. Concluímos que: a) O cálculo oral e mental feito nas línguas moçambicanas com

numeração em base “dez” é muito semelhante ao cálculo feito nas línguas portuguesa e inglesa, embora existam também algumas diferenças.

b) O cálculo oral/mental feito nas línguas que usam uma base

auxiliar “cinco” para além da base “dez” é bastante diferente. O cálculo feito nestas línguas oferece possibilidades específicas que os professores primários deviam conhecer para as poderem aproveitar.

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��163

Exemplo 1: Como se calcula oralmente vinte mais quarenta?

Um exemplo que pode dar uma ideia quanto às particularidades do cálculo com base em numerais falados (e não com base em numerais escritos) e as semelhanças e diferenças que existem entre as línguas, é o cálculo 20 + 40 = ? Para calcular oralmente 20 + 40, diz-se:

vinte mais quarenta é igual a sessenta (em língua Portuguesa) makhumi mawiri na makhumi manai ndi makhumi matanthatu

(em língua Dema) makhume mabidri kupatra mune wa makhume, thlanu wa

makhume na dzinwe (em língua Ronga; kupatra = adicionar, mais)

Comparando a maneira como os numerais para 20, 40 e 60 são formados, observamos o seguinte: Em língua Portuguesa:

Os numerais vinte, quarenta e sessenta são simples; dentro do sistema de numeração são palavras novas. Estes numerais são o resultado de uma simplificação de expressões mais antigas que significavam dois dezes, quatro dezes e seis dezes. Nas palavras quarenta e sessenta ainda é possível reconhecer as palavras quatro e seis respectivamente.

Os numerais vinte, quarenta e sessenta têm uma forma invariável: não conhecem uma forma para o plural, nem para masculino /feminino. Em língua Dema:

Os numerais para 20, 40 e 60 são expressões compostas por duas palavras:

20 — makhumi mawiri (= dezes dois = 10 x 2) 40 — makhumi manai (= dezes quatro = 10 x 4) 60 — makhumi matanthatu (= dezes seis = 10 x 6)

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164

Nestas expressões, a palavra makhumi é o plural do substantivo khumi; vê-se que se trata do plural pelo prefixo ma-. As palavras mawiri, manai e matanthatu são adjectivos que devem apresentar o prefixo ma-, correspondente à palavra makhumi a que se referem. Este tipo de combinação de palavras tem um significado multiplicativo: makhumi manai significa dezes quatro ou seja, 10 x 4 (respeitando a ordem usada em Dema).

Assim, os numerais em Dema são compostos e, como tal, mais longos do que em língua portuguesa. Contudo, eles são compostos por numerais conhecidos, enquanto em língua portuguesa se trata de expressões novas. Em língua Dema, todos os múltiplos de 10, a partir de 20 até 90, são formados da mesma forma.

Tanto em Dema como em Português, o sistema de numeração tem a base “dez”; isto é, os números 1, 2, 3, ..., 10 são representados por expressões simples, diferentes. Em língua Ronga:

O sistema de numeração em Ronga tem a base “dez” e a base auxiliar “cinco”. Isto significa que os numerais para 6, 7, 8 e 9 são compostos (têm a forma 5 + n), o que tem consequências para a formação do numeral para 60.

20 — makhume mabidri (= dezes dois = 10 x 2) 40 — mune wa makhume (= um quarteto de dezes = 4 x 10) 60 — tlhanu wa makhume na dzinwe (= um quinteto de dezes

e um = 5 x 10 + 1) Vemos que a expressão para vinte é formada da mesma maneira

como em Dema. Até as palavras para dez e dezes são praticamente iguais:

Ronga: khume, makhume Dema: khumi, makhumi

O numeral para quarenta já é diferente: mune wa makhume

significa um quarteto de dezes. Traduz-se mune por quarteto, para chamar a atenção para o facto de mune ser um substantivo e para mostrar que a partícula wa significa de em Português.

No numeral para sessenta, aplica-se o facto que em Ronga o numeral para 6 é composto: tlhanu wa makhume na dzinwe, o que significa: um quinteto de dezes e um. A palavra tlhanu é um substantivo, tal como mune; assim, tlhanu wa makhume significa


165

“cinquenta”. Na dzinwe significa “e um”, onde fica subentendido que se trata de “um dez.” Ouve-se que se trata de um dez, porque dzinwe é um adjectivo com o prefixo correspondente à classe nominal do substantivo khume. Pode dizer-se de forma mais explícita: tlhanu wa makhume na khume dzinwe (= 5 x 10 + 10 x 1).

Assim, o número 60 representa-se em português por uma palavra única (de 3 sílabas), em Dema por uma expressão de duas palavras (com um total de 6 sílabas) e em Ronga por uma expressão composta por cinco palavras, das quais três numerais simples (num total de 9 sílabas).

