87 a polarização da onda eletromagnética 5

A polarização da onda eletromagnética 87

5A polarização da onda eletromagnética

5.1 Polarização linear No Cap. 2 analisamos a onda eletromagnética no que se refere à

sua direção de propagação, dada pelo vetor de onda kr

, e como esta se altera quando o raio percorre um meio com índice de refração variável. Este tópico está ligado à óptica geométrica, que é o limite clássico da óptica ondulatória. No Cap. 3 analisamos a equação de ondas e suas possíveis soluções, que como vimos, são dependentes das condições de contorno do problema sendo tratado. Já no Cap. 4 estivemos estudando a fase da onda eletromagnética, que é talvez sua característica mais importante. Vimos como calcular a velocidade de propagação e as mudanças em freqüência que ocorrem devido ao movimento relativo entre o observador e fonte, ou à variação temporal do índice de refração. Agora vamos analisar os fatores pré-exponenciais 0E

rHr

e 0 cuja mudança de direção no espaço e tempo determina os estados de polarização da luz. Considere uma onda eletromagnética plana, como discutido na seção 3.4, dada por:

{ })tr.k(iexpEE 0 ω−±=rrrr

(5.1a)

{ })tr.k(iexpHH 0 ω−±=rrrr

(5.1b)

0Er

0Hr

e Se as amplitudes são vetores reais e constantes, a polarização da onda é chamada linear. É tradicional em óptica especificar-se a polarização da onda como sendo a direção do campo elétrico e plano de polarização aquele que o contém. Se a onda vier se propagando na

S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações

A polarização da onda eletromagnética

88

direção do observador, este verá o campo elétrico variando sobre um plano fixo conforme mostra a Fig. 5.1.

kr

plano de polarização

Er

Hr

Fig. 5.1 - Propagação de uma onda plana linearmente polarizada.

5.2 Polarização elíptica Er

No caso da polarização linear, a projeção do vetor sobre o plano xy descreve um segmento de reta. No entanto, quando 0E

r (e

conseqüentemente 0Hr

) for um número complexo, a projeção será uma elipse (ou circunferência, como veremos na próxima seção). Considere a soma de dois campos e 2E

r1Er

, respectivamente nas direções x e y, propagando-se na direção z, conforme mostra a Fig. 5.2. Ambos possuem a mesma freqüência e vetor de onda, e são soluções possíveis da equação de ondas, que diferem por estarem rodados entre si de π/2. Além disto, eles podem também possuir uma diferença de fase relativa que chamaremos de δ. As duas soluções são linearmente independentes e, como tal, combinações lineares delas fornecem outras soluções possíveis da equação de onda. Vejamos quais novos tipos de soluções podem advir destas combinações lineares.

O campo resultante é dado por:

{ }ωt)i(kzexp)jEie(EEEE 201021iδ −+=+=

rrr (5.2)

ou alternativamente, tomando a parte real:

jωt)cos(kzEiδ)ωtcos(kzEt)(r,E 2010 −++−=r

(5.3)



x

y

z

2Hr

2E

r

kr

x

y

z

1Hr

1Er

kr

Fig. 5.2 - Representação gráfica da orientação de duas soluções possíveis para a

equação de onda.

t),r(ErrA variação de no espaço e tempo está mostrada na Fig. 5.3

e sua projeção no plano xy, mostrada na Fig. 5.4, descreve uma elipse.

Hr

Er

z

Fig. 5.3 - Onda plana com polarização elíptica .

x

y

E10

E20

b a

ψ

Fig. 5.4 - Projeção do campo elétrico no plano xy.



90

Esta elipse é descrita pelas equações:

δsencosδEEEE2

EE

EE 2

2010

21

2

20

2

2

10

1 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.4a)

δ−

=ψ cosEE

EE22tg 2

20210

2010 (5.4b)

(5.4c) 220

210

22 EEba +=+

δ= senEEab 2010 (5.4d)

cuja demonstração deixaremos como exercício. A elipse é caracterizada por a, b, e ψ, que são conhecidos como parâmetros de Stokes. Alguns casos particulares desta situação que estamos estudando ocorrem quando:

220

101 E

EE

E0 =⇒=δa) (Fig.5.5a)

220

101 E

EE

E −=⇒π=δ (Fig. 5.5b) b)

1EE

EE

2

2

20

2

2

10

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

π=δc) (Fig. 5.5c)

Er

Neste caso, a projeção de no plano xy nos dá uma elipse que roda no sentido horário, tal que: e . tsenEE 101 ω= tcosEE 202 ω=

Quando δ = −π/2 teremos ainda uma elipse com os eixos principais, coincidindo com x e y, mas com polarização no sentido anti-horário, como mostrado na Fig. 5.5d. De um modo geral, pode-se mostrar que para 0 < δ < π temos polarização no sentido horário e para π < δ < 2π no sentido anti-horário.

x

y

x

y

x

y

x

y

a) δ = 0 b) δ = π c) δ = π/2 d) δ = -π/2

Fig. 5.5 - Alguns casos particulares de polarizações elípticas.



5.3 Polarização circular Trata-se novamente de um caso particular de luz elipticamente polarizada. Quando δ = ±π/2 e , teremos: 02010 EEE ==

20

22

21 EEE =+ (5.6a)

tcosEE 01 ω= (5.6b)

tsenEE 02 ω±= (5.6c)

(+ para δ = π/2 e - para δ = π/2) e assim a elipse se transforma numa circunferência.

5.4 Lâminas de quarto de onda e meia onda Queremos agora partir de luz linearmente polarizada e rodar seu plano de polarização ou gerar luz circularmente polarizada. Isto pode ser conseguido com um cristal anisotrópico cujo índice de refração depende da direção (birrefringência), como por exemplo, mica, quartzo, etc. Voltaremos a este tópico no capítulo que aborda a óptica de cristais. Considere a Fig. 5.6, onde luz linearmente polarizada incide sobre uma lâmina de espessura d com eixos rápido e lento respectivamente nas direções x e y. E

x (nr)

y (nl)

z d

Fig. 5.6 - Incidência de luz sobre uma lâmina birrefringente.

