a c semi marcao

Inclusão para a vida Matemática C

Pré-Vestibular da UFSC 1

UNIDADE 1

NÚMEROS PROPORCIONAIS

RAZÕES E PROPORÇÕES

Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas

de duas grandezas na mesma unidade.

Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao

quociente de a por b e indica-se por b

a

Obs.: a razão b

aé usualmente lida assim: “a está para b”.

A igualdade entre duas razões é uma proporção.

Representação: d

c

b

a

onde: a, d = extremos b, c = meios

A expressão d

c

b

a lê-se assim: a está para b, assim

como c está para d.

Observações:

Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas

sucessões numéricas dadas nessa ordem.

A e B são diretamente proporcionais se:

kf

c

e

b

d

a

k é a constante de proporção.

Propriedade: fed

cba

f

c

e

b

d

a

A e B são inversamente proporcionais se:

a . d = b . e = c . f = k

Propriedade: a . d = b . e = c . f =

f

1

c

e

1

b

d

1

a

Exercícios de Sala

1. Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão

entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-

la é:

2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é

42 e que a razão entre eles é

4

3.

3. a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3,

5 e 7.

b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a

3 e 4.

Tarefa Mínima

1. Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos

para o curso de Odontologia. Sabendo que foram

fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de

candidatos em relação ao número de vagas?

2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é

60 e que a razão entre eles é

3

2 .

3. Determine os valores de x e y sendo: x – y = 10 e

3

1

x

y

4. Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números

diretamente proporcionais, então:

a) x = 1 e y = 6

b) x = 2 e y = 12

c) x = 1 e y = 12

d) x = 4 e y = 2

5. Divida o número 360 em partes proporcionais aos

números 2, 3, 4 e 6.

Tarefa Complementar

6. Divida o número 220 em partes inversamente

proporcionais aos números 7

4

4

3,

3

2e .

7. A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos e

estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas

pessoas.

8. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente

proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade

20

5

8

x

y

9, os valores de x e y devem ser

respectivamente:

a) 2 e 36 b) 5

1 e

4

1

c) 2 e 5 d) 5 e 35

e) n.d.a.

9. (F.Carlos Chagas) Se as seqüências (a, 2, 5) e (3, 6, b)

são de números inversamente proporcionais e a + mb =

10, então m é igual a:

a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0

d) 2,5 e) 5,0

Matemática C Inclusão para a Vida


10. p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que

p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1?

a) – 2 b) 0 c) 0,5

d) 2 e) 3

11. (UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que

432

zyx, o valor de x é:

12. (UFSC) O perímetro de um terreno é 72 m. As

medidas de seus lados são inversamente proporcionais

a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado

desse terreno, é:

13. (UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário,

60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram.

Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de

mortas para o número de vivas é:

1 1 4 4

a) b) c) d) e) n.d.a.4 5 1 5

14. (FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamente

proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e

m.

x y

1 2

2 p

m 8

15. Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25

litros de gasolina. Determinar as razões das medidas.

a) do óleo para a gasolina

b) da gasolina para a mistura

c) do óleo para a mistura

UNIDADE 2

GEOMETRIA PLANA

ÂNGULOS

Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a

mesma origem (vértice).

O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:

OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice

UNIDADES ANGULARES

Sistema Sexagesimal (Grau)

1 grau é 360

1 da circunferência.

Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua

abertura.

Ângulo Agudo

Ângulo Reto

Ângulo Obtuso

Dois ângulos e podem ser:

a) complementares: + = 90º

b) suplementares: + = 180º

c) replementares: + = 360º

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E

UMA TRANSVERSAL

Triângulos

Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se

triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos

segmentos AB, AC e BC.



Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios:

Quanto aos lados

Quanto aos ângulos

CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e

considerando a, o lado maior temos:

a2 < b

2 + c

2 triângulo acutângulo

a2 = b

2 + c

2 triângulo retângulo

a2 > b

2 + c

2 triângulo obtusângulo

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

A + B + C = 180°

Triângulo Equilátero

Se AB = BC = AC então A = B = C = 60°

Triângulo Retângulo

Exercícios de Sala

1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x

+ 10° e x + 50°. Um deles mede:

2. Um ângulo mede a metade do seu complemento.

Então, esse ângulo mede:

a) 30° b) 45° c) 60°

d) 80° e) 15°

3. Em cada figura abaixo, determine o valor de x.

a) r //s

b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo

equilátero.

Tarefa Mínima

1. (ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x

– 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:

a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°

2. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então

esse ângulo mede:

a) 45° b) 135° c) 100° d) 175°

3. Determine o valor de x na figura abaixo:

x s

r s//25º

130º



4. Nas figuras abaixo, o valor de x é:

a)

b)

c)

d)

5. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então:

a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180°

d) x = y e) 3x = 2y

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus,

do arco x é:

7. (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:

a) 100° b) 144°

c) 36° c) 80° e) n.d.a.

8. (UFSC) Dados os ângulos:

Â = 22°32'15'' C 75°01'52''

B = 17°49'47'' D = 32°44'20''

Calcular o valor, em graus, da expressão:

A C B D

9. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença

x y é:

23o

y

x112

o

r

s

t

r // s // t

10. (UFSC) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.