Comparando apenas as línguas Dema e Ronga, vemos que em Dema os numerais para 20, 40 e 60 são formados da mesma maneira, enquanto que em Ronga os três numerais são formados de três maneiras diferentes. Comparando os cálculos, observamos o seguinte: As diferenças na formação dos numerais nas três línguas têm consequências para os cálculos necessários para se obter o resultado. O cálculo mais simples é feito na língua Dema:

makhumi mawiri na makhumi manai ndi makhumi matanthatu Trata-se de um cálculo feito com dezenas (makhumi). Traduzido para Português temos: 2 dezenas mais 4 dezenas são 6 dezenas. O cálculo necessário é o exercício básico 2 + 4 = 6. Ou, como um estudante da LEMEP observou: “É como se fosse 2 laranjas mais 4 laranjas são 6 laranjas.”

Em Ronga o cálculo é semelhante, porque também aqui todo o cálculo é referente a dezenas:

makhume mabidri kupatra mune wa makhume, thlanu wa makhume na dzinwe

Traduzido para Português temos: 2 dezenas mais 4 dezenas são 5 dezenas e 1. O cálculo envolvido é o exercício básico 2 + 4 = 5+1, um exercício básico típico das línguas com numeração em base “dez” e base auxiliar “cinco”. Em língua portuguesa o cálculo oral é mais complicado:


166

Como é que vinte mais quarenta pode resultar em sessenta? Trata-se de três numerais muito diferentes. O cálculo mais provável que as pessoas fazem é transformar os numerais de modo a permitir o cálculo:

vinte significa dois vezes dez; quarenta significa quatro vezes dez.

Por isso, vinte mais quarenta é igual a dois vezes dez mais quatro vezes dez, o que dá seis vezes dez. Em linguagem simbólica:

20 = 2x10; 40 = 4x10; por isso, 20 + 40 = 2x10 + 4x10 = 6x10

Assim, a segunda parte do cálculo coincide com o cálculo feito em Dema. Mas para se poder fazer o cálculo desta maneira, é necessário interpretar vinte como dois vezes dez, e quarenta como quatro vezes dez. Por isso, o cálculo de 20 + 40 em língua portuguesa é mais complexo do que em Dema. Na prática, muitas pessoas acabam por memorizar, em língua portuguesa, as somas dos múltiplos de dez, no limite 100. Assim, pode parecer que as pessoas calculam mas depressa em Português do que em Dema, porque são capazes de dizer imediatamente o resultado. Mas esta maior rapidez é resultado de um esforço maior: primeiro o esforço maior de calcular a soma, no período em que ainda não se conhece de cor o resultado; depois o esforço de memorizar os resultados deste tipo de somas.

Em Dema o cálculo limita-se à aplicação do exercício básico 2 + 4 = 6 em combinação com a propriedade distributiva, não havendo qualquer necessidade de memorizar algo mais do que os exercícios básicos.

Em Ronga o cálculo limita-se também ao uso de um facto básico 2 + 4 = 5 + 1 e a aplicação da propriedade distributiva; apenas o exercício básico em Ronga é diferente do exercício básico em Dema ou Português.

Alguns estudantes da LEMEP explicaram o cálculo oral vinte mais quarenta é igual a sessenta da seguinte maneira: “Basta adicionar 2 + 4 = 6 e depois acrescentar um zero.”

Esta forma de pensar é um exemplo típico de cálculo por uma pessoa que está habituada a usar os numerais escritos: para efectuar o cálculo recorre, na mente, à representação escrita dos números, pelo


167

que deixa de ser um cálculo estritamente oral, e só é possível para quem conhece a representação escrita dos números. Mesmo neste caso, trata-se de um caminho de cálculo mais longo do que o cálculo oral feito em Dema:

1. traduzir, mentalmente, a palavra vinte para o símbolo 20; 2. traduzir a palavra quarenta para o símbolo 40; 3. isolar no símbolo 20 o símbolo 2 e no símbolo 40 isolar o

símbolo 4; 4. adicionar 2 + 4 = 6 (aplicação de um exercício básico); 5. acrescentar ao símbolo 6 o símbolo 0, ou seja, interpretar o

símbolo 6 como representando 6 dezenas; 6. traduzir o símbolo 60 para a língua portuguesa: sessenta. Portanto, também com este método é necessário, primeiro,

transformar os numerais dados oralmente para uma forma diferente (a forma escrita); depois efectuar o cálculo com os símbolos escritos; finalmente, traduzir o símbolo 60 para a língua portuguesa.

Nos exemplos dados nas línguas Dema e Ronga, opera-se directamente com os numerais orais dados.

As diferenças entre o cálculo feito em Português e o cálculo feito em Dema são consequência do facto de os numerais vinte, quarenta e sessenta serem palavras novas, que têm a vantagem de serem curtas, mas que exigem uma interpretação em termo dos numerais já conhecidos: vinte significa dois vezes dez, etc., o que prolonga os cálculos, até estes serem memorizados (e automatizados). Exemplo 2: Como se calcula 8 + 5?