O campo elétrico incidente forma um ângulo de 45° com o eixo x de maneira que suas componentes são: Ex = E0 exp{i(k z-ωt )} e Er y = E 0



92

exp{i(k z-ωt )}. A onda atinge a placa em z = 0, onde E = Ex 0l exp{-iωt} e Ey = E exp{-iωt}, e sai em z = d com: E (d) = E exp{i(k0 x 0 rd-ωt )} e Ey(d) = E exp{i(k0 ld-ωt )}. A diferença de fase entre as componentes emergentes é:

( ) ( r00

r

0rr nnd2dnn2d22dkk −

λπ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

−λ

π=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

−λ

π=−=δ l

l

l

l ) (5.7)

Para termos luz circularmente polarizada, devemos fazer δ = π/2 e assim,

( ) ( )4

dnnnnd22

0rr

0

λ=−⇒−

λπ

=π

ll (5.8)

ou seja, a diferença de caminhos ópticos deve ser igual a um quarto de onda. Por outro lado, quando δ = π, o plano de polarização da onda será rodado de 90°. Neste caso, a diferença de caminhos ópticos deve ser meia onda:

( ) ( )2

dnnnnd2 0rr

0

λ=−⇒−

λπ

=π ll (5.9)

Se a luz incidente sobre a lâmina de meia onda não estiver com polarização a 45°, o campo será rodado por um ângulo 2θ, como veremos na seção 5.7.

5.5 Obtenção de luz linearmente polarizada Existe uma variedade de maneiras de se obter luz linearmente polarizada. Vamos sumarizar algumas delas.

a) Por reflexão - quando estudarmos as equações de Fresnel mais adiante, veremos que ao se incidir luz não polarizada sobre uma superfície separando dois meios de índices de refração n e n1 2, a luz refletida sai polarizada, com E

r paralelo à superfície, quando o ângulo de incidência

for igual ao ângulo de Brewster, como indicado na Fig. 5.7.



n1

n2

.θB

NP P

Fig. 5.7 - Polarização por reflexão. b) Dicroismo - certos materiais possuem moléculas orientadas numa direção preferencial e absorvem radiação com polarização paralela ao seu eixo. Conseqüentemente tal material deixará passar apenas a luz que tiver polarização perpendicular ao eixo da molécula como mostra a Fig. 5.8. Um exemplo disto é o polaróide.

vibração

NP P

Fig. 5.8 - Polarização por dicroismo. c) Processo de difusão de luz - a luz espalhada por moléculas de um meio, geralmente está parcialmente polarizada. O maior grau de polarização ocorre quando as direções luz-molécula e molécula-observador formarem um ângulo de 900, conforme representado na Fig. 5.9.

NP

P z

dipolo oscilante

Fig. 5.9 - Polarização por espalhamento.



94

d) Grade metálica - geralmente usada para infravermelho e micro-ondas. A componente de luz que tiver polarização paralela aos fios da grade produzirá uma corrente elétrica, sendo assim parte dissipada pelo efeito Joule e parte refletida. Por outro lado, a componente perpendicular passa e teremos assim luz linearmente polarizada na direção perpendicular à grade (ver Fig. 5.10).

Fig. 5.10 - Polarização por grade metálica.

NP P

e) Dupla refração - aparece em materiais birrefringentes tais como mica, quartzo, calcita, KDP, etc. O conhecido prisma de Nicol usa este princípio para polarizar a luz. Considere radiação não polarizada incidente sobre o prisma birrefringente mostrado na Fig. 5.11. A componente de campo elétrico que incidir no meio, com polarização paralela ao eixo rápido, não será praticamente defletida pois nr é pequeno (raio ordinário) ao passo que a outra componente será pois nl é bem maior (raio extraordinário).

NP ordinário

extraordinário

P1 P2

Fig. 5.11 - Polarização por dupla refração.

5.6 Equações de Fresnel Estamos interessados em detalhar um pouco mais o que acontece com a radiação eletromagnética quando incide num meio com índice de refração diferente daquela na qual ela se propaga. Em particular queremos



analisar os ângulos de reflexão e refração e as amplitudes dos campos elétricos transmitido e refletido.

a) Leis da reflexão e refração

Considere dois meios homogêneos isotrópicos, lineares e não condutores (σ = J = 0) com índices de refração n1 e n2, separados por uma interface localizada sobre o plano xz. Um raio de amplitude E, propagando-se no meio 1 incide sobre a interface, formando um ângulo θ com o eixo y. O raio refletido tem amplitude E’ e sua direção de propagação é especificada pelos ângulos θ’ e φ’ Analogamente, o raio refratado é especificado por E”, θ” e φ”, como mostra a Fig. 5.12. Note o fato de estarmos supondo que os três raios não estão num mesmo plano.

n′

Das equações de Maxwell podemos deduzir condições de contorno que estabelecem a continuidade das componentes de E

rHr

e ao se passar de um meio para outro. Os campos E

r'Er

"Er

, e são dados por:

{ })tr.k(iexpEE 0 ω−=rrrr

(5.10a)

{ })t'r'.k(iexpE'E '0 ω−=

rrrr (5.10b)

{ })t"r".k(iexpE"E "0 ω−=

rrrr (5.10c)

enquanto que os campos magnéticos se relacionam com os campos elétricos através de:

n1

n2

θ θ’

θ’’

kr

'kr

"kr

y

x

Fig. 5.12 - Geometria da reflexão e refração de um raio de luz.



