a c semi marcao

Incluso para a vida

Matemtica Cb) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

UNIDADE 1NMEROS PROPORCIONAISRAZES E PROPORES Razo a comparao obtida pela diviso entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade. Ento, dados dois nmeros a e b , denomina-se razo ao quociente de a por b e indica-se por

Tarefa Mnima 1. Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatospara o curso de Odontologia. Sabendo que foram fornecidas 100 vagas, qual a razo do nmero de candidatos em relao ao nmero de vagas?

a b

2. Determine dois nmeros, sabendo que a soma deles 60 e que a razo entre eles 2 .3

a Obs.: a razo usualmente lida assim: a est para b. bA igualdade entre duas razes uma proporo. Representao:

a b

c d

3. Determine os valores de x e y sendo: x y = 10 e y 1 x 3 4. Se (2, 3, x) e (8, y, 4) so duas sucesses de nmerosdiretamente proporcionais, ento: a) x = 1 b) x = 2 c) x = 1 d) x = 4 e e e e y=6 y = 12 y = 12 y=2

onde: a, d = extremos b, c = meios a c A expresso l-se assim: a est para b, assim b d como c est para d. Observaes: Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucesses numricas dadas nessa ordem. A e B so diretamente proporcionais se:

5. Divida o nmero 360 em partes proporcionais aosnmeros 2, 3, 4 e 6.

a d

b e

c f

Tarefa Complementar 6. Divida o nmero 220 em partes inversamenteproporcionais aos nmeros 2 , 3 e 4 . 3 4 7

k

k a constante de proporo. Propriedade:

a d

b e

c f

a b c d e f

7. A diferena entre as idades de duas pessoas 15 anos eesto entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas.

A e B so inversamente proporcionais se: a.d=b.e=c.f=k Propriedade: a . d = b . e = c . f =

8. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente

a 1 d

b 1 e

c 1 f

proporcionais, isto, , para que se verifique a igualdade

9 y

x 8

5 , os valores de x e y devem ser 20b) 1 e 14 5

Exerccios de Sala 1. Um automvel percorre 160km em 2 horas. A razoentre a distncia percorrida e o tempo gasto para percorrla :

respectivamente: a) 2 e 36 c) 2 e 5 e) n.d.a.

d) 5 e 35

2. Determine dois nmeros, sabendo que a soma deles

9. (F.Carlos Chagas) Se as seqncias (a, 2, 5) e (3, 6, b)so de nmeros inversamente proporcionais e a + mb = 10, ento m igual a: a) 0,4 d) 2,5 b) 1,0 e) 5,0 c) 2,0

342 e que a razo entre eles .

43. a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3,5 e 7. Pr-Vestibular da UFSC

1

Matemtica C 10. p inversamente proporcional a q + 2. Sabendo quep = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? a) 2 d) 2 b) 0 e) 3 c) 0,5 1 grau

Incluso para a Vida1 da circunferncia. 360

Submltiplos do Grau: 1 = 60 e 1= 60 Os ngulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura. ngulo Agudo

11. (UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que x y z , o valor de x : 2 3 4 12. (UFSC) O permetro de um terreno 72 m. Asmedidas de seus lados so inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, :

13. (UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um avirio,60 no foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razo do nmero de mortas para o nmero de vivas :a) 1 4 b) 1 5 c) 4 1 d) 4 5 e) n.d.a.

ngulo Reto

ngulo Obtuso

14. (FUVEST) Na tabela abaixo, y inversamenteproporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m. x 1 2 m y 2 p 8

Dois ngulos

e

podem ser:

15. Num tanque de combustvel h 5 litros de leo e 25litros de gasolina. Determinar as razes das medidas. a) do leo para a gasolina b) da gasolina para a mistura c) do leo para a mistura

a) complementares: + = 90 b) suplementares: + = 180 c) replementares: + = 360 NGULOS OPOSTOS PELO VRTICE

UNIDADE 2Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.

GEOMETRIA PLANANGULOS ngulo a regio formada por duas semi retas que tm a mesma origem (vrtice). NGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL

O ngulo formado o ngulo AB no qual: OA e OB so os lados do ngulo e O o vrtice UNIDADES ANGULARES Sistema Sexagesimal (Grau) Pr-Vestibular da UFSC

TringulosDados os pontos A, B e C no alinhados, chama-se tringulo A, B, C (indicado por: ABC) reunio dos segmentos AB, AC e BC. 2

Incluso para a vida Exerccios de Sala

Matemtica C

1. (UFMA) Dois ngulos opostos pelo vrtice medem 3x+ 10 e x + 50. Um deles mede:

Pode-se classificar um tringulo segundo dois critrios: Quanto aos lados

2. Um ngulo mede a metade do seu complemento.Ento, esse ngulo mede: a) 30 d) 80 b) 45 e) 15 c) 60

3. Em cada figura abaixo, determine o valor de x.

Quanto aos ngulos

a) r //s

CRITRIOS: Sejam a, b e c lados de um tringulo e considerando a, o lado maior temos: a2 < b 2 + c 2 a2 = b 2 + c 2 a2 > b 2 + c 2 tringulo acutngulo tringulo retngulo tringulo obtusngulo

b) ABCD um quadrado. ABE um tringulo equiltero.

NGULOS NUM TRINGULO A + B + C = 180 Tringulo Equiltero

Tarefa Mnima 1. (ACAFE) Dois ngulos opostos pelo vrtice medem 8x 40 e 6x 20. O valor do ngulo : a) 80 b) 70 c) 40 d) 20 e) 10

2. Um ngulo mede o triplo do seu suplemento. Entoesse ngulo mede: a) Se AB = BC = AC ento A = B = C = 60 Tringulo Retngulo 45 b) 135 c) 100 d) 175

3. Determine o valor de x na figura abaixo:25

r//s130

x

s

Pr-Vestibular da UFSC

3

Matemtica C 4. Nas figuras abaixo, o valor de x :a)

Incluso para a Vida 7. (UECE) O ngulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:a) 100 c) 36 b) 144 c) 80 e) n.d.a.