Em Português diz-se: oito mais cinco é igual a treze. O resultado treze é uma nova palavra, sem nenhuma relação com

as palavras oito e cinco. Por isso, quando uma criança ainda não conhece de cor o resultado, deve fazer algo para o obter. Uma possibilidade é usar uma contagem pelos dedos, dizendo nove, dez, onze, doze, treze. A contagem começa pelo sucessor de oito, e, à medida que se conta, levanta-se um dedo por cada numeral falado, até


168

ter completado cinco dedos. O último numeral pronunciado corresponderá à soma de oito e cinco.

Nos livros escolares actuais para a 1ª classe sugere-se o seguinte cálculo oral: oito mais dois, dez; dez mais três, treze.

Esta forma de calcular, usada também com frequência pelas mulheres entrevistadas em língua Sena, pressupõe que a pessoa:

a) saiba de cor quanto falta para completar dez a partir de oito;

b) saiba que adicionar cinco é o mesmo que adicionar sucessivamente dois e três.

Contudo, numa língua que usa a base auxiliar “cinco”, para além da base “dez”, há uma outra possibilidade para calcular a soma de oito e cinco, usando os próprios numerais. Por exemplo, o problema Oito mais cinco, quanto é?, formulado em Chuwabo é: Tanu na tharu, na tanu, dhinkala ñgasi? Estas expressões permitem o seguinte cálculo:

Tanu na tanu, dhinkala kumi; na tharu, dhinkala kumi na tharu. (Cinco mais cinco, igual a dez; mais três, igual a dez-e-três.)

Desta maneira, o problema 8 + 5 = ?, que durante uma certa fase

pode ser difícil para as crianças, é resolvido de uma forma natural, usando o facto básico simples 5 + 5 = 10; e o que parece ser o segundo passo (dez mais três, igual a treze), não é nenhum passo em Chuwabo: kumi na tharu dhinkala kumi na tharu, porque o nome para treze, em Chuwabo, tal como na maioria das línguas moçambicanas, é simplesmente dez-e-três.

Um cálculo semelhante pode ser feito em todas as línguas que usam a combinação das bases “cinco” e “dez”.

Todos os exercícios básicos da adição, cuja soma ultrapassa dez, podem ser resolvidos desta maneira:


169

6� + 7 = ?

tanu na modha na tanu na mbili dhinkala kumi na tharu

5 + 1 + 5 + 2 = (5+5) + (1+2) Um caso um pouco mais difícil é o cálculo de sete mais nove:

7 + 9 = ?

tanu na mbili na tanu na nai dhinkala kumi na tanu na modha

5 + 2 + 5 + 4 = (5+5) + (5+1)

Neste último caso, para além de juntar os dois cincos, foi usado um exercício básico típico das línguas com numeração em base cinco: mbili na nai dhinkala tanu na modha (2+4 = 5+1).

As implicações educacionais dos últimos exemplos merecem especialmente atenção. Muitos alunos da escola primária têm dificuldade em encontrar as somas de dois números dígitos, quando esta ultrapassa dez. Como já foi referido, é frequente ver crianças a fazerem contagens de dedos para determinar somas do tipo 7 + 9, mesmo na 3ª, 4ª ou até na 5ª classe. Mas muitos destas crianças conhecem os numerais falados da sua língua materna. De uma forma geral, as línguas faladas ao Norte do Rio Zambeze e as línguas faladas ao Sul do Rio Save usam a base auxiliar “cinco”, para além da base “dez”. Estamos convencidos de que muitas crianças poderiam aplicar com naturalidade os cálculos usando os numerais da sua língua materna; isto pode ser feito, mesmo se as aulas se realizam em língua portuguesa. Não há nenhuma razão para limitar as crianças aos meios didácticos tradicionais: dedos, pauzinhos, pedrinhas ou tracinhos. Todos os conhecimentos das crianças devem ser aproveitados de uma maneira racional, para conseguir que estas passem a dominar os exercícios básicos da adição.

Pode parecer que as línguas que usam a base auxiliar “cinco” oferecem mais possibilidades de cálculo do que as línguas que usam apenas a base “dez”. Contudo há uma forma de se fazer os cálculos aproveitando a base “cinco”, mesmo quando se usam numerais falados da base “dez”: através de gestos com as duas mãos.

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Por exemplo, a soma seis mais sete pode ser calculado da seguinte maneira: 1. representa o número seis levantando uma vez um punho fechado

(cinco) seguido pelo levantamento de um dedo; 2. representa o número sete, levantando o outro punho fechado,

seguido pelo levantamento de dois dedos; 3. a soma dos dois números obtém-se lembrando-se dos dois

punhos levantados (5 + 5 = 10), aos quais se juntam os três dedos levantados.