96

μω=

EkH xrr

r (5.11a)

ω′μ=

'E'k'H xrr

r (5.11b)

ω′′μ=

"E"k"H xrr

r (5.11c)

Tomando um pequeno elemento de volume S dh contendo parte da interface (Fig. 5.13), podemos aplicar a forma integral da lei de Gauss:

∫ ∫ ∫∫ υ υυρ=ϑρ==ϑ∇

sdhdadad.DdD. rrrr

(5.12)

Como a carga superficial é dada por = σ, ficamos com: ∫ ρ→ h0dh

dhlim

∫ ∫σ=s s

daad.D rr (5.13)

Assim, de acordo com a Fig. 5.13, temos:

∫∫∫ σ=+s2s 21s 1 dadan.Ddan.D

21

rr (5.14)

Fig. 5.13 - Elemento de volume usado na obtenção das condições de contorno.

dh S1

S2

1n

2n

interface

.n=21 nn −=Note que S = S = S pois dh ≅ 0 e 1 2 Logo, a eq. (5.14)

nos leva a:



( ) σDD.n 21 =−rr

(5.15)

que estabelece que a variação da componente normal do deslocamento elétrico é igual à carga superficial. No nosso caso específico σ = 0, logo, a componente normal de D

ré contínua:

( ) 0DD.n 21 =−rr

(5.16)

Procedendo de maneira análoga com as outras equações de Maxwell, obtemos:

( ) 0EE x n 21 =−rr

(5.17)

( ) 0BB.n 21 =−rr

(5.18)

( ) 0JHH x n 21 ==−rrr

(5.19)

A eq. (5.17) estabelece que para y = 0 a componente tangencial do campo elétrico é contínua. Logo,

( ){ } ( ){ }( ){ }tr".kiexpE

tr'.kiexpEtr.kiexpE

x0

x0x0

ω′′−′′=

ω′−′+ω−rr

rrrr

(5.20a)

para a componente x e

( ){ } ( ){ }( ){ }tr".kiexpE

tr'.kiexpEtr.kiexpE

z0

z0z0

ω′′−′′=

ω′−′+ω−rr

rrrr

(5.20b)

para a componente z. Como estas igualdades são válidas para qualquer t e qualquer ponto r da interface, devemos ter:

ω′′=ω′=ω (5.21a)

r".kr'.kr.k rrr rrr== (5.21b)

onde kzixr +=r

. Esta última igualdade estabelece que os vetores , ' e são coplanares, isto é, φ’ = φ” = 0 e, portanto:

kr

kr

"kr

θ ′′′′=θ′′=θ senksenksenk (5.22)



98

Por outro lado, k = k’ pois k = ω/v e k’ = ω’/v = ω/v1 1 1. Logo, θ = θ’, ou seja, o ângulo de incidência θ é igual ao ângulo de reflexão θ’. O ângulo de refração θ” pode ser encontrado usando-se k = n k1 0 e k”= n2k0 na eq. (5.22). Assim, n1sen θ = n2sen θ′′ , que é chamada de lei de Snell.

Em resumo temos as seguintes regras: (i) os raios incidente, refletido e refratado são coplanares, (ii) o ângulo de incidência θ é igual ao ângulo de reflexão θ’, e (iii) os ângulos de incidência e refração se relacionam através da lei de Snell θ ′′=θ sennsenn 21

b) Amplitudes das ondas refletida e refratada

Er

Vamos analisar dois casos: a) aquele em que é paralelo à interface (e, portanto, perpendicular ao plano xy) como mostrado na Fig. 5.14(a), que leva o nome de onda TE (transversa elétrica) ou polarização σ (ou s) e b) quando H

r for paralelo à interface, que corresponde à onda

TM (transversa magnética) também chamada polarização π (ou p), mostrada na Fig. 5.14(b). No caso (a) zEE =

rzHH =

r e para (b) , o

mesmo se dando com as ondas refletida e refratada. Logo, usando as eq. (5.17) e (5.19) podemos fazer a seguinte análise:

caso a) TE

E + E’= E” (5.23a)

θ′′′′=θ′−θ cosHcosHcosH (5.23b)

Usando a eq. (5.11) para eliminar H em função de E, obtemos:

θ ′′′′′′=θ′−θ cosEkcosEkcoskE (5.24)

de onde saem os coeficientes de transmissão e reflexão definidos por:

θ ′′+θθ

=′′

=τσ cosncosncosn2

EE

21

1 (5.25a)

θ ′′+θθ ′′−θ

=′

=ρσ cosncosncosncosn

EE

21

21 (5.25b)


n1

n2


y y

θ θ’

θ”

Er

'kr

"kr

Hr

kr

'Er

'Hr

"Hr

"Er

n1 x

"Er

θ θ’

θ”

Er

'k

n2

(a) (b)

r

"kr

Hr

kr

'Er

'Hr

"Hr

Fig. 5.14 - Reflexão e refração de uma onda (a) TE (polarização s) e (b) TM (polarização p). O círculo aberto significa que o campo está saindo do plano e a cruz que ele está entrando no plano.

Caso b) TM

H - H’= H” (5.26a)

θ ′′′′=θ′+θ cosEcosEcosE (5.26b)

Novamente, usando a eq. (5.11) para eliminar H em função de E, obtemos: ( ) EkE-Ek ′′′′=′ , de onde sai:

θ ′′+θθ

=′′

=τπ cosncosncosn2

EE

12

1 (5.27a)

θ ′′+θθ ′′+θ−

=′

=ρπ cosncosncosncosn

EE

12

12 (5.27b)

As equações acima podem ser modificadas usando-se a lei de Snell para ( ) θ− 22

21 sennn1"sen1"cos 2 θ−=θ = , e o índice de refração relativo (n = n2/n1):

θ−+θ

θ−−θ=ρσ 22

22

senncossenncos (5.28a)



100

θ−+θ

θ−+θ−=ρπ 222

222

senncosnsenncosn (5.28b)

A Fig. 5.15 mostra a variação do coeficiente de reflexão em função do ângulo de incidência quando n > n2 1 (reflexão externa). O sinal negativo de ρ significa que o campo elétrico muda a fase em 180° após a reflexão. Note que ρπ = 0 quando:

1

2BB

22B

2

nnntg0senncosn ==θ⇒=θ−−θ (5.29)

Ângulo (graus)

θB

ρσ

ρπ

0 15 30 45 60 75 90

-0,5

0,0

0,5

1,0

-1,0

Fig. 5.15 - Coeficiente de reflexão externa. Como n > n temos tgθ > 1 e, consequentemente, θB > 45°. θ2 1 B BB B é conhecido com ângulo de Brewster.

