a criação de ambientes favoráveis à aprendizagem significativa
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Roberto Lessa de Carvalho
A CRIAÇÃO DE AMBIENTES FAVORÁVEIS À
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA CRÍTICA EM
CONTEXTOS DE CURSOS REGULARES NAS AULAS DE
MATEMÁTICA
OURO PRETO
2012
Roberto Lessa de Carvalho
A CRIAÇÃO DE AMBIENTES FAVORÁVEIS À
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA CRÍTICA EM
CONTEXTOS DE CURSOS REGULARES NAS AULAS DE
MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora, como exigência parcial à
obtenção do Título de Mestre em
Educação Matemática pelo Mestrado
Profissional em Educação Matemática
da Universidade Federal de Ouro Preto,
sob orientação da Profª. Dra. Roseli de
Alvarenga Corrêa.
OURO PRETO
2012
Catalogação: [email protected]
C331c Carvalho, Roberto Lessa de.
A criação de ambientes favoráveis à aprendizagem significativa crítica em
contextos de cursos regulares [manuscrito] / Roberto Lessa de Carvalho – 2012.
181 f.: il., color.; tabs.
Orientadora: Profª. Drª. Roseli de Alvarenga Corrêa.
Co-orientadora: Profª Drª Regina Helena Lino de Oliveira Franchi.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de
Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática.
Área de concentração: Educação Matemática.
1. Ensino fundamental - Teses. 2. Aprendizagem - Teses. 3. Psicologia da
aprendizagem - Teses. 4. Razão e proporção - Proporcionalidade - Teses.
4. Tales de Mileto - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.
CDU: 511.13:373.3:159.953.5
CDU: 669.162.16
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A CRIAÇÃO DE AMBIENTES FAVORÁVEIS À APRENDIZAGEM
SIGNIFICATIVA CRÍTICA EM CONTEXTOS DE CURSOS REGULARES NAS
AULAS DE MATEMÁTICA
Autor: Roberto Lessa de Carvalho
Orientadora: Profa. Dra. Roseli de Alvarenga Corrêa
Co-orientadora: Profa. Dra. Regina H. de O. Lino Franchi
Este exemplar corresponde à redação final da Dissertação
defendida por Roberto Lessa de Carvalho e aprovada pela
comissão Examinadora. Data: 24/08/2012.
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________
Profa. Dra. Roseli de Alvarenga Corrêa – UFOP
Orientadora
__________________________________________________
Profa. Dra. Regina H. de O. Lino Franchi- UFOP
Co-orientadora
__________________________________________________
Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire – PUC/MG
Examinadora
__________________________________________________
Prof. Dr. Frederico da Silva Reis – UFOP
Examinador
OURO PRETO
2012
Dedico este trabalho às duas pessoas
mais importantes da minha vida:
Cléa e Sophia.
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos:
Ao Deus todo poderoso do qual procedem todas as coisas e que tem
me concedido forças para superar as dificuldades e persistir.
Em especial à Cléa, companheira incansável e grande incentivadora.
Obrigado por acreditar em mim, às vezes mais do que eu mesmo.
Ao meu único tesouro Sophia, compreendeu-me e soube me dividir
com minhas horas de dedicação, trabalho e estudo.
À minha mãe pelo exemplo!
À minha estimada família (irmãos, irmãs, sobrinhos, sogro, sogra,...)
pelo apoio e consolo em todas as horas.
À Professora Doutora Roseli de Alvarenga Corrêa que com
benevolência orientou-me por caminhos que jamais trilharia sozinho,
pela dedicação, apreço, compromisso e enorme cooperação no
desenvolvimento da pesquisa.
À Professora Doutora Regina Helena de Oliveira Lino Franchi, por
estar sempre pronta a ajudar e ao mesmo tempo pelos apontamentos e
contribuições que me enriqueceram intelectualmente durante o
processo de elaboração da pesquisa.
Ao professor Renato Andrade do Colégio Arquidiocesano de Ouro
Preto, pela inestimável cooperação no desenvolvimento da pesquisa.
À Profa. Eliane e ao Prof. Frederico, membros da banca de
qualificação, pelas contribuições dadas para o enriquecimento da
investigação.
Aos colegas e companheiros do mestrado, com os quais trocamos
experiências e conhecimentos, pelo incentivo e amizade.
RESUMO
Este trabalho, embasado em pesquisas teóricas e de campo, assumiu como proposta uma
investigação com foco na teoria da Aprendizagem Significativa e da Aprendizagem
Significativa Crítica em contextos de cursos regulares nas aulas de Matemática. Teve como
objetivo investigar as possibilidades de criação de ambientes que favoreçam ao aluno
estudar e aprender Matemática de forma significativa e crítica. Buscou-se apoio teórico em
alguns autores dentre os quais David Ausubel e Marco Antonio Moreira, com destaque aos
conceitos relevantes das teorias que fundamentam a Aprendizagem Significativa e a
Aprendizagem Significativa Crítica, relacionados com o tema da presente pesquisa, de
forma a possibilitar seu entendimento e identificar os princípios inerentes ao processo de
ensino e aprendizagem da Matemática escolar. O grupo composto pelos sujeitos da pesquisa
foi constituído pelos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola particular de
Ouro Preto/MG, nas próprias turmas de alunos do professor pesquisador. Em consonância
com os aspectos teóricos que fundamentaram a investigação, com o Projeto Político
Pedagógico da Escola e com o plano de ensino de Matemática proposto para o 1º. semestre
letivo de 2011, foram criadas e elaboradas atividades em que o cotidiano próximo dos
alunos se fizesse presente nos estudos e discussões em sala de aula e despertasse o interesse
e a motivação para o aprendizado de conceitos matemáticos decorrentes. Nesse sentido, foi
desenvolvida uma proposta didática objetivando o aprendizado significativo e crítico da
Matemática, com destaque para as visitas orientadas aos monumentos históricos das cidades
de Ouro Preto e Belo Horizonte. O tema proporcionalidade destacou-se dentre os demais e,
como consequência, o Teorema de Tales, centralizou as ações para a criação e a seleção das
atividades. Os dados resultantes, obtidos pela realização de cada grupo de atividades e pelo
nível de atendimento aos seus objetivos, revelaram que, além de significativa, a
aprendizagem foi também crítica, atendendo, em maior ou menor grau, aos princípios que
regem a Aprendizagem Significativa Crítica. Como pontos de referência para tal
julgamento, dentre outros, destacam-se: o resultado das atividades e avaliações no
atendimento aos objetivos, as opiniões dos alunos registradas em seus relatórios, os
registros do professor pesquisador em seu caderno de campo, as discussões e troca de
conhecimentos nos grupos de trabalho, o empenho na realização das tarefas e a postura mais
questionadora dos alunos.
Palavras-chave: Ensino Fundamental, Aprendizagem Significativa, Aprendizagem
Significativa Crítica, Proporcionalidade, Teorema de Tales.
ABSTRACT
This work, based on theoretical and field researches, proposed an investigation focusing
on the theory of Meaningful Learning and Critical Meaningful Learning in the context
of regular courses in Mathematics classes. Its objective was to investigate the
possibilities to create environments which encourage the student to study and learn
Mathematics in a meaningful and critical way. Theoretical support was sought in some
authors among whom David Ausubel and Marco Antonio Moreira, highlighting the
relevant concepts of the theories which substantiate the Meaningful Learning and the
Critical Meaningful Learning, related with the theme of this present research, in order to
enable its understanding and to identify the principles inherent to the process of
teaching and learning of Mathematics at school. The group composed by the subjects of
the research was formed by the 9th grade students of middle school in a private school
in Ouro Preto / MG - Brazil, from the classes of students of the teacher/researcher. In
accordance with the theoretical aspects that based the investigation, with the Policy
Pedagogical Project of the School and with the plan of Mathematics teaching proposed
for the 1st school semester of 2011, activities were created and adjusted in a way that
the everyday life of the students was present in the studies and in classroom discussions
in order to boost the interest and motivation to learn the resulting mathematical
concepts. In this sense, a didactical proposal was developed, aiming the meaningful and
critical learning of Mathematics, highlighting the guided visits to monuments in the
cities of Ouro Preto and Belo Horizonte. The topic proportionality was a favorite
among others, and as a consequence, Thales Theorem centralized the actions for the
development and selection of the activities. The resulting data, obtained through the
performance of each group of activities and by the level of accomplishment of their
objectives, revealed that, besides meaningful, the learning was also critical, complying,
at different degrees of intensity, with the principles that rule the Critical Meaningful
Learning. As reference for such judgment, among others, these can be pointed out: the
result of the activities and evaluations in the fulfillment of the objectives, the opinions
of the students recorded in their reports, the records of the teacher/researcher in his field
notebook, the discussions and exchange of knowledge in the work groups, the
dedication in performing the tasks and the more inquisitive attitude of the students.
Key-words: Middle School, Meaningful Learning, Critical Meaningful Learning,
Proportionality, Thales Theorem.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1- Transparência igreja São Francisco 91
Figura 2- Transparência Casa dos Contos 91
Figura 3- Estimar dimensões inacessíveis 92
Figura 4 - Torre Sineira Igreja da Pampulha 92
Figura 5- Foto dos alunos observando e desenhando detalhes do painel de azulejos 93
Figura 6 - Detalhe do painel de azulejo 93
Figura 7- Esboço de São Francisco 93
Figura 8 – Detalhe do painel de azulejo 94
Figura 9 – Detalhe do painel de azulejo 94
Figura 10 – Esboço de peixes e pássaro 94
Figura 11- Foto da igreja de São Francisco / OP 95
Figura 12- Foto Casa dos Contos 95
Figura 13- Resolução do aluno para o esquema da barragem 99
Figura 14- Resolução do aluno para o esquema do loteamento 100
Figura 15- Esquema da foto de São Francisco de Assis 101
Figura 16- Esquema de resolução do aluno 101
Figura17- Esquema da resolução do aluno aplicando o T. de Tales 102
Figura18- Foto da fachada da Pampulha 103
Figura 19- Esquema da fachada 103
Figura 20- Resolução e esquema do aluno sobre Tales no triângulo 104
Figura 21- Resolução do aluno envolvendo o conceito de escala 105
Figura 22- Resolução do aluno envolvendo aplicação do Teorema de Tales 105
Figura 23- Resolução do aluno aplicando o Teorema de Tales 106
Figura 24- Resolução do aluno sobre consequência do Teorema Tales 107
Figura 25- Atividade sobre semelhança 108
Figura 26- Resolução do aluno sobre semelhança 108
Figura 27- Resolução do aluno sobre semelhança de triângulos 108
LISTA DE QUADROS
Quadro 1- A aprendizagem significativa na visão cognitiva clássica de Ausubel 33
Quadro 2 - O continuum aprendizagem mecânica-aprendizagem significativa 35
Quadro 3 – Grupo de atividades GA1 65
Quadro 4- Grupo de atividades GA2 68
Quadro 5 – Grupo de atividades GA3 71
Quadro 6 – Grupo de atividades GA4 74
Quadro 7 – Grupo de atividades GA5 76
Quadro 8 – Grupo de atividades GA6 78
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 13
CAPÍTULO 1. Referencial Teórico .................................................................. 21
1.1 A Educação Matemática escolar e suas manifestações .......................... 21
1.2. Aprendizagem Significativa e Aprendizagem Significativa Crítica .... 28
CAPÍTULO 2. Contexto da pesquisa e procedimentos metodológicos .......... 49
2.1. O professor como pesquisador de sua prática pedagógica ..................... 49
2.2. A questão de investigação e os procedimentos metodológicos
adotados ......................................................................................................... 50
2.3. A pesquisa de campo ............................................................................... 51
CAPÍTULO 3. Apresentação da pesquisa ........................................................ 55
3.1. A concepção das atividades .................................................................. 55
3.1.1. Minha experiência pessoal como professor e minhas
concepções sobre educação matemática ............................................. 55
3.1.2. Minhas leituras prévias sobre a Aprendizagem Significativa
e da Aprendizagem Significativa Crítica ............................................ 57
3.1.3. O Projeto Político Pedagógico da Escola (PPP) ...................... 58
3.1.4. A programação dos conteúdos matemáticos para o primeiro
semestre de 2011................................................................................. 60
3.2. A proposta do Projeto .......................................................................... 62
3.3. Apresentação das atividades, seus objetivos e desenvolvimento.. ....... 63
CAPÍTULO 4. Atividades, objetivos e resultados ............................................ 83
4.1. Os Grupos de Atividades e o atendimento dos objetivos propostos ..... 83
4.1.1. Análise do atendimento aos objetivos do grupo (a)
em GA1 e GA2 ................................................................................... 87
4.1.2. Análise do atendimento aos objetivos do grupo (a)
em GA3, GA4, GA5 e GA6................................................................ 98
4.1.3. Análise do atendimento aos objetivos do grupo (b)
através das atividades dos GAs........................................................ 109
4.2. Aprendizagem Mecânica versus Aprendizagem Significativa ........... 111
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................ 119
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 129
APÊNDICES......................................................................................................132
13
INTRODUÇÃO
Para uma melhor compreensão dos motivos da opção em pesquisar sobre
aprendizagem significativa em Matemática, apresento parte da minha trajetória
acadêmica e profissional, narrando fatos que me impulsionaram na busca de novos
aprendizados, experiências e possíveis respostas para meus questionamentos, levando-
me, inclusive, à realização de cursos de pós-graduação em Educação Matemática.
Iniciei minha vida acadêmica em nível de terceiro grau, cursando graduação
em Engenharia na Universidade Federal de Ouro Preto, em 1997. Paralelamente,
ministrava aulas de Matemática para a 7ª série do Ensino Fundamental em Ouro Preto.
A falta de professores formados em Matemática era grande e eu, mesmo sem a
habilitação, fui chamado para suprir essa falta de professores da área. Assim, cursando o
1º período do curso de Engenharia, iniciei minhas atividades profissionais trabalhando
na educação escolar, a princípio, para ter um rendimento e sustentar meus estudos.
A minha prática, enquanto professor, se resumia a aula expositiva, pois eu
achava que, se aprendi dessa forma, porque os meus alunos também não poderiam
aprender? Tinha que cobrar deles o que eu ensinava e, se não aprendessem, era porque
não tinham nenhuma afinidade com exatas. Essa postura talvez fosse resultado do tipo
de formação que eu tive. Por estar fazendo um curso de engenharia (cursei até o sexto
período) não tinha tido nenhum contato com disciplinas da área de Educação e
Educação Matemática.
Tudo começou a mudar quando decidi cursar, a partir do ano 2000, algumas
disciplinas do curso de Licenciatura em Matemática no Instituto de Ciências Exatas e
Biológicas da UFOP, quando comecei a questionar a minha prática pedagógica exercida
até aquele momento, já percebendo a existência de outras possibilidades didáticas que
não somente aulas expositivas. Com a opção formada de deixar o curso de engenharia e
me transferir para o curso de Licenciatura em Matemática, abriu–se, finalmente, a
oportunidade para alcançar uma formação adequada e buscar respostas para alguns dos
questionamentos que a minha prática já suscitava. Afinal, me angustiava muito quando
percebia que meus alunos não viam nenhum significado na Matemática que estavam
estudando.
Assim que conclui a Licenciatura em Matemática, surgiu uma nova
oportunidade de continuar meus estudos na área da Educação: realizar o curso de
Especialização em Educação Matemática também na UFOP. Já cursando a
14
especialização, me aprofundei em estudos da disciplina Modelagem Matemática, já
iniciados durante a graduação. Novas possibilidades para desenvolver um trabalho que
tornasse as aulas de Matemática mais significativas para os alunos começaram a ser
delineadas. A pergunta que eu sempre fazia era, “como proceder para despertar o
interesse e/ou o gosto dos alunos pela Matemática?”, juntamente com questionamentos
do tipo: O que aprender? O que ensinar? Como fazer?
Em 2005 conclui essa etapa de minha trajetória acadêmica que culminou na
realização da monografia de especialização, na qual investiguei contribuições sobre o
uso da Modelagem Matemática para o ensino, compreendida como inspiradora de
estratégias metodológicas para o aprendizado da Matemática, em cursos noturnos do
Ensino Médio. Na conclusão do estudo, o aspecto do aprendizado significativo da
Matemática, preocupação sempre presente em minha prática docente, assumiu novas
dimensões quando pude antever, através do trabalho realizado com os alunos, novas
possibilidades e perspectivas para o ensino da Matemática. Alguns trechos das
considerações finais do trabalho, destacados a seguir, ressaltam esse fato.
“O projeto proposto e executado confirmou, em linhas gerais, o que
apreendi durante minhas reflexões teóricas. Embora, no primeiro
momento, o objetivo era ensinar a Matemática inserida num programa
pré-definido, conhecendo melhor meus alunos e suas necessidades,
busquei realizar um trabalho mais dinâmico, mais significativo, que
levasse os alunos a compreenderem certas noções matemáticas tendo
origem na sua realidade e incentivando a socialização de suas idéias.
(...) Foram tratados temas necessários para compreender o papel da
aprendizagem da Matemática e suas interações com outras áreas de
conhecimento, buscando nas profissões dos alunos o aprendizado da
Matemática e outros saberes de forma mais significativa. (...) No
trabalho que eu realizei, a motivação dos alunos pode ser constatada
em todas as etapas do projeto e senti uma satisfação quando no final
das apresentações dos trabalhos, percebemos como o aprendizado se
efetuou ao trabalhar em grupo, ao dividir as tarefas, ao cooperar com o
outro, ao perseverar na busca de soluções, ao desenvolver o interesse
em aprender, ao trocar idéias, ao pesquisar, ao refletir. (...) Todas
essas ações foram fundamentais para o bom desenvolvimento da
proposta em sala de aula e para constatar o papel da Modelagem
Matemática, da forma como a concebemos, na tarefa de tornar o
aprendizado da Matemática mais significativo para o aluno e que
Modelagem Matemática, como metodologia de ensino, pode
realmente contribuir, com eficácia, para o aprendizado da Matemática
em cursos noturnos do Ensino Médio.” (CARVALHO, 2005, pp. 38-
40)
Nesse trabalho de pesquisa, o tema “aprendizagem significativa” foi entendido
como um aprendizado da Matemática que proporcionasse ao aluno compreendê-la como
um conhecimento que lhe estruturasse para resolver, além dos problemas matemáticos
15
próprios do contexto escolar, também problemas matemáticos ditados pela sua vivência
diária, pelos questionamentos originados de seu trabalho, buscando compreender essa
realidade e poder agir sobre ela.1
Iniciando o curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática na UFOP
em 2010, e pretendendo dar continuidade aos estudos feitos anteriormente no curso de
especialização, novas reflexões e leituras posteriores nos alertaram para a temática
“aprendizagem significativa da Matemática”, frase tantas vezes expressa e lida em
vários textos, mas ainda permanecendo na obscuridade, dado o restrito entendimento a
ela atribuído em nossa pesquisa inicial. Por outro lado, assumindo uma postura mais
focada nessa temática, notamos, através de nossas leituras, a relativa insistência em
alguns artigos sobre Educação Matemática e em livros didáticos de Matemática no uso
da frase “aprendizagem significativa” nos diversos momentos de seus textos.
Mais fortalecidos pelo novo enfoque dado ao tema e pela pluralidade de
considerações emergentes de nossas leituras, novos questionamentos se fizeram
presentes, tais como: “O que é aprendizagem significativa?”, “Quando os autores e
professores falam sobre aprendizagem significativa, o que eles querem dizer?”, “O que
se pode dizer sobre aprendizagem significativa da Matemática?”.
Com a temática já estabelecida para o desenvolvimento da pesquisa -
Aprendizagem Significativa da Matemática - e o aspecto problematizante da mesma já
iniciado, elaboramos e aplicamos um questionário a alguns professores de Matemática
de Ouro Preto e região, buscando investigar e compreender, a princípio, o que eles
entendiam por aprendizagem significativa da Matemática. Consideramos, no momento,
que tal investigação preliminar e seus resultados pudessem ser colocados como pontos
estruturantes para a pesquisa que pretendíamos realizar para a dissertação de mestrado.
O questionário constava de duas partes: a primeira, perguntando sobre a
situação profissional do professor, local de trabalho e tempo de serviço no magistério e
a segunda, contendo duas perguntas assim expressas: “Qual o seu pensamento sobre
aprendizagem significativa da matemática? Quando você lê um texto, escreve ou fala
sobre o aprender Matemática significativamente o que tal expressão representa para
você?”
1 Até o momento, o texto se apresentou, em tempo verbal, na 1ª. pessoa do singular, expressando a
vivência profissional do professor pesquisador desta dissertação. Quando se inicia o processo de
orientação da pesquisa no curso de Mestrado Profissional, por opção do pesquisador, o texto se apresenta
na primeira pessoa do plural. Este procedimento se repetirá em outros momentos desta dissertação.
16
Devolveram o questionário 28 professores expressando suas opiniões. O
resultado revelou que os professores que lecionam Matemática manifestaram uma
diversidade de pensamentos sobre o tema “Aprendizagem Significativa da Matemática.
Dos 28 respondentes (alguns manifestando mais de um pensamento sobre o assunto), 15
disseram que o significativo da Matemática se colocava na sua aplicabilidade no
cotidiano; 10 deles priorizaram a aprendizagem do conhecimento matemático de forma
intrínseca ao próprio conhecimento; 03 respondentes consideraram que o significativo
da Matemática se colocava na sua conexão com outros campos de conhecimento. 04
deles salientaram a relação professor/aluno - os sujeitos envolvidos no processo de
aprendizagem da Matemática - e o interesse e empenho do aluno em aprender, como
elementos importantes para um aprendizado significativo da Matemática. Outras duas
opiniões consideraram a História da Matemática e os objetivos propostos pelo professor
como aspectos significantes para o aprendizado da disciplina.
Esses resultados revelaram-se importantes para a nossa pesquisa, pois
mostraram a variedade de visões que os professores de Matemática consultados têm
sobre o tema Aprendizagem Significativa da Matemática. Em concordância com tais
visões, o nosso pensamento sobre o aprendizado significativo do conhecimento
matemático, historicamente construído e ensinado nas escolas, constitui-se num
amálgama de todas as opiniões manifestadas, pois, acreditamos que, além da
importância do aprendizado do próprio conhecimento, coloca-se como fundamental
também a sua aplicabilidade na vida cotidiana das pessoas, a sua relação com outras
áreas do conhecimento, a sua história e o envolvimento dos sujeitos no processo de
aprendizagem.
Foram as leituras prévias a respeito da teoria proposta por Ausubel que
propiciaram a necessidade de ampliar nossos estudos para outros textos, dentre os quais
os de Marco Antônio Moreira sobre a Aprendizagem Significativa Crítica. Segundo
Moreira (2006), brasileiro e profundo conhecedor da teoria da Aprendizagem
Significativa, tal como formulada por David Ausubel na década de sessenta, esta se
apresentou inicialmente como uma proposta psicoeducativa com um enfoque
cognitivista. Posteriormente um enfoque mais humanista foi atribuído à Aprendizagem
Significativa por Joseph Novak, discípulo e colaborador de Ausubel.
A Teoria da Aprendizagem Significativa e a da Aprendizagem Significativa
Crítica constituem elementos importantes do referencial teórico que fundamenta esse
trabalho. Assim, neste projeto procuramos estudar e expressar os conceitos relevantes
17
que fundamentam tais teorias e que se relacionam com nossa pesquisa, de forma a
possibilitar seu entendimento e identificar os princípios inerentes ao processo de ensino
e aprendizagem escolar, segundo os autores.
Estudos anteriores a esta nova etapa de investigações, versando sobre as
tendências atuais na Educação Matemática realizados nos cursos de graduação e
especialização em Educação Matemática da UFOP/MG, nos fizeram cientes das
dificuldades inerentes ao ensino e aprendizagem Matemática em nível escolar. Alguns
dos questionamentos que nós professores ouvimos dos alunos com certa frequência, e
que vem chamando nossa atenção, está na forma com que a Matemática é “ensinada”
nas nossas escolas hoje. As perguntas mais frequentes que ouvimos dos alunos são:
Porque eu tenho que aprender isso? Para que isso serve? Na nossa concepção, essas
preocupações são oriundas da forma como a Matemática vem sendo “ensinada” em
ambientes escolares, em qualquer nível de ensino, do Fundamental ao Superior.
Pela nossa experiência didática, temos ciência de que alguns fatores
contribuem para que a Matemática seja considerada uma disciplina difícil e não ao
gosto dos alunos. A começar pela linguagem específica, tida pelos estudantes como
complexa, com definições, símbolos, termos e fórmulas que exigem memória e pouco
induz à reflexão. E, em escolas particulares, pelo ensino totalmente baseado em
apostilas prontas que o professor tem que seguir e dar conta durante o ano letivo. Entre
os alunos ainda paira no ar aquele mito de que a Matemática é para poucos.
A revisão bibliográfica e os estudos dos textos dos novos autores selecionados,
como serão expressos no Capítulo 1, aliados aos questionamentos ditados pela nossa
prática no magistério, ainda nos revela que constitui um grande desafio para nós
professores – principalmente para os que lecionam em escolas particulares em que as
condições de trabalho em sala de aula são guiadas por normas pré-estabelecidas, alheias
ao contexto escolar local – a criação de ambientes favoráveis ao que chamamos,
segundo o conceito de Moreira, de Aprendizagem Significativa Crítica.
No entanto, vencer os desafios que a educação escolar e a educação
matemática nos colocam pela frente onde quer que estejamos atuando, escola pública ou
particular e nos vários níveis de escolaridade, é o que nós professores/educadores
buscamos através da reflexão, do estudo, da pesquisa. Nessa trajetória acadêmica e
profissional, desenvolvendo uma investigação em nível de pós-graduação, concebemos
a Educação Matemática como aquela que busca, na vivência matemática em sala de
aula, uma forma de aproximar as diferentes atividades escolares com a realidade extra-
18
escolar. Propusemos para tal, criar, elaborar e desenvolver, com alunos do 9º ano do
Ensino Fundamental, várias atividades em que o cotidiano próximo deles fosse ponto de
partida para as discussões em sala de aula e para o aprendizado de conceitos
matemáticos decorrentes. Tais pensamentos e novas posturas em sala de aula nos
conduziram para estudos posteriores que viessem nos estruturar teoricamente nesse
novo caminhar pedagógico.
Acreditamos que tais esclarecimentos justifiquem a escolha de nossa temática e
opções de estudos sobre Aprendizagem Significativa e Aprendizagem Significativa
Crítica, cujos aspectos teóricos são predominantes em nosso trabalho de pesquisa, já
que concentramos nossos esforços para trazer respostas à seguinte questão de
investigação: “Como criar ambientes favoráveis à Aprendizagem Significativa
Crítica em contextos de cursos regulares nas aulas de Matemática?”
Como objetivo geral dessa investigação, pretendemos: “Investigar as
possibilidades de criação de ambientes que favoreçam ao aluno estudar e aprender
Matemática de forma significativa e crítica”. Para tal, propusemos realizar as
seguintes tarefas: (1) ter conhecimento do ambiente da escola, local da pesquisa:
professor, aluno, materiais, plano pedagógico; (2) fazer levantamento da teoria
subjacente ao tema, selecionar e estudar os textos dos autores cujas obras mais se
relacionam com nossa pesquisa; (3) investigar as possibilidades de intervenção no
momento atual da escola, de forma a poder desenvolver um trabalho com os alunos sem
incorrer em interrupções e alterações do que foi planejado no início do ano letivo; (4)
criar e elaborar situações/atividades afins com o objetivo proposto e (5) implementar e
desenvolver as atividades em sala de aula, tendo como referência para análise, os
conceitos e princípios dogmáticos da Aprendizagem Significativa e da Aprendizagem
Significativa Crítica.
19
Estrutura da dissertação
Neste tópico que chamamos INTRODUÇÃO, apresento, brevemente, a minha
trajetória acadêmica e profissional, o tema da pesquisa, a questão de investigação e o
objetivo. Antecipamos que este documento foi organizado em quatro capítulos, como a
seguir:
Capítulo 1: É constituído pelos aspectos que fundamentam teoricamente a
pesquisa. Procuramos dividi-lo em duas partes: 1.1. A Educação Matemática escolar e
suas manifestações. A seleção de autores se orientou pelas ideias proclamadas nas
tendências da Educação Matemática atual e se coloca no trabalho com a finalidade de
justificar a necessidade de novos enfoques e alternativas para a Educação Matemática
escolar; 1.2. Apresentamos as interpretações dadas por Ausubel e seguidores sobre
Aprendizagem Significativa e, a seguir, os estudos aprofundados de Marco Antonio
Moreira sobre a teoria ausubeliana, complementando com sua visão sobre a teoria para
fins escolares e sua proposta na elaboração da teoria da Aprendizagem Significativa
Crítica e os princípios que a sustentam.
Capítulo 2: Destinado aos aspectos metodológicos inerentes à pesquisa. Trata
de temas como o do professor pesquisador de sua própria prática. Caracteriza a escola e
os alunos envolvidos na pesquisa e destaca alguns recursos didáticos utilizados. A
seguir, são descritos os procedimentos adotados na pesquisa de campo, a criação e
produção das atividades e os elementos utilizados para a coleta de dados, dentre outras
ações.
Capítulo 3: Tendo em vista a questão de investigação e os objetivos da presente
pesquisa, foram criadas e elaboradas atividades para serem realizadas pelos alunos,
compondo, assim, a etapa da pesquisa de campo dessa análise. Damos destaque a uma
série de fatores que inspiraram a elaboração de estratégias de ação condizentes com o
propósito de investigar as possibilidades de construir ambientes que favoreçam a
aprendizagem da Matemática de forma significativa e crítica. Ainda neste capítulo
detalhamos todos os grupos de atividades elaborados, cada qual em seu respectivo
quadro, demonstrando a origem das atividades, os temas matemáticos a serem
estudados, seus objetivos e desenvolvimento.
Capítulo 4: Em 4.1 retomamos cada um dos grupos de atividades com seus
objetivos e, respaldados pelos referenciais teóricos que fundamentam a pesquisa,
fazemos uma análise sobre o alcance deles, como se manifestaram e quais resultados
20
produziram nos alunos para uma aprendizagem significativa e crítica da Matemática.
Em 4.2, antecipando a resposta para a nossa pergunta, fazemos um contraponto entre
Aprendizagem Mecânica e Aprendizagem Significativa
A seguir, apresentamos as Considerações Finais, as Referências Bibliográficas
e os Apêndices. Como produto final desta dissertação, elaboramos uma proposta
educacional dirigida a professores de Matemática que será apresentada em encarte não
anexado ao texto dissertativo.
21
CAPÍTULO 1
REFERENCIAL TEÓRICO
Para a realização desta investigação, pesquisamos alguns autores que falam das
dificuldades inerentes ao ensino e aprendizagem da Matemática, da complexidade da
linguagem matemática, das relações existentes entre a matemática do cotidiano das
pessoas, a matemática escolar e a chamada matemática científica e a formação de
professores de Matemática nos cursos de licenciatura. Destacamos em linhas gerais uma
das tendências atuais em Educação Matemática, mais precisamente a Educação
Matemática Crítica, na linha do pesquisador Ole Skovsmose, cujas ideias alicerçam, a
nosso ver, alguns dos princípios da Aprendizagem Significativa e da Aprendizagem
Significativa Crítica. Complementando essa abordagem, apresentamos os aspectos
teóricos relevantes para nossa investigação, da Aprendizagem Significativa e da
Aprendizagem Significativa Crítica, com destaque para os autores que a criaram.
Salientamos que estudos dessa natureza nos orientam para uma constante reflexão sobre
a nossa prática e, em conjunto, justificam a necessidade de pesquisas e propostas
didáticas como a que pretendemos apresentar neste trabalho.
1.1. A educação matemática escolar e suas manifestações.
Uma variedade de autores que pesquisam na área de Educação Matemática,
aponta que a matemática ensinada na sala de aula, bem como a forma que vem sendo
desenvolvida, não corresponde às necessidades do aluno, tendo em vista a formação do
educando para o exercício de sua cidadania. Segundo Roseli Alvarenga Corrêa (2005),
“já passou o tempo de pensarmos a Matemática como um conhecimento restrito aos
bancos escolares e comunicado através de sua linguagem específica, apenas no recinto
da sala de aula” (p.93). Para a autora, apesar do reconhecimento das aplicações da
Matemática nas ciências e na vida social, o que nos é revelado socialmente é que a
Matemática é tida como uma ciência fria, difícil, abstrata. Em concordância com a
autora, a partir de nossa experiência vivenciada ao longo dos anos, a linguagem
matemática complexa e distante da realidade do aluno tem trazido dificuldades para o
seu ensino e aprendizado.
Ainda, segundo Corrêa, quando se fala em linguagem matemática, pensa-se na
linguagem dos livros e textos didáticos que tradicionalmente se colocam como meios de
22
comunicação dessa linguagem, com caráter universal, mais sistemático e formal. Para a
autora, além dos textos didáticos, a linguagem matemática apresenta-se, na sociedade,
através de uma variedade de meios de comunicação, ressaltando que o conhecimento e a
compreensão dessa linguagem constituem não só um fator do desenvolvimento
intelectual do aluno, mas também um instrumento fundamental na sua formação social.
(p.95)
Focalizando a realidade do nosso ambiente escolar, além da problemática
envolvendo a linguagem formal da Matemática, uma discussão mais recente tem dado
destaque para as possíveis relações existentes entre os saberes escolares e os saberes
cotidianos. Autores como Alexandrina Monteiro e Adair Nacarato (2004) – que
postulam as relações entre Saber Escolar e Saber Cotidiano – afirmam que o discurso
pedagógico, principalmente na área da Matemática, vem sendo mediado pelas
discussões e defesa favorável a favor da inclusão do saber cotidiano do aluno nos
processos de escolarização (p.2). Para as autoras, a aquisição do saber cotidiano e
científico ocorre por epistemologias diferentes, pois,
enquanto o saber cotidiano é fruto da experiência social e direta e se
adquire mediante a participação nas práticas culturais habituais e em
sociedade, o saber cientifico envolve a aprendizagem de um método, de
uma forma de discurso que não é natural e que exige um esforço
consciente e sistemático de explicitação e racionalização. (MONTEIRO
e NACARATO, 2004, p.3).
O estudo feito pelas autoras sobre futuros professores que ensinarão
Matemática teve como objetivo analisar as relações existentes entre saber escolar e
saber cotidiano. Segundo as autoras, embora essas categorias já constassem na
literatura, o fato de emergirem das respostas dos alunos reforçou a necessidade de
considerá-las para análise. Durante a análise foram identificadas pelas autoras duas
subcategorias que destacamos a seguir:
A noção de conhecimento prévio, ou seja, o saber cotidiano teria um
papel de „ponte‟ para a transição do saber escolar, mas este teria a
supremacia, enquanto saber validado; e outra subcategoria, a
consideração do saber cotidiano como fonte de motivação para o
escolar, aqui também o saber escolar se destacando como o mais
importante. (MONTEIRO e NACARATO, 2004, p.6).
Ainda segundo as autoras, não apareceu nenhuma resposta valorizando o saber
científico ou acadêmico em detrimento do saber cotidiano. Elas então, com relação a
esse fato, conjecturam que:
23
O fato da aplicadora ser docente da turma, deve ter influenciado as
respostas, ou esses alunos se tornaram conscientes de que o saber
profissional do professor não engloba apenas o saber específico da
disciplina, mas que este saber é composto de outros, como o saber
curricular, o saber pedagógico e o saber da experiência. (MONTEIRO
e NACARATO, 2004, p.6).
Assim, para as autoras, a valorização do saber cotidiano, no contexto da
pesquisa, ocorre de duas formas: numa perspectiva política e numa visão utilitarista da
Matemática. Segundo elas:
Valorizar o saber cotidiano numa perspectiva política seria o
reconhecimento de que os alunos, em suas práticas culturais, também
produzem Matemática, e que este saber matemático do cotidiano é tão
importante quanto o saber matemático escolar e foi ressignificado a
partir dele, mas desconsiderando a importância do saber científico.
(MONTEIRO e NACARATO, 2004, p.7).
Maria Manoela David e Plínio Cavalcanti Moreira (2003) – que falam das
formas distintas de conhecimento matemático, enfocando a Matemática Acadêmica e a
Matemática Escolar – ainda discutem concepções presentes em futuros professores de
Matemática a favor do saber cotidiano no contexto escolar e apontam algumas
perspectivas visando à formação matemática do futuro professor em cursos de
licenciatura.
Quanto às relações entre Matemática Científica ou Matemática Acadêmica e
Matemática Escolar, na perspectiva de David e Moreira (2003, p.63), estão em relação
direta com o processo de formação do professor nos cursos de licenciatura em
Matemática articulado com a prática docente na escola básica, pois, para os autores, é
fundamental
aprofundar o estudo da constituição da matemática escolar buscando
um referencial de análise que incorpore, de forma mais complexa e
menos dicotomizada, as relações entre o saber científico, o saber
escolar e as questões postas pela prática profissional docente na
escola. (DAVID e MOREIRA, 2003, p.64)
Ainda segundo os autores, tanto a Matemática Científica como a Escolar são
resultantes “em última instância”, das práticas respectivas do matemático e do professor
de matemática da escola, mesmo considerando “toda a trama de condicionamentos
sociais e culturais que se prendem a qualquer construção desta natureza.” (p.64) Quanto
a tais práticas, dizem os autores que “A prática do matemático se caracteriza pela
produção de resultados originais „de fronteira‟. [...] Por sua vez, a prática do professor
de matemática da escola básica desenvolve-se num contexto „educativo‟, o que leva a
24
uma visão fundamentalmente diferente.” (DAVID, MOREIRA, 2003, p.65, destaque
dos autores)
Para os autores, se pensarmos a matemática escolar sob uma perspectiva
técnica, como uma mera versão “didatizada” da matemática científica, o processo de
formação do professor acaba se estruturando em torno desta última.
Considerando outros referenciais para discussões dessa natureza, buscamos nos
Parâmetros Curriculares Nacionais, (1998) alguns esclarecimentos, particularmente
quando fazem referência à compreensão da cidadania como participação social e
política. Nesse sentido, os PCN‟s (1997) expressam que, “o ensino da Matemática no
Brasil atualmente é o componente importante na construção da cidadania, na medida em
que é utilizada e compreendida a sua função para a sociedade em geral.” (p.19)
Ainda, segundo os PCN (1998), devemos ficar atentos ao trabalhar com
situações cotidianas, pois pode haver interpretação equivocada da ideia de contexto ao
se trabalhar apenas com o que se supõe fazer parte do dia-a-dia do aluno:
[...]. Embora as situações do cotidiano sejam fundamentais para
conferir significados a muitos conteúdos a serem estudados, é
importante considerar que esses significados podem ser explorados em
outros contextos como as questões internas da própria Matemática e
dos problemas históricos. Caso contrário muitos conteúdos
importantes serão descartados por serem julgados, sem uma análise
adequada, que não têm uma aplicação prática imediata. (BRASIL
1998, p. 23).
Ou seja, de acordo com os PCN‟s, é necessário melhorar o aprendizado escolar e
associá-lo com a vida prática dos indivíduos. Para o professor é importante ter
conhecimento da história de vida dos alunos, sua vivência de aprendizagens
fundamentais, seus conhecimentos informais sobre um dado assunto e suas condições
para a aprendizagem. Com tais referências é possível ao professor promover em seus
alunos o desenvolvimento de capacidades de natureza prática para lidar com atividades
matemáticas que lhe permitam conhecer problemas, buscar informações e tomar
decisões. Compreendemos que necessitamos assumir uma postura reflexiva e crítica
quando estabelecemos relações entre a matemática do cotidiano das pessoas, a
Matemática Escolar e a Matemática Científica.
O estudo e consequente reflexão sobre ideias de uma das mais influentes
tendências atuais da Educação Matemática, reveladas por Ole Skovsmose em seus
textos sobre Educação Matemática Crítica, nos revigorou e estruturou conceitualmente
para a investigação que realizamos sobre a temática ampla da aprendizagem
25
significativa e teorias subjacentes. Apresentamos a seguir, uma breve exposição do que
denominamos Educação Matemática Crítica (EMC).
Skovsmose, em sua fala durante conferência ministrada no IX Encontro
Nacional de Educação Matemática (ENEM), em 2007, descreveu a Educação
Matemática Crítica não como uma nova teoria da Educação Matemática, mas sim como
uma preocupação para com ela. Em sua pesquisa, Soares (2008, p.58) constata a
intenção do autor de esclarecer que esse movimento crítico não se refere
necessariamente a algo inédito, como um novo ramo de estudo da Educação
Matemática, mas sim a uma reflexão sobre os caminhos que podem ser percorridos pela
Educação Matemática se houver uma preocupação com os pressupostos que envolvem o
ensino e a aprendizagem de Matemática.
Marcelo Borba, no prefácio de “Educação Matemática Crítica: a Questão da
Democracia” de Ole Skovsmose (2001), procurando definir o movimento da Educação
Matemática Crítica, propõe reflexões sobre a Educação Matemática com questões
ligadas ao poder, quando pergunta:
A quem interessa que a Educação Matemática seja organizada dessa
maneira? Para quem a Educação Matemática está voltada? Como
evitar preconceitos nos processos analisados pela Educação
Matemática que sejam nefastos para grupos de oprimidos como
trabalhadores, negros, “índios” e mulheres? (BORBA apud
SKOVSMOSE, 2001, p.7).
Para Daniela Alves Soares (2008, p. 59), analisando as questões colocadas por
Borba, é possível observar o posicionamento crítico de Borba ao levantar tais
questionamentos. Quando ele pergunta “A quem interessa (...)?”, “Para quem (...)?”,
está preocupado com os aspectos subjetivos da escolha dos conteúdos matemáticos.
Posteriormente, quando escreve que “(...) preconceitos nos processos analisados pela
Educação Matemática (...)”, nos deixa entender que a EM pode não atender
coerentemente a determinados grupos, e por conta disso está praticando algum tipo de
preconceito. A autora entende que, a partir da análise dessas questões, a Educação
Matemática Crítica tem preocupações eminentemente políticas e sociais.
Jussara de Loiola Araújo (2009) nos diz que, para Skovsmose (1994), uma
Educação Matemática crítica, “é aquela que reconhece e direciona suas ações para os
conflitos e crises da sociedade, reagindo contra eles” (ARAUJO, 2009, p.62). Para ela,
esse autor caracteriza a crise da sociedade com uma série de eventos que presenciamos
no mundo: catástrofes ambientais; distribuição desigual de bens, de alimentos; grandes
26
diferenças econômicas e sociais; abuso de poder; tensão entre negros e brancos, ricos e
pobres, entre diferentes religiões. Segundo a autora, Skovsmose deixa claro que a crise
social nem sempre pode ser colocada numa forma de antagonismo bipolar, pois é algo
realmente complexo de ser descrito de forma linear.
Essa também é a opinião de Caroline Mendes dos Passos (2008), que abre
algumas discussões procurando trazer contribuições para o campo da Educação
Matemática. Segundo ela, para pensarmos em uma Educação Matemática Crítica, é
necessário, primeiramente, assumir que a crise, no sentido em que Skovsmose (1994) a
aborda, se faz presente neste campo. A autora destaca que a sociedade atual, em sua
grande maioria, pensa a instituição escolar como um dos aspectos que a compõe.
“As crises, [...], fazem parte de toda sociedade, refletem-se em
diferentes setores sociais. Entre esses, incluem-se as instituições
escolares que, ao receberem os reflexos das crises sociais, também os
refletem nos seus diferentes setores internos e, conseqüentemente, nas
diferentes disciplinas que se fazem presentes nas escolas. Cada uma
dessas disciplinas lida com esses reflexos de uma maneira específica,
seja por meio de uma problematização desses reflexos, seja por meio
de um isolamento, que não permite a influência desses fatores
externos no ambiente de sala de aula”. (PASSOS, 2008, p.62)
Tais discussões, segundo a autora, estão relacionadas a fatores externos à sala de
aula. Nesse ambiente, ela procura exemplificar com os trabalhos desenvolvidos nas áreas da
Etnomatemática e da Educação Matemática Crítica, o que leva, para dentro do ambiente de
sala de aula, uma influência, segundo ela, às vezes seguida de uma problematização das
crises sociais. A autora toma como ponto de partida para o desenvolvimento de seu
trabalho, a existência de crises no campo da Educação Matemática. Ela assume que, por ser
a sociedade uma estrutura sujeita a crises, também o campo da Educação Matemática
recebe os reflexos de tais crises e, em conseqüência desses reflexos, formula suas próprias
crises.
Na descrição de Passos (2007), ao citando Araújo (2007), as idéias de Freire e
a Pedagogia Crítica foram grandes fontes de inspiração para Skovsmose e a EMC.
Pode-se dizer que é a partir de discussões da Pedagogia Crítica que o movimento da
EMC surge, com o objetivo de promover a discussão política, democrática e tecnológica
(questão mais atual) para dentro das aulas de Matemática. E isso se dá nas décadas de
1970 e 1980, com movimentos concentrados na Europa, posteriormente nos Estados
Unidos, e também em outras partes do mundo (SKOVSMOSE, 2007, apud Soares,
27
2008. p.56). Assim, o movimento surgiu a partir de debates em torno das reformulações
da Pedagogia Crítica.