Este cálculo gestual pode ser mais rápido do que a contagem

pelos dedos que muitas crianças praticam: começando pelo sucessor de sete, dizendo oito, nove, dez, onze, doze, treze. Por cada numeral pronunciado levanta-se um dedo; quando a criança tiver 6 dedos levantados, terá chegado ao resultado e o último numeral pronunciado será o resultado. Qual a língua a ser usada nas aulas de Matemática da escola primária?

Recentemente tivemos a oportunidade de participar em seminários organizados pela NOTMO (Organização de Matemática do Transvaal do Norte) na República da África do Sul. Os seminários, de um dia cada um, tiveram lugar nas zonas de Kwandebele, Lebowa, Venda e Gazankulu e neles participaram professores de Matemática sul-africanos dos níveis primário e secundário e ainda formadores de professores primários. Tivemos a oportunidade de discutir especificamente as seguintes questões:

a) Qual (quais) devia(m) ser a(s) língua(s) de instrução nas

nossas escolas primárias: uma língua oficial, como a língua portuguesa em Moçambique e a língua inglesa na África do Sul, ou uma língua local?

b) Qual devia ser a língua de instrução nas aulas de Matemática?

No dia 1 de Abril de 1993 tivemos uma discussão muito

interessante com um grupo de mais de 150 professores em Gazankulu, uma zona da África do Sul onde se fala a língua Tsonga, que é a mesma língua que a língua Changana, falada no Sul de Moçambique.


171

Até recentemente, todo o ensino primário em Gazankulu era feito em Tsonga, incluindo a Matemática, de acordo com o sistema de ensino estabelecido para a população negra dentro da política do Apartheid. Nós já conhecíamos alguns dos livros de Matemática escritos em Tsonga, que na altura eram usados em Gazankulu. Quais foram as opiniões que os professores de Gazankulu nos apresentaram? * Alguns disseram que era melhor usar desde o início a língua

Inglesa, como língua de instrução nas aulas de Matemática, porque, em geral, as crianças já conhecem os numerais falados em Inglês quando começam a frequentar a escola primária. Por isso, não é necessário usar os numerais falados em Tsonga. Esta foi também a opinião de alguns professores que tiveram experiência concreta de usar a língua Tsonga nas aulas de Matemática.

* Outros disseram que, nas primeiras classes da escola primária,

devia ser usada a língua materna para todas as disciplinas, porque esta é o único meio de comunicação possível. Seria um erro pensar que se pudesse comunicar bem na sala de aula quando se usa uma língua que é nova para os alunos.

* Um dos participantes disse que todo o ensino devia ser feito em

língua materna, incluindo a Matemática, para permitir que as crianças pudessem comunicar com os seus avós. Em particular, as crianças deviam ser capazes de falar com os avós, na sua língua materna, sobre todas as actividades escolares, incluindo a Matemática.

* Finalmente houve o comentário interessante de um dos

participantes, que nos disse que tinha estado a ensinar a Aritmética em Tsonga usando o sistema de numeração oficial em Tsonga, que é um sistema simplificado de base “dez” apenas, introduzido em Gazankulu para “servir objectivos educacionais” (Ouwehand 1965, p. 62); mas que em casa continuava a usar os numerais falados originais/tradicionais de base “cinco”:

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Changana (Moçambique) Tsonga (“simplificado”, Gazankulu)

1 xin’we xin’we 2� swimbirhi swimbirhi 3� swinharhu swinharhu 4� mune mune 5� ntlhanu ntlhanu 6� ntlhanu ni xin’we tsevu 7� ntlhanu ni swimbirhi nkombo 8� ntlhanu ni swinharhu nhungu 9� ntlhanu ni mune kaye

10 khume khume 11 khume ni xin’we khume ni xin’we 12 khume ni swimbirhi khumembirhi 13 khume ni swinharhu khumenharhu 14 khume ni mune khumemune 15 khume ni ntlhanu khumentlhanu 16 khume ni ntlhanu ni xin’we khumetsevu 17 khume ni ntlhanu ni swimbirhi khumenkombo 18 khume ni ntlhanu ni swinharhu khumenhungu 19 khume ni ntlhanu ni mune khumekaye 20 makume mambirhi khumbirhi or

makumembirhi 23 makume mambirhi ni

swinharhu khumbirhinharhu

Estas foram as opiniões que nos foram apresentadas

directamente. Contudo, tivemos ainda uma experiência complementar interessante: durante uma actividade matemática, dirigida pelo professor americano Arthur Powell, os participantes, organizados em pequenos grupos, tiveram que fazer alguns cálculos sobre uma sucessão numérica do tipo “Conway”. Tratava-se de cálculos elementares, principalmente com números naturais, inteiros e fracções. Observámos que em alguns grupos as discussões eram feitas em Tsonga, mas nos cálculos eram usados os numerais em Inglês. Em

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outros grupos toda a discussão era feita em Tsonga, com excepção do cálculo com fracções, para as quais eram usados os nomes em Inglês. Para nós era uma prova muito concreta, de que a Matemática elementar pode ser feita em Tsonga (Changana). Mas sabíamos também que os nossos estudantes da UP em Beira não seriam capazes de fazer este tipo de discussão matemática nas suas línguas maternas: quase todos os seus conhecimentos e experiência matemática dependem do uso da língua portuguesa.