A Fig. 5.16 mostra o caso da reflexão interna (n1 > n2) com o ângulo de Brewster, sendo agora menor que 45°. Por outro lado, quando n = senθ temos um ângulo crítico θC acima do qual ρσ = ρπ = 1. Para n < senθ temos:

1nsenicosnsenicos

22

22=ρ⇒

−θ+θ−θ−θ

=ρ σσ (5.30)

Um conceito erroneamente empregado é que se a refletividade é unitária, nenhuma luz penetra no meio menos denso. Isto não é verdade, como veremos a seguir. Supondo que a onda incidente na interface é plana e tomando o campo elétrico na forma exponencial, podemos escrever:



ângulo (graus)

ρσ

ρπ

θC

0 15 30 45 60 75 90

-0,5

0,0

0,5

1,0

θB

Fig. 5.16 - Coeficiente de reflexão interna.

( ){ } ( ){ }tωykxkixpeEtωr.k i expEE yxoo −+=−=rr

(5.31)

onde na última passagem usamos o fato que ao onda se propaga no plano xy ( ). Note que kjyixr +=

r = k senθ e kx y = k cosθ são as projeções de

no plano xy. O módulo de k é (ω/c) nkr

1. No meio com índice n2, o campo elétrico pode ser escrito de maneira similar:

( ){ } ( ){ }tωykxkixpeEtωr.k i expEE "y

"x

"0

""0

" −+=−=rr

(5.32)

sendo as projeções de ” dadas por kkr

x” = k” senθ” e ky” = k” cosθ”, e seu módulo por k”= (ω/c)n . Lembrando que n = n /n2 2 1, pela lei de Snell temos senθ = n senθ” e consequentemente:

nsenisenn"sen1n ="osnc 22222 −θ=θ−=θ−θ (5.33)

Desta forma, a parte espacial da fase da onda fica:

( )ynsenixsen kykxk 22"y

"x −θ+θ=+ (5.34)

Como i2 = -1, o campo é dado por:

( ){ }tω xsenk ixpe y)(xpe EE "0

" −θα−= (5.35)

22 nsenk= −θαonde . Note que a luz se propaga paralelamente à interface, na direção do eixo x. Por outro lado, ela penetra no meio menos



102

denso, porém decaindo de forma exponencial. Em geral, a profundidade de penetração é da ordem do comprimento de onda da luz. Pictoricamente, é como se houvesse uma rampa na qual uma partícula (fóton) sobe um pouco, mas depois volta. Este processo na óptica leva o nome de penetração em barreira ou tunelamento fotônico. Isto fica mais claro se colocarmos dois prismas próximos, separados por uma distância da ordem do comprimento de onda da luz, como representado na Fig. 5.17. Desprezando as reflexões de Fresnel nas faces de entrada e saída, vemos que a intensidade da luz transmitida decai exponencialmente com a separação entre os prismas, de acordo com IT = I0 exp (-αd). No interior de cada prima o campo elétrico oscila harmonicamente, mas entre eles decai exponencialmente como mostrado na Fig. 5.17.

IT

IR

Io

d

Fig. 5.17 – Tunelamento fotônico.

Este é um fato muito importante, principalmente no que se refere à propagação de luz em fibras óptica. Nelas, o núcleo (com cerca de 5 μm de diâmetro) possui o índice de refração levemente superior à da casca (diâmetro da ordem de 120 μm) e a tendência da luz é a de propagar confinada no meio com maior índice de refração. Porém, como acabamos de ver, uma parte não desprezível da radiação propaga pela casca, devido ao tunelamento fotônico e qualquer imperfeição (trincas, bolhas, etc.) acarreta em perdas de intensidade.

Com relação à energia transmitida ou refletida, podemos escrever:



{ } kEc2μ

nkEω2μ

1HE21S

2

00

2

00

*xrrrrrr

===>< (5.36)

Chamando de a normal à interface, a energia se propagando nesta direção é

n=><= n.SJ

rθ

μcosE

c2n 2

00

r , a energia refletida é:

=><= n.'S'Jr

θμ

cosEc2

n 2'0

0

r e a transmitida é dada por: =><= n."S"Jr

"cosEc2

n 2"0

0

θμ

r . Define-se refletividade R e transmissividade T como:

2

2

0

2

0

E

E

JJR ρ=

′=

′= r

r

(5.37a)

θθ ′′

τ=θθ ′′

==coscos

nn

coscos

E

"E

nn

J"JT 2

1

22

0

2

0

1

2r

r

(5.37b)

onde necessariamente T + R = 1.

5.7 Polarização por reflexão total interna No caso da reflexão total interna, os coeficientes de reflexão para as polarizações s e p, podem ser escritos como { } iexp σσ θ=ρ e

{ }ππ θ=ρ iexp e θ, onde as mudanças de fase θσ π , que ocorrem durante a reflexão, são dadas por:

( )θ−θ−=θ −σ cos/nsentg2 221 (5.38a)

( )θ−θ−=θ −π cosn/nsentg2 2221 (5.38b)

Se a onda incidente possuir as duas polarizações (s e p) haverá uma diferença de fase induzida pela reflexão total interna:



104

( ){( )θ−θ−

θ−θ−=θ−θ=δ−

−πσ

cosn/nsentg

cos/nsentg22221

221

} (5.39)

A Fig. 5.18 mostra a diferença de fase δ como função do ângulo de incidência θ para a reflexão total interna no vidro (n1 ≈ 1.5, n2 = 1) cujo ângulo crítico é θC = 41.9°. Vemos que próximo ao ângulo de 50°, a diferença de fase é 45° e assim podemos pensar em obter luz circularmente polarizada, fazendo duas reflexões internas no vidro. Isto pode ser conseguido com o rombo de Fresnel, mostrado na Fig. 5.19 (a), tomando-se o cuidado de fazer as amplitudes dos campos com polarizações s e p iguais. Por outro lado, se provocarmos quatro reflexões internas, a diferença de fase induzida será de 180° e como resultado teremos uma rotação no plano de polarização da luz linearmente polarizada incidente (Fig. 5.19 (b)). Neste caso, não é necessário fazer as polarizações s e p de mesma amplitude. A vantagem deste método de obtenção de luz circularmente polarizada e rotação do campo elétrico é a acromaticidade, isto é, a independência do comprimento de onda, ao contrário das lâminas de λ/4 e λ/2.

