determinação do estado de polarização da luz através do ... · 1 – fundamentos teÓricos 1.1...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
INSTITUTO DE FÍSICA
Roney Junio de Portugal
Determinação do Estado de Polarização da Luz Através do Formalismo de Stokes
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Instituto de Física da Universidade Federal de
Uberlândia, como requisito parcial para obtenção
do título de bacharel em Física de Materiais.
Orientador: Prof. Dr. Newton Martins Barbosa Neto
Uberlândia
2009
2
Roney Junio de Portugal
Determinação do Estado de Polarização da Luz Através do Formalismo de Stokes
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Instituto de Física da Universidade Federal de
Uberlândia, como requisito parcial para obtenção
do título de bacharel em Física de Materiais.
Uberlândia
2009
3
Dedico este trabalho à minha namorada Carolina,
aos meus pais e irmãos: Erlânia, José Maria, Roger
e Renato; aos amigos de graduação, ao Prof.
Newton e amigos de laboratório.
4
AGRADECIMENTOS
Devo agradecer primeiramente aos meus pais, José Maria e Erlânia pelos
conselhos e educação dados a mim, ao professor Newton M.B Neto por me orientar
e dedicar seu tempo à minha formação, aos meus irmãos Roger e Renato pelo
companheirismo, à minha namorada Carolina pela motivação e carinho, aos meus
colegas de graduação: Augusto (Azeitona), Augusto, André, Danillo, Luis Alexandre
(Calango), Marcio, Renato, Willian, em especial ao Erasto, pela ajuda de todos
quando sempre precisei e também à amizade, aos colegas de laboratórios Márcia,
Paulo, Roberto (Sirí), Sandra, Silésia e a todo o pessoal do Grupo de
Espectroscopia de Materiais (GEM).
5
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 6
1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ................................................................................ 8
1.1 – Descrição da luz pela teoria eletromagnética de Maxwell ................ 8
1.2 - Elipse de Polarização da onda eletromagnética ............................... 16
1.3 – Casos especiais de polarização ........................................................ 28
1.4 – Parâmetro de Stokes .......................................................................... 32
1.5 – Casos especiais de polarização da luz usando os parâmetros
de Stokes ................................................................................................ 37
2 MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................... 40
2.1 – Aparato experimental para medir os Parâmetros
de Stokes ...................................................................................................... 40
2.2 – Técnica para mensurar os Parâmetros de Stokes .......................... 41
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES ......................................................................... 46
4 CONCLUSÕES..................................................................................................... 50
APÊNDICES ............................................................................................................. 51
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 54
6
INTRODUÇÃO
O estudo do comportamento da luz e de suas propriedades intriga a
humanidade desde os primórdios da civilização sendo os gregos, interessados em
desvendar os princípios que regem o funcionamento do mecanismo da visão, os
primeiros a fazê-lo [1]. Dentre os fenômenos associados à luz, observados ao longo
da história, os que estão relacionados à sua polarização, ou seja, os que expressam
a sua natureza vetorial estão entre os mais interessantes [2], uma vez que revelam
as propriedades da luz em sua completude (Intensidade, frequência, polarização).
Atualmente entendemos o comportamento dos fenômenos clássicos da luz
através do uso da teoria eletromagnética de Maxwell. Nesta, é demonstrado que a
luz não passa de um campo eletromagnético oscilante que se propaga no espaço e
no tempo numa direção perpendicular a direção de oscilação do campo elétrico e
magnético. De acordo com a teoria de Maxwell, a polarização da luz nada mais é do
que a direção de oscilação do vetor campo elétrico. Neste texto analisaremos
apenas os efeitos do campo elétrico da luz, por dois motivos: 1) uma vez obtidas as
características do campo elétrico obtêm-se as do campo magnético através de ,
onde é o vetor de propagação da luz [3] e 2) os efeitos do campo magnético sobre a
matéria dielétrica, e por sua vez desta sobre o campo , são desprezíveis para as
intensidades empregadas neste trabalho [3,4].
Na natureza, a luz pode ser encontrada em três estados gerais possíveis de
polarização, são eles: 1) luz totalmente polarizada; 2) luz parcialmente polarizada e
3) luz não polarizada. No primeiro, toda a luz presente no feixe apresenta um dos
possíveis estados de polarização [2,5], no segundo o feixe apresenta parte da luz
polarizada e parte não polarizada e por fim a luz não polarizada é aquela aonde a
oscilação do campo elétrico se da de forma completamente aleatória não possuindo
esta nenhum tipo de direção ou forma preferencial para a oscilação do campo
elétrico.
Uma das formas de tentarmos descrever o estado de polarização da luz, ou
seja, como oscila o campo elétrico da luz, é através de um formalismo denominado
→→→= EXkB→k→B
7
de elipse de polarização. Neste elimina-se o propagador temporal da fase do campo
elétrico e constrói-se com isso a forma geométrica que surge da oscilação do campo
elétrico. É como se uma fotografia da forma de oscilação do campo fosse adquirida
em cada instante. A forma mais geral possível obtida é uma elipse (daí o nome
elipse de polarização), sendo as formas particulares (polarização linear e circular)
obtidas a partir de configurações específicas de amplitudes e diferenças de fase das
componentes do campo elétrico [6]. Embora teoricamente consistente e elegante o
tratamento da elipse de polarização apresenta um inconveniente difícil de ser
transposto, que é o da impossibilidade de sua medida de forma direta. Tal fato é
conseqüência de ser a oscilação do campo elétrico da luz muito rápido de modo que
não existe na natureza nada que possa ser empregado para fazer tal tarefa.
No sentido de resolver este problema Sir George Gabriel Stokes formulou, em
1852, um tratamento onde descreve o estado de polarização da luz em termos de
quatro observáveis, todos obtidos a partir de medidas da intensidade do feixe. É
importante frisar que a grandeza medida em laboratórios de óptica é a intensidade
do feixe de luz que nada mais do que a média temporal do fluxo de energia do
campo eletromagnético [3,5].
Neste trabalho fazemos uma análise da teoria eletromagnética clássica da luz
juntamente com o formalismo de Stokes para a descrição do estado de polarização
da luz. Depois, apresentamos os resultados de um experimento desenvolvido onde
medimos estados de polarização de um feixe de luz já previamente conhecido com o
intuito de testar na prática o tratamento de Stokes. Além disso, mostramos que este
experimento é factível de ser implementado em laboratórios de ensino em óptica
onde experimentos relacionados às propriedades de polarização da luz são em geral
ausentes.