Propostas para uma reflexão 1. É importante estimular que as crianças utilizem as mãos, não só

para contagens, mas também para fazer cálculos: os gestos usados por muitas pessoas para representar os números correspondem directamente aos numerais de base combinada “cinco”/”dez”, como existem em Chuwabo, Changana e várias outras línguas moçambicanas. Mesmo quando se usam numerais falados de base “dez”, como em Dema, Ndau, Inglês, etc., o uso de gestos com as duas mãos dá acesso a algumas das vantagens dos sistemas de numeração de base “cinco”/”dez”, e pode ajudar as crianças para encontrar facilmente as somas do tipo oito mais cinco igual a treze.

2. É importante encorajar as crianças a utilizarem os conhecimentos

que têm nas várias línguas que conhecem, mesmo quando se trata de outras línguas sem ser a língua de ensino.

3. Em particular, mesmo quando a língua de ensino for a língua

portuguesa, muitas crianças costumam ter contacto com várias outras línguas, especialmente nas zonas urbanas. Os conhecimentos contidos nestas línguas podem ser aproveitados para as crianças efectuarem cálculos matemáticos importantes para o seu desenvolvimento intelectual.

4. A ideia de simplificar os sistemas de numeração falada das

línguas moçambicanas é compreensível para os números grandes (maiores que cinquenta ou cem), por causa do comprimento das expressões, em particular nas línguas que usam a base auxiliar “cinco”. Contudo, parece-nos que o uso de numerais falados de base “cinco” pode constituir um recurso importante durante as


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primeiras fases da aprendizagem dos exercícios básicos da adição e subtracção e na descoberta dos primeiros métodos de cálculo oral e mental. Como os alunos terão à sua disposição os numerais escritos de base “dez”, para o cálculo com números maiores, uma possível simplificação de um sistema de numeração falada devia tomar em conta as possibilidades das primeiras fases da aprendizagem da Aritmética. Pôr de parte os numerais falados de base cinco, para os números seis, sete, oito e nove, pode ser um erro pedagógico na primeira fase da aprendizagem de Matemática.

Referências e sugestões de leitura [entre parênteses rectos: tradução de alguns dos títulos] Draisma, J.; Soares, M. C. e outros, 1983: Eu vou à escola -

Matemática, 1ª classe , Vol. 1 e 2, Instituto Nacional do Desenvolvimento da Educação (INDE), Maputo

Draisma, J.; Soares, M. C. e outros, 1983: Eu gosto de Matemática - Matemática 2ª classe - Cadernos de Exercícios, Vol. 1 e 2, INDE, Maputo

Fletcher, C.: Tinhlayo le’tintshwa ta ka Juta - Ntangha 3, 4, Juta & Company, Cape Town - África do Sul (traduzido para Tsonga por R. Mabale — Livro escolar de Aritmética, em língua Tsonga, para as classes 3 e 4)

Gleimius, E.; Stals, T. N.; Marivate, C. T. D.: Tinhlayo ta tsakisa - Ntangha 2, Varia Books, Alberton - África do Sul

INDE, 1982: Livro do Professor, 1ª classe — Vamos Aprender, Volumes 1 - 6, INDE, Maputo

INDE, 1983: Livro do Professor, 2ª classe — Vamos Ler e Escrever, Volumes 1 - 5, INDE, Maputo

Veloso, M. T.; Draisma, J., 1992: Bukhu ya kupfundzisa makonta. Malongero a cisena [Livro de Matemática em língua Sena], edição experimental para o Projecto de educação biligue de mulheres, Volumes 1 e 2, INDE, Maputo

Hatano, G., 1982: ‘Learning to add and subtract: a Japanese perspective’ [Aprendendo a adicionar e a subtrair: uma perspectiva japonesa], in Carpenter, T. P.; Moser, J. M.; Romberg, T. A. (org.), Addition and subtraction: a cognitive perspective, Lawrence Erlbaum, Hillsdale, New Jersey (O autor explica a importância da base auxiliar cinco no cálculo mental,


175

apesar de a língua japonesa possuir um sistema de numeração decimal. Uma tradução em Português deste texto pode ser obtido do Departamento de Matemática da UP - Beira.)