A medida do ângulo y, em graus, é:

11. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por

uma transversal de modo que a soma de dois ângulos

agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos

obtusos formados mede:

a) 142° b) 144° c) 148°

d) 150° e) 152°

12. (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o

ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em

graus do ângulo 3 é:



a) 50 b) 55 c) 60

d) 80 e) 100

13. Sabendo que o complemento de um ângulo está para o

seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em

graus a medida do ângulo:

14. Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y.

60°

70°

Y

r

s

15. Na figura , o valor de x é:

UNIDADE 3

ESTUDO DOS POLÍGONOS

ELEMENTOS

CLASSIFICAÇÃO

Os polígonos podem ser classificados quanto o número de

lados. Os mais conhecidos são:

Triângulos - 3 lados

Quadriláteros - 4 lados

Pentágono - 5 lados

Hexágono - 6 lados

Heptágono - 7 lados

Octógono - 8 lados

Eneágono - 9 lados

Decágono - 10 lados

Undecágono – 11 lados

Dodecágono - 12 lados

Pentadecágono – 15 lados

Icoságono - 20 lados

Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero

(lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).

NÚMERO DE DIAGONAIS

O número de diagonais de um polígono de n lados é dado

pela expressão:

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados

(n 3) é dado pela expressão:

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados

(n 3) é sempre igual a 360°

Observações

Para polígonos regulares, podemos calcular cada

ângulo interno ou externo através das seguintes

relações:

Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par,

então n/2 é o número de diagonais que passam pelo

centro.

Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo

centro.



POLÍGONOS REGULARES

Um polígono é regular quando tem lados e ângulos

congruentes. Todo polígono regular é inscritível e

circunscritível a uma circunferência.

Nomenclatura

é o lado do polígono

R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono

a é o raio da circunferência inscrita ou apótema

Triângulo Equilátero

h

Quadrado

Hexágono Regular

Exercícios de Sala

1. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o

segmento de reta que une dois vértices não

consecutivos do polígono. Se um polígono convexo

tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36

d) 27 e) 18

2. Em um icoságono regular ABCDE... calcule:

a) a soma dos ângulos internos.

b) a soma dos ângulos externos.

c) cada ângulo interno e externo.

3. Dado um triângulo eqüilátero de lado 2 3 cm,

determine:

a) altura do triângulo.

b) raio da circunferência circunscrita.

c) raio da circunferência inscrita.

4. Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma

circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a:

a) 5 2 b) 10

c) 10 2 d) 20 2

e) 3 2

5. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de

um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do

lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) 3 b) 2 e) 2,5

d) 3 c) 4

Tarefa Mínima

1. O polígono que tem o número de lados igual ao

número de diagonais é o:

a) hexágono b) pentágono

c) triângulo d) heptágono

e) não existe

2. Cada ângulo interno de um decágono regular mede:

a) 230° b) 130° c) 144°

d) 28° e) 150°

3. Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo

do externo?

a) Dodecágono b) Pentágono

c) Octógono d) Heptágono

e) Hexágono

4. Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:

a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo



b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo

c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo

5. O lado de um triângulo equilátero inscrito numa

circunferência mede 2 6 cm. Determine a medida da

altura do triângulo.

a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 2 e) n.d.a.

6. (ACAFE-SC) O diâmetro mínimo de um tronco de

árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados,

cujas arestas das bases meçam 20cm, é:

a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20 2 cm e) 80 cm

Tarefa Complementar

7. (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos

ângulos internos mede 1.440° tem exatamente:

a) 15 diagonais b) 20 diagonais

c) 25 diagonais d) 30 diagonais

e) 35 diagonais

8. (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja

razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o

número de lados é 1/3.

9. ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono

regular medem 20°. Então o número de diagonais desse

polígono é:

a) 90 b) 104

c) 119 d) 135

e) 152

10. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de

lado “a”. A diagonal AB mede:

A

B

a) 2a b) a 2

c) 2

3a d) a 3

e) 3

2a2

11. (ACAFE-SC) A razão entre os comprimentos das

circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:

a) 2 b) 3 c) 2 2

d) 2 3 e ) 2

3

12. (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de

um hexágono regular. A medida, em graus de um dos

ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:

a) 90 b) 100 c) 110

d) 120 e) 150

13. Calcule a medida do ângulo central de um eneágono

Regular.

14. Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e

inscrito de um triângulo equilátero de lado a?

15. Determinar em função do raio R, o lado de um

decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.

UNIDADE 4

CIRCUNFERÊNCIA

ELEMENTOS

Raio: segmento CB.

Corda: segmento MN.

Diâmetro: segmento AB.

ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA

Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da

circunferência.



Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na

circunferência.

Propriedade:

Consequências

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um

lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.

Ângulo excêntrico (fora do centro) interior

Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior

Quadrilátero Inscrito na circunferência

SEGMENTOS TANGENTES

TEOREMA DE PITOT

Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma

circunferência a soma de dois lados opostos é igual a soma

dos outros dois:

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

TRIÂNGULO RETÂNGULO

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes se e somente se os

ângulos internos forem congruentes e os lados

proporcionais. Assim temos:

FC

kf

c

e

b

d

a então EB

DA

:Se

k é a constante de proporção ou constante de semelhança.