No nosso experimento empregamos um laser de He:Ne não polarizado dois
polarizadores de calcita lâminas de quarto de onda (633 e 543 nm) e um
fotodetector. Com estes somos capazes de gerar diferentes estados de polarização
na luz que são determinados pelo formalismo apresentado.
8
1 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1 Descrição da luz pela teoria eletromagnética de Maxwell
A onda eletromagnética tem uma característica peculiar que a diferencia das
ondas mecânicas. Ela se difere pelo fato de se propagar sem que haja um meio. As
equações de Maxwell descrevem perfeitamente, de maneira clássica este
comportamento ondulatório da luz. Ela é dada por quatro equações que unificam a
teoria eletromagnética:
1.1.1a
1.1.1b
1.1.1c
1.1.1d
Onde as equações são:
• 1.1.1a: Lei de Gauss;
0
.ερ=∇
→E
0=⋅∇→B
tBEx
∂∂−=∇
→→
JtEB 000 µεµ =
∂∂−×∇
9
• 1.1.1b: Lei de Gauss para o campo magnético evidenciando a ausência de
monopólo magnético;
• 1.1.1c: Lei da indução de Faraday;
• 1.1.1d: Lei de Ampere-Maxwell.
Além disso, temos que os termos das equações acima são: µ0 é a
permeabilidade magnética no vácuo; ε0 a constante dielétrica também no vácuo; ρ0 a
densidade de carga, nesse caso é nula por não haver carga no espaço em estudo; é
a densidade de corrente, também nula. Dessa forma, as equações de Maxwell no
vácuo ficam:
1.1.2a
1.1.2b
1.1.2c
1.1.2d
→J
0. =∇→E
0=⋅∇→B
Obj111
JtEB 000 µεµ =
∂∂−×∇
10
Para obter a equação da onda eletromagnética a partir das equações de
Maxwell é necessário o uso de algumas manipulações matemáticas. Primeiramente
aplica-se o operador rotacional na equação (1.1.2c):
1.1.3
Utilizando a propriedade em (1.1.3):
1.1.4
Da lei de Gauss, o termo é nulo. Também é preciso frisar que o operador
rotacional atua apenas sobre o campo , e não na derivada temporal, pois como se
trata de uma onda, os termos de posição são independentes dos termos do tempo.
Assim, a equação (1.1.4) fica na seguinte forma:
1.1.5
Obj113
Obj114
Obj115
( )tBEE
∂∂×− ∇=∇−∇∇ 2.
( )E.∇∇Obj118
Obj119
11
O operador rotacional aplicado em na equação (1.1.5) pode ser substituído
por (1.1.2d), resultando em uma equação da onda para o campo elétrico:
1.1.6
Usando o operador rotacional em (1.1.2d), da mesma forma que em
(1.1.3), obtêm-se uma equação de onda para o campo magnético na forma :
1.1.7
Fazendo analogia de (1.1.6) e (1.1.7) com uma equação diferencial para uma
onda em uma corda, as constantes µ0 e ε0 podem ser definidas:
1.1.8
Rearranjando (1.1.8):
Obj120
Obj121
Obj122
Obj123
Obj124
Obj125
12
1.1.9
Obtendo o valor de velocidade de propagação da onda eletromagnética a
partir dos valores experimentais das constantes µ0 e ε0, verifica-se que ele
corresponde ao valor obtido para a velocidade da luz no vácuo, desta forma, (1.1.9)
fica:
1.1.10
Agora, serão definidas outras variáveis que são importantes para descrever
qualquer tipo de onda. Estas variáveis são elementos físicos embutidos na equação
de onda.
1) Comprimento de onda: O comprimento de onda λ é a distância espacial que
separa dois pontos consecutivos que têm a mesma configuração espacial. [7].
O comprimento de onda pode ser definido como período espacial. Veja a
figura 1.1a:
Figura 1.1a – Esquematização espacial do comprimento de onda
Obj126
13
A unidade de medida do comprimento de onda no sistema internacional é o
metro (m).
2) Número de onda: o número de onda é um vetor direcionado para o sentido de
propagação da onda, ou seja, é o recíproco do comprimento de onda. Este é
definido como a razão de 2π pelo comprimento de onda. Veja equação
(1.1.11):
1.1.11
3) Período (T): É o intervalo tempo que separa dois pontos consecutivos de uma
onda com a mesma configuração temporal. [7]. Veja a figura 1.1b:
Figura 1.1b - Esquematização espacial do período
A unidade de medida do período no sistema internacional é o segundo (s).
Obj127
Obj128
14
4) Frequência e Freqüência Angular : a freqüência é o número de vezes que a
onda executa um período, já freqüência angular é a freqüência dada pela
razão de 2π pelo período. Vejam as equações (1.1.12) e (1.1.13):
1.1.12
1.1.13
A unidade de medida da Frequências no sistema internacional é o inverso do tempo
(s-1) para (1.1.12) e rad/s para (1.1.13).
Uma vez que as variáveis importantes para a onda são definidas, o próximo
passo é obter uma a solução da equação diferencial (1.1.6). É preciso salientar que
as ondas eletromagnéticas são compostas por duas grandezas vetoriais e ,
sendo estas os campos elétrico e magnético, respectivamente. Estes campos são
soluções da equação de onda podendo ser escritos na forma harmônica como:
1.1.14
1.1.15
Obj129
Obj130
( )trkEE .cos.0 ω−=
( )trkBB .cos.0 ω−=
15
Onde E0 e B0 são as amplitudes, o vetor de propagação, o vetor posição da
onda, a frequencia e por fim t o tempo. Desta forma, ao aplicar-se (1.1.14) e em
(1.1.6) obtêm-se:
1.1.16
Rearranjando (1.1.16):
1.1.17
Comparando a equação (1.1.17) com (1.1.10), obtêm-se outra equação para a
velocidade:
1.1.18
Usando as expressões (1.1.14) e (1.1.15) como condições de contorno para
as equações de Maxwell (1.1.2a), (1.1.2b), (1.1.2c) e (1.1.2d), obtêm-se
propriedades importantes para as ondas eletromagnéticas:
krω
200
2 k=εµω
00
1εµ
ω =k
kc ω=
16
• Equação (1.1.2a):
1.1.19
A equação (1.1.19) mostra que o produto escalar entre o campo elétrico pelo
vetor de onda é igual à zero. Então, pode-se dizer que o campo elétrico é
perpendicular ao vetor de onda.