30 45 60 75 900

15

30

45

60

δ (g

raus

)

θ (graus)

Fig. 5.18 - Diferença de fase como função do ângulo de incidência para a

reflexão total interna no vidro.




105

E Ep

Es

E E

(a) (b)

θ2 θ2

entrada saída

θ1 θ1

Fig. 5.19 - (a) obtenção de luz circularmente polarizada (rombo de

Pa mar a atenção para o

ig. 5.20 - Rotação do plano de polarização da luz pela ação do dispositivo da

5.8 Matrizes de Jones Considere um campo e trico

EE iy0x0 ω−+ δ− (5.40)

Fresnel) e (b) rotação do plano de polarização da luz.

ra finalizarmos esta seção, convém chafato de que o dispositivo da Fig. 5.19 (b) roda continuamente o plano de polarização da luz incidente, como é mostrado na Fig. 5.20. Este mesmo efeito ocorre para a lâmina de meia onda que estudamos na seção 5.4. Ao rodarmos o dispositivo (ou lâmina λ/2), ou então mudando o plano de polarização da luz incidente de um ângulo θ, a luz emergente sai com o plano de polarização rodado de 2θ.

F

Fig. 5.19(b).

lé onde as componentes x e y estão defasadas de um ângulo δ:

( )ˆ=r

( ){ }tkziexpjeEi


106

Jones escreveu este campo da forma matricial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= δ−i

y0

x0

eEE

Er

(5.41)

Usando este formalismo podemos escrever o campo elétrico para as várias polarizações já vistas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

y0

x0

EE

=E (5.42a) (a) LP (δ = 0)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= π− i

1E

eEE

E 02/i0

0r (5.42b) (b) CPH (δ = π/2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= π i

1E

eEE

E 02/i0

0r (5.42c) (c) CPAH (δ = - π/2)

e ainda definir operações tais como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=0

1E2

i1

Ei

1E 000'EE

rr+(i) Soma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

Er

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dc

'Er

(ii) Produto escalar: tomando e temos:

( ) dbcadc

ba'EE **** +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rr. Dois vetores são ortogonais quando

0'EE =rr

. Como exemplo, temos: e , e

Dentro desta abordagem podemos associar, a cada sistema óptico, uma matriz que modifica o campo incidente, dando origem ao campo emergente desejado, de maneira análoga ao que foi feito na óptica geométrica. Vamos escrever as matrizes para os elementos já vistos:



EM'E 4/

rrλ=a) lâmina de quarto de onda (λ/4): devemos ter , onde

1

1EE 0

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

r

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

i

1E='E 0

r, e . Realizando o produto

matricial temos: = . Logo,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ

2221

12 114/ M M

MMM

1

1E0 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

1E 0

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2221

1211

MMMM 1MM 1211 =+ e

. Existem várias matrizes que satisfazem estas condições. Devemos lembrar que se o campo tem polarização ao longo de um dos eixos principais, esta polarização não é alterada. Assim, temos:

iMM 2221 =+

0M1M

0

1

21

11

==

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

12 11

M MMM

0EE0 (5.43)

e desta forma a matriz que descreve a lâmina de quarto de onda é:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ i 0

0 1M 4/

(5.44)

b) lâmina de meia onda (λ/2): procedendo de maneira análoga podemos encontrar a matriz para a lâmina de λ/2:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1

1E='E ,

1

1EE 00

rr (5.45) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒ λ 1- 0

0 1M 2/

c) polarizador com eixo de transmissão horizontal: considere um campo elétrico E

r linearmente polarizado, formando um ângulo θ com o eixo x e

propagando-se na direção z. A Fig. 5.21 mostra este campo incidindo num polarizador com eixo de transmissão na direção x. Neste caso temos:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ θ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ

θ=

0

cosE='E ,

sen

cosEE 00

rr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

0 00 1

M (5.46)

A intensidade de luz emergente é proporcional a:



108

( ) =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ θθ=

0

cos0cosE'E'E 2

0

rr θ=⇒θ 20

220 cosIIcosE (5.47)

Esta é a lei de Malus, que não vale para um polaróide porque ele não extingue completamente a componente y, mas vale para o prisma de Nicol.

x

Er

y

z

θ eixo de transmissão

Fig. 5.21 - Polarizador com eixo de transmissão horizontal.

c) polarizador com eixo de transmissão a 45° : o campo incidente é o mesmo que o do caso anterior, mas o eixo de transmissão do polarizador faz 45° com o eixo x, conforme mostra a Fig. 5.22.

450

x

Er

y

z

θ eixo de transmissão

Fig. 5.22 - Polarizador com eixo de transmissão a 45°.

Na direção do eixo de transmissão, o campo incidente é ( θ+θ sencosE02

2 ) que é também o campo emergente. Decompondo-o

em duas componentes, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θθθθ

=sen + cossen + cos

2E

'E 0r

yx E e E ′′ , obtém-se:



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ

θ=

sen

cosEE 0

rpara , de onde se tira a matriz para este sistema:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1 11 1

21M (5.48)

5.9 Atividade óptica Atividade óptica é a propriedade que certos materiais possuem de rodar o plano de polarização de um feixe de luz linearmente polarizada, da maneira indicada na Fig. 5.23. O ângulo de rotação θ do plano de polarização depende da distância l percorrida pela luz dentro do meio e de uma característica intrínseca do material, chamada de poder rotatório. Costuma-se definir o poder rotatório específico como sendo o ângulo rodado por unidade de comprimento.

l

z

θ Fig. 5.23 - Rotação do plano de polarização da luz devido à atividade óptica do

meio.

Olhando para a direção z > 0, se a luz rodar para a direita o material é chamado de destro-rotatório e se rodar para a esquerda, levo-rotatório. Alguns exemplos de meios opticamente ativos são: quartzo cristalino (com a luz se propagando na direção do eixo óptico), clorato de sódio, molécula de DNA e alguns tipos de açúcares. Na Fig. 5.24 vê-se o poder rotatório do quartzo como função do comprimento de onda. Notamos que esta grandeza varia com λ e esta variação, chamada de dispersão rotatória, pode ser usada na determinação do comprimento de onda de luz monocromática, ou como monocromador por atividade óptica, colocando-se um polarizador na entrada do meio e um analisador na saída



110

deste. Variando-se o ângulo do analisador podemos alterar o comprimento de onda que sai do monocromador.