8. (UFSC) Dados os ngulos: = 2232'15'' b)

C

7501'52''

B = 1749'47''

D = 3244'20''

Calcular o valor, em graus, da expresso:A C B D

c)

9. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferenax y :

r // s // t23o

r

d)

y

s t

112

o

x

5. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Ento:

10. (UFSC) Na figura abaixo as retas r e s so paralelas.A medida do ngulo y, em graus, :

a) y = 3x d) x = y

b) y = 2x e) 3x = 2y

c) x + y = 180

Tarefa Complementar 6. (UFSC) Na figura r e s so paralelas. O valor, em graus,do arco x :

11. (Cesgranrio) Duas retas paralelas so cortadas poruma transversal de modo que a soma de dois ngulos agudos formados vale 72. Ento qualquer dos ngulos obtusos formados mede: a) 142 d) 150 b) 144 e) 152 c) 148

12. (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s so paralelas, ongulo 1 mede 45 e o ngulo 2 mede 55. A medida em graus do ngulo 3 :


4

Incluso para a vidaTringulos - 3 lados Quadrilteros - 4 lados Pentgono - 5 lados Hexgono - 6 lados Heptgono - 7 lados Octgono - 8 lados Enegono - 9 lados Decgono - 10 lados Undecgono 11 lados Dodecgono - 12 lados Pentadecgono 15 lados Icosgono - 20 lados

Matemtica C

a) 50 d) 80

b) 55 e) 100

c) 60

13. Sabendo que o complemento de um ngulo est para oseu suplemento assim com 2 est para 5, calcule em graus a medida do ngulo:

14. Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y.r60

Observao: Um polgono dito regular se for equiltero (lados iguais) e equingulo (ngulos iguais). NMERO DE DIAGONAIS O nmero de diagonais de um polgono de n lados dado pela expresso:

s Y 70

15. Na figura , o valor de x :SOMA DOS NGULOS INTERNOS A soma dos ngulos internos de um polgono com n lados (n 3) dado pela expresso:

SOMA DOS NGULOS EXTERNOS A soma dos ngulos externos de um polgono com n lados (n 3) sempre igual a 360 Observaes Para polgonos regulares, podemos calcular cada ngulo interno ou externo atravs das seguintes relaes:

UNIDADE 3ESTUDO DOS POLGONOS ELEMENTOS

CLASSIFICAO Os polgonos podem ser classificados quanto o nmero de lados. Os mais conhecidos so: Sendo n o nmero de lados de um polgono, se n par, ento n/2 o nmero de diagonais que passam pelo centro. Se n mpar, no h diagonais que passam pelo centro. 5


Matemtica C POLGONOS REGULARESUm polgono regular quando tem lados e ngulos congruentes. Todo polgono regular inscritvel e circunscritvel a uma circunferncia. Nomenclatura

Incluso para a Vida 2. Em um icosgono regular ABCDE... calcule:a) a soma dos ngulos internos. b) a soma dos ngulos externos. c) cada ngulo interno e externo. Dado um tringulo eqiltero de lado 2 3 cm, determine:

3.

o lado do polgono R o raio da circunferncia circunscrita ao polgono a o raio da circunferncia inscrita ou aptemaTringulo Equiltero

a) altura do tringulo. b) raio da circunferncia circunscrita. c) raio da circunferncia inscrita.

4. Num quadrado de lado 10cm est circunscrita umacircunferncia cujo raio, em centmetros, igual a:h

a) 5 2 c) 10 2 e) 3 2

b) 10 d) 20 2

5. (VUNESP) A distncia entre dois lados paralelos de um hexgono regular igual a 2 3 cm. A medida doQuadrado lado desse hexgono, em centmetros, : a) 3 d) 3 b) 2 c) 4 e) 2,5

Tarefa Mnima 1. O polgono que tem o nmero de lados igual aonmero de diagonais o: a) hexgono c) tringulo e) no existe b) pentgono d) heptgono

Hexgono Regular

2. Cada ngulo interno de um decgono regular mede:a) 230 d) 28 b) 130 e) 150 c) 144

3. Qual o polgono regular cujo ngulo interno o triplodo externo? a) Dodecgono c) Octgono e) Hexgono b) Pentgono d) Heptgono

Exerccios de Sala 1. (ACAFE) Diagonal de um polgono convexo o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos do polgono. Se um polgono convexo tem 9 lados, qual o seu nmero total de diagonais? a) 72 d) 27 b) 63 e) 18 c) 36

4. Dado uma crculo de raio 10cm. Determine:a) o lado do tringulo equiltero inscrito nesse crculo


6

Incluso para a vidab) o lado do hexgono inscrito nesse crculo a) 2a c) e)a 3 2

Matemtica Cb) a 2 d) a 3

2a 2 3

11. (ACAFE-SC) A razo entre os comprimentos dascircunferncias circunscrita e inscrita a um quadrado : c) o lado do quadrado inscrito nesse crculo a)

2

b) e)

3

c) 2 2

d) 2 3

3 2

12. (FUVEST) A, B, C e D so vrtices consecutivos de 5. O lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia mede 2 6 cm. Determine a medida daaltura do tringulo. a) 2 2 b) um hexgono regular. A medida, em graus de um dos ngulos formados pelas diagonais AC e BD : a) 90 d) 120 b) 100 e) 150 c) 110

2

c) 3 2

d) 2

e) n.d.a.

13. Calcule a medida do ngulo central de um enegonoRegular.

6. (ACAFE-SC) O dimetro mnimo de um tronco dervore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meam 20cm, : a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20

14. Qual a razo entre os raios dos crculos circunscrito einscrito de um tringulo equiltero de lado a?

2 cm e) 80 cm

15. Determinar em funo do raio R, o lado de umdecgono regular inscrito numa circunferncia de raio R.

Tarefa Complementar 7. (UNICAMP) O polgono convexo cuja soma dosngulos internos mede 1.440 tem exatamente: a) 15 diagonais c) 25 diagonais e) 35 diagonais b) 20 diagonais d) 30 diagonais

UNIDADE 4CIRCUNFERNCIA ELEMENTOS

8. (UNIFEI-MG) Achar dois polgonos regulares cujarazo entre os ngulos internos 3/5 e a razo entre o nmero de lados 1/3.