• Equação (1.1.2b):
1.1.20
Analogamente à (1.1.19), a equação (1.1.20) mostra que o produto escalar entre o
campo magnético pelo vetor de onda é igual à zero. Dessa forma, conclui-se que o
campo magnético também é perpendicular ao vetor de onda.
• Equações (1.1.2c) e (1.1.2d):
1.1.21a
1.1.21b
As quais com o uso de (1.1.18) podem ser reescritas como:
0==∇ EkiE ..
E.k
0==∇ BkiB ..
Bk
EkkB ×= ˆω
BkkE ×= ˆω
17
1.1.22a
1.1.22b
As equações (1.1.22a) e (1.1.22b) demonstram que os campos elétricos e
magnéticos juntamente com vetor de onda são perpendiculares entre si. O vetor de
onda representa o vetor de propagação da onda eletromagnética. Os campos
elétricos e magnéticos oscilam em uma seção transversal, como está
esquematizada a figura 1.2. Também se pode dizer que há uma relação entre os
campos elétrico, magnético e o vetor de onda, podendo também afirmar que ambos
os campos oscilam em fase.
Figura 1.2 – Comportamento vetorial da onda eletromagnética
Desta forma, esta primeira seção explica de forma sucinta as propriedades
ondulatórias da luz num formalismo clássico e esclarece a forma que suas
componentes físicas se comportam.
EkcB ×= ˆ
BkcE ×= ˆ
18
1.2 Elipse de Polarização da onda eletromagnética
A elipse é um importante parâmetro físico e histórico usado na mecânica
clássica. Ela pode ser observada através da decomposição dos movimentos
oscilatórios mais gerais, tanto na diferença de amplitudes quanto na defasagem dos
movimentos. Com esta mesma analogia, as polarizações das ondas
eletromagnéticas podem ser tratadas com esta mesma física. O fato de usar a elipse
se deve por ser a figura geométrica que representa a forma mais geral da
superposição da onda eletromagnética.
Para demonstrar a equação da elipse para a onda eletromagnética é
necessário decompor o movimento em duas ondas transversais, sendo ambas
perpendiculares entre si. Pelo princípio da superposição, uma onda pode ser dada
pela combinação linear de duas ondas. Dessa forma, são tomadas as seguintes
equações com base nas equações (1.1.15):
1.2.1a
1.2.1b
Onde é o propagador da onda eletromagnética, E0x e E0y são as amplitudes, e são
as fases correspondentes às ondas citadas acima. Chamando o propagador da onda
( ) ( )zktEtzE xxx +−= .cos., ωδ0
( ) ( )zktEtzE yyy +−= .cos., ωδ0
zkt +− .ω xδ yδ zkt +−= .ωτ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbaba −=+ coscoscos
19
eletromagnética de , e usando a relação trigonométrica em (1.2.1a) e (1.2.1b),
obtém-se:
1.2.2a
1.2.2b
Multiplicando (1.2.2a) por , e (1.2.2b) por :
1.2.3a
1.2.3b
Subtraindo (1.2.3a) por (1.2.3b), resulta na seguinte equação:
1.2.4
( ) τδδτ sensenEtzE
xxx
x −= coscos,0
( )τδδτ sensen
EtzE
yyy
y −= coscos,
0
ysenδ xsenδ
( )yxyxy
x
x sensensensensenEtzE δτδδδτδ ...cos.cos, −=
0
( )xyxyx
y
y sensensensensenEtzE
δτδδδτδ ...cos.cos,
−=0
( ) ( ) ( )xyxy
yy
x
x sensenE
tzEsen
EtzE δδτδδ −=− .cos
,,00
20
Analogamente, ao multiplicar (1.2.2a) por , e (1.2.2b) por , obtêm-se:
1.2.5a
1.2.5b
Subtraindo (1.2.5a) por (1.2.5b), resulta na seguinte equação:
1.2.6
Elevando (1.2.4) e (1.2.6) ao quadrado e somando ambos, obtêm-se:
1.2.7
yδcos xδcos
( )yxyxy
x
x sensenEtzE δτδδδτδ cos..cos.cos.coscos, −=
0
( )xyxyx
y
y sensenEtzE
δτδδδτδ cos..cos.cos.coscos,
−=0
( ) ( ) ( )xyxy
yy
x
x sensenE
tzEE
tzE δδτδδ −=− .cos,
cos,00
( ) ( )xyxyy
y
x
x
y
y
x
x senEE
EE
EE
EE δδδδ −=−−+ 2
002
0
2
20
2
2 cos
( )xy δδδ −=
21
Chamando , resulta a equação da elipse de polarização para a onda
eletromagnética:
1.2.8
Determinada a equação para a elipse descrita por (1.2.8), agora o próximo
passo é mostrar a forma geométrica de uma elipse para a onda eletromagnética.
Para isto, é necessário fazer o mínimo múltiplo comum de (1.2.8) e isolar o termo .
Assim, tem-se a equação:
1.2.9
Obtendo a raiz da equação (1.2.9):
1.2.10
Derivando a equação (1.2.10) em função de Ex para achar o máximo e o mínimo de
Ex:
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
yE
( )( ) ( )( ) 02 220
2000
220 =−+− δδ senEEEEEEEEE xxyyxxyyx cos
( ) ( ) 21
220
0
0
0
0xx
x
y
x
xyy EE
EsenE
EEE
E −±=δδcos
22
1.2.11
Substituindo os valores de (1.2.11) em (1.2.10) para achar os valores de Ey para os
valores de Ex máximo e mínimo:
1.2.12
Analogamente, ao isolar Ex na equação (1.2.9):
1.2.13
Obtendo-se a raiz da equação (1.2.13):
1.2.14
Derivando a equação (1.2.14) em função de Ey para achar o máximo e o mínimo de
Ey:
δcosxx EE 0±=
yy EE 0±=
( )( ) ( )( ) 02 220
2000
220 =−+− δδ senEEEEEEEEE xyyxyxyxy cos
( ) ( ) 21
220
0
0
0
0yy
x
x
y
yxx EE
EsenE
EEE
E −±= δδcos
23
1.2.15
Substituindo os valores de (1.2.15) em (1.2.14) para achar os valores de Ex para os
valores de Ey máximo e mínimo:
1.2.16
Determinado os máximos e mínimos, agora é necessário esquematizar estes
valores e desenhá-los em uma figura de uma elipse. Observe a (figura 1.3) abaixo:
δcosyy EE 0±=
xx EE 0±=
24
Figura 1.3 – Representação dos máximos e mínimos na elipse de polarização da onda
eletromagnética: A - ,; B - ,; C - ,; D - , .