Observação: As medidas dos perímetros de dois

triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de

dois lados homólogos quaisquer.

Triângulo Retângulo – relações métricas

Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.



Seus elementos são:

a: hipotenusa

b e c: catetos

h: altura relativa à hipotenusa

n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a

hipotenusa.

Relações Métricas

Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer

as seguintes relações:

a2 = b

2 + c

2 (teorema de Pitágoras)

a.h = b.c

b2 = a.n

c2 = a.m

h2 = m.n

Exercícios de Sala

1. Determine o valor de x em cada caso abaixo:

a)

b)

x 20°

O

c)

2. Determine o valor do complemento do ângulo x

indicado na figura abaixo:

x

40°

3. A circunferência está inscrita no triângulo ABC

( AB=8, AC=9 e BC=7 )

. Então, x vale:

A

B P C

x a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0

d) 4,6 e)5,0

4. Na figura abaixo os ângulos CÂD e A B D são

congruentes. Então, o valor de x é:

a) 42 b) 32 c) 21

d) 60 e) 10

Tarefa Mínima

1. Nas figuras abaixo, determine o valor de x:

2. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é:

3x 150°A

B

C

O

a) 25° b) 30° c) 50°

d) 75º e) 100°



3. (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos

arcos (AC) mede:

40°A B

C

4. ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é:

3

x2

10

5. ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.

Nessas condições, determine o valor de x + y.

A y D 18 B

15

C

E

10

x10

Tarefa Complementar

6. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na

circunferência de centro O é:

7. (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um

pentágono regular. A medida em graus do ângulo é:

8. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e

o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do

ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do

triângulo.

9. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de

tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS.

10. Sendo O o centro da circunferência circunscrita no

pentágono abaixo, calcule x + y.

11. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:

3x + 1

3x2x

x+1

12. (ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm

e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo

semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm.

a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm

c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm

e) 5cm, 14cm e 19cm

13. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD

dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD =

5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´

são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos

segmentos AB´, B´C´ e C´D´

14. ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB

mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm.

MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao

lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O

perímetro desse retângulo, em cm, é:



A B

C

M N

Q P

a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16

15. Na figura abaixo as circunferências de centros A e B

têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância

entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior as

circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros,

a medida do segmento CD.

UNIDADE 5

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

TRIÂNGULOS QUAISQUER

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

QUADRILÁTEROS

Paralelogramo

A = a.h

Círculo e suas partes

Círculo

A = R2

Coroa Circular

A = (R2 – r

2 )

Setor Circular

A = 360

απR2

Exercícios de Sala

1. (FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado

do quadrado EFGD mede, em m:

A

B C

DE

F

10

2



a) 4 b) 5 c) 2 5

d) 5 2 e) 6

2. A área da coroa limitada pelas circunferências

inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é:

a) 2,25 b) 5 c) 4

d) 2 e) 8

Tarefa Mínima

1. ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a

figura, é:

120°

AB

C

4

3

a) 3 b) 2 3

c) 3 d) 4 3 e) 6

2. (CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito

numa circunferência de raio 2 é igual a:

a) 3 3 cm2

b) 3 2 cm2

c) 2 3 cm2

d) 2 2 cm2

e) n.d.a.

3. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma

circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm.

Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em

centímetros quadrados, é:

4. (UFPR) Um retângulo de 6m por 12m está dividido

em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a

figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da

de A e um terço da de C.

A

B C

Com base nessas informações, é correto afirmar:

01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2.

02. A área de A é 1/6 da área de C.

04. A área de A é 24m2.

08. Um dos lados de A mede 2m.

16. Um dos lados de C mede 8m.

5. (UFSC) Na figura a seguir, a área hachurada é de

16 cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois

raios é de 2cm, determine o valor numérico do produto

desses raios.

Tarefa Complementar

6. (FUVEST) No triângulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cm

e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um

losango de área 8cm2

A

B C

M

N

P

A medida, em graus, do ângulo BNP é:

a) 15 b) 30 c) 45

c) 60 d) 75

7. (CESGRANRIO) A base de um retângulo de área S é

aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A

área do novo retângulo formado é:

a) 1,04 S b) 1,02 S

c) S d) 0,98 S

e) 0,96 S

8. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um

retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em

quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo

CEF e a área do retângulo é:

A B

C

E F G

D

a) 1/6 b) 1/7

c) 1/8 d) 1/9

e) 1/10



9. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e

circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é

igual a:

A

B C

O

10. (MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio

1, a área do setor assinalado é:

9

8π e)

9

5π d)

18

5π c)

18

7π b)

9

7π a)

11. (UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC

medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito

nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm

de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a

área do retângulo seja máxima?

12. (VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercado

de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado

medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que

está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando =

3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do

cercado que o cavalo não conseguirá alcançar porque está

amarrado.

a) 1244 b) 1256

c) 1422 d) 1424

e) 1444

13. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua

área cresce:

a) 14% b) 14,4% c) 40%

d) 44% e) 144%

14. (UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r e

C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de

C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela

circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados,

calcule em cm2 a área do círculo limitado pela

circunferência C2.