Kilborn, W., 1991: Avaliação de livros escolares em Moçambique — Matemática, Classes 1-3, Instituto Nacional do Desenvolvimento da Educação, Maputo

Ouwehand, M., 1962: Everyday Tsonga, Sasavona Publishers, Braamfontein

Treffers, A.; De Moor, E., 1990: Proeve van een nationaal programma voor her reken-wiskunde onderwijs op de basisschool. Deel 2: Basisvaardigheden en cijferen [Proposta de um programa nacional para o ensino da aritmética-matemática na escola básica. 2ª parte: habilidades básicas e cálculo escrito], Zwijsen, Tilburg - Países Baixos (em Holandês. Os autores defendem a importância do uso da base auxiliar cinco, para além do cálculo mental, apesar de a língua Holandesa possuir apenas numerais em base dez.)

Zepp, R., 1990: Language and Mathematics Education [Língua e Educação Matemática], API Press, Hong Kong


176

5.2 Algumas reflexões para estimular o debate e a investigação

A História da Matemática mostra que, por diversas vezes, a

escolha da linguagem, de expressões e símbolos, tem sido extremamente importante para poder conceber e compreender novas ideias e relações. Uma escolha feliz pode facilitar o pensamento e o raciocínio. Uma escolha feliz pode facilitar o ensino e a aprendizagem. Uma escolha bem reflectida pode democratizar o acesso ao conhecimento científico da Humanidade: mais pessoas em condições de o alcançar.

A importância da numeração falada para a aprendizagem foi frisada na secção anterior. Nesta secção apresentaremos algumas reflexões relativas à numeração falada em Moçambique, fruto do debate no seio da nossa equipa de educadores matemáticos integrados no Projecto de Investigação ‘Etnomatemática’. Uma tendência no desenvolvimento da numeração nas línguas bantu de Moçambique

As línguas não são estáticas. As línguas estão em movimento. Tanto ao nível das sociedades e de grupos humanos menores, como ao nível de indivíduos, inventam-se novas palavras e novas construções.

Relativamente à numeração nas línguas bantu de Moçambique, nota-se uma tendência para contrair numerais; alguns exemplos clarificarão este fenómeno da contracção. Na língua Makonde foi introduzida uma forma curta, resultado de contracção, para se referir ao numeral ‘seis’: mwanaimo em vez da forma em extenso mwanu na imo. Na língua Nyungwe encontra-se a forma contraída makhumaxanu (cinquenta) ao lado da versão original makhumi maxanu. Na tabela 5.1 apresentam-se alguns exemplos fornecidos pelos estudantes da LEMEP. 3 O processo de encurtar numerais compostos não está parado, e pode ser continuado. Por exemplo, o referido numeral makhumaxanu pode ser encurtado para khumaxanu, se lhe retirarmos o prefixo do plural. No entanto a ‘simplificação’ ou ‘abreviação’ deve evitar obviamente que se crie confusão com outros

3 Licenciatura em Educação Matemática para o Ensino Primário

(Delegação da Universidade Pedagógica na Cidade da Beira).


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numerais. A forma reduzida khumaxanu deve ser diferente da forma reduzida para khumi na cixanu (quinze).

Tabela 5.1 (1ª parte)

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MAKONDE por extenso

MAKONDE com contracções

1 imo� imo 2� mbili mbili 3� natu natu 4� nceshe nceshe 5� mwanu mwanu 6� mwanu na imo mwanaimo 7� mwanu na mbili mwanambili 8� mwanu na natu mwananatu 9� mwanu na nceshe mwananceshe 10� kumi (likumi limo) kumi (likumi limo) 11� kumi na imo kumnaimo 12� kumi na mbili kumnambili 13� kumi na natu kumnanatu 14� kumi na nceshe kumnanceshe 15� kumi na mwanu kumnamwanu 16� kumi na mwanu na imo kumnamwanaimo 17� kumi na mwanu na mbili kumnamwanambili 18� kumi na mwanu na natu kumnamwananatu 19� kumi na mwanu na nceshe kumnamwananceshe 20� makumi mavili makumavili 30� makumi matatu makumatatu 40� makumi nceshe makunceshe 50� makumi mwanu makumwanu 60� makumi mwanu na limo makumwanalimo 70� makumi mwanu na mavili makumwanamavili 80� makumi mwanu na

matatu makumwanamatatu

90� makumi mwanu na nceshe makumwananceshe 100� imia imo;

makumi kumi imia imo; makumi kumi

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CHUWABO por extenso

CHUWABO com contracções

1� modha modha 2 bili bili 3 tharu tharu 4 nai nai 5 tanu tanu 6 tanu na modha tanamodha 7 tanu na bili tanabili 8 tanu na tharu tanatharu 9 tanu na nai tananai 10 kumi kumi 11 kumi na modha kumi na modha 12 kumi na bili kumi na bili 13 kumi na tharu kumi na tharu 14 kumi na nai kumi na nai 15 kumi na tanu kumi na tanu 16 kumi na tanu na modha kumi na tanamodha 17 kumi na tanu na bili kumi na tanabili 18 kumi na tanu na tharu kumi na tanatharu 19 kumi na tanu na nai kumi na tananai 20 makumi meli makumeli 30 makumi mararu makumararu 40 makumi manai makumanai 50 makumi matanu makumatanu 60 makumi matanu na