400 500 600 7000

20

40

60 gr

aus/

mm

λ

(nm) Fig. 5.24 - Poder rotatório específico do quartzo cristalino como função do

comprimento de onda. A atividade óptica pode ser explicada levando-se em conta a

simetria das moléculas que compõem o meio, que neste caso é chamada de simetria chiral. Para facilitar o entendimento, vamos pensar nestas moléculas como tendo a forma de molas helicoidais. Quando a luz linearmente polarizada incide sobre o material, as componentes x e y estarão sujeitas a mesma simetria (o diâmetro das molas é o mesmos nas direções x e y) e portanto possuem a mesma velocidade de propagação (mesmo índice de refração). Já no caso de luz circularmente polarizada, as componentes polarizadas à direita (σ+) e à esquerda (σ-) “encontram” o passo da mola de formas diferentes (positivo ou negativo) e, portanto, “vêem” simetrias diferentes. Isto faz com que os índices de refração n+ e n- para estas duas polarizações sejam diferentes e como conseqüência, estas polarizações adquirem fases diferentes durante sua propagação pela amostra. Este fato pode ser melhor apreciado se usarmos o formalismo matricial de Jones.

Consideremos um feixe de luz linearmente polarizada na direção x, propagando-se ao longo do eixo z. Podemos decompor esta luz em duas componentes circularmente polarizadas, ortogonais. No formalismo de Jones, este fato se expressa como:



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

iiE

1211

21

01r

(5.49)

Após percorrer uma distância l dentro do meio, as componentes σ+ e σ- adquirem fases diferentes e o campo elétrico na saída da amostra pode ser escrito da forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= −iθiθiψ ei1

21e

i1

21ell

r−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= ikik ei1

21e

i1

21'E (5.50)

onde foram introduzidas as quantidades 2/)kk( l−+ +=ψ e . Somando as matrizes obtemos: 2/)k(k= + l−−θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+=

−

−

senθcosθ

e)/2ie(e)/2e(e

e'E iψiθiθ

iθiθiψ

r (5.51)

que representa uma onda linearmente polarizada, cuja direção do plano de polarização encontra-se rodado de um ângulo θ com relação a direção inicial (antes da luz penetrar no meio). De acordo com a definição de θ temos:

l)nn( −+ −λπ

=θ (5.52)

de forma que o poder rotatório específico é dado por:

)nn( −+ −λπ

=θ

=δl

(5.53)

que explica a forma da Fig. 5.24. Note, porém, que Δn = n - n+ - pode ter dispersão com o comprimento de onda e assim, a forma funcional de δ é mais complicada do que uma hipérbole. Um fator importante de se notar é que se tivermos a mola orientada ao longo do eixo z, por exemplo, a polarização do campo rodará de +θ se ele estiver se propagando no sentido +z e -θ se ele estiver no sentido –z. desta forma, se a luz atravessa o meio, reflete num espelho e atravessa novamente o meio no sentido oposto, o efeito de uma rotação cancela o da outra e a luz volta a ter a polarização original. Isto impede que a atividade óptica seja usada em isoladores ópticos.



112

5.10 Efeito Faraday Certos meios isotrópicos podem provocar a rotação da luz pela

aplicação de um campo magnético uniforme Br

na direção de propagação da luz. Esta propriedade, conhecida como efeito Faraday, é comumente aplicada na construção de isoladores ópticos ou diodos ópticos. Na ausência de campo magnético, o material comporta-se da mesma forma para as polarizações circulares σ+ e σ-. Entretanto, a presença do campo Br

quebra a simetria para rotações à direita e à esquerda, da maneira apresentada na Fig. 5.25 e o material passa a ter atividade óptica. Quando a luz linearmente polarizada incide sobre o material, as componentes de polarização x e y estarão sujeitas à mesma simetria e portanto possuem a mesma velocidade de propagação (mesmo índice de refração). Já no caso de luz circularmente polarizada, as componentes polarizadas à direita (σ+) e à esquerda (σ-) “encontram” os triângulos de formas diferentes e, portanto, “vêem” simetrias diferentes. Isto faz com que os índices de refração n e n+ - para estas duas polarizações sejam diferentes e como conseqüência, estas polarizações adquirem fases diferentes durante sua propagação pela amostra. Este efeito pode ser calculado pelo formalismo matricial de Jones, da mesma forma que na seção anterior..

Ex

y

Ey

σ−

σ+

x

Fig. 5.25 - Explicação do efeito Faraday baseado na simetria do meio.

No efeito Faraday, o ângulo que o plano de polarização roda está ligado à resposta do material ao campo magnético, através da constante de Verdet, de acordo com:

lBV=θ (5.49)



onde B é módulo do campo magnético, V é a constante de Verdet e l é o comprimento do meio. Os materiais mais comumente utilizados para este tipo de aplicação e que obviamente possuem um valor elevado da constante de Verdet são alguns tipos de vidros densos (flint), alguns semicondutores e o TGG (Terbium Galium Garnet). Na Fig. 5.26 podemos observar o comportamento de V contra λ para o TGG.

Um fator importante para a construção dos isoladores ópticos está ligado aos sentidos relativos do campo magnético e do vetor de propagação . Digamos que a luz se propaga na direção do campo ( k

r e k

r

Br

paralelos) e que roda um ângulo θ no sentido horário. Se ela se propagar no sentido inverso ( k

rBr

e anti-paralelos), ela novamente rodará um ângulo θ, só que agora no sentido anti-horário, pois verá os triângulos da Fig. 5.25 orientados no sentido inverso. Como conseqüência, se a luz atravessar o meio e depois voltar, o efeito total será o de rodar o plano de polarização da onda de 2θ, diferentemente do que acontece na atividade óptica. Veremos a seguir como este fato pode ser usado para a construção de diodos ópticos.