Determinados os máximos e mínimos da elipse de polarizada, o próximo
passo será determinar o ângulo de polarização , mostrada na figura 1.3. Dessa
forma, a figura 1.3 pode ser redesenhada da seguinte forma:
Figura 1.4 – Representação da elipse de polarização da onda eletromagnética. Escrevendo os
campos em x’ e y’ através da decomposição dos campos nos eixos x e y.
De acordo com a figura 1.4, os campos que oscilam no eixo x’ e y’ podem ser
descritos na seguinte maneira:
1.2.17a
1.2.17b
δcosxx EE 0= yy EE 0= xx EE 0= δcosyy EE 0= δcosxx EE 0−= yy EE 0−= xx EE 0−= δcosyy EE 0−=
ψ
( )'cos' δτ −= aE x
( )'cos' δτ −= bE y
25
Estas mesmas funções acima podem ser escritas na forma de decomposição
de oscilações dos campos elétricos nos eixos X e Y, como mostrada a figura 1.4.
Então, podem-se definir as seguintes equações:
1.2.18a
1.2.18b
Relacionando (1.2.17a) com (1.2.18a) e (1.2.17b) com (1.2.18b), e
escrevendo Ex como (1.2.2a) e Ey como (1.2.2b), sendo , pode-se obter a seguinte
relações:
1.2.19a
1.2.19b
ψψ senEEE yxx += cos'
ψψ cos' yxy EsenEE +−=
zkt +−= .ωτ
( ) ( )( ) ψδτδτ
ψδτδτδτδτsensensenE
sensenEsensena
yyy
xxx
−+−=−
coscoscos.coscos'.'coscos
0
0
( ) ( )( ) ψδτδτ
ψδτδτδτδτcoscoscos
coscos'cos'cos
yyy
xxx
sensenEsensensenEsensenb
−+−−=+±
0
0
τcos τsen
26
Igualando as equações que têm termos de e das equações (1.2.19a) e (1.2.19b),
obtêm-se quatros equações:
1.2.20a
1.2.20b
1.2.20c
1.2.20d
Elevando ao quadrado (1.2.20a) e (1.2.20b) e somando ambos, sendo :
1.2.21
ψδψδδ senEEa yyxx coscoscoscos 00 +=
ψδψδδ sensenEsenEasen yyxx 00 += cos'
ψδψδδ cos'cos yyxx senEsensenEb 00 −=±
ψδψδδ coscoscos' yyxx EsenEbsen 00 +=±
( )xy δδδ −=
δψψψψ coscoscos senEEsenEEa yxyx 0022
022
02 2++=
27
Da mesma forma, elevando ao quadrado (1.2.20c) e (1.2.20d) e somando ambos,
sendo :
1.2.22
Somando (1.2.21) com (1.2.22), se tem como resultado:
1.2.23
Dessa forma pode ser obtida a relação das amplitudes e das translações dos eixos
de oscilações x e y para os eixos x’ e y’. Também há outra relação que se deve
obter. Basta multiplicar (1.2.20a) por (1.2.20c) e (1.2.20b) por (1.2.20d), e depois
somar os resultados, consegue-se a seguinte relação:
1.2.24
( )xy δδδ −=
δψψψψ coscoscos senEEEsenEa yxyx 0022
022
02 2−+=
20
20
22yx EEba +=+
δsenEEab yx 00=±
ψ
28
Para conseguir definir a tangente do ângulo de polarização basta dividir
(1.2.20c) por (1.2.20a) e igualar por outra divisão de (1.2.20d) por (1.2.20b):
1.2.25
Rearranjando (1.2.25):
1.2.26
Portanto, com a equação (1.2.26) obtêm-se a tangente do ângulo de
polarização .
A última variável importante a ser obtida é a elipsidade. Esta corresponde o
quão elíptica é a luz, dada pelo ângulo . Consegue-se chegar até esta variável
através de algumas manipulações. Primeiramente deve-se dividir a equação (1.2.24)
pela a equação (1.2.23):
(1.2.27)
ψδψ 22 002
02
0 sEEsenEE yxyx coscos=−
20
20
00 22
yx
yx
EEsEE
tg−
=ψδ
ψcoscos
ψ
χ
20
20
0022
yx
yx
EEsenEE
baab
+=
+± δ
29
Para se obter a elipsidade, é preciso definir que:
1.2.28
Definida a elipsidade, o próximo passo é a manipulação do termo esquerdo da
equação (1.2.27):
1.2.29
O termo do lado direito da equação (1.2.29) pode ser reescrito:
1.2.30a
1.2.30b
1.2.30c
abtg ±=χ44
πχπ ≤≤−
22
221
baabba
ab
+±=
+±
abBaAb
bB
aA
abba +=+=+ 22
aBbA
==
ba
ab
abba +=+ 22
30
Dessa forma, a equação (1.2.29) pode ser reescrita como:
1.2.31
Usando a definição (1.2.28) em (1.2.31), é possível obter a equação para a
elipsidade :
1.2.32a
1.2.32b
Utilizando a equação (1.2.32b) em (1.2.27), obtém-se:
1.2.33
ba
abba
ab
+±=
+± 1
22
χχ
tgtgba
ab1
122
+±=
+±
χχ
χχ
cossen
tgtgba
ab =+
±=+
±1
122
20
20
00
yx
yx
EEsenEE
sen+
=δ
χχ cos
xsenxxsen cos22 =
31
Ao multiplicar a equação (1.2.33) por dois em ambos os lados,obtém-se a
elipsidade. É importante frisar que é usada a relação trigonométrica :
1.2.34a
1.2.34b
Por fim, com a obtenção das equações (1.2.11), (1.2.12), (1.2.15), (1.2.16),
(1.2.26) e (1.2.34b), é possível caracterizar a polarização da luz através da teoria
eletromagnética clássica. O desenvolvimento das equações para determinar a
polarização da luz é possível devido ao uso do princípio da superposição. Concluído
o desenvolvimento da teoria de polarização da luz, a próxima seção determinará os
casos especiais de polarização da luz, sendo estes, determinados pela defasagem
de cada componente do campo.