9. ( MACK-SP ) Os ngulos externos de um polgonoregular medem 20. Ento o nmero de diagonais desse polgono : a) 90 c) 119 e) 152 b) 104 d) 135 Raio: segmento CB. Corda: segmento MN. Dimetro: segmento AB. NGULOS DA CIRCUNFERNCIA ngulo Central: ngulo que tem vrtice no centro da circunferncia.

10. (PUC-SP) A figura mostra um hexgono regular delado a. A diagonal AB mede:A

B


7

Matemtica Cngulo Inscrito: circunferncia. ngulo que tem vrtice na

Incluso para a VidaSEGMENTOS TANGENTES

TEOREMA DE PITOT Propriedade: Consequncias Em todo quadriltero convexo circunscrito a uma circunferncia a soma de dois lados opostos igual a soma dos outros dois:

Se um tringulo inscrito numa semicircunferncia tem um lado igual ao dimetro, ento ele um tringulo retngulo. ngulo excntrico (fora do centro) interior

SEMELHANA DE TRINGULOS TRINGULO RETNGULO SEMELHANA DE TRINGULOSDois tringulos so semelhantes se e somente se os ngulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temos:

ngulo excntrico (fora do centro) exterior

A Se : B C

D E ento F a d b e c f k

Quadriltero Inscrito na circunferncia

k a constante de proporo ou constante de semelhana. Observao: As medidas dos permetros de dois tringulos semelhantes so proporcionais s medidas de dois lados homlogos quaisquer. Tringulo Retngulo relaes mtricas Considere o tringulo abaixo, retngulo em A.


8

Incluso para a vida

Matemtica C

x 40

Seus elementos so: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa hipotenusa n e m: projees ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relaes Mtricas Atravs da semelhana de tringulos podemos estabelecer as seguintes relaes: a2 = b2 + c2 (teorema de Pitgoras) a.h = b.c b2 = a.n c2 = a.m h2 = m.n

3. A circunferncia est inscrita no tringulo ABC( AB =8, AC=9 e BC=7 ) . Ento, x vale:A

B x

P

C

a) 1,5 d) 4,6

b) 2,8 e)5,0

c) 3,0

4. Na figura abaixo os ngulos CD e A B D socongruentes. Ento, o valor de x :

Exerccios de Sala 1. Determine o valor de x em cada caso abaixo:a)

a) 42 d) 60

b) 32 e) 10

c) 21

Tarefa Mnima b)

1. Nas figuras abaixo, determine o valor de x:x O 20

c)

2. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x :C

A

3x

O

150

B

2.

Determine o valor do complemento do ngulo x indicado na figura abaixo:

a) 25 d) 75

b) 30 c) 50 e) 100


9

Matemtica C 3. (PUC-SP) Na figura, AB dimetro. O menor dosarcos (AC) mede:C

Incluso para a Vida

40 A B

9. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C so pontos detangncia. Calcule o permetro do tringulo PRS.

4. ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir :x 2 3 10

10. Sendo O o centro da circunferncia circunscrita nopentgono abaixo, calcule x + y.

5. ( UFSC ) Na figura ao lado, AC paralelo a DE.Nessas condies, determine o valor de x + y.C 10

E1510

11. Determine o permetro do quadriltero a seguir:x+1

x3x 2x

A

y

D

18

B3x + 1

Tarefa Complementar 6. (FUVEST) A medida do ngulo ADC inscrito nacircunferncia de centro O :

12. (ACAFE) Os lados de um tringulo medem 3cm, 7cme 9cm. Calcule os lados de um segundo tringulo semelhante ao primeiro, cujo permetro mede 38cm. a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm e) 5cm, 14cm e 19cm

13. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD 7. (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE umpentgono regular. A medida em graus do ngulo : dividido em trs partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD mede 13cm e as retas BBe CC so paralelas a DD. Determine os comprimentos dos segmentos AB, BC e CD

14. ( FUVEST ) No tringulo acutngulo ABC a base AB 8. Na figura abaixo, o tringulo ABC retngulo em A, eo ngulo ACB mede 20. Determine a medida do ngulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do tringulo. mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ um retngulo cujos vrtices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O permetro desse retngulo, em cm, :


10

Incluso para a vidaC

Matemtica C

Q

P

A

M

N

B

a) 4

b) 8

c) 12

d) 14

e) 16

15. Na figura abaixo as circunferncias de centros A e Btm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distncia entre os centros 25cm. A reta t uma tangente interior as circunferncias nos pontos C e D. Calcule, em centmetros, a medida do segmento CD.

UNIDADE 5REAS DE FIGURAS PLANASTRINGULOS QUAISQUER

Crculo e suas partes Crculo

A = R2 Coroa Circular

A= Setor Circular

(R2 r2 )

TRINGULO EQUILTERO A=

R 2 360

Exerccios de Sala 1. (FCC-SP) O retngulo ABCD tem rea 105 m2. O lado do quadrado EFGD mede, em m:A 10 F 2 B C E D

QUADRILTEROS Paralelogramo

A = a.h Pr-Vestibular da UFSC 11

Matemtica Ca) 4 d) 5 2 b) 5 e) 6 c) 2 5

Incluso para a Vida01. A soma das reas de A, B e C 72m2. 02. A rea de A 1/6 da rea de C. 04. A rea de A 24m2. 08. Um dos lados de A mede 2m. 16. Um dos lados de C mede 8m.

2. A rea da coroa limitada pelas circunfernciasinscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 : a) 2,25 d) 2 b) 5 e) 8 c) 4

5. (UFSC) Na figura a seguir, a rea hachurada de16 cm2. Sabendo-se que a diferena entre os dois raios de 2cm, determine o valor numrico do produto desses raios.