15. (FUVEST) No trapézio ABCD, M é o ponto

médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN =

NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e

CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.

UNIDADE 6

GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS

Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.

Relação de Euler: V + F = A + 2

Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2)

onde “v” é o número de vértices.

Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um

poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas

faces hexagonais?

Poliedros Regulares

Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e

ângulos formados pelas faces iguais.



Exercícios de Sala

1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces

quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas,

faces e vértices.

2. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9

faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face

hexagonal. Determine o número de vértices.

3. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular

de aresta l.

Tarefa Mínima

1. (FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces

triangulares. O número de vértices desse poliedro é:

a) 12 b) 15

c) 18 d) 20 e) 24

2. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces

triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais.

Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:

a) 3240º b) 3640º c) 3840º

d) 4000º e) 4060º

3. (PUC–PR) Um poliedro convexo tem 3 faces

pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número

de faces desse polígono, sabendo-se que o número de

arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

a) 6 b) 4 c) 5

d) 3 e) 8

4. (PUC–PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui

8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o

número total de faces desse poliedro?

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

5. (PUCCAMP–SP) Sobre as sentenças:

I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.

II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.

III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.

É correto afirmar que apenas:

a) I é verdadeira b) II é verdadeira

c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras

e) II e III são verdadeiras.

Tarefa Complementar

6. Some as alternativas corretas:

01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas

possui 10 vértices.

02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e

somente faces triangulares possui 9 arestas.

04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui

15 arestas.

08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro

vértices pentaédricos possui 12 faces.

16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices

igual ao número de faces possui um número par de

arestas.

7. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui

somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas

faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a

metade do número de faces hexagonais?

8. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces

triangulares, que não possui diagonais. A soma dos

ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:

a) 180 b) 360 c) 540

d) 720 e) 900

9. (UFRGS) Um octaedro regular possui:

a) mais diagonais do que vértices;

b) mais faces que arestas;

c) mais vértices do que faces;

d) menos diagonais que faces;

e) igual número de vértices e de arestas.

10. (PUC–PR) Se a soma dos ângulos das faces de um

poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse

poliedro é:

a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4



UNIDADE 7

PRISMAS

DEFINIÇÃO

Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e

congruentes denominadas bases, e as demais faces em

forma de paralelogramos.

ELEMENTOS

BASES: são os polígonos A´BĆ´DÉ´ e ABCDE

FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;

BCBĆ; CDC´D´; ……

ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´;

CC´; DD´ e EE´

ALTURA: A distância EH entre as duas bases é

denominada altura do Prisma.

ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; BĆ´;

C´D´ ; DÉ´ e EÁ´

NOMENCLATURA

O nome do prisma se dá através da figura da base.

Prisma Triangular: As bases são triangulares.

Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.

Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos

Observação: Se o polígono da base for

regular, o prisma também será chamados de Regular.

CLASSIFICAÇÃO

De acordo com sua inclinação um prisma pode ser:

Reto: quando as arestas

laterais são

perpendiculares aos planos

da base.

Oblíquo: quando as arestas

laterais são oblíquas aos

planos da base.

No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a

altura.

Fórmulas

Considere um prisma reto regular com n lados da base.

Exercícios de Sala

1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral

igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:

a) a área total do prisma

b) o volume do prisma

2. (UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular

de 2cm de aresta da base é 42 3 cm3. A medida, em

cm2, da área lateral desse prisma é:

Tarefa Mínima

1. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por base

um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:

2. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma área

total de ( 96 + 2 3 ) cm2. Sabe-se que a aresta da base

mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do

prisma é:



3. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 3 m de

altura, cuja base é um hexágono de 2 m de lado, é:

a) 3 m3

b) 3 3 m3

c) 9 m3

d) 3 m3

e) 8 3 m3

4. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é

6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em

cm3:

Tarefa Complementar

5. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui

10% e a altura aumenta 20%, o seu volume:

a) aumenta 8% b) aumenta 15%

c) aumenta 108% d) diminui 8%

e) não se altera

6. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losango

cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente.

Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse

prisma, em cm3, é:

7. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base

quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de

80m2. O lado dessa base quadrada mede:

8. ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de

base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm,

a área total desse prisma, em cm2, é:

a) 1852 b) 1016

c) 926 d) 680

e) 508

9. (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é

paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é

paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os

lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o

trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos

paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume

(em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG,

ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.

UNIDADE 8

TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS

PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO

Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são

paralelogramos e as faces opostas são retângulos

congruentes.

Possui três dimensões:

comprimento (a)

largura (b)

altura (c) Fórmulas

Área Total: ST = 2(ab + ac + bc)

Volume: V = a.b.c

Diagonal: D

2 = a

2 + b

2 + c

2

RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)

2 = D

2 + ST

Cubo – Hexaedro Regular

Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.

Todas as faces são quadrados

Fórmulas

Área Total: ST = 6 2

Volume: V = 3

Diagonais: d = 2 D = 3



Exercícios de Sala

1. (UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é

24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são

proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros

quadrados, a área total desse paralelepípedo.