1.3 Casos especiais de polarização
Descrita a elipse de polarização de uma forma completa, é interessante
demonstrar os casos particulares de polarização da luz. Tomando a equação (1.2.8),
esta dada pela elipse de polarização eletromagnética, pode-se determinar os casos
particulares de polarização com a equação(1.2.8):
• Luz linearmente polarizada horizontal, (E0y = 0):
20
20
0022
yx
yx
EEsenEE
sen+
=δ
χχ cos
20
20
0022
yx
yx
EEsenEE
sen+
=δ
χ
32
Figura 1.5a – Esquema da luz horizontalmente polarizada.
Há oscilação apenas na direção do eixo x.
• Luz linearmente polarizada vertical, (E0x = 0):
Figura 1.5b – Esquema da luz verticalmente polarizada.
Há oscilação apenas na direção do eixo y.
Obj228Obj229
33
• Luz linearmente polarizada, ( ou ):
Figura 1.5c – Esquema da luz linearmente polarizada.
Usando as condições acima na equação (1.2.8) :
1.3.1
Rearranjando:
1.3.2
De (1.3.2) obtém-se a relação:
1.3.3
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
34
A equação (1.3.3) mostra os campos com dependência linear de um com relação
ao outro. Dentro deste caso de luz linearmente polarizada há outro caso
interessante. Se E0x = E0y, obtém-se a luz linearmente polarizada à +45° ou à
-45°.
• Luz elipticamente polarizada, (,):
Usando as condições acima em (1.2.8):
1.3.4
A equação (1.3.4) mostra a relação elíptica entre os campos elétricos, basta
haver uma diferença de fase de 90° ou 270°.
• Luz circularmente polarizada, (, ; E0x = E0y = E0):
Obj233Obj234
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
Obj236Obj237
35
Figura 1.5d – Esquema da luz elipticamente polarizada.
Usando as condições acima na equação (1.2.8):
1.3.5
Este caso é um caso particular da luz elipticamente polarizada, possui a mesma
defasagem dos campos aliado com as amplitudes iguais.
Portanto, esta seção demonstrou os casos possíveis de polarização da luz,
que podem ser em geral: linearmente polarizada, elipticamente polarizada e
circularmente polarizada. Assim, consegue-se de forma elegante determinar como a
luz polarizada se comporta. Porém, não é uma tarefa fácil determinar
experimentalmente a forma da polarização da luz com este formalismo. A próxima
seção será determinante para descrever o Parâmetro de Stokes, sendo esta, a
teoria que permite determinar experimentalmente a polarização da luz.
1.4 Parâmetros de Stokes
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
36
Nas seções anteriores foram desenvolvidos os formalismos à partir da teoria
ondulatória dos campos eletromagnéticos, e a descrição Elipse de Polarização da
onda eletromagnética, sendo este, um método que permite descrever o estado de
polarização da luz. Porém, experimentalmente este método é inviável. Não se pode
utilizar desta ferramenta devido à oscilação do campo eletromagnético da luz ser
extremamente rápido, da ordem de 10-15s, indetectável a qualquer sistema de
aquisição de dados. Sendo assim, se torna impossível obter a “foto” da polarização
da luz para cada período de oscilação.
Partindo deste argumento, Sir George Gabriel Stokes elaborou um método
utilizando outras variáveis para determinar o estado de polarização da luz. Estas
variáveis são conhecidas como Parâmetros de Stokes. Elas podem ser obtida por
uma grandeza mensurável experimentalmente, isto por que este método independe
do período de oscilação do campo elétrico da luz. Os Parâmetros de Stokes
podem ser obtidos simplesmente através da medida da intensidade da luz [6]. Para
determinar os parâmetros de Stokes, deve-se primeiramente partir da equação da
Elipse de Polarização para a onda eletromagnética (1.2.8). Através desta equação,
tomam-se as médias temporais dos campos elétricos:
1.4.1
onde:
1.4.2a
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
( ) ( )zktEtzE xxx +−= .cos., ωδ0
( ) ( )zktEtzE yyy +−= .cos., ωδ0
37
1.4.2b
Note que as médias temporais dos campos elétricos ao quadrado são proporcionais
à intensidade da luz. Rearranjando (1.4.1) ao multiplicar por 4E0xE0y:
1.4.3
Determinando as médias temporais de (1.4.3) :
1.4.4a
1.4.4b
1.4.4c
Substituindo (1.4.4a), (1.4.4b) e (1.4.4c) em (1.4.3):
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
Obj243
Obj244
Obj245
( ) ( )δδ 2
002
0
2
20
2
2 senEE
EE
EE
EE
y
y
x
x
y
y
x
x =−+ cos
38
1.4.5
Somando e subtraindo o lado direito de (1.4.5) por:
1.4.6a
ou:
1.4.6b
Através da equação (1.4.6b) são extraídos os parâmetros de Stokes:
1.4.7a
1.4.7b
Obj247
Obj248
Obj249
Obj250
Obj251
Obj252
39
1.4.7c
1.4.7d
Já com o formalismo do parâmetro de Stokes (1.4.6b) pode ser escrita da
seguinte forma:
1.4.8
Note que o termo S0 da equação (1.4.8) é proporcional à intensidade total da
onda eletromagnética [8]. Os termos S1, S2, S3, são componentes de polarização
inseridos na intensidade total da luz, ou seja, quanto mais a luz é polarizada, maior é
a influencia destes termos na intensidade.
É possível relacionar os parâmetros de Stokes com as equações que
caracterizam o estado de polarização dada pela seção 1.2:
• Equação (1.2.26) – Tangente do ângulo de polarização :
1.4.9
Obj253
Obj254
ψ
Obj256
40
• Equação (1.2.34b) – Elipsidade :
1.4.10
Com os parâmetros de Stokes, define-se a grandeza denominada de grau de
polarização:
1.4.11
Onde Ipol é a intensidade de polarização, e Itot a intensidade total. Da equação
(1.4.11) se observa que quanto mais P tende a um, mais polarizada é a luz, quanto
mais tende a zero, menos polarizada é a luz.