Tarefa Mnima 1. ( FCC-SP ) A rea do tringulo ABC, conforme afigura, :C

Tarefa Complementar 6. (FUVEST) No tringulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cme o ngulo ABC obtuso. O quadriltero MBNP um losango de rea 8cm2A

4 120 B

3

A

a) c) 3

3

b) 2 3 d) 4 3 e) 6M P

2. (CEFET-PR) A rea do hexgono regular inscrito numa circunferncia de raio 2 igual a:3 cm2 c) 2 3 cm2a) 3 e) n.d.a. b) 3 2 cm2 d) 2 2 cm2

B

N

C

A medida, em graus, do ngulo BNP : a) 15 c) 60 b) 30 d) 75 c) 45

7. (CESGRANRIO) A base de um retngulo de rea S aumentada de 20% e sua altura diminuda de 20%. A rea do novo retngulo formado : a) 1,04 S c) S e) 0,96 S b) 1,02 S d) 0,98 S

3. (UFSC) O tringulo ABC est inscrito em umacircunferncia de centro O, cujo dimetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, ento a rea sombreada, em centmetros quadrados, :

8. (CESCEM-SP) O quadriltero ABCD umretngulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razo entre a rea do tringulo CEF e a rea do retngulo :D C

4. (UFPR) Um retngulo de 6m por 12m est divididoem trs retngulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a rea de B a metade da de A e um tero da de C.A E F G B

B

C

a) 1/6 c) 1/8 e) 1/10

b) 1/7 d) 1/9

A

Com base nessas informaes, correto afirmar: Pr-Vestibular da UFSC 12

Incluso para a vida 9. A rea da coroa limitada pelas circunferncias inscrita ecircunscrita a um tringulo equiltero ABC de lado 6cm igual a:A

Matemtica C

O

UNIDADE 6C

B

GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROSFiguras tridimensionais limitadas por polgonos planos.

10. (MACK-SP) No crculo da figura, de centro O e raio1, a rea do setor assinalado :

a) d)

7 9 5 9

b) e)

7 18 8 9

c)

5 18

Relao de Euler: V + F = A + 2

11. (UEM) Considere o tringulo ABC, com base BCmedindo 6cm e com altura 5cm. Um retngulo inscrito nesse tringulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a rea do retngulo seja mxima?

Soma dos ngulos internos: Si = 360 (v 2) onde v o nmero de vrtices. Qual a quantidade de vrtices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?

12. (VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercadode pastagem, cuja forma um quadrado, com lado medindo 50m. Ele est amarrado a uma corda de 40m que est fixada num dos cantos do quadrado. Considerando = 3,14, calcule a rea, em metros quadrados, da regio do cercado que o cavalo no conseguir alcanar porque est amarrado. a) 1244 c) 1422 e) 1444 b) 1256 d) 1424 Poliedros Regulares

13. (UFRGS) Se o raio de um crculo cresce 20%, suarea cresce: a) 14% d) 44% b) 14,4% e) 144% c) 40% Possuem todas as faces como polgonos regulares iguais e ngulos formados pelas faces iguais.

14. (UFSC) Considere as circunferncias C1 de raio r eC2 de raio R. A circunferncia C1 passa pelo centro de C2 e lhe tangente. Se a rea do circulo, limitado pela circunferncia C1, igual a 4 centmetros quadrados, calcule em cm2 a rea do crculo limitado pela circunferncia C2.

15. (FUVEST) No trapzio ABCD, M o pontomdio do lado AD; N est sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as reas dos quadrilteros ABNM e CDMN so iguais e que DC = 10. Calcule AB.


13

Matemtica C

Incluso para a VidaI - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. correto afirmar que apenas: a) I verdadeira b) II verdadeira c) III verdadeira d) I e II so verdadeiras e) II e III so verdadeiras.

Exerccios de Sala 1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco facesquadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vrtices.

Tarefa Complementar

6. Some as alternativas corretas:01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vrtices. 02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas. 04. Um poliedro que possui 10 vrtices tridricos possui 15 arestas. 08. Um poliedro que possui 6 vrtices tridricos e quatro vrtices pentadricos possui 12 faces. 16. Todo poliedro convexo que tem o nmero de vrtices igual ao nmero de faces possui um nmero par de arestas.

2. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine o nmero de vrtices.

3. Calcule a rea total e o volume de um octaedro regularde aresta l.

7. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vrtices possui Tarefa Mnima 1. (FISS-RJ) Um poliedro convexo formado por 20 facestriangulares. O nmero de vrtices desse poliedro : a) 12 c) 18 b) 15 d) 20 somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o nmero de faces triangulares a metade do nmero de faces hexagonais?

8. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de facestriangulares, que no possui diagonais. A soma dos ngulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180 b) 360 c) 540 d) 720 e) 900

e) 24

2. (CEFET PR) Um poliedro convexo possui duas facestriangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ngulos internos de todas as faces ser: a) 3240 d) 4000 b) 3640 e) 4060 c) 3840

9. (UFRGS) Um octaedro regular possui:a) mais diagonais do que vrtices; b) mais faces que arestas; c) mais vrtices do que faces; d) menos diagonais que faces; e) igual nmero de vrtices e de arestas.

3. (PUCPR) Um poliedro convexo tem 3 facespentagonais e algumas faces triangulares. Qual o nmero de faces desse polgono, sabendo-se que o nmero de arestas o qudruplo do nmero de faces triangulares? a) 6 d) 3 b) 4 e) 8 c) 5

10. (PUCPR) Se a soma dos ngulos das faces de umpoliedro regular 1440, ento o nmero de arestas desse poliedro : a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

4. (PUCPR) Um poliedro convexo de 10 vrtices possui8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o nmero total de faces desse poliedro? a) 4 d) 10 b) 6 e) 12 c) 8

5. (PUCCAMPSP) Sobre as sentenas:Pr-Vestibular da UFSC 14

Incluso para a vida

Matemtica C

UNIDADE 7PRISMASDEFINIO Prismas so poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases, e as demais faces em forma de paralelogramos.

No prisma reto tem-se que as arestas laterais so iguais a altura.