2. No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 cm2.

Calcule o volume do cubo.

Tarefa Mínima

1. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o

perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2 ) cm.

Calcule o volume do cubo em cm3.

2. ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um

paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais

dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e

2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em

dm2, a área total desse paralelepípedo.

3. ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em

quanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para

que seu volume se torne igual a 216 m3?

4. ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de

dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem

tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm

de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A

terça parte do volume da caixa, em cm3, é:

5. (UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das

arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A

medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse

paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:

Tarefa Complementar

6. (UFSC) A área total de um paralelepípedo reto

retângulo é de 376 m2 e as suas dimensões são

proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima

parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o

resultado para o cartão resposta.

7. (Fatec-SP) As medidas das arestas de um

paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das

arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é

64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:

a) 292cm2 b) 298cm

2 c) 296cm

2

d) 294cm2 e) 290cm

2

8. (UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm

agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o

que for correto.

01. A área do triângulo ABC é 2 dm2.

02. AD 2 6 dm.

04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.

08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3

dm3

16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm.

9. (UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem

por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma

pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da

água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em

decímetros cúbicos, é:

10. (UNICAMP) Ao serem retirados 128 litros de água de

uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa

20 cm.

a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa.

b) calcule sua capacidade em litros.

UNIDADE 9

PIRÂMIDES

DEFINIÇÃO

Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal

ABCDEF e as faces são regiões triangulares.

Uma pirâmide se diz regular quando for reta

(projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da

base) e a figura da base for regular



NOMENCLATURA

Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base.

Observe alguns exemplos.

Pirâmide Triangular a base é um triângulo

Pirâmide quadrangular a base é um quadrado

Pirâmide Pentagonal a base é um pentágono

Pirâmides Regulares

Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular,

a pirâmide é regular.

Elementos e Formulário

aresta da base - ℓ

aresta lateral -aℓ

altura – h

apótema da base – ab

apótema da pirâmide – ap

Raio da circunferência circunscrita – R

Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as

seguintes relações:

Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na

base

Área Lateral : SL = n. ap

2

Área Total: ST = SB + SL

Volume V = 3

.hSB

Relações Auxiliares na Pirâmide

ap2 = H

2 + ab

2

a 2 = ap

2 +

2

2

a 2 = H

2 + R

2

Exercícios de Sala

1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e

a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa

pirâmide.

2. Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja

altura mede 33 m e o perímetro da base mede 12 m?

3. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2

de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base

e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da

pirâmide?

Tarefa Mínima

1. (UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem

aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm.

Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.

2. (UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular

regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a

área total, em cm2, dessa pirâmide.

3. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta

lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3,

é:

4. (Cescem-SP) Em uma pirâmide com 12cm de altura,

tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a

área lateral é:

a) 240cm2 b) 260cm

2 c) 340cm

2

d) 400cm2 e) n.d.a.



5. (Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas

medindo 2. Então, a sua altura mede:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

6. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de

volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da

base?

7. (UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é

igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para

base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da

pirâmide, em cm, é:

8. O apótema de uma pirâmide regular é igual ao

semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num

círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da

pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez ).

9. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regular

de aresta igual a 4 cm.

a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm

2

c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm

2

e) 24 3 cm2

10. (ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificação

de um sólido. O volume desse sólido é de:

a) 1152cm

3 b) 1440cm

3

c) 384cm3 d) 1200cm

3

e) 240cm3

11. (VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de

madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e

P são os pontos médios das arestas, como se mostra na

ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro

que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:

1 3 2 5 3

a) V b) V c) V d) V e) V2 4 3 6 8

12. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro

regular de aresta igual a 4 cm.

a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm

2

c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm

2

e) 24 3 cm

2

13. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide

hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide,

4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide

mede, em m2.

a) 6.10-4

b) 6.10-2

c) 12.10-4

d) 12.10-2

e) 15.10-4

14. (EE Volta Redonda) A base de uma pirâmide tem 225

cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do

vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é:

a) 4,5 cm b) 7,5 cm

c) 1,5 cm d) 9,5cm

e) 3,5cm

AULAS 10

CILINDRO, CONE e ESFERA

CILINDRO DE REVOLUÇÃO

Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos

em torno de uma reta uma região retangular. Também é

chamado de cilindro circular.

Elementos

Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base

dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito

cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h

Fórmulas

Considere um cilindro reto.

Área da Base: SB = r2

Área Lateral: SL = 2 rh



Área Total: ST = 2SB + SL

Volume: V = r2h

Secção Meridiana:

A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o

seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A

secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a

secção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero.

(g = h = 2r) 2R

h

CONE DE REVOLUÇÃO

Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um

triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este

cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a

hipotenusa é a geratriz do mesmo.

Fórmulas

Área da Base: SB = r2 Área Lateral: SL = rg

Área Total: ST = SB + SL Volume: V = 3

hπr2

Relação auxiliar: g2 = h

2 + r

2

Secção Meridiana

No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles.

Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero

teremos um cone eqüilátero ( G = 2R )

h g

2R ESFERA

Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias

ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também

pode ser considerada um sólido determinado pela rotação

de um círculo em torno de um de seus diâmetros.

Secção de uma esfera

Qualquer plano que secciona uma esfera de raio R

determina como secção plana um círculo de raio r.

d é a distância entre o plano e o centro da esfera.

R é o raio da esfera.

r é o raio da secção.

Relação: R2 = r

2 + d

2

Fórmulas da esfera

superfície esférica: As = 4 R2

volume: V = 3

πR3

4

Exercícios de Sala

1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 27

dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:

a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm

2. (UFSC) Determinar 1

do volume em m3 de um cone

de revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área

lateral, 20 m2.

3. (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h =

20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao

mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e

exterior às esferas vale:

a) 102 3

cm3 b) 80

3 cm

3 c) 40 cm

3

d) 160cm3 e) 80 cm

3



Tarefa Mínima

1. (UFSC) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de

36 m2. O valor, em m

3, de

1do volume desse cilindro é:

2. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica,

de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma

cônica, de 15

cm de altura e 12 cm de raio da base. O

volume, em cm3, de ferro que sobrou após a

modelagem, é:

3. (UDESC) Uma caixa d’água de forma cilíndrica tem

1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da

caixa é:

a) 3,2 m b) 3,6 m

c) 4,0 m d) 4,8 m

4. (SUPRA) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento

e 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição

vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois

litros de água em seu interior, a água:

a) ultrapassa o meio do cano

b) transborda

c) não chega ao meio do cano

d) enche o cano até a borda

e) atinge exatamente o meio do cano

5. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é

cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do

centro da superfície esférica, determinando uma

circunferência, em cm, é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Um cilindro reto tem 63 cm3 de volume.

Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em

centímetros, a sua altura.

7. (UFCE) O raio de um cilindro circular reto é aumentado

de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste

cilindro sofrerá um aumento de:

a) 2% b) 4% c) 6%

d) 8% e) n.d.a.

8. (PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de

hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos.

Qual é o volume do sólido de revolução gerado?

a) 3 2 cm3 b) 9 cm

3

c) 18 cm3 d) 27 cm

3

e) 1/3 cm

3

9. Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano

distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da

secção.

a) 39 b) 36 c) 32

d) 65 e) n.d.a.

10. (UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área

total é 2. O valor de 1

3do volume da esfera, inscrita

nesse cubo, é:

11. (UFSC) O volume, em cm3, de um cubo

circunscrito a uma esfera de 16 cm2 de superfície é:

12. (F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera têm

o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do

raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura

do cone é:

a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4

d) 2/3 e) 1

13. (Santa Casa-SP) O raio da base de um cone eqüilátero

mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em

cm3, é:

a) 144 b) 152 c) 192

d) 288 e) 302

14. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro

está completamente cheia de massa para doce, sem

exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces

em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter

com toda a massa é:

a) 300 b) 250 c) 200

d) 150 e) 100

15. (UFSC) A geratriz de um cone eqüilátero mede

32 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em

cm2, multiplique o resultado por 3 e assinale o valor

obtido no cartão-resposta.

UNIDADE 11

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

CONCEITOS INICIAIS

Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1,

sendo n inteiro positivo. Temos:

a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.

(4, 7, 10, 13, ...........)

Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor

se mantém igual a 3. Seqüências como esta são

denominadas progressões aritméticas.



DEFINIÇÃO

Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a

partir do segundo elemento, a diferença entre cada

elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é

denominada razão da P.A. e é indicada por r.

Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é

necessário que:

a2 a1 = a3 a2 = ...... an an 1 = ..... = r

Veja os exemplos:

a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois,

5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3.

b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois,

4 – 1 5 – 4.

CLASSIFICAÇÃO DA P.A.

Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da

razão. Observe o quadro abaixo:

r > 0 P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2

r < 0 P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3

r = 0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A.

Considere a seqüência (a1, a2, a3......an). Partindo da

definição temos:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r

.

.

an = a1 + (n – 1).r

Importante:

Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da

fórmula do termo geral temos:

an = a1 + (n – 1)r (1)

ak = a1 + (k – 1)r (2)

Subtraindo-se (1) de (2) vem:

an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r

an – ak = (n – 1 – k + 1) r

an = ak + (n – k)r

Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos

escrever:

an = ak + (n – k).r

Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r

Representações Especiais

Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos

utilizar os seguintes artifícios:

Três termos em P.A.

: x – r . x . x + r

Quatro termos em P.A

: x – 3r . x – r . x + r . x + 3r

Cinco termos em P.A.

: x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r

Propriedades da P.A.

Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e

razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

Um termo qualquer, excetuando os extremos é a

média aritmética entre o termo anterior e o

posterior.

2

1na

1na

na

Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23)

2

14811

Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos

é igual à soma dos termos eqüidistantes dos

extremos.

Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos

extremos temos:

p + q = n + 1

Com essa igualdade é possível saber se dois termos

quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não.

Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a16 e a35 são

eqüidistantes dos extremos, pois

16 + 35 = 50 + 1.

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a

e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com

m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos

calcular a razão da P.A.