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20

5

10

15

20

segu

ndos

/(Gau

ss*m

m)

λ (μm)

Fig. 5.26 - Variação da constante de Verdet com o comprimento de onda para o TGG.

5.11 Isoladores ópticos Os lasers, principalmente os dos tipos diodo e corante, têm sua estabilização em freqüência bastante perturbada pela realimentação de luz devido à reflexões parasitas nas superfícies dos elementos ópticos que compõem uma determinada montagem experimental. Para se evitar este



114

tipo de problema é necessário um diodo óptico, ou isolador óptico, que permite a passagem de luz do laser para o experimento, mas impede a passagem no sentido inverso. Este isolador é baseado no efeito Faraday, que descrevemos na seção anterior. Considere, como mostra a Fig. 5.27, um meio que quando sujeito a um campo B

r roda o plano de polarização da luz de 45°. Na entrada do

sistema existe um polarizador P1, com eixo de transmissão paralelo ao eixo y e na saída um polarizador P , com eixo de transmissão na direção 2

)ji(2

1 + . A luz proveniente do laser passa pelo polarizador P1, roda 45°

no sentido horário e passa por P2. A luz refletida pelos componentes ópticos (retornando ao laser) passa por P2, roda 45° no sentido anti-horário (pois vê o sentido de B

r invertido) e é bloqueada pelo polarizador

P1, sendo assim impedida de retornar ao laser.

Fig. 5.27 - Esquema de um isolador óptico baseado no efeito Faraday.

Devido ao fato da constante de Verdet variar com o comprimento de onda, a isolação óptica apresentada acima funciona apenas para luz monocromática. Para um dado λ, seleciona-se o valor de B que produz a rotação de 45°; para outro λ devemos tomar um valor diferente de B para compensar a dependência da constante de Verdet com o comprimento de onda ou trabalhar com o polarizador P2 numa outra orientação. Neste último caso teremos perda de intensidade da luz na direção reversa.

Para finalizar esta seção devemos mencionar que é possível se construir um isolador óptico com uma lâmina de quarto de onda ou rombo de Fresnel. Imagine que a luz passe por um polarizador P e por uma lâmina λ/4, de maneira a se tornar circularmente polarizada. Quando ela retorna, após reflexão nos componentes ópticos do sistema experimental, passa novamente pela lâmina λ/4. Esta dupla passagem pela placa

x

y

E k

P1

l

x

y θ

P2

z B E



retardadora faz com que seu efeito seja o de uma lâmina de meia onda, rodando o plano de polarização da luz de 90°, que é finalmente barrada pelo polarizador P. A desvantagem deste método é que durante as reflexões nos componentes ópticos, a polarização circular pode ser afetada, tornando-se elíptica e o efeito total da dupla passagem pela placa retardadora não é exatamente o de uma lâmina de λ/2. Já no caso do diodo óptico com efeito Faraday, o efeito das reflexões sobre a polarização não é relevante pois o polarizador P2 re-polariza a luz que volta ao diodo. A isolação é usualmente medida em dB, de acordo com a expressão:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

V10 I

Ilog10I = (5.55)

onde IV e Ii são respectivamente as intensidades de luz que passa e que incide sobre o diodo no sentido em que ele bloqueia . Assim, uma isolação de -40 dB significa que se incidirmos luz na direção reversa do diodo, apenas 0,01% desta luz passará por ele.

5.12 Efeito Pockels Como mencionamos na seção 4.5, existem cristais cujos índices de refração se modificam face à aplicação de um campo elétrico. Quando esta variação for diretamente proporcional ao campo elétrico, teremos o conhecido efeito Pockels, que é utilizado na modulação eletro-óptica da luz, tanto em frequência (seção 4.5), como em intensidade. Este efeito aparece em cristais anisotrópicos, que são caracterizados por um elipsóide de índices de refração escrito como:

1nz

ny

nx

2z

2

2y

2

2x

2

=++ (5.56)

No caso em que nx = n ≠ ny z temos um cristal uniaxial, cujo eixo de simetria (z) é chamado de eixo óptico (e.g. KDP, quartzo, etc.). O índice de refração para a luz polarizada nesta direção é denominado de extraordinário (ne), enquanto que para a luz com polarização nas direções x e y tem-se o índice de refração ordinário (n0). Esta anisotropia dá origem aos fenômenos de birrefringência discutidos na seção 5.4. Além desta



116

anisotropia natural, certos cristais uniaxiais podem ter uma anisotropia extra, induzida pela aplicação do campo elétrico externo, sendo que este pode ser aplicado na direção de propagação da luz (efeito Pockels longitudinal) ou perpendicular a ela (efeito Pockels transversal). Consideremos o caso em que a luz se propaga ao longo do eixo óptico (z), de forma que as componentes x e y da onda eletromagnética estão ambas sujeitas ao mesmo índice de refração (n0). Vamos supor que um campo elétrico estático, V/l, é aplicado longitudinalmente ao cristal, onde V é a voltagem e l é o comprimento da amostra. Nestes casos, as componentes x e y da onda estarão sujeitas a índices de refrações rápido (n ) e lento (nl) dados por: r

2rVn

nn30

0r −= (5.57a)

2rVn

nn30

0l += (5.57b)

onde r é uma componente de um tensor eletro-óptico, que dá a resposta do meio em resposta à aplicação do campo elétrico. Vemos então a aparição de uma birrefringência induzida pelo campo elétrico, efeito este que pode ser usado para chaveamento eletro-óptico da luz, como veremos na seção 5.14.