Para Paulo Freire (1988), a educação brasileira apresenta o saber numa
narrativa acrítica, como algo natural, favorecendo a passividade, a inércia e impedindo o
estudante de compreender que o conhecimento, assim como a realidade, é fruto de um
processo histórico. A educação brasileira, portanto, visa à domesticação e à manutenção
do instituído, estando a serviço da desumanização.
Essa situação de opressão pode ser observada nas escolas por meio do tipo de
Educação que utilizam, e que Freire (1970) cunhou de educação bancária. Freire, numa
visão crítica sobre a metodologia utilizada freqüentemente em sala de aula, define como
educação bancária aquela em que “(...) a educação se torna um ato de depositar, em que
os educandos são os depositários e o educador o depositante” (FREIRE, 1988, p. 58).
Por conta disso, essa educação tem como principal característica o fato de a aula ser
ministrada de maneira “narrativa”, como um discurso, e que por ser assim, tem nos
alunos, seres passivos, ouvintes. O educador tem a posse do objeto de conhecimento, a
propriedade do saber, e por conta disso o educando é mero receptor desse
conhecimento.
Opondo-se a tal prática, Freire (1988, p.59) defende uma Educação
“Problematizadora”, que leve em consideração os saberes, interesses e necessidades dos
estudantes, que instigue a sua curiosidade e que os levem à criticidade. Ele defende que
a dificuldade no diálogo entre o educador e o educando baseia-se, muitas vezes, na
própria relação que eles estabelecem com o conteúdo programático em situação. O autor
vê o diálogo como fator necessário para a construção do conhecimento em sala de aula;
em verdade, ele fundamenta toda a sua Pedagogia a partir dessa construção coletiva e
crítica.
Skovsmose (2001), citando Freire (1970), procura relacionar o diálogo ao
pensamento crítico, já que “uma vez que o diálogo é motivado por uma expectativa de
mudança, ele não pode existir sem o engajamento das partes com respeito ao
pensamento crítico”. (Freire, apud Skovsmose, 2001, p.14)
Na visão do autor, o professor deve procurar observar, em situações de
aprendizagem, as perspectivas dos alunos, a fim de aproximá-las às suas próprias e,
também, com o objetivo de aproximar as expectativas entre educador e educando. Tais
aproximações só podem ser obtidas através de uma relação em que o diálogo esteja
presente.
28
1.2. Aprendizagem Significativa e Aprendizagem Significativa Crítica
Levando em consideração todo esse manancial de ideias presentes no campo da
Educação Matemática e a consequente manifestação dos vários autores pesquisados,
como também as opiniões dos professores quando perguntamos sobre o tema
Aprendizagem Significativa e as nossas reflexões sobre o trabalho desenvolvido com
alunos em cursos noturnos, buscamos ampliar nosso referencial teórico com alguns
autores dentre os quais ressaltamos David Ausubel (1968, 1978, 1980) e Marco Antonio
Moreira (1999, 2000, 2006, 2010) – este, com foco principal na Aprendizagem
Significativa Crítica. Consideramos que o estudo de suas teorias sobre Aprendizagem
Significativa viria suprir nossas lacunas e expectativas teóricas sobre o assunto e
possibilitaria a criação e desenvolvimento de novas ações para o ensino e aprendizagem
da Matemática em sala de aula. Uma síntese de nossos estudos é o que apresentamos a
seguir.
1.2.1. Aspectos da Aprendizagem Significativa segundo Ausubel2
“Se tivesse que reduzir toda a psicologia educacional a
um só princípio, diria o seguinte: o fator isolado mais
importante influenciando a aprendizagem é aquilo que o
aprendiz já sabe. Descubra isso e ensine-o de acordo.” (Ausubel et al., 1978 – prefácio)
Para Ausubel (apud Moreira, 2006), Aprendizagem Significativa é um
processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da
estrutura de conhecimento do indivíduo. A aprendizagem é dita significativa quando
uma nova informação (conceito, idéia, proposição) adquire significados para o aprendiz
2 “Aprendizagem significativa é o conceito central da teoria da aprendizagem de David Ausubel. Ausubel
publicou seus primeiros estudos sobre a teoria da aprendizagem significativa em 1963 (The Psychology of
Meaningful Verbal Learning) e desenvoveu-a durante as décadas de 1960 e 1970. Mais tarde, no final da
década de 1970, Ausubel recebeu a contribuição de Joseph Novak que progressivamente incumbiu-se de
refinar e divulgar a teoria. Com a contribuição de Novak, a teoria da aprendizagem significativa
modificou o foco do ensino do modelo estímulo→ resposta→ reforço positivo, para o modelo
aprendizagem significativa→ mudança conceptual→ construtivismo.” (in Wikipédia, 28/12/2011)
“A teoria da assimilação de David Paul Ausubel, ou teoria da aprendizagem significativa, é uma teoria
cognitivista e procura explicar os mecanismos internos que ocorrem na mente humana com relação ao
aprendizado e à estruturação do conhecimento. [...] Diferentemente de Piaget, cujo foco principal de
pesquisa não era a aprendizagem que ocorria na sala de aula, Ausubel concentra-se principalmente nesta
questão, de modo que dos seus trabalhos percebe-se uma proposta concreta para o cotidiano acadêmico.
Como Piaget, Ausubel acredita no valor da aprendizagem por descoberta, mas volta a valorizar a aula do
tipo expositiva, que será o grande foco da sua pesquisa. Neste sentido, o maior legado deixado por
Ausubel é justamente o de técnicas e reflexões acerca da aula do tipo “tradicional” [...] no sentido de
propiciar o melhor aprendizado possível para seus alunos.” (A Teoria Cognitivista de Ausubel, in archivo
del portal de recursos para Estudiantes, p.1, 28/12/2011)
29
através de uma espécie de ancoragem em aspectos relevantes da “estrutura cognitiva3”
preexistente no indivíduo, em conceitos, idéias, proposições com determinado grau de
clareza, estabilidade e diferenciação. Esses aspectos relevantes da estrutura cognitiva
que servem de ancouradouro para a nova informação são chamados “subsunçores4”. A
aprendizagem consiste na “ampliação” da estrutura cognitiva, através da incorporação
de novas idéias a ela.
Segundo Moreira (1999), o termo ancorar, no entanto, apesar de útil como uma
primeira idéia do que é aprendizagem significativa, não dá uma imagem da dinâmica do
processo. Na aprendizagem significativa há uma interação entre o novo conhecimento e
o já existente, na qual ambos se modificam. À medida que o conhecimento prévio serve
de base para a atribuição de significados à nova informação, ele também se modifica, os
subsunçores vão adquirindo novos significados, tornando-se mais diferenciados, mais
estáveis. Novos subsunçores vão se formando e interagindo entre si. A estrutura
cognitiva está constantemente se reestruturando durante a aprendizagem significativa. O
processo é dinâmico; o conhecimento vai sendo construído (MOREIRA, 1999, p.10).
Para uma melhor compreensão desses conceitos, Moreira e Masini esclarecem
que na aprendizagem significativa as novas ideias e informações interagem com um
conhecimento prévio existente na estrutura cognitiva do indivíduo, definido por
Ausubel como sendo ideias-âncora (subsumers). Trata-se de uma “ideia (conceito ou
proposição) mais ampla, que funciona como subordinador de outros conceitos na
estrutura cognitiva e como „ancoradouro‟ no processo de assimilação. Como resultado
dessa interação (ancoragem), a própria ideia-âncora é modificada e diferenciada”
(Moreira & Masini,1982, p.9). Sendo assim, o subsunçor é uma estrutura específica à
qual uma nova informação pode se integrar ao cérebro humano que é altamente
organizado e detentor de uma hierarquia conceitual que armazena experiências prévias
do aprendiz.
3 “Segundo Ausubel (apud Faria, 1989, p 8), a estrutura cognitiva é o conteúdo total e organizado de
idéias de um dado indivíduo; ou, no contexto da aprendizagem de certos assuntos, refere-se ao conteúdo e
organização de suas idéias naquela área particular de conhecimento. Ou seja, a ênfase que se dá é na
aquisição, armazenamento e organização das idéias no cérebro do indivíduo. Para Ausubel a estrutura
cognitiva de cada indivíduo é extremamente organizada e hierarquizada, no sentido que as várias idéias se
encadeiam de acordo com a relação que se estabelece entre elas. Além disso, é nesta estrutura que se
ancoram e se reordenam novos conceitos e idéias que o indivíduo vai progressivamente internalizando,
aprendendo.” (A Teoria Cognitivista de Ausubel, in archivo del portal de recursos para Estudiantes, p.1,
28/12/2011)
4 A palavra “subsunçor” não existe em português; trata-se de uma tentativa de aportuguesar a palavra
inglesa “subsumer”. Seria mais ou menos equivalente a inseridor, facilitador ou subordinador. (Moreira,
2006, p.15)
30
Uma importante questão levantada pela teoria formulada por Ausubel diz
respeito à origem dos subsunçores. Se eles não estiverem presentes para viabilizar a
aprendizagem significativa, como é possível criá-los? Ausubel (1968) diz que para criá-
los, é possível buscar elementos no que chamou de Aprendizagem Mecânica. Mas, o
que vem a ser uma aprendizagem mecânica e como ela se relaciona com aprendizagem
significativa? Novamente buscamos em Moreira (2006, p. 18-19) esclarecimentos sobre
o assunto. Para o autor, aprender significativamente implica atribuir significados e estes
têm sempre componentes pessoais. A aprendizagem sem atribuição de significados
pessoais, sem relação com o conhecimento preexistente, é mecânica, não significativa,
diz o autor. Na aprendizagem mecânica, o novo conhecimento é armazenado de maneira
arbitrária e literal na mente do indivíduo, o que não significa que esse conhecimento é
armazenado em um vácuo cognitivo, mas sim que ele não interage significativamente
com a estrutura cognitiva preexistente, não adquire significados. Durante certo período
de tempo a pessoa é, inclusive, capaz de reproduzir o que foi aprendido mecanicamente,
mas podendo não significar nada para ela. Este tipo de aprendizagem ocorre quando o
indivíduo memoriza a informação para um determinado propósito, que posteriormente é
freqüentemente perdida logo que esse propósito tenha sido cumprido.
Moreira e Masini (2008) dizem que em algumas situações a aprendizagem
mecânica pode ser eficaz. Um exemplo: cursos pré-vestibulares nos quais o objetivo é o
ingresso dos aprendizes num curso superior. O enfoque do ensino recai sobre os
conteúdos específicos das provas realizadas, bem no estilo estímulo-resposta, sem
compromisso com a aprendizagem dos mesmos. Os autores ressaltam ainda que, de
nada adiantaria usar manuais ou tutoriais de instrução para favorecer a aprendizagem
significativa, pois, “qualquer manual que tenha que ser seguido favorece mais a
aprendizagem mecânica que a significativa, mais o treinamento que a educação.”
(MASINI e MOREIRA, 2008, p. 25 – 26)
Voltando à questão levantada por Ausubel sobre a criação de subsunçores, mas
ainda relacionada à Aprendizagem Mecânica que, como vimos no exemplo dado, pode
ser necessária e inevitável em algumas situações de aprendizado, é possível dizer que o
que foi memorizado mecanicamente poderá tornar-se significativo para o aprendiz em
ocasiões posteriores. A princípio, quando apresentado a uma nova área de
conhecimento, sem relação com o que já conhece, o aprendiz terá que memorizar uma
série de conceitos, definições, nomenclaturas que, por terem pouca ou nenhuma relação
com seus conhecimentos prévios, serão armazenados em sua mente de forma “não
31
substantiva” e “literal”. Havendo intencionalidade no aprendizado, tais conhecimentos
memorizados poderão, ao longo da interação com o novo conhecimento, estruturarem-
se num todo organizado, inerente ao processo de aprendizagem significativa, em
consonância com a teoria proposta por Ausubel.
Com o fim de acelerar esse processo, Ausubel propõe a facilitação da
aprendizagem através do que chamou de Organizadores Prévios5- âncoras criadas a fim
de manipular a estrutura cognitiva, interligando conceitos aparentemente não
relacionáveis através da abstração. Em síntese, quando um indivíduo adquire
informações em uma área ainda desconhecida para ele, ocorre a aprendizagem
mecânica. No entanto, se alguns conhecimentos relativos à nova área já estiverem
presentes na sua estrutura cognitiva, ainda que pouco elaborados, os mesmos podem
servir de subsunçores. À medida que a aprendizagem vai se tornando significativa, os
subsunçores tornam-se mais elaborados e prontos para ancorar novos conhecimentos.
Para Ausubel (1968, apud MOREIRA, 2006, p.14-15) a essência do processo
de aprendizagem significativa está em que ideias simbolicamente expressas sejam
relacionadas de maneira “substantiva”6 (não-literal) e “não-arbitrária”
7 ao que o
aprendiz já sabe, ou seja, a algum aspecto relevante da sua estrutura de conhecimento
(isto é, um subsunçor que pode ser, por exemplo, algum símbolo, conceito ou
proposição já significativo). A não-arbitrariedade e a substantividade são conceitos
básicos que caracterizam a Aprendizagem Significativa.
Desta forma, segundo Ausubel, para que ocorra uma Aprendizagem
Significativa, é necessário que:
5 Organizadores prévios são materiais introdutórios apresentados antes do material a ser aprendido em
si. Sua principal função é de servir de ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que ele deve saber a fim de
que o material possa ser aprendido de forma significativa. Facilitam a aprendizagem na medida em que
funcionam como "pontes cognitivas". (MOREIRA, 2006, p.137)
6 [...], ou seja, o que é aprendido de maneira significativa tem também significados pessoais,
idiossincráticos. Os conhecimentos têm significados denotativos que são compartilhados por certa
comunidade de usuários e os conotativos que são pessoais. [...] (MASINI e MOREIRA, 2008, p. 15 – 16)
7 [...] quer dizer, o novo conhecimento não interage com qualquer conhecimento prévio, mas sim com
algum conhecimento que seja especificamente relevante para dar-lhe significado. Isso implica que se não
houver esse conhecimento prévio não poderá haver aprendizagem significativa. [...] (ibidem, 2008, p. 15
– 16)
32
- o material a ser assimilado seja potencialmente significativo, ou seja, não arbitrário em
si. Mesmo materiais arbitrários então, podem ser tornados significativos através de
Organizadores Prévios.
- ocorra um conteúdo mínimo na estrutura cognitiva do indivíduo, com subsunçores em
suficiência para suprir as necessidades relacionais.
- o aprendiz apresente uma disposição para o relacionamento e não para simplesmente
memorizá-lo mecanicamente muitas vezes até simulando uma associação. Muito
comum em estudantes acostumados a métodos de ensino, exercícios e avaliação
repetitivos e rigidamente padronizados.
Com base na teoria de Ausubel, diz Moreira que a variável crucial para a
aprendizagem significativa é a estrutura cognitiva do indivíduo, ou seja, os seus
conhecimentos prévios, que deverão funcionar como ideias-âncora à assimilação de
novos conhecimentos. A assimilação ocorre quando um novo significado a, adquirido
em ligação com ideias-âncora A, com as quais está relacionado, é retido e ocorre uma
modificação decorrente da intersecção de ambos, A'a'. A' e a' permanecem relacionados
como co-participantes de uma nova entidade A'a', a ideia-âncora modificada
(MOREIRA, 2006, p.26).
Podemos observar no QUADRO 1, a seguir, proposto por Moreira (1999,
p.31), que o esquecimento é uma continuação natural da aprendizagem significativa,
mas há um resíduo, ou seja, o subsunçor modificado. Os novos conhecimentos acabam
sendo obliterados, subsumidos. Mas de alguma forma "estão" no subsunçor e isso
facilita a reaprendizagem.
33
QUADRO 1: A aprendizagem significativa na visão cognitiva clássica de Ausubel
Ausubel defende como característica principal dessa aprendizagem, os
subsunçores que constituem “[...] qualquer idéia, conceito, proposição existente na
estrutura cognitiva do aprendiz [...]” e que servirão “[...] como ancoradouros para os
novos conhecimentos, se interagir com esses na finalidade de obter a aprendizagem
significativa.” (MOREIRA, 2006, p. 15)
Na visão clássica, aquilo que o aprendiz já sabe é o mais importante fator
isolado que influencia a aprendizagem. O ensino deve, necessariamente, ser conduzido
de acordo. Nessa perspectiva, as condições que podem favorecer a uma aprendizagem
significativa residem:
- na potencialidade significativa dos materiais educativos,
- na relevância específica dos subsunçores por parte do aprendiz
- na pré-disposição do sujeito para aprender.
1.2.2. A aprendizagem no âmbito da Educação Escolar
No âmbito escolar a Aprendizagem Significativa e a Aprendizagem Mecânica
estão entre os principais tipos de aprendizagem, segundo BORSSOI (2004, p.15). Para
diferenciá-las, autores como Ausubel e Moreira (1980, 2006), propõem que se faça
distinção entre dois processos de aprendizagem: receptiva e por descoberta.
34
Para entender melhor essas diferenças, em referência às ideias de Ausubel,
Moreira (2006) estabelece uma definição para cada um dois processos de aprendizagem
citados. Na aprendizagem receptiva “o que deve ser aprendido é apresentado ao
aprendiz em sua forma final” (p.17), ou seja, a tarefa nesse tipo de aprendizagem não
envolve qualquer descoberta independente por parte do estudante e, deste, exige-se
somente internalizar ou incorporar o conteúdo que lhe foi apresentado. Já para a
aprendizagem por descoberta “o conteúdo principal a ser aprendido deve ser descoberto
pelo aprendiz [...]” (p.17), ou seja, o conteúdo principal daquilo que vai ser aprendido
não é dado, mas deve ser descoberto pelo aluno, antes que possa ser significativamente
incorporado a sua estrutura cognitiva.
Em linhas gerais, pode-se afirmar que:
Aprendizagem por recepção: É um tipo de aprendizagem através da qual o
conteúdo a ser aprendido é apresentado de uma forma mais ou menos final. Trata-se de
um processo automático, mas que também deve e pode revestir-se de caráter
significativo.
Aprendizagem por descoberta: A característica essencial é que o conteúdo
principal do que vai ser aprendido não é dado, mas deve ser descoberto pelo aluno antes
que possa ser incorporado, significativamente, à sua estrutura cognitiva. É o tipo de
aprendizagem própria das fases iniciais do desenvolvimento cognitivo e da percepção
dos problemas do quotidiano.
Para Ausubel (1980, p.23), tanto a aprendizagem por recepção quanto a
aprendizagem por descoberta, podem ser significativas, desde que a nova informação se
incorpore de um modo não arbitrário e não literal às estruturas cognitivas. Embora a
aprendizagem por descoberta e a aprendizagem receptiva sejam dois processos bastante
distintos, tanto um quanto o outro pode levar a uma aprendizagem significativa ou
mecânica.
Como vimos anteriormente, na ocorrência de um aprendizado mecânico as
informações adquiridas pelo aprendiz têm pouca ou nenhuma relação com seus
conhecimentos prévios e, em consequência, o mesmo tem dificuldade em associar as
novas informações ao conhecimento que já possui. Já na aprendizagem significativa por
descoberta ou mesmo por recepção, o aluno interage com a nova informação, através
dos seus conhecimentos prévios (subsunçores), relacionando-os a elementos com os
quais ele possa aprender.
35
É importante observar neste ponto que a aprendizagem receptiva e por
descoberta diferem também com respeito aos seus respectivos papéis principais no
funcionamento e desenvolvimento intelectual. Em geral, grande parte da aprendizagem
formal, escolar é adquirida por recepção, enquanto que os problemas cotidianos são
solucionados através da aprendizagem por descoberta.
Para sintetizar, podemos observar o QUADRO 2, que representa o continuum
da aprendizagem mecânica-aprendizagem significativa (NOVAK, apud MOREIRA, 1999,
p.25)
Conti
nuu
m
Aprendizagem
Significativa
A maior parte da
aprendizagem que
se dá na escola
Aprendizagem
Mecânica
Produção
criativa
Incorporação substantiva, não-arbitrária, não
literal de novo conhecimento à estrutura cognitiva
Esforço deliberado para ligar o novo
conhecimento a conceitos de ordem superior, mais
inclusivos, na estrutura cognitiva
Compromisso afetivo de relacionar novos
conhecimentos a conhecimentos prévios
Praticam exercícios e réplicas reflexivas
contribuem para a aprendizasgem significativa
Incorporação não-substantiva , arbitrária, literal de
novo conhecimento à estrutura cognitiva
Nenhum esforço para integrar o novo
conhecimento a conceitos existentes na estrutura
cognitiva
Nenhum compromisso afetivo de relacionar novos
conhecimentos a conhecimentos prévios
QUADRO 2: O continuum aprendizagem mecânica-aprendizagem significativa
Remetendo ao tipo de processo que intervém na aprendizagem e origina um
continuum delimitado pela aprendizagem significativa, por um lado, e pela
aprendizagem mecânica ou repetitiva, por outro, segundo Moreira (1999), quanto mais
se relaciona o novo conteúdo de maneira substancial e não arbitrária com algum aspecto
da estrutura cognitiva prévia que lhe for relevante, mais próximo se está da
aprendizagem significativa e quanto menos se estabelece esse tipo de relação, mais
36
próximo se está da aprendizagem mecânica ou repetitiva. A diferença básica, entre a
aprendizagem significativa e a aprendizagem mecânica, ainda de acordo com Moreira
(1997), está na relacionabilidade à estrutura cognitiva: não-arbitrária e substantiva
versus arbitrária e literal, respectivamente, em conformidade com o pensamento de
Ausubel quando este diz:
[...] a aprendizagem significativa ocorre quando a tarefa de
aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitraria e substantiva
(não literal), uma nova informação a outras com as quais o aluno já
esteja familiarizado, e quando o aluno adota uma estratégia
correspondente para assim proceder. A aprendizagem mecânica, por
sua vez, ocorre se a tarefa consistir em associações puramente
arbitrárias, como na associação de pares, quebra-cabeça, labirinto, ou
aprendizagem de séries e quando falta ao aluno o conhecimento prévio
relevante necessário para tornar a tarefa potencialmente significativa,
e também (independente do potencial significativo contido na tarefa)
se o aluno adota uma estratégia apenas para internalizá-la de uma
forma arbitrária, literal (por exemplo, como uma série arbitrária de
palavras. (AUSUBEL et al. 1980, p. 23).
1.2.3. Facilitação para a Aprendizagem Significativa
Para facilitar uma aprendizagem significativa em sala de aula, a manipulação
deliberada dos atributos cognitivos para fins pedagógicos, pode ser realizada de várias
maneiras (Ausubel, 1968; Moreira e Masini, 1982, p.25). Entre elas destacamos:
a) Substantivamente, com propósitos organizacionais e integrativos, usando os
conceitos e proposições unificadores do conteúdo da matéria de ensino que têm
maior poder explicativo, inclusividade, generalidade e relacionabilidade do
conteúdo da matéria da disciplina em questão. Ou seja, é importante selecionar os
conteúdos básicos, bem como coordená-los e integrá-los em diferentes níveis, para
proporcionar ao aluno a aquisição de uma estrutura cognitiva adequada.
b) Programaticamente, empregando princípios práticos para ordenar com sequência
a matéria de estudo, partindo do estabelecimento de sua organização e lógica
interna e, sucessivamente, planejando a montagem de exercícios práticos.
Assim, de acordo com Moreira (1997), para planejar situações de
aprendizagem consistentemente com a teoria de Ausubel, a primeira e usualmente difícil
tarefa é a de identificação dos conceitos básicos da matéria de ensino e de como eles
estão estruturados. Ausubel defende que a aprendizagem significativa se desenvolve
dedutivamente a partir de conceitos mais gerais para os conceitos mais específicos.
Afirma que se deve ter em conta que existem conceitos relevantes, gerais, com elevado
37
grau de compreensão e outros menos gerais que lhe estão subordinados. Nas
aprendizagens deve-se, então, começar por compreender os conceitos mais abrangentes,
uma vez que serão a base para a “ancoragem” de outros conceitos mais concretos, que
depois são progressivamente diferenciados, em termos de detalhe e especificidade.
Assim sendo, as estruturas cognitivas, ao incorporarem novos conteúdos, evoluem.
Outra condição fundamental para a ocorrência de uma aprendizagem
verdadeiramente significativa é a existência de ideias-âncora (conceitos ou proposições
claras, estáveis, diferenciados, especificamente relevantes) (Moreira, 1997, p.27), na
estrutura cognitiva do aluno, com as quais os novos conceitos vão interagir, ocorrendo a
sua assimilação.
Por outro lado, uma estratégia proposta por Ausubel para facilitar a
aprendizagem é o recurso aos organizadores prévios, quando não existirem ideias-
âncora apropriadas ou no caso de estarem obliteradas (ideias não reprodutíveis como
entidades individuais, por se tornarem, espontânea e progressivamente, menos
dissociáveis com as ideias-âncora correspondentes). Os organizadores prévios vão servir
de âncora a novas aprendizagens, proporcionando o desenvolvimento de ideias-âncora,
que facilitem a aprendizagem subsequente. Portanto, vão deliberadamente manipular a
estrutura cognitiva com a finalidade de proporcionar uma aprendizagem significativa
(Moreira & Masini, 2008, p.29).
Ausubel definiu a principal função dos organizadores prévios como “pontes
cognitivas” entre o que o educando já sabe e o que tem que saber. Seriam uma espécie
de “ancoradouro provisório” (Moreira, 1997, p.35) que facilitariam a aprendizagem.
Permitem a formação de um conjunto ordenado de ideias para a incorporação e retenção
de material mais detalhado e diferenciado, aumentam a discriminabilidade entre estes e
outras ideias similares já existentes na estrutura cognitiva e evidenciam ideias
ostensivamente conflituosas. Podem também serem usados para “reavivar” significados
que já existem na estrutura cognitiva do aluno que, não sendo usados há algum tempo,
não são reproduzíveis como entidades individuais.
Após seus estudos aprofundados sobre a Teoria da Aprendizagem
Significativa, Moreira (2000) nos convida a uma reflexão, quando pergunta “Mas se já
sabemos o que é aprendizagem significativa quais são as condições para que ocorra e
como facilitá-la em sala de aula? O que falta a nós professores para que possamos
promovê-la como uma atividade crítica?” (MOREIRA, 2000, p.5) Segundo o autor, nos
falta muito. A começar pela questão de promover a predisposição para o aprendizado.
38
Como provocá-la? Muito mais do que motivação, o que está em jogo é a relevância do
novo conhecimento para o aluno. Como levá-lo a perceber como relevante o
conhecimento que queremos que construa?
Para Moreira (2000, p.5) a escola, por exemplo, ainda transmite a ilusão da
certeza, mas procura atualizar-se tecnologicamente, competir com outros mecanismos
de difusão da informação e, talvez não abertamente, ou inadvertidamente, preparar o
aluno para a sociedade do consumo, para o mercado, para a globalização. Tudo fora de
foco. Mas qual seria o foco? Qual seria a saída?
1.2.4. Aprendizagem Significativa Crítica segundo Moreira
Buscando respostas para tais perguntas e inspirado pelas idéias de Postman e
Weingartner (1969), Moreira amplia o conceito de Aprendizagem Significativa - mais
focada no aprendizado significativo dos conteúdos presentes no planejamento – para o
conceito de Aprendizagem Significativa Crítica, esclarecendo que
Trata-se de uma perspectiva antropológica em relação às atividades de
seu grupo social que permite ao indivíduo participar de tais atividades,
mas, ao mesmo tempo, reconhecer quando a realidade está se
afastando tanto que não está mais sendo captada pelo grupo. [...],
enquanto eles se ocupam do ensino subversivo, prefiro pensar mais
em aprendizagem subversiva e creio que a Aprendizagem
Significativa Crítica pode subjazer a esse tipo de subversão.
(MOREIRA, 2010, p.7)
Um aspecto marcante da Aprendizagem Significativa Crítica, segundo o
pensamento de Moreira, é aquele que possibilita ao sujeito inserido em sua cultura estar,
ao mesmo tempo, fora dela. Sobre essa perspectiva, o autor diz que:
É através da aprendizagem significativa crítica que o aluno poderá
fazer parte de sua cultura e, ao mesmo tempo, não ser subjugado por
ela, por seus ritos, mitos e ideologias. É através dessa aprendizagem
que ele poderá lidar construtivamente com a mudança sem deixar-se
dominar por ela, manejar a informação sem sentir-se impotente frente
a sua grande disponibilidade e velocidade de fluxo, usufruir e
desenvolver a tecnologia sem tornar-se tecnófilo. Por meio dela,
poderá trabalhar com a incerteza, a relatividade, a não-causalidade, a
probabilidade, a não-dicotomização das diferenças, com a idéia de que
o conhecimento é construção (ou invenção) nossa, que apenas
representamos o mundo e nunca o captamos diretamente. (MOREIRA,
2010, p.7)
Para que ocorra a Aprendizagem Significativa Crítica sob uma ótica
contemporânea, na concepção de Moreira, não basta adquirir novos conhecimentos de
39
maneira significativa, é preciso adquiri-los criticamente. Em outras palavras, ao mesmo
tempo em que é preciso viver nessa sociedade, integrar-se a ela, é necessário também
ser crítico dela, distanciar-se dela e de seus conhecimentos para voltar a ela com novos
referenciais.
Assim como Ausubel na sua proposta dos princípios programáticos para
facilitar a aprendizagem significativa, também Moreira (2000), propõe alguns
princípios, idéias ou estratégias facilitadores da aprendizagem significativa crítica.
Segundo o autor, tudo que será proposto a seguir parece viável de ser implementado em
sala de aula e, ao mesmo tempo, pode ser crítico (subversivo) em relação ao que
normalmente nela ocorre.
1.2.5. Princípios facilitadores para uma aprendizagem significativa crítica.
Moreira (2010) estabeleceu onze princípios que denominou “facilitadores para
a aprendizagem significativa crítica”. A partir do texto do autor, apresentamos uma
síntese de cada um deles, como a seguir:
1. Princípio do conhecimento prévio. Aprendemos a partir do que já sabemos.
A aprendizagem significativa, no sentido de captar e internalizar significados
socialmente construídos e contextualmente aceitos é o primeiro passo, ou condição
prévia, para uma aprendizagem significativa crítica.
Para o autor, não é difícil aceitar que aprendemos a partir do que já sabemos e
que, portanto, nosso conhecimento prévio, seja qual for ele (subsunçores, esquemas,
construtos, representações, modelos mentais,...), é a principal variável a influenciar a
aquisição significativa de novos conhecimentos. Uma consequência imediata disso é
que o ensino deveria, como propõem Ausubel, Postman, partir daquilo que os alunos já
sabem. (p. 8-9)
2. Princípio da interação social e do questionamento. Ensinar/aprender
perguntas ao invés de respostas.
A interação social é indispensável para a concretização de um episódio de ensino.
Segundo Moreira, (2010), tal episódio ocorre quando professor e aluno compartilham
significados em relação aos materiais educativos do currículo. O compartilhar
significados resulta da negociação de significados entre aluno e professor. Mas essa
negociação deve envolver uma permanente troca de perguntas ao invés de respostas.
Para o autor, o mais importante para o professor é ensinar aos seus alunos a perguntar, pois
40
segundo ele, é onde está a fonte do conhecimento humano. Quando o aluno formula uma
pergunta relevante, apropriada e substantiva, ele utiliza seu conhecimento prévio de
maneira não-arbitrária e não-literal, e isso é evidência de aprendizagem significativa.
Quando aprende a formular questões, sistematicamente, a evidência é de aprendizagem
significativa crítica. Moreira diz que um ensino baseado em respostas transmitidas
primeiro do professor para o aluno nas aulas e, depois, do aluno para o professor nas
provas, não é crítico e tende a gerar aprendizagem não crítica, em geral mecânica. (p. 9-
10)
3. Princípio da não centralidade do livro de texto. Do uso de documentos, artigos
e outros materiais educativos. Da diversidade de materiais instrucionais.
Segundo Moreira, (2010), o livro de texto simboliza aquela autoridade de onde
"emana" o conhecimento. Professores e alunos se apóiam em demasia no livro de texto.
Para ele, a utilização de materiais diversificados e cuidadosamente selecionados, ao
invés da "centralização" em livros de texto é também um princípio facilitador da
aprendizagem significativa crítica.
O autor defende a diversidade de materiais instrucionais em substituição ao
livro de texto, que para ele é um estimulador da aprendizagem mecânica, tão
transmissor de verdades, certezas, entidades isoladas (em capítulos!), tão "seguro" para
professores e alunos. Não se trata, propriamente, de banir da escola o livro didático, diz
o autor, mas de considerá-lo apenas um dentre vários materiais educativos.
Seguramente, há bons livros didáticos em qualquer disciplina, mas adotar um
único como livro de texto, vai contra a facilitação da aprendizagem significativa crítica.
É uma prática docente deformadora, ao invés de formadora, tanto para alunos como
para professores. (p.10)
4. Princípio do aprendiz como perceptor/representador.
muitas práticas escolares têm sido criticadas por considerarem os
alunos como receptores da matéria de ensino. Na teoria da
aprendizagem significativa argumenta-se que a aprendizagem
receptiva, isto é, aquela em que o novo conhecimento é recebido pelo
aprendiz, sem necessidade de descobri-lo, é o mecanismo humano por
excelência para assimilar (reconstruir internamente) a informação
(Ausubel et al., 1978, 1980, 1983; Ausubel, 2000), porém ela não
implica passividade; ao contrário, é um processo dinâmico de
interação, diferenciação e integração entre conhecimentos novos e
pré-existentes. (MOREIRA, 2010, p.98)
41
Moreira (2010), discutindo sobre a idéia de percepção/representação, nos traz
a noção de que o que "vemos" é produto do que acreditamos "estar lá", no mundo.
Vemos as coisas não como elas são, mas como nós somos. Em termos de ensino, isso
significa que o professor estará sempre lidando com as percepções dos alunos em um
dado momento. Mais ainda, como as percepções dos alunos vêm de suas percepções
prévias, as quais são únicas, cada um deles perceberá de maneira única o que lhe for
ensinado. Além do mais, o professor é também um perceptor e o que ensina é fruto de
suas percepções. Quer dizer, a comunicação só será possível na medida em que dois
perceptores, professor e aluno no caso, buscarem perceber de maneira semelhante os
materiais educativos do currículo. Esse fato corrobora a importância da interação
pessoal e do questionamento na facilitação da aprendizagem significativa.
A percepção, no entanto, é em grande parte, muito mais do que se pensava,
função das categorias lingüísticas disponíveis ao perceptor. Isso, segundo Moreira, nos
leva a outro princípio, o da linguagem. (p.10 -12)
5. Princípio do conhecimento como linguagem.
A linguagem está longe de ser neutra no processo de perceber, bem
como no processo de avaliar nossas percepções. Estamos acostumados
a pensar que a linguagem "expressa" nosso pensamento e que ela
"reflete" o que vemos. Contudo, esta crença é ingênua e simplista, a
linguagem está totalmente implicada em qualquer e em todas nossas
tentativas de perceber a realidade. (MOREIRA, 2010, p. 99)
Cada linguagem, diz Moreira, tanto em termos de seu léxico como de sua
estrutura, representa uma maneira singular de perceber a realidade. Praticamente tudo o que
chamamos de "conhecimento" é linguagem. Isso significa que a chave da compreensão de
um "conhecimento", ou de um "conteúdo", é conhecer sua linguagem. Uma "disciplina" é
uma maneira de ver o mundo, um modo de conhecer, e tudo o que é conhecido nessa
"disciplina" é inseparável dos símbolos (tipicamente palavras) em que é codificado o
conhecimento nela produzido. Ensinar Biologia, Matemática, História, Física, Literatura ou
qualquer outra "matéria" é, em última análise, ensinar uma linguagem, um jeito de falar e,
conseqüentemente, um modo de ver o mundo. (apud Moreira, 2010,op. cit., p. 102).
Para o autor, aprender um conteúdo de maneira significativa é aprender sua
linguagem, não só palavras -- outros signos, instrumentos e procedimentos também –
mas principalmente palavras, de maneira substantiva e não-arbitrária. Aprendê-la de
maneira crítica é perceber essa nova linguagem como uma nova maneira de perceber o
mundo. Como a aprendizagem da nova linguagem é mediada pelo intercâmbio de
42
significados, pela clarificação de significados, enfim, pela negociação de significados
que é feita através da linguagem humana, esse princípio se conecta ao princípio da
interação social e do questionamento. “Não existe nada entre seres humanos que não
seja instigado, negociado, esclarecido, ou mistificado pela linguagem, incluindo nossas
tentativas de adquirir conhecimento.” (Postman, 1996, p. 123, apud Moreira, 2010).
(p.12)
6. Princípio da consciência semântica.
este princípio facilitador da aprendizagem significativa crítica implica
várias conscientizações. A primeira delas, e talvez a mais importante
de todas, é tomar consciência de que o significado está nas pessoas,
não nas palavras. Sejam quais forem os significados que tenham as
palavras, eles foram atribuídos a elas pelas pessoas. Contudo, as
pessoas não podem dar às palavras significados que estejam além de
sua experiência. Observa-se aí, outra vez, a importância do
conhecimento prévio, isto é, dos significados prévios na aquisição de
novos significados. Quando o aprendiz não têm condições, ou não
quer, atribuir significados às palavras, a aprendizagem é mecânica,
não significativa. (MOREIRA, 2010, p. 12, destaque do autor)
Para Moreira (2010), o princípio da consciência semântica, embora
abstrato, é muito importante para o ensino e aprendizagem. Para aprender de maneira
significativa, o aluno deve relacionar, de maneira não-arbitrária e não-literal, a sua
estrutura prévia de significados àqueles que captou dos materiais potencialmente
significativos do currículo. Mas nesse processo, professor e aluno devem ter consciência
semântica (i.e., o significado está nas pessoas, as palavras significam as coisas em
distintos níveis de abstração, o significado tem direção, há significados conotativos e
denotativos, os significados mudam). No ensino, o que se busca ou o que se consegue, é
compartilhar significados denotativos a respeito da matéria de ensino, mas a
aprendizagem significativa tem como condição a atribuição de significados conotativos,
idiossincráticos (é isso que significa incorporação não-literal do novo conhecimento à
estrutura cognitiva). Porém, na medida em que o aprendiz desenvolver aquilo que
chamamos de consciência semântica, a aprendizagem poderá ser significativa e crítica,
pois, por exemplo, não cairá na armadilha da causalidade simples, não acreditará que as
respostas têm que ser necessariamente certas ou erradas, ou que as decisões são sempre
do tipo sim ou não. (p.12-14)
43
7. Princípio da aprendizagem pelo erro.
Na medida em que o conhecimento prévio é o fator determinante da
aprendizagem significativa, ela, automaticamente, deixa de ser o processo errático e
ateórico que caracteriza a aprendizagem por ensaio-e-erro. Para Moreira, a idéia é a de
que o ser humano erra o tempo todo. É da natureza humana errar. O homem aprende
corrigindo seus erros. Não há nada errado em errar. Errado é pensar que a certeza existe,
que a verdade é absoluta, que o conhecimento é permanente.
Moreira (2010) afirma que a aprendizagem pelo erro é natural na aprendizagem
humana fora da escola. Erramos continuamente, e aprendemos continuamente de nossos
erros, mas na escola o erro é punido. Além disso, a escola vê o aluno como um receptor
de respostas certas que devem ser memorizadas e reproduzidas sem erros, mas, na
verdade, o ser que aprende é um perceptor, ou seja, um sujeito que percebe e representa
o que lhe está sendo ensinado. Para o autor, nessa escola, os professores são contadores
de verdades e os livros estão cheios de verdades. Ele faz referência a Postman, que,
sugere outra metáfora: “professores como detectores de erros que tentassem ajudar seus
alunos a reduzir erros em seus conhecimentos e habilidades.” (Postman, 1996, p. 120,
apud Moreira, 2010). Quer dizer, professores buscando ajudar seus alunos a serem
também detectores de erros. Esse tipo de postura nos remete, novamente, à idéia de
aprendizagem significativa crítica: buscar sistematicamente o erro é pensar criticamente,
é aprender a aprender, é aprender criticamente rejeitando certezas, encarando o erro
como natural e aprendendo através de sua superação. (p.14-15)
8. Princípio da desaprendizagem.
este princípio é importante para a aprendizagem significativa crítica
por duas razões. A primeira delas tem a ver com a aprendizagem
significativa subordinada. Nesse processo, como já foi dito, o novo
conhecimento interage com o conhecimento prévio e, de certa forma,
ancora-se nele. É através dessa interação que o significado lógico dos
materiais educativos se transforma em significado psicológico para o
aprendiz. Tal mecanismo, que Ausubel chama de assimilação é o
mecanismo humano, por excelência, para adquirir a vasta quantidade
de informações que constitui qualquer corpo de conhecimento. Para
aprender de maneira significativa, é fundamental que percebamos a
relação entre o conhecimento prévio e o novo conhecimento. Porém,
na medida em que o conhecimento prévio nos impede de captar os
significados do novo conhecimento, estamos diante de um caso no
qual é necessária uma desaprendizagem. (MOREIRA, 2010, p.15)
44
O autor nos chama a atenção de como esta sendo usado o termo desaprender
em duas situações. Na primeira delas, com o significado de não usar o conhecimento
prévio (subsunçor) que impede que o sujeito capte os significados compartilhados a
respeito do novo conhecimento. Para ele, não se trata de “apagar” algum conhecimento
já existente na estrutura cognitiva o que, aliás, é impossível se a aprendizagem foi
significativa, mas sim de não usá-lo como subsunçor.
Segundo Moreira,
a segunda razão pela qual é importante aprender a desaprender está
relacionada com a sobrevivência em um ambiente que está em
permanente e rápida transformação. Quando o ambiente é estável, ou
muda muito lentamente, a sobrevivência depende fundamentalmente
da aprendizagem de estratégias e conceitos desenvolvidos no passado.
A missão da escola nesse caso é a de transmitir e conservar tais
estratégias e conceitos. No entanto, quando o meio está em constante,
profunda e rápida transformação, ocorre o inverso: a sobrevivência
depende crucialmente de ser capaz de identificar quais dos velhos
conceitos e estratégias são relevantes às novas demandas impostas por
novos desafios à sobrevivência e quais não são. (MOREIRA, 2010,
p.16)
Para o autor, aprender a desaprender é saber distinguir entre o relevante e o
irrelevante no conhecimento prévio e libertar-se do irrelevante, isto é, desaprendê-lo.
“Aprendizagem desse tipo é aprendizagem significativa crítica. Sua facilitação deveria
ser missão da escola na sociedade tecnológica contemporânea.” (p. 15-16)
9. Princípio da incerteza do conhecimento.
Segundo Moreira, (2010), este princípio é de certa forma, síntese de princípios
anteriores, onde a ênfase se dá ao fato de o conhecimento humano não ser expresso em
termos de verdades absolutas. Isso se reflete no âmbito das definições, perguntas e
metáforas, que são os elementos fundamentais na construção de uma visão de mundo.
Perguntas são instrumentos de percepção, definições e metáforas são instrumentos para
pensar e são válidos apenas dentro de um contexto. Para o autor, nossa visão de mundo
é construída primordialmente com as definições que criamos, com as perguntas que
formulamos e com as metáforas que utilizamos, elementos estes inter-relacionados na
linguagem humana. (p. 16-17)
No entanto, alerta o autor que:
é preciso não confundir este princípio da incerteza do conhecimento
com indiferença do conhecimento, ou seja, que qualquer
conhecimento vale. O que ele está chamando atenção é para o fato é
que nosso conhecimento é construção nossa e, portanto, por um lado,
45
pode estar errado, e, por outro, depende de como o construímos.
(MOREIRA, 2010, P.17)
10. Princípio da não utilização do quadro-de-giz. Da participação ativa do aluno.
Da diversidade de estratégias de ensino.
Segundo Moreira (2010), “este princípio é complementar ao terceiro”. Em
geral, é no quadro de giz que, com sua autoridade, o professor reproduz o seu saber
muitas vezes que emana do livro, resolve exercícios tradicionais que devem ser
cobrados em avaliações posteriores, acarretando uma média que classifica e muitas
vezes, estigmatiza o aluno. Para o autor, de nada adianta substituir o quadro de giz por
outras técnicas de aula, expositiva, mesmo utilizando “tecnologias de ponta” como
datashow, filmes educativos e retroprojetores. Para o autor, o quadro de giz simboliza e
estimula um ensino no qual o aluno espera que nele o professor escreva respostas certas
e este acredita que deve fazê-lo porque assim estará ensinando. Atualmente as salas de
aula estão sendo equipadas com quadros digitais que em muitos casos são utilizados do
mesmo modo, ou seja, como um veículo transmissor. (p. 17)
O autor nos dá sugestões do uso de diversas estratégias instrucionais, dizendo que
“o uso de distintas estratégias instrucionais que impliquem participação ativa do
estudante e, de fato, promovam um ensino centralizado no aluno é fundamental para
facilitar a aprendizagem significativa crítica”. (p. 18)
11. Princípio do abandono da narrativa. De deixar o aluno falar
Segundo Moreira, (2010), “este princípio é complementar ao da não utilização
do quadro de giz que, por sua vez, é complementar ao da não centralidade do livro de
texto”. Para o autor, “por que não deixar que o aluno interprete o que está nos livros e
externalize sua interpretação aos colegas a ao professor?” O professor poderia ouvir as
interpretações e negociações de significados entre os alunos e intervir quando
apropriado, trazendo à discussão os significados aceitos naquele tempo e no contexto da
matéria de ensino. O importante é não transmitir a interpretação errônea de um fato, de
que nada é absoluto e nem de que tudo é válido. (p.18)
Moreira (2010) cita Don Finkel para ilustrar o modelo clássico de ensino. Para
ele, independente de o professor escrever no quadro de giz, de explicar oralmente, de
usar slides, PowerPoint, o que ele ou ela faz é narrar.