SOMA DOS TERMOS DA P.A.

.n2

na1

a

nS

Exercícios de Sala

1. A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos

consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é:



2. Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcule a razão da

P.A.

3. (UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA

proposição correta. A soma dos múltiplos de 10,

compreendidos entre 1e1995, é

01. 198.000

02. 19.950

04. 199.000

08. 1.991.010

16. 19.900

Tarefa Mínima

1. Em cada caso abaixo, determine o valor de x para que

as seqüências representem três números consecutivos em

P.A.

a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 )

b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1)

c) (x + 4)2, (x – 1)

2 , (x + 2)

2

2. (FGV-SP) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma

progressão aritmética. Sua razão é:

3. (PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são

respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:

4. Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do

terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o

décimo segundo é 110.

5. (LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos

entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão

aritmética cujo quinto termo vale:

6. (PUC-SP) Três números positivos estão em PA. A

soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:

7. (U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros números

naturais ímpares é dada por:

a) n2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n

3

8. Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os

formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar

um triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3

formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assim

por diante, constituindo uma progressão aritmética. O

número de formandos na cerimônia é:

a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840

Tarefa Complementar

9. (UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma

dos termos extremos é 92, e a diferença entre os dois

primeiros termos é 5. O valor do 1º termo é:

10. O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e

623 é:

11. (U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 –

3x, x – 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da

P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é:

a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56

12. (PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e

a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado

do quadrado mede:

a) 2 b) 2 2 - 1 c) 1 + 2 d) 4 e) 2

13. (CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos

entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são

divisíveis por 15, é:

a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80

14. (POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e

45, qual é o sexto termo da P.A.

15. (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo

estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do

triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.

16. (UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são

números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro

mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do

maior lado desse triângulo.

17. Os lados de um triângulo retângulo estão em

progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é

150, determine o raio da circunferência inscrita nesse

triângulo.

18. (UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A.

cujo primeiro termo e último termos são respectivamente,

7 e 17 é:

19. (UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A.,

na qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18, é:

20. (UFSC) Qual deve ser o número mínimo de termos da

seqüência ( 133, 126, 119, 112...) para que a soma de

seus termos seja positiva.

UNIDADE 12

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

DEFINIÇÃO

É uma sequência de números não nulos em que cada termo

a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por

um número fixo chamado razão da PG.

Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an



onde

a1 é o primeiro termo

a2 é o segundo termo

a3 é o terceiro termo

an é o enésimo ou último termo

n é o número de termos

q é a razão da P.G.

qa

a

a

a

a

a

a

a

n

n

2

1

3

2

4

3 1

CLASSIFICAÇÃO DA P.G.

1º caso: a1 > 0

Se q > 0 P.G. crescente ( 2, 6, 18, 54,...)

Se q = 1 P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...)

Se 0 < q < 1 P.G. decrescente ( 256, 64,

16,...)

2º caso: a1 < 0

Se q > 0 P.G. decrescente (-2, -10, -50,..)

Se q = 1 P.G. constante ( -3, -3, -3,...)

Se 0 < q < 1 P.G. crescente ( -40, -20, -

10,...)

Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas

em que cada termo tem sinal contrário ao do termo

anterior. Isso ocorre quando q < 0.

TERMO GERAL

Considere a seqüência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da

definição temos:

a2 = a1.q

a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2

a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q

3

an = a1.qn - 1

Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos

quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma

P.G. am e ak, podemos dizer que:

am = ak.qm - k

1. Representação de três termos em

P.G.

xx x q

q, ,

2. Propriedades

1ª Propriedade:

Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3),

podemos dizer que o termo central é a média geométrica

entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja:

a22 = a1.a3 ou an

2 = an - 1.an + 1

2ª Propriedade

Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao

produto dos termos eqüidistantes dos extremos.

Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ).

Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128

3. Interpolação Geométrica

Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre

a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m

+ 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos

calcular a razão da P.G.

3. Soma dos termos de uma P.G. finita.

A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é

dada pela expressão:

111

1 1

n

na q aa q

Snq q

.( )

Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos

uma P.G. constante, e a soma dos

termos dessa P.G será dada por:

Sn = n. a1

4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.

Dada uma P.G. com: n e an 0, sua soma pode

ser calculada pela expressão:

q

aS

1

1 0 < |q| < 1

5. Produto dos termos de uma P.G. finita

O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela

expressão:

|Pn | = n). n1 a(a

Exercícios de Sala

1. (UEL-PR) A seqüência (2x + 5, x + 1,

2

x, ....) é uma

progressão geométrica de termos positivos. O décimo

terceiro termo dessa seqüência é:

a) 2 b) 3-10

c) 3 d) 310

e) 312

2. (MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro

termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é:

a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486



3. Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que

a razão vale 2, o valor do quinto termo é:

a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56

4. A solução da equação: xx x x

3 9 2715 é:

Tarefa Mínima

1. Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que

as seqüências representem três números consecutivos em

P.G.

a) (x + 1; x + 4; x + 10)

b) (4x, 2x + 1, x – 1) 2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o

último é 486. Calcular a razão dessa P.G.