FrmulasConsidere um prisma reto regular com n lados da base.

ELEMENTOS BASES: so os polgonos ABCDE e ABCDE FACES LATERAIS: So os paralelogramos ABAB; BCBC; CDCD; ARESTAS LATERAIS: so os segmentos AA; BB; CC; DD e EE ALTURA: A distncia EH entre as duas bases denominada altura do Prisma. ARESTAS DAS BASES: so os segmentos AB; BC; CD ; DE e EA NOMENCLATURA O nome do prisma se d atravs da figura da base. Prisma Triangular: As bases so triangulares. Prima Quadrangular: As bases so quadrilteros. Prisma Hexagonal: As bases so hexgonos Observao: Se o polgono da base for regular, o prisma tambm ser chamados de Regular. a) a rea total do prisma b) o volume do prisma

Exerccios de Sala 1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateraligual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:

2.

(UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular

de 2cm de aresta da base 42 3 cm3. A medida, em cm2, da rea lateral desse prisma :

Tarefa Mnima CLASSIFICAO De acordo com sua inclinao um prisma pode ser: Reto: quando as arestas laterais so perpendiculares aos planos da base. Oblquo: quando as arestas laterais so oblquas aos planos da base.

1. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por baseum quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma :

2. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma rea total de ( 96 + 2 3 ) cm2. Sabe-se que a aresta da basemede 2cm. A medida, em centmetros, da altura do prisma : 15


Matemtica C 3. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 3 m de altura, cuja base um hexgono de 2 m de lado, :a) 3 m3 c) 9 m3 e) 8 3 m3 b) 3 3 m3 d) 3 m3

Incluso para a Vida

4. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura 6 e os lados da base so 5, 6 e 7cm. O volume emcm3:

UNIDADE 8TIPOS ESPECIAIS DE PRISMASPARALELEPPEDO RETO RETNGULO

Tarefa Complementar 5. (PUC-SP) Se a rea da base de um prisma diminui10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: a) aumenta 8% c) aumenta 108% e) no se altera b) aumenta 15% d) diminui 8%

Paraleleppedo o prisma no qual as seis faces so paralelogramos e as faces opostas so retngulos congruentes.

6. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losangocujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma de 6cm, ento o volume desse prisma, em cm3, :

Possui trs dimenses: comprimento (a) largura (b) altura (c) Frmulas rea Total: ST = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2 RELAO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST Cubo Hexaedro Regular Cubo um paraleleppedo com as dimenses iguais.

7.

(ITA-SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e com rea total de 80m2. O lado dessa base quadrada mede:

8. ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto debase triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a rea total desse prisma, em cm2, :

a) 1852 c) 926 e) 508

b) 1016 d) 680 Todas as faces so quadrados

9. (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG paralelo ao segmento DH; o trapzio ABDC tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapzio EFHG; esses trapzios esto situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm3) do slido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapzios. Frmulas rea Total: ST = 6 2 Volume: V = 3 Diagonais: d =

2

D=

3


16

Incluso para a vida Exerccios de Sala 1. (UFSC) O volume de um paraleleppedo retngulo 24 m3. Sabendo-se que suas dimenses so proporcionais aos nmeros 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a rea total desse paraleleppedo.

Matemtica C 7. (Fatec-SP) As medidas das arestas de umparaleleppedo retngulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paraleleppedo 64cm3, ento a soma das reas de suas faces : a) 292cm2 d) 294cm2 b) 298cm2 e) 290cm2 c) 296cm2

2. No cubo da figura, rea da seco o ABCD Calcule o volume do cubo.

8 cm2.

8. (UEPG) Sobre trs cubos idnticos de aresta 1 dmagrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.

Tarefa Mnima 1. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o permetro do quadriltero ABCD mede 8(1 + 2 ) cm.Calcule o volume do cubo em cm3. 01. A rea do tringulo ABC 2 dm2. 02. AD 2 6 dm. 04. O tringulo ABC retngulo issceles. 08. O volume do slido formado pelos trs cubos de 3 dm3 16. O permetro do tringulo BCD vale 4

2 dm.

2. ( UFSC ) Considerando que uma das dimenses de umparaleleppedo retngulo mede 6dm, e as demais dimenses so diretamente proporcionais aos nmeros 8 e 2, e que a soma de todas as arestas 44dm, calcule, em dm2, a rea total desse paraleleppedo.

9. (UFSC) Um tanque, em forma de paraleleppedo, tempor base um retngulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nvel da gua subir 0,01m. Ento, o volume da pedra, em decmetros cbicos, :

3. ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de rea total. Emquanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para que seu volume se torne igual a 216 m3?

10. (UNICAMP) Ao serem retirados 128 litros de gua deuma caixa dgua de forma cbica, o nvel da gua baixa 20 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) calcule sua capacidade em litros.

4. ( UFSC ) Usando um pedao retangular de papelo, dedimenses 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A tera parte do volume da caixa, em cm3, :

UNIDADE 9PIRMIDESDEFINIO Pirmides so poliedros cuja base uma regio poligonal ABCDEF e as faces so regies triangulares. Uma pirmide se diz regular quando for reta (projeo ortogonal do vrtice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular

5. (UFSC) Num paraleleppedo retngulo, as medidas dasarestas esto em progresso aritmtica de razo 3. A medida, em CENTMETROS, da menor aresta desse paraleleppedo, sabendo que a rea total mede 132 cm2, : Tarefa Complementar

6. (UFSC) A rea total de um paraleleppedo retoretngulo de 376 m2 e as suas dimenses so proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5. Determine a dcima parte do volume desse paraleleppedo. Depois, passe o resultado para o carto resposta. Pr-Vestibular da UFSC

17

Matemtica C

Incluso para a VidaPara uma pirmide regular com n lados da base vale as seguintes relaes: rea da Base: SB = a rea do Polgono que est na base

rea Lateral : SL = n. NOMENCLATURA D-se o nome da pirmide atravs do polgono da base. Observe alguns exemplos.

ap 2

rea Total: ST = SB + SL Volume V =SB.h 3

Relaes Auxiliares na Pirmide Pirmide Triangular a base um tringulo ap2 = H2 + ab2

a = ap + 2 a 2 = H2 + R22 2

2

Pirmide quadrangular

a base um quadrado

Exerccios de Sala 1. Uma pirmide quadrangular regular tem 4 m de altura ea aresta de sua base mede 6m. Determine a rea total dessa pirmide.