Narrar é um meio ineficaz para estimular a compreensão, ainda que
ocupe o primeiro lugar na lista daquilo que fazem os professores. Para
ele, a boa docência é aquela que cria circunstâncias que conduzem à
46
aprendizagem relevante, duradoura. Na educação, a primazia deve ser
da aprendizagem, não do ensino. Aprender é o objetivo e ensinar é um
meio para este fim (DON FINKEL, 2008, p. 43, in MOREIRA, 2010,
p. 19).
Para Moreira, 2010, “atualmente fala-se muito em ensino centrado no aluno,
em o professor como mediador e em aprender a aprender.” Segundo ele, se
estivermos de acordo com estes objetivos, certamente estaremos de acordo com Finkel,
que nos diz que narrar não é a melhor forma de ensinar e por isso temos que rever nosso
modelo de bom professor. Quando se ensina somente narrando, algumas disciplinas
parecem nem existirem, o autor nos cita como exemplo a Matemática, onde as pessoas
têm um certo prazer em dizer que não sabem nada. (p. 19, destaques do autor)
Ainda segundo o autor, “o princípio do abandono da narrativa implica a busca
de outras maneiras de ensinar, nas quais, metaforicamente, o professor fale menos, narre
menos, e o aluno fale mais, participe criticamente de sua aprendizagem.” (p. 20)
Em conclusão a esta síntese de obras de autores, cujos pensamentos e conceitos
estruturam teórica e cientificamente esta pesquisa, constatamos que, em se tratando do
tema Aprendizagem Significativa e Aprendizagem Significativa Crítica, segundo
observações do Prof. Marco Antonio Moreira por ocasião do 4º. ENAS (Encontro
Nacional de Aprendizagem Significativa)8, pouco se tem pesquisado em relação à
aprendizagem da Matemática em ambientes escolares sob a ótica da Aprendizagem
Significativa.
Um trabalho recente nessa linha é a dissertação de Mestrado Profissional em
Educação Matemática (UFOP/MG), de Anderon Melhor Miranda sobre o tema: “As
Tecnologias da Informação no Estudo do Cálculo na Perspectiva da Aprendizagem
Significativa” (MIRANDA, 2010), investigando “Como o uso de um software e de
atividades elaboradas e analisadas, na perspectiva da aprendizagem significativa, pode
contribuir para o ensino e aprendizagem de gráficos no IR3, de estudantes de Cálculo de
várias variáveis?” (p.14).
Com base nos autores analisados, Miranda, pode verificar uma interação
existente e possível de conceitos do Pensamento Matemático Avançado (PMA) com a
aprendizagem significativa, “gerando um enriquecimento para o ensino de Matemática,
8 4º. Encontro Nacional de Aprendizagem Significativa, ocorrido em Garanhuns, Bahia, em maio de
2012, com a participação do pesquisador desta dissertação que fez comunicação entitulada “A criação de
ambientes favoráveis à aprendizagem significativa crítica nas aulas de matemática em contextos de cursos
regulares”.
47
particularmente de Cálculo, através de vínculos com questões referentes ao
cognitivismo dos aprendizes, a respeito de conteúdos e abordagens metodológicas
utilizadas na disciplina.” (p. 65). Na conclusão de seu trabalho de pesquisa, Miranda
expressa as dificuldades em quantificar e medir dados “que comprovem a ocorrência da
aprendizagem significativa ou de qualquer outro tipo de aprendizagem”. Considera que
tal comprovação iria demandar tempo de aplicação e análise, exigindo uma amostra
“global de indivíduos e fatores relevantes e determinantes” (p.128). No entanto, mesmo
sem dados conclusivos sobre se a aprendizagem dos alunos se realizou
significativamente, o autor valorizou e reconheceu os encaminhamentos e princípios
teóricos da Aprendizagem Significativa, que estruturou sua pesquisa, desejando que os
resultados da mesma
juntem-se ao corpo de outras pesquisas com a mesma temática,
oportunizando um espaço de discussão e estímulo para futuras
pesquisas que venham relacionar aspectos da TAS com conceitos e
definições de outras teorias, destacando pontos de consonâncias e
convergências entre elas. (MIRANDA, 2010, p. 130)
Mais um trabalho voltado para o ensino do Cálculo em nível superior, é a
dissertação de mestrado da pesquisadora Profa. Adriana Helena Borssoi, pela
Universidade Estadual de Londrina, PR , versando sobre “A Modelagem Matemática e
suas contribuições para uma aprendizagem significativa em cursos de cálculo.” (2004).
O trabalho se fundamenta “nos pressupostos teóricos da Modelagem Matemática na
perspectiva da Educação Matemática e na Teoria da Aprendizagem Significativa.” Na
perspectiva da autora, a Modelagem Matemática se revelou como estratégia eficiente
para a facilitação da Aprendizagem Significativa do Cálculo.
No resumo do trabalho, diz a autora que foram estabelecidos
um conjunto de aspectos por meio dos quais é possível evidenciar a
ocorrência da Aprendizagem Significativa quando as atividades de
ensino e aprendizagem compõem uma proposta de ensino que
considera o ambiente de Modelagem Matemática. [...] As informações
provenientes das produções dos alunos no decorrer das aulas provêm
de instrumentos elaborados para este fim, como, de fichas de
levantamento, entrevista, mapas conceituais, trabalhos em grupos e
outros. Estabelecemos, a partir da aproximação dos dois pressupostos
teóricos, uma proposta de ensino e aprendizagem com características
de ser facilitadora da Aprendizagem Significativa. (BORSSOI, 2004).
Pesquisas dessa natureza, envolvendo o aprendizado de disciplinas nos vários
níveis escolares, serão sempre bem-vindas e nos estruturam para novas pesquisas com a
48
adoção de novos referenciais teóricos como pretendemos nessa dissertação. A proposta
da investigação que buscamos realizar para a ocorrência de uma aprendizagem
significativa da Matemática, procurará ir além da visão cognitiva clássica proposta por
Ausubel na década de 60, Sec. XX e daí, revestindo-se da visão humanista de Joseph
Novak (1981; Novak e Gowin, 1996) colaborador de Ausubel, integrar-se à visão crítica
proposta por Moreira (2010) com foco nos princípios facilitadores para a Aprendizagem
Significativa Crítica.
49
CAPÍTULO 2
CONTEXTO DA PESQUISA E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Como professor de Matemática do Ensino Fundamental em Ouro Preto, tive a
oportunidade de desenvolver minha pesquisa com meus próprios alunos, durante as
aulas semanais de Matemática e sem prejuízo da programação do planejamento dos
assuntos matemáticos do semestre letivo. Nesse sentido, minha atuação como
professor/educador se revestiu de uma forma mais inquiridora e reflexiva sobre a minha
prática quando busquei compreender melhor as características de um professor
pesquisador de seu próprio trabalho pedagógico.
2.1. O professor como pesquisador de sua prática pedagógica
Com o fim de discutir as possibilidade e necessidades de formação do
professor como pesquisador de sua atividade de magistério, buscamos em Backes
(2010, p.5), num artigo que traz basicamente uma revisão bibliográfica da literatura já
existente acerca do tema “professor pesquisador” e “professor reflexivo”, elementos
para uma melhor compreensão do assunto. Para o autor, pesquisador (num sentido
amplo), é aquele que exerce a atividade de buscar, reunir informações sobre um
determinado problema ou assunto e analisá-las, utilizando para isso o método científico
com o objetivo de aumentar o conhecimento de determinado assunto, descobrir algo
novo ou refutar conjecturas anteriores.
Ele nos traz a idéia de Garcia (2007), que diz que o professor pesquisador seria
aquele professor que parte de questões relativas à sua prática com o objetivo de
aprimorá-la. Essa autora diz que, na literatura atual, são apresentadas diferenças entre a
“pesquisa do professor” e a “pesquisa acadêmica ou científica”. A pesquisa do professor
tem como finalidade o conhecimento da realidade para transformá-la, visando à
melhoria de suas práticas pedagógicas e a de seus colegas de profissão. Em relação ao
rigor, ela diz que, como o professor pesquisa sua própria prática, ele encontra-se
envolvido com seu objeto de pesquisa, diferentemente do pesquisador teórico.
(BACKES, 2010, p. 15)
Nessa linha de pensamento, apoiado nas ideias de Lima (2007), Backes diz
que a postura de professor pesquisador deve possibilitar aos professores exercerem um
trabalho com os alunos que vise ao aprendizado de novos conhecimentos e ao
questionamento tanto sobre a validade quanto sobre a pertinência dos já existentes, ou,
50
em outras palavras, que o espírito crítico se faça presente em cada momento da ação
pedagógica tanto para o aluno como para o professor. (p. 4)
Alicerçados pelos aspectos teóricos da Aprendizagem Significativa e da
Aprendizagem Significativa Crítica, não poderia ser outra a nossa posição para a
investigação pretendida neste trabalho do que estar em conexão com essa linha de
pensamento, que defende o pleno exercício da atividade do professor como
pesquisador/reflexivo e pesquisador/reflexivo de sua própria prática pedagógica. Nesse
sentido, optamos em pesquisar as ações exercidas nas aulas de Matemática e seus
resultados nas próprias turmas de alunos do professor pesquisador na escola onde
exerce o magistério.
2.2. A questão de investigação e os procedimentos metodológicos adotados
“Como criar ambientes favoráveis à Aprendizagem Significativa Crítica
em contextos de cursos regulares nas aulas de Matemática?” é a pergunta que, a
nosso ver, concentra a série de questionamentos sobre o ensino e a aprendizagem da
Matemática expressos na parte introdutória deste trabalho. Elegemos essa pergunta
como a nossa questão de investigação e, com a pretensão de trazermos respostas à
mesma, nos propusemos a realizar algumas tarefas, tais como: (1) ter conhecimento do
ambiente da escola local pretendido para a realização da pesquisa; (2) realizar
levantamento da teoria subjacente ao tema e selecionar os autores cujas obras mais se
relacionam com a pesquisa; (3) investigar as possibilidades de intervenção no momento
atual da escola, de forma a poder desenvolver um trabalho com os alunos sem incorrer
em interrupções e alterações do que foi planejado no início do ano letivo. (4) criar e
elaborar situações/atividades afins com o objetivo proposto e (5) programar e
desenvolver as atividades em sala de aula, tendo como referência, para análise, os
conceitos e princípios dogmáticos da Aprendizagem Significativa e da Aprendizagem
Significativa Crítica.
A busca de respostas para a questão de investigação e a execução a contento
das tarefas propostas, nos orientaram para realizar:
- pesquisa teórica sobre o tema geral “Aprendizagem Significativa” e
“Aprendizagem Significativa Crítica” e temas sobre Educação Matemática relacionados
à temática da pesquisa. Demos início à tarefa fazendo uma revisão da literatura a partir
da leitura de livros, artigos, textos, teses e dissertações relacionados à Educação
51
Matemática e à teoria da Aprendizagem Significativa, com destaque para os autores:
AUSUBEL(1980), BORSSOI(2004), MOREIRA (1999), (2000), (2006), (2010), e
outros já mencionados no Capítulo 1 deste documento.
- pesquisa documental, selecionando e analisando documentos sobre a escola,
local de realização da pesquisa, particularmente, sobre o Projeto Político-Pedagógico da
mesma, a ser retomado no Capítulo 3.
- pesquisa de campo, cujos procedimentos detalharemos a seguir.
2.3. A pesquisa de campo
Basicamente, é possível classificar a nossa pesquisa como qualitativa em seus
objetivos e métodos, uma vez que objetivamos investigar a criação de ambientes
favoráveis à Aprendizagem Significativa Crítica em contextos de cursos regulares. Com
o suporte das teorias sobre Aprendizagem Significativa e Aprendizagem Significativa
Crítica, elaboramos e desenvolvemos uma proposta didática pretendendo verificar as
possibilidades de aprendizagem da Matemática na qual os alunos deveriam realizar
atividades que buscassem interagir o conhecimento matemático com questões
relacionadas à sua vivência e ao seu interesse e que nos dessem indícios da ocorrência
de uma aprendizagem significativa e crítica.
O trabalho de campo foi realizado em duas turmas do 9o Ano do Ensino
Fundamental de uma escola particular localizada na cidade de Ouro Preto, Minas Gerais
no primeiro semestre de 2011. Uma turma possui 28 alunos matriculados e a outra, 30
alunos. A opção de se desenvolver a pesquisa nessa escola deve-se ao fato dela ser o
local onde a pesquisador exerce o magistério. O desenvolvimento da pesquisa aconteceu
no contexto das aulas regulares da disciplina Matemática, sob a responsabilidade do
professor pesquisador.
2.3.1. A escola e os participantes da pesquisa
A escola foi fundada em 1933 e até 1970 manteve o regime de internato para
aos alunos do sexo masculino, embora atendesse também a alunos da comunidade local,
de ambos os sexos, em regime de externato. Em 1979, deu início à nova fase da escola
com a criação das turmas do Maternal, da Educação Infantil e do Fundamental I,
conservando o Fundamental II, Ensino Médio.
52
A escola tem atualmente 558 alunos, conta com turmas de Maternal, Educação
Infantil e Ensino Fundamental I à tarde, Ensino Fundamental II e Ensino Médio no
turno matinal. Pela manhã estudam 298 alunos, sendo 201 do Fundamental, distribuídos
em duas turmas de 6º ano, duas de 7º ano, duas de 8º, duas de 9º ano. No médio
estudam 97 alunos, distribuídos em uma turma de 1º ano, uma turma de 2º ano e duas
turmas de 3º ano. À tarde, estudam turmas de maternal e Educação Infantil totalizando
210 alunos.
Localizada na zona urbana, na parte central da cidade de Ouro Preto, possui
uma biblioteca, uma secretaria, uma sala de professores, salas das pedagogas, sala da
diretoria, sala de informática, uma cantina, um amplo auditório, onze salas e quatro
banheiros, distribuídos em dois pavimentos. A área externa possui três quadras de
esportes e um pátio que os alunos utilizam durante os intervalos de aulas.
Para a constituição do grupo de sujeitos participantes da pesquisa, foi feito um
convite (Apêndice A, p.133), aos alunos do 9º ano, cujas idades variavam entre 13 e 16
anos. Quanto ao gênero, a turma 1 era composta de 15 meninas e 13 meninos e a turma
2, de 13 meninas e 17 meninos, num total de 58 alunos.
As atividades elaboradas com o objetivo pretendido pela pesquisa foram
desenvolvidas no próprio horário das aulas de Matemática e versavam sobre os próprios
temas matemáticos presentes nos materiais de apoio didático do aluno e constantes do
planejamento de ensino aprovado pela coordenação do curso. Desenvolvemos a
proposta durante nove semanas, a princípio com caráter inter/multidisciplinar e, após,
com a realização das atividades voltadas para os temas matemáticos específicos. Tais
atividades foram realizadas as segundas, terças e quartas feiras, no horário de aulas das
duas turmas, alvos da pesquisa.
Antes de qualquer ação referente à investigação pretendida, entramos em
contato com a direção da Escola, apresentando nossa proposta. Fomos muito bem
recebidos e apoiados favoravelmente para o desenvolvimento da proposta. Procuramos
deixar claro que o próprio professor das turmas desenvolveria as atividades sem
prejuízo dos conteúdos e carga horária previstos para a 1ª etapa letiva de 2011.
2.3.2. A proposta e sua dinâmica
O projeto foi realizado em parceria com os professores de História e de
Geografia. Propusemos um estudo interdisciplinar com base na observação dos sítios
53
históricos da região de Ouro Preto e Belo Horizonte. Para o desenvolvimento do
projeto, foram realizadas as visitas aos monumentos históricos e ao Museu das
Reduções, no distrito de Amarantina, em Ouro Preto, de forma a promover nos alunos a
reflexão sobre as questões patrimoniais da cidade onde residem e das regiões vizinhas,
contando com a percepção e associação do observado a conceitos matemáticos relativos
à proporcionalidade presente nos monumentos históricos visitados. Um “Manual de
Trabalho Interdisciplinar” (Apêndice B, p.138) foi elaborado e distribuído a cada aluno.
Nele constavam algumas atividades elaboradas em conjunto com os professores de
História e Geografia e realizadas durante o primeiro semestre letivo de 2011.
Os alunos tiveram a liberdade de definir quantos e quais seriam os membros de
cada grupo. A maior parte das atividades foi realizada em grupos de três alunos. O
estudo individual também foi valorizado para que o aluno desenvolvesse a capacidade
de trabalhar por si só. Na implementação e desenvolvimento da proposta, buscamos
incentivar os alunos a interpretar, criar estratégias, argumentar, trabalhar em equipe,
explicar de modo claro e justificar suas ideias.
As visitas orientadas foram documentadas através de fotografias e registros
tanto dos alunos como dos professores, constituindo a base documental para a
investigação pretendida e para a continuidade dos trabalhos a serem realizados em sala
de aula. Também elaboramos e nos utilizamos de questionários a serem respondidos
pelos alunos, normalmente após cada atividade realizada. Julgamos que a opinião dos
alunos após a realização de cada atividade e após a avaliação do professor seria valiosa
para inferirmos o quanto de significativo se tornou aquele determinado aprendizado.
Todas essas ações, desde seu início, foram registradas no diário de campo do
pesquisador, utilizado como uma das fontes de dados para a elaboração do Capítulo 3
deste documento, assim como, para a análise dos resultados a ser desenvolvida no
Capítulo 4 desta dissertação.
2.3.3. As atividades
Dentre os conteúdos matemáticos planejados para o semestre, optamos, para
fins da investigação, em focalizar alguns mais específicos para a elaboração das
atividades e para a identificação dos conhecimentos prévios dos alunos necessários à
continuidade e aprofundamento dos estudos. O tema proporcionalidade se destacou
dentre os demais e, como consequência, o Teorema de Tales, um dos temas já previsto
para ser estudado no semestre, centralizou nossas ações para a criação e a seleção das
54
atividades. Para o desenvolvimento da etapa inicial da pesquisa, propusemos aos alunos
uma série de visitas aos monumentos históricos da região com orientações e atividades
expressas no “Manual de Trabalho Interdisciplinar” elaborado pelo professor
pesquisador e seus colegas, professores de História e Geografia, e distribuído para cada
aluno participante da pesquisa. No Capítulo 3, apresentaremos com detalhes o teor das
atividades propostas, seus objetivos e desenvolvimento.
55
CAPÍTULO 3
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
3.1. A concepção das atividades
Tendo em vista a questão de investigação e o objetivo da presente pesquisa,
foram criadas e elaboradas atividades para serem realizadas pelos alunos, compondo
assim, a etapa da pesquisa de campo de nossa proposta de investigação. A criação de
estratégias de ação condizentes com o propósito de investigar as possibilidades de
construir ambientes que favoreçam a aprendizagem de forma significativa e crítica, em
contextos escolares com normas pré-estabelecidas, foi inspirada por uma série de
situações por mim vivenciadas e pela filosofia da Escola na orientação didático-
pedagógica de suas ações educacionais. Dentre tais situações, destaco:
- Minha experiência pessoal como professor e minhas concepções sobre educação
matemática
- Minhas leituras prévias sobre Aprendizagem Significativa e Aprendizagem
Significativa Crítica
- O Projeto Político Pedagógico da Escola
- A programação dos conteúdos matemáticos para o primeiro semestre de 2011
3.1.1. Minha experiência pessoal como professor e minhas concepções
sobre educação matemática
O projeto de pesquisa que realizei no Curso de Especialização em Educação
Matemática da UFOP, finalizado em 2005, e a minha experiência atuando como
professor de Matemática por mais de dez anos fizeram-me refletir sobre a dificuldade
dos estudantes na aprendizagem de conceitos matemáticos no Ensino Fundamental.
Reprovações, dificuldades na compreensão dos conceitos e não percepção da
aplicabilidade dos mesmos em conteúdos posteriores e em outras áreas de conhecimento
podem provocar nos alunos fortes sentimentos de rejeição para com a disciplina.
Alguns alunos, devido a um passado de insucessos em Matemática, acreditam que não
são capazes de superar as dificuldades e vão acumulando fracassos ao longo dos
estudos.
Araújo e Cardoso (2006) destacam algumas manifestações de dificuldades em
Matemática em sua pesquisa realizada com alunos de 5ª a 8ª série do Ensino
Fundamental. Segundo essas autoras, o pressuposto básico é que as dificuldades dos
56
alunos são manifestadas em conformidade com as atividades que o professor propõe.
Entretanto, as autoras afirmam que as dificuldades de aprendizagem não têm suas
causas oriundas apenas de aspectos cognitivos, epistemológicos e didáticos. Elas são
oriundas, também, das necessidades que levam um aluno a estudar Matemática, isto é, o
motivo que alimenta a atividade de “ser estudante de matemática”. Ainda, segundo o
relato das autoras, quando foi perguntado aos alunos pesquisados quais as principais
causas que consideravam responsáveis por suas dificuldades de aprendizagem em
Matemática, apontaram: bagunça, vergonha ao fazer uma pergunta sobre a matéria, falta
de paciência de alguns professores, falta de cobrança de tarefas, explicação complicada
vinda do professor ou mesmo a falta de vontade ao estudar a matéria. “A aprendizagem
da Matemática segue o tom apenas da memorização, do hábito tão típico de decorar, da
absorção mecânica” (ARAÚJO e CARDOSO, 2006, p.7-10).
Nos dias atuais, lecionando em uma escola particular, noto que as dificuldades
no aprendizado e as queixas dos alunos também se manifestam com frequência e isso
nos faz rever nossa prática através de novos questionamentos a respeito de como
exercer o trabalho pedagógico. Em consonância com Moreira (2000), buscamos uma
primeira aproximação na questão da negociação de significados em situações de ensino-
aprendizagem em escolas particulares, partindo da concepção de que compreender é
construir significados. Concordando com as ideias de que quando se aprende de uma
forma puramente memorística, a resposta a esse aprendizado é a representação ou
utilização mecânica do que se está fazendo ou dizendo. A aprendizagem significativa de
um conteúdo qualquer implica, inevitavelmente, em sua memorização compreensiva ou
armazenamento numa rede ampla de significados (MOREIRA, 2006, p.25).
Ideias que podem ser coerentes e até complementar essa visão também estão
presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais em algumas de suas proposições como
a que destacamos a seguir: “O significado da atividade matemática para o aluno também
resulta das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos e também
entre estes e as demais áreas do conhecimento e as situações do cotidiano” (BRASIL,
1998, p.17).
No meu entender, cabe ao professor propor situações didáticas, que possam
dirimir as dificuldades dos alunos no aprendizado, assim como, facilitar a compreensão
significativa do conhecimento matemático.
57
3.1.2. Minhas leituras prévias sobre Aprendizagem Significativa e
Aprendizagem Significativa Crítica
Após algumas leituras prévias sobre os aspectos teóricos da Aprendizagem
Significativa e da Aprendizagem Significativa Crítica (Ausubel, 1968, 1978, 1980,
Moreira, 1999, 2000, 2006, 2010) em paralelo com a reflexão sobre a minha prática, as
ideias veiculadas e refletidas me impulsionaram a pensar e a questionar sobre como a
aprendizagem da Matemática pode se realizar de maneira significativa e crítica.
Segundo a teoria, na aprendizagem significativa há uma interação entre o novo
conhecimento e o já existente, na qual ambos se modificam. Esse conhecimento anterior
resultará num "ponto de ancoragem" onde as novas informações irão encontrar um
modo de se integrar ao que o indivíduo já conhece. Aprender significativamente implica
em atribuir significados e estes têm sempre componentes pessoais. Aprendizagem sem
atribuição de significados pessoais, sem relação com o conhecimento preexistente, é
mecânica, não significativa (Moreira, 2006, p. 24-25).
Moreira (2000) discute sobre a necessidade em tempos de mudança, de a
aprendizagem ser, não apenas significativa, mas também subversiva, como uma
estratégia para sobreviver na sociedade contemporânea. Para deixar claro o sentido que
dá ao termo subversivo, o autor introduz a expressão Aprendizagem Significativa
Crítica: “é aquela que permite ao sujeito fazer parte de sua cultura e, ao mesmo tempo,
estar fora dela. (...) É através da aprendizagem significativa crítica que o aluno poderá
fazer parte de sua cultura e, ao mesmo tempo, não ser subjugado por ela, por seus ritos,
mitos e ideologias.” (MOREIRA, 2000, p. 5)
Procurei realizar com meus alunos atividades que pudessem me dar indícios do
conhecimento matemático que traziam para essa nova etapa de estudos, ou, em outras
palavras, do conhecimento prévio essencial à continuidade dos estudos e da
aprendizagem dos temas matemáticos propostos para o semestre letivo.
A criação e seleção das atividades, aliadas a uma nova postura do professor na
proposição e desenvolvimento delas em sala de aula, referenciadas nesse novo ideário,
buscaram o estabelecimento de um diálogo mais espontâneo e sempre aberto às
perguntas dos alunos. Assim também, inspiraram a elaboração de propostas alternativas
que apontassem outros caminhos, novas possibilidades pedagógicas, de modo a tornar
as aulas mais prazerosas, tanto para aprender quanto para ensinar, tarefa nem sempre
fácil nas aulas de Matemática. Como resultado, procurei elaborar e selecionar
atividades que buscassem interagir o conhecimento matemático com questões
58
relacionadas à vivência e ao interesse do aluno, significando para a minha prática uma
nova postura de trabalho na sala de aula e uma nova concepção sobre o conhecimento
matemático.
3.1.3. O Projeto Político Pedagógico da Escola (PPP)
Entendo que convicções pessoais a respeito da educação matemática, bem
como fundamentos teóricos a respeito da aprendizagem significativa crítica podem dar
subsídios para elaboração de atividades para atingir determinados objetivos relativos à
aprendizagem de conceitos matemáticos. No entanto, tal elaboração deve também levar
em conta o contexto educacional em que as atividades serão desenvolvidas. Nesse
sentido percebi a necessidade de avaliar se o que eu pretendia elaborar estaria em
consonância, ou não, com o projeto pedagógico da escola e com o planejamento da
disciplina Matemática a ser executado durante o ano de 2011. Examinando o Projeto
Político Pedagógico da escola encontrei muitos pontos de convergência entre o que este
documento preconiza e os fundamentos teóricos de minha pesquisa.
Entre as Finalidades Educativas apresentadas no documento há muitas
referências à formação crítica:
O desenvolvimento de uma atitude de curiosidade, reflexão e crítica
frente ao conhecimento e á interpretação da realidade; A capacidade
de utilizar, crítica e criativamente, as diversas formas de linguagem do
mundo contemporâneo; [ ......] O exercício da cidadania para a
transformação crítica, criativa e ética das realidades sociais. (PPP,
2010, p. 5)
O projeto também enfatiza a formação crítica quando define os objetivos do
ensino fundamental:
Nessa aquisição efetiva de conhecimento e na busca da formação
integral dos alunos, as atividades que serão envolvidas nas diferentes
áreas de conhecimento deverão privilegiar a formação crítica e
construtiva do cidadão para que os mesmos exerçam seus direitos e
deveres com responsabilidade e respeito. (PPP, 2010, p.11)
Com relação ao ensino e aprendizagem, o projeto enfatiza a ação do aluno nos
processos de construção do conhecimento e atribuição de significados aos conteúdos.
Muito mais que domínio de técnicas para operar mecanicamente com
símbolos, o processo de ensino-aprendizagem da Matemática deve
levar o aluno a construir o conhecimento lógico-matemático a partir
de si mesmo e da interação com seu meio. (PPP, 2010, p.13)
59
Esse parágrafo enfatiza a construção do conhecimento pelo aluno a partir do
que ele tem e de como interage com o meio em que vive, ressaltando a importância do
professor em criar situações para que isso ocorra.
A construção do conhecimento é entendida no PPP como um processo que não
se resume a aquisição de informação como diz Carbonell (2002): “Contudo importante
não é reunir informação, mas saber decodificá-la, integrá-la, contextualizá-la, organizá-
la e interpretá-la, dar-lhe sentido e significação, isto é, transformá-la em conhecimento”
(Carbonell, 2002, p. 56 in PPP).
Esse processo é facilitado quando o aluno relaciona a nova informação com os
seus conhecimentos prévios:
Nesta concepção, aprendemos quando somos capazes de elaborar uma
representação pessoal sobre um objeto da realidade ou conteúdo que
pretendemos aprender. Essa elaboração implica nos aproximarmos de
tal objeto ou conteúdo com a finalidade de apreendê-lo. Porém, não se
trata de uma aproximação vazia, a partir do nada, mas uma
aproximação a partir das nossas experiências anteriores e de
interesses, a que denominamos conhecimentos prévios. (PPP, 2010
p13).
Essa relação é também apontada por Moreira (2006) como importante para que
a aprendizagem ocorra de forma significativa. Segundo o autor, deve ser dada especial
atenção para a interação entre o novo conhecimento que o aluno vai adquirir e o
conhecimento que ele já possui, com a previsão de que ambos se modifiquem. Esse
conhecimento anterior resultará num "ponto de ancoragem" onde as novas informações
irão encontrar um modo de se integrar ao que o indivíduo já conhece (Moreira 2006).
Para o autor, o conhecimento prévio é, isoladamente, a variável que mais influencia a
aprendizagem. Segundo ele, “David Ausubel já nos chamava atenção para isso em
1963” (Moreira 2010, p.4).
O projeto (PPP) destaca a importância da atuação do professor nesse processo,
ressaltando a necessidade de “suscitar nos alunos o desejo de estabelecer relações entre
as informações, compreendendo a comunicação trazida pelo conteúdo” (p. 7). Um de
seus trechos refere-se especificamente à aprendizagem significativa quando diz:
Aprendizagem significativa implica o confronto entre o velho e o
novo, a identificação de semelhanças e diferenças, a revisão de
hipóteses e concepções, de modo que o aluno vá ampliando
gradativamente seus esquemas mentais de forma coerente. E isso não
acontece automaticamente nem se limita a uma ação operatória do
sujeito. Não basta que os alunos se encontrem diante de um novo
conhecimento ou situação-problema. É necessário que o professor o
estimula a fazer perguntas, questionar ideias e levantar hipóteses, em
60
suma, provocar desequilíbrios e reflexões sobre o próprio processo de
aprender. (PPP, p.13)
Assim também na teoria da Aprendizagem Significativa, a importância do
aluno fazer perguntas é também ressaltada por Moreira (2010) em um dos chamados
princípios facilitadores da aprendizagem significativa crítica, chamado por ele de
Princípio da Interação Social e do Questionamento:
um ensino centrado na interação entre professor e aluno enfatizando o
intercâmbio de perguntas tende a ser crítico e suscitar a aprendizagem
significativa crítica. [......] Uma vez que se aprende a formular
perguntas -- relevantes, apropriadas e substantivas -- aprende-se a
aprender e ninguém mais pode impedir-nos de aprendermos o que
quisermos. (Moreira, 2010, p.9).
O texto do PPP (2010) também destaca a importância da auto-aprendizagem
quando enfatiza que as redes de significado produzidas pelos alunos possibilitarão lidar
com diferentes informações, propiciarão a flexibilidade para adaptar-se a novas funções
e o desenvolvimento da capacidade de aprender a aprender. (p. 8)
3.1.4. A programação dos conteúdos matemáticos para o primeiro
semestre de 2011
Em linhas gerais, a programação dos conteúdos matemáticos para o semestre,
segue a linha proposta pelo livro didático adotado pela Escola9. Constam dessa
programação do 9º ano, os temas: potências, radicais, segmentos proporcionais,
Teorema de Tales, semelhança de polígonos, equações e sistemas do 2º. Grau, equações
biquadradas e irracionais. O ano letivo na disciplina de Matemática para o 9º ano
iniciou-se com uma revisão sobre assuntos básicos, tanto para dar continuidade à
programação, como para diagnosticar o conhecimento matemático dos alunos adquirido
ao longo dos anos anteriores. Em duas semanas foram realizadas atividades, resolvidos
exercícios e situações-problema envolvendo operações com números racionais – na
forma decimal e fracionária, equações, sistemas e inequações do 1º grau, produtos
notáveis e fatoração.
Através das atividades propostas, foi possível diagnosticar algumas dificuldades
que os alunos apresentavam tanto na realização das operações básicas como nos temas
algébricos. O fortalecimento do diálogo professor-aluno estabelecido nas aulas
9 MATEMÁTICA, 9º ano: Ensino Fundamental, livro 1, Maria Cristina Ponciano de Lima, Marlene
Turíbia de Rezende Tinano. – Belo Horizonte: Editora Educacional, 2011. - (Coleção Pitágoras).
61
propiciou aos alunos tomarem consciência de suas limitações nesses assuntos básicos e
deu abertura para que os mesmos se sentissem à vontade para formular perguntas e
declarar publicamente suas dificuldades. Esse fato se evidenciou quando foram
estudados os temas potência/potenciação e radicais/radiciação.
O desenvolvimento dos assuntos baseou-se no livro didático que trazia, como
introdução, um texto ilustrativo discorrendo sobre o uso da Internet em velocidades de
até 100 megabytes, disponibilizadas para os usuários a partir de 2009. No texto foram
abordados os conceitos de bit, byte, megabyte, gigabyte, procurando, após, relacioná-los
com as propriedades de potência, operações, potências de dez. Ainda dentro do que o
livro propunha, estudamos radicais, propriedades e operações com radicais. No estudo
desses temas os alunos já estavam adaptando-se ao professor e, dessa forma, sentindo-se
mais motivados em participar das aulas.
Notamos que os alunos já estavam familiarizados com a linguagem
computacional, mas quando trabalhamos com a potência de base 2, que representa a
base binária do computador, tiveram dificuldades em estabelecer relações com as
propriedades de potência, isto é, dificuldades em relacionar os aspectos teóricos do tema
com a sua aplicabilidade na informática. A percepção das dificuldades nos temas
descritos, particularmente no estudo de Radicais, nos orientou para investigar junto aos
alunos as razões a elas relacionadas. Tais razões serão discutidas no Capítulo 4 desta
dissertação.
Na sequência dos próximos temas a serem estudados - segmentos
proporcionais, Teorema de Tales, semelhança de polígonos – a compreensão do
conceito de proporcionalidade em seu significado mais amplo, além do aritmético e do
geométrico, se fazia necessária. Nossas recentes leituras e reflexões sobre uma
aprendizagem significativa e crítica nos permitiram identificar a proporcionalidade
como um conhecimento prévio importante, que poderia servir como ponto de
ancoragem para os demais conceitos a serem trabalhados.
Os argumentos levantados pelos alunos sobre suas dificuldades nos assuntos já
estudados, as leituras feitas e as orientações constantes no Projeto Político Pedagógico
da Escola, também serviram de mola propulsora para irmos além e pensarmos em
estratégias de ação pedagógica que usassem outros recursos além do livro texto e
pudessem abrir espaço para um renovado comprometimento do aluno e do professor
para a sua realidade, além do espaço da sala de aula.
62
3.2. A proposta do Projeto
Tendo como situação facilitadora o intercâmbio de idéias entre os professores e
o fato da coordenação da Escola sempre incentivar a realização de projetos
interdisciplinares (nesse ambiente tive a oportunidade de presenciar propostas dessa
natureza, desenvolvidas por professores de várias áreas de conhecimento), fiz contato
com o professor de Historia relatando-lhe meu interesse de pesquisa, alguns aspectos da
aprendizagem significativa e, também, minhas idéias sobre como desenvolver o tema
“proporcionalidade”. Dessa conversa surgiu a proposta de um projeto a ser realizado
tomando como referência a cidade histórica de Ouro Preto e vizinhanças. Pensamos em
uma proposta de caráter interdisciplinar através da qual pudessem convergir variadas
áreas de conhecimento, dados os aspectos históricos, geográficos, matemáticos,
arquitetônicos, sociais e culturais presentes nos locais a serem visitados e observados
com novos olhares pelos alunos.
Além dos vários aspectos citados, as noções de proporção, simetria,
paralelismo, perpendicularismo, escala e outros, poderiam ser presenciadas através das
observações e, posteriormente, discutidas e sistematizadas como novos conceitos
matemáticos a serem estudados e aprofundados.
Contando com o apoio do colega da área de História com experiência no
desenvolvimento de propostas interdisciplinares, demos início à elaboração de um
projeto com destaque para as visitas orientadas aos monumentos históricos das cidades
de Ouro Preto e Belo Horizonte e ainda, ao Museu das Reduções localizado em
Amarantina, distrito de Ouro Preto.
Optamos em desenvolver o projeto trabalhando em paralelo com o livro
didático, trabalho este, uma exigência para o cumprimento do planejamento semestral
da Escola. Pelo pouco tempo que tínhamos para cumprir a etapa, esse fato dificultou,
em parte, a realização de algumas atividades, entre elas as interdisciplinares que
deveriam ser realizadas juntamente com a professora da disciplina Geografia,
envolvendo noções de direção, sentido, medidas, trajetos e escala.
Em conclusão ao exposto sobre quais fatores/situações inspiraram as
estratégias de ação para a criação de ambientes favoráveis a uma aprendizagem
significativa e crítica de Matemática, acrescentamos que, para a programação de tais
ambientes foram selecionadas (de livros didáticos de vários autores) e, também, criadas
63
e elaboradas por nós, uma variedade de atividades agrupadas segundo suas finalidades
para o momento letivo com seus objetivos previamente estabelecidos.
3.3. Apresentação das atividades, seus objetivos e desenvolvimento
Faremos a seguir uma apresentação do desenvolvimento das atividades
referentes à pesquisa. Como dito anteriormente, foi feito um trabalho paralelo com uso
do livro texto. Alguns temas foram trabalhados pela primeira vez no livro texto e
complementados com as atividades e em outras situações a ordem foi inversa. Assim,
nessa descrição são apontados também os momentos em que foi usado o livro texto.
Seis Grupos de Atividades (GAs) e seus objetivos, elaborados por nós, são apresentados
com seus detalhes e procedimentos. Iniciamos o relato dos GAs pelas visitas orientadas
como primeiro grupo de atividades destacado, encerrando com o sexto grupo cuja
finalidade foi de avaliação.
Para cada atividade elaboramos um quadro no qual constam os temas
matemáticos abordados e os objetivos da atividade, tanto no que diz respeito à
aprendizagem dos temas, como no que se refere aos objetivos da pesquisa em si.
Também estão identificados, para cada grupo, alguns princípios facilitadores da
aprendizagem significativa crítica (Moreira, 2010) que julgamos mais atendidos no
respectivo grupo. Esses princípios serão retomados e discutidos no texto final da
dissertação quando traremos as respostas para a nossa questão de investigação. Em
síntese, os princípios identificados e enumerados por Moreira (2010), podem ser assim
descritos:
P1. Aprender que aprendemos a partir do que já sabemos. (Princípio do conhecimento
prévio.)
P2. Aprender/ensinar perguntas ao invés de respostas. (Princípio da interação social e
do questionamento.)
P3. Aprender a partir de distintos materiais educativos. (Princípio da não centralidade
do livro de texto.)
P4. Aprender que somos perceptores e representadores do mundo. (Princípio do
aprendiz como perceptor/representador.)
P5. Aprender que a linguagem está totalmente implicada em qualquer e em todas as
tentativas humanas de perceber a realidade. (Princípio do conhecimento como
linguagem.)
64
P6. Aprender que o significado está nas pessoas, não nas palavras. (Princípio da
consciência semântica.)
P7. Aprender que o ser humano aprende corrigindo seus erros. (Princípio da
aprendizagem pelo erro.)
P8. Aprender a desaprender, a não usar conceitos e estratégias irrelevantes para a
sobrevivência. (Princípio da desaprendizagem.)
P9. Aprender que as perguntas são instrumentos de percepção e que definições e
metáforas são instrumentos para pensar. (Princípio da incerteza do conhecimento.)
P10. Aprender a partir de distintas estratégias de ensino. (Princípio da não utilização do
quadro-de-giz.)
P11. Aprender que simplesmente repetir a narrativa de outra pessoa não estimula a
compreensão. (Princípio do abandono da narrativa.)
Antecipamos que todas as atividades programadas foram aplicadas nas duas
salas do 9º ano do Ensino Fundamental da Escola, com um total de 58 alunos
participantes. O desempenho dos alunos foi avaliado e considerado para a determinação
das suas notas para o trimestre letivo de 2011.
3.3.1. Grupo de Atividades GA1 - Visitas orientadas a monumentos
históricos de Ouro Preto e região e ao Museu das Reduções de Amarantina.
Deste grupo de atividades constam quatro visitas orientadas. No dia
12/04/2011, visitamos dois monumentos históricos de Ouro Preto - MG: a Igreja São
Francisco de Assis e a Casa dos Contos. No dia 27/04/2011 visitamos a Igreja de São
Francisco de Assis na Pampulha, em Belo Horizonte- MG e o Museu das Reduções em
Amarantina, distrito de Ouro Preto- MG. Mais detalhes são observados no quadro a
seguir:
65
GRUPO
DE
ATIVIDA
DES
ORIGEM TEMAS
MATEMÁTICO
S
ABORDADOS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
RELATIVOS AOS TEMAS
MATEMÁTICOS
OUTROS OBJETIVOS
PRETENDIDOS
ALGUNS
PRINCÍPIOS
MAIS
ATENDIDOS
PARA A
FACILITAÇÃO
DA A.S.C.
GA1:
Visitas
Orientadas
Projeto
multi/Interdiscip
linar com
propostas de
atividades
criadas e
elaboradas pelo
pesquisador e
colegas
relatadas no
“Manual de
Trabalho
Interdisciplinar”
-Figuras
Geométricas
Planas
- Retas Paralelas e
concorrentes
- Medidas
Lineares
- Ampliação e
Redução de
figuras
- Escala
- Noções de
Simetria
- Reconhecer e representar
formas geométricas planas dos
locais visitados
- Abstrair conceitos de
paralelismo e concorrência de
retas a partir da observação das
representações (fotos, desenhos)
dos monumentos visitados.
- Estimar algumas dimensões dos
monumentos
- Efetuar medidas lineares,
utilizando instrumentos de
medição.
- Utilizar as representações dos
monumentos e pessoas (fotos,
desenhos) para verificar
estimativas.
- Perceber aspectos de
proporcionalidade presente na
comparação entre os monumentos
em tamanho real e suas
representações nas fotos e nos
desenhos.
- Construir e utilizar o conceito
de escala.
- Perceber através da observação,
aspectos de simetria presentes na
arquitetura dos monumentos.
- Ampliar o significado dos
conceitos matemáticos
promovendo atividades que
possam estabelecer conexões
com outras áreas de
conhecimento.
- Retratar e discutir, através da
atividade proposta, situações do
cotidiano dos alunos e de seu
entorno no sentido de
contextualizar conceitos
matemáticos que serão
trabalhados em sala de aula
-Permitir ao educando conhecer
e valorizar sua própria história
através de conhecer a história
de sua comunidade, de seus
elementos culturais e sociais.
- Propiciar ao educando
momentos de um olhar mais
focado e crítico de sua realidade
Incentivar os alunos a fazer
perguntas e elaborar questões
estimulando o querer saber mais
e, em consequência, a
pesquisar.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P9
P10
Quadro 3 - Grupo de Atividades GA1
Procedimentos
Cada um dos alunos recebeu um texto de 12 páginas denominado “Manual de
Trabalho Interdisciplinar (MTI)” (Apêndice 2), esclarecendo sobre as atividades a
serem desenvolvidas, a participação das diferentes áreas e a importância do trabalho no
que diz respeito à valorização do patrimônio arquitetônico e cultural da região. Os
alunos foram orientados sobre todas as etapas planejadas para compor o trabalho, a
saber:
1ª – Visita Orientada à Capela da Ordem 3ª de São Francisco de Assis, Ouro Preto, MG
2ª – Visita Orientada à Casa dos Contos – Ouro Preto – MG
3ª –Visita Orientada à Igreja de São Francisco de Assis, Pampulha, Belo Horizonte/MG
4ª – Visita Orientada ao Museu das Reduções – Amarantina – Ouro Preto/MG
5ª – Registro fotográfico dos monumentos visitados.
66
6ª – Trabalho de pesquisa, exercícios e releitura dos monumentos visitados envolvendo
conteúdos matemáticos estudados: escala, proporção, figuras geométricas...
7ª – Trabalho de pesquisa, exercícios e releitura dos monumentos visitados tendo como
base a educação e a valorização patrimonial.
8ª – Trabalho de pesquisa, exercícios de Cartografia, escala e localização geográfica
tendo como referência os monumentos visitados.