nimodha makumatananimodha

70 makumi matanu na meli makumatanameli 80 makumi matanu na

mararu makumatanamararu

90 makumi matanu na manai makumatanamanai 100 zana zana

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MAKHUWA (METTO) por extenso

MAKHUWA (Ilha de Moçambique, Mossuril) com contracções

1 emoza� emoza 2� pili pili 3� tharu tharu 4� cece xexe 5� thanu thanu 6� thanu na moza than’namoza 7� thanu na pili than’napili 8� thanu na tharu than’natharu 9� thanuna cece than’naxexe 10� nloko nloko 11� nloko namosa nloko nimosa 12� nloko napili nloko nipili 13� nloko natharu nloko nitharu 14� nloko naxexe nloko nixexe 15� nloko nathanu nloko nithanu 16� nloko nathanu namosa nloko nithan’namosa 17� nloko nathanu napili nloko nithan’napili 18� nloko nathanu natharu nloko nithan’natharu 19� nloko nathanu naxexe nloko nithan’naxexe 20� miloko mili miloko mili 30� miloko miraru miloko miraru 40� miloko micece miloko mixexe 50� miloko mitanu miloko mitanu 60� miloko mitanunamosa miloko mithan’namosa 70� miloko mitanunapili miloko mithan’napili 80� miloko mitanunatharu miloko mithan’natharu 90� miloko mitanunatsheshe miloko mithan’natsheshe

100� emiya emiya

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NYUNGWE por extenso

NYUNGWE com contracções

1� posi posi 2 piri piri 3 tatu tatu 4 nai nai 5 xanu xanu 6 tandhatu tandhatu 7 cinomwe cinomwe 8 sere sere 9 pfemba pfemba 10 khumi khumi 11 khumi na cim’bodzi khumi na cim’bodzi 12 khumi na ciwiri khumi na ciwiri 13 khumi na citatu khumi na citatu 14 khumi na cinai khumi na cinai 15 khumi na cixanu khumi na cixanu 16 khumi na citandhatu khumi na citandhatu 17 khumi na cinomwe khumi na cinomwe 18 khumi na cisere khumi na cisere 19 khumi na cipfemba khumi na cipfemba 20 makhumi mawiri makhumawiri 30 makhumi matatu makhumatatu 40 makhumi manai makhumanai 50 makhumi maxanu makhumaxanu 60 makhumi matandhatu makhumatandhatu 70 makhumi manomwe makhumanomwe 80 makhumi masere makhumasere 90 makhumi mapfemba makhumapfemba

100 dzana dzana

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A língua materna e o ensino

Não há dúvida de que quando uma mesma língua é bem dominada, tanto pelos alunos como pelo professor, é preferível realizar nessa língua o processo do ensino-aprendizagem, em particular o da numeração e da execução mental e escrita de operações aritméticas.

Este processo pode ser facilitado quando se aproveita a tendência da contracção e abreviação na formulação dos numerais. Pode ser facilitado quando se toma em conta o fenómeno histórico da gradual substantivação dos numerais (vide capítulo 2), quer dizer, pode ser facilitado se todos os numerais se tornarem substantivos.

Propomos que se faça um levantamento de todas as formas de contracção, abreviação e substantivação utilizadas nas línguas. Apresentamos como sugestão que, para cada língua do país, se elabore um sistema de numeração falada que explore ao máximo as tendências de contracção, abreviação e substantivação, sem se esquecer de respeitar as características da referida língua (por exemplo, relativas às combinações de sons admitidas) e sem se afastar demasiadamente os numerais das formas hoje em dia dominantes. A base auxiliar ‘cinco’ e a língua portuguesa

A existência da base auxiliar “cinco” facilita a aprendizagem das adições e subtracções até 20, como vimos no capítulo anterior, e como também é sugerido pela experiência secular dos povos da Ásia (por exemplo, China e Japão) e da Europa, recentemente reforçada por resultados de investigação realizada na Europa com línguas que não utiliza(ra)m a base “cinco” como base auxiliar.

Tomando em conta estes resultados, pode-se pensar, para fins educativos - no caso das línguas faladas em Moçambique que não utilizam a base “cinco” - na introdução de ‘numerais explicativos’ que utilizam a base “cinco”.