Pirmide Pentagonal

a base um pentgono

2. Qual o volume de uma pirmide regular hexagonal, cuja altura mede 3 3 m e o permetro da base mede 12 m? 3. (UFSC) A base quadrada de uma pirmide tem 144 m2de rea. A 4 m do vrtice traa-se um plano paralelo base e a seco assim feita tem 64 m2 de rea. Qual a altura da pirmide?

Pirmides RegularesSe a base de uma pirmide reta for um polgono regular, a pirmide regular. Elementos e Formulrio

Tarefa Mnima 1. (UFSC) Uma pirmide regular, de base quadrada, temaresta da base 8cm e aptema da pirmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirmide.

2. (UFSC) A aresta da base de uma pirmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine area total, em cm2, dessa pirmide.

3. (UFSC) Em uma pirmide quadrangular regular a arestalateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, :

4. (Cescem-SP) Em uma pirmide com 12cm de altura,aresta da base - aresta lateral -a altura h aptema da base ab aptema da pirmide ap Raio da circunferncia circunscrita R Pr-Vestibular da UFSC tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a rea lateral : a) 240cm2 d) 400cm2 b) 260cm2 e) n.d.a. c) 340cm2

18

Incluso para a vida 5. (Osec-SP) Uma pirmide quadrada tem todas as arestasmedindo 2. Ento, a sua altura mede: a) 1 d) 4 b) e) n.d.a. a) 4 3 cm2 c) 12 3 cm2 e) 24 3 cm2

Matemtica Cb) 8 3 cm2 d) 16 3 cm2

2

c) 3

Tarefa Complementar 6. (UFPA) Uma pirmide triangular regular tem 9 cm de volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta dabase?3

13. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirmidehexagonal regular mede 3cm, e o aptema dessa pirmide, 4cm. A rea de uma das faces laterais desta pirmide mede, em m2. a) 6.10-4 b) 6.10-2 -4 c) 12.10 d) 12.10-2 -4 e) 15.10

7. (UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta igual ao volume de uma pirmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, ento a altura da pirmide, em cm, :

14. (EE Volta Redonda) A base de uma pirmide tem 225cm2 de rea. Uma seco paralela base, feita a 3cm do vrtice, tem 36cm2 de rea. A altura da pirmide : a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm

8. O aptema de uma pirmide regular igual aosemipermetro da base, e esta um quadrado inscrito num crculo de 8 metros de raio. Calcule a rea total da pirmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez ).

AULAS 10CILINDRO, CONE e ESFERA

9. (UEPG-PR) Calcule a rea total de um tetraedro regularde aresta igual a 4 cm. a) 4 3 cm2 2

b) 8 3 cm

2

c) 12 3 cm

d) 16 3 cm2

CILINDRO DE REVOLUO Cilindro de revoluo o slido obtido quando giramos em torno de uma reta uma regio retangular. Tambm chamado de cilindro circular. Elementos

e) 24 3 cm2

10. (ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificaode um slido. O volume desse slido de:

a) 1152cm3 c) 384cm3 e) 240cm3

b) 1440cm3 d) 1200cm3

Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro reto, caso contrrio, dito cilindro oblquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h Frmulas Considere um cilindro reto.

11. (VUNESP) Em cada um dos vrtices de um cubo demadeira, recorta-se uma pirmide AMNP, em que M, N e P so os pontos mdios das arestas, como se mostra na ilustrao. Se V o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirmides igual a:

a)

1 V 2

3 b) V 4

2 c) V 3

5 d) V 6

3 e) V 8

rea da Base: SB = r2

12. (UEPG-PR) Calcule a rea total de um tetraedroregular de aresta igual a 4 cm. Pr-Vestibular da UFSC rea Lateral: SL = 2 rh 19

Matemtica Crea Total: ST = 2SB + SL Volume: V = r2h Seco Meridiana: A seco feita no cilindro reto por um plano que contm o seu eixo denomina-se seco meridiana do cilindro. A seco meridiana um retngulo de rea: 2r.h. Quando a seco um quadrado temos um cilindro eqiltero. (g = h = 2r)2R

Incluso para a Vida

Seco de uma esfera Qualquer plano que secciona uma esfera de raio R determina como seco plana um crculo de raio r.

h

CONE DE REVOLUO Cone de revoluo o slido obtido quando giramos um tringulo retngulo em torno de um de seus catetos. Este cateto a altura do cone, e o outro seu raio. J a hipotenusa a geratriz do mesmo.

d a distncia entre o plano e o centro da esfera. R o raio da esfera. r o raio da seco. Relao: R2 = r2 + d2 Frmulas da esfera superfcie esfrica: As = 4 R2 volume: V =4 3 R 3

Exerccios de Sala 1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto de 27dm3 e a altura de 9 dm. O raio da base : Frmulas rea da Base: SB = r2 rea Total: ST = SB + SL Relao auxiliar: g2 = h2 + r2 Seco Meridiana No cone reto temos a seco sendo um tringulo issceles. Quando a seco meridiana for um tringulo eqiltero teremos um cone eqiltero ( G = 2R )h g

a) 4dm rea Lateral: SL = rg Volume: V =r h 32

b) 9dm c) 2dm

d) 5dm

e) 3dm

2. (UFSC) Determinar

1

do volume em m3 de um cone

de revoluo cujo dimetro da base mede 8m e a rea lateral, 20 m2.

3. (UFES) Enche-se um tubo cilndrico de altura h =20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior s esferas vale:

2R

a)

102

ESFERA Esfera o conjunto dos pontos do espao cujas distncias ao ponto O so menores ou iguais a R. A esfera tambm pode ser considerada um slido determinado pela rotao de um crculo em torno de um de seus dimetros.