As 1ª, 2ª, 3ª, 4ª e 5ª etapas referem-se às visitas realizadas. Na visita orientada à
Capela da Ordem Terceira de São Francisco de Assis, através das explicações do
professor de História, os alunos puderam conhecer o contexto histórico do Monumento,
a história dos artistas que participaram da construção bem como puderam observar
detalhes da sua arquitetura e pinturas internas. Na visita à Casa dos Contos foi possível
conhecer a história, tanto no que diz respeito ao prédio em si, como aos seus diferentes
usos ao longo da história. Na visita à Igreja de São Francisco de Assis no bairro
Pampulha em Belo Horizonte (MG), foi possível ver a arquitetura de Oscar Niemeyer e
obras de Candido Portinari. Na visita ao Museu das Reduções em Amarantina distrito
da cidade de Ouro Preto (MG), os alunos puderam ver réplicas de 29 monumentos
históricos do Brasil e conhecer a história da criação do museu e da construção das
réplicas10
.
As 6ª, 7ª e 8ª etapas referem-se aos trabalhos realizados em sala de aula, com
base nas visitas. Cada uma delas ficaria sob a coordenação dos professores das
disciplinas Matemática, História e Geografia respectivamente, muito embora estivessem
10 A obra dos quatro irmãos Vilhena com a duração de mais de 20 anos de trabalho, iniciou-se após a
aposentadoria dos irmãos. Ao Décio coube fazer desenhos dos monumentos e os trabalhos em madeira,
cerca de 520 portas e janelas, caixilhos de 1 mm de espessura formando desenhos e as belas treliças de
Parati e Fazenda Resgate, o Farol da Barra, as grades da Varanda do Pátio da Casa dos Contos, as portas e
janelas com almofadas, etc. À Sylvia ficou por conta das esculturas em pedra sabão, as colunas, os
relevos, enfim, todo o trabalho em pedra. A Evangelina foi quem fotografou os monumentos e coordenou
os trabalhos da eficiente equipe de jovens que muito coopera para a realização e continuidade do projeto.
Dirige a Escola de Artesanato juntamente com a Daise. Participaram também dos projetos, na parte de
pintura, Paulo Versiani, Yeda Wanderley e Jorge Prata. Disponível no site
http://www.projetoreducao.com.br/artesaos.html, acessado em dezembro de 2011.
67
revistas atividades efetivamente interdisciplinares, relacionando as diferentes áreas. Para
cumprir os objetivos da 6ª etapa foram desenvolvidas as atividades em sala, que estão
descritas mais adiante, neste capítulo. Os objetivos propostos para a 7ª etapa foram
trabalhados nas aulas de História. A realização da 8ª etapa ficou prejudicada pelo
desligamento da professora de Geografia da Escola. Estava previsto inicialmente que a
professora se desligaria após a realização das atividades. No entanto ela demonstrou
desinteresse em dar continuidade ao projeto e não o fez. Apesar da possibilidade de
desenvolvimento da atividade nas próprias aulas de matemática, optamos por não
realizar devido ao tempo reduzido que tínhamos para cumprir a proposta de trabalho e
os conteúdos programados para o semestre letivo no planejamento da escola.
A proposta inicial contemplaria um projeto interdisciplinar envolvendo as três
áreas de conhecimento, como mencionamos no procedimento adotado para o GA1 neste
capítulo. No entanto, como dissemos, alguns fatos impediram a realização de um
trabalho conjunto com as áreas de História e Geografia. Para nós, entretanto, ficou
evidente o potencial que um projeto dessa ordem pode representar em futuros projetos
educacionais.
Uma parte do Manual foi dedicada às orientações básicas aos alunos para uma
observação mais atenta aos locais visitados no que diz respeito aos objetivos
pretendidos para a Matemática (Apêndice 2, p. 6-12). Orientamos os alunos para
anotarem, em todas as visitas, as informações recebidas, os dados quantitativos que
conseguiram a partir de medidas feitas nos monumentos visitados e a fotografarem os
locais permitidos. Esclarecemos que todo esse material seria utilizado nas atividades em
sala de aula estabelecendo as conexões possíveis com os conteúdos a serem estudados
no semestre.
Nas semanas posteriores às visitas, em sala de aula, fizemos um levantamento
de todo o material coletado e das fotografias dos monumentos: Igreja de São Francisco
de Assis e Casa dos Contos, em Ouro Preto e igreja de São Francisco na Pampulha, em
Belo Horizonte. Pedimos aos alunos que desenhassem as figuras geométricas que
conseguissem visualizar nas fotos que estampamos no Manual. Nele constava uma
transparência (utilizada para retroprojetor) sobreposta às fotos dos monumentos
visitados. Com canetas de diversas cores, deveriam traçar todas as figuras que
conseguissem visualizar, podendo desenhar linhas imaginárias para completar a
composição da imagem encontrada. Os dados organizados nessa atividade e a geometria
explorada a partir das fotos do manual foram utilizados em outras atividades que serão
68
descritas a seguir. Importante destacar que, paralelamente às visitas e à essa atividade
GA1, também foi feito um trabalho com o livro texto, enfocando a proporcionalidade.
Na conclusão dessa etapa do trabalho, como já programado, pedimos aos
alunos que elaborassem um relatório expressando suas opiniões sobre as visitas
realizadas e o que haviam aprendido com o projeto até o momento. Eis, a seguir, o
roteiro sugerido para a elaboração do relatório:
1. Relate resumidamente o que foi possível observar nas visitas feitas.
2. Em cada uma delas o que despertou interesse em vocês? Por que?
3. Como a matemática se apresenta nos monumentos visitados? Explique
4. Que perguntas você têm a fazer sobre o que viram nas visitas? Têm
curiosidade de saber mais sobre algo relacionado ao que visitaram?
5. Conclua dizendo o que esse projeto representou para vocês.
Combinamos com os alunos que esse relatório seria feito em trio de alunos, pois
julgamos que, quando reunidos, as diferentes visões, anotações, fotos e, ainda, fatos de
memória poderiam vir à tona nas discussões e tornar o relatório mais rico em seus
detalhes.
3.2.2. Grupo de Atividades: GA2
Essa atividade foi realizada nos dias 09 e 10 de maio de 2011. Teve como foco
principal trabalhar o conceito de proporcionalidade.
GRUPO
DE
ATIVIDA
DES
ORIGEM TEMAS
MATEMÁTICOS
ABORDADOS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
RELATIVOS AOS TEMAS
MATEMÁTICOS
OUTROS OBJETIVOS
PRETENDIDOS
ALGUNS
PRINCÍPIOS
PARA A
FACILITAÇÃO
DA AP. SIG.CR.
(ASC) MAIS
ATENDIDOS
GA2 Criadas e
elaboradas
pelo
pesquisador
Medidas lineares
Proporcionalidade
Escala
-Estabelecer relações entre
objetos reais e suas
representações
-Utilizar as relações entre
medidas de objetos e de suas
representações para trabalhar o
conceito de proporcionalidade
-Usar a proporcionalidade para
estimar medidas inacessíveis
- Entender o significado da
escala em representações de
objetos.
-Determinar escalas de
representações de objetos
-Identificar e buscar as
informações necessárias
para encontrar respostas a
situações-problema.
-Discutir e analisar
criticamente os resultados
obtidos.
-Incentivar o trabalho
colaborativo e a troca de
conhecimentos
-Ir além do livro texto,
trazendo para a sala de aula
as situações vivenciadas
extra-classe.
P1
P2
P4
P5
P7
P9
P10
Quadro 4- Grupo de Atividades GA2
69
O seguinte roteiro elaborado para facilitar a realização das atividades propostas:
1. Na igreja de São Francisco de Ouro Preto foi solicitado a vocês que tirassem
algumas medidas. Quais foram elas?
2. O que foi possível e o que não foi possível medir? É possível estimar os valores
daquelas que não foi possível medir? De que forma?
3. Considerem a altura da aluna”X” e com base nas fotos tiradas estimem a altura
da porta da Igreja.
4. Considerem a altura do aluno”Y” e com base nas fotos tiradas estimem a altura
da torre da igreja.
5. Vocês tem algumas outras formas de representação da igreja de São Francisco
de Ouro Preto: a foto do roteiro do relatório, as fotos que tiraram, a maquete do
Museu das Reduções ou outras que tenham encontrado. Existem relações entre
as medidas nestas diferentes representações? Essas relações permanecem
constantes quando comparamos medidas de diferentes partes da igreja nas
mesmas representações? Como podemos explicar isso?
6. Considerando a escala indicada na maquete do museu das reduções para a Igreja
de São Francisco e as medidas que vocês têm dessa foto estimem as medidas
reais da igreja.
7. Comparem os resultados com as estimativas feitas anteriormente. Procurem
explicar semelhanças e diferenças encontradas.
8. É possível dizer em que escala está a foto do roteiro de relatório? Como pode ser
representada essa escala?
9. Faça o mesmo para uma foto tirada por cada um de vocês.
Procedimentos
Antes de descrever os procedimentos específicos desta atividade, é importante
caracterizar o contexto em que ocorreu. Foi aplicada após um trabalho com o conceito
de proporcionalidade, desenvolvido a partir de vídeos e do uso do livro texto, realizado
nos dias 18, 19 e 20 de abril (após a primeira visita) e no dia 09 de maio (após a 2ª
visita). Para trabalhar proporcionalidade foram usados vídeos que tratam o tema, bem
como o livro texto. Escolhemos vídeos disponíveis no Youtube, que também enfocam a
razão áurea, uma vez que este tema aparece no livro texto e também por possibilitar a
relação e contextualização do conteúdo de radicais, estudado anteriormente. Com base
70
no livro texto e uso de papel quadriculado trabalhamos ampliação e redução de figuras e
o conceito teórico de segmentos proporcionais. Embora o conceito tenha sido explorado
basicamente através de atividades propostas no livro texto, procuramos fazer algumas
relações com as visitas realizadas aos monumentos e ao museu das reduções. Nessas
visitas os alunos puderam observar monumentos e algumas de suas representações
reduzidas tendo, em um contexto extra-classe, uma boa noção de proporcionalidade.
No momento da realização da atividade outras exigências relativas ao
encerramento de uma etapa do período letivo se faziam presentes, de modo que não
pudemos despender o tempo que julgávamos necessário para que os alunos
trabalhassem com calma em todos os itens indicados no roteiro. Decidimos então
realizar as atividades mais dirigidas pelo professor, com a participação dos alunos.
Colocamos como meta principal a obtenção de medidas inacessíveis e a obtenção da
escala da foto da Igreja de São Francisco de Ouro Preto. O material utilizado para o
desenvolvimento da atividade foi o Manual com a foto da igreja, as anotações das
medidas realizadas durante a visita, bem como algumas fotos em que os alunos estavam
em frente aos monumentos e que seriam utilizadas posteriormente para os próximos
estudos. Os questionamentos colocados no item 5 foram abordados em uma discussão
conjunta com a classe, conduzida pelo professor por uma questão do tempo que
tínhamos para o desenvolvimento da proposta. Também por questão de tempo e por
julgarmos que não comprometeria o restante do trabalho, optamos por não desenvolver
as atividades propostas nos itens 6, 7 e 9 do roteiro, dando mais atenção à atividade 8 do
roteiro.
3.2.3. Grupo de Atividades: GA3
Esta atividade foi realizada nos dia 24 de maio de 2011 nas duas turmas com
58 participantes. Teve como objetivo principal trabalhar o Teorema de Tales utilizando
representações esquemáticas de situações práticas hipotéticas, nas quais é possível
aplicar o teorema de Tales.
71
GRUPO
DE
ATIVIDA
DES
ORIGEM TEMAS
MATEMÁTICOS
ABORDADOS
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
RELATIVOS AOS
TEMAS
MATEMÁTICOS
OUTROS
OBJETIVOS
PRETENDIDOS
ALGUNS
PRINCÍPIOS
PARA A
FACILITAÇÃO
DA AP. SIG.CR.
(ASC) MAIS
ATENDIDOS
GA3 Banco de dados
disponibilizado
pelo material
adotado pela
escola.
Teorema de
Tales
Conseqüências
do Teorema de
Tales.
-Resolver problemas
aplicando a noção de
proporcionalidade entre
segmentos de reta.
-Identificar e aplicar o
Teorema de Tales e
suas conseqüências na
resolução de problemas
contextualizados.
-Aplicar o Teorema de
Tales em triângulos.
-Incentivar o trabalho
colaborativo e a troca
de conhecimentos.
-Constituir-se em um
caminho de raciocínio
e organização do
pensamente entre
atividades puramente
matemáticas e
atividades em que se
aplica a Matemática
em contextos da
realidade.
P1
P2
P3
P5
P7
P8
P9
P10
Quadro 5- Grupo de Atividades GA3
Roteiro para a realização das atividades:
1) Na construção civil (ou em qualquer atividade econômica), devemos fazer um uso
racional de recursos. Faz-se Necessário, em certos casos, efetuar medições que, por
sua vez, geram custos. Podemos usar segmentos proporcionais para diminuir esses
custos. A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem
alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma
alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica,
aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações.
Analisando a figura e admitindo que as linhas
retas r, s e t sejam paralelas, marque a alternativa
que apresenta o valor correto da medida
da barragem.
A) 33 m
B) 38 m
C) 40 m
D) 48 m
2) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:
56 m
24 m
30 m
Rio
Barragem
r
s
t
Rua TS = 3 km
Av. SR = 3,8 km Rua PQ =2km
72
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de T, cada corredor deve percorrer o circuito
passando, sucessivamente, por S, R, Q, P. Calcule o valor aproximado do trecho do
circuito.
3) Em uma determinada cidade, as avenidas são sempre paralelas e as ruas
transversais, conforme a figura.
Determine o comprimento do trecho da Rua 2, entre a Avenida 2 e a Avenida 3.
4) Luís, engenheiro responsável pelo loteamento de certo bairro, queria completar o
mapa de loteamento colocando as medidas de frente dos lotes 1 e 3, respectivamente,
para a Rua Feliz e a Rua Primavera. Sabendo que os lados dos lotes são paralelos, sua
resposta foi a representada a seguir:
Podemos afirmar, corretamente, que Luís:
a) Errou os cálculos das medidas dos dois lotes.
b) Acertou o cálculo da medida do lote 3, mas errou o cálculo da medida do lote 1.
c) Acertou os cálculos das medidas dos dois lotes.
d) Acertou o cálculo da medida do lote 1, mas errou o cálculo da medida do lote 3, que
deveria ser de 40 m.
Avenida 1
Rua 1
Avenida 3
Avenida 2
Rua 2
6 km
8 km 10 km Praça dos
Trapézios
73
Procedimentos
Essa atividade foi desenvolvida após o trabalho com o Teorema de Tales, com
utilização do livro texto. O Teorema de Tales é apresentado no livro didático
primeiramente explorando o conceito de retas paralelas cortadas por retas transversais,
com algumas atividades em que o aluno deveria experimentar traçando retas paralelas
com esquadro e régua graduada, em seguida o aluno concluiria que se um feixe de retas
paralelas determinaria segmentos congruentes sobre uma transversal, então esse feixe
determinará segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. Foram propostas
atividades que deveriam estimular o aluno a construir pequenos textos sobre o assunto.
A atividade foi construída com o objetivo principal de constituir-se em um
caminho de raciocínio e organização do pensamento entre atividades puramente
matemáticas e atividades em que se aplica a Matemática em contextos da realidade,
enfocando especificamente aplicações do Teorema de Tales. Percebemos a necessidade
de elaboração dessa atividade ao tentarmos desenvolver, com uma das turmas, o grupo
de atividades GA4 (descrito em sequência no item 3.2.4) em que se buscava aplicar o
Teorema de Tales utilizando a foto da Igreja de São Francisco de Ouro Preto.
Pelas dificuldades dos alunos, percebemos que havia uma lacuna entre
exercícios em que as figuras apresentadas evidenciavam a utilização imediata do
Teorema (comuns nos livros didáticos) e a necessidade de construção pelos alunos de
representações esquemáticas com base em retas paralelas e transversais destacadas na
foto, necessárias para os questionamentos específicos apresentados. Buscamos no banco
de dados do material didático utilizado pela escola, questões envolvendo o Teorema de
Tales aplicado em situações externas à Matemática, mesmo que hipotéticas.
Entendemos que seriam estas atividades intermediárias interessantes para diminuir as
dificuldades dos alunos ao desenvolver o proposto no grupo de atividades GA4.
Pelo fato de não ter sido planejada inicialmente e na tentativa de corrigir uma
falha identificada, a atividade foi realizada em duas situações distintas: na turma 2 foi
aplicada após a atividade GA4, e na turma 1 antes da atividade GA4. Optamos por
aplicar também na turma 2, que já tinha realizado a atividade GA4, pois julgamos que
poderia contribuir para a melhor compreensão dos conceitos teóricos envolvidos e
também poderia facilitar as futuras atividades que envolvessem competências de
mesma natureza.
74
3.2.4. Grupo de Atividades: GA4
Esse grupo de atividades realizado pelos alunos em pequenos grupos de 3
participantes nos dias: 20 de maio de 2011 para a turma 1 e 27de maio de 2011 para a
turma 2. Teve como objetivo principal a aplicação do Teorema de Tales em contextos
externos à Matemática, obtidos a partir das visitas.
GRUPO
DE
ATIVIDA
DES
ORIGEM TEMAS
MATEMÁTICOS
ABORDADOS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
RELATIVOS AOS TEMAS
MATEMÁTICOS
OUTROS OBJETIVOS
PRETENDIDOS
ALGUNS
PRINCÍPIOS
PARA A
FACILITAÇÃO
DA AP.
SIG.CR.
(ASC) MAIS
ATENDIDOS
GA4 Criadas e
elaboradas
pelo
pesquisador
- Medidas de
segmentos de retas
- Proporcionalidade
- Teorema de Tales
- Aplicação do
Teorema de Tales
- Verificar a capacidade de
montar uma representação
(equacionar) a partir de um
enunciado.
-Resolver situações matemáticas
vivenciadas na prática, em que o
contexto exija a elaboração de
esquemas, onde o aluno possa
visualizar e imaginar retas
paralelas e retas transversais na
aplicação do Teorema de Tales.
-Ir além do livro texto,
trazendo para a sala de
aula as situações
vivenciadas extra-classe.
-Trocar informações com
os colegas, buscando a
melhor estratégia na
resolução da atividade.
- Discutir e analisar
criticamente os
resultados.
P1
P2
P3
P4
P7
P9
P10
Quadro 6- Grupo de Atividades GA4
Roteiro para a realização das atividades:
75
Na foto da Capela da Ordem Terceira de São Francisco de Assis, da cidade de Ouro
Preto, assinalamos as retas 1r ,
2r , 3r ,....., 8r e os pontos A, B, C, D, E, F e G. Vamos
considerar 1r ,
2r , 3r paralelas, 76,5,4 ,rrrr paralelas.
1) Medindo os segmentos na foto, determine: AB, BC, DE e EF.. Que relações é
possível estabelecer entre as medidas dos segmentos indicados? Faça uma
representação esquemática das retas utilizadas, indicando os pontos e as medidas
obtidas.
2) Sabe-se que a altura das aberturas das janelas das torres é 243 cm , a distância
entre o centro do medalhão frontal até a base da cruz da torre é 442cm e a parte
inclinada do telhado, indicada pelo segmento EF na foto, é 455cm.
a) com apenas estes dados é possível estimar a medida do segmento
EG assinalado na figura? Como?
b) Faça um desenho indicando as retas, pontos e cálculos utilizados.
c) Considerando a escala da foto e medindo o segmento EG na foto, o valor
calculado no item b se confirma?
Procedimentos
Pelos motivos indicados nos procedimentos do grupo anterior de atividades,
esta atividade foi desenvolvida em duas situações diferentes: antes de GA3 na turma 2 e
depois de GA3 na turma 1. Os alunos da turma 2, que não haviam realizado as
atividades intermediárias, tiveram dificuldade em fazer as representações ou esquemas
envolvendo as retas paralelas e transversais, necessários para obtenção das respostas aos
questionamentos colocados, embora as retas estivessem destacadas na foto. Interessante
observar que tinham conseguido anteriormente resolver os exercícios propostos no livro
texto sobre o Teorema de Tales. A dificuldade foi mesmo em fazer as representações.
Os alunos da turma 1, que haviam realizado as atividades intermediárias, fizeram os
esquemas necessários com um pouco mais de facilidade e melhores resultados. No
entanto, ainda pudemos perceber certa dificuldade dos alunos em trabalhar com
situações em que eles próprios tinham que elaborar estratégias para melhor identificação
do processo a ser utilizado. Acreditamos que o fato dos alunos estarem acostumados a
resolver tarefas do livro didático, que exigem somente a aplicação imediata dos
conteúdos trabalhados apresentados com esquemas prontos, de resolução quase que
imediata, tenha sido uma das causas das dificuldades encontradas.
No Capítulo 4 desta dissertação apresentamos nossa interpretação sobre a
possibilidade de contextualização e aprendizagem significativa do Teorema de Tales,
por meio dessa atividade, bem como o atendimento aos objetivos propostos.
76
3.2.5. Grupo de Atividades: GA5
Esse grupo de atividades realizado pelos alunos em pequenos grupos de 3
participantes no dia 31de maio de 2011.Teve como objetivo principal trabalhar o
Teorema de Tales aplicado no triângulo.
GRUPO
DE
ATIVIDA
DES
ORIGEM TEMAS
MATEMÁTICOS
ABORDADOS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
RELATIVOS AOS TEMAS
MATEMÁTICOS
OUTROS OBJETIVOS
PRETENDIDOS
ALGUNS
PRINCÍPIOS
PARA A
FACILITAÇÃO
DA AP. SIG.CR.
(ASC) MAIS
ATENDIDOS
GA5 Criadas e
elaboradas pelo
pesquisador
-Teorema de Tales
-Conseqüências do
Teorema de Tales.
- Aplicar o Teorema de e a suas
conseqüências
-Aplicar o Teorema de Tales nos
triângulos.
-Resolver situações matemáticas
vivenciadas na prática, em que o
contexto exija a elaboração de
esquemas, onde o aluno possa
visualizar e imaginar retas
paralelas e retas transversais na
aplicação do Teorema de Tales no
triângulo.
-Construir a partir da prática
um conceito teórico do tema
estudado.
-Incentivar o trabalho
colaborativo e a troca de
conhecimentos
- Ir além do livro
texto, trazendo para a sala de
aula as situações vivenciadas
extraclasse.
-Diagnosticar indícios
Aprendizagem Significativa.
P1
P2
P3
P5
P7
P8
P9
P10
P11
Quadro 7- Grupo de Atividades GA5
Roteiro para a realização das atividades:
A figura anterior é uma representação de alguns elementos da fachada da Igreja da
Pampulha. Tendo essa figura como base e considerando que:
a) a frente da igreja mede 15,64 m (isto é: BF = 15,64 m)
b) a largura de cada retângulo das esquadrias da frente da igreja é 2,18 m
(isto é CD =2,18 m)
c) a altura de cada retângulo das esquadrias da frente da igreja é 2,88 m
(isto é EH = 2,88 m)
77
d) BG = 3,8 m
e) GI = 9,16 m
Estime a altura da igreja
Procedimentos
Esta atividade foi pensada para introduzir um novo conteúdo, que é uma
consequência do Teorema de Tales: aplicação de Tales no triângulo. Entendemos que a
determinação da altura da Igreja seria um desafio para os alunos, pois seria necessária a
interpretação do esquema e a utilização do teorema em um triângulo, assunto ainda não
trabalhado teoricamente. Ao mesmo tempo, sendo uma consequência do Teorema de
Tales, poderia nos dar indicações sobre a aprendizagem do Teorema ter acontecido de
forma significativa ou não.
Os alunos das duas turmas não tiveram nenhuma dificuldade em resolver o que
se pedia. Isso ficou evidente pelos diálogos dos participantes dos grupos e pelas
estratégias utilizadas. Com facilidade identificaram que o Teorema de Tales poderia ser
aplicado traçando uma reta imaginária, paralela ao segmento BF, passando pelo ponto I
e outra reta passando pelos pontos E e I. A visualização das paralelas e das transversais
foi muito fácil para eles. Em momento nenhum, no decorrer da aplicação da atividade,
interferimos no intuito de facilitar essa visualização. Observamos uma participação mais
efetiva e empenho dos alunos na busca da solução do problema.
Após a realização da atividade formalizamos os conceitos trabalhando a
aplicação do Teorema de Tales no triângulo, utilizando o livro texto. Os alunos
perceberam que basta que a reta que corta os lados do triângulo seja paralela ao outro
lado para que o Teorema de Tales possa ser aplicado. A terceira reta paralela fica
subentendida ou imaginada, como ficou no caso da reta passando por I na representação
da Igreja da Pampulha.
Dando sequencia ao planejamento do semestre, foi trabalhado o teorema da
bissetriz interna do triângulo, utilizando o livro texto.
78
3.2.6. Grupo de Atividade: GA6
Estas atividades foram aplicadas no dia 09/06/2011, nas duas turmas, com 58
alunos participantes. O objetivo principal foi de avaliar o trabalho desenvolvido, tanto
no que diz respeito à aprendizagem dos conceitos matemáticos, como à pesquisa
propriamente dita, no que se refere à aprendizagem significativa e crítica.
GRUPO
DE
ATIVIDA
DES
ORIGEM TEMAS
MATEMÁTICOS
ABORDADOS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
RELATIVOS AOS TEMAS
MATEMÁTICOS
OUTROS OBJETIVOS
PRETENDIDOS
ALGUNS
PRINCÍPIOS
MAIS
ATENDIDOS
PARA A
FACILITAÇÃO
DA A.S.C.
GA6:
Avaliação
Conjunto
elaborado
pelo
pesquisador,
com consulta
à bibliografia
pertinente e
adaptações de
algumas
questões.
-Figuras
Geométricas Planas
- Retas Paralelas e
concorrentes
- Medidas Lineares
- Ampliação e
Redução de figuras
- Escala
- Teorema de Tales
- Consequêcias do
Teorema de Tales:
(Teorema de Tales
nos triângulos e
Teorema da
bissetriz interna.)
-Resolver problemas aplicando a noção
de proporcionalidade entre segmentos
de reta.
-Aplicar o conceito de
proporcionalidade em um contexto
diferente dos estudados em sala de aula.
-Reconhecer a escala como uma razão
entre as medidas de dois segmentos e
medidas de duas representações
(maquete de prédio, casas, etc).
-Calcular distâncias em mapas a partir
da escala e vice-versa.
-Calcular medidas em tamanho real a
partir da escala.
-Aplicar o Teorema de Tales na
resolução de exercícios puramente
matemáticos.
-Aplicar o Teorema de Tales na
resolução de problemas em que há
necessidade de elaborar esquemas
separando e identificando as retas
paralelas e transversais.
-Aplicar o Teorema da bissetriz interna
nos triângulos, como conseqüências do
Teorema de Tales.
-Identificar e aplicar o Teorema de
Tales na resolução de problemas
contextualizados
-Verificar a capacidade de montar uma
representação (equacionar) a partir de
um enunciado, necessitando de um
conhecimento mais elaborado de
matemática para resolução de sistemas.
-Resolver problemas aplicando a noção
de proporcionalidade entre segmentos
de reta, em situações envolvendo
triângulos semelhantes.
-Avaliar a capacidade de
usar o conhecimento
matemático em situações
diferentes das abordadas
em sala de aula, nas quais
o aluno seja desafiado.
-Utilizar as ferramentas
matemáticas para analisar
situações de seu entorno
real e propor questões e
encontrar soluções.
-Construir a partir da
prática um conceito
teórico do tema estudado.
-Ir além do livro texto,
trazendo para a sala de
aula situações
semelhantes às
vivenciadas extraclasse.
-Diagnosticar a partir das
atividades elaboradas,
indícios de Aprendizagem
Significativa.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P9
P10
Quadro 8- Grupo de Atividades GA6
79
Roteiro para a realização das atividades:
1) Observe a figura. Nesta figura AB = 2x - 3 e BC = 4x - 5
a) Qual é o valor de x ?
b) Qual é a medida de AC ?
2) Observe a figura. Nesta figura as retas r, s, t e u são paralelas
Calcule o valor da soma x + y + z + w.
3) Observe a figura:
Nesta figura AB é bissetriz do ângulo CBM. Determine a medida do segmento AC.
4) Observe a representação geométrica de um terreno EFGH (vista de cima), no qual
as medidas indicadas então em metros.
B
A
C
M
6 12 - x
x
9
u
t s r
E
D
C B
A
10
4
y
6
3 2
x
3
4 u
t
s
r
w
z
80
Calcule o perímetro do terreno (representado pelo trapézio EFGH), em m.
5) Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias
transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão
indicadas no mapa (em km), mas as outras precisam ser calculadas. Complete o mapa
com as distâncias que faltam.
6) O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A bissetriz interna do ângulo A divide o
lado oposto BC em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados desse
triângulo.
7) A distância real entre duas cidades brasileiras é de 3x102 km. Determine a distância
aproximada em um mapa cuja escala é “ 1 : 45 000 000 ”.
8) Esta maquete tem 90cm de altura e é semelhante ao edifício, que tem 60m de altura.
a) Em que escala foi construída a maquete?
81
b) Qual é a altura de uma porta do prédio se, na maquete, ela mede 3 cm?
c) Invente mais uma questão baseando-se nos dados deste problema e apresente a
solução
9) Orlando e Vera fizeram uma experiência: cravaram no solo duas estacas verticais;
depois mediram os comprimentos das estacas e suas sombras.
a) Os comprimentos das sombras são proporcionais aos das estacas? Dica: calcule as
razões entre comprimentos de cada estaca e o de sua sombra. As razões devem ser
iguais, mas, quando lidamos com medidas reais, basta que sejam aproximadamente
iguais. Pequenas diferenças não devem ser consideradas.
b) Entusiasmado com o que descobriram, Orlando e Vera decidiram calcular a altura
de um poste de iluminação. Veja o que anotaram:
Altura Sombra
Estaca 82 cm 118 cm
Poste x 13,5m
Qual é a altura aproximada do poste?
10) Um dos matemáticos gregos da antiguidade clássica foi Tales, que viveu de 640 a
550 a.C. Ele era de Mileto, uma região outrora rica da Grécia.Consta que foi bom
comerciante e que, após enriquecer, pôde se retirar dos negócios e dedicar-se aos
estudos, especialmente à matemática.Assim, embora só tardiamente tenha se dedicado
aos estudos, Tales foi reconhecido, ainda em vida, como o “pai da astronomia,da
geometria e da aritmética”, e considerado o primeiro dos sete sábios da Grécia. Um
fato histórico pelo qual ele é sempre lembrado é o de ter calculado a medida da altura
da pirâmide de Quéops através da semelhança de dois triângulos.
82
Consta que, no plano onde se assenta a pirâmide, Tales fez fincar uma estaca na
posição vertical e observou simultaneamente a sombra da estaca projetada pela luz do
Sol e a sombra da pirâmide.
Considerando o esquema acima para a pirâmide e estaca e admitindo que d’= 3m
h’= 1,5 m, d = 300m, calcule o valor aproximado da altura da pirâmide.
Procedimento
A avaliação foi aplicada individualmente, pois julgamos que esse seria o
momento de verificar se todas as estratégias adotadas anteriormente, tais como, as
visitas, os relatórios, as discussões dos alunos e os trabalhos em grupos, foram de
alguma maneira facilitadores da aprendizagem do tema em questão. As atividades eram
semelhantes as que foram aplicadas nos grupos com alguns diferencias. Nestas, o aluno
deveria utilizar as ferramentas matemáticas para analisar e resolver situações
semelhantes àquelas propostas e vivenciadas por eles. Procuramos avaliar também a
capacidade do aluno de usar o conhecimento matemático em situações diferentes das
abordadas em sala de aula, nas quais se sentisse desafiado com atividades que fossem
além do que o livro didático propunha. Ao final da atividade, os alunos responderam a
um questionário com a finalidade de expressarem suas opiniões sobre a avaliação
realizada.
No Capítulo 4, a seguir, apresentaremos os resultados da realização dos grupos
de atividades, no que diz respeito ao nível de atendimento aos objetivos propostos.
83
CAPÍTULO 4
ATIVIDADES, OBJETIVOS E RESULTADOS
Após a apresentação dos grupos de atividades (GAs) no Capítulo 3, com seus
respectivos quadros demonstrando a origem das atividades, os temas matemáticos a
serem estudados, seus objetivos e desenvolvimento, retomamos nesse momento cada
um dos grupos, ressaltando seus objetivos e esclarecendo “como”, “quando” e “onde”
se manifestaram e quais resultados, embora em curto prazo, produziram nos alunos para
uma aprendizagem significativa e crítica da Matemática. Para garantir a validade
científica de nossos depoimentos declarados nos itens a seguir, nos fundamentamos,
mais uma vez, nos conceitos e princípios que regem a Teoria da Aprendizagem
Significativa e a Teoria da Aprendizagem Significativa Crítica, segundo o exposto no
Capítulo 2 desta dissertação.
4.1. Os Grupos de Atividades e o atendimento dos objetivos propostos
Retomando o objetivo de nossa investigação, pretendemos entre diversas outras
tarefas, criar e testar atividades que propiciassem ao aluno estudar e aprender
Matemática de forma significativa e crítica. A literatura pesquisada, particularmente em
Moreira (1997, 2011), nos alertava que, para planejar situações de aprendizagem
consistentemente com a teoria de Ausubel, a primeira tarefa é a identificação dos
conceitos básicos da matéria de ensino e de como eles estão estruturados. Depois de
selecionados os assuntos básicos, “cabe determinar a maneira e a sequencia em que este
estudo se dará”. Ausubel propõe dois princípios que podem nortear este trabalho:
diferenciação progressiva e reconciliação integrativa (Moreira, 2011, p. 4-5). Faria
(1989), nos coloca a par desses conceitos como destacamos a seguir:
Diferenciação Progressiva: para Ausubel, as idéias e os conceitos
devem ser preferencialmente trabalhados em uma ordem crescente de
especificidade, dos mais gerais, para os mais específicos.
Reconciliação Integrativa: consiste, basicamente, no delineamento
explícito das relações entre idéias, de assinalar semelhanças e
diferenças relevantes entre as mesmas, e de reconciliar inconsistências
reais ou aparentes. No trabalho pedagógico a reconciliação integrativa
deve acontecer em dois contextos: na preparação do material
instrucional, e no relacionamento das idéias nele contidas com a
estrutura cognitiva do aluno.” (FARIA, 1989, p.30, apud MOREIRA,
pp.4-5)
84
Orientados pelas ideias propostas por Ausubel (in Moreira, 1997), de que a
aprendizagem significativa se desenvolve dedutivamente a partir de conceitos mais
gerais para os conceitos mais específicos e que nas aprendizagens deve-se começar por
compreender os conceitos mais abrangentes, uma vez que os mesmos serão a base para
a “ancoragem” de outros conceitos, buscamos atender ao objetivo de nossa pesquisa no
tocante à criação e elaboração das atividades. Tínhamos em mente que, em contextos
de um curso regular de uma escola particular em nível do Ensino Fundamental, como se
colocava a nossa pesquisa, o planejamento definido para o semestre letivo, com
acompanhamento do livro didático, tinha que ser priorizado e “seguido”. Assim, a
seleção dos conteúdos matemáticos, a serem estudados no 1º. Semestre de 2011, no 9º
ano, já previamente definida, atendia à proposta do livro didático adotado pela Escola.
Constavam dessa programação os temas: potências, radicais, segmentos proporcionais,
Teorema de Tales, semelhança de polígonos, equações e sistemas do 2º. Grau, equações
biquadradas e irracionais.
Atendendo, pois, ao princípio da Diferenciação Progressiva, identificamos o
tema “Proporcionalidade” como um conhecimento abrangente e conceitualmente
estruturante para os assuntos que seriam trabalhados no semestre, tais como, segmentos
proporcionais, razão áurea, escala, Teorema de Tales e consequências. Nesse sentido, os
conceitos relativos ao tema em questão – Proporcionalidade – a nosso ver, constituir-se-
iam em ideias-âncora (conceitos ou proposições claras, estáveis, diferenciados,
especificamente relevantes) na estrutura cognitiva do aluno, com as quais os novos
conceitos programados para o semestre deveriam interagir. (MOREIRA, 1997, p.27).
Assim, o tema “Proporcionalidade” colocou-se como um facilitador da
aprendizagem, estruturando a elaboração de materiais que consideramos
“potencialmente significativos” e estabelecidos como “Organizadores Prévios” 11
para a
aprendizagem de novos conceitos. Como já enunciado no Capítulo 2, os organizadores
11
[...] a fundamentação lógica para a utilização dos organizadores baseia-se essencialmente em:
1. A importância de se possuírem ideias relevantes, ou apropriadas, estabelecidas, já disponíveis na
estrutura cognitiva, para fazer com que as novas ideias logicamente significativas se tornem
potencialmente significativas e as novas ideias potencialmente significativas se tornarem realmente
significativas (i.e., possuírem novos significados), bem como fornecer-lhes uma ancoragem estável.
2. As vantagens de se utilizarem as ideias mais gerais e inclusivas de uma disciplina na estrutura
cognitiva como ideias ancoradas ou subsunçores, alteradas de forma adequada para uma maior
particularidade de relevância para o material de instrução. Devido à maior aptidão e especificidade da
relevância das mesmas, também usufruem de uma maior estabilidade, poder de explicação e capacidade
integradora inerentes. 3. O facto de os próprios organizadores tentarem identificar um conteúdo relevante
já existente na estrutura cognitiva (e estarem explicitamente relacionados com esta) e indicar, de modo
explícito, a relevância quer do conteúdo existente, quer deles próprios para o novo material de
aprendizagem. (AUSUBEL, 2003, P.12)
85
prévios têm como principal função servir de ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que
deve saber, facilitando a aprendizagem de forma significativa (MOREIRA, 2006,
P.137). No caso da presente pesquisa, entendemos que conhecimentos relacionados à
proporção e à proporcionalidade em geral (aritmética e geométrica), estão presentes na
vivência do educando desde os anos iniciais da sua escolaridade, culminando com os
aspectos mais formais e situações-problema específicas, a partir do 6º e/ou 7º ano do
Ensino Fundamental.
Com a intenção de reavivar o conhecimento desse tema e estudá-lo com maior
profundidade para o aprendizado significativo dos conteúdos matemáticos para o
semestre, nossa proposta levou em consideração o entorno vivencial dos alunos, sujeitos
da pesquisa, tendo em conta que (re)conhecer aspectos arquitetônicos, históricos,
culturais da região onde moram, poderia provocar lembranças no tocante à relação dos
sujeitos com a cidade, ativando elementos de sua estrutura cognitiva e predispondo-o
para o aprendizado. Como bem disse Gowin (1981), relatando um dos aspectos da
aprendizagem significativa,
[...] o aprendiz deve apresentar uma pré-disposição para aprender. Ou
seja, para aprender significativamente, o aluno tem que manifestar
uma disposição para relacionar, de maneira não-arbitrária e não-literal,
à sua estrutura cognitiva, os significados que capta dos materiais
educativos, potencialmente significativos, do currículo (GOWIN,
1981, apud Moreira, 2010, p.6, destaques do autor).
Nesta proposta de trabalho investigativo, consideramos como materiais
educativos e potencialmente significativos, além dos elementos impressos (manual,
roteiros, atividades diversas, exercícios e situações-problema, avaliações) também as
visitas orientadas geradoras de um acervo que se constitui na base documental para a
continuidade dos estudos a serem realizados. A criação e a elaboração dos materiais
educativos orientaram-se por objetivos específicos que estão explicitados nos quadros
correspondentes a cada um dos grupos de atividades (Capítulo 3) e que, em linhas
amplas, buscaram favorecer ao aluno estudar e aprender Matemática de forma
significativa e crítica.
Nossa reflexão sobre esse conjunto de objetivos nos possibilitou reorganizá-
los, sintetizando-os e classificando-os em dois grupos, a partir dos quais a análise da
presente pesquisa será estruturada: (a) objetivos relativos ao atendimento dos princípios
que regem a Aprendizagem Significativa do conhecimento matemático; (b) objetivos
86
relativos ao atendimento dos princípios que regem a Aprendizagem Significativa
Crítica. Os mesmos estão assim identificados:
(a) objetivos relativos ao atendimento dos princípios que regem a Aprendizagem
Significativa do conhecimento matemático
a.1. Reconhecer, identificar e representar aspectos geométricos e de simetrias na
arquitetura dos monumentos históricos de Ouro Preto e região próxima.
a.2. Efetuar medidas lineares e estimar dimensões inacessíveis.
a.3. Retomar conceitos relativos ao tema “proporcionalidade”, reconhecer e sistematizar
aspectos relativos à proporção presente nas situações identificadas nas visitas.
a.4. Entender e utilizar o conceito de escala ao estabelecer relações entre medidas
efetuadas nos locais visitados e nas representações.
a.5. Sistematizar conceitos relativos à proporcionalidade direcionando para a
(re)construção do Teorema de Tales e suas consequências.
a.6. Transferir conhecimentos: dos aspectos teóricos do Teorema de Tales e suas
consequências em contextos da matemática escolar para a resolução de problemas
em contextos da matemática do cotidiano.
(b) objetivos relativos ao atendimento dos princípios que regem a Aprendizagem
Significativa Crítica12
b.1. Reconhecer, diagnosticar e identificar (nos alunos) a presença de conhecimentos
socialmente construídos e contextualmente aceitos como conhecimentos prévios
para a “aquisição significativa” de novos conhecimentos. (P1, P4, P10)
b.2. Desenvolver no aluno a capacidade de usar o conhecimento matemático em
situações diferentes das abordadas em sala de aula e utilizar o conhecimento
matemático para analisar situações de seu entorno real, propor questões e encontrar
soluções. (P3, P6, P10)
b.3. Discutir e analisar criticamente os resultados obtidos das atividades propostas
incentivando a produção de relatos com narrativas próprias, revelando
interpretações alternativas às do livro didático e às do professor. (P3, P4, P5, P7,
P11)
b.4. Incentivar o trabalho colaborativo e a troca de conhecimentos. (P2, P5, P6)
b.5. Incentivar os alunos a fazer perguntas a elaborar questões – reconhecendo a
“incerteza do conhecimento” – estimulando-o a querer saber mais e, em
consequência, a identificar e buscar as informações necessárias para encontrar
respostas a situações-problema. (P4, P5, P6, P8, P9)
b.6. Permitir ao educando conhecer e valorizar sua própria história através de conhecer
a história de sua comunidade, de seus elementos culturais e sociais, propiciando
momentos de um olhar mais focado e crítico de sua realidade.
12
Ao final de cada um dos objetivos do grupo (b), elencamos alguns dos princípios que regem a
Aprendizagem Significativa Crítica. Segundo nossa interpretação, à medida que tais objetivos são
alcançados, em consequência, os princípios a eles relacionados, serão atendidos em menor ou maior grau.
87
4.1.1. Análise do atendimento aos objetivos do grupo (a) em GA1 e GA2
Com vistas ao atendimento dos objetivos propostos, demos início à elaboração
dos materiais educativos, a princípio, com destaque para as visitas orientadas aos
monumentos históricos das cidades de Ouro Preto e Belo Horizonte e, ainda, ao Museu
das Reduções localizado em Amarantina, distrito de Ouro Preto, MG.
Para as visitas orientadas elaboramos um manual (Manual de Trabalho
Interdisciplinar), posteriormente entregue a todos os alunos, onde indicamos elementos
a serem observados e solicitamos que os alunos efetuassem medições dos diferentes
locais dos monumentos. As visitas orientadas foram documentadas através de
fotografias e registros tanto dos alunos como dos professores, constituindo a base
documental para a investigação pretendida e para a continuidade dos trabalhos a serem
realizados em sala de aula. Os registros contaram com fotos e anotações dos alunos
sobre medidas feitas nos locais visitados e sobre formas geométricas observadas. Como
já relatado no Capítulo 3, a esse primeiro grupo de atividades – as visitas orientadas –
denominamos de GA1.
Na conclusão dessa etapa do trabalho, como já programado, pedimos aos
alunos que elaborassem um relatório expressando suas opiniões sobre as visitas
realizadas e o que haviam aprendido com o projeto até o momento. Para tal, sugerimos
o seguinte roteiro: (1) Relate resumidamente o que foi possível observar nas visitas
feitas; (2) Em cada uma delas o que despertou interesse em você? Por que?; (3) Como a
matemática se apresenta nos monumentos visitados? Explique; (4) Que perguntas vocês
têm a fazer sobre o que viram nas visitas? Têm curiosidade em saber mais sobre algo
relacionado ao que visitaram? (5) Conclua dizendo o que esse projeto representou para
vocês.
A leitura dos relatórios nos revelou o gosto dos alunos pelas visitas e pelo
trabalho realizado nas semanas seguintes em sala de aula. Seus relatos – elaborados em
trio de alunos – revelaram o empenho em participar das tarefas e executá-las a contento.
Um dos relatos destacou que a arte barroca de Alejadinho esculpida na Igreja de São
Francisco de Assis é bem diferente das outras igrejas de Ouro Preto. Segundo as
observações deles (orientadas pelas explicações dadas pelos professores que
acompanharam as visitas), as torres das igrejas dão a impressão de movimento, têm
canhões, torres em forma de fortes, granadas e as pontas em formato de capacetes
homenageando São Francisco de Assis que foi um militar. Dentro da igreja ficaram
88
impressionados com as pinturas do artista Manoel da Costa Ataíde. Relembraram as
medidas que fizeram no exterior na Igreja e que seriam utilizadas para os estudos
posteriores enfocando a proporcionalidade.