O exemplo da língua portuguesa pode clarificar a ideia. Em vez de dizer ‘seis’ pode-se usar a forma explicativa ‘cinco e um’. Na tabela 5.2 apresentam-se duas fases de explicitação relativas à língua portuguesa. Uma vez dominados os ‘factos aritméticos básicos’ sugere-se, para o caso da língua portuguesa, uma segunda fase explicativa, em que se usa um sistema de numeração decimal puro,


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cuja estrutura se aproxima mais da estrutura da numeração nas línguas bantu de Moçambique que utilizam apenas a base ‘dez’. A segunda fase explicativa sugerida está em concordância com a estrutura do sistema de numeração escrita posicional-decimal, quer dizer, a ordem dos termos corresponde à notação escrita decimal-posicional. Nesta proposta utiliza-se “dezes” como plural de “dez” em analogia com a formação do plural de palavras como rapaz, cartaz, nariz, vez, etc.

Tabela 5.2

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numeração na língua portuguesa

1ª fase explicativa

2ª fase explicativa

6 seis cinco e um seis 7 sete cinco e dois sete 8 oito cinco e três oito 9 nove cinco e quatro nove

11 onze dez e um dez e um 12 doze dez e dois dez e dois 13 treze dez e três dez e três 14 catorze dez e quatro dez e quatro 15 quinze dez e cinco dez e cinco 16 dezasseis dez e cinco e um dez e seis 17 dezassete dez e cinco e dois dez e sete 18 dezoito dez e cinco e três dez e oito 19 dezanove dez e cinco e quatro dez e nove 20 vinte dois dezes dois dezes 21 vinte e um dois dezes e um 30 trinta três dezes 40 quarenta quatro dezes 50 cinquenta cinco dezes 60 sessenta seis dezes 70 setenta sete dezes 80 oitenta oito dezes 90 noventa nove dezes

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Importância da numeração falada

Hoje em dia muitos professores primários em Moçambique pensam que a Aritmética é feita apenas com numerais escritos. Parece-nos extremamente importante que tanto professores primários como o cidadão em geral se convençam de que a numeração falada em qualquer língua constitui uma fonte riquíssima de ideias matemáticas (de cálculo). É necessário pois explorar ao máximo as possibilidades que as línguas maternas oferecem. Uma variante nacional?

Sem nos esquecermos da importância das línguas faladas, pode-se pensar - no futuro? - em introduzir um sistema novo de numeração, inspirado nas línguas bantu faladas em Moçambique, por exemplo, como o apresentado na Tabela 5.3.

Trata-se de uma proposta dum sistema nacional, no sentido de utilizar raízes de todas as línguas bantu faladas em Moçambique, do Rovuma até ao Maputo. Na selecção dos numerais tomou-se em conta as vantagens de palavras e de sílabas curtas. Evitaram-se os prefixos do plural. Por exemplo, propõe-se “ilikumi” para “vinte” e não “ili-makumi”. Entre os múltiplos de potências de dez coloca-se um tracinho horizontal, correspondente a uma pequena pausa na fala, omitindo a ligação “e”, quer dizer, omitindo a copulativa “ni” ou “na”. Por exemplo, “kumi-mó” em vez de “kumi ni mó”. Para além das características indicadas observam-se as seguintes:

* todos os numerais propostos são substantivos; * omissão do prefixo do plural; * de 6 a 9 e de 16 a 19 há duas formas: um numeral composto

para a fase explicativa de aprendizagem e um numeral simples para a segunda fase;

* de 20 para cima utiliza-se apenas a base “dez”; * a ordem dos termos corresponde à notação escrita decimal-

posicional; * ao utilizar o princípio multiplicativo termina-se pela potência

de dez, quer dizer, por exemplo ilizana (dois centos) em vez de zanaíli (centos dois).


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Tabela 5.3

�

1ª variante (forma explicativa)

2ª variante

1 mó� mó 2� ili ili 3� tatu tatu 4� né né 5� sanu sanu 6� sanumó tanta 7� sanuíli nomwe 8� sanutatu sere 9� sanuné femba

10� kumi kumi 11� kumi-mó kumi-mó 12� kumi-ili kumi-ili 13� kumi-tatu kumi-tatu 14� kumi-né kumi-né 15� kumi-sanu kumi-sanu 16� kumi-sanumó kumi-tanta 17� kumi-sanuíli kumi-nomwe 18� kumi-sanutatu kumi-sere 19� kumi-sanune kumi-femba 20� ilikumi ilikumi 21� ilikumi-mó 30� tatukumi 40� nékumi 50� sanukumi 60� tantakumi 67� tantakumi-nomwe 70� nomwekumi 80� serekumi 90� fembakumi

100� zana 200� ilizana 300� tatuzana 400� nezana

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500�

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sanuzana 583� sanuzana-serekumi-

tatu 600� tantazana 700� nomwezana 800� serezana 900� fembazana

1000� kulu

Contribuições e reacções Convidam-se os leitores a reagirem e contribuírem para enriquecer as reflexões apresentadas. Experimente. Participe no debate! Contribua para melhorar a qualidade do ensino em Moçambique!

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a numeração em moçambique - red latinoamericana de ... · a fim de ter modos práticos e úteis...

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