3. (Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, a

soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos

vale 9. Calcule a razão da progressão.

4. (UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde

a soma de seus termos é 14 e o produto 64?

a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1

5. (UFCE) A solução da equação xx x x

3 9 2760

é:

a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51

6. A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é:

a) 567 b) 670 c) 728 d) 120

e) n.d.a.

Tarefa Complementar

7. (UFPA) A seqüência (a, ab, 3a), com a 0, é uma P.G.

Então, o número b é:

a) o triplo de a. b) a terça parte de a.

c) racional d) irracional

e) n.d.a.

8. (UFPA) A razão da P.G. obtida ao somarmos um

mesmo número a 1,3 e 2, nessa ordem é:

a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3

9. (FGV-SP) Em um triângulo, a medida da base, a

medida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de

razão 8. Então a medida da base vale:

10. (UFSC) Em uma progressão geométrica o 3º termo é

16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo.

11. ( UFSC ) Na progressão geométrica (10, 2, 2

5,

2

25,

...), a posição do termo2

625 é:

12. Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é

aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior.

Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês,

obteremos uma progressão:

a) aritmética de razão 12

b) aritmética de razão 0,12

c) geométrica de razão 12

d) geométrica de razão 1,12

e) geométrica de razão 0,12

13. (UFSC) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto

do 1º termo com o último é 12500. Determine o valor do

3º termo.

Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.

14. ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos

entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º

termo dessa seqüência.

a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245

15. (UFSC) Sejam x, 6 e y uma progressão aritmética

onde x e y são dois números positivos. A sucessão x, 10 e

y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de

11y - 7x é:

16. (UDESC) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se

os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro

quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro

quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim

sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os

quadrados obtidos.

17. (IME) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao

solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no

solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a

distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua

trajetória até atingir o repouso.

18. (FGV-SP) O conjunto solução da equação

2

1...

2793

2 xxxxx é:

a) {

2

1, 1} b) {–

2

1, 1} c) {1, 4}

d) {1, - 4} e) {1, 2}

19. Considere a expressão A = ...

81

4

27

3

9

2

3

1 em

que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores

formam uma P.G. Determine o valor de 12A



20. (UFSC) Determine a soma dos números associados

à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500.

02. O valor de x que satisfaz a equação

(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ..... + (x + 28) = 155 é

x = 1

04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ....) é a8 = 16.

08. A soma dos termos da P.G. 1

3

2

9

4

27 é igual a 1.

GABARITO

Unidade 1

1) 34,50

cand/vaga

2) 24 e 36

3) x = 15 e y = 5

4) c

5) 48, 72, 96, 144

6) 72, 64, 84

7) 35 anos e 20

anos

8) a

9) d

10) d

11) 04

12) 10

13) a

14) p = 2

1 m =

2

1

15) 6

1,

6

5,

5

1

Unidade 2

1) c

2) b

3) 75°

4) a) 20° b) 44°

c) 20° d) 30o

5) a

6) 85°

7) a

8) 47

9) 21

10) 80

11) b

12) e

13) 30°

14) 130°

15) 120

Unidade 3

1) b

2) c

3) c

4) a) 10 3 b)

10 c) 10 2

5) c

6) d

7) e

8) quadrado e

dodecágono

9) d

10) d

11) a

12) d

13) 40o

14) 2

15) R

2

15

Unidade 4

1) a) 43° b) 50°

c) 75°

2) a

3) a

4) 3/5

5) 29

6) a

7) c

8) 50°

9) 32

10) 215°

11) 20

12) b

13) 2,6; 3,9; 6,5

14) b

15) 20

Unidade 5 1) c

2) a

3) 12

4) 13

5) 15

6) b

7) e

8) c

9) 9 cm2

10) b

11) 03

12) a

13) d

14) 16

15) 20

Unidade 6

1) a

2) a

3) a

4) e

5) e

6) 23

7) 18

8) d

9) d

10) a

Unidade 7

1) 32dm3

2) 16

3) c

4) 36

5) a

6) 96

7) 04

8) d

9) 72

Unidade 8

1) 64

2) 68

3) 02

4) 64

5) 02

6) 48

7) a

8) 13

9) 06

10) a) 80 b)

512

Unidade 9

1) 64

2) 48

3) 24

4) b

5) b

6) 03

7) 18

8) 64

9) d

10) c

11) d

12) d

13) a

14) b

Unidade 10

1) 54

2) 09

3) c

4) a

5) e

6) 07

7) d

8) b

9) a

10) 96

11) 64

12) a

13) d

14) d

15) 09

Unidade 11

1) a) – 1 b) 4

c) -9/8

2) 07

3) 01

4) 06

5) 54

6) 04

7) a

8) a

9) 61

10) 120

11) d

12) b

13) b

14) 30

15) 60

16) 99

17) 02

18) 35

19) 90

20) 40

Unidade 12

1) a) 2 b) – 1/8

2) 03

3) 03

4) c

5) b

6) c

7) d

8) a

9) 16

10) 16

11) 06

12) d

13) 50

14) a

15) 96

16) 32

17) 3h

18) a

19) 09

20) 15

a c semi marcao

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