Na Casa dos Contos, segundo relatos, conheceram um pouco mais sobre a
história de Ouro Preto, aprenderam como eram cunhadas as moedas de ouro,
observaram as ferramentas usadas contra os escravos e pelos escravos, como eram os
banheiros e como funcionavam os esgotos na época. Puderam conhecer as várias
funções que já teve a Casa dos Contos, entre uma delas como ponto de recolhimento de
impostos, o quinto do ouro, ou seja, 20% do valor do ouro que deveria ser repassado
para coroa. Através das várias cédulas em exposição foi possível perceber a
desvalorização da moeda brasileira ao longo dos anos.
Quanto à visita à Igreja da Pampulha em Belo Horizonte, MG, os alunos
ressaltaram a obra de Oscar Niemeyer, seu estilo de uma arquitetura de linhas curvas e
do trabalho de Candido Portinari na pintura do painel interno da Capela. O Museu das
Reduções em Amarantina, despertou muita atenção dos grupos, com suas 27 reduções
de vários monumentos Brasileiros, na escala de 1:25.
Sobre a maneira como a matemática se apresenta nos monumentos visitados, os
alunos destacaram principalmente as formas geométricas percebidas nos monumentos e
a proporcionalidade entre seus elementos. Apresentamos, a seguir, algumas impressões
dos alunos, destacando frases que, entre outras, reforçaram nossa crença na validade da
proposta e no alcance dos objetivos que orientaram a criação dos materiais educativos.
“Percebemos a Matemática relacionada a todos os lugares que visitamos. Vimos várias
formas geométricas e a proporcionalidade. Vimos a Matemática relacionada com a
mudança das moedas, com as construções, vimos também a escala nas representações
das reduções.”
“Na Igreja São Francisco de Assis a Matemática esta presente nas janelas, nas portas,
nas torres, nos telhados e em praticamente todos os lugares, na Pampulha foi no
formato da Igreja, no trapézio invertido, onde fica o sino, nos azulejos quadriculados e
etc., no Museu das Reduções foi possível observar na perfeição dos monumentos
reduzidos pela escala de (1:25).”
“No ponto de vista matemático a igreja São Francisco de Assis possui diversas figuras
geométricas. Na Pampulha observamos as curvas utilizadas nas construções de Oscar
Niemeyer e o cubismo realizado nas pinturas nas obras Candido Portinari.”
89
“A partir das medições dos comprimentos, larguras, das janelas e das portas das
fachadas dos monumentos, podemos estabelecer relações de proporcionalidade e
escala.”
Quanto à pergunta sobre o que esse projeto representou para eles, pudemos
perceber que, através da proposta elaborada, os alunos passaram a “enxergar” a
matemática de modo diferente, contextualizada, estando presente em muitos lugares, o
que lhes garantiu envolvimento e motivação para a realização das tarefas e,
possivelmente, um aprendizado significativo dos assuntos matemáticos decorrentes das
atividades, fato este que provocou maior interesse dos alunos, formulando perguntas e
querendo aprender mais. Algumas de suas falas, que transcrevemos a seguir, nos dão
ciência desse episódio.
“Este trabalho nos ajudou a relacionar a matemática com o dia-a-dia, e nos mostrou
que a matemática esta relacionada com várias profissões. Também conhecemos mais
sobre a história dos monumentos presentes em Ouro Preto e Belo Horizonte.”
“Este trabalho nos dá uma nova visão sobre a matemática, achamos que a partir desse
passeio iremos observar mais as igrejas, os museus..., tudo, pois a matemática esta
presente em nosso cotidiano.”
“Esse projeto representa nosso conhecimento sobre a matemática em todos os lugares
e como utilizá-la”.
“Esse projeto esta representando diversas coisas, uma delas é poder observar a
matemática de outro modo, de que a proporcionalidade é muito importante. Com os
monumentos reduzidos foi possível detectar detalhes praticamente “invisíveis” no
tamanho real do monumento. Por exemplo, detalhe dos telhados das casas, dos quintais
e terrenos. No Palácio do Planalto foi possível ver muitos detalhes que nunca tínhamos
percebido no tamanho real”.
“Este trabalho representa para nós que a maravilhosa matemática, esta presente em
todos os lugares e pode ser bem mais interessante saindo da teoria. Também, foi
interessante observar a arquitetura de Niemayer e a arte de Portinari. Sobre o museu
das Reduções, é interessante observar, como foram feitas as reduções, tão perfeitas
com tão pouco recurso da época”.
“Para nós, este projeto representou mais um momento de aprendizado, mostrando que
as formas geométricas estão presentes em todos os lugares, mesmo sem percebermos.”
90
A continuidade do trabalho, contou com o apoio do texto “Manual de Trabalho
Interdisciplinar”. Os alunos foram orientados a anotarem, em todas as visitas, as
informações recebidas, os dados quantitativos que conseguiram a partir das medidas
feitas nos monumentos visitados e a fotografarem os locais permitidos. Esclarecemos
que todo esse material seria utilizado nas atividades em sala de aula estabelecendo as
conexões possíveis com os conteúdos a serem estudados. Nas semanas posteriores às
visitas, com base em todo o material coletado e documentado através das fotos, foi
realizada uma das atividades constante do Manual (p.11), destacada a seguir:
Observe atentamente a foto da Igreja de São Francisco de Assis da Pampulha –
Belo Horizonte – MG: Podemos afirmar que o Monumento é, na verdade, uma
composição de diversas figuras geométricas. Queremos que você as identifique fazendo
um registro na folha transparente subsequente conforme as orientações:
I) Depois de observar a figura da página 12:
a) desenhe as figuras que você conseguiu encontrar, na folha transparente
sobreposta
b)“esgote” as possibilidades... ou seja, encontre o número maior de figuras
geométricas na imagem.
c) Utilize linhas imaginárias para completar a composição da imagem
encontrada.
II) Observando a imagem da página 12:
a) é possível identificar reta(s) paralela(s)? Se for possível, assinale-a(s) com
uma caneta colorida, para melhor identificação.
b) Se você identificou e registrou retas paralelas, será possível identificar
alguma(s) reta(s) que intercepte as paralelas registrada? Se for possível,
assinale-a(s) com uma caneta colorida.
III) Observando a imagem da página 12
a) é possível identificar algumas linhas curvas?Se as identificou, destaque-as
com uma caneta colorida:
IV) Com orientação de seu professor e com auxílio de uma fita métrica, você fará o
registro numérico de alguns dados do Monumento a saber:
- Largura da porta principal do Templo: ___________ metros.
- Altura da porta principal do Templo: ___________ metros.
- Largura da Torre Sineira do Templo: _________ metros.
- Altura da Torre Sineira do Templo: ________ metros.
- Largura total da Fachada do Templo: _______ metros.
V) Os painéis externos da Igreja de São Francisco de Assis são muito originais e
considerados obra prima de Cândido Portinari. Você irá fazer um registro dos painéis
nas 02 folhas de papel milimetrado. Para tal registro, você deverá seguir alguns
passos, a saber:
91
a) Escolha uma cena, representada nos painéis e que tenha lhe chamado
atenção.
b) Você perceberá que vários quadrados que compor a cena, formando um
conjunto simétrico e harmonioso.
c) Você deverá utilizar os conceitos que você apreendeu de escala, simetria,
equilíbrio, ângulo, medidas, harmonia... e fazer uma cópia da cena
escolhida para as folhas milimetradas.
Na finalização dessa tarefa realizada em sala de aula, através de um trabalho
colaborativo e seguido de discussões entre os grupos, ficou evidente que as formas
geométricas foram reconhecidas e devidamente representadas no Manual, atendendo ao
objetivo a.1 (Reconhecer, identificar e representar aspectos geométricos e de simetrias
na arquitetura dos monumentos históricos de Ouro Preto e região próxima), como
mostram os traçados (Figuras 1 e 2), elaborados por um dos alunos nas folhas
transparentes sobrepostas à foto da igreja de São Francisco e à foto da Casa dos Contos,
ambas localizadas em Ouro Preto.
Figura 1 – Transparência Igreja São Francisco Figura 2 – Transparência Casa dos Contos
Também que, as medidas foram realizadas e anotadas (Figura 3) e, através
delas, foi possível estimar dimensões inacessíveis, atendendo ao objetivo a.2 (Efetuar
medidas lineares e estimar dimensões inacessíveis), como mostra uma das situações na
qual os alunos estimaram a altura da torre sineira da Igreja da Pampulha, em Belo
Horizonte, MG (Figura 4), tomando como parâmetro a altura dos retângulos formados
pelas pedras que revestem externamente a torre.
92
Figura 3- Estimar dimensões inacessíveis
Figura 413
- Torre Sineira da Igreja da Pampulha
Com base no livro texto e uso de papel quadriculado foi realizado trabalho
envolvendo ampliação e redução de figuras chegando ao conceito teórico de segmentos
proporcionais. Embora o conceito tenha sido estudado através de atividades propostas
no livro texto, procuramos fazer algumas relações com as visitas realizadas nos
monumentos e no Museu das Reduções. Nessas visitas os alunos puderam observar
monumentos e algumas de suas representações em tamanho reduzido.
13
As fotos apresentadas são de autoria do professor pesquisador. Foram tiradas durante as visitas, em
abril de 2011. A Figura 6 apresenta uma foto de autoria de Renato Wandeck.
93
Uma das atividades que atendeu ao objetivo a.3 (Retomar conceitos relativos ao
tema “proporcionalidade”, reconhecer e sistematizar aspectos relativos à proporção
presentes nas situações identificadas nas visitas), foi aquela versando sobre os painéis
da Igreja da Pampulha. A partir da observação dos painéis (Figuras 5 e 6), os alunos
elaboraram esboços em papel quadriculado de imagens do painel de azulejos da Igreja
(Figuras 7 e 10). A proporcionalidade aparece na relação entre o tamanho real do painel
e do azulejo (medidos pelos alunos, Figuras 6, 8 e 9) e o tamanho do quadriculado do
papel. Assim, os esboços representaram reduções das imagens do painel retratando São
Francisco de Assis num fundo repleto de aves e peixes.
Figura 5- Foto dos alunos observando e desenhando detalhes do painel de azulejos
Figura 6 - Detalhe do painel de azulejo Figura 7- Esboço de São Francisco
94
Figura 8 – Detalhe do painel de azulejo Figura 9 – Detalhe do painel de azulejo
Figura 10 – Esboço de peixes e pássaro
Na sequência dos estudos, elaboramos um segundo grupo de atividades – que
denominamos GA2 – para o qual seriam utilizados os elementos coletados por ocasião
das visitas, enfocando, principalmente, os conceitos de proporcionalidade e escala.
Com base em um roteiro14
, os alunos fizeram comparações entre os monumentos ou
elementos deles em tamanho real e suas representações nas maquetes, nas fotos e nos
1. 14
Na igreja de São Francisco de Ouro Preto foi solicitado a vocês que tirassem algumas medidas.
Quais foram elas?
2. O que foi possível e o que não foi possível medir? É possível estimar os valores daquelas que não foi
possível medir? De que forma?
3. Considerem a altura da aluna”X” e com base nas fotos tiradas estimem a altura da porta da Igreja.
4. Considerem a altura do aluno”Y” e com base nas fotos tiradas estimem a altura da torre da igreja.
5. Vocês tem algumas outras formas de representação da igreja de São Francisco de Ouro Preto: a foto
do roteiro do relatório, as fotos que tiraram, a maquete do Museu das Reduções ou outras que tenham
encontrado. Existem relações entre as medidas nestas diferentes representações? Essas relações
permanecem constantes quando comparamos medidas de diferentes partes da igreja nas mesmas
representações? Como podemos explicar isso?
6. Considerando a escala indicada na maquete do museu das reduções para a Igreja de São Francisco e as
medidas que vocês tem dessa foto estimem as medidas reais da igreja.
7. Comparem os resultados com as estimativas feitas anteriormente. Procurem explicar semelhanças e
diferenças encontradas.
8. É possível dizer em que escala está a foto do roteiro de relatório? Como pode ser representada essa
escala?
9. Faça o mesmo para uma foto tirada por cada um de vocês.
95
desenhos produzidos. Foram também solicitados a fazer estimativas de medidas
inacessíveis a partir da proporcionalidade. Paralelamente às visitas e às atividades
realizadas, também foi feito um trabalho com o livro texto, enfocando a
proporcionalidade, razão áurea e segmentos proporcionais.
Uma atividade bem representativa de atendimento ao objetivo a.4 (Entender e
utilizar o conceito de escala ao estabelecer relações entre medidas efetuadas nos locais
visitados e nas representações), foi aquela na qual se pedia a determinação da escala da
foto da igreja de São Francisco de Assis, uma das atividades do grupo GA2, como
detalharemos a seguir.
Os materiais utilizados para o desenvolvimento da atividade foram: a foto da
igreja, as anotações das medidas realizadas durante a visita e fotos mostrando os alunos
posicionados em frente aos monumentos (Figuras 11 e 12), impressas pelo professor e
distribuídas aos alunos. Em grupos, os alunos trabalharam os itens de 1 a 4 do roteiro.
Escolheram segmentos de reta que pudessem medir na foto do manual ou nas fotos
entregues a eles e que, ao mesmo tempo tivessem sido medidos na visita ou que
conhecessem a medida (como o caso da altura dos alunos que apareciam nas fotos).
Com o auxílio do professor foram feitas estimativas para as medidas inacessíveis
escolhidas, como por exemplo, a altura da porta da igreja.
Figura 11- foto da igreja de São Francisco/OP Figura 12- foto Casa dos Contos
Os questionamentos colocados no item 5 do roteiro, foram abordados em uma
discussão conjunta com a classe, conduzida pelo professor. Entendemos que teria sido
mais interessante se os alunos tivessem tido a oportunidade de discutir inicialmente nos
grupos. No entanto, optamos pela discussão conjunta por questão de tempo. Demos
96
especial atenção à atividade que pedia a escala da foto constante do Manual (item 8),
atividade esta que os alunos desenvolveram com facilidade como presenciamos em sala
de aula.
A verificação formal do aprendizado do tema proposto como conhecimento
prévio para a continuidade dos estudos e também para a conceituação trimestral dos
alunos como norma da Escola, foi realizada através de uma avaliação individual que
exigia conhecimentos sobre razão áurea, escala e segmentos proporcionais, como
destacada a seguir:
1) Você acha que pode existir um número com propriedades mágicas, que represente
beleza, perfeição e harmonia? Que teria sido utilizado através dos séculos por
matemáticos, cientistas, artistas e por incrível que pareça, estaria presente na
natureza?
Pois esse número existe! É um o irracional 2
51 , de valor aproximado 1,618034 e
é conhecido por número de ouro, razão de ouro ou razão áurea. Para os gregos, o
número de ouro representa harmonia, equilíbrio e beleza. Por esse motivo, muitas
construções gregas tinham como base esse número. Mas foi no século XIII que o
matemático Fibonacci constatou que o número de ouro está presente também na
natureza.
O Partenon tem 30,70 m de largura por 18,24 m de altura.
Essa construção se enquadra em um retângulo de ouro?
Justifique sua resposta por escrito utilizando argumentos matemáticos.
2) Na figura abaixo, estão representados dois cômodos da planta de uma casa.
Na realidade, a sala é quadrada com lados de 6 m.
Calcule:
a) a escala na qual foi desenhada a planta da casa.
b) as dimensões reais do quarto da figura.
3) A maquete de um prédio é uma redução, em escala, em três dimensões. Na
maquete, todas as medidas de comprimento são proporcionais às medidas reais
correspondentes. Observe as seguintes fotos de um prédio de 48 m de altura,
representado na maquete com escala 1 : 75.
Foto do Partenon na Grécia
É possível desenhar vários retângulos de ouro um dentro do outro e, com
eles, traçar uma espiral, modelo matemático da concha do caramujo
97
Resolva o que se pede em cada item a seguir:
a) Calcule a altura da maquete.
b) A largura real das portas é de 85 cm. Calcule a largura aproximada das portas na
maquete.
4) A distância aproximada de Belo Horizonte (M.G) a Brasília (D.F) é de 700 km.
Marcela mediu essa distância em um mapa e obteve 20 cm. Calcule em que escala foi
desenhado esse mapa.
5) Observe o mapa do Brasil abaixo. Nele está indicada a rota de um avião que partiu
de Belo Horizonte e pousou em São Paulo. A distância entre as cidades no mapa é de
1,62 cm e o avião percorreu 486 km. Determine a escala do mapa e calcule a distância,
no mapa, entre São Paulo e Rio de Janeiro, sabendo que a distância real é de
aproximadamente 357 km.
(http://mapas.ibge.gov.br/brasil/viewer.htm)
Para esta avaliação, entendemos que embora a base de estudo dos alunos tenha
sido o livro texto, as visitas contribuíram muito para a compreensão dos conceitos
relativos aos temas a serem estudados. É o caso da questão nº. 3 que pedia para calcular
a altura da maquete e a largura real da porta. Para resolver o problema os alunos
evocaram a visita ao Museu das Reduções, cujas obras construídas foram reduzidas na
escala 1:25. As questões 2, 4 e 5, que pediam a determinação da escala, foram aquelas
Edifício na Cidade de São Paulo
Maquete do Edifício
Fonte: Fotos de Sérgio Dotta Jr.
98
em que os alunos apresentaram maiores dificuldades conforme os resultados da
avaliação nos apontaram. No entanto é possível afirmar que o resultado desta avaliação,
comparado a avaliações do mesmo tipo realizadas em anos anteriores, mostrou uma
melhora significativa no aprendizado, pois os resultados quantitativos das duas turmas
mostraram notas acima da média de mais de 80% dos alunos.
Em síntese, como já declarado, os materiais educativos que compuseram os
grupos de atividades, GA1 e GA2, foram elaborados com o propósito de atender a
alguns dos objetivos identificados no desenvolvimento deste Capítulo. Pelo exposto até
o momento, julgamos que, através das atividades propostas, conseguimos atender aos
objetivos a.1, a.2, a.3, a.4 do grupo (a), relativos aos princípios que regem a
Aprendizagem Significativa do conhecimento matemático e, em consequência, foi
possível afirmar que a aprendizagem significativa dos conteúdos programados se
efetivou evidenciando uma nova e desejável postura dos alunos frente ao conhecimento.
Observamos maior participação e empenho na busca de soluções para os problemas
propostos, assim como as tentativas incansáveis no encontro de soluções para questões
cujos aspectos teóricos e sistemáticos do conteúdo ainda não tinham sido enfocados.
Além do mais, os alunos foram capazes de externar com naturalidade, em linguagem
própria, como o conceito matemático se mostrava e se aplicava nas situações expressas
pelas atividades.
Por tudo o que foi presenciado e expresso, temos ciência de que o aprendizado
significativo enfocando o tema “Proporcionalidade”, selecionado em atendimento ao
princípio da “Diferenciação Progressiva”, com seus materiais educativos
“potencialmente significativos” e estabelecidos como “Organizadores Prévios”,
colocou-se, realmente, como um facilitador da aprendizagem de novos conceitos,
estruturando a elaboração de novos materiais que acreditamos terem sido também
potencialmente significativos para a aprendizagem dos próximos assuntos matemáticos
programados para o semestre letivo do 9º ano. É o que será considerado, a seguir, no
detalhamento dos grupos de atividades GA3, GA4, GA5 e GA6.
4.1.2. Análise do atendimento aos objetivos do grupo (a) em GA3, GA4,
GA5 e GA6
Esse conjunto de atividades teve como objetivos principais: sistematizar
conceitos relativos à proporcionalidade direcionando para a (re)construção do Teorema
99
de Tales e suas consequências (atendendo ao objetivo a.5) e também transferir
conhecimentos dos aspectos teóricos do Teorema de Tales e suas consequências em
contextos da matemática escolar para a resolução de problemas em contextos da
matemática do cotidiano (atendendo ao objetivo a.6).
Como já descrito no Capítulo 3, o grupo de atividades GA3 foi desenvolvido
após o estudo teórico do Teorema de Tales tendo como referência o livro didático. As
atividades se caracterizaram pelo trabalho a partir de esquemas elaborados com base em
situações hipotéticas, com alguma referência a contextos externos à Matemática formal.
Julgamos que esse tipo de situação poderia contribuir para a atribuição de significado ao
Teorema (objetivo a.5), já que nos referenciamos em Skovsmose (2000, p.74) que
discute a questão de atribuição de significados com relação às referências possíveis dos
conceitos matemáticos. Essas referências dizem respeito aos contextos utilizados para
trabalhar ideias matemáticas.
Diferentes tipos de referência são possíveis. Primeiro, questões e
actividades matemáticas podem se referir à matemática e somente a
ela. Segundo, é possível se referir a uma semi-realidade; não se trata
de uma realidade que “de facto” observamos, mas uma realidade
construída, por exemplo, por um autor de um livro didáctico de
Matemática15
. Finalmente, alunos e professores podem trabalhar com
tarefas com referências a situações da vida real. (SKOVSMOSE,
2000, p. 74)
As atividades propostas em GA3 caracterizam-se como as que fazem referência
a uma semi-realidade. A partir de esquemas representativos, como os de uma
hidrelétrica ou de um loteamento, os alunos trabalharam com questões relativas a uma
realidade, não observada de fato, mas construída com o objetivo de atribuir significado
ao Teorema, como mostram as Figuras 13 e 14 com resoluções construídas pelos
alunos.
Figura 13 - Resolução do aluno para o esquema da barragem
15
Nota do autor: Christiansen (1997) refere-se à “realidade virtual” como uma realidade que é
estabelecida pelo exercício matemático. Uso a noção de “semi-realidade” de uma forma similar.
100
Figura 14- Resolução do aluno para o esquema do loteamento
Por outro lado, o grupo de atividades GA3 também constituiu um caminho para
que os estudantes, atendendo ao objetivo a.6, pudessem transferir conhecimentos dos
aspectos teóricos do Teorema para situações da matemática aplicada. Esse grupo pode
ser entendido como um material “potencialmente significativo” que, em conjunto com
as atividades relativas à proporcionalidade, se estabeleceram como “Organizadores
Prévios” para a aprendizagem significativa do Teorema de Tales. As atividades
trabalhadas em GA3 serviram como “ponte cognitiva” entre os conhecimentos
estudados de modo teórico e sua aplicação num contexto da realidade, como o
contemplado no grupo de atividades GA4, a partir do qual foi possível atribuir
significado ao Teorema de Tales.
Esse grupo de atividades (GA4) tomou como referência um esquema elaborado
sobre uma foto da Igreja de São Francisco de Ouro Preto (Figura 15), um dos locais
visitados pelos estudantes. Enquadra-se, portanto, no que Skovsmose (2000, p.73)
caracteriza como ambiente com referência na realidade.
101
Figura 15- Esquema da foto da Igreja São Francisco de Assis
Os conceitos relativos à proporcionalidade, que constituíram ideias-âncora,
foram evocados no ítem 116
do roteiro da atividade (apresentado no Capítulo 3), sem
que fosse feita menção direta ao teorema. O esquema e as considerações do grupo de
estudantes (uma delas apresentada na Figura 16) evidenciam que, atendendo também ao
objetivo a.3, os conceitos relativos à proporcionalidade foram reconhecidos e
sistematizados na situação. A proporcionalidade foi verificada a partir dos valores
medidos, das contas efetuadas e da aproximação considerada.
Figura 16- Esquema de resolução do aluno
16
Na foto da Capela da Ordem Terceira de São Francisco de Assis, da cidade de Ouro Preto, assinalamos
as retas 1r ,
2r , 3r ,....., 8r e os pontos A, B, C, D, E, F e G. Vamos considerar 1r ,
2r , 3r paralelas,
76,5,4 ,rrrr paralelas. 1) Medindo os segmentos na foto, determine: AB, BC, DE e EF. Que relações é
possível estabelecer entre as medidas dos segmentos indicados? Faça uma representação esquemática das
retas utilizadas, indicando os pontos e as medidas obtidas.
102
As resoluções dos alunos (uma delas exemplificada na Figura 17) relativas ao
item 217
do roteiro da atividade evidenciam o reconhecimento da possibilidade de
utilização do Teorema de Tales nesse contexto e da relação estabelecida com o conceito
de escala, atendendo aos objetivos a.4 e a.6
Figura17- Esquema da resolução do aluno aplicando o T. de Tales
Através do proposto nesse grupo de atividades, as ideias expressas
simbolicamente nos esquemas puramente matemáticos do teorema puderam ser
relacionadas de maneira “substantiva” (não literal) e não arbitrária ao que os estudantes
já sabiam sobre proporcionalidade (subsunçores), caracterizando assim a aprendizagem
significativa do Teorema de Tales. O desempenho dos estudantes nos grupos de
atividades GA5 e GA6 nos dá indícios de que, de fato, isso pode ter acontecido.
Uma atividade bem representativa de atendimento ao objetivo a.5 (sistematizar
conceitos relativos à proporcionalidade direcionando para a (re)construção do Teorema
de Tales e suas consequências) e ao objetivo a.6 (transferir conhecimentos: dos
17
2) Sabe-se que a altura das aberturas das janelas das torres é 243 cm , a distância entre o centro do
medalhão frontal até a base da cruz da torre é 442cm e a parte inclinada do telhado, indicada pelo
segmento EF na foto, é 455cm.
a) com apenas estes dados é possível estimar a medida do segmento EG assinalado na figura?
Como?
b) Faça um desenho indicando as retas, pontos e cálculos utilizados.
c) Considerando a escala da foto e medindo o segmento EG na foto, o valor calculado no
item b se confirma?
103
aspectos teóricos do Teorema de Tales e suas consequências em contextos da
matemática escolar para a resolução de problemas em contextos da matemática do
cotidiano) é a desenvolvida em GA5. A atividade foi elaborada com o intuito de
trabalhar uma consequência do Teorema de Tales: a aplicação de Tales no triângulo.
Esse assunto foi trabalhado pela primeira vez com base em um roteiro18
, uma foto da
Igreja da Pampulha (Figura 18) e um esquema representativo da fachada (Figura 19).
Figura18- Foto da fachada da Igreja de Pampulha Figura 19- Esquema da fachada da Igreja
A altura da igreja, pedida na atividade, corresponde ao cateto de um triângulo
que os alunos deveriam visualizar e traçar, embora as paralelas e transversais não
estivessem indicadas no esquema.
A resolução de um dos grupos apresentada a seguir (Figura 20) mostra como o
Teorema de Tales foi aplicado no triângulo com vértices nos pontos B, E e I, que foi
representado no esquema elaborado pelos alunos, assim como as retas paralelas e os
segmentos transversais. Assim, entendemos que houve uma atribuição de significados a
essa consequência do Teorema, atendendo ao objetivo a.5. A obtenção da altura
estimada da Igreja indica que foi possível transferir conhecimentos dos aspectos
teóricos das consequências do Teorema de Tales em contextos da Matemática Escolar
para a resolução de problemas em contextos da matemática do cotidiano, atendendo ao
objetivo a.6.
18
A figura anterior é uma representação de alguns elementos da fachada da Igreja da Pampulha. Tendo
essa figura como base e considerando que: (a) a frente da igreja mede 15,64 m (isto é: BF = 15,64 m): (b)
a largura de cada retângulo das esquadrias da frente da igreja é 2,18 m (isto é CD =2,18 m): (c) a altura de
cada retângulo das esquadrias da frente da igreja é 2,88 m (isto é EH = 2,88 m): (d) BG = 3,8 m; (e) GI =
9,16 m, estime a altura da igreja
104
Figura 20- Resolução e esquema do aluno sobre Tales no triângulo
O fato dos alunos terem conseguido resolver a questão sem que os aspectos
teóricos e sistemáticos desse novo conteúdo (consequência do Teorema de Tales e
aplicação no triângulo) fossem previamente estudados, nos revelou um indício da
aprendizagem significativa do Teorema de Tales. Os alunos foram capazes de externar
com naturalidade, em linguagem própria, como o conceito matemático se mostrava e se
aplicava na situação expressa pela atividade.
O grupo de atividades GA6 foi construído com o objetivo principal de avaliar o
trabalho desenvolvido, tanto no que diz respeito à aprendizagem dos conceitos
matemáticos, como à pesquisa propriamente dita, no que se refere à aprendizagem
significativa e crítica. Elaboramos uma prova escrita para ser realizada individualmente.
Algumas das questões versaram sobre os conteúdos matemáticos envolvendo
proporcionalidade, Teorema de Tales, Tales no triângulo e Teorema da Bissetriz Interna
(de alguma forma verificando o atendimento ao objetivo a.5). Buscamos verificar se
nossos alunos conseguiram resolver problemas aplicando a noção de proporcionalidade
entre segmentos de reta e se conseguiam identificar e aplicar o Teorema de Tales na
resolução de problemas matemáticos e problemas contextualizados (atendendo ao
objetivo a.6). Como problemas situados em determinados contextos, apresentamos
questões com referencia à semi-realidade, no sentido de não ser uma realidade
vivenciada pelos alunos, mas construída com o objetivo de verificar o aprendizado.
Apresentamos a seguir algumas das questões representativas do atendimento aos
objetivos mencionados.
Os conceitos de proporcionalidade e de escala foram abordados na questão de
número oito, na qual se pede a escala de uma maquete de um prédio e a medida da porta
do edifício, calculada a partir da escala obtida. As resoluções dos alunos (uma delas
exemplificada na Figura 21) nos deram retorno da aprendizagem dos conceitos.
105
Figura 21- Resolução do aluno envolvendo o conceito de escala
A questão de número dois, pedindo o cálculo da medida de segmentos
indicados em retas transversais é representativa da aplicação do Teorema de Tales em
problemas matemáticos. A questão apresenta certo grau de complexidade uma vez que,
por conter um esquema com quatro retas paralelas e três transversais, pode haver
alguma dificuldade dos alunos em montar as proporções, o que de fato não foi
observado. Pelas resoluções (uma delas exemplificada na Figura 22) interpretamos que
os alunos conseguiram aplicar o Teorema de Tales na resolução de problemas
matemáticos, atendendo ao objetivo a.5.
Figura 22 – Resolução do aluno envolvendo aplicação do Teorema de Tales
106
A questão de número cinco19
apresenta uma situação de aplicação do Teorema
de Tales em um contexto não matemático. Na resolução (uma delas exemplificada na
Figura 23), os alunos utilizaram o Teorema de Tales para calcular distâncias entre as
vias e estradas constantes no mapa.
Figura 23- Resolução do aluno aplicando o Teorema de Tales
Interpretamos que os grupos de atividades GA1 e GA2 resgataram e
fortaleceram pontos de ancoragem que possibilitaram, através dos grupos de atividades
GA3, GA4 e GA5, a aprendizagem dos conceitos trabalhados. Esta aprendizagem foi
evidenciada pelo bom desempenho dos alunos nas questões relativas a
proporcionalidade, teorema de Tales e consequências. Os alunos demonstraram ter
adquirido a capacidade de ler, interpretar, elaborar esquemas e utilizar conceitos
matemáticos para resolver problemas matemáticos ou problemas em contextos não
matemáticos. Acreditamos que o trabalho em sala de aula, com situações nas quais eles
próprios fizeram as interpretações e elaboraram os esquemas necessários para aplicação
da teoria, pode ter contribuído para tais demonstrações.
19
Enunciado da questão 5: Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias
transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa
(em km), mas as outras precisam ser calculadas. Complete o mapa com as distâncias que faltam.
107
A questão de número seis20
, na qual os alunos tiveram que aplicar uma
consequência do Teorema de Tales (teorema da bissetriz interna), exemplifica essa
capacidade (uma das resoluções se apresenta na Figura 24).
Figura 24 – Resolução do aluno sobre consequência do Teorema Tales
Buscamos também avaliar a capacidade do aluno de usar o conhecimento
matemático em situações diferentes das abordadas em sala de aula, nas quais ele fosse
desafiado a resolver situações-problema em outros contextos, não trabalhados
anteriormente. Apresentamos duas questões envolvendo o conteúdo de semelhança, que
ainda não havia sido trabalhado em sala de aula. Na questão de número nove foi
solicitada a medida da altura de um poste, dada a medida de sua sombra, com base na
proporcionalidade entre as alturas e as sombras de estacas. Apresentamos a seguir a
atividade e a resolução de um dos alunos (Figuras 25 e 26).
20
O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A bissetriz interna do ângulo A divide o lado oposto BC
em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados desse triângulo.
108
Figura 25- Atividade sobre semelhança Figura 26- Resolução do aluno sobre semelhança
A questão de número dez21
procura reconstruir o contexto histórico em que o
matemático Tales supostamente calculou uma distâcia inacessível (altura da pirâmide
de Quéops), fazendo uso da proporcionalidade. A partir do apresentado na questão os
alunos fizeram a estimativa da altura da pirâmide, como exemplifica a resolução
apresentada na Figura 27.
Figura 27- Resolução do aluno sobre semelhança de triângulos
21
O contexto apresentado na questão 10: um dos matemáticos gregos da antiguidade clássica foi Tales,
que viveu de 640 a 550 a.C. Ele era de Mileto, uma região outrora rica da Grécia. Consta que foi bom
comerciante e que, após enriquecer, pôde se retirar dos negócios e dedicar-se aos estudos, especialmente à
matemática. Assim, embora só tardiamente tenha se dedicado aos estudos, Tales foi reconhecido, ainda
em vida, como o “pai da astronomia, da geometria e da aritmética”, e considerado o primeiro dos sete
sábios da Grécia. Um fato histórico pelo qual ele é sempre lembrado é o de ter calculado a medida da
altura da pirâmide de Quéops através da semelhança de dois triângulos. Consta que, no plano onde se
assenta a pirâmide, Tales fez fincar uma estaca na posição vertical e observou simultaneamente a sombra
da estaca projetada pela luz do Sol e a sombra da pirâmide.
109
Através do conjunto das questões 9 e 10, introduzimos os estudantes em
situações de semelhança de triângulos, como uma consequência natural da
proporcionalidade, tão trabalhada nos grupos de atividades anteriores. Posteriormente, o
tema foi desenvolvido em sala de aula, onde foi possível observar a facilidade com que
os alunos trabalharam o conceito e suas aplicações, o que nem sempre ocorreu em
outras turmas do professor pesquisador em anos anteriores. Entendemos que a
proporcionalidade foi ponto de “ancoragem” para uma possível aprendizagem
significativa de semelhança. Isso porque, atendendo ao princípio da Diferenciação
Progressiva (Moreira, 2011, p. 4-5), é possível que o conceito específico de semelhança
tenha se desenvolvido dedutivamente a partir do conceito geral de proporcionalidade.
Julgamos que os objetivos propostos para esse grupo de atividades (GA6)
foram atingidos em sua maioria, particularmente quando desafiamos os alunos a
resolverem questões envolvendo situações reais, que vivenciaram na prática e
relacionarem com os temas matemáticos estudados.
4.1.3. Análise do atendimento aos objetivos do grupo (b) através das
atividades dos GAs
Na análise que fizemos quanto ao atendimento dos objetivos relativos aos
princípios que regem a Aprendizagem Significativa Crítica (grupo b), com base no
conjunto das atividades, inferimos que a realização da proposta contemplou, em maior
ou menor escala, todos os objetivos desse grupo. Temos motivos para tal afirmação,
após constatarmos, em várias oportunidades, uma nova postura dos alunos, tanto no
sentido de valorizar a arquitetura, a história e a cultura de sua cidade, como de
incorporar uma nova compreensão do conhecimento matemático, utilizando-o com
precisão para analisar situações de seu entorno real, propor questões e encontrar
soluções atendendo ao objetivo b.6 (Permitir ao educando conhecer e valorizar sua
própria história através de conhecer a história de sua comunidade, de seus elementos
culturais e sociais, propiciando momentos de um olhar mais focado e crítico de sua
realidade), como atestam suas falas já destacadas em diversos momentos deste Capítulo.
O trabalho com o conceito de proporcionalidade, desenvolvido principalmente
nos grupos de atividades GA1 e GA2, com destaque para as medidas efetuadas por
ocasião das visitas e trabalho posterior em sala de aula, utilizando fotos e esquemas, são
bastante representativos de atendimento ao objetivo b.1 (Reconhecer, diagnosticar e
110
identificar (nos alunos) a presença de conhecimentos socialmente construídos e
contextualmente aceitos como conhecimentos prévios para a “aquisição significativa”
de novos conhecimentos).
A determinação de medidas inacessíveis relativas à Igreja de São Francisco em
Ouro Preto e à Igreja da Pampulha em Belo Horizonte são exemplos de situações em
que os alunos foram capazes de usar o conhecimento matemático para analisar situações
de seu entorno real e encontrar soluções, atendendo ao objetivo b.2 (Desenvolver no
aluno a capacidade de usar o conhecimento matemático em situações diferentes das
abordadas em sala de aula e utilizar o conhecimento matemático para analisar situações
de seu entorno real, propor questões e encontrar soluções).
A comparação entre valores de medidas de partes da Igreja de São Francisco de
Ouro Preto, obtidos através da escala da foto da fachada e da utilização do Teorema de
Tales, é representativa de atendimento ao objetivo b.3 (Discutir e analisar criticamente
os resultados obtidos das atividades propostas incentivando a produção de relatos com
narrativas próprias, revelando interpretações alternativas às do livro didático e às do
professor).
O incentivo ao questionamento dos alunos, como o item 4 do roteiro para o
relatório após as visitas, ou o item 3 da questão 8 da atividade de avaliação em que se
pede que os alunos elaborem e resolvam uma questão com base nos dados apresentados,
são exemplos de atendimento ao objetivo b.5 (Incentivar os alunos a fazer perguntas a
elaborar questões – reconhecendo a “incerteza do conhecimento” – estimulando-o a
querer saber mais e, em consequência, a identificar e buscar as informações necessárias
para encontrar respostas a situações-problema).
O incentivo ao trabalho colaborativo e à troca de conhecimentos entre os
participantes foi uma constante em todo o conjunto das atividades que compõem nossa
investigação, atendendo ao objetivo b.4 (Incentivar o trabalho colaborativo e a troca de
conhecimentos).
Mediante tais resultados, além de significativa, entendemos que a
aprendizagem foi também crítica, com base na realização das atividades e no alcance
dos objetivos do grupo (b) relativos aos princípios que regem a Aprendizagem
Significativa Crítica. Como pontos de referência para nosso julgamento ao atendimento
dos objetivos, destacamos as opiniões dos alunos registradas em seus relatórios, o
resultado das atividades e avaliações realizadas em grupo ou individualmente em sala de
aula, a observação atenta do professor pesquisador ao registrar em seu caderno de
111
campo a participação efetiva dos alunos, as discussões e troca de conhecimentos nos
grupos, o empenho dos alunos em realizar as tarefas, a postura mais questionadora dos
mesmos e o querer aprender mais.
No próximo item desse capítulo, retornaremos ao grupo GA6, já analisado
quanto aos objetivos atendidos através de suas atividades avaliativas, colocando em
destaque as opiniões dos alunos sobre o que, para eles, representou essa avaliação sobre
o aprendizado dos assuntos estudados. Aproveitamos a oportunidade, ao dar destaque a
essas opiniões, para estabelecer um paralelo entre os dois tipos de aprendizagem: a
Aprendizagem Mecânica e a Aprendizagem Significativa. Julgamos que não
poderíamos ir para as considerações finais desse trabalho sem que antes não deixemos
claro o valor de uma aprendizagem realmente significativa para o nosso educando.
Nesse sentido, com o fim de estabelecer o paralelo pretendido, ilustraremos nossa
exposição pelas opiniões dos alunos refletidas em seus relatórios manifestando suas
vivências escolares na etapa de nossa pesquisa de campo. Além da fala dos alunos que
participaram da pesquisa, nos valemos ainda, das opiniões dos teóricos que versam
sobre esses dois tipos de aprendizagem: a Mecânica ou Memorística e a Significativa. É
o que apresentamos no próximo item, a seguir.
4.2. Aprendizagem Mecânica versus Aprendizagem Significativa
Aprendizagem mecânica (ou por memorização) e aprendizagem significativa
não são dicotômicas por natureza, segundo Ausubel (2003) e, em situações de
aprendizagem, podem colocar-se num continuum memorização-aprendizagem, como
apresentado no Quadro 2, Capítulo 1 deste documento. Segundo o quadro, enquanto a
Aprendizagem Significativa requer:
Incorporação substantiva (não literal, que tenha significados pessoais,
idiosincráticos) não-arbitrária (um novo conhecimento adquire
significado não por interagir arbitrariamente com qualquer
conhecimento prévio, mas sim com algum conhecimento em
particular), de novo conhecimento à estrutura cognitiva; Esforço
deliberado para ligar o novo conhecimento a conceitos de ordem
superior, mais inclusivos, na estrutura cognitiva; Compromisso afetivo
de relacionar novos conhecimentos a conhecimentos prévios.
(NOVAK, apud MOREIRA, 1999, p. ...)
a Aprendizagem Mecânica, ao contrário dessas premissas, é aquela em que a nova
informação é internalizada de maneira literal, sem interação cognitiva com
conhecimentos prévios, sem incorporação à estrutura cognitiva. (Ausubel, 2000;
Moreira, 2006; Masini e Moreira, 2008; Valadares e Moreira, 2009).
112
Tomando como referência o texto: “Aquisição e Retenção de Conhecimentos:
Uma Perspectiva Cognitiva”, Capítulo I, de Ausubel (2003), “As tarefas de
aprendizagem por memorização” podem relacionar-se com a estrutura cognitiva, “mas
apenas de uma forma arbitrária e literal que não resulta na aquisição de novos
significados.” (AUSUBEL, 2003, p. 4, destaque do autor). Segundo o autor, é este tipo
de capacidade de relação basicamente diferente para com a estrutura cognitiva
(arbitrária e literal versus não arbitrária e não literal) que justifica a diferença
fundamental entre os processos de aprendizagem por memorização e aprendizagem
significativa. (p.4)
Análises comparativas – advindas de pesquisas – sobre os dois tipos de
aprendizagem levaram o autor a afirmar que a aprendizagem e a retenção significativas
são mais eficazes do que a aprendizagem por memorização. Em primeiro lugar, diz o
autor,
o facto de o material de instrução na aprendizagem significativa ser
logicamente, e, por isso, potencialmente significativo, contribui sem
dúvida com algo significativo para esta superioridade; mas, é
essencialmente a superioridade nos processos de aprendizagem
significativa (i.e., o conjunto da aprendizagem significativa do
aprendiz e a capacidade de relação não arbitrária e não literal dos
materiais de instrução para com as ideias ancoradas relevantes na
estrutura cognitiva) que explica, basicamente, os resultados da
aprendizagem e da retenção superiores. (AUSUBEL, 2003, p.15)
Em segundo lugar, em virtude dos aspectos não-arbitrário e não-literal do
conteúdo do material de aprendizagem e dos processos de aprendizagem, o que é
aprendido/apreendido com significado pode ficar retido por longos períodos de tempo,
colaborando para que uma quantidade maior de materiais educativos possam ser
utilizados, o que não acontece no aprendizado por memorização ou mecânico. Em
terceiro lugar, como bem destaca o autor,
o significado per se, no contacto inicial com o material de
aprendizagem e durante os períodos de aprendizagem e de retenção,
faz uma diferença subjectiva e positiva relativamente ao esforço de
aprendizagem e de recordação. A experiência de aprendizagem na
aprendizagem significativa é subjectivamente agradável e familiar e
aguça, também, a curiosidade intelectual e a perspectiva de se
adquirirem novos conhecimentos, em vez de provocar uma reacção
como se fosse uma tarefa não recompensada e desagradável da
aprendizagem por memorização que envolve um esforço cognitivo
indevido. (p.15)
A experiência realizada com os alunos do 9º. ano, no primeiro semestre de
2011, por conta dos objetivos de nossa pesquisa, nos ofereceu, nitidamente, momentos
113
de percepção de ocorrência de aprendizagem por memorização (ou mecânica) e de
ocorrência de aprendizagem significativa, como destacaremos a seguir.
Como já relatado no Capítulo 3, item 3.1.4, o tema versando sobre
radicais/radiciação, propriedades e operações, foi desenvolvido, em seus aspectos
teóricos, em aulas expositivas seguidas de resolução de exercícios, com base na
proposta do livro didático adotado. Na avaliação sobre o tema os alunos não
apresentaram bons resultados. O baixo desempenho dos alunos, segundo nossa análise,
se deveu a uma série de fatores, sendo um deles o próprio assunto “radicais”,
apresentado aos alunos numa linguagem mais sistemática e técnica, pouco relacionado
às situações cotidianas vivenciadas por eles. Além do mais, o material de aprendizagem
utilizado, embora, a princípio, considerado potencialmente significativo, não produziu
resultados que revelassem uma aprendizagem significativa.
O relato dos alunos, após a avaliação, nos mostrou que a aprendizagem do
tema ocorreu numa das etapas do continuum (aprendizagem mecânica ↔ aprendizagem
significativa) mais próxima da aprendizagem mecânica, reconhecida por nós pelos
seguintes fatos:
(a) O “material educativo” a ser aprendido não se relacionou a algo já estabelecido
na estrutura cognitiva do aprendiz.
