cálculo numérico noções básicas sobre errosademilson.teixeira/cálculo... · 2018-08-02 ·...

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Cálculo Numérico

Profº Ms Ademilson Teixeira

Noções Básicas sobre Erros

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Ementa

1. Noções básicas sobre erros.

2. Zeros reais de funções reais.

3. Resolução de sistemas de equações lineares.

4. Interpolação.

5. Ajuste de curvas.

6. Integração Numérica.

7. Solução numérica de eq. diferenciais ordinárias.

Introdução

➢ Para utilizar eficazmente qualquer ferramenta de soluçãonecessitamos conhecer e entender o problema.

➢ Os computadores tem uma grande utilidade para resolver problemasde engenharia, porém são praticamente ineficientes se nãocompreendemos o funcionamento dos sistemas de engenharia.

A resolução dos diversos problemas, que surgem nas mais

diversas áreas, envolve várias fases.

Fases da Resolução de um Problema

Problema Real

Levantamento de Dados

Construção do Modelo Matemático

Escolha do Método Numérico Adequado

Implementação Computacional

Análise dos Resultados Obtidos

Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico


Problema Real







Um modelo matemático pode ser definido como umaformulação ou uma equação que expresse as característicasessenciais de um sistema físico ou processo, em termosmatemáticos.


Problema Real







Os Métodos Numéricos são técnicas mediante as quais épossível formular problemas matemáticos de tal forma quepossam ser resolvidos usando operações aritméticas(Algoritmo com um número finito de operações).


Problema Real







Como necessitamos realizar um número grande de cálculosaritméticos, devemos usar o computador para obter umsolução em um tempo razoável.


Problema Real







A análise dos resultados tem como objetivo verificar se osresultados observados correspondem aos esperados, combase em critérios e padrões estipulados.


Problema Real







Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantesdo que se esperaria obter, ainda que todas as fases tenham sidorealizadas corretamente.

Erros


Problema Real







Erros na Fase de Modelagem:

❖ Para representar um fenômeno do mundo físico por meio de ummétodo matemático, normalmente, são necessárias váriassimplificações do mundo físico para que se tenha um modelo.

❖ A precisão dos dados de entrada.

Erros


Problema Real







Erros na Fase de Resolução:

❖ A forma como os dados são representados no computador(aproximações).

❖ As operações numéricas efetuadas.

Erros

Estudaremos os erros que surgem da representação de números em um

computador e os erros resultantes das operações numéricas efetuadas

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1 Noções básicas sobre Erros

Fenômenos da natureza podem ser descritos através do uso de

modelos matemáticos.

MODELAGEM: é a fase de obtenção de um modelo matemático

que descreve o comportamento do problema que se quer estudar.

RESOLUÇÃO: é a fase de obtenção da solução do modelo

matemático através da aplicação de métodos numéricos.

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1.1 Erros

Para se obter a solução do problema através do modelo matemático,

erros são cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUÇÃO.

EXEMPLO: Calcular a área da superfície terrestre usando a

formulação A = 4.p.r² .

Resolução: Aproximações (ERROS):

MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma

idealização de sua forma verdadeira. O raio da Terra é obtido por

medidas empíricas e cálculos prévios.

RESOLUÇÃO: o valor de π requer o truncamento de um processo

infinito; os dados de entrada e os resultados de operações aritméticas

são arredondados pelo computador.

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--Características Físicas:

Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km;

Massa: 5,98x1024 Kg;

Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg;

Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27’.

--Características Orbitais:

Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km;

Distância Máxima do Sol: 152100000Km;

Distância Mínima do Sol: 147100000Km;

Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg;

Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.

OBS. 1: Características do planeta Terra.

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1.2 Erros Absolutos e Relativos

1.2.1 Erro Absoluto

Geralmente não se conhece o valor exato x . Assim, o que se faz é

obter um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro

absoluto.

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1.2 Erros Absolutos e Relativos

1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro

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Exemplo: Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b).

Exemplo

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1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento

1.3.1 Erro de Arredondamento

di seja a última casa se di+1<5;

di +1 seja a última casa se di+15.

Exemplo: Arredondar p na quarta casa decimal, sendo que

p = 3,1415926535

di =5 e di+1=9>5

di +1=5+1=6. Logo: p = 3,1416.

Arredondar um número na casa di é desconsiderar as casas

di+ j ( j =1,,) de tal forma que:

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1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento

1.3.2 Erro de Truncamento

Truncar um número na casa di é desconsiderar as casas

di+ j ( j =1,,).