3

cm3

b) 80 e) 80

3

cm3

c) 40

cm3

d) 160cm3

cm3


20

Incluso para a vida Tarefa Mnima 1. (UFSC) A rea lateral de um cilindro eqiltero de 1 2 336 m . O valor, em m , de do volume desse cilindro :

Matemtica C 9. Uma esfera de raio 8cm seccionada por um planodistante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da seco. a) 39 d) 65 b) 36 e) n.d.a. c) 32

2. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cbica,de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cnica, de

15

10. (UFSC) A razo entre o volume de um cubo e sua rea 1 total 2. O valor de do volume da esfera, inscrita 3nesse cubo, : cm3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16 cm2 de superfcie :

cm de altura e 12 cm de raio da base. O

volume, em cm3, de ferro que sobrou aps a modelagem, :

11. (UFSC) O volume, em

3. (UDESC) Uma caixa dgua de forma cilndrica tem1,5 m de dimetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa : a) 3,2 m c) 4,0 m b) 3,6 m d) 4,8 m

12. (F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera tmo mesmo volume, e o raio da base do cone o triplo do raio da esfera, ento a razo entre o raio da esfera e a altura do cone : a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1

4. (SUPRA) Um pedao de cano de 30cm de comprimentoe 10 cm de dimetro interno se encontra na posio vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de gua em seu interior, a gua: a) ultrapassa o meio do cano b) transborda c) no chega ao meio do cano d) enche o cano at a borda e) atinge exatamente o meio do cano

13. (Santa Casa-SP) O raio da base de um cone eqiltero mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, emcm3, : a) 144 d) 288 b) 152 e) 302 c) 192

14. (UFRGS) Uma panela cilndrica de 20 cm de dimetroest completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que de 16cm. O nmero de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa : a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100

5. (FUVEST) Uma superfcie esfrica de raio 13cm cortada por um plano situado a uma distncia de 12cm do centro da superfcie esfrica, determinando uma circunferncia, em cm, : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. (UFSC) A geratriz de um cone eqiltero mede2 3 cm. Calcule a rea da seo meridiana do cone, emcm2, multiplique o resultado por obtido no carto-resposta.

Tarefa Complementar 6. (UFSC) Um cilindro reto tem 63 cm3 de volume.Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centmetros, a sua altura.

3 e assinale o valor

UNIDADE 11PROGRESSO ARITMTICACONCEITOS INICIAIS Vamos considerar a seqncia (an ) onde an = 3n + 1, sendo n inteiro positivo. Temos: a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante. (4, 7, 10, 13, ...........) Observe que a diferena entre cada termo e seu antecessor se mantm igual a 3. Seqncias como esta so denominadas progresses aritmticas.

7. (UFCE) O raio de um cilindro circular reto aumentadode 20% e sua altura diminuda de 25%. O volume deste cilindro sofrer um aumento de: a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a.

8. (PUC-PR) Um tringulo retngulo issceles, de hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos.Qual o volume do slido de revoluo gerado? a) 3 2 cm3 c) 18 cm3 e) 1/3 cm3 b) 9 cm3 d) 27 cm3


21

Matemtica CDEFINIO Chama-se progresso aritmtica uma seqncia em que, a partir do segundo elemento, a diferena entre cada elemento e seu antecessor constante. Essa constante denominada razo da P.A. e indicada por r. Veja que para a seqncia a1.a2.a3...an ser uma P.A. necessrio que: a2 a1 = a3 a2 = ...... an an 1 = ..... = r Veja os exemplos: a) a seqncia (2, 5, 8, .......) uma P.A., pois, 5 2 = 8 5 = ..... Sua razo igual a 3. b) a seqncia (1, 4, 5, .....) no P.A., pois, 4 1 5 4. CLASSIFICAO DA P.A. Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razo. Observe o quadro abaixo: r>0 r 0 Se q > 0 P.G. crescente ( 2, 6, 18, 54,...) Se q = 1 P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...) Se 0 < q < 1 P.G. decrescente ( 256, 64, 16,...) 2 caso: a1 < 0 Se q > 0 P.G. decrescente (-2, -10, -50,..) Se q = 1 P.G. constante ( -3, -3, -3,...) Se 0 < q < 1 P.G. crescente ( -40, -20, 10,...) Observao: So denominadas P.G. alternantes aquelas em que cada termo tem sinal contrrio ao do termo anterior. Isso ocorre quando q < 0. TERMO GERAL Considere a seqncia (a1, a2, a3, definio temos: a2 = a1.q a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 an = a1.qn - 1 Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak, podemos dizer que: am = ak.qm - k 1. Representao de trs termos em P.G..........,

Sn

a1 ( q n 1) q 1

an .q a1 q 1

Observao: Se a razo da P.G. for igual a 1, temos uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G ser dada por: Sn = n. a1 4. Soma dos termos de uma P.G. infinita. Dada uma P.G. com: n ser calculada pela expresso: e an 0, sua soma pode 0 < |q| < 1

an). Partindo da

S

a1 1 q

5. Produto dos termos de uma P.G. finita O produto dos termos de uma P.G. finita dado pela expresso: |Pn | =

(a 1.an ) n

Exerccios de Sala 1. (UEL-PR) A seqncia (2x + 5, x + 1,x 2

, ....) uma

x , x , x q q2. Propriedades 1 Propriedade:

progresso geomtrica de termos positivos. O dcimo terceiro termo dessa seqncia : a) 2 b) 3-10 c) 3 d) 310 e) 312

2. (MACK-SP) Em uma progresso geomtrica o primeirotermo 2 e o quarto 54. O quinto termo a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486 dessa P.G. :


24

Incluso para a vida 3. Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e quea razo vale 2, o valor do quinto termo : a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56

Matemtica C 11. ( UFSC ) Na progresso geomtrica (10, 2, 2 , 2 ,5 252 ...), a posio do termo : 625

4. A soluo da equao: x Tarefa Mnima

x 3

x 9

x 27

15 :

12. Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preo aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preo anterior. Se fizermos uma tabela de preos desse artigo ms a ms, obteremos uma progresso: a) aritmtica de razo 12 b) aritmtica de razo 0,12 c) geomtrica de razo 12 d) geomtrica de razo 1,12 e) geomtrica de razo 0,12

1. Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para queas seqncias representem trs nmeros consecutivos em P.G. a) (x + 1; x + 4; x + 10) b) (4x, 2x + 1, x 1) 2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo 2 e o ltimo 486. Calcular a razo dessa P.G.

