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Matemática
Tema 3 – Função do Segundo Grau
Ivonete Melo de Carvalho, MSc
Conteúdo da Aula
• Função de Segundo Grau.
Objetivos:
• Estudar a função do segundo grau, suascaracterísticas e a suas aplicações.
• Construir e analisar o gráfico da função desegundo grau.
• Determinar o vértice,identificando-o comoponto de máximo oude mínimo, e osintervalos de crescimentoe decrescimento.
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Objetivos (continua)
• Analisar, por meio de situações práticasaplicadas às áreas administrativas, os conceitosde receita, custos, lucro, ponto de equilíbrio(break-even point), além de outras situações,cujos modelos podem serdeterminados por umafunção do segundo grau.
Função do Segundo Grau
Toda expressão do tipo y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais, e a ≠ 0.
Exemplo: • y = 3x2 + 4x + 3• y = –5x2 + 6• y = 0,5x 2
• y = 2x2 – 3x
Características Principais
• O gráfico é sempre uma parábola.• Apresenta intervalos de crescimento e
decrescimento.• Possui, no máximo, duas raízes (ou zeros).• Possui um ponto de inflexão
chamado de vértice.
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Um exemplo:
Seja a função y = x2 – 5x + 6.
• Calcule as raízes,• Calcule o vértice,• Calcule o valor de y para o qual x = 0. • Por último, desenhe o gráfico
da função.
As Raízes (por Báskara)
2x3x
x
215
224255
x
1*26*1*4)5()5(
a2ac4bb
x
24
215
1
26
215
1
22
Valor de y para x = 0
y = x2 – 5x + 6y = 02 – 5*0 + 6y = 6
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O Vértice
25,041
1*41
a4y
5,225
1*2)5(
a2b
x
V
V
Observe
• Que se trata de uma parábola côncava para cima, pois, em y = x2 – 5x + 6, o coeficiente a > 0.
O gráfico
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Livro Texto, Página 45, Exercício 5
O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relação p = –2q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita “R” é dada pela relação R = p*q:
(a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico.
(b) Qual a quantidade de garrafas a serem comercializadas para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima?
(c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente?
Livro Texto, Página 45, Exercício 5
Respondendo...
(a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico.
q400q2R
q*)400q2(Rq*pR2
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Respondendo...
(b) Qual a quantidade de garrafas a serem comercializadas para que a receita seja máxima? Qual a receita máxima?
000.20R000.40000.20R
100*400100*2R
1004
400)2(*2
400q
V
V
2V
V
Respondendo...
(c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente?
A receita será crescente pela venda de até 100 garrafas.
A receita será decrescente a partir da venda de mais de 100 garrafas.
Matemática
Tema 4 – Funções Exponencial e Logarítmica
Ivonete Melo de Carvalho, MSc
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Conteúdo
• Função exponencial.• Função logarítmica.
Objetivos:
• Diferenciar função exponencial de função logarítmica.
• Aplicar as funções exponencial e logarítmica e esboçar/interpretar seus o gráficos.
• Utilizar o logaritmo como oinverso da potenciação.
• Utilizar o logaritmo para asimplificação de cálculos por meio de suas propriedades operatórias.
Função Exponencial
Toda expressão do tipo y = af(x), com a > 0 e a ≠ 1.
Exemplo: • y = 3x
• y = –5x + 6• y = 1 – 0,5x
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Características Principais
• O gráfico é sempre uma curva suave.• Pode ser: crescente, decrescente ou apresentar
intervalos de crescimento e decrescimento.• Pode, ou não, possuir raízes (ou zeros).
Um exemplo:
Seja a função y = –5x + 0,2.
• Desenhe o gráfico da função.• Calcule as raízes, se houver.• Calcule o valor de y para o qual x = 0.• Determine se a função é
crescente ou decrescente.
O GráficoValor de x Valor de y Cálculo de y
-1 0 y = –5x + 0,2 = –5-1 + 0,2 = 00 –0,8 y = –5x + 0,2 = –50 + 0,2 = –0,81 –4,8 y = –5x + 0,2 = –51 + 0,2 = –4,82 –24,8 y = –5x + 0,2 = –52 + 0,2 = –24,8
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As raízes:
1x5551
5
102
50
2,05y
1x
x
x
x
Valor de y para x = 0
8,0y
2,01y2,05y
2,05y
:então,0xSe
0
x
Crescente ou decrescente?
• Observe que conforme aumenta o valor de x, diminui o valor de y. Portanto, a função é decrescente.
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Livro texto, página 72, exercício 8
Uma cidade, no ano 2000, tem 1.350.000 habitantes e, a partir de então, sua população cresce de forma exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano.
(a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t).
(b) Estime a população da cidade para os anos de 2000, 2001, 2005 e 2010.
(c)Esboce o gráfico de P(t).
(d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década?
Livro texto, página 72, exercício 8
Respondendo...
(a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t).
t
t
0126,1*000.350.1P
)0126,01(*000.350.1P
)t(fP
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Respondendo...
(b) Estime a população da cidade para os anos de 2000, 2001, 2005 e 2010.
076.530.10126,1*000.350.1)2010(P
221.437.10126,1*000.350.1)2005(P
010.367.10126,1*000.350.1)2001(P
000.350.10126,1*000.350.1)2000(P
10
5
1
0
Respondendo...
(c) Esboce o gráfico de P(t).
Respondendo...
(d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década?
%338962,13
1076.530.1172.734.1a
%338962,131000.350.1076.530.1
a
a
a
2
1