Definida tangente do ângulo de polarização (1.4.9), elipsidade (1.4.10), e o
grau de polarização (1.4.11), é possível obter o estado de polarização da luz apenas
com sua intensidade.
1.5 Casos especiais de polarização da luz usando os parâmetros de Stokes
Obj257
20
20
0022
yx
yx
EEsenEE
sen+
=δ
χ
Obj259
41
Demonstrado todo o formalismo do Parâmetro de Stokes na seção 1.4, é
interessante esclarecer como aplicá-los. Por isso, a exemplo da seção 1.3, esta
seção tem o papel de demonstrar casos particulares da polarização da luz. Com as
equações (1.4.7), são obtidos os parâmetros S0, S1, S2, S3, para estes casos
especiais.
Luz linearmente polarizada horizontal – E0y = 0:
1.5.1a
1.5.1b
1.5.1c
1.5.1d
P = 1 χ = 0 ψ = 0
Luz linearmente polarizada vertical – E0x = 0:
Obj260
Obj261
Obj262
Obj263
Obj264
42
1.5.2a
1.5.2b
1.5.2c
1.5.2d
P = 1 χ = 0 ψ = 0
Luz linearmente polarizada à +45°– E0x = E0y = E0 e :
1.5.3a
S1=2E02 1.5.3b
1.5.3c
Obj265
Obj266
Obj267
Obj268
Obj269
Obj270
Obj271
43
1.5.3d
P = 1 χ = 45º ψ = 0
Luz linearmente polarizada à -45° – E0x = E0y = E0 e :
1.5.4a
S1=2E02 1.5.4b
1.5.4c
1.5.4d
P = 1 χ = -45º ψ = 0
Obj272
Obj273
Obj274
Obj275
Obj276
44
Luz circularmente polarizada – E0x = E0y = E0 e :
1.5.5a
1.5.5b
1.5.5c
S3=2E02 1.5.5d
P = 1 χ = 0 ψ = 45º
Luz elipticamente polarizada – e :
1.5.6a
1.5.6b
Obj277
Obj278
Obj279
Obj280Obj281
Obj282
Obj283
Obj284
45
1.5.6c
1.5.6d
Onde A, B, C, D podem assumir diversos valores positivos ou negativos, depende da
forma da polarização da luz elíptica.
Portanto, esta seção demonstrou os casos possíveis de polarização da luz,
que podem ser em geral: linearmente polarizada, elipticamente polarizada e
circularmente polarizada. Dessa forma, consegue-se de forma prática determinar
apenas com a intensidade como a luz polarizada se comporta, contando com auxílio
das equações (1.4.7), (1.4.8), (1.4.9), (1.4.10) e (1.4.11) é possível esquematizar o
estado de polarização.
2 MATERIAIS E MÉTODOS
2.1 Aparato experimental para medir os Parâmetros de Stokes
Desenvolvida a teoria necessária para medir os efeitos de polarização da luz,
descrevemos nesta seção o procedimento empregado na obtenção dos parâmetros
de Stokes. A técnica emprega: um defasador de onda de (lâmina de λ/4), um
polarizador de calcita e um fotodetector, todos disposto em série de acordo coma
figura 2.1:
Obj285
Obj286
46
Figura 2.1 – Esquema da disposição experimental para determinar os parâmetros de Stokes.
A Lâmina de onda tem o papel de defasar a onda eletromagnética, ou seja,
alterar a fase da luz. Ela faz com que apareça uma diferença de fase de entre as
componentes perpendiculares do campo elétrico da luz [9]. Veja o Apêndice I para
esclarecer a física do Defasador.
O polarizador é um elemento óptico que diminui campos elétricos
privilegiando a oscilação da luz numa certa direção. Em outras palavras este opera
como um atenuador anisotrópico [10]. Veja o Apêndice II para esclarecer a física do
polarizador.
Por fim, o fotodetector tem o papel de obter o valor da intensidade da luz. Ele
é ligado a um voltímetro que transforma a intensidade luminosa em voltagem, sendo
que a variação da voltagem é proporcional à intensidade da luz.
2.2 Técnica para mensurar os Parâmetros de Stokes
Obj287
47
Para entendermos o procedimento de medida, o primeiro passo é
considerarmos um par de campos elétricos oscilantes perpendiculares entre si:
2.2.1a
2.2.1b
De acordo com a seção 2.1, a onda ao passar pela lâmina defasa a
componente x do seu campo elétrico de com relação à componente na direção y.
Portanto podemos reescrever as componentes do campo como:
2.2.2a
2.2.2b
Após o defasador o feixe atinge o polarizador, o qual privilegia a oscilação
numa certa direção pré-definida. Este então assume a forma genérica
Obj288
Obj289
Obj290
Obj291
Obj292
Obj293
48
esquematizada pela figura 2.2, com a mesma inclinação da direção atenuadora do
polarizador:
Figura 2.2 – Esquema da composição do campo elétrico da luz após passar pelo polarizador.
De acordo com a figura 2.2, o campo elétrico E pode ser decomposto em:
2.2.3a
ou:
2.2.3b
Obj294
Obj295
49
O campo emergente do polarizador (equação 2.2.3b) atinge o fotodetector
que mede sua intensidade. O sinal medido nada mais é do que o módulo quadrado
da equação 2.2.3b, sendo matematicamente descrito por:
2.2.4
A qual pode ser reescrita como
2.2.5
Através do uso das seguintes relações trigonométricas:
2.2.6a
2.2.6b
2.2.6c
Obj296
Obj297
Obj298
Obj299
Obj300
50
Agora é preciso relacionar a equação (2.2.5) com os parâmetros de Stokes.