13. (UFSC) Numa P.G. de 6 termos a razo 5. O produtodo 1 termo com o ltimo 12500. Determine o valor do 3 termo. Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.

3. (Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, asoma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois ltimos vale 9. Calcule a razo da progresso.

14. ( Santo Andr -SP ) Inserindo-se 5 meios geomtricosentre 8 e 5832, obtm-se uma seqncia. Determine o 5 termo dessa seqncia. a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245

4. (UFES) Qual a razo de uma P.G. de trs termos, ondea soma de seus termos 14 e o produto 64? a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2x x 3

d) 4 ou 1x 9 x 27 60

5. (UFCE) A soluo da equao: a) 37 b) 40 c) 44 d) 50

15. (UFSC) Sejam x, 6 e y uma progresso aritmticaonde x e y so dois nmeros positivos. A sucesso x, 10 e y + 40 uma progresso geomtrica. O valor numrico de 11y - 7x :

e) 51

16. (UDESC) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-seos meios dos lados desse quadrado e obtm-se outro quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtm-se um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a soma das reas de todos os quadrados obtidos.

6. A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) :a) 567 e) n.d.a. b) 670 c) 728 d) 120

Tarefa Complementar

17. (IME) Uma bola lanada, na vertical, de encontro ao0, uma P.G. solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela sobe at a metade da altura que caiu. Determine a distncia (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetria at atingir o repouso.

7. (UFPA) A seqncia (a, ab, 3a), com aEnto, o nmero b : a) o triplo de a. c) racional e) n.d.a.

b) a tera parte de a. d) irracional

18. (FGV-SP) O conjunto soluo da equao

x8. (UFPA) A razo da P.G. obtida ao somarmos ummesmo nmero a 1,3 e 2, nessa ordem : a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3

2

x1, 1}

x 3

x 9

x ... 27 1b) { , 1}

1 2

:

a) {

c) {1, 4}

2d) {1, - 4}

2e) {1, 2}1 3 2 9 3 27 4 81 ... em

9. (FGV-SP) Em um tringulo, a medida da base, amedida da altura e rea formam, nessa ordem, uma P.G. de razo 8. Ento a medida da base vale:

19. Considere a expresso A =

10. (UFSC) Em uma progresso geomtrica o 3 termo 16/9 e o 7 termo 144. Determine o 5 termo.

que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam uma P.G. Determine o valor de 12A


25

Matemtica C 20. (UFSC) Determine a soma dos nmeros associados(s) proposio(es) VERDADEIRA(S). 01. Existem 64 mltiplos de 7 entre 50 e 500. 02. O valor de x que satisfaz a equao (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ..... + (x + 28) = 155 x=1 04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ....) a8 = 16. GABARITO Unidade 1 1) 34,50 cand/vaga 2) 24 e 36 3) x = 15 e y = 5 4) c 5) 48, 72, 96, 144 6) 72, 64, 84 7) 35 anos e 20 anos 8) a 9) d 10) d 11) 04 12) 10 13) a 14) p = Unidade 3 1) b 2) c 3) c 4) a) 10 3 10 c) 10 2 5) c 6) d 7) e 8) quadrado dodecgono 9) d 10) d 11) a 12) d 13) 40o 14) 2 15) 5 12 R

Incluso para a Vida08. A soma dos termos da P.G. 1 2 43 9 27

igual a 1.

Unidade 51) c 2) a 3) 12 4) 13 5) 15 6) b 7) e 8) c 9) 9 cm2 10) b 11) 03 12) a 13) d 14) 16 15) 20 Unidade 6 1) a 2) a 3) a 4) e 5) e 6) 23 7) 18 8) d 9) d 10) a Unidade 7 1) 32dm3 2) 16 3) c 4) 36 5) a 6) 96 7) 04 8) d 9) 72 Unidade 8 1) 64 2) 68 3) 02 4) 64 5) 02 6) 48 7) a 8) 13 9) 06 10) a) 80 512

b)

e

Unidade 9 1) 64 2) 48 3) 24 4) b 5) b 6) 03 7) 18 8) 64 9) d 10) c 11) d 12) d 13) a 14) b Unidade 10 1) 54 2) 09 3) c 4) a 5) e 6) 07 7) d 8) b 9) a 10) 96 11) 64 12) a 13) d 14) d 15) 09

1 2

m =

1 215) 1 , 5 , 1 5 6 6 Unidade 2 1) c 2) b 3) 75 4) a) 20 b) 44 c) 20 d) 30o 5) a 6) 85 7) a 8) 47 9) 21 10) 80 11) b 12) e 13) 30 14) 130 15) 120

Unidade 4 1) a) 43 b) 50 c) 75 2) a 3) a 4) 3/5 5) 29 6) a 7) c 8) 50 9) 32 10) 215 11) 20 12) b 13) 2,6; 3,9; 6,5 14) b 15) 20

Unidade 11 1) a) 1 b) 4 c) -9/8 2) 07 3) 01 4) 06 5) 54 6) 04 7) a 8) a 9) 61 10) 120 11) d 12) b 13) b 14) 30 15) 60 16) 99 17) 02 18) 35 19) 90 20) 40 Unidade 12 1) a) 2 b) 1/8 2) 03 3) 03 4) c 5) b 6) c 7) d 8) a 9) 16 10) 16 11) 06 12) d 13) 50 14) a 15) 96 16) 32 17) 3h 18) a 19) 09 20) 15

b) 26


a c semi marcao

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