(b) As novas informações foram apreendidas sem interagirem com conceitos
relevantes existentes na estrutura cognitiva.
(c) Pouca ou nenhuma informação prévia se manifestou presente na estrutura
cognitiva com a qual o novo conhecimento pudesse se relacionar.
(d) O novo conhecimento foi armazenado de maneira arbitrária e literal na mente do
aluno na tentativa de decorar os exercícios e seguir um modelo ao pé da letra.
(e) O assunto mostrou-se sem significado real para o aluno, sem possibilidades de se
relacionar com conhecimentos e atividades em outras esferas.
Tais fatos são característicos de uma aprendizagem memorística, como nos
revela a teoria sobre o assunto. Além do mais, ficou evidente pelas declarações dos
alunos, que o empenho deles no estudo do tema teve como motivação principal tirar
uma nota alta na avaliação. A fala dos alunos em seus relatórios nos apresenta uma
variedade de indícios de aprendizagem mecânica do tema “radicais” quando afirmam:
“Eu estudei o básico, porém o professor coloca questões que cobram mais do que o
básico o que deixa as questões mais difíceis de serem respondidas. Fica muita coisa na
cabeça e tudo se embola na hora da resposta.”
114
“Eu achei muito complicado e misturava muito os assuntos, mas não é tão difícil. O que
eu tenho dificuldades são os exercícios diferentes da apostila, pois eu acho que eu não
vou conseguir fazer eles.”
“A prova foi complicada, porque nos vimos os conceitos e fizemos as atividades muito
separados, como nas atividades de 40 questões foi tudo muito separado e na prova teve
a união de todos os conceitos e como nos não vimos essa união na sala de aula
complicou.
“A prova foi difícil, e complicada demais pelo tempo que tivemos. Falta de estudo, sei
que não foi, pois fiquei o feriado estudando. Além de que uma matéria mais difícil.
Radicais é “radical” demais para minha cabeça. São várias propriedades e modos de
resolver para decorar.”
“Bom, primeiramente eu fui fazer a prova confiante. Sabia toda a matéria. Na hora da
prova fiquei em duvida em algumas questões, pois achei o grau de dificuldade delas um
tanto quanto grande. Mas, após a explicação, comecei a entender. E então fiz o resto da
prova. No geral, achei a prova desafiadora e interessante. Só peço que antes de uma
prova, seja passado mais exercícios difíceis. Não tive dúvida na matéria, por isso fui
bem no teste.”
“O estudo de “Radicais” parece fácil. No entanto, quando aprofundamos nossos
estudos sobre esse assunto, percebo que se trata de uma matéria abstrata, complexa e
confusa, que não traz nenhum benefício, pelo menos por enquanto, para nossas vidas. A
culpa não é do professor, muito pelo contrário, mas é da matéria que é “impossível” de
ser materializada. [...] o assunto “radicais” possui muitos detalhes, sendo difícil
colocá-los todos em prática e nos lembrar deles.”
“Eu acho que essa matéria é complicada de entender porque é uma coisa muito
abstrata. E eu acho também que quando a gente for trabalhar não vai precisar usar
isso no nosso dia-a-dia. Achei minha nota muito ruim, e acho que isso aconteceu
porque eu não estudei o bastante e também porque eu não entendi muito bem a
matéria.”
“Quando eu entendo a matéria eu entendo no dia que você passa aí no dia seguinte eu
não lembro mais aí eu não consigo pegar a matéria seguinte e não sei estudar em casa
matemática. Aí eu fui mal nas duas provas. Minha dificuldade foi em tudo, porque tipo
eu sabia fazer todas as questões mas só o início delas, no final eu confundo tudo e não
sei fazer o final aí eu sempre erro.”
Em linhas gerais, as afirmações nos deram ciência de que, para os alunos, o
professor preparou uma avaliação “cobrando” mais do que o básico. Tais manifestações
nos alertaram para o fato de que o aluno, antes de procurar relações do novo assunto
com o que já sabia, procurou decorar alguns exercícios e reproduzi-los literalmente na
avaliação. Quando o aluno nos diz que “são várias propriedades e modos diferentes para
decorar” parece ter estudado sem tentar estabelecer relações e atribuir significados.
115
Restou a ele decorar alguns tipos de exercícios dados, estratégia que lhe trouxe
dificuldades considerando que a simples memorização lhe impedia de relacionar
diferentes conceitos, buscar novas possibilidades de resolução e estabelecer relações do
novo conhecimento com outros já conhecidos.
Por outro lado, a nossa pesquisa para a ocorrência de uma aprendizagem
significativa da Matemática, além da visão cognitiva clássica proposta por Ausubel na
década de 60, Sec. XX se revestiu da visão humanista proposta por Joseph Novak
(1981; Novak e Gowin, 1996) colaborador de Ausubel e co-autor da segunda edição da
obra básica sobre aprendizagem significativa (Ausubel, Novak e Hanesian, 1980).
Novak propõe a integração entre pensamentos, sentimentos e ações que pode ser
positiva, negativa ou matizada. Fazendo considerações sobre a visão proposta por
Novak, em seu texto “Aprendizagem Significativa: da visão clássica à visão crítica”, diz
Moreira que:
A perspectiva de Novak é que quando a aprendizagem é significativa
o aprendiz cresce, tem uma sensação boa e se predispõe a novas
aprendizagens na área. Mas o corolário disso é que quando a
aprendizagem é sempre mecânica o sujeito acaba por desenvolver uma
atitude de recusa à matéria de ensino e não se predispõe à
aprendizagem significativa. Muito do que se passa nas situações de
ensino e aprendizagem ocorre entre esses dois extremos. A visão de
Novak é importante porque a predisposição para aprendizagem é uma
das condições da aprendizagem significativa e certamente tem a ver
com a integração de pensamentos, sentimentos e ações. (MOREIRA,
2010, p. 3)
Julgamos que essa predisposição para o aprendizado exaltada por Novak,
integrando sentimentos, pensamentos e ações e nos revelando indícios de uma
aprendizagem significativa, se manifestou quando tivemos retorno das opiniões dos
alunos sobre o trabalho desenvolvido nos grupos de atividades elaborados e
apresentados em seus detalhes nesta dissertação. Em contraposição às opiniões dos
alunos sobre os resultados da avaliação sobre radicais, destacamos alguns de seus
pensamentos sobre o Grupo de Atividades GA6 que teve como finalidade avaliar o
aprendizado dos temas matemáticos estudados através dos GAs anteriores (Quadro 8,
Capítulo 3).
Eis alguns dos pensamentos dos alunos, nos revelando que a aprendizagem,
além de incorporada segundo a visão humanista de Novak, no continuum aprendizagem
por memorização-aprendizagem significativa, pela nossa interpretação, apresentou
tendências mais voltadas para a aprendizagem significativa.
116
“Ela (a atividade) é mais prática e real, e também, nessa etapa eu ando me esforçando
mais e consigo prestar mais atenção nas aulas.”
“A avaliação se difere na matéria, que é a matéria que eu compreendi mais rápido,
pois, há como colocar o conteúdo em prática.”
“O aprendizado ocorreu sim, e eu não vou dizer que nas outras provas o aprendizado
não ocorreu, ele ocorreu, porém a última matéria é mais simples e prática, por isso tem
a ideia de que aprendemos mais.”
“De forma geral, essa avaliação foi fácil, pois tivemos várias atividades sobre a
matéria e por isso a maioria dos alunos tirou uma nota boa”.
“Gostei muito dessa avaliação. Todas as questões que estavam na mesma foram antes,
na sala de aula, praticadas e estudadas minuciosamente, com explicações claras. A
folha de exercícios também ajudou bastante. Em suma, espero que todas as provas
sejam assim”.
“Para mim, esta avaliação foi muito interessante, afinal, apesar de ter sido longa e com
muitas questões, não me deixou entediada e insegura durante a realização da prova”.
“Eu achei que essa avaliação foi diferente das outras porque além de saber melhor a
matéria dessa vez eu me sai melhor”.
“Eu achei a prova muito boa, acho que a matéria ajudou bastante, mas as questões
estavam de fácil compreensão, resultando em notas bem melhores que anteriores.”
“Eu achei esta avaliação desafiadora, mas se tivesse estudado iria bem”.
“Não achei muito difícil, nós aprendemos a matéria bem e os conhecimentos foram bem
aplicados na prova.”
“Eu achei que estava em um nível bom, não estava muito fácil nem difícil. Tinha muitas
questões, mas como podia usar calculadora, não foi problema.”
“Eu gostei dessa avaliação, tudo o que tinha nela foi dado em sala, teve várias
questões, o que eu achei bom, pois nos dá mais chance de ganhar nota melhor.”
“Achei uma boa prova, porque tinha várias questões, para que ninguém perdesse
muitos pontos. E como a gente já tinha feito várias atividades sobre o assunto, não tive
muita dificuldade.”
De um modo geral, os alunos sentiram-se satisfeitos sobre a forma como foram
avaliados, demonstrando em seus relatos que aprenderam bem os assuntos estudados
pelo fato de acharem as questões propostas de fácil compreensão. Ao mesmo tempo,
sentiram-se desafiados esforçando-se para resolver as variadas questões, algumas de
aplicação mais direta dos aspectos teóricos estudados e outras de aplicação em outros
117
contextos, além do matemático. Como já esclarecido no item anterior, duas questões,
inclusive, abordavam conteúdos que ainda não tinham sido estudados em seus aspectos
formais até o momento. No entanto, os alunos conseguiram, com as informações
colocadas na prova, pensar sobre o novo problema e encontrar soluções.
Em conclusão, ao valorizarmos a Aprendizagem Significativa em detrimento da
Aprendizagem Mecânica, concordamos com o pensamento de Ausubel (2003) quando
diz que “os seres humanos têm tendência a trabalhar mais e sentem-se muito mais
motivados quando as actividades de aprendizagem que iniciam fazem sentido” (p.15).
Esta foi exatamente a percepção que tivemos no decorrer da realização das atividades
propostas aos nossos alunos sempre desafiados a externarem suas ideias em linguagem
própria. Evidenciamos maior participação nas aulas e empenho nos estudos,
envolvimento e motivação para a realização das tarefas, formulação de perguntas,
percepção de uma matemática para além do livro didático, presente em muitos lugares e
situações e, possivelmente, um aprendizado significativo do conhecimento matemático
decorrente das atividades realizadas. Segundo Ausubel (2003) esta é a explicação dada
pelos psicólogos gestaltistas para a superioridade da aprendizagem significativa em
relação à por memorização: “quando a aprendizagem surge acompanhada de
interiorização e de compreensão das relações, formam-se „vestígios estáveis‟ que se
recordam durante mais tempo.” (p.16, destaque do autor).
Apresentaremos no item seguinte alguns indícios de que além da aprendizagem
ter sido significativa ela foi também crítica. Para tal, evidenciamos as opiniões de
alguns alunos participantes expressas um ano após a realização da pesquisa de campo.
4.3. Indícios da ocorrência de uma aprendizagem significativa crítica do
conhecimento matemático na opinião dos alunos.
Para nós seria cômodo responder – como numa via de mão dupla – que, se os
objetivos (b) foram atendidos, como expressamos no item 4.1.3, então os princípios
para uma aprendizagem significativa crítica também o foram. No entanto, não nos
julgávamos suficientemente seguros da ocorrência da criticidade no curto espaço de
tempo em que desenvolvemos nosso projeto de pesquisa, tanto mais que pesquisadores
sobre o tema (Capítulo1) já nos alertavam sobre tais dificuldades. Tendo em mente tal
fato, nos interessamos em conhecer a opinião de alguns alunos um ano após sua
participação na pesquisa ocorrida no primeiro semestre de 2011. Em abril de 2012,
preparamos um questionário (Apêndice D, p.183) e contactamos onze alunos que ainda
118
frequentavam a Escola, local da pesquisa, para responder as perguntas propostas.
Consideramos importante conhecer “como julgavam sua participação no projeto e o que
ficou para eles do que considerávamos significativamente aprendido?”. Suas opiniões
expressas em seus relatórios nos deram margem para responder a essa pergunta, como
demonstramos a seguir, focalizando cada um dos princípios e seu atendimento, julgados
pela visão crítica dos alunos em suas considerações.
Atendendo ao princípio do conhecimento prévio (P1), tivemos a preocupação
de resgatar e ressignificar o conceito de proporcionalidade, identificado por nós como o
conhecimento prévio necessário ao aprendizado de conceitos posteriores programados
para o semestre letivo. As falas dos alunos em seus relatórios justificam essa afirmação,
como a seguir:
“Quando penso hoje nas atividades realizadas, me vem à memória o fato de observar
as casas, construções, igrejas e objetos, olhá-los de forma matemática, com formas
geométricas ou utilizando o Teorema de Tales. Acredito que isso acontece pelo
trabalho realizado no ano passado, em que observamos igrejas e museus para ver tal
proporcionalidade.”
“Quando penso nas atividades e nos momentos marcantes, o que me vem à memória é a
aplicação da Matemática nos diversos aspectos do cotidiano. Isso pra mim, significou
um grande destaque porque me fez perceber que a Matemática está presente em tudo,
desde as situações mais simples às mais complexas.”
“Sobre os conteúdos realizados, a proporcionalidade e o Teorema de Tales e suas
aplicações, foram o assunto que mais aprendi.”
“Dos conteúdos estudados os mais presentes na memória são os de escala, que fomos
ate a igreja de Ouro Preto, Casa dos Contos, ate a Pampulha, ao Museu das Reduções,
isso marcou muito. Porque além de facilitar mais o entendimento foi a única excursão
que tivemos na 8ª série.”
“Grande parte dos conteúdos está presente nas minhas lembranças, porém, o assunto
que se destacou durante o meu aprendizado foi o conceito de escala e
proporcionalidade, devido a sua aplicação nas obras do Museu das Reduções, o que
despertou o meu interesse”.
“Proporcionalidade, pois, a partir dela conseguimos entender as construções e como
eles as fizeram.”
O princípio da interação social e do questionamento (P2) foi atendido através
de inúmeras atividades realizadas coletivamente e, particularmente, quando o professor
estimulou os alunos a formularem perguntas, expondo suas dúvidas e o querer saber
mais. Um dos alunos descreve a experiência que teve com os colegas, dizendo:
119
“A experiência que tivemos visitando os lugares junto com os colegas foram as partes
mais legais. Porque era um aprendizado fora da escola, muito melhor e mais
divertido.”
O princípio da não centralidade do livro texto (P3), manifestou-se na variedade
de materiais elaborados e utilizados como elementos didáticos, com base em uma
proposta referenciada na cidade histórica de Ouro Preto e vizinhanças. Entendemos que
este princípio foi atendido quando os alunos descrevem a viagem como uma alternativa
de aprender a Matemática de maneira divertida, saindo da rotina da sala de aula.
“No primeiro semestre período em que fizemos a viagem, o aprendizado foi bem mais
rápido e divertido, uma vez, que além de conhecermos mais um pouco de nossa cidade,
nós também saímos da rotina de ficar estudando em uma sala lendo livros e fazendo
atividades”.
“No primeiro semestre do ano passado, aprendemos matemática de forma mais prática
e dinâmica. Fomos a igrejas e museus para observarmos como a Matemática está tão
presente no nosso dia-a-dia. Desse, modo aprender matemática foi mais interessante do
que somente na sala de aula. Alem da praticidade e a facilidade do aprendizado.”
“No primeiro semestre aprendemos de uma forma criativa, podendo ver no mundo, o
que estávamos aprendendo dentro da sala de aula, através de excursões, já na segunda
etapa o conteúdo estudado não deixava que isso ocorresse.”
“No período anterior às atividades, aprendi matemática apenas estudando a teoria e
aplicado-a nos exercícios presente no livro. Após a mesma pude perceber de forma
concreta as teorias, estudadas dentro da sala de aula. No ambiente em que vivia, sendo
mais fácil estudar e entender essa matéria, associando-a ao espaço.”
As visitas aos locais históricos e o trabalho decorrente, estimulou um olhar
matemático sobre os monumentos dando oportunidade aos alunos de perceberem e
representarem seu entorno vivencial sob novas perspectivas atendendo ao princípio do
aprendiz como perceptor/representador (P4) de sua realidade e ao princípio do
conhecimento como linguagem (P5) já que esta se destacava nas várias tentativas dos
alunos ao manifestarem os momentos presenciados nas visitas, conforme seus relatos a
seguir:
“Além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previsto, esse estudo trouxe
conhecimento a mim, conhecimentos culturais que eu não sabia. Esse estudo
desenvolvido gerou em grande aprendizado, e uma facilidade maior para lidar com a
matemática e passar a ver o mundo de uma forma diferente.”
“Esse modo de ensino significou para mim uma forma mais interessante e interativa de
aprender e aplicar a Matemática, reconhecendo que ela está presente em tudo a nossa
120
volta, porém, de formas diferentes. Sendo assim, pude perceber isso nos monumentos
históricos e museus visitados, ampliando o conhecimento arquitetônico e cultural a
respeito deles.”
“A Matemática também é ensinada e aprendida fora de sala, com excursões, como a
que fizemos no meio do ano, onde nos visitamos igrejas e museus, para calcular escala,
descobrir formas geométricas nos desenhos. Esse ensino mostrou para mim que existe
várias formas de se aprender Matemática.”
“No período anterior às atividades, aprendi matemática apenas estudando a teoria e
aplicado-a nos exercícios presente no livro. Após a mesma pude perceber de forma
concreta as teorias, estudadas dentro da sala de aula. No ambiente em que vivia, sendo
mais fácil estudar e entender essa matéria, associando-a ao espaço.”
A partir de suas percepções e estimulados a refletir sobre elas, num trabalho
colaborativo, os alunos construíram significados para conteúdos matemáticos e
demonstraram isso em diferentes momentos através de seus questionamentos, relatos,
manifestações em sala de aula e avaliações, atendendo, em conjunto, aos princípios da
consciência semântica (P6), da aprendizagem pelo erro (P7), da desaprendizagem (P8),
e da incerteza do conhecimento (P9). Os alunos puderam entender que há distintas
maneiras de interpretação da realidade, dependendo do olhar de cada um e da forma
como expressa seu pensamento, pois, segundo a teoria, os significados atribuídos aos
conceitos e as palavras são construções humanas e, portanto, estão nas pessoas, não nas
palavras (Moreira, 2010, p.13). Algumas opiniões dos alunos nos dão indícios dessa
afirmação:
“Essa forma de aprendizado me trouxe além do aprendizado matemático um
complemento cultural sobre minha cidade.”
“Além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previsto, esse estudo trouxe
conhecimento a mim, conhecimentos culturais que eu não sabia. Esse estudo
desenvolvido gerou em grande aprendizado, e uma facilidade maior para lidar com a
matemática e passar a ver o mundo de uma forma diferente.”
“Com essa forma de aprendizagem facilitou muito o nosso estudo, já que quando você
vê o que está estudando é mais fácil.”
“Este modo de ensino me mostrou que tudo em nossa vida é matemática, também me
mostrou que podemos aprender matemática juntamente com outras disciplinas como a
geografia e história. Além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previstos eu
aprendi mais da cultura da minha região, da história e geografia.”
“Significou exatamente como Matemática é aplicada no mundo lá fora, como é usada
para nos proporcionar uma vida melhor.”
121
“Este modo de ensino significou para mim, uma maneira prática de perceber a ligação
que há entre as disciplinas, afinal, todas elas explicam a realidade, porém, de ângulos
distintos. Além disso pude comprovar novamente a presença cativa da Matemática no
meu dia-a-dia, e na riqueza histórica da região onde moro.”
“Este estudo foi bom não só pelo aprendizado da Matemática, mas também pelo
aprendizado sobre os monumentos visitados por nós. Este modo de ensino foi um modo
eficaz para compreender a Matemática.”
O princípio da não utilização do quadro de giz (P10) foi atendido no
desenvolvimento das atividades através das várias estratégias utilizadas, como já
descrito, além do uso do quadro. Evidenciamos esse fato em quase todas as opiniões dos
alunos. Destacamos algumas mais marcantes:
“A Matemática também é ensinada e aprendida fora de sala, com excursões, como a
que fizemos no meio do ano, onde nos visitamos igrejas e museus, para calcular escala,
descobrir formas geométricas nos desenhos. Esse ensino mostrou para mim que existe
várias formas de se aprender Matemática.”
“Hoje quando lembro da minha participação nas atividades realizadas, penso que me
doei ao máximo no estudo. As pesquisas, mas principalmente as visitas realizadas no
Museu das Reduções, me encantaram. Pois, a perfeição nos mínimos detalhes são
incríveis.”
“O que mais ficou gravado depois das atividades foi o Teorema de Tales, pois nós o
colocamos em prática na viagem em que fizemos, nós não ficamos presos somente na
teoria, nós aprendemos por meio de situações reais a como usá-lo.”
“As atividades que realizamos que mais ficou marcado na minha memória foram as
excursões para Belo Horizonte, aonde vimos várias formas geométricas e aprendemos
a calcular cada forma.”
Em conjunto, consideramos que os procedimentos adotados atenderam ao
princípio do abandono da narrativa (P11), com a percepção de que muitos dos conceitos
matemáticos estudados emergiram das narrativas dos próprios alunos elaboradas em
seus grupos de trabalho e, posteriormente, discutidas com todos os demais grupos sob a
orientação do professor. As falas a seguir, revelam as opiniões dos alunos expressando
com suas próprias palavras – após ter passado um ano do trabalho realizado – numa
demonstração de sua visão crítica, como pode ocorrer uma aprendizagem da
Matemática que tenha sido marcante em suas vidas de estudante.
“Este modo de ensino me mostrou que tudo em nossa vida é matemática, também me
mostrou que podemos aprender matemática juntamente com outras disciplinas como a
122
geografia e história. Além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previstos eu
aprendi mais da cultura da minha região, da história e geografia.”
“Após você perceber que a Matemática, esta mais presente na nossa vida, no nosso
cotidiano, mais do que a gente possa imaginar, quando você percebe a sua
importância, ela fica mais fácil de compreender e entender.”
“As atividades realizadas no ano de 2011, foram muito marcantes. Mas o que
realmente me chamou a atenção foi o fato de durante essas atividades, poder aplicar os
conceitos teóricos da Matemática nos monumentos históricos de Ouro Preto (Casa dos
Contos e Igreja de São Francisco de Assis), na Igreja de São Francisco de Assis, em
Belo Horizonte, dentre outros.”
“Anteriormente eu estudava menos, um dia antes, já no ano passado tive que montar
meu horário de estudos, me preparar melhor. Com isso agora, no 1º ano, em um ritmo
muito mais acelerado isso me ajuda muito.”
“Acho que para aprender matemática, você tem que ter uma boa base, tem que
entender e conseguir visualizar o que o exercício está pedindo.”
“No primeiro semestre do ano passado, aprendemos matemática de forma mais prática
e dinâmica. Fomos a igrejas e museus para observarmos como a Matemática está tão
presente no nosso dia-a-dia. Desse, modo aprender matemática foi mais interessante do
que somente na sala de aula. Alem da praticidade e a facilidade do aprendizado.”
“No primeiro semestre aprendemos de uma forma criativa, podendo ver no mundo, o
que estávamos aprendendo dentro da sala de aula, através de excursões, já na segunda
etapa o conteúdo estudado não deixava que isso ocorresse.”
“No período anterior às atividades, aprendi matemática apenas estudando a teoria e
aplicado-a nos exercícios presente no livro. Após a mesma pude perceber de forma
concreta as teorias, estudadas dentro da sala de aula. No ambiente em que vivia, sendo
mais fácil estudar e entender essa matéria, associando-a ao espaço.”
“Com base nesta reflexão, posso concluir que o aproveitamento no estudo e no
aprendizado no estudo e no aprendizado da Matemática, dependem do pondo de vista
do estudante e do desenvolvimento de métodos que facilitam esse processo. É
necessário desmistificar a idéia de que a Matemática é uma disciplina monótona e
difícil, e criar formas de torná-la mais interessante.”
“Antes da 8ª série, achava Matemática muito chata, porque a matéria era muito chata,
mas em 2011, na 8ª série , em 2012 no 1º ano, Matemática pra mim está sendo muito
legal, desde o ano passado entendo a matéria e estou começando a gostar, e também
estou sabendo fazer os exercícios. Estudar a matéria pra mim tem que ser através de
exercícios, muito exercício.”
“Com esses estudos e visitas foi possível compreender melhor a Matemática, foi uma
forma legal e mais produtiva de aprender.”
123
Alguns dos princípios que julgamos atendidos e foram constatados (P1, P2, P3,
P9, P10), manifestaram-se no curto período de tempo (um semestre) da pesquisa. Os
demais, segundo nossa interpretação com base na experiência realizada, exigiriam um
tempo mais prolongado com os estudantes, novas abordagens e estratégias. O que
apresentamos a respeito desses princípios foram apenas alguns indícios da possibilidade
de atendimento aos mesmos.
124
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Quando evidenciamos, na Introdução deste trabalho de pesquisa, a nossa
vivência com o ensino e a aprendizagem da Matemática nas escolas, a intenção de
proporcionar um aprendizado significativo da Matemática já se manifestava como uma
preocupação muito presente em nossa prática docente nas escolas em nível de Ensino
Fundamental. Na pesquisa realizada para o curso de especialização, em 2005, a questão
do aprendizado significativo da Matemática nas escolas assumiu novas dimensões
quando foi possível antever e proporcionar alternativas para a aprendizagem da
Matemática de modo a oferecer ao aluno a oportunidade de “compreendê-la como um
conhecimento que lhe estruturasse para resolver, além dos problemas matemáticos
próprios do contexto escolar, também problemas matemáticos ditados pela sua vivência
diária, pelos questionamentos originados de seu trabalho, buscando compreender essa
realidade e poder agir sobre ela.” (p.15, desta dissertação).
Nesse sentido, novos questionamentos fizeram-se presentes em nossas
reflexões tornando-nos mais críticos da prática que exercíamos e impulsionando-nos
para ampliar nossos conhecimentos através de novas leituras. Buscamos textos de
pesquisadores e autores cujos temas versavam sobre Educação Matemática e,
particularmente, sobre a aprendizagem significativa da Matemática, com destaque para
David Ausubel e Marco Antonio Moreira. Suas teorias sobre Aprendizagem
Significativa e Aprendizagem Significativa Crítica, constituíram-se como importante
referencial teórico para a fundamentação da nossa investigação. Consideramos que o
estudo dessas teorias viria dar suporte à criação e ao desenvolvimento de novas ações
para o ensino e aprendizagem da Matemática em sala de aula.
Assim, como enunciamos na Introdução, nos propusemos a criar, elaborar e
desenvolver com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, atividades em que o
cotidiano próximo deles fosse ponto de partida para as discussões em sala de aula e para
o aprendizado de conceitos matemáticos já estabelecidos pelo planejamento semestral
da Escola. Tal plano de ação, ditado pela nossa experiência como professores de
Matemática e pelas leituras prévias dos autores selecionados, nos conduziram para a
realização da presente pesquisa com a intenção de buscar respostas à seguinte questão
de investigação: “Como criar ambientes favoráveis à Aprendizagem Significativa
Crítica em contextos de cursos regulares nas aulas de Matemática?”. Temos em mente
que as tarefas a que nos propusemos realizar para atingir o objetivo da investigação,
125
foram suficientes para que algumas respostas possam ser dadas nesse momento das
considerações finais de nosso trabalho.
Algo que não foi explicitado nos capítulos que compõem essa dissertação e
que, propositadamente deixamos para este momento, é uma alusão sobre o termo
“ambiente” que figura em nossa questão de investigação. Julgamos que não poderíamos
ir adiante em nossas considerações sem antes esclarecer o sentido que atribuímos ao
referido termo nesta dissertação. Num sentido amplo e geral, o dicionário nos diz que
“ambiente” é o “que cerca ou envolve os seres vivos ou as coisas por todos os lados,
envolvente” e também “Lugar, sítio, espaço, recinto” (AURÉLIO, 1995, p.36). Nesse
sentido amplo, em concordância com os significados do dicionário, mas indo além,
adotamos para o termo essa qualidade de “envolvente”, “que se processa num
determinado local ou espaço” e onde podemos reconhecer um número sem fim de
“ambientes”.
A denominação “Ambiente Educacional” coloca-se nesse universo e, num
sentido mais restrito, é o ambiente que nos interessa caracterizar, a princípio, como
aquele em que a educação se processa informal ou formalmente em lugares e/ou
espaços variados (incluindo o ambiente familiar, o religioso, o escolar, o virtual e
outros). Para fins desse trabalho de investigação, caracterizamos “ambiente
educacional” como aquele onde a educação se processa formal e intencionalmente, com
suas normas e regras pré-estabelecidas. De um modo geral, tal ambiente é designado por
educadores de “Ambiente de Aprendizagem”.
Skovsmose, (2000), em seu artigo “Cenários para investigação”, comenta que
estudos em educação matemática que têm mostrado um “quadro desolador” sobre a
aprendizagem da Matemática em aulas tradicionais, não reconhecem a possibilidade da
existência de ambientes de aprendizagem, pois “seus dados estão ligados a uma
organização particular da sala de aula de matemática, a que é típica.” (SKOVSMOSE,
2000). Tendo em conta tal situação, Skovsmose apresenta uma matriz com seis tipos
diferentes de ambientes de aprendizagem, caracterizando-os através de tipos de
referência (matemática pura, semi-realidade, realidade) e exemplos variados. O autor
não valoriza um deles em detrimento do outro, considerando que, em maior ou menor
escala, todos têm seus momentos e finalidades.
Bragança, Ferreira e Pontelo (CEFET/MG) no artigo “Práticas educativas e
ambientes de aprendizagem escolar: relato de três experiências”, falando sobre a prática
docente consideram, assim como nós, que ela pode contemplar atividades diferenciadas
126
que transcendem os limites de uma sala de aula. Para os autores, um exemplo de
ambiente de aprendizagem é o ambiente de aprendizagem escolar, organizado para que
ocorram práticas educativas e onde o professor tem um papel fundamental. (sd, p. 2-3).
A concepção assumida por nós na elaboração e desenvolvimento dos materiais
educativos para esse trabalho de pesquisa, visando a uma aprendizagem significativa e
crítica da Matemática, pode ser descrita pelas palavras de Adelson Moreira (2007) sobre
Ambiente de Aprendizagem Escolar, assim expressas:
O ambiente de aprendizagem escolar é um lugar previamente
organizado para promover oportunidades de aprendizagem e que se
constitui de forma única na medida em que é socialmente construído
por alunos e professores a partir das interações que estabelecem entre
si e com as demais fontes materiais e simbólicas do ambiente.
(MOREIRA A., 2007, apud BRAGANÇA e outros, sd, p. 3).
Julgamos que não poderia ser outra a concepção adotada, já que as leituras que
compuseram nosso referencial teórico nos direcionaram para pensarmos num ambiente
com as características delineadas há pouco. Retomando a nossa questão de investigação,
o ambiente de aprendizagem que pretendíamos criar deveria favorecer á uma
aprendizagem significativa crítica da Matemática. Para tal, orientados pelos onze
princípios que regem a teoria proposta por Moreira (2010) estabelecemos os objetivos
que orientaram a elaboração das atividades e que, em seu desenvolvimento,
constituíram os ambientes de aprendizagem pretendidos.
No Capítulo 4 desta dissertação, apresentamos cada um dos grupos de
atividades, com seus objetivos e esclarecimentos sobre “como”, “quando” e “onde” se
manifestaram e quais resultados, produziram nos alunos para uma aprendizagem
significativa e crítica da Matemática. Os resultados alcançados, segundo nosso
julgamento, foram favoráveis a uma aprendizagem significativa da Matemática,
revelando, por parte dos alunos, indícios perceptíveis de maior participação nas aulas e
empenho nos estudos, envolvimento e motivação para a realização das tarefas,
formulação de perguntas, percepção de uma matemática para além do livro didático,
presente em muitos lugares e situações, como já exposto no Capítulo 4.
Mas, como justificar em um curto espaço de tempo (apenas um semestre) que a
criticidade se fez presente nos momentos (ou através dos momentos) interativos
propiciados pela realização das atividades?
Julgamos que essa demonstração dada pelos alunos em suas palavras expressas
nos relatórios, (item 4.3) um ano após a realização das atividades elaboradas e propostas
127
com a finalidade de investigar uma aprendizagem significativa e crítica da Matemática,
nos estruturou para afirmarmos que a aprendizagem, além de significativa dos
conhecimentos matemáticos, foi também crítica. Utilizar o conhecimento matemático
para analisar situações de seu entorno real, propor questões e encontrar soluções,
propiciou aos participantes momentos de um olhar mais focado e crítico de sua
realidade e da forma como o aprendizado da Matemática se realizou, como constatamos
em suas falas. Também, as atividades permitiram ao educando conhecer e valorizar sua
própria história através de conhecer a história de sua comunidade, de seus elementos
culturais e sociais, contemplando, assim, em maior ou menor escala, os princípios
facilitadores da Aprendizagem Significativa Crítica, propostos por Moreira (2010).
Em conclusão a essa breve exposição, acrescentamos que a pesquisa realizada
nos mostrou que, por diferentes estratégias e abordagens, é possível construir ambientes
favoráveis à aprendizagem significativa crítica nas aulas de Matemática, em contextos
de cursos regulares. Temos em mente que, no curto espaço de tempo de duração da
pesquisa, não nos foi possível levantar dados que propiciassem uma leitura com maior
embasamento científico do atendimento e/ou manifestação de alguns dos princípios
facilitadores concebidos por Moreira. Assim, julgamos que novas pesquisas fazem-se
necessárias sobre a temática ampla da Aprendizagem Significativa. Novos
questionamentos e novas respostas deverão iluminar, certamente, os caminhos para um
fazer pedagógico nas aulas de Matemática no qual o entorno vivencial do aluno se faça
presente nas discussões em sala de aula e desperte o interesse e a motivação para o
aprendizado significativo e crítico do conhecimento matemático.
Algumas vertentes teóricas sobre a aprendizagem significativa e crítica nos
ambientes de aprendizagem escolar também se manifestam nas obras de autores como
Skovsmose (como já expressamos) e D‟Ambrosio enriquecendo nossas referências
teóricas sobre o tema dessa investigação. E para finalizá-la, em concordância com as
visões de D‟Ambrosio em suas reflexões sobre a proposta pedagógica da
Etnomatemática, destacamos sua tão citada frase que, em tudo o que expressa, se
harmoniza com os aspectos teóricos da Aprendizagem Significativa Crítica e enriquece
nossas possibilidades e intenções da criação de ambientes favoráveis a uma
aprendizagem significativa e crítica da Matemática.
“A proposta pedagógica da Etnomatemática é fazer da matemática
algo vivo, lidando com situações reais no tempo e no espaço. E,
através da crítica, questionar o aqui e agora. Ao fazer isso,
mergulhamos nas raízes culturais e praticamos dinâmica cultural.
128
Estamos, efetivamente, reconhecendo na educação a importância das
várias culturas e tradições na formação de uma nova civilização,
transcultural e transdisciplinar” (D‟AMBROSIO, 2001, p.46).
129
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131
SOARES, D. A. Educação Matemática Crítica: Contribuições para o debate
Teórico e seus Reflexos nos Trabalhos Acadêmicos. Dissertação de Mestrado –
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.
132
APÊNDICES
APÊNDICE A: Autorização / Convite ao aluno para participar do projeto de
pesquisa
APÊNDICE B: Manual de Atividades
APÊNDICE C: Opinião dos alunos sobre as atividades realizadas no primeiro
semestre de 2011
APÊNDICE D: Opinião dos alunos em resposta a um questionário proposto em
abril de 2012
133
APÊNDICE A: AUTORIZAÇÃO / CONVITE
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
Colégio Arquidiocesano de Ouro Preto
Termo de Autorização
Autorizo os Professores Roberto Lessa de Carvalho – Orientando e Roseli de Alvarenga
Corrêa – Orientadora do Mestrado Profissional em Educação Matemática a realizarem
sua pesquisa intitulada “CONSTRUÇÃO DE AMBIENTES FAVORÁVEIS À
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA CRÍTICA EM CONTEXTOS DE CURSOS
REGULARES NAS AULAS DE MATEMÁTICA”, com os alunos do Ensino
Fundamental desta escola, de acordo com as tarefas previstas no projeto de pesquisa,
dentro da disciplina Matemática.
Ouro Preto - MG, 05 de dezembro 2010
______________________________________________
Tarcisio Sebastião Moreira
Diretor do Colégio Arquidiocesano de Ouro Preto
______________________________________________________________________
Rua: Alvarenga, nº519, Cabeças, Ouro Preto - MG
CEP: 35400 000- Telef. (31)3551-1154
134
TERMO DE ESCLARECIMENTO
Prezados Pais
Seu (sua) filho (a) está convidado (a) a participar da pesquisa “CONSTRUÇÃO DE
AMBIENTES FAVORÁVEIS À APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA CRÍTICA EM
CONTEXTOS DE CURSOS REGULARES NAS AULAS DE MATEMÁTICA”
Esta pesquisa tem como objetivo: investigar as possibilidades de construir ambientes
que favoreçam a aprendizagem de forma significativa e crítica.
A participação dos alunos na pesquisa ocorrerá por meio da realização das
atividades propostas pelo pesquisador para realização nas aulas de Matemática. A
colaboração para o desenvolvimento desta pesquisa é totalmente voluntária. Se for
preciso aplicar um questionário o (a) aluno (a) pode escolher não responder a qualquer
uma das perguntas apresentadas no questionário e poderá, a qualquer momento, desistir
de participar da mesma. O (A) aluno (a) terá seu anonimato garantido, pois serão
utilizados códigos no lugar dos nomes e assim, as informações que fornecer não serão
associadas ao seu nome em nenhum documento, relatório e/ou artigo que resulte desta
pesquisa. Vocês terão em mãos uma cópia deste termo e poderão tirar dúvidas, quando
necessário, juntamente ao pesquisador responsável.
O aluno poderá, em qualquer momento ao longo da pesquisa, retirar sua
participação se julgar necessário. Caso assim o decida, não haverá qualquer prejuízo,
uma vez que as aulas acontecerão normalmente, pois as atividades propostas são de
acordo com o programa da disciplina, e os alunos que não estiverem dispostos a se
tornarem participantes da pesquisa participarão de todas elas. Neste caso, não serão
coletadas informações sobre a participação destes alunos para uso na pesquisa.
A pesquisa pode ser interrompida em caso de: motivos de saúde do pesquisador
ou decisão da direção da escola e/ou dos pais e alunos participantes da mesma.
_________________________________________
Profa. Drª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
Departamento de Matemática – ICEB / UFOP
Fones: (31) 3559-1700 ou 3559-1241 / e-mail: [email protected]
Para ser preenchido por um dos pais do (a) aluno(a)
Eu, _________________________________________________, autorizo meu (minha)
filho(a) a participar da pesquisa.
___________________ , ___ de __________ de 2010.
_____________________________
Assinatura do (a) responsável
Comitê de Ética em Pesquisa (CEP/UFOP)
Campus Universitário – Morro do Cruzeiro – 35.400-000 – Ouro Preto – MG – Brasil
Homepage: http://www.propp.ufop.br – e-mail: [email protected] – Fone:
55(31)3559-1368
135
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido para os alunos
Prezado aluno,
Você está convidado (a) a participar da pesquisa “CONSTRUÇÃO DE AMBIENTES
FAVORÁVEIS À APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA CRÍTICA EM CONTEXTOS
DE CURSOS REGULARES”
Esta pesquisa tem como objetivo: investigar as possibilidades de construir ambientes
que favoreçam a aprendizagem de forma significativa e crítica.
A sua participação na pesquisa ocorrerá através da participação nas atividades
propostas. A colaboração para o desenvolvimento desta pesquisa é totalmente
voluntária. Se for preciso aplicar um questionário o (a) aluno (a) pode escolher não
responder a qualquer uma das perguntas apresentadas no questionário e poderá, a
qualquer momento, desistir de participar da mesma. Você terá seu anonimato garantido,
pois serão usados códigos e assim, as informações não serão associadas ao seu nome em
nenhum documento, relatório e/ou artigo que resulte desta pesquisa. Você terá em mãos
uma cópia deste termo e poderá tirar dúvidas, quando necessário, juntamente à
pesquisadora responsável.
O aluno poderá, em qualquer momento ao longo da pesquisa, retirar sua
participação se julgar necessário. Caso assim o decida, não haverá qualquer prejuízo,
uma vez que as aulas acontecerão normalmente, pois as atividades propostas são de
acordo com o programa da disciplina, e os alunos que não estiverem dispostos a se
tornarem participantes da pesquisa participarão de todas elas. Neste caso, não serão
coletadas informações sobre a participação destes alunos para uso na pesquisa.
A pesquisa pode ser interrompida em caso de: motivos de saúde do pesquisador
ou decisão da direção da escola e/ou dos pais e alunos participantes da mesma.
O aluno poderá, em qualquer momento ao longo da pesquisa, retirar sua
participação se julgar necessário. Caso assim o decida, não haverá qualquer prejuízo,
uma vez que as aulas acontecerão normalmente, pois as atividades propostas são de
acordo com o programa da disciplina, e os alunos que não estiverem dispostos a se
tornarem participantes da pesquisa participarão de todas elas. Neste caso, não serão
coletadas informações sobre a participação destes alunos para uso na pesquisa.
A pesquisa pode ser interrompida em caso de: motivos de saúde do pesquisador
ou decisão da direção da escola e/ou dos pais e alunos participantes da mesma.
_________________________________________
Profa. Drª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
Departamento de Matemática – ICEB / UFOP
Fones: (31) 3559-1700 ou 3559-1241 / e-mail: [email protected]
Para ser preenchido pelo(a) aluno(a)
Eu, _________________________________________________, declaro que entendi
os objetivos e os termos de minha colaboração para o desenvolvimento da pesquisa e
concordo em participar da mesma.
___________________ , ___ de __________ de 2010.
____________________________
Assinatura do (a) participante
Comitê de Ética em Pesquisa (CEP/UFOP)
Campus Universitário – Morro do Cruzeiro – 35.400-000 – Ouro Preto – MG – Brasil
136
Homepage: http://www.propp.ufop.br – e-mail: [email protected] – Fone:
55(31)3559-1368
CONVITE
Aos alunos do 9º Ano do Ensino Fundamental do
Colégio Arquidiocesano de Ouro Preto
Convidamos você a participar da pesquisa acima relacionada. Esta é parte integrante da
Dissertação de Mestrado do professor Roberto Lessa de Carvalho, aluno do Curso de
Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto
(UFOP).
As atividades serão práticas e teóricas e farão parte da rotina da sala de aula, não sendo
necessários horários extras, isto é, fora do horário normal da escola. Para a realização
das atividades serão utilizados recursos da Aprendizagem Significativa Crítica1
elaboradas e selecionadas pelo pesquisador e orientadora destinadas ao estudo de
Teorema de Tales.
Tais atividades serão realizadas na 1ª etapa do 1º semestre letivo da escola, no horário
normal das aulas, conforme quadro a seguir.
Datas a serem marcadas de acordo com o calendário escolar do 1º semestre de 2010
Segunda - feira Terça- feira Quarta- feira
Semana 1 Semana 1 Semana 1
Semana 2 Semana 2 Semana 2
Semana 3 Semana 3 Semana 3
Semana 4 Semana 4 Semana 4
Agradecemos e esperamos contar com a sua participação.
Contatos: Roberto Lessa de Carvalho (Pesquisador) – (31) 88803558
Roseli Alvarenga Corrêa (Orientadora) – (31) 3559 1241 ou 3559 1700
137
Ao Comitê de Ética
Prezados(as) senhores(as),
Informo que o projeto: “CONSTRUÇÃO DE AMBIENTES FAVORÁVEIS À
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA CRÍTICA EM CONTEXTOS DE CURSOS
REGULARES NAS AULAS DE MATEMÁICA” não possui financiamento de
qualquer natureza (bolsa, nem apoio financeiro de agências de fomento) nem dependerá
de recursos da Universidade para se desenvolver. Os gastos previstos se relacionam
com, fotocópias de instrumentos e alguns materiais de consumo (papel, cartuchos de
tinta, envelopes, etc.) e serão efetuados pelos pesquisadores.
Atenciosamente,
Roberto Lessa de Carvalho
Pesquisador Responsável
___________________________________________________________
Campus Universitário – Morro do Cruzeiro – 35.400-000 – Ouro Preto – MG – Brasil
Homepage: http://www.ppgedmat.ufop.br – e-mail: [email protected] – Fone:
55(31)3559-1724
138
APÊNDICE B: MANUAL DE ATIVIDADES
Colégio Arquidiocesano de Ouro Preto
Matemática, Geografia & História Uma Proposta de Estudo Interdisciplinar
Proporcionalidade, Escala e Educação Patrimonial
139
Nome: _________________________________________ Turma: 8ª série ______
Ouro Preto, março de 2011
Prezado(a)s aluno(a)s das 8as séries 1 e 2.
Vocês estão recebendo um Manual de Trabalho Interdisciplinar que deverá ser seu companheiro de aprendizagem. Nele constam algumas atividades que serão desenvolvidas até o final da 1ª etapa letiva de 2011. Essas atividades foram elaboradas pelos professores de Matemática (Roberto Lessa), Geografia (Angelina Menezes) e História (Renato de Andrade).