Isto é possível através da forma complexa dos parâmetros de Stokes, que são
dados por:
2.2.7a
2.2.7b
2.2.7c
2.2.7d
onde i é um número imaginário. Substituindo nas equações (2.2.7) os campos
elétricos definidos em (2.2.1) obtêm-se a expressão final para a intensidade:
2.2.8
Observe que a equação da intensidade (2.2.8) é uma expressão que tem
dependência com relação aos ângulos e , sendo que o primeiro é o ângulo de
Obj301
Obj302
Obj303
Obj304
Obj305
Obj306Obj307Obj308Obj309
51
inclinação da direção atenuadora do polarizador em relação ao eixo x, e o segundo a
defasagem da onda que causada pela lâmina de onda. Portanto, variando apenas os
parâmetros e se consegue modificar a intensidade da luz, criando-se uma relação
de causa e efeito de onde podemos inferir os parâmetros de Stokes.
Partindo desse pressuposto, é possível obter os parâmetros de Stokes S0, S1,
S2, S3 para ângulos específicos. Veja a abaixo algumas relações dos ângulos e com
relação à intensidade, obtidos a partir da equação (2.2.8).
2.2.9a
2.2.9b
2.2.9c
2.2.9d
Observe que o ângulo nas equações (2.2.9) são apenas 0° e 90°. Para o
valor de = 0° não há o defasador no aparato experimental. Já o ângulo de 90°
corresponde a presença de uma lâmina de quarto de onda específica para o
comprimento de onda estudado (veja Anexo I).
Obj310Obj311
Obj312
Obj313
Obj314
Obj315
Obj316Obj317
52
Resolvendo o sistema de equações (2.2.9), obtêm-se os parâmetros de
Stokes em função das intensidades obtidas para as diferentes configurações de
intensidades:
2.2.10a
2.2.10b
2.2.10c
2.2.10d
Finalmente com as equações (2.2.10) os valores dos Parâmetros de Stokes
são obtidos apenas com intensidade da luz a partir apenas de duas variantes e .
Com isso, este experimento é bastante simples e demonstra um grande potencial de
aplicabilidade em laboratórios de ensino de óptica.
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nesta seção apresentamos e discutimos resultados obtidos com o intuito de
verificarmos a validade do formalismo de Stokes. Para tal, foram montados
experimentos onde empregamos: um laser He:Ne (λ = 633nm) não polarizado,
Obj318
Obj319
Obj320
Obj321
Obj322Obj323
53
polarizadores de calcita, lâmina de ¼ de onda para 543 nm e 633 nm, polarizador e
fotodetector. É importante especificar que o laser não polarizado um polarizador de
calcita e a lâmina de λ/4 são empregados na obtenção de luz em diversos estados
de polarização possíveis. Já o segundo polarizador de calcita a lâmina de onda em
633 nm e o fotodetector são empregados no sistema de manipulação e detecção da
luz visando à obtenção dos parâmetros de Stokes.
Todos os experimentos foram realizados com a disposição em série dos
componentes ópticos de acordo com necessidades específicas, seguindo a idéia
básica da figura 2.1. Num primeiro experimento fizemos com que o feixe proveniente
do laser de He:Ne não polarizado incidisse diretamente no conjunto lâmina de 633
polarizador e fotodetector. Variando a configuração de θ e φ de acordo com o
descrito no capítulo 2, obtivemos:
Tabela 3.1 – Dados obtidos da luz não polarizada:
Polarizador Lamina ¼ de onda
Sinal(Unid. Arb.)
θ = 0 Ф = 0 4,5θ = 90° Ф = 0 4,5θ = 45° Ф = 0 4,5θ =45°
Ф = π/2 4,5
Relacionando os dados da tabela 3.1 com as equações (2.2.10), obtêm-se os
resultados para os parâmetros de Stokes da luz não polarizada:
S0 = 9 S1 = 0 S2 = 0 S3 = 0 3.1
Os resultados acima indicam que a luz é completamente não polarizada
apresentando apenas componentes relacionadas a intensidade (S0), como deveria
ser.
54
Para obtenção de um feixe linearmente polarizado colocamos um polarizador
na direção horizontal (atenuação paralela à mesa do laboratório) entre o laser e a
lâmina de ¼ de onda. Os resultados obtidos estão listados na tabela 3.2 conforme
as equações (2.2.10):
Tabela 3.2 – Dados obtidos da luz linearmente polarizada na direção horizontal:
Polarizador Lamina ¼ de onda
Intensidade
θ = 0 Ф = 0 4,6θ = 90° Ф = 0 0θ = 45° Ф = 0 2,3θ =45°
Ф = π/2 2,3
Relacionando os dados da tabela 3.2 com as equações (2.2.12), obtêm-se os
resultados para os parâmetros de Stokes da luz que passa pelo polarizador:
S0 = 4,6 S1 = 4,6 S2 = 0 S3 = 0 3.1
Referentes aos dados de (3.2), consegue-se obter o angulo de polarização ,
elipsidade e a polarização P, dada pelas equações (1.4.9), (1.4.10), (1.4.11):
3.2
Deste modo, é correto afirmar que a luz é linearmente polarizada
horizontalmente, o que é indicado pelo valor positivo de S1 e pelos valores nulos dos
ângulos de polarização e elipsidade (veja seção 1.5). Além disso o fator P indica
uma luz 100% polarizada como esperado.
Obj324Obj325
Obj326
20
20
0022
yx
yx
EEsenEE
sen+
=δ
χObj328
55
Para testarmos o nosso procedimento com um feixe de luz elipticamente
polarizado inserimos a lâmina de quarto de onda para 543 nm logo após o primeiro
polarizador inserido previamente para polarizar o feixe do laser de He:Ne.Veja a
figura 3.1 que contém a disposição experimental com a inserção da lâmina de ¼
onda de 543nm:
Figura 3.1 – Esquema da disposição experimental para determinar os parâmetros de Stokes para
uma luz elipticamente polarizada.
Os resultados obtidos estão demonstrados na tabela 3.3 conforme as
equações (2.2.12) para o experimento esquematizado na figura 3.1:
Tabela 3.3 – Dados obtidos da luz que passa pela lamina de ¼ de onda de 543nm.