5.13 Efeitos Kerr e Cotton-Mouton Em meios ópticos isotrópicos tais como líquidos e cristais de simetria cúbica, o efeito Pockels não existe. Entretanto, para campos elétricos intensos pode existir uma birrefringência induzida pelo alinhamento das moléculas do meio. A substância neste caso comporta-se opticamente como se fosse um cristal uniaxial no qual o campo elétrico define o eixo óptico. Este efeito foi descoberto em 1875 por J. Kerr e é chamado de efeito Kerr. A magnitude da birrefringência induzida é proporcional ao quadrado do campo elétrico, de acordo com:

(5.53) λ=− ⊥2

// KEnn



onde K é a constante de Kerr, λ é o comprimento de onda da luz no vácuo, n// é o índice de refração na direção do campo elétrico estático E

r aplicado

sobre a amostra e n é o índice perpendicular a ele. ⊥

O efeito Kerr é utilizado em moduladores de luz ultra-rápidos, conhecidos como células Kerr. Este dispositivo, mostrado na Fig. 5.28, consiste de dois condutores paralelos imersos num líquido com constante de Kerr elevada (nitrobenzeno, por exemplo). A cela contendo o líquido é colocada entre dois polarizadores cruzados, que fazem ângulos de ±45° com a direção do campo elétrico aplicado. Na presença do campo E

r, a

birrefringência induzida no líquido permite a passagem de luz pelo polarizador de saída. Para uma certa voltagem, Vλ/2, a cela se comporta como uma lâmina de meia onda e o conjunto se torna transparente à luz incidente sobre ele (exceto pelas reflexões nos polarizadores e nas janelas da cela).

y Fig. 5.28 - Esboço d de Kerr usada como modulador eletro-óptico de

luz. e uma cela

O efeito Cotton-Mouton é o análogo magnético do efeito Kerr e é atribuído ao alinhamento das moléculas de um líquido devido à presença de um campo magnético. A grandeza deste efeito é proporcional ao quadrado do campo magnético aplicado, similarmente ao que ocorre no efeito Kerr.

5.14 Chaveamento eletro-óptico Como visto na seção anterior, a cela de Kerr pode ser usada como modulador ou chave eletro-óptica rápida, ou seja, aplicando-se pulsos elétricos nos eletrodos, a transmissão óptica do sistema também será pulsada. Assim, este dispositivo pode ser usado, por exemplo, como um chopper rápido (f ~ MHz) para vários tipos de experimentos. A chave

x

y

P1

E

x P2

z E

+V



118

eletro-óptica mais comumente utilizada, no entanto, é aquela baseada no efeito Pockels. A cela de Pockels é bastante similar àquela mostrada na Fig. 5.28, porém, com o meio eletro-óptico sendo um cristal anisotrópico e o campo elétrico sendo, em geral, aplicado na direção longitudinal. Esta cela permite uma aplicação muito importante na construção de alguns tipos de laser de alta potência, através do uso da técnica de Q-switching (chaveamento do fator de qualidade da cavidade do laser). Voltaremos a abordar este assunto quando discutirmos o princípio de operação dos lasers. Finalmente, uma outra aplicação que se pode dar à cela de Pockels é na eliminação das flutuações de potência da luz que sai de um laser. Este dispositivo, chamado de eliminador de ruidos (noise eater), está mostrado esquematicamente na Fig. 5.29. Um divisor de feixes DF coleta uma pequena fração da luz e a envia para um detector. O sinal deste é comparado com uma referência fixa e a diferença Δv realimenta a cela de Pockels, junto com um nível D.C. de voltagem (V), de tal forma que a intensidade de luz indo para o experimento é sempre constante.

V Δυ

V+Δυ

LASER CELA DE POCKELS

Exp. DF

detector

Fig. 5.29 - Diagrama esquemático de um eliminador de ruídos.

Bibliografia 5.1. W. Schurcliff, Polarized Light, Production and Use, Harward

University Press, Cambridge, MA, (1962). 5.2. G. R. Fowles, Introduction to Modern Optics, Holt, Rinehard and

Winston, NY (1968).



5.3. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, terceira edição, Pergamon, Oxford (1970).

5.4. E. Hecht and A. Zajac, Optics, segunda edição Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA (1987).

5.5. J. C. Castro, Optical barrier penetration – a simple experimental arrangement, Am. J. Phys. 43, 107 (1975).

5.6. R. C. Jones, J. Opt. Soc. Am. 31, 488 (1941).

Problemas 5.1. Um feixe de luz viajando no vácuo atinge a superfície de uma placa

de vidro. Quando o ângulo de incidência é 56°, o feixe refletido está completamente polarizado. Qual é o índice de refração do vidro?

5.2. Faça um esboço do plano x-y mostrando o estado de polarização das seguintes ondas: (a) Ex = Acos(ωt-kz) Ey = 2Acos(ωt-kz) (b) E = Acos(ωt-kz+π/4) Ex y = Acos (ωt-kz) (c) Ex = Acos(ωt-kz-π/4) Ey = 0,5Acos (ωt-kz)

5.3. Escreva as matrizes de Jones para os campos acima.

5.4. O ângulo crítico para reflexão total interna numa peça de vidro é 45°. Qual é o ângulo de Brewster para (a) reflexão interna e (b) reflexão externa?

5.5. Qual a espessura que deve ter uma peça de quartzo para se fazer uma lâmina de λ/4 para λvácuo = 6.000 Å? Dados: n = 1,5422 e n1 2 = 1,5533.

5.6. Prove que T+R=1 para a polarização σ. Idem para polarização π.

5.7. Descreva o princípio de funcionamento de um isolador óptico feito com um polarizador e uma lâmina de quarto de onda.

5.8. Demonstre a eq. (5.4a).

5.9. Encontre a matriz de Jones que descreve um meio exibindo atividade óptica descrita pelo poder rotatório θ.



120

5.10. Luz elipticamente polarizada descrita pelo vetor de Jones: é

enviada através de um meio com atividade óptica descrita pelo poder rotatório θ = π/2 e de um polarizador linear com eixo de transmissão vertical. Que fração da intensidade de luz é transmitida pelo sistema?

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡i3

5.11. Um feixe de luz circularmente polarizada incide numa superfície plana de vidro (n = 1.5) de maneira a formar 450 com a normal. Descreva o estado de polarização da luz refletida.

5.12. Mostre que a onda representada pelo vetor de Jones é, em

geral, elipticamente polarizada e que o semi-eixo maior da elipse

faz um ângulo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δiBe

A

δcos221

221

BAABtg−

− com o eixo x. Discuta os casos

especiais: (a) A = 0, (b) B = 0, (c) δ = 0, (d) δ = π/2 e (e) A = B.


87 a polarização da onda eletromagnética 5

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