Como você deve verá, propomos um estudo de observação interdisciplinar, onde você terá contato com diversas áreas de conhecimento. Achamos importante que o enfoque matemático, geográfico e histórico seja o elemento principal e norteador deste trabalho a fim de que você possa perceber e valorizar a cultura, o saber fazer, o desafio, o olhar e a sensibilidade para as questões que estão sendo propostas.
Este Manual de Trabalho deverá seguir 03 etapas distintas a saber: 1ª – Visita Orientada à Capela da Ordem 3ª de São Francisco de Assis – Ouro Preto – MG 2ª – Visita Orientada à Casa dos Contos – Ouro Preto – MG 3ª – Visita Orientada à Igreja de São Francisco de Assis – Pampulha – Belo Horizonte – MG 4ª – Visita Orientada ao Museu das Reduções – Amarantina – Ouro Preto – MG 5ª – Registro Fotográfico dos Monumentos visitados. 6ª – Trabalho de pesquisa, exercícios e de releitura dos Monumentos visitados envolvendo conteúdos matemáticos estudados: escala, proporção, figuras geométricas... 7ª – Trabalho de pesquisa, exercícios e releitura dos Monumentos visitados tendo como base a Educação e a Valorização Patrimonial. 8ª – Trabalho de pesquisa, exercícios de Cartografia, escala e localização geográfica tendo como referencia os Monumentos visitados.
Avante!!! Empenho!!! Desenvolvimento!!! Curiosidade!!!! Bom trabalho!!!!
VISITA ORIENTADA
À CAPELA DA ORDEM 3ª DE SÃO FRANCISCO DE
ASSIS
Instruções.:
Este Relatório deverá ser preenchido pelo(a) aluno(a), cujas
respostas deverão ser resultantes das observações in loco sobre a
Capela da Ordem 3ª de são Francisco de Assis.
140
Algumas orientações serão dadas pelos professores a fim de que
você – através de uma observação atenta – possa identificar nos
Monumentos visitados uma noção de Simetria, Proporcionalidade,
Escala e Perspectiva, fazendo o devido registro.
Parte Externa:
1) Por que o Templo de são Francisco de Assis de Ouro Preto / MG é
chamado de Capela e por que pertence à Ordem 3a ?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Data aproximada de início e conclusão da construção da Capela?
_______ a ________
3) O projeto é atribuído a qual artista escultor?
__________________________________ .
4) Enumere 05 motivos decorativos de estilo militar presentes na Capela?
a)
_______________________________________________________________
___________
b)
_______________________________________________________________
___________
c)
_______________________________________________________________
___________
d)
_______________________________________________________________
___________
e) __________________________________________________________________________
141
5) Qual a solução encontrada para iluminação interna do templo, uma vez
que o óculo foi obstruído?
6) Descreva o “olhar e a vertigem” provocada pelo templo.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________
7) Sobre a Pintura da Nave da Capela:
a) Qual o autor da pintura?
____________________________________________________
b) Por que os anjos e Maria são mulatos?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________
c) Cite 02 detalhes curiosos presentes na pintura:
1)
_______________________________________________________________
__________ .
2)
_______________________________________________________________
__________ .
Ca pela
8) Qual o autor/escultor do Altar-mór?
_________________________________________
142
a) De que material foi esculpido o Altar-mór?
____________________________________
9) Qual o autor das pinturas da Ca pela?
_____________________________________
a) Descreva a Santa ceia. Enumere os elementos “estranhos” presentes
nela.
a)
_______________________________________________________________
___________
b)
_______________________________________________________________
___________
c)
_______________________________________________________________
___________
d)
_______________________________________________________________
___________
Atividade de Pesquisa:
A Capela da Ordem 3ª de São Francisco de Assis é considerada uma das
obras primas de Antonio Francisco Lisboa, o Aleijadinho.
Faça uma pesquisa sobre a vida e a obra desse famoso escultor do
barroco mineiro e registrando-a no espaço abaixo :
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
__
143
Curiosidades:
Eis um poema de Carlos Drummond de Andrade chamado São Francisco
de Assis:
São Francisco de Assis (Carlos Drummond de Andrade – Claro Enigma)
“Senhor, não mereço isto. Não creio em vós para vos amar.
Trouxeste-me a São Francisco e me fazeis vosso escravo.
Não entrarei, senhor, no templo, seu frontispício me basta. Vossas flores e querubins
são matéria de muito amar. Mas entro e, senhor, me perco
na rósea nave triunfal. Por que tanto baixar o céu?
por que esta nova cilada? Senhor, os púlpitos mudos
Entretanto me sorriem. Mais do que vossa igreja, esta
Sabe a voz de me embalar. Perdão, Senhor, por não amar-vos.”
Igreja de Ouro Preto é eleita maravilha portuguesa
Minas Gerais • Notícias • 12 de junho de 2009 por Silvana Losekann
A Igreja da Ordem Terceira de São Francisco de Assis da Penitência, em Ouro Preto, foi eleita uma das sete Maravilhas de Origem Portuguesa no Mundo, em concurso realizado pela “New 7 Wonders Portugal”, empresa que também organizou a declaração oficial das Novas 7 Maravilhas do Mundo. O anúncio foi feito na noite desta quarta-feira(10), em Portugal.
Concorreram à disputa 27 bens de 16 países, sendo seis deles do Brasil. A escolha foi feita por meio de votação no site www.7maravilhas.pt , onde cada internauta pôde escolher sete monumentos dentre os 27 listados.
Os monumentos concorrentes foram definidos de acordo com o valor histórico e patrimonial de origem e influência portuguesa no Mundo, sendo que alguns deles têm a chancela da Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (Unesco) como patrimônio da humanidade e outros, poderão tê-la no futuro.
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Após o anúncio, a secretária de Estado de Turismo, Érica Drumond, a disse que a
Igreja São Francisco de Assis, em Ouro Preto, é um monumento de grande valor histórico e cultural para Minas Gerais. “Com a premiação, nosso Estado ganha mais visibilidade e mais proximidade com Portugal. Nossa meta agora, em nossa política pública de promoção e divulgação internacional é estimular que o português e o europeu conheçam a Igreja de São Francisco, assim como todo acervo cultural e natural que Minas Gerais tem a oferecer”, comemorou. No Brasil também foi escolhida como “Maravilha” a Igreja e Convento de São Francisco de Assis e Ordem Terceira de Salvador (BA). “Com certeza a eleição de dois monumentos brasileiros entre as sete maravilhas portuguesas do mundo, é mais um diferencial que o nosso País, dono de uma riqueza natural e cultural enorme, oferece ao turista português”, destacou Jeanine Pires, presidente da Embratur.
(Texto Adaptado: http://www.defender.org.br/igreja-de-ouro-preto-e-eleita-maravilha-portuguesa/)
Atividade Prática: Prezado(a) aluno(a)... agora é com você: Observe atentamente a foto da Capela da Ordem 3ª de São Francisco de
Assis. Podemos afirmar que o templo é, na verdade, uma composição de diversas
figuras geométricas. Queremos que você as identifique fazendo um registro na folha transparente subseqüente conforme as orientações:
I) a) Depois de observar a figura da página 07, desenhe as figuras que você
conseguiu encontrar, na folha transparente sobreposta. b) Pedimos que você “esgote” as possibilidades... ou seja, encontre o número
maior de figuras geométricas na imagem. c) Dica: Você pode utilizar linhas imaginárias para completar a composição da
imagem encontrada. II) a) Observando a imagem da página 7 é possível identificar reta(s) paralela(s)?
Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida, para melhor identificação.
b) Se você identificou e registrou alguma(s) reta(s) paralela faça a seguinte
indagação:
Será possível identificar alguma(s) reta(s) que intercepte a(s) reta(s) paralela(s) registrada(s) no item IIa? Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida. III)
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a) Com orientação de seu professor e com auxílio de uma fita métrica, você fará o registro numérico de alguns dados da Capela da Ordem 3ª de São Francisco de Assis, a saber:
- Largura da porta principal da Capela: ___________ metros.
- Altura da porta principal da Capela: ___________ metros.
- Distância da porta até a escadaria principal do adro da capela: _________
metros.
- Largura da porta falsa da Capela: _________ metros.
- Altura da porta falsa da Capela: _________ metros.
- Altura da Coluna da Fachada da Capela: ________ metros.
- Largura da Coluna da Fachada da Capela: ________ metros.
- Largura da Torre da Capela: ________ metros.
- Altura da Torre da Capela: ________ metros.
- Largura do Frontão da Capela: _______ metros.
- Altura do Frontão da Capela: _______ metros.
Atenção: a coleta desses dados é de suma importância, pois os mesmos serão utilizados no estudo comparativo que será realizado no Museu das Reduções em Amarantina – Ouro Preto – MG.
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Visita Orientada à Casa dos Contos – Ouro Preto – MG Breve Histórico do Monumento
Um solar de Villa Rica A Casa dos Contos, na arquitetura residencial da cidade-monumento, traduz a
manifestação mais rica que a sociedade da época nos legou: é uma vasta mansão, de acentuado cunho arquitetônico, embora sem grandes arranjos. Data sua construção dos fins do século XVIII (1783) por ordem de seu proprietário João Rodrigues de Macedo. Na qualidade de contratador resolve Macedo o plano de sua residência num andar térreo onde localizou seus escritórios, senzalas, num andar principal, alojamento de sua família e num mirante que fotografa grande parte da atual Ouro Preto.
http://coisasdaarquitetura.wordpress.com/2010/08/09/a-casa-dos-contos-de-ouro-preto/
Atividade Prática: Prezado(a) aluno(a)... agora é com você: Observe atentamente a da Casa dos Contos, na página 9. Podemos afirmar que o Monumento é, na verdade, uma composição de
diversas figuras geométricas. Queremos que você as identifique fazendo um registro na folha transparente subseqüente conforme as orientações:
I) a) Depois de observar a figura da página 09, desenhe as figuras que você
conseguiu encontrar, na folha transparente sobreposta. b) Pedimos que você “esgote” as possibilidades... ou seja, encontre o número
maior de figuras geométricas na imagem. c) Dica: Você pode utilizar linhas imaginárias para completar a composição da
imagem encontrada.
II) c) Observando a imagem da página 9 é possível identificar reta(s) paralela(s)?
Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida, para melhor identificação.
d) Se você identificou e registrou alguma(s) reta(s) paralela faça a seguinte
indagação:
Será possível identificar alguma(s) reta(s) que intercepte a(s) reta(s) paralela(s) registrada(s) no item IIa? Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida. III) b) Com orientação de seu professor e com auxílio de uma fita métrica, você
fará o registro numérico de alguns dados do Monumento a saber: - Largura da porta principal do Monumento: ___________ metros.
- Altura da porta principal do Monumento: ___________ metros.
- Largura da fachada principal do Monumento: _________ metros.
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- Largura da fachada lateral do Monumento: _________ metros.
- Altura da fachada lateral do Monumento: ________ metros.
Atenção: a coleta desses dados é de suma importância, pois os mesmos serão utilizados no estudo comparativo que será realizado no Museu das Reduções em Amarantina – Ouro Preto - MG
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Visita Orientada à Igreja de São Francisco de Assis Pampulha – Belo Horizonte - MG
Breve Histórico do Templo
A Igreja São Francisco de Assis da Pampulha, em Belo Horizonte, Minas
Gerais, foi inaugurada em 1943. O projeto arquitetônico da igreja é de Oscar Niemeyer e cálculo estrutural de Joaquim Cardoso. Foi o último prédio a ser inaugurado do conjunto arquitetônico da Pampulha. As linhas curvas da igreja seduziram artistas e arquitetos, mas escandalizaram o acanhado ambiente cultural da cidade,de tal forma, que as autoridades eclesiásticas não permitiram, por muitos anos, a consagração da capela.
A igreja permaneceu durante dezessete anos, proibida ao culto. Aos olhos do arcebispo Dom Antônio dos Santos Cabral a igrejinha era apenas um galpão. Seu interior abriga a Via Sacra, constituída por catorze painéis de Cândido Portinari, considerada uma de suas obras mais significativas. Os painéis externos são de Cândido Portinari - painel figurativo e de Paulo Werneck - painel abstrato. Os jardins são assinados por Burle Marx. Alfredo Ceschiatti esculpiu os baixos-relevos em bronze do batistério.A igrejinha da Pampulha é um dos mais conhecidos "cartões postais" de Belo Horizonte."
pt.wikipedia.org/wiki/Igreja_S%c3%a3o_Francisco_de_Assis_...
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Atividade Prática:
Prezado(a) aluno(a)... agora é com você:
Observe atentamente a foto da Igreja de São Francisco de Assis da Pampulha – Belo Horizonte – MG:
Podemos afirmar que o Monumento é, na verdade, uma composição de diversas figuras geométricas. Queremos que você as identifique fazendo um registro na folha transparente subseqüente conforme as orientações:
I)
a) Depois de observar a figura da página 12, desenhe as figuras que você conseguiu encontrar, na folha transparente sobreposta.
b) Pedimos que você “esgote” as possibilidades... ou seja, encontre o número maior de figuras geométricas na imagem.
c) Dica: Você pode utilizar linhas imaginárias para completar a composição da imagem encontrada.
II)
c) Observando a imagem da página 12 é possível identificar reta(s) paralela(s)? Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida, para melhor identificação.
d) Se você identificou e registrou alguma(s) reta(s) paralela faça a seguinte indagação:
Será possível identificar alguma(s) reta(s) que intercepte a(s) reta(s) paralela(s) registrada(s) no item IIa? Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida.
III)
b) Observando a imagem da página 12 é possível identificar algumas linhas curvilíneas portanto, registre com uma caneta colorida:
- Abóbada(a) - Elipse(s) - Arcos
IV
Com orientação de seu professor e com auxílio de uma fita métrica, você fará o registro numérico de alguns dados do Monumento a saber:
- Largura da porta principal do Templo: ___________ metros. - Altura da porta principal do Templo: ___________ metros. - Largura da Torre Sineira do Templo: _________ metros. - Altura da Torre Sineira do Templo: ________ metros. - Largura total da Fachada do Templo: _______ metros.
V
Agora chegou o momento de você ser criativo. Os painéis externos da Igreja de São Francisco de Assis são muito originais e considerados obra prima de Cândido Portinari. Você irá fazer um registro dos painéis nas 02 folhas de Papel Milemetrado. Para tal registro, você deverá seguir alguns passos a saber:
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d) Escolha uma cena, representada nos painéis e que tenha lhe chamado atenção.
e) Você perceberá que a cena está representada em vários quadrados que vão compor a cena, formando um conjunto simétrico e harmonioso.
f) Você deverá utilizar os conceitos que você apreendeu de escala, simetria, equilíbrio, ângulo, medidas, harmonia... e fazer uma cópia da(s) cena escolhida para as folhas milimetradas.
Atenção: a coleta desses dados é de suma importância, pois os mesmos serão utilizados no estudo comparativo que será realizado no Museu das Reduções em Amarantina – Ouro Preto - MG
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COLÉGIO ARQUIDIOCESANO DE OURO PRETO
Prezado(a)s Aluno(a)s,
Vocês estão recebendo um Roteiro que deverá ser anexado ao Manual de Trabalho das
atividades de Matemática, História e Geografia, anteriormente entregue.
Os dados solicitados são de suma importância e serão utilizados nos cálculos que serão
feitos em classe, num estudo posterior que engloba Direção, Medida, Localização no
Espaço Geográfico e Escala.
Bom Registro!!! Bom Trabalho!!! Boa Viagem!!!! Prof. Roberto, Prof. Renato e Profra
Angelina
Tenha bastante atenção ao coletar os dados solicitados:
Ouro Preto – Belo Horizonte (Pampulha) – Amarantina – Ouro Preto
Kilometragem registrada no Velocímetro do ônibus:
1)
Saída de Ouro Preto: _________________
Chegada a Belo Horizonte: _________________
Total de quilômetros percorridos: ____________
2)
Saída de Belo Horizonte: _________________
Chegada a Amarantina: ________________
Total de quilômetros percorridos: ____________
3)
Saída de Amarantina: _________________
Chegada a Ouro Preto: _________________
Total de quilômetros percorridos: ____________
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COLÉGIO ARQUIDIOCESANO DE OURO PRETO
Segmento: Ensino Fundamental Unidade: Caop 1
Disciplina: Matemática, História e Geografia Data: 07/04/2011
Professores: Roberto Lessa, Renato de Andrade e Angelina Menezes
Série: 8as Séries 1 e 2
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Ouro Preto, 07 de abril de 2011.
Prezados pais e responsáveis,
Como parte do conteúdo de Matemática e de História, está a Noção de Proporcionalidade e a questão da Educação Patrimonial. Pensando nisso, os professores de Geografia, História e Matemática pretendem levar o(a)s aluno(a)s a efetuarem um estudo prático de observação dos monumentos históricos de Ouro Preto e Belo Horizonte, a fim de realizarem um comparativo com noções de proporção, escala e importância histórica.
* Num primeiro momento, os alunos visitarão dois monumentos históricos de Ouro Preto para registro fotográfico e de observação, a saber;
Visita à Igreja de São Francisco de Assis e à Casa dos Contos – Ouro Preto – MG Data: 12/04/2011 – 14 Horas Local e Horário do Encontro: 14:horas – Estátua Tiradentes – Ouro Preto – MG Local e Horário de Encerramento: 17 Horas – Casa dos Contos – Ouro Preto - MG
O(a)s aluno(a)s, estarão acompanhados dos professores de História e Matemática e deverão levar lápis, borracha e caneta para anotações em Manual que será fornecido.
Salientamos a importância desta atividade interdisciplinar, onde o(a)s aluno(a)s terão
contato com os diversos Monumentos que serão analisados para posterior estudo sistemático dos mesmos segundo cada área específica: Matemática, História e Geografia.
Qualquer dúvida, estamos à inteira disposição para esclarecê-las. Atenciosamente,
Prof. Roberto Lessa Prof. Renato de Andrade Angelina
Meneses (Matemática) (História) (Geografia)
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COLÉGIO ARQUIDIOCESANO DE OURO PRETO
Segmento: Ensino Fundamental Unidade: Caop 1
Disciplina: Matemática, História e Geografia Data: 18/04/2011
Professores: Roberto Lessa, Renato de Andrade e Angelina Menezes
Série: 8as Séries 1 e 2
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Ouro Preto, 18 de abril de 2011.
Prezados pais e responsáveis,
Como parte do conteúdo de Matemática e de História, está a Noção de Proporcionalidade e a questão da Educação Patrimonial. Pensando nisso, os professores de História e Matemática pretendem levar o(a)s aluno(a)s a efetuarem um estudo prático de observação dos monumentos históricos de Ouro Preto e Belo Horizonte, a fim de realizarem um comparativo com noções de proporção, escala e importância histórica.
* Num primeiro momento, os alunos visitarão dois monumentos históricos de Ouro Preto para registro fotográfico e de observação.
Visita à Igreja de São Francisco de Assis e à Casa dos Contos – Ouro Preto – MG Data: 12 /04/2011 – 14 Horas
* Num segundo momento, o(a)s aluno(a)s visitarão a Igreja de São Francisco de Assis na Pampulha, em Belo Horizonte onde farão um registro fotográfico e de conhecimento arquitetônico e histórico do templo.
Data: .27./04/2011 – 7:30 min às 12 Horas – 4ª feira
* Num terceiro momento, o(a)s aluno(a)s visitarão o Museu das Reduções em Amarantina, para um registro fotográfico diante dos monumentos ali reproduzidos a partir de uma escala específica.
Data: .27/04/2011 – 14 Horas às 17:00 – 4ª Feira
* Num quarto momento, o(a)s aluno(a)s farão atividades em classe, orientados pelo professor de Matemática, História e Geografia, relacionando o que foi registrado com as noções de Escala, Proporcionalidade e Educação Patrimonial.
* Num quinto momento, o(a)s aluno(a)s farão uma exposição acerca do que foi observado, registrado e estudado em classe, no auditório do CAOP.
Data: A ser combinada com os professores das áreas envolvidas: História, Matemática e Geografia.
Salientamos a importância desta atividade interdisciplinar, onde o(a)s aluno(a)s terão contato com os diversos Monumentos que serão analisados para posterior estudo sistemático dos mesmos segundo cada área específica: Matemática, História e Geografia.
Para concretizarmos esta proposta segue alguns dados importantes na tabela descritiva:
Data: 18/04/2011 – 2ª feira
Atividade / Conteúdo Complementar Visita Orientada à Igreja de São Francisco - Pampulha Visita Orientada à Casa do Baile – Pampulha - BH - MG
Preço do Transporte Rodoviário (ida e volta) R$ 24,00
Preço Entrada na Igreja da Pampulha R$ 2,00
Preço Entrada no Museu das Reduções R$ 4,00
Preço total da Atividade / R$ 30,00 Preço do Almoço – Restaurante Parque Guanabara R$ 15,00 (pagamento Individual ao Restaurante)
Data de confirmação, pagamento e autorização 25/04/2011 2ª feira - IMPRETERIVELMENTE
Local de saída: Terminal Rodoviário Municipal de Ouro Preto
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Qualquer dúvida, estamos à inteira disposição para esclarecê-las. Atenciosamente,
Prof. Roberto Lessa Prof. Renato de Andrade
(Matemática) (História)
AUTORIZAÇÃO
VIAGEM A BELO HORIZONTE
Eu, ________________________________autorizo o(a) meu filho(a)
______________________________________
a participar da atividade Visita Orientada à Igreja de São Francisco de Assis e na Casa do Baile
na Pampulha em Belo Horizonte e ao Museu das Reduções, em Amarantina – MG no dia
27/04/2011, 4ª feira, conforme as instruções recebidas neste informativo, onde estarão
acompanhados dos professores Roberto Lessa (Matemática) e Renato de Andrade Campos Silva
(História).
Documento de identificação do(a) aluno.
Carteira de Identidade: ________________________ / SSP-MG
Ou
Certidão de Nascimento: Livro: ___________ Folha: ____________
Ouro Preto, de abril de 2011.
________________________________________________________________
Assinatura do Responsável
Telefone contato aluno(a): ______________________________ Telefone contato pais / responsável: ______________________
Horário de saída 7:30
Horário de retorno a Ouro Preto: 17:30
Horário previsto de chegada a Ouro Preto: 18:00 (aproximadamente) no Terminal Rodoviário Municipal
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APÊNDICE C: OPINIÃO DOS ALUNOS SOBRE AS ATIVIDADES
REALIZADAS
Comentários dos alunos após a avaliação de radicais
8ª1e 8ª2
“Eu fui mal na prova porque não consigo me concentrar e não entendo a matéria por
isso tirei aquela note e também não consigo estudar em casa e a prova foi difícil.”
(Anônimo)
“A prova foi desafiadora, uma prova difícil, mas foi bem feita, e o deságio que faz a
gente pensar. Minha maior dificuldade é passar as contas que estão na minha cabeça
para o papel.”
(Anônimo)
“A maior dificuldade da prova foi não conseguir comparar com algo do dia-a-dia e
dependendo da questão não consegui interpretar o enunciado”
(Anônimo)
“Na minha opinião o conteúdo da prova não estava assim lá tão difícil no meu ver caso
eu tivesse condições de terminar a prova poderia até ter saído muito bem pois eu estava
preparado.”
(Igor Jarandir)
“Minha opinião sobre a prova, é que eu achei um pouco difícil, pela lista achei que
ficaria mais fácil porque eu consegui fazer. Minha maior dificuldade foi nas de múltipla
escolha.”
(Anônimo)
“A minha opinião sobre a prova é que ela tinha questões difíceis, eu acho que ela tinha
questões bem mais difíceis do que as feitas em sala. E eu também tenho dificuldade em
prestar atenção em Matemática, eu acho que é uma matéria muito chata.”
(Rodrigo de Grommont - EF82)
“Eu estudei o básico, porém o professor coloca questões que cobram mais do que o
básico o que deixa as questões mais difíceis de serem respondidas. Fica muita coisa na
cabeça e tudo se embola na hora da resposta.”
(Heloísa Fortes – EF82)
“Essa prova em minha opinião era desafiadora por ser uma prova que precisava pensar.
Minha dificuldade maior foi por esclarecer minhas duvidas somente no segundo horário
de prova mas também a culpa é minha pois se eu tivesse estudado um pouco antes ou a
longo prazo poderia ajudar a melhorar minha nota”
(Anônimo)
“A minha principal dificuldade foi compreender a matéria pois eu não entendi muito
bem”.
(Octávio Guimarães)
157
“Sinceramente, eu não sei.
Cara eu fui super bem na 1ª prova, 7,5/8,0. Minha postura em sala foi a mesma, é claro
que a conversa da sala em geral prejudica, mas sempre foi assim a grande maioria não
prestando atenção, conversando, mas eu sempre conseguia estudar em casa.
À seguir vou ser mais clara, colocando os motivos:
• Conversa da sala em geral.
• Matéria muito subjetiva.
• Não me dediquei tanto
• Nos últimos dias ando muito ansiosa, tenho insônia e estou com dificuldade em
prestar atenção. Não sei porque.”
(Jéssica Costa – EF82)
“Bem, a prova estava um pouco complexa na primeira prova eu assumo que não me
esforcei mas na segunda eu estudei e tentei mais acho que não alcancei meus objetivos.
Eu acho que o sucessor natural me deixou um pouco confusa, isso não quer dizer que a
culpa é totalmente sua talvez não estudei da maneira correta.
É bem legal você pedir isso é uma maneira de se expressar.
Desculpa,
Obrigada.”
(Thaís)
“Na minha opinião a prova não estava muito fácil, pelo fato de que abordou muitas
operações de expressão, onde se a pessoa erra uma parte, ela erra toda conta e assim,
obviamente, a questão. Particularmente acho que isso é minha maior dificuldade, já
que para resolver as expressões precisamos conseguir todas as partes, muito específico.”
(Anônimo)
“Para mim, a prova foi muito difícil. Eu tenho muita dificuldade em matemática e não
entendi a matéria. Eu tenho muita dificuldade em todas as matérias, tenho muita
vergonha de perguntar e eu não consigo “tirar” a vergonha de mim. Eu estou tendo
encaminhamento com uma psicóloga, pois ela esta me ajudando a tirar a minha
vergonha, a estudar mais, a ser mais capacitada nos estudos. Eu não gosto de estudar e
por isso que estou indo em uma psicóloga. Eu tenho dificuldade me todas as matérias e
as duas principais são matemática e inglês. Por favor me ajude!”.
(Ana Paula)
“Olha minha opinião, a prova tinha um certo grau de dificuldade, porém, nós tínhamos
condições de resolver todas as questões propostas. Eu, particularmente, tenho uma certa
dificuldade de raciocínio enquanto estou nervosa. Este é um dos principais motivos
pelos quais a minha nota nem sempre corresponde às minhas expectativas”
(Anônimo)
“Bom, primeiramente eu fui fazer a prova confiante. Sabia toda a matéria. Na hora da
prova fiquei em duvida em algumas questões, pois achei o grau de dificuldade delas um
tanto quanto grande. Mas, após a explicação, comecei a entender. E então fiz o resto da
prova. Me geral, achei a prova desafiadora e interessante. Só peço que antes de uma
prova, seja passado mais exercícios difíceis. Não tive dúvida na matéria, por isso fui
bem no teste.”
(Anônimo)
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“Oh Betão sério, você explica muito bem na moral, só que sei lá, eu não consigo prestar
atenção nas aulas mesmo quando eu não to conversando, que é raramente, mas não vem
ao caso. Quando eu entendo a matéria eu entendo no dia que você passa aí no dia
seguinte eu não lembro mais aí eu não consigo pegar a matéria seguinte e não sei
estudar em casa matemática. Aí eu fui mal nas duas provas. Minha dificuldade foi em
tudo, porque tipo eu sabia fazer todas as questões mas só o início delas, no final eu
confundo tudo e não sei fazer o final aí eu sempre erro”
(Letícia de Souza Neto – EF82)
“Para mim essa prova não estava bem formada. Havia um conteúdo não mostrado na
questão 2. Eu não fiz uma boa prova, porque ela estava bem grande e exigia mais tempo
para que as questões fossem executadas de uma boa forma. Bom, eu estudo todo o meu
FERIADO e no domingo já estava bem estudado e preparado, mas não fiz uma boa
prova. Eu creio que o meu resultado não está de acordo com o meu desempenho.
SERÁ QUE EU NÃO ESTUDEI O BASTANTE, OU, A AVALIAÇÃO ESTAVA
FORULADA DE UMA MANEIRA INADEQUADA PERANTO O TEMPO E NOSSA
CAPACIDADE?
(Anônimo)
“Achei a prova complicada e difícil. Mas cheguei à conclusão que foi por falta de
estudo e dedicação da minha parte. Senti dificuldade na questão de Sucessor Natural e
algumas expressões.
Não estudei muito, porque achei que como fiz a lista, saberia fazer a prova.
(Maria Emília Fonseca)
“A prova foi complicada, porque nos vimos os conceitos e fizemos as atividades muito
separados, como nas atividades de 40 questões foi tudo muito separado e na prova teve
a união de todos os conceitos e como nos não vimos essa união na sala de aula
complicou.
(Ana Luísa)
“Eu acho que minha dificuldade sobre essa matéria é porque o primeiro passo para fazer
eu nunca sei, ou seja, se alguém estiver fazendo o início eu consigo continuar. E se você
erra uma continha pequena, erra a questão toda.
E não tem como aplicar no nosso cotidiano, sendo mais difícil de gravar.
Enfim, não consigo gravar e aprender essa matéria.
(Laura Oliveira - EF82)
“A prova foi difícil, e complicada demais pelo tempo que tivemos. Falta de estudo, sei
que não foi, pois fiquei o feriado estudando.
Além de que uma matéria mais difícil. Radicais é “radical” demais para minha cabeça.
São várias propriedades e modos de resolver para decorar.”
(Anônimo)
“Eu acho que essa matéria é complicada de entender porque é uma coisa muito abstrata.
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E eu acho também que quando agente for trabalhar não vai precisar usar isso no nosso
dia-a-dia.
Achei minha nota muito ruim, e acho que isso aconteceu porque eu não estudei o
bastante e também porque eu não entendi muito bem a matéria”.
(Larissa Mappa Gonçalves)
“Eu acho o assunto “radicais” bem interessante e não vi problemas no aprendizado do
mesmo.
O resultado de minha avaliação foi esperado, entretanto creio que na prova faltou
apenas tempo para ser feita”
(Anônimo)
“Eu achei muito difícil, porque o assunto as vezes me confunde, mas eu tendo entende.
Aprender o assunto radicais é difícil e é muito chato.
Eu posso dizer que o meu resultado foi horrível e preciso estudar mais para tirar notas
boas”
(Anamélia)
“Na minha opinião o assunto RADICAIS como conhecimento matemático a matéria
mais difícil que já vi até agora.
Minha avaliação foi horrível pois tenho dificuldades quando junto tudo e também tenho
que estudar mais todos os dias”
(Julia Toffolo)
“Eu achei que esta matéria estava difícil, mesmo estudando em minha casa, não
consegui obter o resultado que queria nas atividades avaliativas, o que me prejudicou.
Eu achei a atividade avaliativa muito difícil, acho que o nível dela poderia ser um pouco
mais baixo, pois, mesmo estudando muito nem todos tiveram a capacidade e “tirar” nota
boa, acho que se ficarmos mais tempo estudando poderemos obter um resultado
melhor”
(Gustavo Santiago EF81)
“Eu acho que a matéria era um pouco difícil, porque há vários jeitos de fazer os
exercícios e na hora de fazer “meio” que fiquei perdido em qual era o certo.
O resultado não foi satisfatório, pois na hora da prova eu estava nervoso, e me deu um
“branco” apesar de ter estudado muito, antes da prova, e ter feito muitos exercícios com
muita calma. Eu me decepcionei comigo mesmo, não sei porque”
(Artur Miranda)
“O estudo de “Radicais” parece fácil. No entanto, quando aprofundamos nossos estudos
sobre esse assunto, percebo que se trata de uma matéria abstrata, complexa e confusa,
que não traz nenhum benefício, pelo menos por enquanto, para nossas vidas. A culpa
não é do professor, muito pelo contrário, mas é da matéria que é “impossível” de Sr
materializada. O resultado da minha avaliação, no meu ponto de vista, foi ruim. Na sala
de aula, quando o professor explica todas as questões ficam fáceis, e eu não apresento
minhas dúvidas, justamente por não tê-las naquele momento; e quando faço os
exercícios e o professor corrige-os, erro algumas coisas, mas, novamente, entendo o
meu erro. No entanto, e justamente na hora da prova, que as dúvidas começas à chega:
estranho. Eu presto atenção nas aulas, faço os exercícios propostos, estudo. E no final,
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recebo uma nota ruim na prova. Acho que as questões das provas misturam o conteúdo
dado, dificultando a sua realização. Além do mais o assunto “radicais” possui muitos
detalhes, sendo difícil colocá-los todos em prática e nos lembrar deles”
(Giselle de Souza – EF81)
“Na minha opinião radicais é uma matéria muito chata e que não vai fazer diferença
nenhuma na minha vida.
O resultado da minha prova não foi nada bom, fiquei muito triste e
decepcionada.(Apesar de fazer todos os exercícios acho que eu devo estudar mais antes
das provas)”
(Ana Flávia de Figueiredo – EF81)
“Achei muito chato porque exige muito raciocínio. Penso que minha nota da avaliação
foi na média (++-) porque errei algumas bobeiras, mas estava muito difícil)
(Úrsulla)
“Eu achei o assunto de radicais difícil porque lá na sala eu estava indo bem e na hora da
prova tirava só notas ruins, mas eu estudava e não consegui fazer quando caia exercícios
na prova com essas propriedades misturadas.
Meu resultado na avaliação foi ruim porque eu não estava conseguindo fazer
determinada questão com propriedades misturadas. Na prova também tinha exercícios
que eu errei de bobeira também. Mas eu não achei a minha nota boa”
(Breno Thiago)
“Achei difícil, realmente não gosto de matemática, mas infelizmente preciso pro futuro
então tenho que aprender, mesmo não gostando.
Posso dizer que foi muito ruim quando mistura tudo eu desespero e não saio do lugar eu
acho que sei fazer e não consigo, acho que a prova NÃO é o melhor modo de avaliar um
aluno, pois não envolve somente o conhecimento.
Voltando a prova meu resultado foi ruim eu não entendi bem a matéria.”
(Igor Ramalho – EF81)
“Esse assunto radicais é difícil, pois aparentemente ele não vai me ajudar para nada,
alem de passar no vestibular.
Quando mistura radicais, MMC, e produtos notáveis fica ainda mais difícil, porque
temos que juntar três coisas diferentes. Aí ajuda muito a confundir tudo e tirar uma nota
baixa.
O resultado da minha prova foi mediano, porque na passada eu tinha tirado TOTAL.
Por isso não gosto nem um pouco dessa matéria. Apesar de pistas de fazer contas.”
(Júlia Teixeira – EF81)
“Na minha opinião, os radicais não tem nenhuma utilidade para minha vida, mas como
na matemática tudo se tira proveitos, as vezes, os radicais podem me ajudar em algo no
futuro. Apesar de ter estudado bastante para a prova, tive muita dificuldade na resolução
da mesma, pois achei os exercícios mais difíceis do que os feitos anteriormente”
(Piercy Braga Dias – EF81)
“Eu achei muito complicado e misturava muito os assuntos, mas não é tão difícil. O que
eu tenho dificuldades são os exercícios diferentes da apostila, pois eu acho que eu não
vou conseguir fazer eles”
161
(Gabriela Amard)
“Eu pensei do assunto que é um assunto muito difícil, não vejo sentido em aprender isso
(me desculpe), mas é importante por causa das provas que faremos futuramente, como
ENEM, etc. A minha nota foi horrível, principalmente pelo assunto, mas na verdade eu
não me dou bem em provas de matemática. Na minha opinião, nas provas deveriam ter
questões menos complexas (grandes e difíceis), pois eu acho que deveriam ser, por
exemplo, todas as provas da etapa valendo 5 ou menos (com mais matérias) e a cada
prova aumenta o nível de dificuldade. Isso foi só uma idéia.”
(Eric Rodrigues – EF81)
“(O assunto) É bem interessante, mas é extremamente complicado e cheio de detalhes.
(O resultado da avaliação) Foi péssimo, não foi o resultado que eu esperava apesar de
saber que eu tinha ido muito mal”
(Maria Laura – EF81)
“Na verdade o assunto de radicais no início era legal pois era fácil mas depois foi se
complicando e aí foi se complicando e aí foi ficando mais chato, e eu não conseguia
entender tudo junto. Bom, na verdade minha nota foi ruim como a da maioria, na
verdade os exercícios da folha estudada nem se comparam com os da prova em grau de
dificuldade.”
(André Luiz Rodrigues Pereira)
“(O assunto) Eu achei muito confuso. Pois foram muitos temas sobre radicais, mas com
este assunto aprendi um pouco sobre ele como usar ele na matemática, mas não
perfeitamente como eu esperava. (O resultado da avaliação) Foi um horror, pois eu
esperava ter tirado um resultado melhor, eu acho que o fato de ter tirado uma nota ruim
foi porque o assunto abrangia muitos temas, o que me levou a confundi-los”
(Asmiro Jejum Alfredo Txitende – EF81)
“Como conhecimento matemático, o assunto radicais é bastante interessante e pode ser
bem útil para ajudar a avançar na matemática. O resultado da minha avaliação foi pelo
fato de não conseguir compreender o assunto radicais e pela minha falta de interesse no
assunto. Talvez se eu tivesse me esforçado um pouco mais para compreender, meu
resultado teria sido melhor.”
(Maria Letícia Nolasco Cardoso – EF81)
Relatório após as visitas 05/05/11
Instruções:
O relatório deverá ser feito em sala e em trio:
Os alunos deverão fazer um cabeçalho, com nome do trio e do projeto.
1) Relate o que foi possível observar nas visitas feitas. Descreva, separadamente, a
visita aos monumentos de Ouro Preto, ao templo da Pampulha e o Museu das Reduções.
2) O que despertou interesse em vocês? Por que?
3) Como a matemática esta presente nas situações e nos momentos vivenciados?
Explique.
4) Que perguntas vocês tem a fazer sobre o que viram nas visitas? Tem curiosidade
de saber mais sobre algo relacionado ao que visitaram?
5) Conclua dizendo o que esse projeto representou para vocês.
162
Relatório 8ª1
Nomes: Ana Flávia, Igor Ramalho, Úrsula Péret.
Nos monumentos de Ouro Preto foi possível observar várias figuras geométricas nas
Igrejas e na Casa dos Contos. No templo da Pampulha observamos com Oscar
Niemeyer construiu a Igreja, atrás da mesma possui desenhos com escalas. No Museu
das Reduções observamos vários monumentos históricos com escala reduzida (1:25),
também foi possível observar vários detalhes dos mesmos.
O que despertou interesse foi que na da impressão que na Igreja o frontão vai se
aproximando e as torres vão se afastando. Na Pampulha a diferença do formato da
Igreja e os desenhos no azulejo, no Museu a perfeição dos detalhes das miniaturas.
Na Igreja São Francisco de Assis a Matemática esta presente nas janelas, nas portas, nas
torres, nos telhados e em praticamente todos os lugares, na Pampulha foi no formato da
Igreja, no trapézio invertido, onde fica o sino, nos azulejos quadriculados e etc., no
Museu das Reduções foi possível observar na perfeição dos monumentos reduzidos pela
escala de (1:25).
Gostaríamos de saber sobre a construção das Casas dos Contos. Alguém tem intenção
de continuar a fazer as reduções. Ainda são celebrada as missas na Igreja.
Esse projeto esta representando diversas coisas, uma delas é poder observar a
matemática de um outro modo, de que a proporcionalidade é muito importante. Com os
monumentos reduzidos foi possível detectar detalhes praticamente “invisíveis” no
tamanho real do monumento. Por exemplo, detalhe dos telhados das casas, dos quintais
e terrenos. No Palácio do Planalto foi possível ver muitos detalhes que nunca tínhamos
percebido no tamanho real.
Nomes: Júlia Pimenta, Jhennyffer Silva, Gabriel Barbosa
Neste trabalho, nós percebemos em cada lugar coisas diferentes. Em Ouro Preto
nós vimos a arte barroca de Aleijadinho esculpida na Igreja São Francisco de Assis, lá
nós percebemos a diferença entre esta igreja e as outras de Ouro Preto o óculo aberto e
sem janelas, a torre da impressão de movimento, tem canhões, torres em forma de
fortes, granadas e as pontas das torres em formato de capacete, homenageando São
Francisco de Assis que era um militar. Dentro da Igreja observamos que na pintura do
teto á anjos mulatos, em homenagem a mulher de Manuel da Costa Ataíde. Vimos perto
do Altar Mor um quadro da Santa Ceia que apresentava objetos que não existia naquela
época. A Igreja apresenta uma boa acústica, um púlpito perto do Altar Mor, em vez de
ser no meio da Igreja. Do lado de fora da Igreja, nós medimos a largura e a altura da
porta principal, largura e altura da porta falsa, espaço entre as almofadas e muitas outras
medidas. Tudo isso para entendermos razão áurea e proporcionalidade.
Na Casa dos Contos nós conhecemos um pouco mais sobre a história de Ouro Preto.
Conhecemos as ferramentas usadas contra os escravos e pelos escravos, como eram os
banheiros, como funcionava os esgotos. Descobrimos as várias funções que já teve a
Casa dos Contos. Na parte onde fica as moedas, percebemos a desvalorização das
moedas, por exemplo: 1.000 cruzeiros são iguais a 1 real. Com isso conhecemos que a
inflação favorecia os ricos e não os pobres.
Na Igreja da Pampulha nós conhecemos mais sobre a vida de um grande arquiteto,
Oscar Niemeyer e seu modo de fazer construções arredondadas. Conhecemos também o
trabalho de Cândido Portinari. Na Igreja nós conseguimos ver várias formas
163
geométricas e a proporcionalidade. No Museu das Reduções nós vimos monumentos
que vemos todos os dias em miniaturas, como, a Câmara Municipal de Mariana e a Casa
dos Contos. Conhecemos as histórias dos autores das miniaturas, como eles faziam as
miniaturas e a importância das reduções. Os mosaicos das Igrejas da Pampulha,
despertou muito interesse em nós, por causa da beleza dos desenhos.
Nomes: André, Arthur e Percy
Em Ouro Preto na Igreja de São Francisco de Assis nos podemos observar os
mínimos detalhes da fantástica obra de Antônio Francisco Lisboa (Aleijadinho), e as
lindas pinturas de Emanuel da Costa Ataíde. Logo depois fomos a visita da Casa dos
Contos, a instrutora nos orientou e nos mostrou um pouco das histórias dos
inconfidentes, que usavam a casa como ponto de recolhimento de impostos. Em Belo
Horizonte, na Pampulha podemos observar o projeto de Oscar Niemayer, dentre isso
observamos a torre do sino que tinha formato de um trapézio invertido e as obras
internas e externas da igreja feita por Cândido Portinari. Já em Amarantina no museu
das reduções observamos as miniaturas feitas pelos quatro irmãos que já faleceram, suas
miniaturas eram feitas na escala de 1:25.
Nós nos interessamos de como as obras foram feitas a perfeição de cada uma e
os mínimos detalhes. A diferença da arte antiga e da arte moderna.
A torre da igreja da Pampulha que tem o formato de um trapézio invertido, a
torre da Igreja de São Francisco de Assis com formas geométricas, a escala em que foi
feita as miniaturas e o retângulo áureo presente em quase todas as obras.
Teríamos curiosidade de saber como os artistas tem tanta inspiração para realizar
suas obras e quanto tempo eles demoram, quais ferramentas eles usam e como eles
planejaram as obras.
Esse projeto foi muito importante para nosso aprendizado, pois conseguimos ter
uma noção maior de escala, retângulo áureo e várias outras coisas.
Nomes: Bárbara Ribeiro, Larissa Mappa e Breno Rodrigues
Igreja São Francisco de Assis: podemos observar o olhar e a vertigem caudadas
pelas torres serem mais afastadas do frontão, a acústica da igreja é perfeita, óculo na
frente é tampado, e para conseguir iluminar o interior, os óculos são nos lados, vários
detalhes nos lados externos da igreja, são referencias de guerra, a cruz é de dois lados, o
maior representa o pode de Deus e o menor o poder dos homens, no lado interno da
igreja, já podemos observar também, que um anjo não tem a cabeça, as partituras
desenhadas no teto são de músicas verdadeiras, entre outros.
Casa dos contos: neste local podemos observar a história das cédulas e que lá era
conhecido como Casa da Moeda, a história dos escravos. Indexação era que a cada ano
tudo se desvalorizava. O quinto do ouro era de 20% do valor do ouro que você possuía
ia para a coroa.
Museu das Reduções: o Museu das Reduções foi criado por quatro irmãos e
todos produziam as maquetes. A Evangelina fiava encarregada de ir no local fotografar
e conhecer a história, Silvia ficava com todas as partes em pedra e sabão e o Décio e
Enio dividiam entre si o restante. A escala das maquetes eram feitas em 1 para 2s. A
Igreja São Francisco de Assis de Ouro Preto ficou inacabada devido ao falecimento
delas.