Exemplo: Aproximar p truncando na quarta casa decimal, sendo

que p=3,1415926535

Exemplo:

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1.4 Aritmética de Ponto Flutuante

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Exemplo: Considerando no sistema de base 10, b=10, represente

os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante:

1.4 Aritmética de Ponto Flutuante

a) 0,34510

b) 31,41510

Obs.: Os números assim representados estão NORMALIZADOS, isto é, a

mantissa é um número entre 0 e 1.

Exemplo: Considerando no sistema binário, b=2, represente o

número 1012 em aritmética de ponto flutuante.

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1.5 Conversão de Bases

1.5.1 Conversão da Base b para a Decimal (b10)

Um número na base b pode ser escrito, na base decimal, como:

Para a conversão, faz-se a operação entre a mantissa do número

normalizado e a base βexp .

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Exemplo: Nos itens a seguir, faça a conversão da base indicada

para a decimal, determinando o valor da variável x .


a) 10112 = x10

b) 11,012 = x10

c) 403,125 = x10

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1.5.2 Conversão da Base Decimal para a b ( 10b )


Aplica-se um processo para a parte inteira e um outro para a parte.

a) PARTE INTEIRA ( N ): a.1) N <b N10 = Nb .

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Exemplo: Converta 5910 para a base 2.

Exemplo: Converta 5910 para a base 3.

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b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ):


◼ O processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e na

fracionária.

◼ O método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira, conforme

estudado anteriormente.

◼ Para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicações

sucessivas até que se atinja zero.

◼ Para exemplificar, será convertido o número decimal 8,375 em binário.


◼ Isto equivale a uma dízima periódica. Como exemplo, tem-se:

◼ Observação Importante: existem casos em que o método das

multiplicações sucessivas encontra novamente os números já

multiplicados e o processo entra em um “loop” infinito.

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1.6 Operações de Pontos Flutuantes

1.6.1 Representações

• Precisão dupla: “dobra” a mantissa (2* t );

• O zero em ponto flutuante é em geral representado com o menor

expoente (exp=I ) possível na máquina;

• Ao converter um número para determinada aritmética de ponto

flutuante, emprega-se sempre o arredondamento;

• Não é possível representar todos os números reais em determinada

aritmética de ponto flutuante (reta furada).

OBS. 3: Um exemplo da reta furada é: Considere a aritmética de pontos flutuantes com parâmetros

b=10 e t =3. Tome os números consecutivos 3,57 e 3,58. Existem infinitos números reais entre 3,57 e

3,58 que não podem ser representados nesta aritmética de pontos flutuantes. Por exemplo: 3,571 ou

3,57437.

Exemplo: Representar o ponto flutuante (t=4, b=10, e exp [-4,4]):

Número na base decimal Representação em ponto flutuante

mantissa base

expoente

1532 0,1532 x 104 0,1532 10 4

15,32 0,1532 x 102 0,1532 10 2

0,00255 0,255 x 10-2 0,255 10 -2

10 0,10 x 102 0,10 10 2

0,000002 Underflow Expoente < -4

817235,89 Overflow Expoente > +4



OBS.: Deve-se converter os valores para a aritmética de ponto flutuante com 3

algarismos significativos.

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A seguir será mostrada, a precisão das operações numéricasenvolvendo números de ponto flutuante. Para tal, será utilizado umcomputador hipotético com dois dígitos, base dez e expoentee = -5,...,5(t=2, b=10, e exp [-5,5]):


Quando dois números são somados ou subtraídos, os dígitos donúmero de expoente menor devem ser deslocado de modo a alinharas casa decimais. O resultado é, então, arredondado para 2 dígitospara caber na mantissa de tamanho 2. Isto feito, o expoente éajustado de forma a normalizar a mantissa (d1≠0)

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Exemplo: Somar 4,32 e 0,064. (t=2, b=10, e exp [-5,5])

Exemplo: Subtrair 371 de 372. (t=2, b=10, e exp [-5,5])

Exemplo: Somar 691 e 2,71. (t=2, b=10, e exp [-5,5])

Exemplo: Multiplicar 1234 por 0,016. (t=2, b=10, e exp [-5,5])

Exemplo: Multiplicar 875 por 3172. (t=2, b=10, e exp [-5,5])

Exemplo: Dividir 0,0064 por 7312. (t=2, b=10, e exp [-5,5])

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Além de erros visto anteriormente, uma outra causa de erros quando seusa uma máquina é devida à conversão de base. Geralmente, umnúmero é fornecido a máquina na base 10 e, no entanto, ele éarmazenado na base 2.

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