Polarizador Lamina ¼ de onda
Intensidade
θ = 0 Ф = 0 4,2θ = 90° Ф = 0 0,5θ = 45° Ф = 0 0,8θ =45°
Ф = π/2 3,3
56
Relacionando os dados da tabela 3.3 com as equações (2.2.10), obtêm-se os
resultados para os parâmetros de Stokes da luz que passa pelo polarizador:
S0 = 4,7 S1 = 3,7 S2 = -3,1 S3 = 1,9 3.3
Referentes aos dados de (3.3), consegue-se obter o angulo de polarização ,
elipsidade e a polarização P, dada pelas equações (1.4.9), (1.4.10), (1.4.11):
3.4
Com os resultados obtidos por (3.4) é correto afirmar que a luz é
elipticamente polarizada. Isto porque se obtêm valores para: ângulo de polarização ;
elipsidade . O fator polarização P é aproximadamente um, o que indica que a lâmina
de ¼ de onda de 543 nm apenas transforma a luz linearmente polarizada em luz
elipticamente polarizada não despolarizando-a.
Baseado nas variáveis obtidas a partir dos parâmetros de Stokes, podemos
esboçar a configuração da elipse de polarização desse feixe:
Obj329Obj330
Obj331
20
20
0022
yx
yx
EEsenEE
sen+
=δ
χObj333
Obj334Obj335
Obj336
57
x
y
X’
Y’
Figura 3.2 – Elipse de polarização da luz após passar pela lâmina de ¼ de onda de 543 nm.
Observe que através dos parâmetros e que são obtidos através dos
parâmetros de Stokes é possível obter a “foto” do tipo de polarização da luz. Como
foi dito, a tangente de representa a relação do tamanho de “a” com “b” da elipse,
dada pela equação (1.2.28), e o parâmetro que determina a inclinação da elipse é
dada pela equação (1.2.26). Dessa forma, conclui-se que esta técnica pode ser
utilizada para caracterizar qualquer tipo de luz polarizada.
4 CONCLUSÕES
Este trabalho visa determinar experimentalmente o estado de polarização da
luz usando o formalismo de Stokes. Depois da descrição de toda a teoria e métodos,
verificou-se que o experimento proposto obteve um bom resultado, confirmando a
validade experimental para obter os parâmetros de Stokes. Foram efetuados três
experimentos.
No primeiro investigamos o estado de polarização da luz de um feixe não
polarizado onde obtivemos que o formalismo de Stokes é capaz de descrevê-lo
totalmente através do parâmetro S0 que é relacionado à intensidade da luz. Alias,
Obj337
Obj338Obj339Obj340Obj341
58
esta é uma das grandes vantagens do formalismo de Stokes sobre os demais (e.g.
formalismo de Jones, elipse de polarização etc).
No segundo experimento, investigamos o estado de polarização de um feixe
linearmente polarizado na direção horizontal. Para isto inserimos um polarizador de
calcita à frente da nossa fonte luminosa. Os resultados indicaram uma luz 100%
polarizada na direção paralela ao plano da mesa óptica (direção horizontal), o que é
evidenciado pelo comportamento do parâmetro S1.
Num terceiro experimento geramos um feixe de luz elipticamente polarizada
através da inserção de uma lâmina quarto de onda para 543 nm logo após o
primeiro polarizador. Os resultados indicaram um feixe elipticamente polarizado e
através dos parâmetros de Stokes fomos capazes de obter a disposição da elipse de
polarização desse feixe.
Por fim, realizadas as medidas e confirmado os resultados, concluímos que a
técnica proposta tem um grande potencial para ser empregada em experimentos de
laboratórios de ensino de física devido à sua simplicidade e eficiência. Vale frisar que
existe, em nosso instituto, uma carência de experimentos em laboratórios de óptica
que explicitam o caráter vetorial da luz via manifestação de efeitos de polarização.
APÊNDICES
I – Defasador [9]
Considere os campos elétricos em x e em y abaixo:
IaObj342
59
Ib
Considere a figura Ia como um defasador com um campo elétrico decomposto
em x e y :
Figura Ia – Representação esquemática de um defasador [ 9]
Usando a condição de contorno da figura Ia quando a onda atinge z = 0 até z=d nas
equações Ia e IB:
Ic
Id
Ie
If
Obj343
Obj344
Obj345
Obj346
Obj347
60
As diferenças entre as componentes emergentes são :
Ig
Para diferença de fase de :
Ih
Ou seja, o produto da distância d com diferenças entre os índices de refração deve
ser um quarto do comprimento de onda.
II – Polarizador
Um polarizador é um elemento óptico que atenua as componentes ortogonais
de um feixe óptico desigualmente, isto é, um atunuador anisotrópico. [10].
Dado os fatores px e py coeficientes de atenuação das amplitudes no
polarizador, os campos elétricos antes e após o polarizador podem ser dados:
• Antes – Ex e Ey
• Depois do polarizador –
Obj348
Obj349
Obj350
61
E’x = pxEx
E’y = pyEy
Portanto, os coeficientes de atenuação px e py que determina a característica do
polarizador.
REFERÊNCI AS BIBLIOGRÁFIC AS
[1] A.A. Silva, “Crônicas da Luz: Uma breve história da óptica”, Tese de
monografia apresentada ao Instituto de Física da Universiade Federal de Uberlândia
(2006).
[2] G. R. Fowles, “ Introduction to Modern Optics”, Dover Publications Inc. New
York Second edition.
[3] Roald. K. Wangsness, “Eletromagnetic Fields”,John Wiley & Sons,Inc. New
York, Second edition.
[4] S.L.Oliveira,S.C.Rand, “Intense Nonlinear Magnetic Dipole Radiation at
Optical Frequencies: Molecular Scattering In a Dieletric Liquid”, Physic Review
Letters,PRL98,093901; march 2007.
Obj351
Obj352
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[5] E.Hechet, “Óptica”, Fundação Calouste Gulbenkian,Lisboa, Segunda edição.
[6] E. Collet, “Polarized Light: Fundamentals and Applications”, Marcel Dekker
Inc. New York (1992).
[7] K. D. Machado, “Teoria do Eletromagnetísmo”, editora UEPG, Ponta Grossa,
3ª edição, 2007.
[8] D. J. Griffiths, “Introduction to electrodynamics”, Pearson Addison Wesley
Prentice Hall, New Jersey, Third edition.
[9] S. C. Zilio, “Óptica moderna: Fundamentos e aplicações” em
http://www.if.sc.usp.br/~fotonica/ebook/e-book1.php
[10] P. Alliprandini-Filho, “Efeitos de ordenamento na polarização da luz emitida
por filmes de polímeros semicondutores”. Dissertação de mestrado apresentada ao
Instituto de Física da Universidade Federal de Uberlândia (2007).