Igrejinha da Pampulha: na igrejinha da Pampulha nós podemos observar que do
lado de fora da igreja tem um triângulo invertido, as pinturas nos azulejos foram feitas
164
por Portinari, ela foi projetada por Oscar Niemayer, por muito tempo os católicos não a
aceitavam como uma igreja por causa do seu formato e por ficar perto de uma de jogos
e festas.
Casa do Baile: a casa do baile, era uma casa dançante, onde as pessoas iam
quando saiam do cassino, então, quando o cassino fechou a casa ficou sem movimento e
depois ficou abandonada por muito tempo e habitada por mendigos. Depois ela foi
restaurada e agora é um museu. A casa do baile também foi projetada por Oscar
Niemayer.
Em nós despertou interesse em saber em quais coisas, lugares e objetos existem
retângulo áureo, em conhecer melhor o patrimônio da nossa cidade e região, pois como
eles estão muito próximos de nós, agente pensa que conhecemos ele, mas na verdade
não conhecemos.
A matemática esta presente em todas situações por nós vivenciadas. Como por
exemplo nas construções, nos mapas, nos carros, nos retângulos áureos, nos animais,
nas plantas, nas conchas do mar, etc.
O projeto esta representando para nós um grande conhecimento sobre as coisas
que antes nos não tínhamos nenhum conhecimento, como por exemplo o retângulo
áureo.
Nomes: Maria Letícia, Maria Laura e Francisco
Com a visita a Ouro Preto observamos que a matemática estava presente na
nossa história antes mesmo de Cristo. A visita ao templo da Pampulha, nos mostrou
que, que ate mesmo na arte possui matemática, como exemplo retângulo áureos. O
museu das reduções, nos ajudou com o trabalho das escalas. As miniaturas reproduzidas
pelos quatro irmãos são muito bem feitas, porém suas escalas não são precisas, já que os
materiais utilizados por eles não eram os mais adequados.
Em Ouro Preto, na Igreja São Francisco de Assis, o efeito de vertigem e as
janelas nas laterais para a entrada de luz e no museu as moedas e suas mudanças através
do tempo. Na Igreja da Pampulha, o que mais me interessou, foram as formas curvas
predominantes e cubismo de Portinari. Nas medidas que foram utilizadas na construção
da Igreja de São Francisco, Igreja da Pampulha e das maquetes, nos desenhos das
igrejas da Pampulha o cubismo esta presente. Estava presente nos detalhes das igrejas.
Este trabalho representa para nós que a maravilhosa matemática, esta presente
em todos os lugares e pode ser bem mais interessante saindo da teoria. Também, foi
interessante observar a arquitetura de Niemayer e a arte de Portinari. Sobre o museu das
Reduções, é interessante observar, como foram feitas as reduções, tão perfeitas com tão
pouco recurso da época.
Nomes: Giselle Rezende, Gabriela Amaral, Irã Dias e Gustavo Santiago
Quando visitamos a Igreja de São Francisco de Assis, aqui em Ouro Preto,
pudemos observar o efeito da vertigem, quanto o Frontão vem ao seu encontro e as
torres desaparecem. Além de sua bela história, de sua construção ate se tornar uma das
sete maravilhas Portuguesas, e a presença de várias formas geométricas e influências
militares (granadas incendiando, bocas de canhão).
Ao visitarmos a Casa dos Contos, descobrimos que ali cunhavam as moedas,
vimos relíquias da época Colonial e medimos o comprimento e as larguras das portas,
janelas e da fachada, além da desvalorização da moeda.
165
Na Igreja da Pampulha, observamos o estilo diferenciado de Oscar Niemayer,
causou a relutância da Igreja Católica e de algumas pessoas em aceitá-la como templo
de Deus. Além das pinturas de Cândido Portinari, que imitavam o cubismo
originalmente feito por Picasso.
No Museu das Reduções nos deparamos com 27 miniaturas de vários
monumentos brasileiros, com escala 1:25. Essas reduções foram feitas por quatro
irmãos: Angelina, Sylvia, Enio e Décio, que utilizavam os seguintes materiais: concreto,
madeira, pedra-sabão, metais e barro, para as telhas. A Igreja de São Francisco de Assis,
não teve sua redução pronta. Os irmãos morreram sem terminá-la, não havendo
descendentes que sabiam as técnicas de fazer miniaturas.
O que nos despertou interesse nessas excursões já o fato de que nós podemos
entender melhor o assunto relacionado a proporcionalidade, pois dessa forma
aprendemos a olhar as formas ao nosso redor de uma forma diferente. Podemos concluir
que essa excursão foi uma ótima oportunidade para melhor entender os conceitos de
escala e proporcionalidade, alem de adquirir uma educação patrimonial.
Nomes: Eric, Chrisley, Júlia Tóffolo
Podemos observar que a Igreja era uma obra de Aleijadinho, que foi um
arquiteto, escultor e pintor muito perfeccionista. A Igreja é constituída de arte barroca.
Fomos a Casa dos Contos e tiramos medidas das portas e janelas e paredes para
compararmos com a maquete (no museu das reduções)
A Igreja possui várias formas geométricas e iremos verificar se nas portas existe
razão áurea.
Vimos maquetes de monumentos que medimos e que percebemos é igual a 1:25. A
matemática esta presente na natureza e em todos os lugares. As construções de
monumentos, pois por trás de toda a criação tem matemática. Como conseguiram criar a
razão áurea e porque a razão de um retângulo de ouro tem que ter 1,618...?
Esse projeto representa nosso conhecimento sobre a matemática em todos os lugares e
como utilizá-la.
8ª 2
Nomes: Catarina, Mara, Emília e Octávio
Pudemos observar, nos monumentos de Ouro Preto, no Templo da Pampulha e
no Museu das Reduções a Arte viva aos nossos olhos. A diferença entre a Igreja da
Pampulha e a Igreja do São Francisco de Assis, são nítidas. Na Igreja da Pampulha as
imagens eram pintadas por Cândido Portinari. Oscar Niemayer aproveitou nitidamente
de formas de formas geométricas, conseguindo fazer uma bela construção, a arte
exterior era inteiramente de azulejos, algo muito inovador para uma igreja.
Na Igreja de São de Francisco de Assis, era repleta de arte barroca e formas
geométricas. No interior, a pintura do teto, pôde chamar a nossa atenção tanto por sua
beleza, quanto por fatos interessantes, como o anjo sem cabeça e a partitura pintada.
Que realmente formava uma música.
Já no Museu das Redações, eram obras com detalhes incríveis, como: a parte de
baixo da sacada da Casa dos Contos, as panelas dentro de uma das reproduções, a água
corrente simulando um rio que passa perto dos monumentos e produzindo energia para
as lâmpadas do local.
A matemática estava presente através da razão áurea nos vidros da igreja da
Pampulha, na casa do Baile, nas reduções do museu e na Igreja de São Francisco de
166
Assis. Observamos também a proporcionalidade e a escala nesses monumentos,
principalmente no Museu das Reduções. Ficamos muito curiosos em saber o tempo de
construção de cada monumento e se o efeito provocado pela Igreja de São Francisco,
em Ouro Preto foi proposital. Enfim, foi uma grande experiência para nós três, onde
pudemos aprender muito sobre os monumentos do Brasil.
Nomes: Pedro Henrique Silva, Igor Jurandir, e Isabella Gurgel
Ao visitar os monumentos em Ouro Preto, observamos a arte barroca presente nas
igrejas e museus e também as formas geométricas, representadas nos monumentos.
Percebemos que as medidas dos pontos e colunas das igrejas são proporcionais,
abrangendo os detalhes das obras dos autores, no caso Aleijadinho e Manoel Ataíde.
Em relação ao Templo da Pampulha, foi possível analisar a estrutura
diferenciada, marcada pelas formas de curvas, preferência do autor, Oscar Niemayer
(arquiteto+paisagismo+arte). A torre em forma de triângulo isósceles foi bem marcada,
assim como as pinturas de Cândido Portinari e os formatos quadriculados presente do
lado de fora desta.
Já no Museu das Reduções, podemos ver como uma obra de grande porte pode
ser reduzida de forma detalhada e perfeita. Vimos a escala 1:25, utilizada como base nas
reduções dos monumentos, e também entendemos como o uso dos escalímetros são
essenciais neste tipo de trabalho. O que mais nos despertou interesse foram as reduções
dos monumentos, marcados por uma escala semelhante e pela perfeição com que tudo
foi feito, sendo que cada detalhe é único. É possível perceber a presença da matemática
nessas situações quando se observa a estrutura com que cada monumento foi feito,
marcada pela altura, largura e distância proporcionais, e também pelas formas
geométricas (quadrado, triângulo).
Temos curiosidade de ver como são feitas as reduções e como eram feitos os
vidrinhos que ficavam em suas janelas. Saber quando demorou para fazer o quebra-
cabeça, que há dentro, da igreja da Pampulha, e qual a relação da igreja da Pampulha
com a igreja de Ouro Preto, em relação a altura delas.
Para nós, este projeto representou mais um momento de aprendizado, mostrando
que as formas geométricas estão presentes em todos os lugares, mesmo sem
percebermos.
Nomes: Fernanda, Hugo e Thaís
Foi possível observar nas visitas aos monumentos de Ouro Preto que as obras
foram feitas em perspectivas, constituídas em grande parte por formas geométricas.
Já o templo da Pampulha, podemos observar que foi uma construção ousada por
não seguir o padrão normal das outras igrejas, por ter formas curvas, partes hidráulicas
na área externa e interna, as pinturas que retratam emoção e tem o poder de expressar os
sentimentos.
No Museu das Reduções podemos observar todas as obras visitadas
anteriormente em um tamanho reduzido na escala de 1:25. Despertou e, nós um olhar
totalmente diferente e um pouco mais centralizado a matemática, pois, agora sim esta
comprovado que a matemática esta em vários lugares. A matemática esta presente por
exemplo: em formas geométricas, pinturas proporcionais, as dimensões do
comprimento, largura e etc...
Em relação a duvidas nós não temos nem uma, pois, na nossa opinião tudo foi
muito bem explicado. Uma nova visão sobre a matemática, acho que a partir desse
167
passeio iremos observar mais as igrejas, museus... tudo, pois, a matemática está presente
em nosso cotidiano.
Nomes: Vanessa Assis, Ana Paula e Ana Luisa
Foi possível observar com visita ao monumentos de Ouro Preto, a forma como
Aleijadinho criava suas artes, a partir dos seus poucos conhecimentos, porque não teve
um bom estudo.
Na Casa dos Contos podemos concluir antigamente as pessoas tinha coisas
grandes para poucos moradores e também pudemos aprender mais sobre o período da
corrida do ouro. Ao todo podemos observar que na construção destes dois monumentos
foram usadas várias formas geométricas.
No templo da Pampulha pudemos observar que Niemayer utilizava as curvas
para a construção dos seus trabalhos e o retângulo áureo nas portas do templo, também
vimos que Portinari pintava suas obras a partir de formas geométricas e seus desenhos
eram quadriculados. No Museu das Reduções, pudemos observar que o escalímetro foi
o único objeto utilizado para a construção das relíquias da arquitetura brasileira, e cada
detalhe foi bem representado. Todas as obras utilizavam escala de 1:25.
O que despertou interesse no grupo foi descobrir que a matemática está em tudo
ao nosso redor, e como as obras podem ser reduzidas perfeitamente. Devido a aplicação
real do que vimos na sala com o nosso cotidiano.
As perguntas que temos a fazer são:
Como os matemáticos conseguiram chegar as formas com tanta precisão e ter dado tão
certo.
Como os criadores do Museu da Reduções conseguiram com seu vasto conhecimento,
criar reduções.
Este projeto está representando para nós uma atividade interdisciplinar, que esta
nos ajudando a compreender a matemática no nosso dia a dia.
Nomes: Laura Oliveira, Letícia Netto, Maria Heloisa.
Vamos começar falando sobre a Igreja São Francisco de Assis, que foi feita por
Aleijadinho, observamos que ela construída de uma maneira diferente das outras, com
um estilo militar.
Em Ouro Preto ainda visitamos a Casa dos Contos, que era uma casa de João Rodrigues
de Macedo, que abrigava escravos em suas senzalas. Quando o governo na época
assumiu a casa, a transformou em museu para contar a histórica da época em que
Macedo viveu.
Em Belo Horizonte, na Pampulha, visitamos a outra igreja São Francisco de
Assis, foi construído por Joaquim Cardoso e por sua estrutura com telhados azuis,
paredes de azulejos e uma torre parecida com um tridente, ela foi fechada por 16 anos.
Visitamos em Amarantina, o Museu das Reduções projetada pelos irmãos
Vilhena, Ênio, Décio, Evangelina e Sylvia. Esse foi o lugar que nos despertou mais
interesse, pois esses irmãos conseguiram reduzir com muita precisão matemática os
monumentos históricos. Vimos a partir dessa excursão com mais clareza que cada
monumento histórico contém várias formas geométricas, e alguns deles possuem o
retângulo áureo nas suas contruções.
168
Nós queríamos saber como convenceram a população a reabrir a Igreja da
Pampulha, já que eles tinha receio dela.
E para concluir queremos dizer que com esse trabalho aumentamos nossa
percepção sobre o meio em que vivemos e conhecemos as histórias destes monumentos.
Nomes: Jéssica Costa, Rodrigo Grammont, Hully Moreira
O ser humano está procurando sempre inovar, e a matemática está sempre
presente. Nós podemos observar que tudo depende da matemática que os números
regem a vida. Por exemplo, a visita a Igreja São Francisco de Assis, em Ouro Preto nos
abriu a mente para outro jeito de ver a cidade, nos mostrou o quanto o ser humano é
inteligente, nesse caso o Aleijadinho. A visita ao templo da Pampulha nos fez perceber
o quanto a nossa mente foi evoluindo, o quanto a visão do mundo mudou, do barroco
para o moderno e ainda assim, La estava a matemática . No caso da visita ao museu das
Reduções, mais uma vez a inteligência e a matemática estavam presentes, porem dessa
vez, nos ficamos mais intrigados com a maneira que os quatro irmãos fizeram as
reduções, com poucos instrumentos adequados e com toda aquela perfeição. O que nos
interessou bastante, foi saber com que amor os irmãos cuidaram do museu das reduções
por tanto tempo, cada um ficou responsável por determinadas coisas e isso nos
impressionou bastante. Os monumentos lá contidos são de uma beleza impressionante e
saber como ficam perfeitos os monumentos em proporções. Depois de termos ido nessa
viagem conseguimos perceber figuras geométricas por todos os lados.
Podemos perceber que a matemática esta presente em tudo. No formato do
ônibus, na kilometragem do caminho, ate nos monumentos, as curvas tortas das
montanhas, na perfeição das montanhas, na perfeição das construções, na balança do
restaurante, bom, esta presente em tudo, e sem a matemática seria impossível perceber
tudo isso.
Bom, as questões nas quais tivemos dúvidas tiramos todas nas excursões. Porém
há uma questão que ficou sem resposta: como quatro irmãos sem estudo e material
apropriado puderam fazer um trabalho tão bonito e perfeito.
Com isso pudemos aprender coisas novas, sobre assuntos não estudados ate o
momento, e nos faz perceber o quanto a matemática está presente em nossas vidas .
Figuras geométricas estão presentes em nossas vidas e muitas vezes passamos e não
percebemos. Nos ajudou a ver a vida de uma forma até então nunca vista.
Nomes: João Vitor Gomes de Freitas, João Paulo Coelho Silva, Paulo Vitor Santana.
Quando visitamos a Igreja São Francisco de Assis, podemos ver obras do
escultor Aleijadinho, pinturas e detalhes que não veríamos sem auxílio. Conseguimos
observar o formato que a igreja possui e ver todos os seus detalhes interiores. Já na
Casa dos Contos voltamos ao tempo, até no tempo onde Ouro Preto era um grande
produtor de ouro, nesta época a nossa cidade transformava o ouro e o carimbava tirando
o quinto para que o ouro passasse a valer. Vimos que todo esse trabalho era feito por
escravos, torturados e maltratados por ferramentas da época. Nós podemos observar que
a igreja tinha pinturas de Portinari e o projeto foi de Niemayer. Era uma Igreja fora do
comum com símbolos comunistas.
No museu das Reduções, podemos observar miniaturas quase perfeitas de
monumentos de todo o Brasil na escala de 1:25, feitas por quatro irmãos. As quase
perfeitas miniaturas de monumentos em todo Brasil, porque conseguimos ver pequenos
detalhes que vimos em alguns monumentos.
169
A matemática estava presente em todos os locais e monumentos visitados por
nós. Em alguns monumentos podemos perceber, figuras geométricas e escalas variadas,
por exemplo a Igreja da Pampulha e a casa do baile virou museu.
Nossa curiosidade sobre a excursão é como fazem missas na Igreja da Pampulha
e porque a casa do baile virou museu. Este projeto está representando para nós que ao
passar dos anos os monumentos não estão esquecidos, eles ainda estão aqui para que
possamos apreciá-los.
Nomes Karla Carvalho, Laís Barros e Patrícia Consciente.
Nas visitas feitas, observamos a presença da matemática de formas variadas nos
monumentos. Na capela da Ordem 3ª de São Francisco de Assis, o uso da matemática
gerou efeitos curiosos na obra. Na Casa dos Contos, foi possível perceber um grande
número de formas geométricas que geralmente não observamos no nosso dia a dia. No
Templo da Pampulha, notamos formas diferentes e tentamos manter a
proporcionalidade ao fazer uma cópia de uma das cenas de Cândido Portinari.
No museu das Reduções, as réplicas (que eram idênticas aos monumentos reais,
porém, reproduzidas em uma escala menor) despertam o nosso interesse, afinal, foi um
trabalho artístico muito bem realizado. Após a realização desta atividade, passamos a
observar melhor a matemática em diversos lugares, que nunca havíamos percebido
antes: alimentos, telhados, flores, animais... a matemática esta em toda parte. Isto é
fantástico!
Sobre o que vimos nas visitas, compreendemos as explicações e não temos
dúvidas relacionadas aos temas abordados. Temos muita curiosidade em saber mais
sobre o assunto. Aguardamos novas oportunidades para ampliar ainda mais os nossos
conhecimentos.
Para nós o projeto foi uma maneira diferente e agradável de tornar o estudo da
matemática mais leve. Agora restam as perguntas: será que este estudo interdisciplinar
nos interessou apenas durante as excursões?
IMPRESSÕES DOS ALUNOS SOBRE A AVALIAÇÃO OCORRIDA NO DIA
09/06/2011
1) Escreva em linhas gerais o que você achou desta avaliação.
Achei uma boa prova, porque tinham várias questões, para que ninguém perdesse
muitos pontos. E como a gente já tinha feito várias atividades sobre o assunto, não tive
muita dificuldade.
Eu gostei muito dessa avaliação, tudo o que tinha nela foi dado em sala. Teve mais
questões, o que eu achei bom, pois, nos dá mais chance de ganhar nota melhor.
Eu acho que a avaliação foi de uma certa forma fácil, porque a matéria era pequena, mas
infelizmente errei algumas questões de bobeira e não fechei a prova.
Eu achei que estava em nível bom, não estava muito fácil nem difícil. Tinha muitas
questões, mas como podia usar a calculadora não foi problema.
Pois é, foi uma das melhores que eu fiz esse ano. Bom, tirando alguns vacilos que dei,
eu fui bem.
170
O conteúdo dessa prova foi mais fácil, e tinham bastante questões, se não fosse boa em
algumas, seria em outras e sua nota não ficaria prejudicada.
Achei boa, não só por ter tirado nota boa, mas também por ter entendido a matéria e não
confundi na hora da prova.
Essa avaliação foi muito mais fácil em relação a primeira avaliação (1ª etapa), que
envolveu radicais, apesar de ambas terem sido bem grandes, a 2ª prova foi de fácil
compreensão, pois, tratava de conceitos que podemos observar no nosso dia-a-dia
Eu achei a avaliação fácil, pois, houve muito tempo para a realização da mesma e
também pelo fato de que todas as questões estavam no livro. O grande número de
questões facilitou muito para aqueles que erravam uma ou duas questões, pois os
mesmos não perderam tantos pontos, quanto eles perderiam se a prova fosse menor e
com mesmo valor.
Eu achei a avaliação muito fácil, apesar de minha nota não ser tão boa, mas a matéria
estava muito fácil de ser compreendida. Eu também achei a prova muito extensa, afinal,
eu deixei duas questões em branco.
Eu achei que a avaliação tinha algumas questões um pouco complicadas. Também achei
que ela estava grande e tivemos pouco tempo pra fazê-la, não consegui terminá-la e fui
prejudicado, pois, com isso não alcancei a nota que queria.
Na minha opinião. Essa avaliação não estava difícil. A única coisa que eu não gostei, foi
quando eu estava começando a última questão, o tempo acabou.
Foi uma avaliação longa e difícil, mas também tinham questões bem leves.
Eu achei que estava meio difícil, mas eu tenho que estudar mais para entender.
Esta avaliação estava mais longa que a outra mas, tinham questões fáceis e também
difíceis.
Achei que a avaliação não estava muito difícil, nem muito fácil. Estava longa, mas
tínhamos bastante tempo para respondê-la.
Achei extensa , porem é melhor assim, porque dá mais chance dos alunos acertarem.
Tivemos mais oportunidades.
Na minha opinião foi difícil e longa. Devia ter questões fechadas.
Eu achei a avaliação ate fácil, pois eu já havia estudado todo o conteúdo.
Para mim foi mais fácil, porque a matéria é mais fácil de entender e mais interessante.
Achei essa avaliação mais tranqüila porque quase todas as questões envolvia o mesmo
raciocínio, se você soubesse o que fazer você se daria muito bem gostei dessa avaliação
e dessa matéria em geral.
171
Nesta avaliação eu fui muito bem, porque a matéria foi a mais fácil, foi uma das
melhores avaliações.
Achei esta prova mais fácil do que a outra, pois, o assunto era mais legal e exigia em
quase todas as questões a mesma linha de pensamento.
Nessa avaliação eu sai muito bem, foi uma das melhores avaliações, achei a matéria
muito fácil e consegui tirar uma boa nota.
Não achei muito difícil, nós aprendemos a matéria bem e os conhecimentos foram bem
aplicados na prova.
Eu achei a prova muito boa, acho que a matéria ajudou bastante, mas as questões bem
estavam de fácil compreensão, resultando em notas bem melhores que as anteriores.
Eu achei que essa avaliação foi diferente das outras, porque além de saber melhor a
matéria dessa vez, eu me sai melhor.
A última avaliação de Matemática foi extensa, mas o conteúdo estava totalmente de
acordo. Espero que as outras provas sejam iguais.
Para mim esta avaliação foi muito interessante, apesar de ter sido longa, não me deixou
entediada e insegura durante a prova.
Gostei muito dessa avaliação, todas as questões foram estudas com explicações claras, a
folha de exercício também ajudou bastante.
De forma geral, essa avaliação foi fácil, pois, fizemos várias atividades sobre a matéria
e por isso a maioria dos alunos tirou nota boa.
A avaliação estava extensa, porem as questões eram simples, objetivas e rápidas.
A avaliação estava extensa porém as era, simples, objetivas e rápidas de resolver.
A prova foi muito tranqüila, pois a matéria estava muito tranqüila.
A avaliação não estava difícil, mas complicada.
Gostei muito dessa avaliação, todas as questões foram estudas com explicações claras, a
folha de exercício também ajudou bastante.
Para mim esta avaliação foi muito interessante, apesar de ter sido longa, não me deixou
entediada e insegura durante a prova.
De forma geral, essa avaliação foi fácil, pois, fizemos várias atividades sobre a matéria
e por isso a maioria dos alunos tirou nota boa.
A avaliação estava extensa, porem as questões eram simples, objetivas e rápidas.
172
A prova foi muito tranqüila, pois a matéria estava muito tranqüila.
Esta avaliação não estava tão difícil, a única questão que errei foi por causa da escala,
eu fiquei confusa, mas já entendi a questão.
Eu achei muito interessante, e teve muitas questões, e isso dá mais oportunidade para a
pessoa tirar uma nota melhor.
A prova estava fácil, mas eu acho que eu poderia ter me esforçado mais.
Foi boa , ficou num nível bom, a matéria foi bem explicada.
Achei boa, pois a prova foi baseadas nos exercícios da lista e do livro.
2) Em sua opinião, no que essa avaliação difere de outras que você já fez neste ano
em Matemática?
Ela se difere porque conseguimos associar esse assunto as coisas do dia-a-dia e também
radiciação era muito difícil.
Essa foi mais fácil porque eu sabia a matéria, o que não aconteceu por exemplo, na
prova de radicais.
Eu tive mais facilidade em fazê-la, também entendi bem o assunto, apesar de errar
questões de escala.
Eu fui melhor nessa avaliação porque a matéria era mais fácil de entender, a matéria não
é algo abstrato como radicais, então é mais fácil entender.
Ela é mais prática e real, e também, nessa etapa eu ando me esforçando mais e consigo
prestar mais atenção na aulas. Os conteúdos. Alguns facilitam o entendimento mais que
outros.
Ela se diferencia no conteúdo, a primeira havia mais conteúdo do que na qual fizemos
esta etapa. Por isso eu me confundi na primeira prova em relação a prova desta etapa.
Essa avaliação difere de outras que eu fiz neste ano em matemática nos seguintes
aspectos: objetividade, simplicidade e trata de uma matéria de fácil compreensão.
As atividades propostas, pois, elas foram mais fáceis, isso porque a matéria da prova
teve um aprendizado mais simples.
A avaliação se difere na matéria, que é a matéria que eu compreendi mais rápido, pois,
há como colocar o conteúdo em prática.
Ela estava muito grande e não havia tempo pra fazê-la.
Na minha opinião, esta avaliação estava mais fácil do que a prova em que eu me dei
mal, porque eu aprendi mais a matéria dessa prova do que da prova que eu me sai mal.
173
Parece que nessa matéria eu entendi mais, porque eu posso ter saído mal nas duas
provas, mas nessa matéria que caiu na ultima prova estava bem mais fácil.
Essa foi uma avaliação mais longa que a outra, a matéria foi um pouco mais fácil.
Nessa avaliação eu estudei mais então eu tirei uma nota melhor, e os exercícios da
prova estavam parecidos com a lista.
Foi mais extensa, porém a matéria era um pouco mais fácil.
As outras foram menores e bem mais difíceis (radicais), aprendi mais nesta que nas
outras.
As outras provas pra mim foram mais difíceis , porque os outros conteúdos eram mais
complicados.
Apesar do número de questões, o que diferencia foi a matéria.
Acho que essa avaliação tinha uma matéria mais fácil, se você soubesse a matéria, se
daria muito bem.
Pois essa como já falei, exigia a mesma linha de pensamento em quase todas as
questões.
Essa avaliação se difere, pois foi a matéria mais interessante e mais fácil, por isso me sai
bem na prova.
Ela difere porque é uma matéria muito mais interessante e mais fácil de ser estudada.
Quase tudo, eu consegui fazer as questões.
A matéria, que é mas fácil de entender, podendo aplicar no cotidiano.
O conteúdo foi mais fácil de entender e eu sai bem melhor do que nas outras.
Esta avaliação estava totalmente de acordo com o livro, por isso a maioria das pessoas
foram bem.
Em minha opinião esta avaliação me deixou muito mais segura em relação as outras, e
além disso, na nota melhorou bastante.
As outras eu achei que as questões tinham um grau de dificuldade bem grande.
Essa avaliação se difere das outras que fizemos neste ano, porque nas atividades
anteriores utilizamos o Teorema de Tales, em coisas do nosso dia a dia.
O fato de eu saber bem a matéria, achei a avaliação tranqüila e fui bem.
174
O fato de eu saber mais a matéria, achei a avaliação tranqüila, e fui bem em relação as
outras.O modo com que a prova foi aplicada. As outras estavam mais difíceis.
A última avaliação de Matemática foi extensa, mas o conteúdo estava totalmente de
acordo. Espero que as outras provas sejam iguais.
Esta avaliação estava totalmente de acordo com o livro, por isso a maioria das pessoas
foram bem.
Em minha opinião esta avaliação me deixou muito mais segura em relação as outras, e
além disso, na nota melhorou bastante.
As outras eu achei que as questões tinham um grau de dificuldade bem grande.
Essa avaliação se difere das outras que fizemos neste ano, porque nas atividades
anteriores utilizamos o Teorema de Tales, em coisas do nosso dia a dia.
O fato de eu saber mais a matéria, achei a avaliação tranqüila, e fui bem em relação as
outras.
O modo com que a prova foi aplicada. As outras estavam mais difíceis.
Ela se difere por ser com questões mais fáceis e por termos entendido melhor a matéria.
As questões estavam mais fáceis de compreender e eu me saí muito melhor q nas
anteriores.
Na facilidade, só não fui melhor porque não me esforcei. Sim, foi a mais longa do ano.
Eu sabia a maioria dos exercícios, entrou na prova questões que estudamos em sala, e
questões fáceis.
Sim, as outras eram mais difíceis, essa por ter sido mais explicado , com mais
exercícios, mais tempo... foi mais fácil.
3) Você acha que neste assunto o aprendizado ocorreu?Justifique
Acho, porque quando gosto do assunto aprendo mais fácil.
Sim, acho que porque eu prestei mais atenção na aulas, gostei da matéria e também você
explicou melhor.
Não sei se para todas, mas para mim com certeza. Pois, estudei bastante.
Sim, além de ser mais fácil aprender, foi possível ver o que estava fazendo.
O aprendizado ocorreu sim, e eu não vou diz der que nas outras provas o aprendizado
não ocorreu, ele ocorreu, porém a última matéria é mais simples e prática, por isso tem a
idéia de que aprendemos mais.
175
Acho a matéria menos confusa e já estamos a muito tempo estudando baseados nisso.
Sim, não só por ter tirado uma boa nota. Porque não tive muitas dúvidas nas matérias
sobre Tales, Bissetriz e escala, foi um dos motivos por ter entendido as matérias e ter
aprendido.
Neste assunto o aprendizado ocorreu. Porque o assunto é mais fácil, observável no
nosso dia-a-dia, o professor superou em todos os sentidos o modo de nos ensinar, etc.
Sim, as explicações foram mais claras, e a matéria também.
Sim, tive pouquíssimas dúvidas no conteúdo, além de ter tirado uma nota boa.
Sim. Porque eu consegui entender quase tudo da matéria.
Sim, eu pelo menos consegui aprender a matéria.
Sim, porque eu consegui observar o conhecimento e a matéria é mais fácil também.
Sim, o aprendizado ocorreu, sendo que a matéria da última prova foi mais ou menos
fácil, a outra prova de radicais foi horrível.
Ocorreu pois este assunto nos temos como aplicá-los no dia-a-dia. Exemplo Igreja da
Pampulha.
Sim, pois eu aprendi muitas coisas.
Mais ou menos. Porque a matéria exigia um esforço grande. Mas apesar disso, eu gostei
um pouco.
Radicais não ocorreu, pois, fiquei desatenta em algumas aulas. Nas outras sim, pois o
professor explicou melhor e prestei mais atenção.
Sim, os exercícios feitos em grupos ajudaram bastante no aprendizado do conteúdo.
Eu acho que sim pois, quase todas as pessoas foram bem nesta avaliação.
Sim aprendi muito mais, a matéria era bem mais fácil de compreender.
Neste assunto o aprendizado ocorreu, porque aprendi a matéria.
Sim, acho que o aprendizado ocorreu tranquilamente, pois, o assunto era mais fácil de
compreender.
Sim, pois, a matéria foi mais fácil e por isso tirei uma nota boa.
Sim, porque se eu tirei uma nota abaixo da média, foi por falta de atenção.
Ocorreu, porque os trabalhos ajudaram muito na compreensão e aprendizado.
176
Sim, porque eu me sai bem na prova.
Sim, nas aulas as explicações foram repetitivas e completas, isso ajudou no aprendizado
do conteúdo.
Eu acho q o aprendizado ocorreu, porque foi um assunto muito interessante, que ficou
mais claro em relação aos outros conteúdos de Matemática.
Sim, tudo foi muito bem explicado e a lista de exercícios ajudou bastante no
aprendizado.
Ocorreu, porque conseguimos compreender melhor o assunto.
Sim, porque compreendi bem a matéria, fiz a prova sem dificuldade.
Sim, porque compreendi a matéria, fiz a prova sem dificuldade, estou acertando os
exercícios de casa, e não precisei de aulas particulares.
Sim, pois a matéria foi bem aplicada.
Sim, porque o assunto não é tão difícil.
Sim, eu acho que o aprendizado ocorreu, pois, estudamos e entendemos a matéria, por
causa da quantidade de exercícios.
Eu entendi a matéria, consegui realizar melhor as questões, então o aprendizado
ocorreu.
Sim, eu aprendi com mais facilidade, mas na prova tive um pouco de dificuldade em
fazer os exercícios.
Achei um pouco longa, por isso minha nota foi ruim.
Apesar de minha nota não ter sido muito boa, entendi o Teorema de Tales e Escala.
Sim, foi um conteúdo fácil, por causa das listas e das explicações dentro de sala.
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APÊNDICE D: OPINIÃO DOS ALUNOS UM ANO APÓS A REALIZAÇÃO
DAS ATIVIDADES
Ouro Preto, abril de 2012
Prezado aluno
No primeiro semestre de 2011, por conta de minha pesquisa em prol de uma
aprendizagem significativa da Matemática, você, como meu aluno, participou de uma
série de atividades, incluindo avaliações, visitas a monumentos históricos e museus,
elaboração de relatórios e discussões em sala de aula. As atividades enfocaram alguns
conteúdos de Matemática propostos para o semestre, tais como potência e radicais,
proporcionalidade, Teorema de Tales e suas aplicações, dentre outros assuntos.
Passado um ano desse trabalho, suas impressões a respeito de sua participação nas
atividades desenvolvidas são de fundamental importância para o fechamento desse ciclo
de pesquisas que estamos realizando. Sugerimos, a seguir, um roteiro para que você
deixe, por escrito, os momentos vivenciados na realização das atividades e o que ficou
dessa vivência para você no momento atual.
1. Hoje, quando você pensa na sua participação nas atividades realizadas, o que lhe
vem à memória? Escreva a respeito do que ficou mais marcante dos vários momentos
vivenciados e explique o porquê de tal destaque.
2. Sobre os conteúdos matemáticos estudados, qual(is) está(ão) mais presentes na
sua lembrança e qual(is) considera que foi(ram) estudado(s) e aprendido(s) com mais
significado por você?
3. Reflita um momento sobre o modo como você estudou e aprendeu Matemática
no primeiro semestre de 2011, e o modo como você estudou e aprendeu Matemática
antes e depois desse mesmo período. Compare e trace suas considerações a respeito
dessa variedade de modos/maneiras de estudar e aprender Matemática.
4. As atividades realizadas, em sua maioria, enfatizavam as situações originadas
das visitas aos monumentos e museus da região. Em linhas gerais pretendeu-se um
aprendizado da Matemática, mas, com a atenção voltada para o entorno cultural e
arquitetônico da região onde moramos. O que este modo de ensino significou para
você? O que lhe trouxe além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previstos?
Agradeço pela sua dedicação e paciência em registrar suas impressões sobre o trabalho
que realizei com você e seu grupo no primeiro semestre de 2011.
Obrigado!
Prof. Roberto Lessa de Carvalho
Hoje, quando você pensa na sua participação nas atividades realizadas, o que lhe vem à
memória? Escreva a respeito do que ficou mais marcante dos vários momentos
vivenciados e explique o porquê de tal destaque.
Os monumentos que visitamos e como usamos eles para o Teorema de Tales.
178
Hoje quando lembro da minha participação nas atividades realizadas, penso que me doei
ao máximo no estudo. As pesquisas, mas principalmente as visitas realizadas no Museu
das Reduções, me encantou. Pois, a perfeição nos mínimos detalhes são incríveis.
Depois de realizar os nossos estudos e ver as formas geográficas em todos os lugares, eu
procuro sempre esses traços.
As atividades que realizamos que mais ficou marcado na minha memória foram as
excursões para Belo Horizonte, onde vimos várias formas geométricas e aprendemos a
calcular cada forma.
Quando penso hoje nas atividades realizadas, me vem a memória o fato de observar as
casas, construções, igrejas e objetos, olhá-los de forma matemática, com formas
geométricas ou utilizando o Teorema de Tales. Acredito que isso acontece pelo trabalho
realizado no ano passado, em que observamos igrejas e museus para ver tal
proporcionalidade.
Primeiramente um sentimento de saudade das atividades propostas, excursões que
tivemos instrutivas, pois, hoje no 1º ano temos mais atividades assim.
As atividades realizadas no ano de 2011, foram muito marcantes. Mas o que realmente
me chamou a atenção foi o fato de durante essas atividades, poder aplicar os conceitos
teóricos da Matemática nos monumentos históricos de Ouro Preto (Casa dos Contos e
Igreja de São Francisco de Assis), na Igreja de São Francisco de Assis, em Belo
Horizonte, dentre outros.
Quando penso nas atividades e nos momentos marcantes, o que me vem à memória é a
aplicação da Matemática nos diversos aspectos do cotidiano. Isso pra mim, significou
um grande destaque porque me fez perceber que a Matemática está presente em tudo,
desde as situações mais simples às mais complexas.
Quando eu penso nas atividades realizadas, penso nos exercícios que resolvemos em
aulas nos dias de matéria nova que o professor explica, e ninguém entendia nada, mas
no final da aula todos ficavam felizes, porque tinham entendido uma matéria difícil, mas
hoje vemos estes assuntos e fazemos com muita facilidade, como o byte e o bite, o
produto notável, a notação científica.
A experiência que tivemos visitando os lugares em que visitamos junto com os colegas
foram as partes mais legais. Porque era um aprendizado fora da escola, muito melhor e
mais divertido.
A visita nos monumentos, como a igreja, a partir da Matemática, nos podemos entender
melhor como foi feita mas não só isso, também no que eles se basearam para construir
um monumento perfeito.
Sobre os conteúdos matemáticos estudados, qual(is) está(ão) mais presentes na sua
lembrança e qual(is) considera que foi(ram) estudado(s) e aprendido(s) com mais
significado por você?
179
O que mais ficou gravado depois das atividades foi o Teorema de Tales, pois nós o
colocamos em prática na viagem em que fizemos, nós não ficamos presos somente na
teoria, nós aprendemos por meio situações reais a como usá-lo.
Sobre os conteúdos realizados, a proporcionalidade e o Teorema de Tales e suas
aplicações, foram o assunto que mais aprendi.
O aprendizado que mais ficou em minha memória foi o estudo das formas geográficas,
pois quando se faz aula prática é bem mais fácil de entender e memorizar.
Os conteúdos que mais ficaram na minha memória foram as equações de 1º e 2º grau e
como se calcula delta.
O Teorema de Tales foi estudado e aprendido com mais facilidade e significado para
mim. Acredito que isso aconteceu por conseguir aplicá-lo no meu dia- a- dia.
Dos conteúdos estudados os mais presentes na memória são os de escala, que fomos ate
a igreja de Ouro Preto, Casa dos Contos, ate a Pampulha, ao Museu das Reduções, isso
marcou muito. Porque além de facilitar mais o entendimento foi a única excursão que
tivemos na 8ª série.
Os conteúdos que mais estão presentes na minha lembrança se referem as proporções e
aos tipos de retas (paralela, transversais, etc.), assuntos que foram fixados durante as
atividades.
Grandes partes dos conteúdos está presente nas minhas lembranças, porém, o assunto
que se destacou durante o meu aprendizado foi o conceito de escala e propriedade,
devido a sua aplicação nas obras do Museu das Reduções, o que despertou o meu
interesse.
Sobre os conteúdos estudados o que esta mais presente na minha memória é o Teorema
de Pitágoras, sempre que tinha exercícios sobre este assunto adorava fazer, e na maioria
dos casos acertava. Outro assunto também, é o produto notável, com seus vários casos
diferentes.
A parte da escala.
Proporcionalidade, pois, a partir dela conseguimos entender as construções e como eles
fizeram elas.
Reflita um momento sobre o modo como você estudou e aprendeu Matemática no
primeiro semestre de 2011, e o modo como você estudou e aprendeu Matemática antes e
depois desse mesmo período. Compare e trace suas considerações a respeito dessa
variedade de modos/maneiras de estudar e aprender Matemática.
No primeiro semestre período em que fizemos a vigem, o aprendizado foi bem mais
rápido e divertido, uma vez, que além de conhecermos mais um pouco de nossa cidade,
nós também saímos da rotina de ficar estudando em uma sala lendo livros e fazendo
atividades.
180
Após você perceber que a Matemática, esta mais presente na nossa vida, no nosso
cotidiano, mais do que agente possa imaginar, quando você percebe a sua importância,
ela fica mais fácil de compreender e entender.
Anteriormente eu estudava menos, um dia antes, já no ano passado tive que montar meu
horário de estudos, me preparar melhor. Com isso agora, no 1º ano, em um ritmo muito
mais acelerado isso me ajuda muito.
Acho que para aprender matemática, você tem que ter uma boa base, tem que entender e
conseguir visualizar o que o exercício está pedindo.
No primeiro semestre do ano passado, aprendemos matemática de forma mais prática e
dinâmica. Fomos a igrejas e museus para observarmos como a Matemática está tão
presente no nosso dia-a-dia. Desse, modo aprender matemática foi mais interessante do
que somente na sala de aula. Alem da praticidade e a facilidade do aprendizado.
No primeiro semestre aprendemos de uma forma criativa, podendo ver no mundo, o que
estávamos aprendendo dentro da sala de aula, através de excursões, já na segunda etapa
o conteúdo estudado não deixava que isso ocorresse.
No período anterior as atividades, aprendi matemática apenas estudando a teoria e
aplicado-a nos exercícios presente no livro. Após a mesma pude perceber de forma
concreta as teorias, estudadas dentro da sala de aula. No ambiente em que vivia, sendo
mais fácil estudar e entender essa matéria, associando-a ao espaço.
Com base nesta reflexão, posso concluir que o aproveitamento no estudo e no
aprendizado no estudo e no aprendizado da Matemática, dependem do pondo de vista
do estudante e do desenvolvimento de métodos que facilitam esse processo. É
necessário desmistificar a idéia de que a Matemática é uma disciplina monótona e
difícil, e criar formas de torná-la mais interessante.
Antes da 8ª série, achava Matemática muito chata, porque a matéria era muito chata,
mas em 2011, na 8ª série , em 2012 no 1º ano, Matemática pra mim está sendo muito
legal, desde o ano passado entendo a matéria e estou começando a gostar, e também
estou sabendo fazer os exercícios. Estudar a matéria pra mim tem que ser através de
exercícios, muito exercício.
Segundo semestre, a turma e os professores já se conheciam e havia menos tensão.
Com esses estudos e visitas foi possível compreender melhor a Matemática, foi uma
forma legal e mais produtiva de aprender.
As atividades realizadas, em sua maioria, enfatizavam as situações originadas das
visitas aos monumentos e museus da região. Em linhas gerais pretendeu-se um
aprendizado da Matemática, mas, com a atenção voltada para o entorno cultural e
arquitetônico da região onde moramos. O que este modo de ensino significou para
você? O que lhe trouxe além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previstos?
Essa forma de aprendizado me trouxe além do aprendizado matemático um
complemento cultural sobre minha cidade.
181
Além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previsto, esse estudo trouxe
conhecimento a mim, conhecimentos culturais que eu não sabia. Esse estudo
desenvolvido gerou em grande aprendizado, e uma facilidade maior para lidar com a
matemática e passar a ver o mundo de uma forma diferente.
Com essa forma de aprendizagem facilitou muito o nosso estudo, já que quando você
vê o que está estudando é mais fácil.
Este modo de ensino me mostrou que tudo em nossa vida é matemática, também me
mostrou que podemos aprender matemática juntamente com outras disciplinas como a
geografia e história. Além do aprendizado dos conteúdos matemáticos previstos eu
aprendi mais da cultura da minha região, da história e geografia.
Significou exatamente como Matemática é aplicada no mundo lá fora, como é usada
para nos proporcionar uma vida melhor.
Esse modo de ensino significou para mim uma forma mais interessante e interativa de
aprender e aplicar a Matemática, reconhecendo que ela está presente em tudo a nossa
volta, porém, de formas diferentes. Sendo assim, pude perceber isso nos monumento
históricos e museus visitados, ampliando o conhecimento arquitetônico e cultural a
respeito deles.
Este modo de ensino significou para mim, uma maneira prática de perceber a ligação
que há entre as disciplinas, afinal, todas elas explicam a realidade, porém, de ângulos
distintos. Além disso pude comprovar novamente a presença cativa da Matemática no
meu dia-a-dia, e na riqueza histórica da região onde moro.
A Matemática também é ensinada e aprendida fora de sala, com excursões, como a que
fizemos no meio do ano, onde nos visitamos igrejas e museus, para calcular escala,
descobrir formas geométricas nos desenhos. Esse ensino mostrou para mim que existe
várias formas de se aprender Matemática.
Conhecimento sobre a história de nossa região.
Este estudo foi bom não só pelo aprendizado da Matemática, mas também pelo
aprendizado sobre os monumentos visitados por nós. Este modo de ensino foi um modo
eficaz para compreender a Matemática.